ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

Prof. Fábio de Oliveira BorgesCurso de Física I

Instituto de Física, Universidade Federal Fluminense

Energia Quando uma saltadora pula de um trampolim para uma piscina,

ela atinge a água com velocidade relativamente elevada, possuindo grande energia cinética. De onde provém essa

energia?

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONALImagine um sistema que consiste em um livroe a Terra interagindo por meio da forçagravitacional. Qual é o trabalho que devemosrealizar para levantar o livro lentamente apartir do repouso a uma altura vertical h?

De alguma forma, esse trabalho deve aparecercomo um aumento da energia do sistema livro-Terra. O livro está em repouso antes e depois queo realizamos o trabalho . Portanto , não há

nenhuma mudança na energia cinética do sistema.Como a mudança de energia do sistema não é na forma de

energia cinética, ela deve aparecer como alguma outra forma dearmazenagem de energia.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONALObserve que ao soltarmos o livro e, o sistema,passa a ter energia cinética e que sua origemestá no trabalho realizado para levantar olivro. Enquanto o livro estava no ponto mais alto, osistema tinha o potencial de possuir energiacinética, mas ele não fez isso até que se deixou olivro cair. Portanto, chamamos o mecanismo dearmazenamento de energia antes de o livro ser

Do dito, podemos identificar a quantidade mgh como a energiapotencial gravitacional, U :

A unidade da energia potencial gravitacional no SI é o joule.

solto de energia potencial. A quantidade deenergia potencial no sistema é determinada pelaconfiguração do sistema.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONALUtilizando nossa definição de energia potencial gravitacional,podemos escrever que:

A eq. descreve que o trabalho externo realizado sobre o sistemaaparece aqui como uma mudança na energia potencial do sistema.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL

Você tem a liberdade de escolher uma configuração de referência para a qual a energia potencial gravitacional do sistema seja definida como algum valor de referência, que

normalmente é zero. A escolha da configuração de referência é completamente arbitrária, pois a quantidade importante é a

diferença na energia potencial e essa diferença é independente da escolha da configuração de referência.

Bicho preguiçaUma preguiça de 2,0kg está pendurada a 5,0m acima do solo (Figura).

a) Qual é a energia potencialgravitacional U do sistemapreguiça-Terra se tomarmos oponto de referência y=0 comoestando (1) no solo, (2) no pisode uma varanda que está a 3,0macima do solo, (3) no galho ondeestá a preguiça e (4) 1,0m acimaestá a preguiça e (4) 1,0m acimado galho? Considere a energiapotencial nula em y=0.

b) A preguiça desce da árvore. Paracada escolha do ponto dereferência, qual é a variação daenergia potencial do sistemapreguiça-Terra?

Subindo um refrigerador ao caminhãoUm homem deseja carregar um refrigerador sobre um caminhãoutilizando uma rampa a um ângulo , como mostrado na Figura. Eleafirma que seria necessário menos trabalho para carregar o caminhãose o comprimento L da rampa fosse aumentado. Essa afirmativa éválida?

• Trabalho realizado pela força externa:

y2- y1 < 0 Wext = F.d ( =180º)< 0 U < 0.

y2- y1 > 0 Wext = F.d ( =0º)> 0 U > 0.

Trabalho realizado pela força gravitacional

• Trabalho realizado pela força gravitacional:

y2- y1 < 0 Wg = F.d ( =0º) > 0 .(“a energia potencial diminuiu”)

y2- y1 > 0 Wg = F.d ( =180º)< 0 .(“a energia potencial aumentou”)

1. Suponha que o peso seja a única forçaatuando sobre um livro.

2. O livro é liberado e cai livremente semresistência do ar.

3. Assim, o livro está em repouso a uma alturay1 e adquirir uma velocidade v2 a uma alturay2. O teorema do trabalho-energia afirma queo trabalho total realizado sobre o corpo é

Conservação da energia mecânica

o trabalho total realizado sobre o corpo éigual à variação na sua energia cinética:

4. Como a gravidade é a única força atuandosobre o corpo, temos que:

Ou seja:

Conservação da energia mecânica

Logo, temos que a soma da energia cinética com a energia potencial (K+U) é a energia mecânica total do

sistema (E).sistema (E).

Quando uma grandeza possui sempre o mesmo valor durante omovimento, dizemos que ela é uma grandeza conservada. Quandosomente a gravidade realiza trabalho, a energia mecânica total éconstante, ou seja, ela é conservada.

ALTURA DE UMA BOLA DE BEISEBOL USANDO A CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

Você arremessa uma bola de beisebol de 0,145 kg verticalmentede baixo para cima, fornecendo-lhe uma velocidade inicial demódulo igual a 20,0 m/s. Calcule a altura máxima que ela atinge,supondo que a resistência do ar seja desprezível.

Diagrama de Barrasde Barras

TRABALHO E ENERGIA NO ARREMESSO DE UMA BOLA DE BEISEBOL

Você arremessa uma bola de beisebol de 0,145 kg verticalmente debaixo para cima, e sua mão se desloque 0,50 m para cima quandovocê está arremessando a bola, o que deixa sua mão com uma

velocidade inicial de 20,0 m/s. (a)Supondo que a mão exerça umaforça constante sobre a bola, acheo módulo dessa força. (b) Ache ao módulo dessa força. (b) Ache avelocidade da bola quando ela está15,0 m acima da altura do pontoinicial onde ela deixa sua mão.Ignore a resistência do ar.

Energia potencial elásticaEm um conjunto massa-mola a força elástica é a responsável pelainteração no sistema. Sendo que a força do sistema (massa-mola)pode ser descrita por:

O trabalho realizado por uma força externa Fap aplicada sobre umsistema massa-mola é determinado como:

Pela terceira lei de Newton, concluímos que o trabalho realizado pelamola será igual e de sinal contrário ao trabalho da força externa.Portanto, o trabalho Wel realizado pela mola em um deslocamento dex1 a x2 é dado por

(trabalho realizado pela mola)

Energia potencial elásticaPodemos ver, que, como no sistema livro-Terra, no sistema massa-mola o trabalho realizado só depende dos pontos inicial e final eportanto podemos definir uma energia potencial elástica para osistema:

A energia potencial elástica do sistema pode ser entendida como

Usando a ideia de energia potencial elástica, podemos reescrever otrabalho Wel realizado pela mola como:

A energia potencial elástica do sistema pode ser entendida como a energia armazenada na mola deformada.

Logo:

Energia potencial elásticaComo o teorema do trabalho-energiaafirma que Wtot = K, qualquer que seja otipo de força atuante sobre o corpo.Quando a força elástica é a única forçaque atua sobre o corpo, podemosescrever que:

Logo:

Neste caso, a energia mecânica total, a soma da energia cinéticacom a energia potencial elástica, também se conserva.

Energia potencial elástica

MOVIMENTO COM ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICAUm bloco com massa m=0,200 kg está em repouso sobre um trilho de arsem atrito, ligado a uma mola cuja constante é dada por k=5,00 N/m.Você puxa o bloco fazendo a mola se alongar 0,100 m e a seguir o liberaa partir do repouso. O bloco começa a se mover retornando para suaposição inicial (x=0). Qual é o componente x da sua velocidade noponto x=0,080 m?.

O que ocorre quando existem simultaneamente forçasgravitacionais e elásticas, como no caso de um corpo preso naextremidade de uma mola verticalmente pendurada?

E se o trabalho também é realizado por outras forças que nãopodem ser descritas em termos da energia potencial, como a forçada resistência do ar sobre um bloco em movimento?

O teorema trabalho-energia continua valendo, e o trabalho total éa soma do trabalho realizado pela força gravitacional (W ), o trabalho

Energia mecânica

a soma do trabalho realizado pela força gravitacional (Wg), o trabalhorealizado pela força elástica (Wel) e aquele realizado por outrasforças (Woutra):

UM PLANO INCLINADO COM ATRITOQueremos deslizar uma caixa de12 kg subindo uma rampa de 2,5 minclinada em 30º. Um trabalhador,ignorando o atrito, calculou queele poderia fazer a caixa chegarao topo da rampa lançando-a comuma velocidade inicial de 5,0 m/sna base da rampa. Porém, o atritonão é desprezível; a caixa deslizanão é desprezível; a caixa desliza1,6 m subindo a rampa, para edesliza retornando para baixo. (a)Supondo que a força de atritoatuando sobre a caixa sejaconstante, calcule seu módulo.

(b) Qual é a velocidade da caixa quando ela atinge a base darampa?

MOVIMENTO COM AS FORÇAS GRAVITACIONAL, ELÁSTICA E DE ATRITO

O elevador da Física de 2.000kg (19.600N) com os cabos quebrados caia 4,0m/s sobre a mola de amortecimento no fundo do poço. A mola éprojetada para fazer o elevador parar quando sofre umacompressão de 2,0 m (Figura). Durante o movimento, uma braçadeira desegurança exerce sobre o elevador uma força de atrito constante iguala 17.000 N. Qual é a constante de força k necessária para a mola?

FORÇAS CONSERVATIVASUma força capaz de converter energia cinética em energia potenciale de fazer a conversão inversa denomina-se força conservativa. Jávimos dois exemplos: a força gravitacional e a força da mola. Umacaracterística básica de uma força conservativa é que o trabalhorealizado por ela é sempre reversível.

o trabalho realizado por uma forçaconservativa possui sempre quatrocaracterísticas:

1) É dado pela diferença entre os valoresinicial e final da função energia potencial.

2) É reversível.

3) É independente da trajetória do corpo edepende apenas dos pontos inicial e final.

4) Quando o ponto final coincide com oinicial, o trabalho realizado é igual a zero.

CONSERVATIVA OU NÃO CONSERVATIVA?Em determinada região do espaço, a força que atua sobre um elétron édada por , onde C é uma constante positiva. O elétron percorreuma trajetória quadrada no plano xy (Figura). Calcule o trabalhorealizado pela força durante um percurso em sentido anti-horário emtorno do quadrado. Essa força é conservativa ou não conservativa?

FORÇA E ENERGIA POTENCIALJá vimos que: o trabalho W realizado por uma força conservativa emqualquer deslocamento é igual, mas de sinal contrário, à variaçãoU da energia potencial:

Vamos aplicar esse resultado a um pequeno deslocamentox. O trabalho realizado pela força F(x) durante esse deslocamentoé aproximadamente igual a F(x)x. Logo,

Tomando o limite quando x0; nesse limite, a variação de F(x)torna-se desprezível, e achamos a expressão exata

FORÇA E ENERGIA POTENCIAL

Significado físico: uma força conservativa sempre atua no sentido de conduzir o sistema a uma

energia potencial mais baixa.

Força e energia potencial em três dimensões

Podemos estender a análise anterior para três dimensões, onde apartícula pode se mover ao longo do eixo x, y e z, sob a influência deuma força F(x,y,z).

Podemos usar vetores unitários para escrever uma expressãovetorial compacta para a força:

CONSERVATIVA OU NÃO CONSERVATIVA?

Um disco de hóquei com coordenadas x e y desliza sobre umamesa de ar sem atrito. Sobre ele atua uma forçaconservativa oriunda de uma energia potencial dada pela função

Observe que é a distância na superfície da mesa dodisco de hóquei até a origem. Deduza uma expressão vetorialdisco de hóquei até a origem. Deduza uma expressão vetorialpara a força que atua sobre o disco e ache uma expressão para omódulo da força.

DIAGRAMAS DE ENERGIA

CONSERVATIVA OU NÃO CONSERVATIVA?

Uma bola de gude move-se aolongo do eixo x. A energiapotencial é indicada na Figura.(a) Para quais valores de xindicados no gráfico a força éigual a zero? (b) Para quaisvalores de x indicados nográfico o equilíbrio é estável?gráfico o equilíbrio é estável?(c) Para quais valores de xindicados no gráfico o equilíbrioé instável?

TESTE 031) Uma menina aplica uma força F paralelaao eixo x sobre um trenó de 10 kg que sedesloca sobre a superfície congelada deum pequeno lago. À medida que elacontrola a velocidade do trenó, ocomponente x da força que ela aplica variacom a coordenada x do modo indicado naFigura.

a) Calcule o trabalho realizado pela força F quando o trenó sedesloca de x=0 a x=12,0 m.

Figura.

b) Suponha que o trenó esteja inicialmente em repouso em x=0. Useo teorema do trabalho-energia para achar a velocidade do trenó emx=8,0 m. Despreze o atrito entre o trenó e a superfície do lago.

TESTE 03

TESTE 032) Um bloco de 5,0 kg se move com v0 = 6,00 m/s sobre uma superfíciehorizontal sem atrito, dirigindo-se contra uma mola cuja constante deforça é dada por k = 500 N/m e que possui uma de suas extremidadespresa a uma parede (Figura).A massa da mola é desprezível. Calcule a

distância máxima que a mola pode sercomprimida.

FIM