Energiebänder im Festkörper

Inhalt

Klassisch: • Energieniveaus eines freien Atoms

• Energie des Bohrschen Atommodells– Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei

Annäherung eines zweiten AtomsQuantenmechanik:• Alle Elektronen eines Festkörpers bilden eine

quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet – Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im

„Kasten“ • Daraus resultiert das Bändermodell für

– Isolator– Halbleiter– Leiter

Kristalline Festkörper

Bohrsches Atommodell

r1

r2=4r1

r3=9r1

r4=16r1

E1=-13,6 eV

E2=-3,4 eV

E3=-1,5 eV

E1=-0,85 eV

Klassisches Modell

• Aufbau der Atome nach Bohrs Modell

• Aufspaltung der Energieniveaus bei Kopplung an benachbarte Atome (analog dem Doppelpendel)

Energie der Elektronen in Bohrs Atommodell

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

E [eV]

mal 0,0529 [nm]

Abstand vom Kern

Bindungsenergie

Zwei Atome im Kasten, klassisch

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

016 14 12 10 8 6 4 2 0

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Zwei Atome im Kasten, klassisch

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

016 14 12 10 8 6 4 2 0

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Quantenmechanisches Modell

Die Elektronen von den in einem Festkörper gebundenen Atome werden als ein „gebundener Zustand“ aufgefasst

• Anstelle der lokalisierten Atome treten stehende Wellen im „Kasten“– Die Wellenlängen sind Teiler der doppelten

Kastenlänge • Anstelle der Energie der Elektronen in

Abhängigkeit vom Bahnradius tritt die Energie der Wellen in Abhängigkeit von der Wellenzahl

Berechnung mit der Schrödingergleichung für das Kastenpotential

Zwei Teilchen in einem Kasten, quantenmechanisch

x=0 x=L

Klassisch:

Quantenmechanisch:

Erste Welle für zwei Teilchen in einem Kasten

x=0 x=L

Zweite Welle für zwei Teilchen in einem Kasten

x=0 x=L

1/mWellenzahlen „die in den Kasten passen“

1 J

Energie zu Wellen mit Quantenzahl n

1 J

1 J

Wellenzahl und Energie

• Was kostet die Anregung einer Welle mit Wellenzahl n ?

nEnLm

22

22

2

nL

kn

nn Ekm

22

2

nEmL

hn

2

22

8

Erste Welle für zwei Teilchen in einem Kasten

x=0 x=L

1m Wellenlänge

1 1/m Wellenzahl

1 J Energie

1

21

L

Lk

1

2

2

1 8mL

hE

Zweite Welle für zwei Teilchen in einem Kasten

1m Wellenlänge

1 1/m Wellenzahl

1 J Energie

L2

Lk

22

2

2

2 8

4

mL

hE

x=0 x=L

Elektronen sind „Fermionen“

Wellenzahl und Energie zur Wellenzahl können für eine Spin-Richtung nur einmal vergeben werden

• Der Festkörper (zunächst eine lineare Kette) habe die Länge L, er enthalte N Elementarzellen mit 2N Elektronen

• Man beginnt mit der Wellenzahl k1 =π/L und ordnet sie zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin zu

• Man erhöhe die Wellenzahl bis kN =N·π/L

De Broglie Beziehung zwischen Wellen- und Teilcheneigenschaft

• Eine Welle mit Wellenzahl k entspricht einem Teilchen mit Impuls p=ħ·k

1 1s ↓

2 1s ↓

3 1s ↓

4 1s ↓

Beispiel: Kristall mit vier Elementarzellen

• Jedem Elektronenpaar (↑↓), z. B. für He Atome, wird genau eine Energie εn zugeordnet

1 1s ↑

2 1s ↑

3 1s ↑

4 1s ↑

Wellen im Kristall mit vier Elementarzellen

• Vier Wellen mit Wellenzahlen k=n·π/L passen in dieses Gitter, d. h. sie zeigen Knoten an den Enden des Kristalls

• Gitter mit vier Elementarzellen

0 1 2 3 4-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

X Axis Title

Y A

xis

Titl

e

F1 F2 F3 F4

xn

x

Vier Wellen im Kristall mit vier Elementarzellen

• Aufenthaltswahrscheinlichkeit für vier Wellen mit Wellenzahlen k=n·π/L

n=2

n=1

n=3

n=4

Energie εn der Elektronen von He im Kristall mit vier Elementarzellen

Energie εn=n2h2/(8mL2)

Impuls ~ n

• Zu jeder Welle mit Wellenzahl k=n·π/L gehört die Energie

• εn ~n2

Nummer n der Wellenzahl 1 1s ↑2 1s ↑

3 1s ↑4 1s ↑

Volle Besetzung des 1s Niveaus im He-Kristall

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1 s

mal 0,0529 [nm]

Abstand vom Kern

Bindungsenergie E [eV]

Energie Band

Einbau von vier weiteren Elektronen in den Kristall mit vier Elementarzellen, z. B. Übergang von He mit zwei Elektronen zu Li mit drei Elektronen

Kristall aus He-Atomen

Kristall aus Li-Atomen

Wellen zu den Wellenzahlen n=5,6,7,8

n=6

n=5

n=7

n=8

Vier weitere Elektronen benötigen weitere Wellenzahlen

Zuordnung der Wellenzahlen

↑ und ↓ besetzt

Nur ↑ besetzt, vier ↓ Wellen noch frei!

1 1s ↓

2 1s ↓

3 1s ↓

4 1s ↓

1 1s ↑

2 1s ↑

3 1s ↑

4 1s ↑

1 2s ↓

2 2s ↓

3 2s ↓

4 2s ↓

1 2s ↑

2 2s ↑

3 2s ↑

4 2s ↑

Vier freie Wellenzahlen (↓) in der 2s Schale des Li-Kristalls

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1 s

mal 0,0529 [nm]

Abstand vom Kern

Bindungsenergie E [eV]

2 s

↑ und ↓ besetzt

Nur ↑ besetzt, vier ↓ Wellen noch frei!

Bandlücke

Band

Band

Alternative Zuordnung:

↑ und ↓ besetzt

Nur zwei Paare ↑ ↓ besetzt, zwei Paare sind noch frei!

1 1s ↓

2 1s ↓

3 1s ↓

4 1s ↓

1 1s ↑

2 1s ↑

3 1s ↑

4 1s ↑

1 2s ↓

2 2s ↓

3 2s ↓

4 2s ↓

1 2s ↑

2 2s ↑

3 2s ↑

4 2s ↑

Zwei freie Wellenzahlen (↑↓) in der 2s Schale des Li-Kristalls

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1 s

mal 0,0529 [nm]

Abstand vom Kern

Bindungsenergie E [eV]

2 s

Bandlücke

Band

Band

↑ und ↓ besetzt

Nur zwei Paare ↑ ↓ besetzt, zwei Paare sind noch frei!

Leiter

Freie Plätze im „Band“, elektrische Leiter

• Freie Wellenzahlen in einem Band erlauben den Elektronen – Energie und – Impuls (p=ħ·k)

aufzunehmen, – das Material ist elektrisch leitfähig

• Im Beispiel der Li-Kristall

Voll Besetzte Bänder, Nichtleiter

Voll besetzt ist ein Band, wenn alle Wellenzahlen vergeben sind

• In diesen Bändern können die Elektronen keine Energie und keinen Impuls aufnehmen– Im Beispiel der He-Kristall

• diese Materialien sind Nichtleiter

Volle Besetzung des 1s Niveaus des He Kristalls

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1 s

mal 0,0529 [nm]

Abstand vom Kern

Bindungsenergie E [eV]

Energie Band ↑ und ↓ besetzt

Nichtleiter

Kleine Bandlücke: Halbleiter

Bei genügend kleiner Bandlücke • Zwischen einem voll besetzten und• dem nächsten, unbesetzten Band

genügt eine kleine Energiezufuhr, um das Material vom nichtleitenden in den leitenden Zustand zu überführen

• Diese Materialien nennt man Halbleiter

Modell eines Halbleiters: Kleine Bandlücke über dem Valenzband

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

1 s

mal 0,0529 [nm]

Abstand vom Kern

Bindungsenergie E [eV]

2 s

↑ und ↓ besetzt

↑ und ↓ besetzt

Bandlücke

Band

Valenz Band

Leitungs BandLeeres Leitungsband

Halbleiter

Kleine Bandlücke

Zusammenfassung

Klassisch: • Energieniveaus eines freien Atoms

• Energie des Bohrschen Atommodells– Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei

Annäherung eines zweiten AtomsQuantenmechanik:• Alle Elektronen eines Bandes bilden eine

quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet – Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im

„Kasten“ • Daraus resultiert das Bändermodell für

– Isolator– Halbleiter– Leiter

Formel-zeichen

Wert SI Einheit Anmerkung

e 1,60 10-19 1 C Elementarladung

1,05 10-34

1 JsPlancksches Wirkungsquantum

h 6,63 10-34

me 9,11 10-31 1 kgMasse des Elektrons

8,85 10-12 1 F/mElektrische Feldkonstante

Konstanten

,

0