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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA (Creada por ley N° 25265)
VICERRECTOR DE INVESTIGACION
FACULTAD DE EDUCACIÓN
ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICA - COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA
INFORME FINAL
LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN: MATEMÁTICAS APLICADAS
PARA OPTAR EL TITULO PROFESIONAL DE LICENCIADO EN
EDUCACIÓN SECUNDARIA ESPECIALIDAD
MATEMÁTICA - COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA
PRESENTADA POR:
LAZARO UNOCC, ISMAEL
QUICHCA SANCHEZ, WALTER
HUANCAVELICA, PERÚ
2018
ENFOQUE DE PARZYSZ SOBRE LOS NIVELES DE
PENSAMIENTO GEOMÉTRICO Y SOFTWARE GEOGEBRA EN
ESTUDIANTES DEL 2° GRADO SECUNDARIA, HUANCAVELICA
ii
A mis padres Evaristo y Rosalía que incondicionalmente me
brindaron sus consejos, su tiempo, su dedicación y su
preocupación en cada momento de mi vida.
Walter
A mis padres María y Felipe por las grandes muestras de amor
y apoyo incondicional en mis momentos más difíciles. A mi
hermano Juan, quien me motivó a iniciar y concluir esta nueva
etapa profesional de mi vida.
Ismael
iii
Asesor:
Mg. Félix Amadeo Canales Conce
iv
AGRADECIMIENTO
El trabajo de investigación se consolidó gracias a las recomendaciones, aportes y críticas de las
personas que participaron en el proceso de la ejecución. En particular quedo muy agradecido a
los docentes de la especialidad de Matemática – Computación e Informática, por inculcarme a
realizar una investigación dentro de la realidad huancavelicana y por brindarme sus experiencias
académicas y científicas en el trascurso de mis estudios de pregrado, del mismo modo al asesor
Mg. Félix Amadeo Canales Conce por las orientaciones y sugerencias en la aplicación de la
investigación, por toda la dedicación que le ha brindado a esta investigación, por guiarme para
realizar un buen trabajo con exigencia y sobre todo por su valioso tiempo compartido conmigo,
es usted un excelente maestro.
A los miembros del jurado al Dr. Cerapio Nicéforo Quintanilla Cóndor, Mg. Ubaldo Cayllahua
Yarasca y Dr. Humberto Garayar Tasayco, por sus pertinentes observaciones y sugerencias para
mejorar le investigación y realizar un buen trabajo de investigación.
A los profesores Dr. Daker Riveros Anccasi por sus sabias enseñanzas en el curso de
investigación, así mismo al profesor Lic. Edgar Yalli Huamán, por su apoyo incondicional y
disposición de tiempo valioso en esta investigación.
A la directora María Peralta Amancay y docentes de la Institución Educativa “Velasco
Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa, en especial a los alumnos del 2º grado por el interés
de aprender con el material propuesto y por la voluntad de ampliar sus conocimientos dentro de
su contexto sociocultural.
A Dios, por darme la fortaleza en cada paso que doy en la vida, quien supo guiarme por el buen
camino, darme la fuerza y por poner en mi camino a las personas que tuvieron un rol importante
para que hiciera realidad esta meta anhelada.
A nuestros padres y familiares quienes nos apoyaron en toda nuestra formación profesional y
habernos apoyado moralmente para poder superar todas nuestras dificultades que tuvimos
durante los años de estudio.
A mis compañeros de la Universidad Nacional de Huancavelica, en especial a los de mi
promoción Ángel, Karina, Jemmy, Maximiliano y Albert, por sus consejos y apoyo incondicional
como hermanos de una sola casa a lo largo de nuestra formación profesional.
v
ÍNDICE
Asesor: .............................................................................................................................. iii Agradecimiento .................................................................................................................. iv Índice ................................................................................................................................. v Resumen .......................................................................................................................... vii
Introducción ..................................................................................................................... viii
CAPÍTULO I ........................................................................................................................ 1 Planteamiento del problema ................................................................................................. 1
1.1. Descripción del problema .................................................................................. 1 1.2. Formulación del problema ................................................................................. 2 1.3. Objetivo general y específicos ........................................................................... 3
1.3.1. Objetivo general ..................................................................................................... 3 1.3.2. Objetivos específicos ............................................................................................. 3
1.4. Justificación ....................................................................................................... 3
CAPÍTULO II ....................................................................................................................... 5
Marco teórico ...................................................................................................................... 5 2.1. Antecedentes de estudio ..................................................................................... 5 2.2. Bases teóricas ................................................................................................... 8
2.2.1. Geometría euclidiana ............................................................................................. 8 2.2.2. Clasificación de la geometría Euclidiana ................................................................ 9 2.2.3. Pensamiento geométrico ....................................................................................... 9 2.2.4. Pensamiento geométrico de Parzysz ................................................................... 10 2.2.5. Parzysz ................................................................................................................ 11
2.2.6. Poliedros .............................................................................................................. 13 Elementos geométricos fundamentales de los poliedros regulares convexos son los siguientes: ........................................................................................................................... 13 2.2.7. Clasificación de poliedros .................................................................................... 13 2.2.8. Cuerpos geométricos ........................................................................................... 15 2.2.9. Solidos platónicos ................................................................................................ 18 2.2.10. GeoGebra ............................................................................................................ 19 ¿Qué es GeoGebra? ........................................................................................................... 20
2.3. Definición de términos básicos ........................................................................ 27 2.4. Hipótesis .......................................................................................................... 28
Hipótesis General. ............................................................................................................... 28 2.5. Identificación de variables ............................................................................... 28 2.6. Operacionalización de variables e indicadores ................................................ 29
CAPÍTULO III .................................................................................................................... 30
Metodología De La Investigación ........................................................................................ 30 3.1. Tipo y nivel de investigación ........................................................................... 30
Tipo De Investigación: ......................................................................................................... 30 Nivel De Investigación: ........................................................................................................ 30
3.2. Método de investigación .................................................................................. 30 3.3. Diseño de investigación ................................................................................... 31 3.4. Población, muestra y muestreo ........................................................................ 31 3.5. Técnicas e instrumentos de recolección de datos ............................................ 32
3.6. Tratamiento estadístico .................................................................................... 32
CAPÍTULO IV .................................................................................................................... 33
Resultados ........................................................................................................................ 33
vi
4.1. Presentacion de resultados ............................................................................... 33
Descripción de las actividades y Análisis del pre test y post test de tres estudiantes ......... 33 Cuadro 21. Descripción de los resultados cuantitativos pre_test y post_test de los estudiantes. ......................................................................................................................... 51 Comprobación estadística de la hipótesis ...................................................................... 52
4.2. Discusión ......................................................................................................... 54
Conclusiones .................................................................................................................... 56 Sugerencias ...................................................................................................................... 57
Referencia Bibliográfica...................................................................................................... 58 Matriz de consistencia .................................................................................................... - 62 - Operacionalización de variables e indicadores ..................................................................... 64 Planificación de la sesión de aprendizaje ....................................................................... 78
vii
RESUMEN
Analizar los niveles del Desarrollo del Pensamiento Geométrico de Parzysz al estudiar los
poliedros regulares convexos con material concreto y GeoGebra en estudiantes del 2do. grado
de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes,
Huancavelica. El tipo de investigación fue básica, con un nivel descriptivo, se utilizó como
método general el científico y como métodos específicos la ingeniería didáctica de Artigue; la
población de estudio estuvo conformado por la totalidad de estudiantes matriculados en la I. E.
“Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes, Huancavelica, la
muestra es no probabilística, conformado por 22 estudiantes del 2do. Grado, las técnicas
utilizadas fue la de fichaje y de observación cuyo instrumento fue la prueba pedagógica. Los
estudiantes lograron reconocer y mencionar características de los poliedros regulares, al
manipularlo con material concreto (plantillas de poliedros hechos de cartulina) como el número
de caras, números de vértices y números de aristas de todos los poliedros, el cual permitió
identificar la etapa G0 del Desarrollo del Pensamiento Geométrico. Del mismo modo los
estudiantes hicieron uso de las ecuaciones para realizar los cálculos de área y volumen de los
sólidos y corroboraron sus resultados mediante el uso del software GeoGebra, por ello
afirmamos que se encuentran en la etapa G1 de acuerdo a la teoría del Desarrollo Pensamiento
Geométrico. Por lo que se concluye las actividades con material concreto y el uso del software
GeoGebra nos permiten afirmar que es importante usar primero el material concreto en los
estudiantes del 2do. grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia
de Angaraes, Huancavelica, donde: G0: es la geometría concreta donde las actividades se
realizan con materiales concretos; G1: es la geometría espacio grafica donde los estudiantes
pueden conjeturar y hacer constataciones; G2: proto - axiomática, es cuando ocurre la
concepción y G3: geometría axiomática, es la geometría axiomática propiamente dicha; así como
el uso pertinente de las herramientas del GeoGebra en 3D permitieron el desarrollo de la
percepción es decir ir entendiendo y percibiendo los poliedros de forma dinámica con material
concreto y el uso de la tecnología, tal es así que los estudiantes desarrollaron su pensamiento
geométrico y transitaron del nivel G0 al G1.
Palabras claves: Pensamiento Geométrico, GeoGebra y Enfoque de Parzysz.
viii
INTRODUCCIÓN
Señores miembros del Jurado Calificador, de acuerdo con las normas que rigen la investigación
dentro de nuestra Facultad de Educación, someto a consideración el trabajo de investigación que
lleva por título: “enfoque de Parzysz sobre los niveles de pensamiento geométrico y software
GeoGebra en estudiantes del 2° grado secundaria, Huancavelica”.
El estudio que pongo a consideración está orientado a analizar los niveles del Desarrollo del
Pensamiento Geométrico de Parzysz al estudiar los poliedros regulares convexos con material
concreto y GeoGebra en estudiantes del 2do. grado de la I.E. “Velasco Pucapampa”. Y cuya
finalidad es identificar las etapas del Desarrollo del Pensamiento Geométrico de Parzysz al
estudiar los poliedros regulares convexos con material concreto y distinguir las etapas y el
tránsito del Desarrollo del Pensamiento Geométrico al estudiar los poliedros regulares convexos
con el uso del software GeoGebra y sus herramientas en 3D.
La investigación está estructurada en cuatro capítulos, en el primer capítulo, se describe el
planteamiento del problema de investigación, resaltando la determinación del problema,
formulación del problema, objetivos, justificación y limitaciones de la investigación. En el segundo
capítulo, se enfoca el Marco Teórico, precisando investigaciones realizadas por otros
investigadores en el ámbito internacional, nacional y regional. También se organiza técnicamente
los diferentes temas que se sustenta en los niveles del Desarrollo del Pensamiento Geométrico
de Parzysz al estudiar los poliedros regulares, los cuales esclarecen y refuerzan al problema
estudiado, además se describen las variables de la investigación.
Dentro del tercer capítulo, se detalla la metodología de la investigación, que consiste en precisar
el tipo de investigación y sobre esa base el manejo de las técnicas e instrumentos de recolección
de datos. Y por último, en el capítulo IV, trata de la discusión de resultados, en ello contiene el
análisis e interpretación de los datos y resultados obtenidos a partir del instrumento aplicado a
los estudiantes del segundo grado como es el pre test al inicio de la investigación y luego de
haber desarrollado las actividades el post test, donde el procesamiento se ha efectuado
empleando la estadística descriptiva e inferencial.
1
CAPÍTULO I
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
El Ministerio de Educación (2014) uno de los problemas que atraviesa actualmente el Perú,
es la crisis en la educación, especialmente en la enseñanza - aprendizaje de las
matemáticas. Es innegable la importancia y trascendencia que adquieren las estrategias
(métodos y procedimientos didácticos) utilizados por el profesor para una buena enseñanza
de la matemática, sea cualquiera el nivel en que se imparte la asignatura. No obstante, ello,
es posible afirmar que muchos docentes tienen problemas para diseñar sus estrategias
de enseñanza combinando convenientemente métodos y procedimientos, para encarar
eficazmente su labor. La enseñanza de la matemática se torna, entonces, puramente
expositiva y verbalista. Deviene en el enunciado de propiedades, desarrollo de ejercicios de
parte del profesor, en una enseñanza de “pizarra y plumón” que relega al estudiante a un
papel secundario en el proceso, haciendo de él un indiferente receptor pasivo. Puede
afirmarse que, en términos generales, en nuestro medio el profesor de secundaria, no pone
el énfasis necesario, en la utilización de estrategias apropiadas para la enseñanza de la
asignatura.
Minedu, (2014), en la última evolución ECE 2015 a estudiantes de 2° grado de
secundaria en Lectura y Matemática. Con pruebas de evaluación aplicadas en formato de
lápiz y papel; estuvo los siguientes resultados:
- Por puntaje promedio. - Es el promedio aritmético de los puntajes, calculado a
través del modelo Rasch, el cual representa las habilidades logradas por los estudiantes de
un determinado grupo o estrato (DRE, UGEL, gestión y área de la IE, entre otros).
2
- Por niveles de logro. - Son las descripciones de los conocimientos y
habilidades que se espera demuestren los estudiantes en las pruebas aplicadas en la ECE.
Con ello, los estudiantes pueden ubicarse en alguno de los niveles según su desempeño y
el grado en que fueron evaluados. Los resultados de la región Huancavelica por provincias
fueron los siguientes:
Los resultados de las evaluaciones nacionales e internacionales que se han realizado en
nuestro país sobre el rendimiento de los estudiantes en el área de matemática, tanto de
Educación de Secundaria, son desalentadores y nos dan un referente negativo de la
gravedad de la situación relacionada con sus aprendizajes, pero también constituyen una
importante base para conocer las fortalezas, dificultades y necesidades del sistema
educativo, de manera que se pueda subsanar esta deficiencia formulando proyectos que
apunten a una educación matemática de calidad. Por tanto, esta problemática ha
llevado a dirigir la atención hacia el proceso de enseñanza y aprendizaje de la resolución
de problemas en matemática.
En los estudiantes del 2do. Grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de
Ccochaccasa provincia de Angaraes – Huancavelica, hay estudiantes con bajos niveles de
aprendizaje acerca de los poliedros regulares convexos, lo cual se evidencia en la
descontextualización de las actividades propuestas para el aprendizaje de la matemática,
además una de las causas evidentes por la que los alumnos presentan dificultades en la
resolución de problemas. Lo que se observa la enseñanza de la geometría mediante el
lápiz y papel el no desarrolla habilidades de visualización al pasar del plano al espacio
tridimensional.
Motivados por estas reflexiones es que nos permitimos formular el siguiente
problema de investigación:
1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
¿Cuál es el nivel de desarrollo del Pensamiento Geométrico de Parzysz al estudiar los
poliedros regulares convexos con material concreto y GeoGebra en estudiantes del 2do.
Grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes,
Huancavelica?
3
1.3. OBJETIVO GENERAL Y ESPECÍFICOS
1.3.1. OBJETIVO GENERAL
Analizar las etapas del desarrollo del pensamiento geométrico de Parzysz al estudiar
los poliedros regulares convexos con material concreto y GeoGebra en estudiantes del
2do. grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de
Angaraes, Huancavelica.
1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Identificar los niveles del desarrollo del pensamiento Geométrico de Parzysz al
estudiar los poliedros regulares convexos con material concreto en estudiantes del
2do. grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia
de Angaraes, Huancavelica.
Identificar los niveles del desarrollo del pensamiento Geométrico de Parzysz al
estudiar los poliedros regulares convexos con GeoGebra en estudiantes del 2do.
grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de
Angaraes, Huancavelica.
Distinguir las etapas y el tránsito del desarrollo del pensamiento geométrico al
estudiar los poliedros regulares convexos con GeoGebra en estudiantes del 2do.
grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de
Angaraes, Huancavelica.
1.4. JUSTIFICACIÓN
La presente investigación es relevante desde el punto de vista pedagógico porque brindará
información sobre cómo los estudiantes desarrollan sus capacidades y
competencias a través de las nuevas propuestas como es el caso de l a teoría de
Parzysz, el cual servirá para resolver problemas matemáticos en el dominio
Geométrico, y servirá de base para reflexionar sobre la labor realizada y mejorarla, de
modo que los aprendizajes en los estudiantes sean significativos.
Desde el punto de vista metodológico, el presente estudio ayudará a conocer los
niveles del pensamiento Geométrico bajo la metodología de la ingeniería didáctica de
Artigue, es decir sobre la concepción, realización, observación y análisis de enseñanza
bajo el soporte del software GeoGebra, que ayudara a los estudiantes a adquirir distintas
4
habilidades cognoscitivas y promueve en ellos actitudes positivas hacia la ciencia y
actitudes científicas.
Minedu, rutas de aprendizaje, (2015), De la misma manera, desde el punto de
vista social, también resulta de importancia, porque si se tiene en cuenta los niveles de
aprendizaje por los estudiantes está vinculado – entre otros factores – con el uso de
estrategias de enseñanza - aprendizaje, se debe tener en consideración las teorías
establecidas en las rutas de aprendizaje con mayor énfasis en el proceso de enseñanza –
aprendizaje, promoviendo en los nuevos educadores como parte de su formación
profesional, siendo este un factor importante para mejorar la calidad de la enseñanza –
aprendizaje de la Geometría.
5
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
2.1. ANTECEDENTES DE ESTUDIO
La presente investigación ha tomado como base importantes estudios realizados a
nivel internacional, nacional y local entre los cuales tenemos:
Larios (2006), en México, para identificar la rigidez geométrica y la preferencia de
propiedades geométricas en un ambiente de geometría dinámica en el nivel medio se
tuvo como muestra a los alumnos de tercer grado de secundaria (14 y 15 años) en
una localidad semi urbana cerca de la ciudad de Querétaro, México. Su objetivo
es manipulación dinámica de los objetos geométricos e identificar la rigidez
geométrica y la preferencia de propiedades geométricas en un ambiente de geometría
dinámica en el nivel medio, realizando una construcción y observar propiedades
geometrías y resulta que los equipos de trabajo pidieron identificar de acuerdo a
su nombre de pila, y así al final del trabajo recabaron conjunto de protocolos en
Cabrí; concluye que:
- La rigidez geométrica es un fenómeno relacionado con la visualización de las figuras
geométricas. Ocurre cuando hay una incapacidad del individuo para manejar
mentalmente una figura geométrica al no estar en ciertas posiciones estándares, o
no pueden imaginarla cuando se mueve (bajo una traslación) o cambia su forma; es
decir, cuando sus lados cambien de posición o sus ángulos se modifican.
- Estos fenómenos muestran que, desde nuestro punto de vista, los conceptos
figurales correspondientes no han sido aprehendidos por los estudiantes, ya que el
aspecto figural no es usado como recurso heurístico, sino como recurso referencial,
mientras que el aspecto conceptual en los estudiantes se ve restringido en su
aplicación, debido a que no ven la necesidad de apoyarse en las propiedades
geométricas al desarrollar sus tareas de construcción y explicación. Así, no hay
todavía una fusión entre los aspectos conceptuales y figurales, a pesar de los
diversos intentos de los alumnos por construir dibujos satisfactorios a la vista.
6
Tárraga (2008), estudió la relación entre el rendimiento en la solución de problemas y
factores afectivo-motivacionales en alumnos con y sin dificultades del aprendizaje,
su objetivo de estudio fue identificar a los elementos del sistema afectivo-motivacional
relacionados directamente con el rendimiento en solución de problemas, en 33
estudiantes resulta que los diferentes aspectos afectivo-motivacionales evaluados no
correlaciono de modo significativo y concluye:
- Que existe una relación significativa entre las actitudes hacia la solución de
problemas y el rendimiento en la solución de los mismos.
- El programa de entrenamiento en estrategias cognitivas y meta cognitivas de
solución de problemas produjo una mejora en la solución de problemas
matemáticos tradicionales similares a los empleados en la intervención y no
produjo efectos significativos en las variables afectivo-motivacionales evaluadas:
actitudes hacia las matemáticas, ansiedad ante las matemáticas, y las atribuciones
al rendimiento matemático.
Echevarria (2015), en una investigación cualitativa estudió sobre estudio de la
circunferencia desde la geometría sintética y la geometría analítica, mediado por el
GeoGebra, con estudiantes de quinto grado de educación secundaria Aplicó en
estudiantes de quinto grado de educación secundaria con el objetivo de analizar como
los estudiantes del quinto grado secundaria realizan el cambio de cuadros desde la
geometría sintética y analítica utilizando GeoGebra. De acuerdo a los resultados
obtenidos, se concluye:
1. Se consiguió que los estudiantes relacionaran procedimientos propios de la
geometría sintética, pero en el contexto de la geometría analítica; de esta manera,
el trabajo algebraico adquirió sentido para ellos ya que cada paso analítico
provenía de una acción geométrica.
2. El empleo del software GeoGebra permitió que los estudiantes pudieran comprobar
los resultados obtenidos en ambos cuadros, logrando que se centraran en las ideas
principales y no se perdieran con los cálculos.
3. Se verificó que era necesario que los estudiantes poseyeran conocimientos básicos
de geometría para poder establecer relaciones entre los cuadros de la geometría
sintética y de la geometría analítica.
7
4. En relación a los aprendizajes de los estudiantes al abordar problemas sobre
circunferencia desde la geometría sintética y también desde la geometría analítica,
y el uso del GeoGebra, se puede concluir que esto contribuyó a que los estudiantes
establecieran conexiones entre los cuadros de la geometría sintética y la geometría
analítica.
Gómez y Paitan (2013) en su tesis titulada: la influencia del software GeoGebra en el
aprendizaje de los triángulos en los estudiantes del 4° grado de secundaria de la
institución educativa francisca diez de Canseco de castilla, realizaron su estudio de
investigación en la I.E. mencionada y llegaron a la siguiente conclusión:
El software GeoGebra es un recurso didáctico valioso, que presenta distintas
potencialidades en la construcción, demostración y animación de figuras
geométricas, (triángulos) permitiendo un ambiente dinámico de aprendizaje y a la
vez predispone al estudiante al estudio de la matemática.
En el grupo experimental se observa que el 64.5 % del total del grupo que
equivale a 20 estudiantes, se encuentran en el nivel excelente, mientras que el
32.3 % se encuentra en el nivel bueno que equivale a 10 estudiantes y solo el
3.2% se encuentra en el nivel básico. Estos resultados nos hacen ver que hubo
cambios significativos respecto a la prueba de entrada, a consecuencia de la
aplicación del software GeoGebra en el aprendizaje del triángulo.
El nivel de aprendizaje promedio obtenido como resultado de la aplicación del
software GeoGebra con las estudiantes del 4° “C” que corresponde al grupo
experimental es 17.96 que evidencia el nivel de logro excelente, este resultado es
significativamente mejor que el promedio del grupo control que es 11,43.
Paucar, (2012). En su tesis titulada: Un estudio sobres la comprensión del concepto
de educación lineal desde la perspectiva de la teoría pirie y kieren, para optar el
Título de licenciatura en Educación secundaria, concluye que:
Los estudiantes, en la representación de forma básica de ecuación lineal se
restringen exclusivamente a la solución por transposición de términos y método
formal sin usar las propiedades de los números reales y sin la mínima
comprobación en las formas analíticas los estudiantes resuelven las situaciones
de manera mecánica con un procedimiento algorítmico sin justificación, esto
8
implica la diferencia para poder extender sus conocimientos a otros contextos
como ecuación fraccionaria, ecuación con dos variables, ecuaciones cuadráticas,
etc. Además, los estudiantes tienen mayores dificultades para resolver situaciones
de forma verbal o modelación de situaciones por falta comprensión del significado
de problemas y la deficiencia para traducir un problema literal a un lenguaje
algebraico o matemático además a falta de un dominio algorítmico básico.
El estudio demuestra que los estudiantes tienen dificultades para resolver
situaciones de forma verbal o modelación de situaciones por falta comprensión del
significado de problemas y la diferencia para traducir un problema literal a un
lenguaje algebraico o matemático, además la investigación demuestra que la
evolución de comprensión de los estudiantes del concepto de ecuación lineal en
forma general se mueve entre los cuatro primeros niveles de comprensión
alcanzado un nivel máximo de comprensión de observación de propiedad.
2.2. BASES TEÓRICAS
2.2.1. Geometría euclidiana
Anonimo, s.f. La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del
plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término
para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares.
Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría
plana y de varios conceptos, tales como el punto, la recta, la superficie y
mediante comparación de ángulos o longitudes.
El sistema de geometría fue desarrollado por Euclides (siglo III a.C.) en su libro
Elementos. El contenido básico de esta obra está compuesto por: Teoremas que
son deducidos a partir de una serie de axiomas, postulados y definiciones. A
principios del siclo III a. de C., en Egipto, el faraón helenista Ptolomeo I soter
(323 – 285 a. de C.) deseando modernizar los tratados de geometría existentes,
encomendó a Euclides escribir una compilación completa. El resultado fueron los
trece volúmenes de los elementos, a los que posteriormente se añadieron dos
más atribuidos a Hipsicles de Alejandría. Se cuenta que Ptolomeo pregunto a
Euclides si no había una manera más simple de aprender geometría que
estudiar los elementos a lo que el autor respondió: “no existe un camino real
hacia la geometría”
9
2.2.2. Clasificación de la geometría Euclidiana
2.2.2.1. Geometría plana. - es una parte de la geometría euclidiana que se trata
de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La
geometría plana está considerada parte de la geometría euclidiana,
pues esta estudia los elementos geométricos a partir de 2
dimensiones.
2.2.2.2. Geometría espacial. - la geometría espacial o del espacio es la rama de
la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de las figuras
geométricas en el espacio tridimensional o espacio Euclidio. Entre
estas figuras también llamamos sólidos, se encuentran el cono, el
cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los poliedros
regulares (los sólidos platónicos, convexos, también llamamos solidos
de Kepler – poinsot, no convexo) y otros poliedros.
La geometría espacial se basa en un sistema formado por tres ejes (X, Y,
Z):
- Ortogonal (perpendicular 2 a 2)
- Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de cada eje son
iguales)
- Dextrógiros (el tercer eje es un producto vectorial de los otros 2)
2.2.3. Pensamiento geométrico
El pensamiento es un proceso complejo que nos permite estudiar, procesar y
aprovechar la información que recibimos del medio para generar ideas y dar
solución a los diversos problemas que necesitamos resolver a cada momento de
nuestra vida. (Torres 2007, p.143)
Pensamiento matemático según Torres, (2007), afirma que:
… el pensamiento matemático es un proceso dinámico, que al
permitirnos aumentar la complejidad de las ideas que podemos manejar,
extiende nuestra capacidad de comprensión.
… El pensamiento matemático comienza con frecuencia con el proceso
de abstracción esto, es observar una similitud entre dos o más
acontecimientos u objetos. Los aspectos que tienen en común, ya sea
concretos o hipotéticos, se pueden representar por símbolos como los
10
números, letras, otros signos, diagramas, construcciones geométricas o
incluso palabras. (p. 153)
La geometría estudia los cuerpos, sus propiedades, las relaciones existentes entre
ellos, las propiedades y las características del espacio que permanecen
invariantes a través de posibles transformaciones de las figuras; estudia también
el espacio, los objetos que en él se encuentran y sus movimientos. El objetivo de
la enseñanza de la geometría en la escuela es ayudar al alumno a dominar sus
relaciones con el espacio para que pueda representar y describir en forma
ordenada el mundo en que vivimos y conocer los entes geométricos como
modelizaciones de la realidad. El punto de partida de ese conocimiento es el
tratamiento intuitivo de las nociones espaciales y geométricas. La construcción del
significado de los conceptos espaciales y geométricos se logrará a través de su
utilidad para resolver problemas.
2.2.4. Pensamiento geométrico de Parzysz
Portugal (2015), indica que el enfoque de Parzysz sobre los niveles de
pensamiento geométrico Parzysz, identificó diferentes tipos de geometrías y
propuso una clasificación que considera los objetos: físicos o teóricos y los
modos de validación como perceptivo o deductivo. Las cuales son:
G0: Geometría Concreta, donde los estudios geométricos se llevan a cabo a
partir de actividades con materiales concretos tales como maquetas, planos y
dobleces.
G1: Geometría Espacio-gráfica, los estudios en que aún se confunde la
Geometría y la realidad; donde los estudiantes pueden conjeturar y hacer
constataciones de propiedades empíricamente.
G2: Geometría Proto-Axiomática, cuando ocurre la concepción de un
esquema de la realidad donde las definiciones hacen sentido y los resultados
pasa a ser validados con técnicas deductivas.
G3: Geometría axiomática, es la geometría axiomática, propiamente dicha.
Por otra parte, Parzysz, considera desde el punto de vista didáctico, la
distinción entre estas geometrías se presenta en las rupturas de contrato
didáctico que se producen entre una y otra, es decir:
11
en el paso de G0 a G1, donde la materialidad de los objetos en cuestión
(madera, papel, paja, ...) juega un papel importante en la enseñanza y el
aprendizaje de conceptos geométricos.
en el paso de G1 a G2, se basa en la anchura de los trazos y puntos, y
la justificación de las propiedades se apoya en la percepción; finalmente,
en el paso de G2 a G3 donde la validación de las propiedades se basa
en la axiomática.
La articulación entre los niveles G1 y G2 son elementos esenciales en la
problemática de la enseñanza de Geometría para la Educación Básica, y
que debemos fijar los conceptos en juego y hacer su articulación.
Por ello, es importante integrar en una formación continua o inicial, una
reflexión sobre la limitación de las validaciones empíricas y de cuestionar la
evidencia de la figura.
2.2.5. Parzysz, (1988), afirma que:
Existe una dialéctica entre la adquisición (o refuerzo) de conocimiento en
geometría espacial y el dominio de representaciones 3D. Es obligatorio pasar
por una fase de uso de una representación 3D (modelo), incluso a nivel de
escuela secundaria. Creemos que es necesario para varias razones - para que
los alumnos aprendan a prescindir de ese tipo de representación, pero eso solo
puede hacerse después de un tiempo, cuando las imágenes mentales son
verdaderamente preparar. Hay una necesidad de hacer las reglas para dibujar
figuras espaciales explícitas. Este tipo de representación no es la preocupación
de más o menos brumoso convenciones, pero de propiedades geométricas
proyectivas. (Por lo tanto, hay una verdadera oportunidad de tener la dialéctica
mencionada arriba ...
La investigación se ha llevado a cabo en:
Los principios más o menos implícitos que subyacen a la decodificación (lectura)
y la codificación (producción) representaciones planas de figuras 3D por las
escuelas secundarias alumnos.
Una ingeniería didáctica que permite que estos principios se tengan en cuenta, y
hacer que evolucionen hacia la elaboración conceptual de un conjunto de reglas
dominadas conscientemente por los alumnos, dando a sus representaciones un
12
personaje operativo que no tienen al principio, y a cambio permitiendo que su
conocimiento progrese (Colmez, 1984; Bautier et al., 1987).
Mencionaremos aquí el primero de estos dos puntos, y comenzaremos con
arreglando los términos usados en lo que sigue:
- La figura es el objeto geométrico que se describe en el texto definiéndolo Cf.
Hayward y Sparkes, 1986, para la palabra clave "figura": "a fantasía, una
creación de la imaginación, una idea". (Esta es la razón por la cual, en el
presente texto, llamamos a nuestras ilustraciones "dibujos" en lugar de utilizar el
habitual término de "figuras").
- Esta figura es representada con mayor frecuencia. Cf. Hayward y Sparkes,
1986, para la palabra clave "representar": "para servir como una semejanza de
(...) reposar durante".
- La representación puede ser 2D (dibujo), si la figura pertenece al plano
geometría, 2D o 3D (modelo) si pertenece a la geometría del espacio.
La siguiente tabla esquematiza la relación entre la figura y sus diversas
representaciones. Se distinguen dos niveles de representación:
- Nivel I (representación cercana): la representación 'se asemeja' a la geométrica
figura: misma dimensión, aparte del paso de lo abstracto a lo concreto.
- Nivel 2 (representación a distancia): la dimensión de la representación es
estrictamente inferior a la de la figura.
Geometría
2D 3D
Nivel 0 Figura
Representación cercana Nivel 1 Dibujo Modelo
Representación a distancia Nivel 2 Dibujo
Existe necesariamente una pérdida de información cuando se pasa de un nivel
determinado a uno superior, y esa pérdida de información puede tener varias
causas. *Nivel 0 ~ nivel 1: no se puede mostrar todo en una representación;
para, Por ejemplo, los vectores no pueden aparecer, al menos de manera
directa
13
2.2.6. Poliedros
Según Aucallanchi, (2007):
Un poliedro es una región de espacio formado por la reunión de una superficie
poliédrica con todos sus puntos interiores.
En todo poliedro se distinguen sus caras, que son las regiones poligonales y sus
lados que son aristas del poliedro. Un poliedro es una clase de sólido y como tal
tiene volumen.
Al lado común a dos caras contiguas se le denomina arista y al punto de
concurrencia de tres o más aristas, vértice del poliedro.
Al segmento que tiene por extremos dos vértices que no pertenecen a una
misma cara se denomina diagonal del poliedro.
Es un cuerpo geométrico, limitado por caras planas poligonales, tales que cada
uno de sus lados pertenece a dos polígonos contiguos y dos polígonos
cualesquiera con un lado común pertenecen a distintos planos.
Cada cara que divide al espacio en dos semi espacios, deja al resto de las caras
en un solo semi espacio el poliedro se dice que es un “convexo”.
Si las caras son “polígonos regulares” y los ángulos poliedros que forman las
aristas son “regulares e iguales” el poliedro se denomina “regular”.
Elementos geométricos fundamentales de los poliedros regulares convexos son
los siguientes:
CARAS: son polígonos planas que lo limitan.
ARISTA: son los lados de las caras.
VERTICES: son los extremos de las aristas.
ANGULOS PLANOS: son los ángulos de las caras.
ANGULOS DIEDROS: son los ángulos formados por dos caras contiguas.
ANGULOS POLIEDROS: son los ángulos formados por las aristas
concurrentes, en cada uno de los vértices.
2.2.7. Clasificación de poliedros
Aucallanchi, (2007) clasifica a los poliedros de la siguiente manera:
Poliedros convexos y poliedros no convexos
Poliedro convexo. - un poliedro es convexo si todos los vértices quedan en
el mismo semiespacio respecto del plano que contiene a cada cara. En una
superficie convexa una recta secante lo interseca a lo más en dos puntos.
14
Poliedros no convexos. - un poliedro se llama no convexo, si los vértices
quedan en uno y otro semiespacio respecto al plano que contiene al menos a
una de sus caras. Una recta secante determina en el poliedro no convexo
más de dos puntos de intersección.
Poliedro regular
Definición. - se llaman poliedros regulares al poliedro cuyas caras son todas
polígonos regulares congruentes, comprobándose que en cada vértice
concurren un número igual de arista. En todo poliedro regular sus ángulos
diedros son congruentes, lo mismo que sus ángulos poliedros.
Los poliedros regulares son:
Tetraedro regular.- limitado por cuatro triángulos equiláteros unidos de tres
en tres. En un tetraedro regular su altura cae en el centro de su base, es decir
en el baricentro indicado por el punto.
Hexaedro regular.- limitado por seis cuadrados unidos de tres en tres.
Octaedro regular.- limitado por ocho triángulos equiláteros unidos de cuatro
en cuatro.
Dodecaedro regular. - limitado por doce pentágonos regulares unidos de
tres en tres.
Icosaedro regular. - limitado por veinte triángulos equiláteros unidos de
cinco en cinco
Siurot, (1872) afirma que:
Los poliedros se pueden nombrar y clasificar según distintos criterios. Se podrían
hacer muchas consideraciones al respecto, pero hemos pensado que lo mejor
simplificar la situación para poder entenderlo mejor.
Clasificación según sus números de caras. - para ello, se cuenta el
número total de caras de un poliedro, se construye su nombre utilizando
términos provenientes del griego clásico: tetraedro, pentaedro, hexaedro,
heptaedro… (la primera parte indica el número de caras y la partícula “edro”
significa “cara”).
Según su regularidad. - se clasifica en poliedros regulares e irregulares.
Para que un polígono sea regular, debe tener todo sus caras, arista y
15
ángulos iguales. Lo que pasa es que solo existen cinco poliedros que
tengan estas características. También se les llama solidos platónicos.
Convexo y cóncavos. - se considera que un poliedro es convexo si dos
puntos cualesquiera del poliedro se pueden unir con una línea que no salga
del poliedro. La mayoría de poliedros cóncavos tienen algún ángulo mayor
de 180°. Muchos poliedros cóncavos se consideran “poliedros estrellados”.
Según Rangel Los poliedros se clasifican como se señala en la siguiente tabla:
2.2.8. Cuerpos geométricos
Guillem y Claramunt (1998), clasificación y propiedades de poliedros, define de la siguiente manera:
a) Tetraedro. - es un poliedro regular de 4 caras, siendo cada una de ellas un
triángulo equilátero. A parte de ser un poliedro regular, es uno de los 8
poliedros convexos denominados deltaedros, que son poliedros cuyas caras
son triángulos equiláteros iguales. Reciben este nombre por la letra griega
delta (▲), cuya forma es la de un triángulo equilátero. Sus características
16
de unos tetraedros regulares son vértice (4), aristas (6), aristas por vértice
(3).
b) Hexaedro es un polígono convexo de seis caras. Al ser convexo, sus caras
deben tener forzosamente cinco lados como máximo. En esta sección nos
centramos en el exaedro regular (más conocido como cubo), en el que sus
lados tienen cuatro caras y son cuadrados perfectos. Su característica es
vértice (8), arista (12), arista por vértice (3).
c) Octaedro.- es un polígono de 8 caras que pueden ser cóncavo o convexo y
cuyas caras han de tener como máximo 7 lados. En el octaedro regular, que
es el que vamos a estudiar, las caras están formadas por triángulos
equiláteros. Este poliedro también forma parte del grupo de poliedros
deltaedros.
17
d) Dodecaedro. - es un poliedro de 12 caras, teniendo dichas caras que tener
obligatoriamente 11 lados como máximo. En los dodecaedros regulares, el
polígono que conforma las caras es un pentágono regular.
e) Icosaedro.- es un poliedro formado por 20 caras, cuyo máximo número de
lados es de 19. El icosaedro regular es el último de los poliedros llamados
platónicos y sus caras son triángulos equiláteros, por lo que también es un
deltaedro.
18
2.2.9. Solidos platónicos
Zenil (2011), la primera referencia escrita cónica proviene acerca del
surgimiento de la noción geométrica de los poliedros regulares atreves de su
construcción, en particular del estudio de Pitágoras y Teoteto, en donde
describen propiedades de dos grupos de poliedros regulares, por un lado,
Pitágoras estudia el cubo, el tetraedro y el octaedro mientras que Teoteto el
dodecaedro y el icosaedro. Sin embargo, el conocimiento completo de los
poliedros regulares, que implica además el conocimiento acerca de la
imposibilidad de que existan otros es clara ni en el trabajo de Pitágoras ni el de
Teoteto sino hasta el de Euclides y sus elementos. Sin embargo, debido a que
Pitágoras y Teoteto son los primeros en describirlos (y de quienes se
preservaron sus trabajos hasta la actualidad) se les atribuye el descubrimiento
de estos objetos, al grado de llamárselos sólidos platónicos.
… la concepción de Platón acerca de las matemáticas colocaba a estas como
intermediarias entre el mundo de las ideas y el de las cosas. Así para él, y los
que suscribían a sus creencias, esta disciplina no solo jugaba un papel
fundamental en el conocimiento, si no que era considerado el único puente
entre las ideas puras e inmutables y el mundo físico, imperfecto y cambiante.
19
En el estudio de los objetos ideales y perfectos Platón encontró cinco poliedros
regulares que menciona en su obra “timeo”, obra que trata acerca de la
formación del “Alma o Cuerpo del mundo”, una extraña combinación de
filosofía, tecnología y numerología, cuyo objeto era el análisis del origen del
universo, del hombre y de la sociedad, para Platón, en el tineo, la construcción
y el desarrollo del cosmos se efectúa según una progresión geométrica a los
cinco poliedros regulares se les llama solidos platónicos porque Platón en uno
de sus diálogos más significativos: el tineo, en el que se explícala construcción
del universo, establece una asociación entre ellos y los elementos
fundamentales de los que este está compuesto, que según sostenían los
griegos estaba hecho con átomos de agua, aire, tierra y fuego
2.2.10. GeoGebra
De acuerdo a Hohenwarter (2002), el programa GeoGebra fue ideado por
Markus Hohenwarter en el marco de su trabajo de tesis de Master,
presentada en el año 2002 en la Universidad de Salzburgo, Austria. Se
esperaba lograr un programa que reuniera las virtudes de los programas de
geometría dinámica, con las de los sistemas de cálculo simbólico. El creador
de GeoGebra valoraba todos estos recursos para la enseñanza de la
matemática, pero notaba que para el común de los docentes, los programas
de cálculo simbólico resultaban difíciles de aprender, dada la rigidez de su
sintaxis, y que por esta razón evitaban su uso. Por otro lado, observaba que
los docentes valoraban de mejor manera los programas de geometría
dinámica, ya que su interfaz facilitaba su utilización. Así fue como surgió la
20
idea de crear GeoGebra. Rápidamente el programa fue ganando popularidad
en todo el mundo y un gran número de voluntarios se fue sumando al
proyecto desarrollando nuevas funcionalidades, materiales didácticos
interactivos, traduciendo tanto el software como su documentación a decenas
de idiomas, colaborando con nuevos usuarios a través del foro destinado
para tal fin. En la actualidad, existe una comunidad de docentes,
investigadores, desarrolladores de software, estudiantes y otras personas
interesadas en la temática, que se nuclean en los distintos Institutos
GeoGebra locales que articulan entre sí a través del Instituto GeoGebra
Internacional.
¿Qué es GeoGebra?
Según Hernandez (2014), define que:
GeoGebra es un Programa Dinámico para la Enseñanza y
Aprendizaje de las Matemáticas para educación en todos sus
niveles. Combina dinámicamente, geometría, álgebra, análisis y
estadística en un único conjunto tan sencillo a nivel operativo
como potente. Ofrece representaciones diversas de los objetos
desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas,
algebraicas, estadísticas y de organización en tablas y planillas,
y hojas de datos dinámicamente vinculadas.
¿Por qué es interesante utilizar el geogebra?
Las característica más destacable de GeoGebra es la doble percepción de
los objetos, ya que cada objeto tiene dos representaciones, una en la Vista
Gráfica (Geometría) y otra en la Vista Algebraica (ÁlGebra). De esta forma,
se establece una permanente conexión entre los símbolos algebraicos y las
gráficas geométricas. Todos los objetos que vayamos incorporando en la
zona gráfica le corresponderá una expresión en la ventana algebraica y
viceversa.
21
Caracteristicas de geogebra
Facilidad para crear una página web dinámica a partir de la construcción
creada con Geogebra, sin más que seleccionar la opción
correspondiente en los menus que ofrece..
Permite abordar la geometría y otros aspectos de las matemáticas, a
través de la experimentación y la manipulación de distintos elementos,
facilitando la realización de construcciones para deducir resultados y
propiedades a partir de la observación directa.
Es gratuito y de código abierto (GNU GPL).
Está disponible en español, incluido el manual de ayuda.
Presenta foros en varios idiomas, el castellano entre ellos.
Usa la multiplataforma de Java, lo que garantiza su portabilidad a
sistemas de Windows, Linux, Solaris o MacOS X.
¿POR QUE ES INTEREZANTE UTILIZAR GEOGEBRA?
GeoGebra permite abordar la geometría desde una forma dinámica e
interactiva que ayuda a los estudiantes a visualizar contenidos matemáticos
que son más complicados de afrontar desde un dibujo estático.
También permite realizar construcciones de manera fácil y rápida, con un
trazado exacto y real, que además, revelarán las relaciones existentes entre
la figura construida; también permitirá la transformación dinámica de los
objetos que la componen
De Albornoz (2009), sostiene que:
El significado de geometría dinámica lo podemos resumir diciendo que se
trata de un programa con una serie de elementos u objetos elementales
22
(puntos, segmentos, circunferencias, polígonos, etc.), a partir de los cuales es
posible construir nuevos objetos, así como establecer relaciones entre ellos,
de manera que, al cambiar las condiciones de los objetos iniciales, se
mantengan las relaciones existentes entre ellos, previamente establecidas a
través de un conjunto de herramientas disponibles.
Cabri Géomètre, Geómetra, Cinderella, Regla y compás, KGeo, Dr. Genio o
GeoGebra son algunos de estos programas con características similares en
cuanto a la forma de trabajar, pero con diferencias en cuanto al conjunto de
herramientas que ofrecen y en las posibilidades para establecer o construir
relaciones entre los distintos objetos.
Con un programa de geometría dinámica se pueden construir distintos
objetos de manera fácil y rápida, con un trazado exacto y real, que, además,
revelarán las relaciones existentes en la figura construida; además, permitirá
la transformación de los objetos que la componen, actualizando las relaciones
existentes con facilidad y rapidez.
La utilización de un programa de geometría dinámica permitirá abordar la
geometría y otros aspectos de las matemáticas, a través de la
experimentación y la manipulación de distintos elementos, facilitando la
realización de construcciones para deducir resultados y propiedades a partir
de la observación directa.
GeoGebra es un programa sencillo y fácil de utilizar, lo que permitirá que,
desde el primer instante, sea posible realizar construcciones y afrontar la
resolución de problemas a través de las herramientas y opciones que ofrece.
LA VENTANA DE TRABAJO DE GEOGEBRA
La pantalla inicial de GeoGebra presenta el siguiente aspecto, y en ella
encontramos los elementos siguientes:
23
• Barra de título: contiene el nombre del programa y el nombre del archivo
abierto.
• Barra de menús: contiene diferentes menús desplegables que facilitan el
trabajo con archivos y determinan la configuración del programa. Los menús
corresponden a Archivo, Edita, Vista, Opciones, Herramientas, Ventana y
Ayuda.
• Barra de herramientas: contiene distintas opciones para realizar
construcciones geométricas, información de la herramienta seleccionada, y
los botones para deshacer y rehacer las acciones realizadas.
- Ventana de trabajo: área en la que se realizarán las diferentes
construcciones geométricas, que denominamos hoja de trabajo.
- Ventana algebraica: ofrecerá la información del proceso realizado,
indicando los objetos libres, dependientes y los auxiliares que también se
podrán mostrar.
- Campo de entrada: permite introducir expresiones, además de las
opciones para seleccionar distintas funciones, caracteres o comandos.
PRIMERAS CONSTRUCCIONES
24
Con GeoGebra cualquier construcción se realiza de manera análoga a como
se haría utilizando herramientas tradicionales como son la regla y el compás,
o con papel y lápiz.
Por ejemplo, un triángulo se construirá a partir de sus tres vértices, una recta
se dibujará a partir de un punto y una dirección o a partir de dos puntos; en
general, es recomendable pensar cómo se realizaría con papel antes de
utilizar las herramientas disponibles en GeoGebra.
Otra consideración que se debe tener en cuenta es que, para utilizar un
objeto, previamente se debe crear o señalar.
Según Ponse, s. (1993). El GeoGebra es un programa que permite explorar
nociones matemáticas desde distintas perspectivas. Combina un manejo
icónico de las operaciones con programación entrada instrucciones por una
línea de comandos. Eso lo hace muy versátil e instructivo, ya que lo icónico
resulta más intuitivo para los estudiantes y de ese modo se les puede
introducir, por ejemplo, nociones de programación. Cuando se abre el
programa aparece una vista gráfica, una algebraica y abajo, una barra de
entrada donde se puede escribir comandos. Esto refleja lo que lo que
acabamos de decir: por un lado, de la visualización y por el otro las
expresiones algebraicas y la programación. En este tutorial vamos a explorar
solo algunas de las herramientas que brinda el GeoGebra. En primer lugar,
“visitaremos” algunas de las posibilidades económicas y luego nos
centraremos en una actividad alrededor del tema “rectas”. El tutorial fue
escrito utilizando una visión de GeoGebra en ingles por lo que algunos
nombres pueden deferir respecto de los que se usan en la versión en
castellano.
25
Vista en 3D en geogebra
26
Ejemplo: un octaedro en la vista 2D y 3D
Rectas y los puntos
Comencemos construyendo una recta. Para ello clicyamos con el boton ezquierdo el iconico
correspondiente (ver el que aparece en la figura) y despues vamos a la zona grafica, cliqyamos
27
con el boton izquierdo en un punto (en el ejemplo de la figura el punto (1,1)) y alli aparece una
recta …
2.3. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS BÁSICOS
ENFOQUE: es el punto de vista que se toma a la hora de realizar un análisis, una
investigación, una teorización, etc.
Según el epistemólogo marido Bunge, es un cuerpo de conocimiento pre existente,
junto a una interpretación de problemas, un conjunto de objetivos y una colección de
métodos, un arquetipo que marca una conducción.
NIVEL: La palabra nivel es aplicada para describir el cambio de altura que puede
poseer una superficie totalmente horizontal; la superficie puede ser cualquier estado.
Según el contexto el término nivel se refiere a la posición relativa de determinados
conjuntos de elementos en su disposición en diferentes planos.
PUNTO: es una ubicación sin dimensiones: indica solo posición. Los puntos no tienen
tamaño. Se representan con una marca redonda no gruesa y son nombrados con la
letra mayúscula.
28
RECTA: Es la unión de una infinidad de puntos. Se extiende indefinidamente en ambos
sentidos y no tienen grosor ni ancho. Se muestra con flechas en cada extremo y de
nombra utilizando dos puntos que estén en ella. Una recta posee una dimensión, y
contiene infinitos puntos.
PLANO: es una superficie infinita, que solo posee dos dimensiones, contiene infinitos
puntos y rectas y se extiende infinitamente en todas las dimensiones. Los planos
suelen nombrarse con una letra del alfabeto o tres puntos no colineales (puntos que no
están en una misma recta).
GEOGEBRA: es un software matemático interactivo libre para la educación en
colegios y universidades. Su creador Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el
año 2001 en la universidad de Salzburgo y lo continua en la universidad de atlántic y
florida.
ENSEÑANZA: acción y efecto de enseñar (instruir, adoctrinar y amaestrar con reglas o
preceptos). Se trata del sistema y método de dar instrucción, formado por el conjunto
de conocimientos, principios e ideas que se enseñan a alguien.
MÉTODO: es una palabra que proviene del término griego methodos (“camino” o “vía”)
y que se refiere al medio utilizado para llegar a un fin. Su significado original señala el
camino que conduce a un lugar.
MATEMÁTICA: La matemática es la ciencia deductiva que se dedica al estudio de las
propiedades de los entes abstractos y de sus relaciones. Esto quiere decir que las
matemáticas trabajan con números, símbolos, figuras geométricas, etc.
2.4. HIPÓTESIS
HIPÓTESIS GENERAL.
El estudio de los poliedros regulares convexos mediante material concreto y el
GeoGebra permitirán desarrollar los niveles del pensamiento geométrico de la
percepción a nivel de la geometría no axiomática en los estudiantes de 2° grado de la
I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia Angaraes,
Huancavelica.
2.5. IDENTIFICACIÓN DE VARIABLES
Variable 1: Desarrollo del Pensamiento Geométrico de Parzysz
29
Variable 2: Poliedros regulares convexos.
2.6. OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES E INDICADORES
Variable 1: Desarrollo del Pensamiento Geométrico de Parzysz
Variable 2: Poliedros regulares.
VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES
Pol
iedr
os
reg
ular
es
Regulares Tetraedro
Exaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Estrellado Dodecaedro
Icosaedro
VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES D
esar
rollo
del
Pen
sam
ient
o
Geo
mét
rico
de
Par
zysz
Geometría no axiomática
(objetos físicos)
G0: Geometría Concreta
G1: Geometría Espacial Grafica
Geometría axiomática
(objetos teóricos)
G2: Geometría proto - axiomática
G3: Geometría Axiomática
30
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
3.1. TIPO Y NIVEL DE INVESTIGACIÓN
TIPO DE INVESTIGACIÓN:
El trabajo de investigación de acuerdo con las características de la hipótesis formulada y
los objetivos propios de la de la misma corresponde al tipo de Investigación aplicada,
según Sánchez y Reyes (2006) se define como aquella que tiene por finalidad primordial
la resolución de problemas prácticos que transformen las condiciones del acto didáctico
y mejorar la calidad educativa. Ya que como parte de nuestra investigación se aplicaron
sesiones de aprendizaje haciendo uso de las etapas del pensamiento geométrico de
Parzysz, en estudiantes del 2do. Grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de
Ccochaccasa provincia de Angaraes, Huancavelica.
NIVEL DE INVESTIGACIÓN:
El trabajo de investigación corresponde al nivel descriptivo y a través de este estudio nos
hemos permitido conocer el fenómeno como es y de la manera que se manifiesta. Tal
como lo precisa Yarlequé (2011), cuando se sabe muy poco acerca de un fenómeno, el
interés de los investigadores, se centran en describirlo haciendo uso del método
descriptivo. Por lo que, se analizara las etapas del desarrollo del pensamiento
geométrico, con la finalidad de indagar y conocer en los estudiantes del 2do. Grado de la
I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes,
Huancavelica.
3.2. MÉTODO DE INVESTIGACIÓN
MÉTODO GENERAL:
Método Científico. - Permitió orientar, guiar y dar soluciones a los diferentes
problemas que se presentaron en el desarrollo del trabajo de investigación.
Procedimientos: Formulación del problema, Enunciación de la Hipótesis,
Experimentación y Aplicación.
31
MÉTODOS ESPECÍFICOS:
La ingeniería didáctica de Artigue.- se caracteriza por un esquema experimental
basado en las “realizaciones didácticas” en clase, es decir sobre la concepción,
realización, observación y análisis de enseñanza. En nuestro caso desarrollaremos
un trabajo experimental en el ámbito de la enseñanza y aprendizaje en clase con
estudiantes del 2do. Grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de
Ccochaccasa provincia de Angaraes – Huancavelica., sobre los poliedros regulares
convexos como objetos matemáticos. Así mismo nuestra investigación se ubica
dentro del micro ingeniería, porque es “puntual” y nos permite de manera local
observar la complejidad de los fenómenos ocurridos en clase. Las fases de la
Ingeniería Didáctica de Artigue son:
1. Análisis preliminar
2. Análisis de pre test
3. Experimentación
4. Análisis de post test
3.3. DISEÑO DE INVESTIGACIÓN
La investigación adoptada el diseño pre experimental, ya que nos permite identificar,
describir, analizar e interpretar de manera sistemática hechos relacionados con las
etapas de desarrollo del pensamiento geométrico de los estudiantes del 2do. Grado de
la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes –
Huancavelica.
De ahí que su esquema es:
O1 X O2
Donde:
M = Muestra
O1= observación de pretest
O2 = Observación de post test
x= Variables de estudio.
3.4. POBLACIÓN, MUESTRA Y MUESTREO
Población: La población de estudio estuvo conformado por la totalidad de estudiantes
matriculados en la I. E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de
Angaraes, Huancavelica.
32
Muestra: La muestra de estudio está dado por 22 estudiantes del 2do. Grado de la I.E.
“Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes, Huancavelica.
Muestreo: El tipo de muestreo es no probabilístico de manera intencionado, por
cuestiones administrativas de la I.E. Velasco Pucapampa se seleccionó el 2do grado.
3.5. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS
TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE DATOS:
En el trabajo de investigación se emplearon técnicas diversas técnicas que a
continuación se detalla.
Técnica de Fichaje. Se empleó para la sistematización bibliográfica, la
ordenación lógica de las ideas y el acopio de información en síntesis a
considerarse en la elaboración del marco teórico de la investigación.
Técnica de observación. Nos permitió identificar las etapas del desarrollo del
pensamiento geométrico. Por otro lado, se utilizará la observación directa la que
nos ha permitirá recoger información entre el observado y el observador.
INSTRUMENTO:
El instrumento empleado en el trabajo de investigación fue la prueba objetiva basado
en la ingeniería didáctica de Artigue considerando sus dos fases. Esta prueba permitió
evaluar las etapas del desarrollo de habilidades del pensamiento geométrico en los
estudiantes del 2do. Grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa
provincia de Angaraes, Huancavelica.
3.6. TRATAMIENTO ESTADÍSTICO
Se empleó la estadística descriptiva e inferencial bajo el soporte del software
estadístico para las ciencias sociales SPSS y la hoja de cálculo Microsoft Excel.
33
CAPÍTULO IV
RESULTADOS
4.1. PRESENTACION DE RESULTADOS
En este capítulo, presentamos la secuencia de las dos actividades que encaminaron a
alcanzar los objetivos y responder la pregunta de investigación.
Las secuencias de actividades, para la construcción y estudio de los poliedros, fueron
diseñadas teniendo en cuenta la geometría de Parzysz, las cuales mencionamos a
continuación: vía construcción geométrica y por transferencia de medida.
La investigación se realizó con veintidós estudiantes del segundo grado del nivel
secundario (13 y 15 años) de la Institución Educativa “Velasco Pucapampa”,
Ccochaccasa, Angaraes, Huancavelica. Las actividades de la secuencia se trabajaron
de manera individual en la sala de cómputo. Para el análisis de la parte experimental
seleccionamos tres estudiantes: Mari, Abel y Ronald.
La elección de ellos se debe a que lograron culminar las 12 sesiones. Por demás, los
diecinueve estudiantes restantes tuvieron dificultades de diversa índole por lo que no
asistieron a todas las sesiones.
Descripción de las actividades y Análisis del pre test y post test de tres estudiantes
Pregunta 1:
En la figura siguiente tienes un desarrollo de cada sólido platónico. Partiendo de ellos,
intenta construirlos con el polydrón. (Si no dispones de estas herramientas, entonces
dibújalos igual en una cartulina, recórtalos y constrúyelos.
¡Ah! ¡No te olvides de las pestañas para poder pegar bien las aristas!.
34
Cuadro 1. Análisis de la pregunta 1
Pre test Post test
Mari
Al inicio de las actividades se observa
que la estudiante se encuentra en el nivel
G0 porque se vale de sus sentidos para
reconocer las figuras geométricas
cuadrado triangulo y pentágono.
Mari
Luego de haber manipulado los dos
modelos la estudiante afirmó que observa
los poliedros, lo que nos indica que se
encuentra en el nivel G0, porque lo que
ella pudo percibir por medio de la
observación y manipulación del material.
Pregunta 2:
Karla quiere forrar el regalo para su hermano, que tiene formas de triángulos. Ella dice que el
papel tiene las siguientes formas de doblete. ¿Qué poliedro regular se formaría?
35
Cuadro 2. Análisis de la pregunta 2
Pre test Post test
Mari
En esta segunda pregunta, esperamos
que la estudiante siga las indicaciones de
la ficha y realicen las actividades.
Además, esperamos que realicen
comparaciones entre las medidas
tomadas en el modelo. También,
suponemos que den el nombre del sólido.
De esta manera, creemos que esta
actividad favorecerá a que los estudiantes
transiten cognitivamente del nivel G0 al
nivel G1.
Mari
En base a su respuesta de la estudiante y
las actividades realizadas creemos que el
estudiante se encuentra en el nivel G1
como planificamos en nuestro análisis a
priori, porque explica la relación de las
medidas de longitud de las aristas de la
estructura del octaedro y percibió que es
regular.
Pregunta 3:
En las figuras siguientes tienes dibujados algunos cuerpos
¿Cuál de estos tienen elementos comunes? ¿por que?
36
Cuadro 3. Análisis de la pregunta 3
Pre test Post test
La respuesta del estudiante Abel al iniciar
la investigación:
En esta pregunta esperamos que los
estudiantes perciban que el triángulo es
la figura geométrica que se repite en
varios modelos y que en el cubo y el
dodecaedro no presentan elementos
comunes
Suponemos que esta actividad debería
permitir que la mayoría de los
estudiantes se encuentra en el nivel G0
porque se vale de sus sentidos para
reconocer las figuras geométricas
cuadrado triangulo y pentágono.
Para esta pregunta se les pide a los
estudiantes que de ser necesario
manipulen nuevamente los modelos rojo y
verde y los observen y también
reconstruyan los sólidos la respuesta que
presenta Abel es:
De esta manera se evidencia que el
estudiante logra lo que pensamos a priori.
Pregunta 4:
Determina ¿a qué poliedro corresponde el siguiente desarrollo que muestra la figura?
37
Cuadro 4. Análisis de la pregunta 4
Pre test Post test
Respuesta del estudiante Ronald al
inicio
En esta pregunta esperamos que los
estudiantes perciban que el sólido a
formarse es el icosaedro mediante la
manipulación de material concreto, es
decir empleando la técnica del doblez.
Suponemos que esta actividad debería
permitir que la mayoría de los
estudiantes se encuentra en el nivel G0
porque se vale de sus sentidos para
reconocer las caras como triángulos.
Para esta pregunta se les pide a los
estudiantes manipulen el sólido construido y
los observen y también cuenten el número
de caras, la respuesta que presenta Abel
es:
De esta manera se evidencia que el
estudiante logra lo que pensamos a priori.
Pregunta 5:
¿Cuál o cuáles de los siguientes desarrollos forman un dodecaedro regular?
A) I y II B) II y III C) I y III D) II
38
Cuadro 5. Análisis de la pregunta 5
Pre test Post test
En esta pregunta suponemos que los
estudiantes están en el nivel G0 porque
activarán la ventana grafica 3D, luego
construirán el dodecaedro regular y
observaran su desarrollo, creemos que
los estudiantes se encuentran en el nivel
G0 por que se valen de su percepción y
de las herramientas del software para
responder la pregunta.
Para el desarrollo de esta pregunta Ronal
empleo el software GeoGebra, se observa
que el estudiante no tiene dificultades
como se muestra en la siguiente figura.
De esta manera podemos afirmar que el
estudiante se encuentra en el nivel G0 del
desarrollo del pensamiento geométrico,
porque las respuestas que emite, son
dadas en base a su percepción.
Pregunta 6:
¿Cuál o cuáles de los siguientes desarrollos forman un octaedro?
A) A) I B) II C)III D) I y III
Cuadro 6. Análisis de la pregunta 6
Pre test Post test
De la misma manera que la pregunta
anterior en esta pregunta suponemos
Para responder la pregunta Abel empleo el
software GeoGebra activando la ventana
39
que los estudiantes están en el nivel G0
porque activarán la ventana grafica 3D
del software GeoGebra, luego
construirán el octaedro regular y
observaran su desarrollo, creemos que
los estudiantes se encuentran en el nivel
G0 por que se valen de su percepción y
de las herramientas del software para
responder la pregunta.
3D, luego ingreso mediante la ventana de
entrada el comando Octaedro (<Punto>,
<Punto>) luego manipuleo mediante la
herramienta desarrollo, tal como se observa
en la siguiente figura.
De este modo el estudiante se encuentra
en el nivel G0 del desarrollo del
pensamiento geométrico
Pregunta 7:
En cada caso, ¿cuáles de los desarrollos corresponden al sólido dado?
A) I B) II C)III D) II y III
Cuadro 7. Análisis de la pregunta 7
Pre test Post test
En esta pregunta suponemos que los
estudiantes están en el nivel G0, para
ello emplearan el software GeoGebra
en la que activarán la ventana grafica
3D, luego construirán el cubo y
observaran su desarrollo, creemos que
los estudiantes se encuentran en el
nivel G0 por que se valen de su
La estudiante Mary empleo el software
GeoGebra activando la ventana 3D, luego
ingreso mediante la ventana de entrada el
comando Cubo (<Punto>, <Punto>) luego
manipuleo mediante la herramienta
desarrollo, tal como se observa en la
siguiente figura.
40
percepción y de las herramientas del
software para responder la pregunta.
Así mismo el estudiante se encuentra en el
nivel G0 del desarrollo del pensamiento
geométrico.
Pregunta 8:
Construya un hexaedro regular, una vez construido vas dibujando las figuras que tiene
en sus diferentes caras tal como indica. ¿Que figura continua?
A) III B) II C)I D) IV E) NA
Cuadro 8. Análisis de la pregunta 8
Pre test Post test
En la pregunta suponemos que los
estudiantes están en el nivel G1, para
ello emplearán el material concreto,
luego construirán el cubo y sus
respectivos trazos, creemos que los
estudiantes se encuentran en el nivel
G1 por que se valen de su percepción
y de la manipulación del objeto
construido para responder la pregunta.
El estudiante Abel utilizo material concreto la
cartulina luego realizo las líneas sobre el
cubo, tal como se muestra en la figura
siguiente:
41
Por lo que el estudiante se encuentra en el
nivel G1 del desarrollo del pensamiento
geométrico.
Pregunta 9:
En los poliedros de la figura, cuenta el numero de caras, vértices y aristas. y escribelos
en la tabla.
Poliedro N° de caras (C) N° de vertices (V) N° de aristas (A)
1
2
3
Cuadro 9. Análisis de la pregunta 9
Pre test Post test
En esta pregunta la respuesta de la
estudiante Mary es como la que se indica
en la siguiente tabla:
Cuando pedimos que expliquen las
características como el número de caras,
vértices y aristas de los tres modelos,
deseamos que alcancen el nivel G1,
porque pretendemos que perciban el
número de caras vértices y aristas de los
tres poliedros.
Para el desarrollo de esta pregunta se
facilitó a los estudiantes plantillas
recortables y armables, para formar un
modelo igual al que se presenta en la
figura del ítem. Luego la estudiante Mary
completo la tabla de manera correcta
como se indica en la siguiente tabla:
Por lo que la estudiante se encuentra en
el nivel G1 del desarrollo del pensamiento
geométrico.
Pregunta 10:
42
De acuerdo a la siguiente figura responde:
a) ¿Cuántas caras tiene? _____________________________
b) Cuántos vértices tiene? ____________________________
c) ¿Cuántas aristas tiene? ____________________________
d) ¿Qué nombre recibe este poliedro? ___________________
Cuadro 10. Análisis de la pregunta 10
Pre test Post test
En esta pregunta la respuesta del
estudiante Abel al iniciar la investigación es
como la que se indica en la siguiente tabla:
Aquí deseamos que los estudiantes
alcancen el nivel G1, porque pretendemos
que perciban el número de caras, vértices y
aristas del modelo presentado.
Para el desarrollo de esta pregunta se
facilitó a los estudiantes plantillas
recortables y armables, para formar el
octaedro. Luego el estudiante Abel
completo la tabla de manera correcta
como se indica en la siguiente tabla:
Por lo que el estudiante se encuentra en
el nivel G1 del desarrollo del
pensamiento geométrico al finalizar la
investigación.
Pregunta 11:
Si se les presenta un dodecaedro regular:
a) ¿Cuántas caras tiene? ___________________________________
b) ¿Cuántos vértices tiene? _________________________________
c) ¿Cuántas aristas tiene? ___________________________
d) ¿Qué polígono es el que conforma las caras de esta figura? ____________
43
Cuadro 11. Análisis de la pregunta 11
Pre test Post test
La respuesta del estudiante Ronald se
muestra en la siguiente figura:
En esta pregunta esperamos que los
estudiantes alcancen el nivel G1, porque
pretendemos que perciban el número de
caras, numero de vértices, numero de
aristas y las caras del poliedro.
De la misma manera para el desarrollo de
esta pregunta se facilitó a los estudiantes
plantillas recortables y armables, para
formar el dodecaedro. Luego el estudiante
Ronald completo la tabla de manera
correcta como se indica en la siguiente
figura:
Por lo que el estudiante se encuentra en
el nivel G1 del desarrollo del pensamiento
geométrico al finalizar la investigación.
Pregunta 12:
Completa: Un poliedro simple con 8 caras y 6 vértices tiene un total de
__________aristas.
Cuadro 12. Análisis de la pregunta 12
Pre test Post test
La respuesta del estudiante Abel al inicio
de la investigación se muestra en la
siguiente figura:
De la misma manera para el desarrollo de
esta pregunta se facilitó a los estudiantes
plantillas recortables y armables, para
formar el modelo. Luego el estudiante Abel
completo la tabla de manera correcta como
44
En esta pregunta esperamos que los
estudiantes alcancen el nivel G1, porque
pretendemos que perciban y deduzcan el
número de aristas del modelo propuesto.
se indica en la siguiente figura:
Por lo que el estudiante se encuentra en el
nivel G1 del desarrollo del pensamiento
geométrico al finalizar la investigación.
Pregunta 13:
En el siguiente polígono. Define cada uno de sus elementos.
a) Cara: …………………………………………
b) Vértice: ………………………………………
c) Arista: ………………………………………
d) Cuántas caras se junta para determinar un vértice? …………..
Cuadro 13. Análisis de la pregunta 13
Pre test Post test
La respuesta de la estudiante Mary al inicio
de la investigación se muestra en la
siguiente figura:
Sin embargo, en la pregunta esperamos
que los estudiantes alcancen el nivel G1,
porque pretendemos que perciban y
deduzcan las características del modelo
propuesto.
Para el desarrollo de esta pregunta se facilitó a
los estudiantes plantillas recortables y
armables, para formar el modelo. Luego la
estudiante Mary completo la tabla de manera
correcta como se indica en la siguiente figura:
En ello se observa que la estudiante se
encuentra en el nivel G1 del desarrollo del
pensamiento geométrico al finalizar la
investigación.
45
Pregunta 14:
¿Existe algun poliedro regular cuyas caras sean pentagonos regulares? Explique.
Cuadro 14. Análisis de la pregunta 14
Pre test Post test
El estudiante Ronald dio como
respuesta como se observa en la
siguiente figura:
Sin embargo, en la pregunta esperamos
que los estudiantes alcancen el nivel
G1, porque pretendemos que perciban y
deduzcan las características del modelo
propuesto.
Para el desarrollo de esta pregunta se
facilitó los poliedros elaborados por los
estudiantes. Luego el estudiante Ronald
completo la tabla de manera correcta como
se indica en la siguiente figura:
En ello se observa que el estudiante se
encuentra en el nivel G1 del desarrollo del
pensamiento geométrico al finalizar la
investigación.
Pregunta 15:
De la pregunta numero (3), Platon conoció a los solidos platonicos y se referia:
a) Fuego al ……….………………. Por que ………………....
b) Tierra al ………………… Por que…………………………..
c) Al octaedro regular como ……. Por que ……………………..
d) Al dodecaedro regular como …………. Por que …………..
e) Al icosaedro regular como el …………. Por que ……
Cuadro 15. Análisis de la pregunta 15
Pre test Post test
El estudiante Ronald dio como respuesta
como se observa en la siguiente figura:
Sin embargo, en la pregunta esperamos
Para el desarrollo de esta pregunta se
facilitó la historia de los sólidos platónicos.
Luego el estudiante Ronald completo la
46
que los estudiantes alcancen el nivel G1,
porque pretendemos que perciban los
sólidos platónicos (o poliedros regulares)
son convexos con caras compuestas de
polígonos congruentes. Estos son el
tetraedro, el cubo, el octaedro, el
dodecaedro y el icosaedro.
tabla de manera correcta como se indica
en la siguiente figura:
En ello se observa que el estudiante se
encuentra en el nivel G1 del desarrollo del
pensamiento geométrico al finalizar la
investigación.
Pregunta 16:
Paula tiene 25 cubos; cada uno de arista mide 3 cm. Determina cual es el volumen de
la figura que paola puede elaborar con estos 25 cubos.
Cuadro 16. Análisis de la pregunta 16
Pre test Post test
En la pregunta esperamos que los
estudiantes alcancen el nivel G1, porque
pretendemos que perciban el volumen
del cubo mediante la geometría espacio
gráfica.
En la siguiente figura se muestra los
resultados de la evaluación inicial de la
estudiante Mary.
Para el desarrollo de esta pregunta se
facilitó el material de trabajo y luego el
software GeoGebra. A continuación, se
muestra los resultados de la estudiante
Mary de manera correcta como se indica
en la siguiente figura:
47
Luego la estudiante corroboro su resultado
con el software GeoGebra como se
muestra en la siguiente figura:
Con ello la estudiante se encuentra en el
nivel G1 del desarrollo del pensamiento
geométrico.
Pregunta 17:
Las aristas de un octaedro regular mide 4 cm. Hallar el area de la superficie total.
(comprobar con geogebra)
Cuadro 17. Análisis de la pregunta 17
Pre test Post test
En la pregunta esperamos que los
estudiantes alcancen el nivel G1,
porque pretendemos que perciban la
superficie total de un octaedro mediante
la geometría espacio gráfica.
En la siguiente figura se muestra los
Para el desarrollo de esta pregunta se
facilitó el material de trabajo y luego el
software GeoGebra. A continuación, se
48
resultados de la evaluación inicial del
estudiante Abel.
muestra los resultados de la estudiante
Abel:
Luego la estudiante corroboro su resultado
con el software GeoGebra como se muestra
en la siguiente figura:
Ambos resultados coinciden, por lo que el
estudiante se encuentra en el nivel G1 del
desarrollo del pensamiento geométrico.
Pregunta 18:
Hallar el area de superficie y volumen de un tetraedro regular cuya arista es igual a 4
cm. (comprobar con geogebra)
Cuadro 18. Análisis de la pregunta 18
Pre test Post test
En la pregunta esperamos que los
estudiantes alcancen el nivel G1, porque
pretendemos que perciban la superficie y
volumen de un tetraedro regular cuya
arista es igual a 4 cm mediante la
Para el desarrollo de esta pregunta se
facilitó el material de trabajo y luego el
software GeoGebra. A continuación, se
muestra los resultados de la estudiante
Abel:
49
geometría espacio gráfica.
En la siguiente figura se muestra los
resultados de la evaluación inicial del
estudiante Abel.
Luego la estudiante corroboro su
resultado con el software GeoGebra como
se muestra en la siguiente figura:
Ambos resultados coinciden, por lo que el
estudiante se encuentra en el nivel G1 del
desarrollo del pensamiento geométrico.
Pregunta 19:
Hallar el area y volumen de un salon, sabiendo que el salon es de forma cuadrada
donde una de sus columnas mide 3m. (comprobar con geogebra)
Cuadro 19. Análisis de la pregunta 19
Pre test Post test
Del mismo modo en esta pregunta
esperamos que los estudiantes alcancen
el nivel G1, porque pretendemos que
perciban el área y volumen de salón
Para el desarrollo de esta pregunta se
facilitó el material de trabajo y luego el
software GeoGebra. Los resultados de
Abel son correctos como se muestran en
50
mediante la geometría espacio gráfica.
En la siguiente figura se muestra los
resultados de la evaluación inicial del
estudiante Abel.
las siguientes imágenes:
Ambos resultados coinciden, por lo que el
estudiante se encuentra en el nivel G1 del
desarrollo del pensamiento geométrico.
Pregunta 20:
Hallar el area y volumen de un octaedro regular cuya arista mide 5 cm. (comprobar con
geogebra)
Cuadro 20. Análisis de la pregunta 20
Pre test Post test
Finalmente, en esta pregunta esperamos
que los estudiantes alcancen el nivel G1,
porque pretendemos que perciban el
área y volumen de un octaedro regular
cuya arista mide 5 cm mediante la
geometría espacio gráfica.
En la siguiente figura se muestra los
resultados de la evaluación inicial del
estudiante Abel.
Para el desarrollo de esta pregunta se
facilitó el material de trabajo y luego el
software GeoGebra. Los resultados de
Abel son correctos como se muestran en
las siguientes imágenes:
51
Ambos resultados coinciden, por lo que el
estudiante se encuentra en el nivel G1 del
desarrollo del pensamiento geométrico.
Cuadro 21. Descripción de los resultados cuantitativos pre_test y post_test de los
estudiantes.
Pre_test Post_test
N 22 22
Media 8,59 16,36
Mediana 8,00 17,00
Moda 8a 17
Desviación estándar 2,404 2,498
Varianza 5,777 6,242
Rango 9 12
Mínimo 4 8
Máximo 13 20
a. Existen múltiples modos. Se muestra el valor más pequeño.
Fuente: aplicación de pre-test y post-test
Del cuadro 21, las medidas de tendencia central en el pre test, se observa que el mejor
promedio que representa a la distribución es la media aritmética con un valor de 8,59
puntos de la escala. Por otro lado, si comparamos estos promedios, se determina los
resultados del post test supera en 7.77 puntos de la escala al promedio alcanzado en
52
el pre test; es decir, inicialmente los estudiantes presentaron dificultades en la
percepción de los poliedros.
El valor que divide en dos partes iguales a la distribución de los datos en el pre test y
post test son 8 y 17 respectivamente. Es decir, el 50% de los datos se encuentran por
debajo de este valor y el otro 50% por encima de este valor. En tanto que el puntaje
que se obtuvo con mayor frecuencia en el pre test es 8 y en el post test es 17.
Respecto a los estadígrafos de dispersión, el post test tiene una desviación estándar
de 2,498 puntos de la escala, el cual supera en 0.094 puntos a la desviación típica del
pre test que fue de 2,404 puntos; es decir, los resultados del post test tienen
ligeramente una mayor dispersión que los resultados del pre test. Asimismo, se debe
indicar que los puntajes del pre test varían entre una puntuación de 4 y 13, mientras los
puntajes del post test varían entre 8 y 20.
Comprobación estadística de la hipótesis
Para evaluar la inferencia de medias aritméticas del nivel de desarrollo se empleó la
estadística no paramétrica de Wilcoxon para una muestra con datos relacionados o
apareados, se optó por esta prueba porque no se conoce la forma de su distribución
poblacional y menos aún sus parámetros. Para tal efecto se formula las siguientes
hipótesis:
H0: No existen diferencias estadísticamente significativas entre los promedios del pre test
y post test en los estudiantes del 2° grado de secundaria en la I. E. Velasco -
Pucapampa
(Esto es: testposttestpre __ )
Ha: El promedio del post test es mejor que el promedio del pre test, en los estudiantes
del 2° grado de secundaria en la I. E. Velasco – Pucapampa.
(Esto es: testpretestpost __ > )
Para realizar la prueba de hipótesis, existen dos métodos: el método clásico y el método
del valor probabilístico o nivel de significación observada (P-value=Sig.). El primero se
53
determina comparando el valor calculado de la estadística de prueba y su respectivo
valor teórico, en tanto que el segundo se compara el nivel de significancia observada;
probabilidad mínima, con el nivel de significancia asumida. En el trabajo se utilizó el
segundo método, cuyo resultado se presenta en la siguiente tabla.
Cuadro 22. Prueba de Wilcoxon sobre la diferencia de promedios del pre test y post test
en los estudiantes del 2° grado de secundaria en la I. E. Velasco – Pucapampa.
Rangos N Rango de promedios
Suma de
rangos Z Sig.
Post test -Post test Rangos negativos
0a ,00 ,00 -4,116b ,000
Rangos positivos
22b 11,50 253,00
Empates 0c
Total 22
a. Post test < Pre test
b. Post test > Pre test
c. Post test = Pre test
Fuente: Aplicación de pre test y post test
En el cuadro 22, se observa que el valor de la estadística de prueba de Z basado en
rangos negativos tiene un valor de -4,116b con un valor probabilistico (Sig.) asociado a
ella de 0.000. Comparando este valor con el nivel de significancia asumida de 0.05; se
determina que es menor (0.000<0.05), por lo que se rechaza la hipótesis nula (Ho) y se
acepta la hipótesis alterna (Ha). Con este resultado se concluye que: “El promedio del
post test es mejor que el promedio del pre test, en los estudiantes del 2° grado de
secundaria en la I. E. Velasco – Pucapampa, con lo cual se corrobora estadísticamente
la hipótesis de investigación formulado como: El estudio de los poliedros regulares
convexos mediante material concreto y el GeoGebra permitirán desarrollar los niveles
del pensamiento geométrico de la percepción a nivel de la geometría no axiomática.
54
4.2. DISCUSION
La aplicación del enfoque de Parzysz sobre los niveles de pensamiento geométrico G0,
G1 y software GeoGebra al estudiar los poliedros regulares convexos en estudiantes
del 2° grado de secundaria en la I. E. Velasco - Pucapampa. A continuación,
presentamos las consideraciones finales sobre los aspectos que consideramos
relevantes en la tesis como: objetivos y pregunta de investigación, marco teórico y
metodológico empleado en el trabajo de investigación.
En nuestro objetivo general nos propusimos: analizar los niveles del desarrollo del
pensamiento geométrico de Parzysz al estudiar los poliedros regulares convexos con
material concreto y GeoGebra en estudiantes del 2do. grado de la I.E. “Velasco
Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes, Huancavelica.
Podemos afirmar que hemos logrado nuestro objetivo general, dado que alcanzamos
los objetivos específicos que nos plantemos en la investigación.
En cuanto a nuestro primer objetivo específico identificar las etapas G0 y G1 del
desarrollo del pensamiento geométrico de Parzysz al estudiar los poliedros regulares
convexos con material concreto en estudiantes del 2do. grado de la I.E. “Velasco
Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes, Huancavelica,
podemos decir que sí lo hemos alcanzado, dado que en las actividades realizadas los
estudiantes lograron reconocer y mencionar características de los poliedros regulares.
Al manipularlo en el material concreto (plantillas de poliedros hechos de cartulina)
identificaron las características como el número de caras, números de vértices y
números de aristas de todos los poliedros, aquí identificamos la etapa G0 del
Desarrollo del Pensamiento Geométrico.
De la misma manera en relación al segundo objetivo específico distinguir las etapas y
el tránsito del Desarrollo del Pensamiento Geométrico al estudiar los poliedros
regulares convexos con GeoGebra en estudiantes del 2do. grado de la I.E. “Velasco
Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa, los estudiantes hicieron uso de las
ecuaciones para realizar los cálculos de área y volumen de los sólidos y corroboraron
sus resultados mediante el uso del software GeoGebra, por ello afirmamos que se
encuentran en la etapa G1 de acuerdo a la teoría del desarrollo pensamiento
Geométrico.
55
Los resultados de esta investigación nos permiten afirmar que es importante usar
primero el material concreto con los estudiantes y luego el uso de una herramienta
tecnológica como el caso que hemos mostrado en nuestra investigación con el uso del
GeoGebra, y que estas herramientas permiten el desarrollo de la percepción es decir ir
entendiendo y percibiendo cuales son los elementos de cualquier objeto geométrico no
solo en lápiz y papel, y con material concreto sino además el uso de la tecnología .
Resultados que se corrobora con lo obtenido por Gómez N. y Paitan E. (2013), en su
investigación “la influencia del software GeoGebra en el aprendizaje de los triángulos
en los estudiantes del 4° grado de secundaria de la institución educativa francisca diez
de Canseco de castilla”, donde concluye que el software GeoGebra es un recurso
didáctico valioso, que presenta distintas potencialidades en la construcción,
demostración y animación de figuras geométricas, (triángulos) permitiendo un ambiente
dinámico de aprendizaje y a la vez predispone al estudiante al estudio de la
matemática. Similar el trabajo de Paucar S. (2012) en su tesis titulada: “Un estudio
sobres la comprensión del concepto de educación lineal desde la perspectiva de la
teoría pirie y kieren”, considera que el estudio demuestra que los estudiantes tienen
dificultades para resolver situaciones de forma verbal o modelación de situaciones por
falta comprensión del significado de problemas y la diferencia para traducir un
problema literal a un lenguaje algebraico o matemático, además la investigación
demuestra que la evolución de comprensión de los estudiantes del concepto de
ecuación lineal en forma general se mueve entre los cuatro primeros niveles de
comprensión alcanzado un nivel máximo de comprensión de observación de
propiedad.
Finalmente, el uso desarrollo del pensamiento geométrico a través de las actividades
nos permitió ver el transito del nivel G0 al nivel G1.
56
CONCLUSIONES
Las actividades con material concreto (poliedros construidos con cartulina y la técnica
del doblez) en estudiantes del 2do. grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de
Ccochaccasa provincia de Angaraes, Huancavelica, permitió reconocer y describir las
características de los poliedros regulares de manera que los estudiantes desarrollaron
su pensamiento geométrico y transitaron del nivel G0 al G1.
Las actividades con el software matemático en estudiantes del 2do. grado de la I.E.
“Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes, Huancavelica,
permitió utilizar las sentencias: Cubo( <Punto>, <Punto> ), Tetraedro( <Punto>, <Punto>
), Octaedro( <Punto>, <Punto> ), Dodecaedro( <Punto>, <Punto> ), Icosaedro( <Punto>,
<Punto> ) y la herramienta desarrollo en la ventana 3D, donde los estudiantes lograron
familiarizarse rápidamente con el entorno del software GeoGebra, así como hacer uso
de las funciones de arrastre y manipulación directa para visualizar los poliedros desde
diferentes posiciones.
Las actividades con material concreto y el uso del software GeoGebra nos permiten
afirmar que es importante usar primero el material concreto en los estudiantes del 2do.
grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de
Angaraes, Huancavelica, así como el uso pertinente de las herramientas del GeoGebra
en 3D permitieron el desarrollo de la percepción es decir ir entendiendo y percibiendo los
poliedros de forma dinámica con material concreto y el uso de la tecnología .
57
SUGERENCIAS
Dado que los estudiantes están más familiarizados con la resolución de problemas, se
sugiere a los docentes cambiar el enfoque tradicional hacia un nuevo enfoque en el que
la enseñanza de la matemática sea más vivencial, con la manipulación de material
concreto para así poder percibir los objetos geométricos.
Se sugiere a las instituciones educativas que no cuentan con laboratorios de computo
hacer uso los materiales concretos como recurso informático ya que permite a los
estudiantes trabajar en forma activa el desarrollo de la geometría de manera dinámica.
Dado que el uso del software matemático GeoGebra mejoran favorablemente en el
aprendizaje de los alumnos. Se sugiere A los docentes de área hacer uso de estos
softwares matemáticos en sus sesiones de aprendizaje.
58
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Ubaldo, L. (2005). Geometria. Lima: San Marcos.
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Zenil, H. (2011). la geometria como pretexto para explorar nuestra realidad fisica y
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HZAhWBo1kKHcutCYoQ6AEIJTAA#v=onepage&q&f=false
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MATRIZ DE CONSISTENCIA
Título de la investigación: ENFOQUE DE PARZYSZ SOBRE LOS NIVELES DE PENSAMIENTO GEOMÉTRICO Y SOFTWARE GEOGEBRA EN ESTUDIANTES DEL 2° GRADO SECUNDARIA, HUANCAVELICA.
Problema ¿Cuál es el nivel de desarrollo del Pensamiento Geométrico de Parzysz al estudiar los poliedros regulares convexos con material concreto y GeoGebra en estudiantes del 2do. Grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes, Huancavelica?
Objetivos: Objetivo general Analizar los niveles del Desarrollo del Pensamiento Geométrico de Parzysz al estudiar los poliedros regulares convexos con material concreto y GeoGebra en estudiantes del 2do. grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes, Huancavelica. Objetivos específicos Identificar las etapas del Desarrollo del Pensamiento Geométrico de Parzysz al estudiar los poliedros regulares convexos con material concreto en estudiantes del 2do. grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes, Huancavelica.
Marco Teórico Antecedentes de la investigación (Larios, v. 2006), en México, para identificar “ la rigidez geométrica y la preferencia de propiedades geométricas en un ambiente de geometría dinámica en el nivel medio” se tuvo como muestra a los alumnos de tercer grado de secundaria (14 y 15 años) en una localidad semi urbana cerca de la ciudad de Querétaro, México. Su obje tivo es manipulación dinámica de los objetos geométricos, concluye que: La rigidez geométrica es un fenómeno relacionado con la visualización de las figuras geométricas. Ocurre cuando hay un incapacidad del individuo para manejar mentalmente una figura geométrica al no estar en ciertas posiciones estándares, o no pueden imaginarla cuando se mueve (bajo una traslación) o cambia su forma; es decir, cuando sus lados cambien de posición o sus ángulos se modifican. (Echevarría, J. 2015), en una investigación cualitativa estudió sobre “estudio de la circunferencia desde la geometría sintética y la geometría analítica, mediado por el GeoGebra, con estudiantes de quinto grado de educación secundaria” Aplicó en estudiantes de quinto grado de educación secundaria. De acuerdo a los resultados obtenidos, se concluye: 1. Se consiguió que los estudiantes relacionaran procedimientos propios de la geometría sintética pero en el contexto de la geometría analítica; de esta manera, el trabajo algebraico adquirió sentido para ellos ya que cada paso analítico provenía de una acción geométrica. Bases teóricas Geometría euclidiana (Anonimo, s.f.) La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana y de varios conceptos, tales como el punto, la recta, la superficie y mediante comparación de ángulos o longitudes. Poliedros Es aquel solido geométrico cuya superficie es poliédrica, y a las regiones poligonales de esta superficie se les conoce como caras del solido; además, debe cumplir con las siguientes condiciones:
Hipótesis. General El estudio de los poliedros regulares convexos mediante material concreto y el GeoGebra permitirán desarrollar los niveles del pensamiento geométrico de la percepción a nivel de la geometría no axiomática en los estudiantes de 2° grado de la IE “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia Angaraes, Huancavelica.
Variables e Indicador Variable dependiente: Desarrollo del Pensamiento Geométrico de Parzysz Indicadores: G0: Geometría concreta G1: Geometría Espacial Grafica Variable independiente: Uso de materiales concretos y GeoGebra (poliedros) Indicadores: Tetraedro Exaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Metodología Tipo de Investigación Debido a las características de la muestra y al problema de la investigación, se trata de un estudio de tipo aplicada. Nivel de la Investigación El estudio se desarrollará a nivel descriptivo, porque se trabajará en una Institución Educativa, seleccionados de manera natural. Método de la Investigación Método General Método Específico Diseño de la Investigación: 01 x 02 M=muestra 01 , 02 =observación de las variables Muestra y muestreo Población: estará dado por la totalidad de matriculados en la IE. Muestra: Se contará con una muestra de 22 estudiantes de segundo grado de la IE.
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Distinguir las etapas y el tránsito del Desarrollo del Pensamiento Geométrico al estudiar los poliedros regulares convexos con GeoGebra en estudiantes del 2do. grado de la I.E. “Velasco Pucapampa” del distrito de Ccochaccasa provincia de Angaraes, Huancavelica.
Cada arista pertenece a dos caras, y esta se denomina contiguas. Dos caras contiguas están ubicadas en planos distintos. Pensamiento geométrico de Parzysz (Portugal, M. 2015) El enfoque de Parzysz sobre los niveles de pensamiento geométrico Parzysz, identificó diferentes tipos de geometrías y propuso una clasificación que considera los objetos: físicos o teóricos y los modos de validación como perceptivo o deductivo. Las cuales son: G0: Geometría Concreta, donde los estudios geométricos se llevan a cabo a partir de actividades con materiales concretos tales como maquetas, planos y dobleces. G1: Geometría Espacio-gráfica, los estudios en que aún se confunde la Geometría y la realidad; donde los estudiantes pueden conjeturar y hacer constataciones de propiedades empíricamente. Por otra parte, Parsysz, considera desde el punto de vista didáctico, la distinción entre estas geometrías se presenta en las rupturas de contrato didáctico que se producen entre una y otra, es decir: en el paso de G0 a G1, donde la materialidad de los objetos en cuestión (madera, papel, paja, ...) juega un papel importante en la enseñanza y el aprendizaje de conceptos geométricos. en el paso de G1 a G2, se basa en la anchura de los trazos y puntos, y la justificación de las propiedades se apoya en la percepción; finalmente, en el paso de G2 a G3 donde la validación de las propiedades se basa en la axiomática. La articulación entre los niveles G1 y G2 son elementos esenciales en la problemática de la enseñanza de Geometría para la Educación Básica, y que debemos fijar los conceptos en juego y hacer su articulación. Por ello, es importante integrar en una formación continua o inicial, una reflexión sobre la limitación de las validaciones empíricas y de cuestionar la evidencia de la figura.
Técnicas. Fichajes Observación Instrumentos.- Una prueba objetiva.
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OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES E INDICADORES
Variable dependiente: Desarrollo del Pensamiento Geométrico de Parzysz
Variable independiente: Uso de materiales concretos y GeoGebra (poliedros)
VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES
U
so d
e m
ater
iale
s co
ncre
tos
y
Geo
Geb
ra (
polie
dros
)
Regulares
Tetraedro
Exaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Estrellado Dodecaedro
Icosaedro
VARIABLE DIMENSIONES INDICADORES ITEMS
Des
arro
llo d
el P
ensa
mie
nto
Geo
mét
rico
de P
arzy
sz
G0: Geometría Concreta
Usa estrategias para construir poliedros
realizando dobleces, usando diversos
materiales.
1, 2, 4,
Establece semejanzas y diferencias entre
los diferentes poliedros.
3, 14
Identifica las características y compara
los poliedros para responder.
5, 6, 7, 8, 9,
G1: Geometría Espacial
Grafica
Identifica las caras, aristas y vértices de
un poliedro luego determina la cantidad
de caras, aristas y vértices
10, 11, 12,
13, 15
Selecciona y combina estrategias para
resolver problemas de área y volumen de
poliedros.
16, 17, 18,
19, 20,
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Dando indicaciones a los estudiantes para la aplicación de pre test
Repartiendo el instrumento
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Recortando los poliedros
Una vez recortado, ya pegando las aristas de los poliedros
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Monitoreando sus trabajos de los estudiantes
Ahí ya se observa los tres poliedros construidos
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Los cinco poliedros ya armados
Desarrollando los ítems
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Trabajando los demás ítems
Contando las aristas
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Realizando los dobleces en otras hojitas para buscar la secuencia
Monitoreando los trabajos
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Realizando la primera clase en la institución educativa Velasco Pucapampa
Realizando clases enseñando el programa GeoGebra
Realizando un ejemplo de tetraedro regular en GeoGebra
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Estudiantes participando en la clase de GeoGebra
Clases en sala de computación utilizando el programa GeoGebra
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Evidencias de post test Desarrollando los ítems de post test
Desarrollando ejercicios en la hoja
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Comprobando sus resultados en GeoGebra
Desarrollando ejercicio
La señorita comprobando sus resultados en GeoGebra
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PLANIFICACIÓN DE LA SESIÓN DE APRENDIZAJE
Unidad VII
SESIÓN
Solidos platónicos
Área Grado Sección Docente Duración Fecha
Matemática 2° Única Prof. Ismael Lazaro Unocc
Prof. Walter Quichca Sánchez 2 meses
Octubre -
noviembre
APRENDIZAJES ESPERADOS construir y solucionar problemas de poliedros regulares
Competencia Capacidad Indicador
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
forma,
movimiento y
localización
Matematiza
situaciones.
Usa estrategias para construir poliedros
realizando dobleces, usando diversos materiales
Identifica las caras, aristas y vértices de un
poliedro luego determina la cantidad de caras,
aristas y vértices
Comunica y
representa ideas
matemáticas
Establece semejanzas y diferencias entre los
diferentes poliedros
Elabora y usa
estrategias
Identifica las características y compara los
poliedros para responder.
Selecciona y combina estrategias para resolver
problemas de área y volumen de poliedros.
EVALUACIÓN ¿Cómo verificaré que están aprendiendo?
Situación de
evaluación
- formativa
Técnica
- Observación
Instrumento
- Prueba de entrada
- Desarrollo de sesiones
- Fast test
- Prueba de salida
RECURSOS ¿Qué recursos utilizaré como apoyo para lograr los aprendizajes esperados?
MATERIALES
- Pizarra, plumón, regla,
proyector multimedia, laptop y
lapiceros.
- Uso de las TICs (Programa
GeoGebra )
ESCENARIOS
- Aula de segundo grado
- Sala de computación
ACTORES
- Estudiantes y docente
SECUENCIA DIDÁCTICA DE LA SESIÓN
ESTRATEGIAS /ACTIVIDADES
¿Qué acciones/tareas desarrollar para el logro y desarrollo de la competencia en los
estudiantes?
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Inicio Motivación, evaluación y desarrollo de actitud permanente
- El docente les saluda y les da la bienvenida a los estudiantes y aprovecha recordarles
los valores
- El docente les hace recordar sobre la prueba de entrada que rindieron cada
estudiante.
- El docente realiza las siguientes interrogaciones con la finalidad de explorar los
saberes previos sobre la evaluación.
- ¿Qué tan fácil ha sido el examen?
- ¿tuviste dificultades en los dobleces?
- ¿Ha sido fácil desarrollar y calcular el área de superficie de un
poliedro?
- ¿alguna vez trataron sesiones de poliedros regulares?
- ¿Qué dificultades tuviste durante el desarrollo del examen?
- En el área de EPT, alguna vez realizaron clases utilizando algún tipo
de programa aparte de Word, Excel, PowerPoint?
- Los estudiantes dan respuesta a través de la lluvia de ideas.
- El docente presenta el propósito de la sesión que consiste en:
- Poliedros regulares y uso de programa GeoGebra
Desarrollo Motivación, evaluación y desarrollo de actitud permanente
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- El docente da explicaciones de que pasos van a seguir para construir un poliedro
mediante dobleces.
Ejemplo:
- Los docentes exponen sobre:
POLIEDROS REGULARES
• Es aquel que tiene por caras regiones poligonales regulares congruentes entre si y en
cada vértice concurren igual número de aristas.
• Solamente existen cinco poliedros regulares, los cuales son:
TETRAEDRO REGULAR
Es aquel poliedro regular, que se caracteriza por tener 4 caras que son regiones triangulares
equiláteras.
HEXAEDRO REGULAR O CUBO
Es aquel poliedro regular que tiene por caras regiones cuadradas congruentes entre sí.
OCTAEDRO REGULAR
Es aquel poliedro regular limitado por 8 regiones triangulares equiláteras. Tiene 3
diagonales las cuales son de igual medida y son perpendiculares en sus puntos medios.
DODECAEDRO REGULAR
Es aquel polígono regular limitado por doce regiones pentagonales regulares. Tiene cien
diagonales.
ICOSAEDRO REGULAR
Es aquel polígono regular limitado por veinte regiones triangulares equiláteras. Tiene 36
diagonales.
ELEMENTOS DE LOS POLIEDROS REGULARE
• CARA.- son polígonos planos que lo limitan
• VÉRTICE.- punto donde concurren tres o más puntos.
• ARISTA.- son los lados de la cara
TEOREMA DE EULER
En todo poliedro si cumple que el número de caras más de vértices es igual al número de
aristas más dos unidades
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Donde:
V: vértice
C: caras
A: aristas
En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos e
tabla.
Polied
ro
N° de caras
(C)
N° de
vértices (V)
N° de
aristas (A)
1
2
3
ÁREAS Y PERÍMETROS DE POLIEDROS REGULARES
TETRAEDRO REGULAR
Arista: a
Altura de cara:
Altura del tetraedro:
Área de la superficie:
Volumen: OCTAEDRO REGULAR
Arista: a
Diagonal:
Área de la superficie:
Volumen:
DODECAEDRO REGULAR
Arista: a
Área de la superficie:
Volumen:
ICOSAEDRO REGULAR
Arista: a
Área de la superficie:
Volumen:
HEXAEDRO REGULAR
Arista: a
Diagonal cubo:
Diagonal de cara:
Área de la superficie:
Volumen:
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PLATÓN
Para Platón los elementos últimos de la materia son los poliedros regulares que asignó:
1. el fuego al tetraedro (El fuego tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el
elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo).
2. la tierra al hexaedro o cubo (el poliedro más sólido de los cinco).
3. el aire al octaedro (Para los griegos el aire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo
intermedios, se compone de octaedros).
4. el agua al icosaedro (El agua, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener
como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por
tanto, el que con mayor facilidad puede rodar).
5. el dodecaedro (el universo) (Como los griegos ya tenían asignados los cuatro
elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro.
Ejemplos:
1. Érica quiere forrar el regalo para su tío, que tiene formas de triángulos. ella dice que
el papel tiene las siguientes formas de pentágonos. ¿Qué poliedro regular se
formaría?
GEOGEBRA
Definición.-
Origen
Pasos para la ingresar
Pasos para la solución de un tetraedro y hexaedro regular.
Pasos para la solución de un problema de forma dodecaedro regular, icosaedro
regular y octaedro regular
Solución de problemas con recursos (lapicero, lápiz, papel) utilizando las formulas
Solución de problemas en la sala de computación utilizando la TIC (GeoGebra)
Cierre
¿Qué hemos aprendido durante el trabajo?
¿Qué parte de la actividad te parecieron más sencillas?, ¿en
cuales tuviste dificultad?, ¿Por qué?
….responden a las preguntas de meta cognición:
Y resuelven la pregunta
TAREA O TRABAJO EN CASA:
El docente solicita a los estudiantes que realicen la siguiente actividad (en el cuaderno
de trabajo, págs.).
REFLEXIÓN CRÍTICA: ¿Qué decisión tomaré sobre la sesión de hoy?
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¿Cumplí con los propósitos? Si No ¿Se aclararon las dudas? Si No
¿Mis alumnos mostraron interés? Si No ¿Participo la mayoría? Si No
¿Es necesario replanificar la
sesión? Si No Otros
