Engels y el cálculo infinitesimal

8/4/2019 Engels y el clculo infinitesimal

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Otro de los grandes asuntos que el foro de GazteKomunistak suscita es el de la dialctica porque, segn nos dice unparticipante, las leyes de la dialctica no son universales, slo sepueden aplicar a las sociedades, pero no a la naturaleza. Cuando unmeteorito cae a la tierra, dnde est la dialctica?, pregunta.

Con la dialctica pasa lo mismo que con el burgus Jourdain al quese refera la obra de Molire. Lo mismo que el burgus hablaba enprosa sin saberlo, todas las ciencias -sin excepcin- hablandialctica inconscientemente. No slo las ciencias sociales y lasciencias naturales, sino tambin la lgica formal, la matemtica y lageometra.

Vamos a comprobarlo con una de las partes ms importantes de lamatemtica: el anlisis.

A finales del siglo XVII Isaac Newton (1642-1727) y Gotfried Wilhem Leibniz(1646-1716) aportaron a la ciencia una de sus herramientas ms poderosas, el

clculo infinitesimal, que luego dio lugar al anlisis matemtico, a las derivadasy las integrales. De la extraordinaria importancia de este avance del saber,Engels dijo lo siguiente: De entre todos los progresos tericos, no cabe duda deque ninguno se encuentra a tan gran altura, como triunfo de la mente humana,como el descubrimiento del clculo infinitesimal en la ltima mitad del sigloXVII. Si existiese alguna hazaa pura y exclusiva de la inteligencia humana,debemos encontrarla aqu (1).

Sin embargo, desde su mismo origen, el clculo infinitesimal padeci un aluvinde dudas que an no ha remitido por sus supuestos dbiles fundamentoscientficos. El concepto mismo de infinitesimal (cantidad divisible evanescente lallamaba Newton) constitua su punto ms dbil ya que conduca resultados

exactos por medios aparentemente inexactos y muy poco matemticos, a saber,despreciando valores muy pequeos pero en ningn caso iguales a cero.

Sin embargo, atrados por la potencia del mtodo, a partir del siglo XVIII losmatemticos se lanzaron al empleo de la nueva herramienta, utilizando elanlisis de una manera ciega, guiados por la prctica. El enorme xito obtenidopara resolver un gran nmero de problemas, no estuvo acompaado,contrariamente a la imagen de exactitud y rigor que transmite la matemtica,por una comprensin a prueba de crticas de lo que se haca. Los matemticosparecan convertirse en tenderos generosos que despreciaban los cntimos pararedondear los precios. El clculo pareci algo muy poco riguroso, una meraaproximacin cuantitativa a la realidad, aunque de una utilidad impecable. No se

saba muy bien por qu, pero funcionaba.Leibniz era plenamente consciente de los problemas y de su incapacidad pararesolverlos con un mnimo rigor y, en una declaracin muy poco habitual en l,confesaba: Las cosas infinitas lo ms que podemos hacer es conocerlasconfusamente(2).

Una vez ms la prctica superaba a la teora, pero slo porque los fundamentosde sta no pueden encontrarse ms que en el materialismo dialctico. Marxdedic a este asunto sus Manuscritos matemticos, an no publicados encastellano, y tambin Engels defendi la legitimidad cientfica del clculo frente asus crticos. Puede decirse que an hoy son los nicos porque para losmatemticos la ciencia no puede fundamentarse en la filosofa, a la que

desprecian. Y para ellos el concepto de infinitesimal no es matemtico sinofilosfico de manera que prefieren dejar a su ciencia sin ninguna clase defundamento.


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Las fluxiones de Newton

El clculo infinitesimal mide el movimiento de los fenmenos naturales, su ritmoy su cambio, superando la concepcin cualitativa heredada de Aristteles. Hastael siglo XVII las ciencias relacionaban unas variables con otras, pero nunca sehaba concebido que el tiempo fuera en s mismo una variable que influa sobreotras variables y que, en consecuencia, los fenmenos cambiaran con esa

variable. Existen magnitudes que no dependen del tiempo, como por ejemplo, elpeso o la carga elctrica, pero hay otras que dependen del tiempo, que cambiancon el transcurso del tiempo. El movimiento se poda medir cuantitativamentegracias al nuevo instrumento matemtico: El clculo diferencial permite que lasciencias naturales representen por primera vez, en forma matemtica, procesosy no slo estados, movimiento (3).

La matemtica, escribi Engels, penetr entonces en el terreno de la dialctica(4). Se impuso de manera definitiva la nocin de magnitud variable o, como lallamaba Newton, fluxin o flujo, que las ciencias deben considerar de formadinmica. As por ejemplo, no tiene sentido hablar de salarios ni de beneficios sino se concreta que los salarios son cantidades mensuales y los beneficios son

cantidades anuales. En cuanto los conceptos definen estados, son fluentes, y encuanto cambian, son fluxiones. As, el capital, en cuanto estado, se descomponeen sus dos partes integrantes: capital constante y capital variable. Pero encuanto flujo, el capital se divide en capital fijo y capital circulante. En un aodeterminado, el capital depende del capital del ao anterior ms la plusvalaacumulada. En el primer caso el capital se mide en unidades de valor, es unfluente, mientras que en el segundo se mide en unidades de valor por unidad detiempo, y es una fluxin.

Nuestro mundo est en perpetuo flujo. El capital describe una rotacin en el quecambia de forma, cambia cualitativamente y cambia tambin cuantitativamente,se incrementa con la plusvala y vuelve al punto de partida. El esfuerzo por

comprender cuantitativamente este movimiento y crecimiento da lugar a lacreacin del clculo infinitesimal, la derivada y la integral.

Pero la potencia del clculo infintesimal no slo concierne al cambio en lasmagnitudes sino a la velocidad con la que cambian, lo que la matemticadenomina como derivada con relacin al tiempo, que a su vez es tambinvariable y posee tambin sus fluxiones y as sucesivamente.

La imagen intuitiva ms corriente que puede asociarse a la fluxin es lavelocidad. La velocidad es el cociente del espacio recorrido dividido por el tiempoinvertido en recorrerlo. Si hemos tardado una hora en recorrer 100 kilometros, lavelocidad ha sido de 100 kilmetros por hora. Pero esto es slo unaaproximacin porque no aporta ms que un promedio; para aproximaciones ms

cercanas e incluso instantneas, necesitamos intervalos ms pequeos detiempo y para el clculo de las velocidades instantneas, es decir, de fluxiones,se exigen variaciones infinitesimales de los fluentes. En trminos matemticos,la velocidad instantnea es la derivada del espacio respecto al tiempo y laaceleracin es la derivada segunda o derivada de la derivada.

De esta forma determinamos la relacin entre los fluentes dada la relacin entrelas fluxiones. La potencia del clculo es tal que la operacin inversa tambin esposible.

El sinequismo de Leibniz

Independientemente de Newton, Leibniz fue el otro creador del clculoinfinitesimal, que integra dentro de una amplia y profunda concepcin filosficapreada de dialctica.


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El filsofo y cientfico alemn elabor una teora donde la nocin de infinitodesempeaba un lugar central. El infinitesimal es una foma de infinito que aludea lo infinitamente pequeo, pero sin alcanzar nunca el cero. Ambos tipos denmeros (infinitos e infinitesimales) tienen la misma propiedad fundamental,que los antiguos filsofos griegos (5) describan afirmando que eran comoesponjas absorbentes: lo finito se aniquila en presencia de lo infinito. Ante elinfinito cualquier nmero finito es como cero: si al infinito le quitamos uno desus elementos, sigue siendo infinito, y si le aadimos un elemento ms, siguesiendo igual de infinito. Lo mismo le pasa al cero: cualquier nmero finitomultiplicado por cero es igual a cero, se anula. Una cantidad es infinitesimalrespecto a otra, no comparable con ella, cuando al sumarse a ella no lograaumentarla, ni disminuirla cuando se les resta. Luego, podra decirse que es nularespecto a ella. Una playa no deja de serlo porque nos llevemos un poco de arenapegada a los pies.

Pero a diferencia de Newton, en Leibniz los infinitesimales no son instantes detiempo ni nada fsico sino algo mucho ms general y dialctico: la interrelacinuniversal de los fenmenos donde cualquier cambio en la naturaleza provocareacciones en su entorno, de manera que incluso el ms insignificante de los

cambios trae consecuencias. Todo cuerpo se resiente de todo lo que se haga enel universo, afirma Leibniz (6). En un mundo denso en el que el vaco no existe,cualquier movimiento provoca un efecto sobre los cuerpos por ms distantes quese encuentren. Esto quiere decir que lo infinitesimal no es algo despreciable, unresto insignificante, sino algo a tomar en consideracin.

Tambin a diferencia de Newton, que era atomista, Leibniz es sinequista, esdecir, que defiende la infinita divisibilidad de la materia: todo continuo esdivisible en partes que, a su vez, son siempre divisibles. Considera esta cuestincomo la dificultad fundamental de la filosofa, el famoso laberinto de lacomposicin del continuo (7), hasta el punto de que llega a hablar de una ley decontinuidad que se expresa en su principio: la materia nunca da saltos (8).

A diferencia de la fsica, dominada por el atomismo, el sinequismo estslidamente implantado en la matemtica desde la poca de Arqumedes (287-212 a.n.e.) iniciador del postulado de continuidad. Despus de los pitagricos, enla matemtica no ha habido verdadero atomismo; ms bien toda la matemticaes un esfuerzo de siglos por comprender el continuo y trabajar con l.

El postulado de continuidad de Arqumedes, que se encontraba ya apuntado enEuclides (9), establece la divisibilidad infinita de los entes matemticos y puedeformularse grficamente diciendo que una magnitud que evoluciona de un valora otro, en su recorrido toma todos los valores intermedios entre ambos. Es comosi para cruzar un ro siempre tuviramos un puente que nos evitara tener quesaltar por el lecho de una piedra a otra.

Pero el sinequismo de Leibniz y de los matemticos es errneo; el postulado deArqumedes es a la vez un postulado de la continuidad y de la discontinuidad.Para cruzar los ros matemticos tenemos puentes tanto como piedras pero,adems, sucede que, en ocasiones, una orilla no tiene nada que ver con la otra;el puente une extremos que no son homogneos.

El pecado original de la matemtica

El cambio de las variables se puede calcular mediante una funcin que lasrelaciona. Si y=f(x), una variacin de la variablex, que notamos como x,produce otra variacin de y que notamos como y. Si esas variaciones son muy

pequeas, se llaman diferenciales (infinitesimales o infinitsimos) y se anotanrespectivamente como dx y dy. Si la variable independiente x cambia


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de x0 a x1 y la variable dependiente y cambia de y0 a y1, los diferenciales son

las diferencias respectivas de ambos valores; por tanto, restando:

dx = x1 x0

dy = y1 y0

Para calcular la derivada de una funcin cualquiera, por ejemplo la curva

parablica y = x2, podemos considerar que una variacininfinitesimal dx produce una variacin tambin infinitesimal dy: y+dy =

(x+dx)2 = x2+2xdx+d2x; al restar (diferenciar) esta expresin de la ecuacin

original desaparece y de un lado y x2 del otro por ser iguales y, en

consecuencia: dy= 2xdx+d2x. Entonces llegaba la ficcin: Newton y Leibniz

despreciaban el sumando infinitesimal d2xporque estimaban que era cero y, portanto, quedaba: dy= 2x dx. Luego, dividiendo ambos lados de la ecuacinpor dxobtenan la derivada: dy/dx = 2x.

Esta simple operacin matemtica pone de manifiesto la concurrencia de tres

contradicciones simultneas:el tratamiento de las lneas curvas como si fueran lneas rectas (10). Laderivada 2x ya no es una parbola sino una recta cuya pendiente es constante, loque significa que en el intervalo infinitesimal no vara aunque varen x e y. Esarecta es la tangente a la curva en el punto de partida y representa lo que variarala posicin en un intervalo si lo hiciera uniformemente, es decir, con una rapidezconstante. Por tanto, no era ms que el clculo de un aumento medio.

la consideracin como igual de lo que es desigual. La aproximacin se expresamediante una ecuacin contradictoria:x+dx=x que slo es posible si dx es cero.Pero dx no es cero sino algo infinitesimal, es decir, que es casi cero pero nuncaexactamente igual a cero. Sin embargo, este pequeo error se despreciaba

afirmando al mismo tiempo que x vara y que esa variacin es cero. Losinfinitesimales son a la vez el ser y la nada. Deca Engels que son la negacin delas magnitudes variables, una relacin cuantitativa sin cantidad (11).

la descomposicin del movimiento continuo en movimientos discontinuos,sucesivos, producidos a trozos, como por impulsos. Como el error cometido alrealizar la estimacin es menor cuanto menor sea el intervalo x se puedemejorar la aproximacin de y dividiendo el intervalo x en subintervalos ysuponiendo que la pendiente de la recta 2x vara de un intervalo a otro pero semantiene constante dentro de cada uno de ellos. Cuantas ms subdivisiones serealicen del intervalo las estimaciones totales se acercarn cada vez con msprecisin al valor real. De ese modo se alcanza lo continuo a travs de lo

discreto, de manera que el sinequismo de Leibniz no se podra entender sin elatomismo de Newton.

Todo eso abri la caja de los truenos, como escribi Engels: Con la introduccinde la magnitudes variables y la ampliacin de su variabilidad hasta loinfinitamente pequeo y lo infinitamente grande, la matemtica, tan rigurosa engeneral en sus costumbres, ha cometido su pecado original; ha comido lamanzana del conocimiento, la cual le ha abierto la va de los xitos msgigantescos, pero tambin de sus errores. Se perdi para siempre el virginalestado de validez absoluta, de la inapelable demostracin de todo lo matemtico;empez el reino de la controversias, y hemos llegado ahora a una situacin en lacual la mayora de la gente diferencia e integra no porque entienda lo que hace

sino por mera fe porque el resultado ha sido hasta ahora siempre correcto (12).En efecto, la fe penetraba en la matemtica, que hasta el siglo XVII habaconcebido lo exacto de una manera esttica e inmutable, como vlido de una vez


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y para siempre. Cmo conciliar la exactitud con la magnitud variable? Si unamagnitud cambia, cmo puede resultar exacta al mismo tiempo?

La perplejidad

Nadie entendi lo que significaban aquellas cantidades divisibles evanescentes.Berkeley afirm en 1734 que si podemos alcanzar una solucin exacta por mediode razonamientos errneos, entonces lo mismo cabe decir de la fe, que puedelograr tambin conocimientos verdicos por vas msticas. Si el clculo diferencialvale, tambin vale la teologa. Un artculo suyo llevaba el siguiente ttulo: Elanalista, o discurso dirigido a un matemtico infiel, donde se examina si losobjetos, principios e inferencias del anlisis moderno estan formulados demanera ms clara, o deducidos de manera ms evidente, que los misteriosreligiosos y los asuntos de la fe. En l comentaba Berkeley: Qu son lasfluxiones? Las velocidades de incrementos evanescentes. Y qu son estosmismos incrementos evanescentes? Ellos no son ni cantidades finitas, nicantidades infinitamente pequeas, ni nada. No las podramos llamar fantasmasde cantidades que han desaparecido? En sus Principios del conocimiento

humano, el obispo, una de cuyas preocupaciones fue siempre la matemtica, yahaba atacado los profundos misterios envueltos en los nmeros as como suinfinita divisibilidad (13). El obispo sostena que una extensin finita no puedecontener un infinito nmero de partes. Esa es una curiosa paradoja que repugnael sentido comn, deca. No se puede multiplicar un infinitsimo por ningunacantidad de la que resulte un nmero finito; ni siquiera el infinito multiplicadopor un infinitsimo arroja un resultado finito. No existen infinitsimos deinfinitsimos de infinitsimos, as como tampoco infinidad de infinidades nininguna cantidad menor que el mnimo sensible.

Las discusiones siguieron. En la serie de artculos de la Enciclopedia queconsagr al clculo, D'Alembert estableci una diferencia muy precisa entreLeibniz y Newton, oponiendo el supuesto embrollo filosfico de uno (Leibniz) a laclaridad cientfica del otro (Newton). Segn D'Alembert, el britnico no hatomado jams el clculo diferencial como el clculo de cantidades infinitamentepequeas, sino como el mtodo de las primeras y ltimas proporciones, es decir,el mtodo de encontrar los lmites de las relaciones, comprendiendo que la teorade los lmites es la verdadera base del clculo diferencial. Por el contrario, critica Leibniz porque se puede prescindir muy cmodamente de toda esa metafsicadel infinito en el clculo diferencial.

Con el fin expreso de sustituir la nocin de infinitesimal, Lagrange convoc unconcurso de matemticos en 1784 en la Academia de Berln. Pero, ante la faltade respuestas satisfactorias, public su propia solucin, tratando de apartar alclculo de los infinitesimales y de colocar la nocin de derivada en un lugarpreeminente. Se propona vaciar de significado fsico a los diferenciales, evitandoidentificarlos con los infinitesimales y sacndolos para siempre de lamatemtica. El ttulo completo de su obra lo deca todo acerca de supropsito: Teora de las funciones analticas que contienen los principios delclculo diferencial depurados de toda consideracin de los infinitamentepequeos o evanescentes, de lmites o de fluxiones y reducidos al anlisisalgebraico de cantidades finitas. En lugar de hablar de dx y dy haba que hablarde dy/dx. El concepto de diferencial dx es confuso; el de derivada dy/dx estransparente.

El xito de la tesis de Lagrange ha separado a la matemtica de sus aplicacionesprcticas en otras ciencias. As se refleja en la distinta consideracin que tienen

de los infinitesimales: en la matemtica no desempean ninguna funcin,mientras en todas las dems ciencias constituyen conceptos decisivos. Lamatemtica ha renunciado a dar significado al concepto de infinitesimal; para


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ella slo la derivada y la integral tienen importancia. Por el contrario, las demsciencias con otros nombres- siguen aludiendo a los infinitesimales.

Evidentemente, como reconoci Berkeley, Lagrange slo haba sorteadoformalmente el problema para evitar contradicciones, ya que al final es precisovolver a la idea de los incrementos evanescentes. En el momento de lasaplicaciones fsicas, como se refleja en su Mecnica analtica, Lagrange

recuperaba el uso de los infinitesimales. Volva al punto de partida.An en la actualidad la matemtica sigue dando rodeos, como los de Lagrange,para eludir los infinitesimales, y la filosofa burguesa se ha tomado en serio eseesfuerzo quimrico. Por ejemplo, en Espaa en el prlogo al Anti-Dhring queescribi en 1964, Manuel Sacristn critica la interpretacin del clculoinfinitesimal que Engels realiz cien aos antes en aquella obra, por unaperniciosa infuencia de Hegel, porque la nocin de infinitsimo es absurda y lade fluxin vaga e imprecisa. Afortunadamente, dice Sacristn, hoy las viejasantinomias del clculo inifinitesimal estn superadas por la matemtica, queconsidera las variables como simples signos. A diferencia de Berkeley, Sacristnno lleg a obispo: no entendi el clculo pero tampoco a Engels.

En el principio fue la prctica

El concepto de infinitesimal nace de la prctica y slo se entiende dentro de ella.No es posible definir a priori los infinitesimales sin definir las operaciones declculo de las que forman parte, porque, como el nmero y cualquier otramagnitud, un infinitesimal es una comparacin, una relacin entre variables: elconcepto de magnitud es relativo, deca Leibniz (14). Son esas relaciones las quedefinen los infinitesimales, y no a la inversa: la diferenciacin define ladiferencial. Los diferenciales no son nada fuera de la operacin que les daorigen, y eso mismo impide que se las trate como cantidades determinadas.Querer partir de los elementos es olvidar que los verdaderos elementos del

clculo son las relaciones: Buscamos las cantidades all donde necesitaramosdeterminar las relaciones, dir Leibniz.

Los infinitsimos son especies nuevas de magnitudes engendradas por nuevasespecies de operaciones. Como escribi Leibniz: El nuevo anlisis de los infinitosno trata ni de las figuras, ni de los nmeros, sino de las magnitudes engeneral[...] Muestra un algoritmo nuevo, es decir una nueva manera de sumar,de restar, de multiplicar, de dividir, de extraer, incluso a cantidadesincomparables, es decir a aquellas que son infinitamente grandes, oinfinitamente pequeas en comparacin con las dems. La operacin x + dx =x no es, pues, ni incorrecta ni inexacta.

Los diferenciales son infinitamente ms pequeos que las magnitudes que se

diferencian y, en consecuencia, hay que considerarlas como incomparables entres. No se puede operar con ellas como se opera con magnitudes finitas. Sloexiste error si suponemos que los diferenciales dx son comparables a x. Con loinfinitamente pequeo sucede lo mismo que con lo infinitamente grande:respecto a dx la variable x es infinita. No hay ninguna diferencia entre laecuacin + 1 = y su equivalente infinitesimal: x + dx = x. Los infinitesimalestambin son una esponja aniquiladora, no aaden ni quitan nada de unacantidad. Tanto se puede decir que dx es un infintesimal respecto a x comoque x es infinita respecto a dx.

Todo esto conduce a una tesis diferente al sinequismo que Leibniz queradefender: la continuidad no significa homogeneidad, de manera que s se

producen saltos, s existe la discontinuidad. Como dir irnicamente Engels: Nohay saltos en la naturaleza precisamente porque la naturaleza est compuestapor entero de saltos (15). Cuando el postulado de continuidad de Arqumedes


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alude a dos valores extremos que se pueden recorrer a travs de todos lospuntos intermedios, tales valores extremos deben ser comparables, de maneraque se pueda establecer, por ejemplo, una media entre ambos, una proporcin.Entre el 2 y el 3 est el nmero intermedio 2'5. Pero slo si se pueden compararpodremos hablar de magnitudes arquimedeanas, homogneas. No obstante, hayotras magnitudes que son incomparables, que nada aaden a aquellas otras a lasque se unen: dx no aade nada a x. Del mismo modo, un punto no aade nada auna recta; no se prolonga una recta aadindole un punto ms.

Continuidad y discontinuidad

Por tanto, el postulado de Arqumedes, que los matemticos calificande continuidad, lo que hace es introducir la discontinuidad y los saltos en lamatemtica. Descubre que entre unas magnitudes y otras no slo hay diferenciascuantitativas sino tambin cualitativas de manera que, precisamente a causa deello, no se pueden poner en relacin. El cero y el infinito, tomados comomagnitudes, estn entre las no arquimedeanas. Cuando una magnitud no sepuede comparar con otra se dice que es infinita o, lo que es equivalente,

infinitamente grande o infinitamente pequea en relacin con ella. Por ejemplo,no podemos hallar la media aritmtica entre una magnitud finita cualquiera y elinfinito, y entonces decimos que es infinita, que es otra manera de decir que noson homogneas. Los nmeros son relaciones entre las cosas y no las cosasmismas y, para que pueda haber nmeros, las cosas antes se tienen que poderrelacionar. No se pueden sumar zapatos y cebollas. En su obra De la esfera y delcilindro, Arqumedes lo expres con un cuidado exquisito que no siempre se haleido bien: Entre lneas desiguales, superficies desiguales y slidos desiguales, laparte en la que la ms grande sobrepasa a la ms pequea, sumada a s mismaes capaz de de sobrepasar cualquier magnitud dada entre las que soncomparables entre s. Este ltimo inciso es la clave: las magnitudes deben sercomparables y los infinitesimales son magnitudes incomparables con respecto a

las finitas.

300 aos antes de nuestra poca, Arqumedes ya estaba expresando unaaplicacin especfica de la ley dialctica de la transformacin de los cambioscuantitativos en cambios cualitativos: una magnitud que, aunque prxima, no esnula, llega a anularse a partir de un determinado momento.

Este postulado es tambin una aplicacin de salto de lo continuo a lo discreto,que requiere, como dice Leibniz, cierta consideracin del infinito y el infinitosigue dando vrtigo a los matemticos (y a todos los cientficos en general). SloEngels supo apreciarlo. Es el nico que defiende el uso de infinitesimales sinninguna clase de complejos, porque afirma- la diferencia entre una cantidadcualquiera y un infinitsimo no es slo cuantitativa sino cualitativa. Loinfinitamente grande no slo es diferente de lo infinitamente pequeo sino queentre ambos hay una oposicin cualitativa infranqueable. Entre cantidades tandispares desaparece toda relacin racional, toda comparacin y se vuelvencuantitativamente incomensurables. Los infinitesimales aade Engels- no soncantidades imaginarias sino que existen en la naturaleza. Para ello se apoya enel carcter relativo de las magnitudes. Por ejemplo, las distancias del sistemasolar son infinitesimales en comparacin con los aos-luz en que se miden lasdistancias galcticas, y lo mismo cabe decir de unas masas terrestres encomparacin con las de las grandes estrellas del universo, de manera que lo queparece misterioso e inexplicable en el caso de la diferencial, en la abstraccinmatemtica, aqu parece tan corriente como si fuese evidente, por lo que se

puede afirmar que la naturaleza opera con diferenciales (16).

Notas:


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(1) Dialctica de la naturaleza, Madrid, 1978, pg.212(2) Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano, Madrid, 1977, pg.51(3) Engels, Dialctica de la naturaleza, cit., pg.216(4) Anti-Dhring, Mxico, 2 Edicin, 1968, pgs.112-113 y 125(5) Aristteles, Metafsica, Madrid, 1985, pg.87(6) Monadologa, 61(7) Discurso de metafsica, 10(8) Nuevos ensayos, cit., pg.49(9) Elementos de Geometra, Libro V, Definicin 4(10) Engels, Anti-Dhring, cit., pg.111(11) Anti-Dhring, cit., pgs.127-128(12) Anti-Dhring, cit., pgs.76-77(13) Principios del conocimiento humano, Barcelona, 1999, pgs.93 y stes.(14) Discurso de metafsica, 12(15) Dialctica de la naturaleza, cit., pg.215(16) Dialctica de la naturaleza, cit., pgs.206 y 213

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