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Engenharia Econmica e Finanas
Professor: Fbio de Oliveira Alves
Contatos: [email protected]
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Unidade 1
Introduo Matemtica
Financeira
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Sumrio
Valor do dinheiro no tempo
Conceitos
Juros (J)
Fatores que compem os juros
Taxa de juros (i)
Capital (C) ou Valor Presente (VP)
Montante (M) ou Valor Futuro (VF)
Fator de Aumento
Fator de Desconto
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Valor do dinheiro no tempo
O que vale mais: R$ 300,00 hoje ou este mesmo
valor daqui a 1 ms?
Por qu?
E se a pergunta fosse...
O que vale mais: R$ 300,00 hoje ou R$ 315,00 daqui
a 1 ms?
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Conceitos
O que Juro?
Juro toda compensao em dinheiro que se
recebe ou que se paga, pelo dinheiro que se
empresta, ou que se pede emprestado; ou...
o aluguel pago pela disponibilidade do
dinheiro.
Ateno: Juro diferente de taxa de juros!
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Que fatores que compem/ influenciam o
valor da taxa de juros?
Risco
Inflao
Lucro
Despesas envolvidas
Conceitos
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Capital (C) ou Valor Presente (VP)
um VALOR em dinheiro disponvel numa data
especfica, geralmente na data atual.
Montante (M) ou Valor Futuro (VF):
Montante a soma do capital investido (ou
emprestado) com os juros recebidos (ou pagos)
no perodo considerado.
Assim:
M = C + J
Conceitos
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O que Taxa de Juros (i)?
a razo entre os Juros pagos (ou recebidos) ao final do perodo e
o capital inicial emprestado (ou aplicado).
Exemplo 1: Se eu pegar R$ 500,00 emprestado hoje para pagar R$
650,00 daqui a 4 meses, qual a taxa de juros total cobrada?
Qual o valor do capital? E o valor do juro cobrado?
i = J / C i = 150 / 500 i = 0,3 ou 30%
C
Ji Taxa total, ou seja,
para todo o perodo!
Conceitos
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Taxa de Juros (i)
Exemplo 2: Um produto teve seu preo
aumentado de R$200,00 para R$215,00.
Qual foi a taxa percentual de aumento?
Soluo:
i = J / C i = 15 / 200 i = 0,075 = 7,5%
Conceitos
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Ano Comercial
Considera o ano com 360 dias, subdividido em
12 meses de 30 dias cada.
Exemplo: intervalo de 05/05/14 a 18/06/14 :
De 05/05/14 a 04/06/14 30 dias
De 05/06/14 a 18/06/14 14 dias (incluindo ambos)
Total: 44 dias
OBS.: neste curso, vamos considerar sempre o ano comercial!
Conceitos
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Ano Civil
Considera o ano com 365 dias ou 366 se
for bissexto.
Conceitos
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Resumo
Smbolo Significado
C ou VP Capital ou Valor Presente
i
Taxa de Juros
do perodo
Taxa percentual:
10% a.m.
Taxa centesimal/
unitria: 0,10 a.m.
n (ou t) nmero de perodos (ms, semestre, ano, etc) ou prazo
da
operao
M ou VF Montante ou Valor Futuro
J Juro
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Reviso Porcentagem
Taxa percentual (ou porcentagem): toda
razo a / b, na qual b = 100. (Ex: 30%; 1,5%)
Exemplos:
Dos 250 candidatos que prestaram um concurso,
50 foram aprovados. Qual a taxa percentual de
aprovados?
Uma fbrica tinha 800 funcionrios. Este ano o
nmero de funcionrios aumentou em 15%.
Quantos funcionrios tem a fbrica agora?
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Reviso Porcentagem
Taxa unitria ou centesimal:
para encontr-la, basta
DIVIDIR a taxa percentual por
100.
Exemplos:
Taxa
Percentual
Taxa
unitria
3% 0,03
1,5% 0,015
0,67% 0,0067
40% 0,40
95,78% 0,9578
168% 1,68
560% 5,6
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Fator de Aumento
Fator de aumento (u):
Pode ser entendido como o coeficiente, u, pelo
qual se deve multiplicar o valor inicial a fim de
se obter o valor final (em caso de aumento),
considerando a taxa de juros em questo.
Matematicamente, tem-se: , sendo i a de juros.
Exemplo: O valor de um aluguel de um apartamento
era R$ 850,00 e foi aumentado em 8%. Qual o valor
reajustado do aluguel?
iu 1
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Fator de Aumento
Devemos considerar 850 = 100% (valor inicial).
Queremos 8% de 850. O valor final ser 100% + 8%
= 108%.
Dividindo 108 por 100 (108/100 = 1,08), obtemos o
fator de aumento (= 1,08).
Observe que u = 1,08 = 1 + 0,08.
Assim, para calcularmos o valor reajustado do
aluguel, basta multiplicar o valor inicial pelo fator de
aumento: R$ 850 x 1,08 = R$ 918,00.
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Fator de Desconto
Fator de desconto (d):
Pode ser entendido como o coeficiente, d, pelo
qual se deve multiplicar o valor inicial a fim de
se obter o valor final (em caso de desconto),
considerando a taxa de juros em questo.
Matematicamente, tem-se: , sendo i
= taxa de juros.
Exemplo: O aluguel de um apartamento era
R$ 900,00 e apresentou uma reduo de 4%.
Qual ser o novo valor?
id 1
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Fator de Desconto
Devemos considerar 900 = 100% (valor inicial).
Queremos 4% de 900. O valor final ser 100% - 4% = 96%.
Dividindo 96 por 100 (96/100 = 0,96), obtemos o fator de
desconto (= 0,96).
Observe que d = 0,96 = 1 - 0,04.
Assim, para calcularmos o novo valor do aluguel, basta
multiplicar o valor inicial pelo fator de desconto:
R$ 900 x 0,96 = R$ 864,00.
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Exerccios de Reviso
Calcular:
12% de 500 (R: 60)
89,5% de 800 (R: 716)
0,5% de 300 (R: 1,5)
230% de 500 (R: 1150)
1200% de 400 (R: 4.800)
100% de 64 (R: 64)
O novo valor de uma prestao de R$ 200,00 aps um aumento de 7%.
(R: 214,00)
O novo valor de uma prestao de R$ 2.000,00 aps um desconto de
13,5%. (R: 1.730,00)
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Questes propostas
1. Trs aumentos sucessivos de 5%, 8% e 12% correspondem a um
nico aumento de que porcentagem?
2. Dois descontos sucessivos de 8% e 10% correspondem a um nico
desconto de que porcentagem?
3. Um comerciante aumentou o preo de um produto em 15%. Todavia,
como as vendas caram, ele resolveu voltar ao preo original para
compras a vista. Que porcentagem de reduo deve ser dada ao produto
para atingir seu objetivo?
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Questes propostas
4. Um produto teve seu preo alterado de R$ 45,00 para R$ 42,00.
Qual foi a taxa percentual de reduo?
5. Um comerciante comprou um livro por R$ 65,00 e o anunciou
para revenda por R$ 80,00.
a) Qual a porcentagem de lucro nessa venda?
b) Qual a porcentagem de lucro em relao ao preo de venda?
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Questes propostas
6. Um produto teve seu preo reajustado de R$ 25,00 para R$
32,00. Qual foi a taxa percentual de aumento?
7. Dois descontos sucessivos de 20% e 15% correspondem a um nico
desconto de que porcentagem?
8. Uma mistura de 120 litros continha apenas lcool e gasolina,
sendo 70% o teor de gasolina. Foram retirados 30 litros os quais
foram substitudos por 5 litros de gua e 25 litros de lcool. Qual
teor de lcool na nova mistura?
Respostas: 28%; 32%; 43,333...%
EEF - Fbio Alves 22
Bibliografia indicada
VIEIRA SOBRINHO, Jos Dutra. Matemtica financeira. So Paulo:
Atlas, 2000. Captulo 1: item 1.1.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemtica Financeira e suas aplicaes. 11.
ed. So Paulo, Atlas, 2009. Captulo 1: itens 1.1 a 1.4; 1.11.
