Captulo V

Captulo V

Foras Distribudas: Centrides e Baricentros

5.10 Determine a posio do centride da superfcie plana da figura.

Observe que a figura pode ser considerada como composta por um quadrado do qual foi subtrado um quarto de crculo. Logo o seu centride pode ser determinado pela composio dos centrides das figuras componentes, considerando o quarto de crculo como tendo rea negativa.

a - determinao dos centrides das figuras componentes:

- quadrado

xI = 60 / 2 = 30 mm- quarto de crculo (pg 295)

Logo

b ) Centride da figura composta:

Componentes

X

y

Quadrado360030

Quarto de crculo.-2827,4334,535

Total772,57

As equaes que definem as coordenadas x e y do baricentro de uma placa homognea so

xA = ( x dA e yA = ( y dA ,

que para figuras compostas por figuras geomtricas conhecidas podem ser simplificadas para

x A = ( x dA e y A = ( y dANote que esta frmula na verdade derivada do teorema de Varignon que mostra que o momento da resultante de um sistema de foras igual a soma dos momentos das foras componentes, no caso de estas foras serem concorrentes. Os momentos de Primeira Ordem de rea so, na verdade os momentos de foras peso de placas homogneas e de espessura constante em que a massa especifica e a espessura foram simplificadas por ocorrerem em ambos os lados da igualdade. Note tambm que as foras peso so sempre concorrentes, uma vez que paralelas.Portanto teremos de X. : X. (772,57) = 10,533.

Como a figura simtrica em relao aos dois eixos ortogonais x e y sabemos que as coordenadas do centride so iguais. Portanto,x = y = 13,40 mm5.12 Determine a posio do centride da rea plana da figura.Tambm neste caso a figura pode ser visualizada como sendo limitada por dois arcos de parbola cujos baricentros foram previamente determinados e podem ser encontrados na tabela da pagina 295 do livro texto.

a - Posio do centride das figuras componentes (pg 295):

XII = 3.a = 3.500 = 375mm

4 4 yII = 3.h = 3.500 = 150mm 10 10AII = a.h = = 83.333 mm23 3XI = 3.h = 3.500 = 300mm

5 5 yI = 3.a = 3.500 = 187,5mm

8 8AI = 2.a.h =

= 166.666,67mm23 3Compondo uma tabela com os elementos A rea das figuras componentes, x e y , coordenadas dos centrides das figuras componentes, e xA e yA momentos de primeira ordem das reas componentes, pode-se visualizar com mais facilidade a resoluoComponentesA

X(mm)

I166.666,67300

II-83.333,00375,00

TOTAL83.333

Y(mm)A.XA.Y

187,550.000.00031.250.001

150,00-31.249.875-12.499.950

18.750.12518.750.051

Logo x = y = 18 750 051 / 83 333 = 225 mm Portanto, simtrica, como j era sabido.

5.23 -- O eixo x, horizontal, passa pelo centride C da superfcie da figura e a divide em duas partes A1 e A2. Determine o momento esttico de cada parte componente em relao ao eixo x e explique os resultados obtidos.

a - Precisamos inicialmente determinar o valor do segmento a, que representa a medida da interseo do eixo x com o tringulo, e que pode ser obtido a partir da seguinte proporo (Teorema de Tales):

ento

b - Determinao dos momentos de l ordem. Como no existe uma frmula que permita calcular a posio do centride do trapzio abaixo do eixo x, esta rea dever ser dividida nos tringulos I e II. Portanto:

Cuja soma vale 375 000 mm3. Deve-se observar que este valor deve ser tomado como negativo, uma vez que as reas se localizam abaixo do eixo x.

Para o tringulo parcial 3 teremos:

valor que positivo porque a figura se localiza acima do eixo x.Observamos que [Q1+ Q2]=[Q3], ou seja, o momento de primeira ordem da parte superior da figura igual ao momento de primeira ordem da parte inferior da figura, uma vez que, como o centride est sobre o eixo x .

O aluno deve entender, a partir deste exemplo, que o centride de uma rea o ponto de equilbrio dos momentos de primeira ordem. Se considerarmos que a rea sendo estudada representa uma placa ou laje de espessura constante e de densidade uniforme, o centride da rea, agora denominado baricentro da placa, o ponto onde poderemos considerar aplicado o vetor que representa o peso total da placa. Como o somatrio dos momentos de 1a Ordem nulo em relao ao centride, se pendurarmos a placa pelo seu baricentro, a placa assumir a posio horizontal, ou seja, haver equilbrio de momentos de todos os pesos elementares componentes da placa em relao a este ponto, e este ponto nico. Assim no se deve imaginar que os eixos que passam pelo centride dividem a rea total em reas iguais, mas sim em reas cujos momentos de 1a ordem so iguais e se anulam quando somados.5.30 -Um arame homogneo ABCD dobrado como se v na figura. Em C o fio preso por uma articulao. Determine o comprimento L para que a parte BCD fique na posio horizontal.

a) devemos inicialmente dividir o arame em trs segmentos. Considerando que o valor p como o peso por comprimento unitrio do material, teremos como valores dos pesos de cada um dos segmentos:

P1 = 80.p;

P2 = 100.p;

P3 = L.p;E evidente que o valor da fora que sustenta o arame em C deve ser igual a soma dos valores dos pesos dos segmentos nos quais est dividido o arame, j que uma das condies de equilbrio deve ser ( F = 0. Para que o arame fique na posio horizontal necessrio tambm que ( MC = 0, o que implica em que o momento dos segmentos a esquerda de C deve igualar o momento dos segmentos situados a direita de C. Portanto:

5.39 Determinar por integrao o centride da superfcie da figura.

a devemos inicialmente determinao da equao da reta que delimita o tringulo, o que pode ser obtido por semelhana de tringulos. Assim obtemos:y/x = h/b e a equao da reta ser y = h/b xDeve-se observar que no retngulo elementar as coordenadas do centride valem yel = y / 2 , ou seja metade da altura do retngulo, que a ordenada y , xel = x , que a abcissa contada a partir do eixo y e dA = y dx, que a rea do retngulo elementar, produto da base pela altura.b - Determinao da rea por integrao: integrando em x, variando entre 0 e b temos:

expresso j conhecida e que representa a rea de um tringulo qualquer de base b e altura h.c - Determinao dos momentos de ordem:

Novamente teremos que observar que o momento da rea total deve ser igual ao somatrio dos momentos das reas parciais que compem a figura. Neste caso as reas parciais so representadas pelos retngulos elementares de dimenses infinitesimais em que pode ser dividido o tringulo com base no eixo x, entre 0 e b. Como as reas agora so infinitesimais, o seu somatrio se transforma numa integral, e teremos:

d - Determinao da posio do centride da figura:

Note que determinada a posio do centride do tringulo por integrao, situado a 1/3 da altura em duas direes perpendiculares a duas bases tomadas arbitrariamente, este valor poder ser usado na determinao do centride de reas que possam ser decompostas em tringulos parciais.5.41 - Determine por integrao o centride da superfcie da figura.

a - Determinao das constantes das equaes da parbola e da reta.Parbola ( equao 1) a equao geral da parbola do segundo grau pode ser escrita como y1 = k1 x2 onde x = a quando y1 = b. Assim e

,

E y1 = (b/a2 )x2 .De maneira semelhante temos para a equao da reta ( equao 2) :

e

Logo,

b - coordenadas do centride do retngulo elementarNote que o centride da rea entre o segmento de reta y2 e o segmento de parbola y1 pode ser determinado considerando os momentos de 1 Ordem do tringulo e da rea sob a parbola, j conhecidos. Iremos, no entanto, para resolver o problema por integrao, considerar o retngulo elementar traado entre as curvas y2 e y1 Para este retngulo elementar de altura y2 - y1 temos como coordenadas do centride os valores e o segmento de parbola

e com

Note que o retngulo considerado igual a diferena entre o retngulo traado entre o eixo x e a reta e o retngulo traado entre o eixo x e a parbola. c - determinao da rea total entre as duas curvas:

d - determinao dos momentos de ordem

Notar que os momentos de Primeira Ordem tm dimenso

e - Determinao da posio do centride:

5.47 - Obter as coordenadas x e y do centride de um setor circular. Como o setor circular simtrico em relao ao eixo x sabemos que y =0. Para a determinao da outra coordenada teremos que considerar o setor circular como dividido em tringulos elementares de vrtice em O. Considerando o centride do tringulo elementar teremos e

b - determinao da rea do setor circular por integrao.Note que a integrao ser feita em ( variando entre -( e +( considerando a rea do tringulo elementar

c - determinao do momento de ordem:

d - determinao de x:x A = ( xel dA . Logo x ( ( r2 ) = 2/3 r3 sen ( , e x = 2r sen ( / 3(Observe que nesta equao o valor de ( que aparece no denominador deve ser tomado em radianos.5.57- Determine o volume do slido gerado pela rotao da figura escurecida sob a parbola, em tomo do eixo: a) xb) AA.

a A posio do centride do segmento de parbola do segundo grau se encontra tabelado e vale:x =3/4 a y = 3/10 h e a rea A = 1/3 a . hb - Determinao do volume do slido de revoluo rotao em x.Sabemos da teoria (Teorema de Pappus Guldin) que o volume do slido gerado igual ao produto da rea da figura geratriz pela distncia percorrida pelo seu centride numa rotao de ( graus.

, logo Vx = 1/5 ( a h2 c - Determinao do volume do slido de revoluo rotao em A A.

V = 2( ( a 3/4 a ) ( 1/3 ah ), logo VAA = 1/6 ( a2 h5.63 - Determine o volume e a rea do corpo da figura.

a - novamente ser utilizado o teorema de Pappus Guldin. A rea do tringulo ser determinada por:A = . 50 . 60 = 1 500 mm2b o centride do tringulo pode ser determinado considerando-se a diferena entre os dois tringulos retngulos:

Como s interessa a rotao em torno do eixo y s precisamos calcular x : xi Ai = x A logo (1.70/3).(70.60 /2)+(1.20/3) (20.60/2) = x . {(70.60/2)+(20.60/2)}

e x = 30 mm Logo a distncia at o eixo y ser d = 20 + 30 = 50mm.c - determinao do volume considerando a rotao de apenas ( = 180, j que o slido assim definido:

d - determinao da rea superficial. Para a determinao da rea devemos considerar separadamente cada um dos lados do tringulo e usar o primeiro teorema de Pappus Guldin. Assim:

Linha BD:

Comprimento:

Centride:

Linha DE:

Comprimento:

Centride:

Linha BE:

Comprimento:

Centride:

Fazendo agora a rotao destes trs segmentos em 180 graus teremos:

e - determinao da rea dos tringulos das extremidades.Como a rotao da figura no de 360 graus, deve-se considerar que a rea superficial do slido gerado inclui os dois tringulos das extremidades.

f - rea total da superfcie.A rea total ser, portanto a soma da rea gerada pela rotao de 180 graus dos segmentos de reta que compem os lados do tringulo com as duas reas dos tringulos das extremidades, ou seja

5.64-Determinar o volume e a massa da pea de ferro fundido obtida pela rotao da superfcie quadrangular escurecida em torno do eixo de simetria do cano de 12 mm de dimetro (massa especfica do ferro fundido = 7,2 x 103 kg/m3).

a - determinao do volume do slido de revoluo

Considerando a rea hachurada como a diferena entre os dois tringulos:

Tringulo 1: Tringulo 2:

Como podemos calcular o volume como:

Obs a dimenso 8mm no desenho original do livro na verdade 12 mm, conforme medidas no desenho acima e valor nos clculos. Assim o volume ser:

b - determinao da massa:

5.73 - Determine o mdulo e a localizao da resultante das cargas distribudas da ilustrao. Calcule tambm as reaes em A e B.

a) determinao da carga concentrada equivalente ao carregamento distribudo

Observamos que a figura pode ser dividida em um retngulo e uma parbola. A carga distribuda que representada pela figura composta pode ser substituda, para facilitar a determinao das reaes nos apoios, por uma carga concentrada de valor igual rea do carregamento, considerando esta carga concentrada como aplicada no centride da rea. Assim teremos:RI (parbola) = 1/3 . 1100.6 = 2 200NRII (retngulo) = 900 . 6 = 5 400N

Logo a carga concentrada (rea total) ser R = RI + RII = 2200+5400 = 7600Nb - determinao da posio do centride.A posio do centride da figura composta pelo retngulo mais a parbola ser determinada igualando o momento da rea da figura total a soma dos momentos das reas componentes, conforme efetuado nos problemas anteriores. Portanto

Logo X = 2,566 m.

Observe que o centride da parbola foi obtido da tabela fazendo uma pequena transformao, uma vez que a figura tabelada simtrica deste problema. Assim para a figura tabelada

, mas devemos tomar o valor

Como a = 6m (dado do exerccio)

= 1,5mc - determinao das reaes nos apoios.Considerando a somatria dos momentos em relao ao ponto A:

Observe que este ser sempre o procedimento de clculo das reaes de apoio quando a estrutura estiver carregada com cargas distribudas. As cargas distribudas sero substitudas por cargas concentradas aplicadas nos centrides das reas que representam os carregamentos e as reaes sero calculadas utilizando as cargas concentradas substitutas nas equaes de equilbrio. Observe que este artifcio s pode ser utilizado na determinao das reaes nos apoios, ou seja, na determinao das cargas externas. No clculo dos esforos internos (fora cortante e momento fletor) a substituio de carregamentos distribudos por cargas concentradas alteraria o problema, e portanto resultaria em diagramas diferentes para os esforos internos. 5.81 - Determinar: a) a carga distribuda na extremidade A da viga ABC, de modo que a reao em C seja nula; b) a reao correspondente em B.

a - resultantes dos carregamentos distribudos.Uma das maneiras de transformar o carregamento trapezoidal em uma carga concentrada transformar a figura trapezoidal em dois tringulos. A outra consider-lo a soma de um retngulo com um tringulo. Utilizando os dois tringulos teremos: e

b - determinao das reaes nos apoios.Usando o ponto B para determinar os momentos:

-distncia de -distncia de

Considerando agora a somatria dos momentos das foras externas em relao ao apoio B:

Deve-se lembrar que o valor da reao em C nulo.Tendo o valor de (0 podemos calcular o valor correspondente de

Fazendo em seguida o somatrio das foras segundo a direo y igual a zero:

5.82-A viga AB est submetida a duas cargas concentradas e apoiada no solo, o qual exerce uma carga distribuda linear, como mostra a figura. Determine os valores de (A e (B correspondentes ao equilbrio.

a -determinao das cargas concentradas que substituem a reao do solo.

Devemos inicialmente substituir a carga distribuda que representa a reao do solo sobre a fundao por uma carga concentrada. E interessante observar que as reaes dos solos de fundao sobre sapatas so funo da natureza dos solos, arenosos ou argilosos, e so consideradas como tendo configuraes parablicas, cncavas ou convexas. Este diagrama trapezoidal uma simplificao. No entanto o procedimento de clculo apresentado a seguir exatamente o mesmo adotado no dimensionamento de fundaes diretas.RI = wA .1,8 = 0,9 wA e RII = wB . 1,8 = 0,9 wBO ponto de aplicao de RI e RII ser a 1/3 da altura dos tringulos, tomadas na direo do eixo x, ou seja: 1.8 / 3 = 0,6 mb - determinao das taxas de carga das cargas distribudasConsiderando o somatrio dos momentos em relao ao ponto D teremos

Logo: wA = 10kN/mConsiderando agora o somatrio das foras na direo y

Logo: wB = 40kN/m

5.104 - Determine a localizao do baricentro do refletor parablico da figura, que feito usinando-se um bloco retangular de modo que a superfcie curva seja um parabolide de revoluo com raio da base a e altura h.

Como o slido simtrico em relao aos planos yx e yz s precisamos determinar o valor de y. Da figura 5.21da pg 344, para o parabolide, obtemos y = 1/3 h. Como para o paraleleppedo a posio do centride na metade da altura, iremos considerar o slido como formado por um paraleleppedo de volume positivo do qual se subtrai o parabolide (volume negativo). Volumeyy V

Bloco4 a2 h-1/2 h-2 a2 h2

Parabolide-1/2 ( a2 h- 1/3 h+1/6 ( a2 h2

A soma dos volumes resulta em V = ( 4 - (/2 ) a2 h . J o somatrio dos momentos resulta em y V = ( -2 + (/6 ) a2 h2 Fazendo y ( V = y V temos : y ( 4 - (/2 ) a2 h =( -2 + (/6 ) a2 h2 Logo y = - ( 2 - (/6) h / (4 - (/2 ) y = - 0,6078 h

5.112 - Localizar o baricentro da pea da figura, sabendo que ela feita de folha metal com espessura constante.

Como a pea simtrica em relao ao plano yz a coordenada X =125 mm.Como a folha tem espessura constante podemos determinar o baricentro considerando o contorno da projeo da folha sobre o plano yz. e xy.

a - determinao dos centrides das figuras componentes:

Semicrculo I - considerado no plano yxY = 150+80+(4 x 125)/3( = 283,1 mm e z = 0Quarto de cilindro II considerado no plano yz (ver tabela )

Retngulo III -

ElementoClculoAreayzyAzA

I((/2).125224,54X103283,106,947X1060

II((/2).80.25031,42X103200,950,96,312X1061,599X106

III170*.25042,5X10375403,188X1061,70X106

Soma98,46X10316,447X1063,299X106

* O valor 170 foi obtido atravs da expresso:

b - posio do centride da pea inteira

5.116 - Localize o baricentro do objeto da figura, sabendo que ele feito de barras finas de bronze, com dimetro uniforme.a - como a estrutura simtrica em relao ao plano yzX = 0

b - os baricentro e centrides dos segmentos so coincidentes e valem:

-para os segmentos retilneos: L/2

-para o segmento semicircular:

c - determinao de ( y L e ( z LSegmentoComprimentoyzyLzL

(m)(m)(m)(m2)(m2)

AB0,4250,187500,079680

AD0,4250,18750,10,079680,0425

AE0,4250,187500,079680

BDF0,62800,1273800,08

Somas1,9030,239040,1225

e

d - determinao de Y e Z:

e

5.122- Determinar, por integrao, a expresso dada para x na figura P5. 21- parabolide de revoluo.

Como o slido simtrico em relao a dois planos podemos considerar, para a integrao, um elemento com a forma de um disco de raio r e espessura dx. Desta forma, embora o clculo do volume requeresse uma integrao tripla, podemos resolver o problema com uma integral simples, uma vez que, como conhecemos o volume do disco elementar podemos fazer a integrao deste volume elementar entre 0 e x.Volume do disco elementar d V = ( r2 dxPosio do centride x el = xA parbola da pgina 295, correspondente a curva 1 abaixo tem por equao

y = k x2 . Se quisermos a equao de uma parbola convexa devemos escrever x = k y2 , considerando os mesmos eixos e origem ( fig 2 ). Observe que a geratriz do parabolide uma parbola invertida em relao a da fig 2, em que r = a quando x = 0, e onde as coordenadas na direo x valem h - x . A equao desta parbola ser, portanto,

r2 = k ( h x )

Teremos portanto para x = 0 , r = a e a equao se transforma em a2 = k ( h - 0 ) ,onde a constante vale k = a2 / h e, portanto,

O volume do disco elementar pode ser escrito, ento , como

c - determinao do volume.O volume do parabolide pode ser obtido pela simples integrao em x do volume do disco elementar, uma vez que temos a expresso deste volume.

d - determinao de

e -posio do centride:Devido simetria sabemos que Z = Y = 0, e o centride est sobre o eixo x. A coordenada X pode ser obtida considerando a igualdade dos momentos de primeira ordem, ou seja:

Logo X = 1/3 h 5.128- Localizar o centride da pirmide irregular ilustrada:,,

Para as integraes deste problema devemos escolher o elemento volumtrico de volume dv = u.v.dy (placa retangular), cujas equaes de volume e posio do centride so conhecidas. Esta escolha facilita a resoluo do problema, uma vez que resolveremos apenas integrais simples. Poderamos escolher como volume elementar o cubo de arestas dx, dy e dz , e de volume dV = dx . dy . dz. Neste caso teramos que trabalhar com integrais triplas e a fixao dos limites de integrao traria dificuldades adicionais para o problema. .

Para a placa elementar teremos, portanto: x el = u z el = v e y el = y Das relaes dentro dos tringulos que formam as faces das pirmides, obtemos:

e, portanto: e

b - determinao do volume.O volume da pirmide ser determinado simplesmente integrando-se o volume da placa elementar na direo do eixo y.

c c - determinao de

d - determinao de:

e - determinao de

f - determinao do centride:

Fig 1 y = k x2 Fig 2 x = k y2 Fig 3 y2 = k ( h x )

y

dx

h

y

yel = y/2

xel b x

y

xel

d(

x

(

r

R RI RII

2000 1100N/m

900N/m 900N/m

AB A B

x 3m

6m

1,5m

y y y

xI xII 60mm 60 mm

60

x

x x 60mm

60mm

40 40 C L/2 L/2

B PI C

PIII

PII

A

y

y2 = mx

y1 = k x2

y2

y1 y el

D CIII E

20

x

CI CII

40

B

20 20 25 25

70 mm 20 mm

C1 ( x1 y1 ) C2 ( X2 Y2)

60 mm 60 mm

21 12

CI 9 CII

32 24 8

RI RII

W0

5,0

A B C

RB RC

1,50m 2,10m

0,6m 0,6m 0,3m 0,3m

24kN 30kN

A C D B

WA WB

RI RII

0,6m 0,6m 0,6m

y y y

h h/2 h/3

a a

y h

a r

x

x dx

y

dy

v

u y

x

z

PAGE 54

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