Enlace con Matemática 5

Unidad 1

Númerosdecimales p.20

Estimacióny aproximación

de resultados p.42

Pensamiento crítico

Desarrollo del pensamiento

y toma de decisiones p.63

MULTIPLICACIÓNcon fracciones p.84

ActividadesDE REPASO p.102

Enlace con…

HISTORIA p.133

Resolución de problemas

RazonamientoABSTRACTO p.176

Idea para la acción

PERIÓDICOescolar p.195

5

Librodigital(estudiante)



5

CD Alumno


con

Mat

emát

ica

5con MatemáticaEnlace es un conjunto de materiales didácticos articulados por la

convicción de que sólo encontrándole sentido a los conocimientos

logramos el aprendizaje.

Las áreas académicas se enlazan entre sí y –a la vez– con la red del

conocimiento universal y con la realidad cotidiana. Son esas conexiones

las que otorgan signifi cado a los conceptos. Enlace presenta algunas

de ellas, pero faltan muchas por descubrir. Ese es el reto.

Desde Santillana agradecemos a las escuelas que participaron en

las pruebas de las páginas piloto. Los aportes hechos por los y las

docentes, tras vivir la experiencia de Enlace con sus estudiantes,

fueron clave para desarrollar estos bienes pedagógicos.

con Lengua y Literaturacon Matemáticacon Ciencias de la Naturaleza y Tecnologíacon Ciencias Sociales

con Matemática

INCLUYELIBRO DIGITAL INTERACTIVOINCLUYELIBRO DIGITAL INTERACTIVO


5

Enlace con Matemática 5© 2010 by Editorial Santillana, S.A.Editado por Editorial Santillana, S.A.Primera edición: 2010Segunda edición: 2012Reimpresión: 2013Nº de ejemplares: 4 550

Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1. Sector Montecristo, Boleíta. Caracas (1070), Venezuela.Telfs.: 235 3033 / 235 4730 / 235 5878www.santillana.com.ve

ISBN: 978-980-15-0303-3Depósito legal: lf63320103701061

Impreso en Venezuela por: Artes Gráficas Rey, C.A.

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización previade los titulares delCopyright, bajo las sanciones establecidasen las leyes, la reproducción totalo parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos lareprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ellamediante alquilero préstamo público.

El libro Enlace con Matemática 5 es una obra colectiva concebida, diseñada y elaborada por el Departamento Editorial de Editorial Santillana S.A., bajo la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro.

En la realización de esta obra intervino el siguiente equipo de especialistas:

Mmet a

ática

5

Edición general adjuntaInés Silva de Legórburu

Coordinación editorial Ciencias y Matemática José Manuel Rodríguez R.

Edición generalClodovaldo Hernández

Textos • Linda Arvelo

Licenciada en Matemática, egresada de la Universidad Central de Venezuela

• José A. Terán R. Docente en ejercicio del área de Matemática

• Nathalia García M.Licenciada en Educación, mención Matemática y Licenciada en Matemática, Universidad Central de Venezuela

• Evelyn Perozo de Carpio Profesora, mención Matemática, Universidad Pedagógica Experimental Libertador

• Daniel G. Hernández N. Licenciado en Educación, mención Matemática, Universidad Central de Venezuela

Edición ejecutivaNathalia García M.

Edición de apoyoEvelyn Perozo de Carpio Daniel G. Hernández N.

Corrección de estiloDina Selvaggi

Lectura especializadaDurly Padilla

Coordinación de arteMireya Silveira M.

Diseño de unidad gráficaRosi Milgrom

Coordinación de unidad gráficaAlan Ramos Figueroa

Diseño de portadaRosi Milgrom

Ilustración de portadaMireya Silveira M.

Diseño y diagramación generalMaría Elena Becerra M. María Fernanda Guédez

Documentación gráficaAmayra Velón Lisbeth Cabezas

IlustracionesManuel Fernández, Evelyn TorresWalther Sorg, Fondo documental de Santillana

InfografíasWalther Sorg

FotografíasFondo Documental SantillanaErich Sánchez

Retoque y montaje digitalEvelyn TorresAnthonny Rojas

Imagen de la portada: Enlace 5 considera la música como un medio por el cual podemos expresarnos artística y culturalmente; el lenguaje usado para escribirla, representado por figuras musicales, evoca el uso de símbolos y fracciones, enlazando la Matemática con esta armoniosa manifestación de saberes y sentimientos.

Agradecimientos: A los familiares que dieron su autorización para que los niños y las niñas participaran como imagen de este libro.

con Matemática 5SOLO PÁGINAS SELECCIONADAS PARA MUESTRA

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En esta unidad encontraremos. Esquema gráfico para que aprecies de un vistazo los temas de la unidad y las relaciones entre ellos.

Esquema gráfico para que aprecies

Intercambio de ideas y opiniones. Actividades, juegos y preguntas grupales para iniciar cada unidad de forma interactiva. Las imágenes y los textos plantean retos interesantes para resolver con tu creatividad, tus experiencias y la expresión de tus ideas.

Así pensamos este libro para tiInicio de unidad

Competencias. Descripción de los conocimientos, las habilidades, las actitudes y los valores que desarrollarás al finalizar cada unidad.

Idea para la acción. Actividad grupal para investigar, producir materiales, experimentar, escribir o realizar actividades culturales, en tus proyectos de aprendizaje.

Desarrollo de los temas


Infografías. Temas con una propuesta gráfica diferente y novedosa, que ofrecen información a través de imágenes y textos, para aprender de manera dinámica.


Actividades. Propuestas y ejercicios para afianzar tus conocimientos, enlazarte con otras áreas y trabajar en equipo.

Pensamiento crítico. Actividades que te ayudarán a desarrollar tu capacidad de reflexionar y ofrecer juicios de valor sobre lo visto en el tema.

Información complementaria. Datos, juegos, reflexiones y enlaces con otras áreas o recursos de Internet para complementar la información de cada tema.


Información complementaria.juegos, reflexiones y enlaces con otras áreas juegos, reflexiones y enlaces con otras áreas o recursos de Internet para complementar la

Texto de activación. Situaciones problemáticas para resolver, poner en práctica tus habilidades mentales e introducirte en cada tema.

Contenido. Tema con información actualizada, presentada en textos, esquemas y atractivos recursos gráficos.

Íconos. Imágenes que enlazan los contenidos y las actividades con los recursos del libro digital.

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Así pensamos este libro para ti

Idea para la acción. Desarrollo de la actividad planteada al inicio de cada unidad, con detalle de materiales a utilizar, procedimientos, resultados, conclusiones, datos y reflexiones sobre su utilidad en tu entorno.

Actividades de repaso de unidad. Ejercicios y problemas relacionados con los contenidos vistos en la unidad. Enlace con… Muestra la relación entre

las diversas áreas de las ciencias para destacar sus avances tecnológicos y su utilidad en la vida cotidiana.

Cierre de unidad

Ejercicios y problemas relacionados con los contenidos vistos en la unidad. Enlace con…

las diversas áreas de las ciencias para destacar sus avances tecnológicos y su utilidad en la vida cotidiana.

Resolución de problemas. Nuevas estrategias para resolver problemas, con las cuales podrás desarrollar el pensamiento lógico-matemático.

Páginas de evaluaciónPáginas de evaluación

Actividades de evaluación. Sección ubicada al final de las unidades tres, seis y nueve, que te permite poner a prueba tus conocimientos, aplicarlos a situaciones prácticas, compartir opiniones y valores en grupo, y analizar cómo va el desarrollo de tus competencias y habilidades.

CD con una versión animada del libro y diversos recursos interactivos.

Glosario

ProyectoProyecto MatemáticaGlosario100%RecursosContenidos

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Libro digitalBotones de acción. Guías para ejecutar todas las funciones del libro digital.

Íconos. Símbolos interactivos para acceder a los recursos digitales.

Enlace con... Información adicional para reforzar los contenidos presentados en el libro.

Multimedia. Recursos interactivos con actividades complementarias.

Links interactivos:Direcciones electrónicas para hacer click y consultar en Internet online (la actualización de estos links no depende del libro digital).


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Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales si aumentan o

disminuyen de la misma forma y el cociente de las dos es siempre

el mismo.

Si tenemos un saco con 36 naranjas, entonces:

Dos sacos tienen 2 veces más que uno

2 36 72

Tres sacos tienen 3 veces más que uno

3 36 108

A mayor cantidad de sacos, mayor cantidad de naranjas.

Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales si una aumenta y la

otra disminuye, y el producto de ambas no varía.

Si se aumenta el número de obreros para construir la casa, disminuye

la cantidad de días, por lo que obtendremos magnitudes inversamente

proporcionales como lo indica la tabla.

Observemos que el producto de las dos magnitudes es constante.

60 12 720 30 24 720

20 36 720 15 48 720

Regla de tresEs un procedimiento que nos permite calcular el cuarto término de una

proporción, si se conocen tres.

En toda regla de tres los datos que corresponden a la misma magnitud

deben quedar en la misma columna y el valor desconocido se

representa con la letra X en mayúscula. Si queremos calcular cuántos

obreros se necesitan para construir la casa en 10 días, planteamos la

regla de tres así:

Días Obreros

15 48

10 X

El producto de los extremos es igual al producto de los medios; es

decir, el producto cruzado es igual.

1 36 36; 3 12 36

1 36 3 12 36

Las magnitudes proporcionales son las cantidades involucradas

en una proporción. Pueden ser directamente proporcionales o

inversamente proporcionales.

U5 Proporcionalidad

Razón La razón es el cociente entre dos números. La obtenemos al relacionar

dos valores de distintas magnitudes.

• Si una persona utiliza 3 trajes diferentes, decimos que la razón es

1 es a 3 y la escribimos 13

.

• Si 12 personas utilizan 36 trajes diferentes, la razón es 12 es a 36 y

la escribimos 1236 .

Proporción La proporción es una igualdad entre dos razones. Al igualar las

razones anteriores tenemos la proporción 13

1236

y la leemos:

1 es a 3 como 12 es a 36.

Una proporción consta de términos medios y términos extremos.

Este fin de semana se llevará a cabo una obra de teatro en la plaza

Bolívar de mi ciudad. Mi abuelo me comentó que durante la obra

cada uno de los 12 personajes usa 3 trajes, lo que significa un

vesturario de 36 trajes en total. ¿Has visto obras de teatro donde los

actores se cambian constantemente?

1 es a 3 como 12 es a 36

Términos medios

Términos extremos

Días 60 30 20 15Obreros 12 24 36 48

Una constructora asegura que para terminar

una casa en 60 días se necesita contratar

12 obreros.

36 36 36

36 36 36

36

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Competencias e indicadores ......................................... 6

Unidad 1 Números naturales y decimales .................................... 10 Números naturales hasta los billones ............................................... 12

Series numéricas ..................................... 16

Números decimales ................................. 20

Actividades de repaso .................. 24

Resolución de problemas ............. 26

Idea para la acción ...................... 27

Unidad 2 Operaciones con números naturales y decimales .................................... 28 Adición y sustracción con números naturales y decimales .............................. 30

Multiplicación con números naturales y decimales .............................. 34

División con números naturales y decimales .............................. 38

Estimación y aproximación de resultados ........................................... 42




Unidad 3 Múltiplos y criterios de divisibilidad .............................. 50 Múltiplos, divisores y criterios de divisibilidad .......................... 52

Potenciación ............................................. 56

Números primos y compuestos y mínimo común múltiplo ......................... 60




Actividades de evaluación Unidades 1, 2 y 3 ........................................................ 68

Unidad 4 Fracciones y operaciones con fracciones ................................ 70 Números fraccionarios ............................... 72

Fracciones equivalentes ............................ 76

Adición y sustracción con fracciones ............................................ 80

Multiplicación con fracciones ...................... 84

Actividades de repaso .................... 88

Resolución de problemas .............. 90

Idea para la acción ....................... 91

Unidad 5 Proporcionalidad y porcentajes .................................. 92 Proporcionalidad ....................................... 94

Porcentajes ............................................... 98

Actividades de repaso ................... 102



Unidad 6 Geometría ...................................... 106

Croquis y planos ...................................... 108

Circunferencia y círculo ............................. 112

Ángulos, rectas y circunferencias ............. 116

Polígonos regulares ................................. 120

Triángulos ................................................ 124

Cuadriláteros ........................................... 128




Actividades de evaluación Unidades 4, 5 y 6 ............................................................... 136

Tabla de contenidos

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5

Idea para la acciónUnidad 7 Medición ....................................... 138 Longitud ................................................... 140

Masa ....................................................... 144

Capacidad ............................................... 148

Tiempo ...................................................... 152

Sistema monetario ................................... 156




Unidad 8 Área y perímetro de fi guras planas .......................... 164 Medidas de superfi cie .............................. 166

Área y perímetro de polígonos ............................................ 170




Unidad 9 Estadística y probabilidad .......... 178 Organización de datos .............................. 180

Análisis de datos ....................................... 184

Probabilidad y azar ................................... 188




Actividades de evaluación Unidades 7, 8 y 9 ........................................................ 196

Tabla de contenidos

Unidad 1 Ábaco en lo cotidiano ........ 27

Unidad 2 Libreta de ahorro ................ 49

Unidad 3 Organizador escolar ........... 67

Unidad 4 Horario personal ..................91

Unidad 5 Ecoproporción ......................105

Unidad 6 Seguridad vial ....................135

Unidad 7 Disco de conversión ............163

Unidad 8 Maqueta escolar ............... 177

Unidad 9 Periódico escolar ................195

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Actividades de evaluación Unidades 7, 8 y 9 ........................................................ ........................................................ 196

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Competencias e indicadores

Utiliza los números naturales, los números decimales y las fracciones para nombrar, contar, ordenar o medir.

Descubre y expresa patrones al completar o construir series numéricas. 16-19, 24-25

Identifi ca, lee y escribe cualquier número natural y decimal en situaciones comunicativas funcionales.

12-15, 20-25

Compone y descompone números decimales usando el principio aditivo del valor posicional.

20-25

Se interesa en conocer las diferentes formas de expresar un número. 12-15, 20-25

Usa los referentes unitarios: miles, millones, millardos, billones, etc. 12-15, 24-25

Reconoce representaciones gráfi cas de fracciones. 72-75, 88-89

Reconoce fracciones equivalentes a números naturales. 76-79, 88-89

Transforma fracciones mayores que la unidad en números mixtos. 72-75, 88-89

Determina las fracciones equivalentes a una fracción dada por simplifi cación. 76-79, 88-89

Identifi ca fracciones irreducibles. 72-75, 88-89

Realiza estimaciones y mediciones para describir y comparar situaciones, objetos, fenómenos, etc.

42-47, 140-161

Determina el área de triángulos y paralelogramos usando el centímetro cuadrado o el metro cuadrado, según convenga.

166-175

Establece relaciones entre los números naturales, los números decimales y las fracciones.

Usa las equivalencias entre los distintos órdenes de unidad de un número natural. 12-15

Determina los números naturales entre los cuales está comprendida una fracción. 72-75

Utiliza las relaciones “mayor que”, “menor que” e “igual a” al comparar fracciones con números naturales y con números decimales.

72-75, 88-89

Redondea números naturales y números decimales al número natural más próximo en situaciones que lo requieran.

42-47

Aproxima números decimales a las décimas o centésimas más próximas. 42-47

Identifi ca cualquier fracción con el cociente decimal exacto o aproximado que resulta al dividir el numerador entre el denominador.

72-75

Determina los múltiplos comunes de dos o tres números naturales y selecciona el menor de los múltiplos comunes.

52-55, 64-65

COMPETENCIA INDICADORES Pág.

¿Competencias? Sí, pero no se trata de una carrera o de un juego. En educación, las competencias son conocimientos, actitudes y habilidades que se unen a los saberes que ya tenemos, para desempeñarnos mejor en nuestra vida.

¿Y los indicadores? Son aspectos de nuestro comportamiento que nos permiten verificar cómo se están desarrollando nuestras capacidades o competencias.

Por ejemplo, para comprobar si tenemos la competencia de comprender y manejar operaciones como la adición, podemos usar el siguiente indicador: calcular mentalmente el costo total de una compra en una tienda o en la cantina del colegio.

Las competencias y los indicadores están en el Programa Oficial de Matemática de 5º grado de Educación Primaria, y aparecen en la siguiente tabla donde se indican las páginas donde hay contenidos relacionados con cada indicador.

Pág.

usar el siguiente indicador: calcular mentalmente el costo total de

Las competencias y los indicadores están en el Programa Oficial de Matemática de 5º grado de Educación Primaria, y aparecen en la siguiente tabla donde se indican las páginas donde

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Determina los divisores de un número natural. 52-55, 64-65

Reconoce que el mínimo común múltiplo entre números naturales pueden ser divdido entre éstos.

60-65

Construye y completa tablas de magnitudes directamente proporcionales a partir de situaciones del entorno.

94-97, 102-103

Determina longitudes reales utilizando la escala en mapas y planos. 108-111, 132-133

Reconoce el porcentaje como relación entre magnitudes directamente proporcionales.

98-103

Calcula el porcentaje en situaciones significativas. 98-103

Expresa el porcentaje en forma de fracción y de número decimal. 98-103

Maneja las operaciones aritméticas empleando diferentes estrategias de cálculo exacto y aproximado.

Obtiene resultados de adiciones y sustracciones con números naturales y decimales, usando el algoritmo, el cálculo mental y las estimaciones.

30-33, 46-47

Obtiene resultados en multiplicaciones con números naturales, decimales y fracciones, usando el algoritmo, el cálculo mental y las estimaciones de un número natural con un número decimal.

34-37, 42-47, 84-89

Usa las propiedades de la adición y multiplicación de números naturales y decimales para facilitar la realización de cálculos escritos y mentales.

30-37

Usa la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición de números naturales y decimales.

34-37, 46-47

Realiza adiciones y sustracciones de medidas de longitud, masa, capacidad y tiempo, reduciendo términos a la misma unidad de medida.

140-161

Obtiene cocientes exactos y aproximados al realizar divisiones entre números naturales y decimales.

38-41, 46-47

Selecciona el orden de las operaciones al realizar ejercicios con operaciones combinadas.

34-41, 46-47

Completa adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones en las cuales falta uno de los elementos.

30-37

Realiza adiciones y multiplicaciones de un número natural con una fracción. 80-89

Realiza adiciones y sustracciones con fracciones de diferentes denominadores, usando el mínimo común múltiplo de los denominadores.

80-83, 88-89

Realiza multiplicaciones de dos fracciones. 84-89

Utiliza las unidades de medida de longitud, capacidad, masa, tiempo, superficie y del sistema monetario.

Establece relaciones entre la unidad monetaria nacional, el bolívar, y algunas monedas de otros países: dólar, peso, euro, etc.

156 - 161

Establece relación entre medidas de longitud no convencionales referidas al cuerpo y medidas de longitud convencionales.

140-143, 160-161

Comprueba la propiedad: la suma de las medidas de dos lados de un triángulo siempre es mayor que la medida del tercer lado.

124-127

Reconoce el barril como medida de capacidad de uso corriente en las actividades económicas y su equivalencia con el litro.

148-151

Reconoce el metro cuadrado como unidad de medida de superficie. 166-175

Establece la relación entre el metro cuadrado y el centímetro cuadrado. 166-169, 174-175

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Construye, establece y verifica regularidades en figuras planas.

Identifica y relaciona los elementos de una circunferencia: radio, diámetro, cuerda y arco. 112-115, 132-133

Traza circunferencias y círculos, y reconoce sus elementos. 112-115, 132-133

Construye segmentos circulares, sectores circulares, coronas circulares y ángulos al centro en circunferencias.

116-119

Traza rectas tangentes, secantes y exteriores a una circunferencia. 116-119, 132-133

Construye polígonos regulares inscritos en una circunferencia. 120-123, 132-133

Traza triángulos atendiendo a medidas de ángulos y lados. 124-127, 132-133

Identifica alturas de los lados de un triángulo. 124-127

Reconoce la altura respecto a la base de un triángulo isósceles como eje de simetría. 124-127

Traza alturas a los lados de cualquier tipo de triángulo. 124-127

Identifica las bases y las alturas de un paralelogramo. 128-131

Construye cuadriláteros atendiendo a condiciones referidas a su clasificación, las medidas de sus lados y las medidas de sus ángulos.

128-133

Construye figuras planas con superficies equivalentes. 166-175

Resuelve y elabora problemas del contexto escolar y social referidos al uso de los números, las operaciones, las relaciones geométricas y el tratamiento estadístico de diversas situaciones.

Elabora problemas sobre situaciones cotidianas, utilizando adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con números naturales y decimales.

30 - 47, 68 - 69

Resuelve problemas de adición, sustracción, multiplicación y/o división con números naturales y decimales.

30 - 47, 68 - 69

Lee e interpreta los enunciados de los problemas.24-25, 46-47, 64-65, 88-89,

102-103, 132-133, 160-161, 174-175, 192-193

Identifica la información de que dispone y de lo que se quiere encontrar.24-25, 46-47, 64-65, 88-89,

102-103, 132-133, 160-161, 174-175, 192-193

Selecciona y simboliza las operaciones.24-25, 46-47, 64-65, 88-89,

102-103, 132-133, 160-161, 174-175, 192-193

Selecciona las estrategias de cálculo más adecuadas: algoritmo, cálculo mental, tanteo y estimaciones.

24-25, 46-47, 64-65, 88-89, 102-103, 132-133, 160-161,

174-175, 192-193

Expresa en forma oral y escrita los resultados obtenidos.24-25, 46-47, 64-65, 88-89,

102-103, 132-133, 160-161, 174-175, 192-193

Interpreta en función del contexto, considerando la razonabilidad de los resultados y revisando el proceso en caso necesario.

26, 48, 66, 68-69, 90, 104, 134, 136-137, 162,

176, 196-197

Utiliza paréntesis, según sea su pertinencia, en operaciones combinadas para resolver problemas.

32-33, 36-37, 41, 46-47

Resuelve y elabora problemas de proporcionalidad, aplicando la regla de tres. 94-97, 102-103

Resuelve y elabora problemas donde se utilice el mínimo común múltiplo. 60-65

Resuelve y elabora problemas de porcentajes en situaciones del entorno social. 98-103

Elabora y resuelve problemas donde intervienen las operaciones con números naturales y decimales en las medidas de masa, longitud, capacidad, tiempo y ángulos.

132-133, 140-161

Resuelve y elabora problemas relacionados con triángulos y paralelogramos, atendiendo a las medidas de sus lados y ángulos.

124-133

Resuelve y elabora problemas sobre circunferencias y círculos. 112-115, 132-133

Resuelve y elabora problemas sobre el trazado de triángulos y cuadriláteros, aplicando la propiedad de la suma de los ángulos internos.

124-127, 132-133

Resuelve problemas sencillos que requieran del cálculo de áreas de triángulos, cuadrados, rectángulos y rombos.

166-175

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Manifiesta actitud crítica en el uso de la calculadora y al observar los resultados obtenidos en la resolución de problemas.

26, 48, 66, 68-69, 90, 104, 134, 136-137, 162,

176, 196-197

Manifiesta perseverancia en la búsqueda de soluciones a problemas. Todas

Conoce y reflexiona sobre situaciones escolares, sociales y ambientales, al determinar medidas de tendencia central y elaborar e interpretar tablas y gráficos.

Construye tablas de frecuencia para organizar datos referidos a distintas áreas del conocimiento.

180-183, 192-193

Interpreta tablas de frecuencia y gráficos con datos referidos a situaciones sociales, ambientales, sanitarias, deportivas, familiares, etc.

180-187, 192-193

Calcula e interpreta la media aritmética de un conjunto de datos. 184-187, 192-193

Elabora e interpreta diagramas de barras, histogramas, diagramas de líneas, usando tablas de frecuencia.

180-187, 192-193

Manifiesta perseverancia en la búsqueda de opciones para propiciar cambios favorables en su entorno.

Todas

Valora la utilidad del aprendizaje de la Matemática.

Utiliza croquis o planos para realizar actividades que requieran de la orientación espacial.

108-111

Aprecia las interrelaciones que se dan entre la matemática y el mundo real. Todas

Reconoce el papel de los números en el entorno familiar, escolar, social y cultural. Todas

Disfruta la comparación del valor de una estimación con el cálculo exacto de los resultados de una operación.

Todas

Reconoce la importancia de los sistemas de referencia al elaborar croquis o planos para localizar objetos.

108-111

Muestra interés en el uso de los gráficos para realizar razonamientos. Todas

Utiliza el lenguaje matemático para expresar situaciones de la vida diaria. Todas

Reconoce la importancia de las mediciones en la vida diaria. 140-161

Reconoce el sistema métrico decimal como elemento que permite la comunicación entre personas de diferentes países.

140-143, 160-161

Reconoce la utilidad de las técnicas estadísticas para interpretar y tomar decisiones sobre situaciones ambientales y sociales.

180-191

Se interesa por los elementos geométricos para comprender el espacio y sus formas. 108-133

Reconoce el trabajo individual y en equipo como fuente de avance personal y social.

Reconoce sus potencialidades en el trabajo individual y grupal. Todas

Reconoce la necesidad de actuar con honestidad y respeto en intercambios. Todas

Manifiesta seguridad y decisión en situaciones problemáticas. Todas

Manifiesta creatividad en la búsqueda de soluciones en diferentes situaciones. Todas

Se interesa por la precisión en la comunicación de sus ideas. Todas

Aprecia la calidad en sus trabajos y su presentación en forma ordenada y clara. Todas

Reconoce la necesidad de planificar el tiempo. Todas

Muestra interés en la toma de decisiones que involucren su entorno familiar, escolar o comunitario, basadas en el análisis de informaciones referidas a situaciones sociales y ambientales.

Todas

Reconoce sus potencialidades al realizar trabajos en equipo. Todas

Reconoce la importancia de la comunicación y el razonamiento al participar en trabajos de equipo.

Todas

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¡Anita busca en el encarte del periódico qué le podemos

regalar a tu papá!

No entiendo los precios.

U1 Números naturales y decimales

Las representaciones numéricas no son siempre exactas o completas,

¿cómo podemos expresar una parte de algo?

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Números naturales y decimales

Buscando un regalo

> ¿Qué opino del comentario que hizo Anita?

> ¿Cuál regalo escogería yo?

> ¿Los precios sin decimales son más baratos?, ¿por qué?

Ábaco en lo cotidiano

La mayoría de las situaciones pueden ser representadas y medidas con los números naturales y decimales.

Al final de la unidad elaboraremos un ábaco donde podamos organizar, sumar, redondear y aproximar los números naturales y decimales.

CompetenciasUtilizaremos los números naturales, los redondearemos y construiremos series con ellos.

Identificaremos, leeremos y escribiremos números decimales. También redondearemos, aproximaremos y compondremos números decimales usando el valor posicional.

para

Naturales

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

escribir, leer, transformar, redondear y ordenar en serie.

para

Decimales

0,9; 2,5; 3,1;…

escribir, leer, componer, descomponer, redondear, aproximar y comparar.

Anita has una tabla donde separes

los números naturales de los decimales.

En esta unidad encontraremos


U1 Números naturales y decimales

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antil

lana

, S.A

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U1 Números naturales hasta los billones

Cuando viajé al estado Bolívar con mi familia nos informaron que

la Gran Sabana forma parte del Parque Nacional Canaima, el quinto

más grande del mundo. Además nos dijeron que es una de

las formaciones más antiguas del planeta, su origen se remonta

a la Era Precámbrica, es decir, hace más de 2 000 000 000 000

de años atrás. ¿Cómo leerías ese número tan grande?

5ta clase 4ta clase 3era clase 2da clase 1era clase

Billón Millardos Millones Miles Unidades

C D U C D U C D U C D U C D U

1 2 0 4 8 0 0 0 6 0 8 0 1

5ta clase 4ta clase 3era clase 2da clase 1era clase


2. Leemos cada grupo de izquierda a derecha, seguido del nombre de

su clase.

Se lee: un billón doscientos cuatro millardos ochocientos millones

sesenta mil ochocientos uno. Este número tiene 13 cifras.

Lectura de números naturales hasta los billones Cuando leemos un número parecido al de Era Precámbrica como

1 204 800 060 801, hacemos lo siguiente:

1. Separamos sus cifras en grupos de tres de derecha a izquierda.

La clase de los billones La clase de los billones es la quinta clase del sistema de numeración

decimal. Está conformada por el décimo tercer, décimo cuarto y décimo

quinto orden de los valores posicionales. Observemos la tabla de

valores para un número de la quinta clase:

Un número que pertenezca a esta clase puede llegar a tener hasta

15 cifras.

Sabías que…Antiguamente se desarrollaron varios sistemas de numeración para contar. Entre los más importantes se encuentran los números romanos, los egipcios y los babilónicos. Pero fueron los maya los únicos que incluyeron un símbolo para el número cero dentro su sistema.

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Escritura de números naturales hasta los billones Cuando escribimos un número hasta la unidad de millón, por ejemplo,

noventa billones, diez millardos, ciento un millones, cuatro mil

ochocientos cincuenta años, seguimos los pasos:

1. Identificamos las clases.

Noventa billones, diez millardos, ciento un millones, cuatro mil

ochocientos cincuenta

2. Escribimos la cifra que representa la mayor unidad hasta la cifra

que representa la unidad más pequeña.

U1 Números naturales hasta los billones


C D U C D U C D U C D U C D U

9 0 0 1 0 1 0 1 0 0 4 8 5 0

Equivalencias entre los distintos órdenes de unidad de un número Una unidad de cualquier orden equivale a 10 unidades del orden

inmediatamente anterior. Por ejemplo, las equivalencias de 30 000

con los órdenes inferiores las encontramos así:

3 000 decenas

300 centenas

30 unidades de mil

3 decenas de mil

1. Identificamos el valor

posicional de cada unidad.

2. Formamos las unidades

equivalentes anteriores

dividiendo el número

entre diez.

Miles Unidades

C D U C D U

3 0 0 0 0

Finalmente, 30 000 unidades equivalen a 3 000 decenas,

300 centenas, 30 unidades de mil o 3 decenas de mil.

nlace con...Lengua y LiteraturaEn las páginas 110 a 113 del libro Enlace con Lengua y Literatura encontraremos cómo componer palabras. Esto nos ayudará al momento de escribir en letras números como el 25.

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U1U1

Actividades para realizar en el cuaderno

1. Escribo cómo se leen las siguientes cantidades.

a) 674 682 d) 72 981 g) 29 829 004

b) 4 876 634 987 e) 21 829 h) 2 239

c ) 4 834 394 f ) 10 001 i ) 831 901

2. Escribo en números las siguientes cantidades.

a) Ochocientos cincuenta millones novecientos veintidos mil doscientos setenta y nueve.

b) Seis billones cuatrocientos veintiocho millardos quinientos cincuenta y cinco millones

doscientos treinta y nueve mil ciento setenta y dos.

c ) Cuatro mil seiscientos noventa.

d) Trescientos veintiún millones quinientos tres.

e) Quinientos cuarenta millones diez mil ochenta.

Para obtener un número sumando dos o varias cantidades.

Ejercicios

a) 4 875

b) 9 587

c ) 9 824

d) 15 450

Cálculo mental

5 833

3 211

2 622

5 833

4 501

1 332

Redondeo de un número natural Redondear un número natural consiste en llevarlo a la decena,

centena, unidad de mil o decena de mil más cercana. Habitualmente,

redondeamos un número para obtener otro más fácil de usar. Si tenemos 23 748 granos de caraota y queremos redondear esta

cantidad a la unidad de mil realizamos los siguientes pasos:

1. Determinamos el número que se encuentra

en el orden que deseamos redondear.

2. Observamos el número que está a

su derecha.

3. Si es mayor o igual que 5, sumamos

uno al número que queremos redondear.

Si es menor que 5, dejamos igual

el número que queremos redondear.

4. Las cifras a su derecha se convierten

en cero (0). 24 000

23 748

23 748

Como

7 . 5

3 1 1 5 4

23 748

Entonces, 23 748 redondeado a la unidad de mil es 24 000.

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U1U1


3. Escribo las equivalencias de orden menor de las siguientes cantidades.

a) 20 e) 90 000 i ) 290

b) 400 f ) 7 000 000 j ) 12 000

c ) 6 000 g) 80 000 000 k) 130 000

d) 50 000 000 h) 300 000 000 l ) 47 000 000

4. Redondeo los siguientes números.

a) 2 846 569 a la decena más cercana. e) 721 a la centena más cercana.

b) 2 541 a la unidad de mil más cercana. f ) 396 983 a la centena de mil más cercana.

c ) 999 999 a la unidad de mil más cercana. g) 9 238 568 a la unidad de millón más cercana.

d) 1 789 032 a la centena de mil más cercana. h) 196 784 089 a la decena de millón más cercana.

Hay planetas en nuestro sistema solar

que están a más de miles de millones

de kilómetros del Sol.

a) Escribo cómo se lee la distancia de

cada planeta al Sol.

b) ¿Cuál de los planetas está más lejos

del Sol?, ¿a qué distancia está?,

¿cómo escribo esa cantidad en letras?

c ) ¿Qué cantidades redondearía?, ¿por qué?

5. Leo y respondo.

Un constructor necesita 254 millones kilogramos de

cemento, 25 decenas de mil de camiones y 7 unidades

de mil trabajadores para terminar un edificio en

construcción. ¿Cómo puede escribir el constructor

las cantidades de material que necesita?

Investigo, analizo y respondo.

U1 Series numéricas

Si los resultados son igualesy la serie es descendente, el patrónes restar ese resultado.

Si los resultados son igualesy la serie es ascendente,el patrón es sumar ese resultado.

Si los resultados son igualesy la serie es descendente, el patrónes dividir ese resultado.

Si los resultados son igualesy la serie es ascendente, el patrónes multiplicar ese resultado.

Una serie numérica es una cantidad de númerosordenados de manera ascendente o descendente según un patrón.

El patrón de una serie numérica está determinado por una operaciónaritmética, que puede ser adición, sustracción, multiplicación o división.

Los elementos de una serie numérica son los términos y el patrón.Los términos son cada uno de los números que forman la serie.El patrón es una cantidad fija que sumamos, restamos,multiplicamos o dividimos para hallar los términos de la serie.

Elementos de una serie numérica

Entonces, los términos de la serie anterior son múltiplos de 5.

8x 2 x 2 x 2

16 32 64

Términos: 8; 16; 32; 64 Patrón: multiplicar por

25 5- = 20625 125- = 500

25 5- = 20625 125- = 500

=25 5 5625 125 = 5

Si tenemos la serie

Patrón de una serie 2 Efectuamos

las operaciones sustracción y división

con ambas parejas de númerospara hallar el patrón; y de acuerdo

con el resultado sedetermina el patrón.

Elegimos dos parejasde términos consecutivos,

en este caso puede ser5 y 25 ó 125 y 625.

1 25 5 = 5

625 125 = 5

5; 25; 125; 625;y queremos encontrar su patrón

seguimos estos pasos:

Como la serie es descendentey todos los términos son múltiplosde 3, entonces el patrónde la serie es dividir entre 3.

243

243; 81; 27; 9; 3;...

3 = 8181 3 = 27

––

Aplicamosel patrónal términoanteriorque falta.

Hallamosel patrónde la serie.

1

2

¿Cómo completaruna serie numérica?

Para completar, por ejemplo, la serie

243; 81; ___ ; 9; 3,

hacemos lo siguiente:

2

Desde la escuela hastami casa hay ocho postes de alumbradoeléctrico y todos están a igual distancia.

Si entre el primero y el segundohay diez metros de distancia...

¿Cuántos metros hayde la escuela a la casa?

10 mts

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U1 Series numéricas

Si los resultados son igualesy la serie es descendente, el patrónes restar ese resultado.

Si los resultados son igualesy la serie es ascendente,el patrón es sumar ese resultado.

Si los resultados son igualesy la serie es descendente, el patrónes dividir ese resultado.

Si los resultados son igualesy la serie es ascendente, el patrónes multiplicar ese resultado.

Una serie numérica es una cantidad de númerosordenados de manera ascendente o descendente según un patrón.

El patrón de una serie numérica está determinado por una operaciónaritmética, que puede ser adición, sustracción, multiplicación o división.

Los elementos de una serie numérica son los términos y el patrón.Los términos son cada uno de los números que forman la serie.El patrón es una cantidad fija que sumamos, restamos,multiplicamos o dividimos para hallar los términos de la serie.

Elementos de una serie numérica

Entonces, los términos de la serie anterior son múltiplos de 5.

8x 2 x 2 x 2

16 32 64

Términos: 8; 16; 32; 64 Patrón: multiplicar por

25 5- = 20625 125- = 500

25 5- = 20625 125- = 500

=25 5 5625 125 = 5

Si tenemos la serie

Patrón de una serie 2 Efectuamos

las operaciones sustracción y división

con ambas parejas de númerospara hallar el patrón; y de acuerdo

con el resultado sedetermina el patrón.

Elegimos dos parejasde términos consecutivos,

en este caso puede ser5 y 25 ó 125 y 625.

1 25 5 = 5

625 125 = 5

5; 25; 125; 625;y queremos encontrar su patrón

seguimos estos pasos:

Como la serie es descendentey todos los términos son múltiplosde 3, entonces el patrónde la serie es dividir entre 3.

243

243; 81; 27; 9; 3;...

3 = 8181 3 = 27

––

Aplicamosel patrónal términoanteriorque falta.

Hallamosel patrónde la serie.

1

2

¿Cómo completaruna serie numérica?

Para completar, por ejemplo, la serie

243; 81; ___ ; 9; 3,


2

Desde la escuela hastami casa hay ocho postes de alumbradoeléctrico y todos están a igual distancia.

Si entre el primero y el segundohay diez metros de distancia...

¿Cuántos metros hayde la escuela a la casa?

10 mts

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U1

1. Completo la tabla.

Series Patrón

a) 2; 4; 6; 8; 10; 12.b) 9; 27; 81; 243; 729.c) 45; 40; 35; 30; 25.d) 4; 16; 64; 256; 1 024. e) 208; 104; 52; 26; 13.

Ahora, respondo.

• ¿En cuál de las series sus términos son múltiplos de 3?

• ¿En cuál de las series sus términos son divisores de 416?

• ¿En cuál de las series sus términos son múltiplos de 5?, ¿y de 2?

• ¿Cuáles series son ascendentes?, ¿y descendentes?

3. Escribimos todos los

términos en el orden

que los hallamos.

2. Aplicamos el patrón

al resto de los términos

de la serie.

1. Aplicamos el patrón

al primer término.

Construcción de una serie numérica Para construir una serie numérica necesitamos el primer término de

la serie, el patrón y la cantidad de términos que la serie va a tener.

Observemos los pasos para construir una serie que tenga como

patrón sumar 2, que el primer término sea 8 y que además tenga

7 términos.

Sabías que…Leonardo Pisano, mejor conocido como Fibonacci, fue quien descubrió la serie de números siguiente:1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; …Se cree que la gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la serie de Fibonacci: el tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en tres (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente.

El patrón de la serie

es sumar 2.

8 1 2 5 10

10 1 2 5 12

12 1 2 5 14

14 1 2 5 16

8; 10; 12; 14; 16; 18; 20.

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U1

2. Completo las series.

a) 20; ____; 60; 80; 100. d) 75; ____; 45; 30; 15; ____.

b) 12; ____; 18; 21; ____; 27. e) ____; 32; 16; ____; 4; 2; ____.

c ) ____; 9; 27; 81; ____. f ) 2 500; 500; ____; 20; 4.

3. Construyo series ascendentes de 5 términos con las siguientes características.

a) El primer término es 1 y el patrón es 21.

b) El primer término es 15 y el patrón es 1 30.

c) El primer término es 8 y el patrón es 4.

d) El primer término es 9 y el patrón es 1 3.

e) El primer término es 5 y el patrón es 2.

4. Resuelvo el problema.

El domingo Diego y su familia salieron de paseo al parque y allí

conocieron al señor Mario, un fotógrafo muy especial. Su hermano

Gabriel quería tomarse una foto en uno de los caballitos que tiene

el señor Mario, estos caballitos están ordenados a igual distancia

uno del otro. Si entre el primero y el segundo hay 10 pasos,

¿cuántos pasos habrá entre el segundo y el cuarto caballito?

Observo el número que tiene

asignado cada letra. Descubro

el patrón de las siguientes series:

Serie 1: Z; I; C.

Serie 2: E; J; Ñ; S; X.

¿Cuál de los patrones de las series

fue más difícil de hallar?, ¿por qué?


A C E GB D F H I

1 3 5 72 4 6 8 9

10 12 14 1611 13 15 17 18

19 21 23 2520 22 24 26 27

R T V XS U W Y Z

J L N OK M Ñ P Q

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Números decimales Los números decimales constan de dos partes: la parte entera que está

a la izquierda de la coma y la parte decimal que está a su derecha.

Los órdenes de la parte decimal son décimas, centésimas y milésimas,

entre otros.

U1 Números decimales

RecuerdaLas letras mayúsculas se usan para las unidades de orden de la parte entera y las letras minúsculas para las unidades de orden de la parte decimal.

Parte entera Parte decimal

C D U d c m dm

7 2 3 1 0 8 4,

Lectura de los números decimales Al leer un número decimal como 8,560 9 kg primero leemos la parte

entera seguida de la palabra enteros o unidades, y luego la parte

decimal con el nombre que ocupa la última cifra.

El peso de Guillermo en la Luna es 8,560 9 kg y se lee: ocho kilogramos,

cinco mil seiscientos nueve diezmilésimas.

Escritura de los números decimalesCuando escribimos un número decimal, primero escribimos la parte

entera seguida de la coma, y luego la parte decimal siguiendo el

valor posicional de cada cifra. Por ejemplo, para escribir setecientos

veintitrés enteros, mil ochenta y cuatro diezmilésimas, lo hacemos así:

Parte entera

Parte decimal

1 4 , 5 6

Número decimal

Mi hermano Guillermo sueña con ser astronauta cuando crezca y

así poder viajar a la Luna. La semana pasada leímos en una revista

que en la Luna todos los objetos y cuerpos pesan seis veces menos

que en la Tierra. Actualmente mi hermano pesa 51,365 4 kg; entonces

en la Luna pesaría 8,560 9 kg. ¿Cómo se leen estas cantidades?, ¿dónde

has visto cantidades con tantos decimales?

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Descomposición y composición de un número decimal La descomposición de un número decimal la podemos hacer usando la suma de los

valores de posición de cada una de las cifras que lo forman. Nuestra altura podemos

medirla en centímetros, por ejemplo 138,75 cm; observemos la descomposición de

este número:

Redondeo de números decimales Redondear un número decimal es convertirlo en el número natural más próximo que

termine en ceros. Por ejemplo, al redondear 148,632 a la decena más cercana;

realizamos los siguientes pasos:

1. Determinamos a qué orden deseamos

redondear.

2. Si la cifra que está a la derecha de

la cifra seleccionada es menor que 5,

queda igual; si es mayor o igual a cinco,

aumenta en uno.

3. Las demás cifras que están a la derecha

de la cifra seleccionada las convertimos en cero.

U1 Números decimales

Es decir; 138,75 = 100 + 30 + 8 + 0,7 + 0,05.

Cuando componemos un número decimal sumamos todos los valores posicionales

de sus cifras. La expresión 500 1 7 1 0,3 1 0,01 1 0,006 compone al número 507,316.

1 3 8 , 7 5 cm

8 cm30 cm 0,7 cm 0,05 cm100 cm

5 0 0, 0 0 0

7, 0 0 0

0, 3 0 0

0, 0 1 0

1 0, 0 0 6

5 0 7, 3 1 6

1 4 8 , 6 3 2

1 4 8 , 6 3 2

Como 8 . 5

4 1 1 5 5

148,632 se redondea

a 150.

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U1

Aproximación de números decimales Al aproximar un número decimal debemos reducir su cantidad de

cifras decimales. Para ello, escogemos la cantidad de decimales

que tendrá el número y utilizamos el mismo principio que el

redondeo. Si queremos aproximar 24,617 8 a dos decimales

hacemos lo siguiente.

Fracciones y números decimales Todas las fracciones se pueden escribir como números decimales.

Para transformar 378 en fracción dividimos el numerador entre

el denominador. El resultado final es el número decimal que

representa la fracción.

1. Ubicamos el orden al que

vamos a aproximar.

2. Observamos la cifra que

está a la derecha del orden

seleccionado.

3. Si la cifra que está a su derecha

es mayor o igual a 5 sumamos

uno a la cifra que está en el

orden a aproximar, de

lo contrario se deja igual.

4. Finalmente las cifras a su

derecha se convierten en cero.

2 4 , 6 1 7 8

2 4 , 6 1 7 8

2 4 , 6 1 7 8

Como 7 . 5

1 1 1 5 2

2 4 , 6 2 0 0

rápido¿Qué número decimal se forma al unir todas las piezas correctamente?

ZoomPara comparar un número decimal con una fracción, primero se transforma la fracción a decimal y luego se comparan los decimales con los símbolos ., , 5. Por ejemplo, para comparar 36

5 y 7, 5.

7,2 7,5

Por lo tanto, 365

7,5.

365

Entonces 378 5 4,625.

3 7’ 8

5 0 4, 6 2 5

2 0

4 0

0

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U1

1. Escribo cómo se leen los números decimales.

a) 567,234 b) 87 001,9 451 c ) 76 784,657 d) 100,001 e) 176,97

2. Escribo cada cantidad en números.

a) Treinta y tres mil unidades, una milésima.

b) Novecientos mil seiscientos veinticuatro con doce décimas.

c ) Cero unidades con una milésima.

d) Cinco unidades con tres milésimas.

3. Descompongo los números decimales

a) 347,324 b) 28,303 c) 98,010 2 d) 1,082 e) 387,009

4. Redondeo a la centésima los números.

a) 9 927,091 b) 100,001 c ) 380,085 d) 46 817,200 3 e) 745 575,019



Cuando Marta va al supermercado, ella aproxima

los precios de los artículos a la decena más cercana.

a) ¿Cuáles son los precios de los artículos después

de redondearlos a la decena?

b) Si Marta redondea todos los precios a las unidades,

¿cuánto da la cuenta de lo que lleva?

¿Alcanzaría si pagara con un billete de Bs. 100?

5. Resuelvo.

Luisa conversa con sus amigos acerca de sus pesos.

Para salir de dudas buscan una báscula y obtienen

los siguientes resultados:

¿Cuál de los tres pesa más?

Ángel Clemente Luisa

55,53 kg 58,35 kg 54,88 kg

Busco los datos en la imagen y respondo.

Bs. 0,876

Bs. 8,689

Bs. 56,408

Bs. 12,628

Bs. 13,806

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U1 Actividades de repaso

1. Escribo cómo se leen las cantidades.

a) 587412 f ) 252,23

b) 54 698 712 g) 1 542,002

c ) 8 741 236 h) 1 000,000 2

d) 1 326 421 587 i ) 547,521 4

e) 9 985 410 032 j ) 2,020 2

2. Determino las equivalencias de orden menor

de las cantidades.

a) 30 d) 40 000

b) 500 e) 600 000

c ) 8 000 f) 2 000 000

3. Escribo en números las cantidades.

a) Siete billones nueve mil quinientos.

b) Mil seiscientos millones uno.

c ) Treinta mil quinientos una milésima.

d) Seis unidades con tres mil seis milésimas.

e) Quinientas doce milésimas.

4. Descubro el patrón de cada serie.

a) 3; 6; 9; 12; 15.

b) 7; 14; 21; 28; 35.

c ) 13; 18; 23; 28; 33.

d) 50; 75; 100; 125; 150.

e) 1 475; 1 508; 1 541; 1 574; 1 607.

f ) 2; 4; 8; 16; 32.

5. Completo la serie.

16 21 51

? ? ? ? ? ?

38 ? ? ? ? ?

? ? 38 ? 12 10

? 32 ? 32 14 8

? ? 26 ? 16 6

26 ? ? 20 18 4

6. Observo el laberinto y respondo.

a) ¿Cuál es el patrón correcto de la serie

para salir del laberinto desde el

número 2?

b) ¿Cuál es el último número de la serie?

c ) ¿Cuáles son los términos que hacen

falta para completar la serie de

manera correcta?

7. Descompongo los números.

a) 1 987,426 f ) 7,047

b) 143,09 g) 67,304

c ) 58,105 h) 65 231,52

d) 87,567 i ) 642,830

e) 240 489,28 j ) 32,709

8. Aproximo a las décimas.

a) 45 832,248 f ) 478 230,752

b) 256,235 g) 873,213

c ) 589 536,124 h) 62458 478,258

d) 78 654,845 i ) 257,789

e) 147 965,206 j ) 63 243,235

31 46

25

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antil

lana

, S.A

.


Enlace con...Astronomía

El cometa Halley, oficialmente denominado 1P/Halley, es un

cometa grande y brillante que orbita alrededor del Sol cada

75 años en promedio. Es uno de los cometas más conocidos

y brillantes. Se le observó por última vez en el año 1986 en

las cercanías de la órbita de la Tierra, se calcula que la

siguiente visita será en el año 2061.

¿Cuáles serán los próximos años en que el cometa Halley

pasará cerca de la Tierra de nuevo? ¿Conoces algún otro

evento estelar que se repita como una serie?, ¿cuál?

11. Observo la imagen y respondo.

Oscar prepara un experimento en clases y

para ello debe comparar algunos pesos .

a) Transformo la fracción que marca el

envase de tierra negra a número decimal.

b) ¿Cuál de los dos envases pesa más?,

¿por qué?

c) Si Oscar aproxima el peso de la tierra

negra a la décima más cerca, ¿cuál de

los envases pesaría más?, ¿por qué?

9. Redondeo según corresponda.

a) 6 421 589 a la centena más cercana.

b) 874 521 a la centena de mil más cercana.

c ) 541 256,854 a la unidad de mil más cercana.

d) 25,254 2 a la decena más cercana.

e) 97 504,002 5 a la decena de mil

más cercana.

10. Escribo todos los números con tres cifras

decimales que cumplan las dos condiciones

dadas:

➢ • La parte entera debe ser 7.

➢ • Las tres cifras de la parte decimal no

deben ser iguales y sólo pueden tomar

los valores 2, 3 ó 4.

Ahora, respondo.

a) ¿Qué números tienen el mayor valor en

las décimas?

b) ¿Qué números tienen el menor valor en

las centésimas?

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, S.A

.

Resolución de problemas1

Podemos resolver este problema por razonamiento. Observamos cuáles de las

opciones tienen al menos el 5 y el 8 que ya están dados en el crucinúmeros,

luego a partir de allí empezamos a llenarlo y comprobar que la opción correcta

es la a).

Razonamiento

¿Cuál de los siguientes conjuntos de números se puede ubicar en el crucinúmeros?

a) 13 - 15 - 17 - 28 - 45 - 46 - 93 - 98.

b) 13 - 15 - 17 - 27 - 45 - 46 - 93 - 97.

c ) 13 - 15 - 17 - 28 - 44 - 46 - 93 - 98.

d) 13 - 15 - 17 - 25 - 45 - 46 - 93 - 99.

2 3¿Cuál de los siguientes conjuntos

de números se puede ubicar en

el crucinúmeros?

¿Cuál de los siguientes números sobra

para armar el crucinúmeros?

11 - 17 - 25 - 29 - 36 - 47 - 49 - 56 - 62 -

64 - 71 - 73 - 82 - 90 - 94

a) 11 - 12 - 21 - 34 - 35 - 60 - 67 - 81.

b) 11 - 12 - 21 - 35 - 35 - 64 - 67 - 82.

c) 11 - 12 - 21 - 34 - 35 - 65 - 67 - 82.

d) 11 - 12 - 21 - 35 - 35 - 63 - 67 - 82. a) 17 b) 71 c) 47 d) 73

5

8

5

8

4 6

1 5 2

9 8

4 6

5

8

4 6

1 5 2

9 8

3

4 6

1 5

8

4 6

1 5 2

9 8

1 3

4 6

1 5 2

8

4 6

1 5 2

7 9 8

1 3

51

6

5 2

7

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, S.A

. Pensar, hacer y reflexionar…a) ¿Estoy satisfecho con el trabajo que realicé?b) ¿Qué me pareció más difícil de la actividad?c) ¿Cómo podría mejorar el ábaco para incluirle

cantidades más grandes?

Qué necesitamos• 6 palitos de madera

para hacer pinchos

• 60 tapas de plástico de refresco

• Marcador negro

• Un trozo de cartón de 35 cm 35 cm

• 2 tubos de cartón de más de 35 cm de longitud

• Pega

Ábaco en lo cotidianoCómo lo hacemos

1. Abrimos un huequito en el medio de cada tapa de refresco, de manera que un palito de pincho pase suavemente.

2. Colocamos 10 tapas de un mismo color en cada palito.

3. Abrimos seis huequitos a los tubos de cartón, con el diámetro de los palitos de pincho. Cada huequito debe estar a igual distancia desde la base hasta la punta.

4. De esta manera pegamos los palitos a los tubos de cartón y hacemos algo parecido a una escalera.

5. Pegamos los tubos de cartón en el otro trozo de cartón que es la base, cada uno en un extremo del trozo del cartón.

4. Con el marcador escribimos en la primera línea de tapas la letra C que representará las centenas, en la segunda línea

la letra D que representará las decenas y así sucesivamente hasta llegar a las milésimas.

Utilizamos nuestro ábaco • Tomamos una lista de tres productos que habitualmente compramos en casa.

• Con ayuda del ábaco comprobamos la suma de los tres productos.

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.

Busquemos figuras> ¿Cuáles figuras geométricas hay en la imagen?

> ¿Cuáles de ellas son polígonos regulares?, ¿cuáles son irregulares?

> ¿Qué es un geoplano?, ¿cómo podemos construir figuras geométricas con él?

> ¿Qué figuras pudiera construir en un geoplano?

U6 Geometría

¿Cuántas fi guras geométricas conoces?

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.

Construiremos e interpretaremos croquis y planos, y realizaremos actividades que requieran orientación espacial.

Trazaremos circunferencias y círculos. Identificaremos los elementos de una circunferencia.

Construiremos polígonos regulares e irregulares, como cuadriláteros y triángulos.

Competencias

Seguridad vial

Siempre es importante reconocer todas las señales de tránsito, sus formas y significado.

Al final de la unidad construiremos varias señales de tránsito usando figuras geométricas para hacer una exposición sobre seguridad vial.

para identificar y construir

Geometría

En esta unidad encontraremos

Geometría, planos y croquis

para describir

algunos son

Planos y croquis

recorridos polígonoscircunferencias

triángulos

cuadriláteros


U6 Geometría

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.

Mario, Claudia y yo estamos viendo una carrera de camionetas

rústicas que se hace en Venezuela. Esta válida consiste en

atravesar caminos intrincados llenos de barro especialmente

diseñados para esto.

Para guiarse en la ruta, los participantes utilizan algunos

croquis y planos de los territorios por donde pasan.

¿En qué otra situación podrías usar un croquis o un plano?,

¿lo has usado?, ¿qué tan a menudo?

1. Identificamos si es de una

ubicación o es el boceto

de un objeto.

2. Observamos que,

generalmente, tienen

trazos irregulares que

no son exactos al lugar

u objeto que representa,

ya que sólo dan una idea de lo que se quiere construir

o hacia donde se quiere ir, sin ajustarse estrictamente

a la realidad.

El croquis Es un dibujo esquemático de un paisaje, una ciudad, una casa,

entre otros lugares o espacios. Se hace sin detalles, sin escalas y sin

utilizar medidas exactas, generalmente a mano alzada. En ellos sólo

encontraremos las líneas más significativas y los límites de un espacio

o un objeto.

Cuando hacemos un croquis no usamos instrumentos geométricos,

por lo tanto, puede contener detalles no precisos. Para ubicar un lugar

en un croquis usamos puntos que indican de manera

referencial la ubicación de algunas cosas.

Para identificar un croquis

procedemos así:

ZoomUn croquis también representa un boceto de algún objeto. Por ejemplo, el boceto del diseño de un motor.

U6 Croquis y planos

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.

rápidoSi tuvieras que hacer un croquis que describiera el camino desde el punto amarillo hasta el punto rojo, ¿cómo lo harías?

El plano Es una representación gráfica a escala de una ciudad, una localidad

u otros espacios. A veces incluye acotaciones y medidas exactas para

representar estos espacios.

La escala es la relación que hay entre las dimensiones reales y las del

dibujo que representa la realidad sobre un plano. Cuando decimos

que la escala es 1:100, la leemos uno cien y lo que afirmamos es que

cada centímetro en el plano representa 100 centímetros (o 1 metro)

en el espacio real.

Construcción de un plano En un plano hay una vista clara del lugar u objeto, habitualmente

desde arriba. Para construir un plano usamos las herramientas de

dibujo necesarias, tales como escuadras, regla graduada, entre otras.

También empleamos unidades de longitud como el milímetro,

el centímetro y el metro.

Para realizar el plano de una oficina procedemos así:

1. Elegimos una escala.

2. Convertimos todas las medidas

a la escala.

3. Trazamos con una regla los segmentos con las medidas

obtenidas. Para representar curvas exactas usamos el compás,

regla graduada y el transportador.

Escala 1:100

Como 1 m 1 cm

entonces,

3,5 cm 3,5 m 5 cm 5 m

U6 Croquis y planos

3,5

m

5 m

U6

110

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.

110


Diferencias entre un croquis y un plano

Utilidad de los croquis y de los planosLos croquis y los planos nos sirven para identificar objetos o lugares,

ya sea de forma precisa y elegante o de manera intuitiva e informal.

1. Observo el plano de las rutas del metro de Caracas y construyo un croquis que lo represente.

Los planos • Son realizados con instrumentos

de dibujo.

• No contienen tachaduras.

• Son realizados a escala.

• Se usan para mostrar de manera exacta

las dimensiones y la estructura de

objetos o recorridos de rutas y caminos.

Los croquis • Son realizados a mano alzada.

• A veces contienen tachaduras.

• No son realizados a escala.

• Se usan para dar una idea de lo

que se quiere mostrar.

Para dividir un número natural terminado en ceros.

Ejercicios

a) 32 000 4 5

b) 64 000 4 8

c ) 954 000 4 6

Cálculo mental

16 000 4 4

→ 16 4 4 5 4

→ 16 000 4 4 5 4 000

16 000 4 4 5 4 000

U6

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111

2. Realizo un croquis que describa la ruta de mi casa al colegio. Uso puntos de referencia.

3. Construyo un plano a escala 1:100 de mi salón de clases

que tenga los siguientes elementos. Sigo el ejemplo.

a) Las paredes

b) Las puertas

c ) El escritorio

d) Los pupitres

4. Observo la conversión de las escalas y respondo.

a) ¿Para hacer el plano de una casa qué escala usaría?, ¿por qué?

b) ¿Para hacer el plano de un centro comercial qué escala usaría?, ¿por qué?

c) ¿Para hacer el plano de una ciudad qué escala usaría?, ¿por qué?

Escala Medida en el plano Medida real Equivalencia

1:100 Centímetros Metros 1 cm → 1 m

1:150 Centímetros Metros 1 cm → 1,5 m

1:1 000 Centímetros Metros 1 cm → 1 km

Pupitres

Puerta

Escritorio


Observo las imágenes y respondo.

En clase nos enseñaron los planos de

una casa de dos pisos.

a) Según las dos plantas, ¿qué lados deben

coincidir para que la escalera quede

en la posición correcta?

b) Si cada metro y medio del plano está

representado por un centímetro,

¿cuál escala se usó para hacerlo?

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La circunferencia La circunferencia es una línea curva

cerrada cuyos puntos están a igual

distancia de un punto llamado centro.

Si observamos la rueda de una

bicicleta vemos que tiene forma

de circunferencia.

Cuando dividimos una circunferencia

en dos partes iguales, cada

una de esas partes se llama

semicircunferencia.

El círculo Es una figura plana formada por la

circunferencia más su región interior.

Por ejemplo, un plato tiene forma

de círculo.

Cuando dividimos un círculo en dos

partes iguales cada una de esas

partes se denomina semicírculo.

Mi tío y yo asistimos al Museo de Ciencias donde hay una

exposición sobre los planetas del Sistema Solar. En él vimos

una breve descripción sobre el ecuador terrestre, que es

una línea imaginaria que divide al planeta en dos partes iguales,

como un par de semiesferas. ¿Dónde has escuchado expresiones

como ésta?, ¿sabes a qué se refiere?

Circunferencia

Círculo

Semicírculo

Semicircunferencia

Gente con…ConcienciaEl consumo humano de los productos industrializados afecta considerablemente la temperatura del planeta Tierra. Si el planeta aumentara su temperatura en 4 ºC, la vida en los países de la línea del ecuador no sería posible. ¿Qué harías tú para evitar el calentamiento global?

U6 Circunferencia y círculo

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Elementos de la circunferencia

Cómo trazar una circunferencia Para trazar una circunferencia necesitamos el valor del radio o del diámetro, una regla y un compás.

Si queremos trazar una circunferencia de diámetro 4 cm, hacemos lo siguiente:

1. Marcamos un punto que será el centro de ella.

A este punto lo llamamos O.

2. Calculamos el valor del radio. Como el diámetro

es el doble del radio, dividimos este valor entre dos.

3. Abrimos el compás con la distancia igual al radio. Apoyamos

su punta metálica en el centro O de la circunferencia y lo

giramos hasta obtener la circunferencia.

Centro Punto interior que se encuentra a igual distancia de todos

los puntos de la circunferencia.

Cuerda Es un segmento de recta que une dos puntos cualesquiera

de la circunferencia.

Arco Es la parte de la circunferencia que se encuentra comprendida

entre dos puntos cualesquiera. Los arcos están delimitados por

los extremos de una cuerda.

O

O

r 5 5 5 2 cmD2

4 cm2

Radio Es un segmento de recta que va desde el centro a cualquier

punto de la circunferencia. Se representa con la letra r. También

se le llama radio a la longitud de ese segmento.

r

D

U6 Circunferencia y círculo

Diámetro Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Denotamos diámetro con la letra D. También llamamos diámetro

a la longitud de esa cuerda. El diámetro es el doble que el radio,

es decir, D 5 2 r. Todo diámetro divide a una circunferencia

en dos semicircunferencias.

U6

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Trazado de un círculoPara realizar un círculo, por ejemplo de 1,5 cm de radio,

lo hacemos así:

1. Abrimos el compás con

una distancia igual al radio.

Apoyamos su punta metálica en

el centro O y lo giramos hasta

completar la circunferencia.

2. Coloreamos toda la región

que está dentro de

la circunferencia trazada.

Para multiplicar un número natural por 25.

Ejercicios

a) 520 25

b) 672 25

c ) 989 25

Cálculo mental


1. Identifico que representan los segmentos marcados en cada circunferencia.

a) b) c) d)

2. Trazo las circunferencias según corresponda. Luego realizo lo que se solicita.

a) D 5 3 cm d) r 5 2 cm g) D 5 8 cm j) D 5 30 mm

b) r 5 1,5 cm e) D 5 2,8 cm h) D 5 10 cm k) D 5 1 dm

c) D 5 7 cm f) r 5 3,5 cm i) r 5 20 mm l) r 5 32 cm

• Coloreo las circunferencias con radio menor a 3 cm para formar círculos.

• Indico dos arcos y dos cuerdas en las circunferencias con diámetro mayor a 3 cm.

3. Construyo las figuras indicadas.

a) Circunferencia de 3 cm de diámetro, con 3 radios.

b) Circunferencia de 2 cm de radio, con 1 arco y 2 cuerdas.

c ) Circunferencia de 2 cm de diámetro, con 4 arcos, 3 cuerdas y 3 radios.

235 25 5 5 875

235 25

→ 235 100 5 23 500

→ 23 500 4 4 5 5 875

U6

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4. Realizo un círculo de 3 cm de radio, luego coloreo según corresponda.

a) Su centro con color rojo. d) El segmento de diámetro de color verde.

b) La circunferencia de color negro. e) Un segmento de cuerda de color gris.

c) El segmento del radio de color azul. f) Un arco de color morado.

5. Marco con un ✓ las afirmaciones que son ciertas y con una ✗ las que no. Luego escribo

el por qué considero que la afirmación no es cierta.

a) El diámetro es la mitad del radio.

b) La cuerda es un radio.

c ) El diámetro es la cuerda más grande que se puede trazar dentro de la circunferencia.

d) El diámetro es el doble del radio.

e) Los arcos pasan por el centro de la circunferencia.

f) El radio es el doble del diámetro.


Analizo la situación y respondo.

Si dentro de la semicircunferencia de

32 cm de diámetro hay un círculo

cuyo diámetro es igual al radio de la

semicircunferencia,

a) ¿Cuál es el radio del círculo?

b) ¿Cómo explico con mis palabras a qué

se debe la respuesta anterior?

6. Respondo la siguiente asignación.

a) Encuentro 3 objetos de distintos tamaños que tengan una base

circular. Los coloco sobre un papel y dibujo el contorno de cada uno.

Luego recorto los círculos que tracé y realizo en ellos varios pliegues

para obtener el centro, dos diámetros y dos cuerdas.

b) Trazo una circunferencia de 4 cm de diámetro y con el mismo centro trazo otra circunferencia

dentro, cuyo diámetro sea igual al radio de la primera circunferencia. Luego realizo un dibujo

libre con las imágenes trazadas.

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Ángulo central

Es el que tiene

su vértice en

el centro de

la circunferencia.

Ángulo inscrito

Tiene el vértice

en un punto de

la circunferencia.

Ángulo interno

Su vértice está en

un punto dentro de

la circunferencia,

diferente al centro.

Ángulo externo

Es el que tiene su

vértice en un punto

fuera de

la circunferencia.

Ángulos al centro de una circunferencia Para trazar ángulos al centro de una circunferencia, tomamos su centro como vértice.

Si queremos trazar un ángulo como el que forma el reloj de pared cuando son las 12:30,

procedemos así:

Ángulos y circunferencia Existen varios tipos de ángulos en la circunferencia:

1. Dibujamos un radio en la circunferencia.

Finalmente la abertura que hay entre la aguja del horario y el minutero a las 12:30 es de 180º.

2. Trazamos el ángulo con la ayuda del transportador.

Para ello tomamos como vértice el centro de la

circunferencia, y el radio dibujado como un lado

del ángulo.180º

Mi abuela tiene un reloj analógico de pared que da mucho miedo.

Cada vez que indica una hora en punto hace unas campanadas fuertes

que me erizan toda la piel. A medida que los minutos van pasando

el ángulo entre las dos manecillas va variando.

¿Cuál será el ángulo que forman las agujas del reloj cuando

son las 12:30?

U6 Ángulos, rectas y circunferencias

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Rectas con respecto a una circunferencia Una recta puede ocupar tres posiciones distintas con respecto a

una circunferencia. Según estas posiciones, las rectas pueden ser:

exteriores, tangentes o secantes a la circunferencia.

Trazado de rectas exteriores a la circunferencia Cuando queremos trazar una recta exterior a una circunferencia,


Trazado de rectas tangentes a la circunferencia Para trazar una recta tangente a una circunferencia lo

hacemos así:

1. Trazamos la circunferencia de

la medida que queramos con

un compás.

1. Trazamos la circunferencia de la medida

que queramos con un compás.

2. Trazamos un radio de la circunferencia y

colocamos una regla y una escuadra, como

muestra la figura.

3. Sostenemos firmemente la escuadra y trazamos

una línea recta perpendicular a la línea del radio

y por el borde exterior de la circunferencia.

2. Trazamos una recta fuera de la

circunferencia con una regla.

Sabías que…Existe una medida llamada radián; es una unidad de medida para la longitud de los arcos de una circunferencia y se calcula usando el ángulo al centro de una circunferencia.

• Recta exterior

No toca a la

circunferencia.

• Recta tangente

Toca la circunferencia

en un solo punto.

• Recta secante

Toca la circunferencia

en dos puntos.

El punto donde la recta tangente toca

a la circunferencia se llama punto tangente.

U6 Ángulos, rectas y cirfunferencias

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.

U6

circunferencia concéntrica. Es la que tiene el mismo centro de otra circunferencia, pero con diferente radio.

Glosario

Segmento circular

Sector circular

Corona circular

Trazado de rectas secantes a la circunferencia Si queremos trazar una recta secante a una circunferencia hacemos

lo siguiente:

Figuras circularesLas figuras circulares que podemos formar en un círculo son:

El segmento circular es la región del círculo

limitada por una cuerda y por su arco. Para

formar un segmento circular, dibujamos una

cuerda en la circunferencia; repasamos el

arco comprendido entre los extremos de la

cuerda y coloreamos la región delimitada

por el arco y la cuerda.

El sector circular es la parte del círculo

limitada por dos radios y por el arco

correspondiente. Para formar un sector

circular, trazamos dos radios, repasamos el

arco formado por los extremos de los radios

y coloreamos la región delimitada po las

cuerdas y el arco.

La corona circular es todo el espacio

comprendido entre dos circunferencias

concéntricas. Para formar una corona

circular, trazamos dos circunferencias

concéntricas y coloreamos el espacio

que queda entre ellas.

1. Trazamos la circunferencia de la medida

que queramos con un compás.

2. Marcamos dos puntos cualesquiera

de la circunferencia y trazamos una

recta que pase por los dos puntos.

Para sumar fracciones con diferentes denominadores usando fracciones equivalentes.

Ejercicios

a) 152

38

b) 114

17

c ) 179

97

Cálculo mental

113

52

513

26

552

104

, 156

1 5 1 513

52

26

156

176

→

→

→

119

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.

U6


1. Trazo las circunferencias en cada caso y dibujo los siguientes ángulos al centro.

a) 90º b) 180º c) 45º d) 30º e) 270º

2. Mido los ángulos al centro de la circunferencia y resuelvo:

a) ¿Los ángulos al centro rojo y verde son iguales?,

¿por qué?

b) ¿Cuáles ángulos al centro tienen la misma medida?

c ) Sigo la notación para escribir ángulos al centro

y completo la tabla.

3. Observo la circunferencia y respondo.

a) ¿Cuál de las rectas es tangente a la circunferencia?, ¿por qué?

b) ¿Cuál de las rectas es exterior a la circunferencia?, ¿por qué?

c ) ¿Cuál de las rectas forma un semicírculo?, ¿también es secante?,

¿por qué?

d) ¿Cuál de las rectas forma un ángulo central?, ¿por qué?

Ángulo amarillo Ángulo azul Ángulo verde Ángulo rojo Ángulo blanco

\ POQ

P Q

R

S

T

O


Mi familia y yo fuimos a una pista de carreras de bicicletas, en

la cual participaba mi hermana mayor. En los primeros

300º de la primera vuelta de la carrera ella iba

ganando, luego en la segunda vuelta, los 240º

finales los hizo mi hermana de primera.

a) ¿Qué forma tiene la pista?

b) Represento ambos ángulos en una

circunferencia.

c ) Según la posición de los corredores, ¿cuál recorrería

más metros, el que está más cerca o lejos del centro?, ¿por qué?

Leo la información y respondo.

sr

t

90º

270º

0º180º

120

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.

El domingo fui al parque de diversiones con la familia de mi amigo

Carlos. Dentro del parque nos montamos en un juego de tazas

que giraban. En total éramos cinco personas dentro de un aparato

circular. ¿De qué manera se pueden ubicar cinco personas a igual

distancia dentro de un objeto circular?

Polígonos regulares Un polígono es una figura plana constituida por una línea poligonal

cerrada y su interior.

RecuerdaLos elementos de un polígono son:• Lados. Segmentos de

rectas que forman el polígono.

• Ángulos. Abertura entre dos lados consecutivos.

• Vértices. Puntos de unión de dos lados consecutivos.

• Diagonales. Segmentos de recta que unen dos vértices opuestos.

todos sus lados con igual medida, al igual que todos sus ángulos.

al menos un lado o un ángulo de diferente medida.

Polígonos inscritos en una circunferencia Los polígonos regulares inscritos en una circunferencia son los que

se encuentran dentro de ella y sus vértices son puntos de dicha

circunferencia.

Cuando una circunferencia tiene un polígono inscrito en ella, se dice

que la circunferencia está circunscrita al polígono.

Triángulo equilátero

Cuadrado Pentágono Hexágono

Polígono

según la medida de sus lados

Regular Irregular

tiene tiene

U6 Polígonos regulares

121

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.

Trazado de polígonos regulares inscritos en una circunferencia sin el uso del transportador Para trazar un polígono dentro de una circunferencia sin el uso del

transportador procedemos así:

Sabías que…Gauss fue uno de los grandes matemáticos del siglo XVIII. Con apenas 19 años demostró cómo dibujar un polígono regular de 17 lados.

El triángulo

1. Dibujamos una circunferencia y

trazamos un segmento secante

que pase por el centro.

2. Con la misma abertura del radio

de la circunferencia hacemos centro

en unos de los puntos secantes

y obtenemos dos cortes en

la circunferencia.

3. Unimos los tres vértices para

formar un triángulo equilátero.

El hexágono

1. Dibujamos una circunferencia

y trazamos un segmento secante

que pase por el centro.

2. Con la misma abertura del radio

hacemos centro en un punto

secante y obtenemos dos cortes

en la circunferencia.

3. Repetimos el paso 2 sobre el punto

secante opuesto y obtenemos

los seis vértices del hexágono.

4. Unimos los vértices para formar

el hexágono.

Para restar fracciones con diferentes denominadores.

Ejercicios

a)

b)

c )

Cálculo mental

73

25

34

12

89

57

73

25

525

410

, 615

573

146

, 219

, 2812

, 3515

5 573

25

615

2915

3515

→

→

→

U6 Polígonos regulares

U6

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, S.A

.

Trazado de polígonos regulares inscritos en una circunferencia con el uso del transportador Para inscribir un polígono regular en una circunferencia, dividimos los 360º de la circunferencia en

tantas partes como lados tenga el polígono. Si queremos inscribir un pentágono, lo hacemos así:

1. Dividimos 360º de la circunferencia entre

la cantidad de vértices que tiene el polígono

a construir.

2. Con un compás trazamos una circunferencia

de cualquier tamaño. Apoyamos el

transportador haciendo centro en el centro de la

circunferencia. Marcamos en 0º el primer vértice

y en 72º el segundo.

3. Repetimos el paso 2 midiendo 72º ahora desde

el segundo vértice, luego desde el tercero y así

hasta encontrar los 5 vértices.

4. Finalmente con la ayuda de la regla unimos

los vértices para formar el polígono regular.


1. Inscribo los polígonos regulares en las circunferencias sin usar transportador

según corresponda.

a) Circunferencia de radio b) Circunferencia de radio c) Circunferencia de radio

igual a 3 cm; inscribir igual a 4 cm; inscribir igual a 5 cm; inscribir

un triángulo equilátero. un cuadrado. un hexágono.

2. Completo con ángulos similares el trazado de los polígonos inscritos en las circunferencias.

Luego escribo el nombre de cada polígono.

a) b) c) d)90º60º 40º 30º

360º 4 5 5 72º

72º

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3. Completo la tabla según corresponda.

4. Construyo los siguientes polígonos inscritos en una circunferencia usando el transportador.

a) Triángulo equilátero c ) Pentágono regular e) Heptágono regular

b) Cuadrado d) Hexágono regular f ) Octágono regular

5. Respondo las preguntas.

a) ¿En cuántas partes debo dividir una circunferencia pasa trazar un decágono regular?

b) ¿De cuántos lados puede ser el mayor polígono regular que se puede inscribir en

una circunferencia?, ¿por qué?

c) ¿Se puede inscribir un polígono irregular en una circunferencia? Justifico mi respuesta.


Observo la figura y respondo.

a) ¿Cuántos polígonos hay inscritos en la circunferencia?,

¿cuáles son?

b) ¿Cuáles polígonos son iguales? Después trazo

de manera separada los mismos polígonos en

otras circunferencias.

Polígono inscrito en una circunferencia

Nombre del polígono

Nº de lados

Cálculo que se realiza para conocer el ángulo

Valor del ángulo

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La semana pasada mi amigo Carlos me visitó y diseñamos

un papagayo formado por dos triángulos. Del primero sólo

medimos dos lados y el ángulo que forman entre ellos.

Del segundo triángulo conocíamos dos ángulos y la medida

de uno de sus lados. ¿Cómo se pueden construir los triángulos

con los datos que se tienen? ¿Qué forma tiene un papagayo?

1. Trazamos el primer segmento señalando

sus extremos A y B. Medimos desde un

extremo el ángulo dado.

2. Colocamos el soporte del compás en un

extremo del segmento trazado, con una

abertura igual al segundo segmento.

Marcamos el punto C.

3. Trazamos el segmento AC y coloreamos

la región interna.

Los triángulos Son polígonos formados por lados, 3 vértices

y 3 ángulos.

Podemos construir un triángulo si conocemos las

medidas de dos lados y del ángulo comprendido entre ellos;

o de las medidas de un lado y de los dos ángulos que dicho

lado tiene en común.

Trazado de un triángulo con dos lados y un ángulo Imaginemos que queremos trazar un triángulo conociendo dos

lados y el ángulo entre ellos, si tomamos como ejemplo los datos

del papagayo, dibujamos a escala el primer triángulo del papagayo

considerando que sus lados miden 3 cm y 2 cm; y el ángulo entre

ellos 40º. Entonces lo construimos así:

ZoomSi un triángulo tiene los tres lados iguales es equilátero.Si un triángulo tiene dos lados iguales es isósceles.Si un triángulo tiene los tres lados diferentes es escaleno.

Vértice

ÁnguloLado

A B

C

A40º

B

A B

C2 cm

3 cm

40º

U6 Triángulos

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Trazado de un triángulo con un lado y dos ángulos conocidos Podemos trazar un triángulo si conocemos dos ángulos y la longitud del lado comprendido entre ellos.

Supongamos que el segundo triángulo del papagayo a escala tiene dos ángulos de 60º y el lado

comprendido entre ellos mide 3 cm, para dibujarlo seguimos los pasos:

Propiedades de los triángulos Todo triángulo cumple con dos propiedades: la propiedad de los ángulos internos

y la propiedad de la longitud de los lados.

Cuando sumamos las medidas de los tres ángulos internos de

un triángulo, siempre obtenemos un resultado igual a 180º.

El triángulo ABC de la derecha cumple esta igualdad:

m(\ABC) 1 m(\BCA) 1 m(\CAB) 5 30º 1 80º 1 70º 5 180º

Cuando sumamos las longitudes de dos lados de un triángulo

siempre obtenemos un resultado mayor que la longitud del

tercer lado. En el triángulo DEF los lados miden 3 cm, 4 cm y

5 cm. Veamos cómo se cumplen las desigualdades:

DE 1 EF 5 4 1 5 5 9

Como DF 5 3; y 9 3; entonces DE 1 EF DF.

Propiedad de los ángulos internos

Propiedad de la longitud de los lados

1. Trazamos el segmento

y medimos uno de los

ángulos en uno de los

extremos del segmento.

2. Medimos el otro

ángulo en el otro

extremo del

segmento.

3. Extendemos los segmentos

trazados hasta que se

corten y obtenemos el otro

vértice. Luego coloreamos

la región interna. D

60ºE D

60ºE

60º 60º

70º

30º 80º

A

B C

D

4 cm 3 cm

5 cmE F

Es fácil diseñar un papagayo, ¿cómo

lo harías tú?

U6 Triángulos

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, S.A

.

U6

Altura de un triángulo La altura de un triángulo con respecto a un lado es un segmento trazado de

forma perpendicular, desde el vértice opuesto, hasta el lado o hasta la recta

que lo contiene. También llamamos altura a la longitud de dicho segmento.

Representamos la altura con la letra “h”. Observemos algunos ejemplos de alturas en distintos triángulos:

Trazado de la altura de un triángulo Para trazar una de las alturas de un triángulo, por ejemplo, para trazar la altura del triángulo

acutángulo ABC con respecto al lado AB, lo hacemos así:

Propiedades de los triángulos isósceles En un triángulo isósceles, la altura con respecto al lado que tiene

diferente longitud, divide al triángulo en dos triángulos rectángulos

con iguales características. Esta altura es el eje de simetría del

triángulo. Un eje de simetría es el segmento que divide una figura

en dos partes iguales.

1. Colocamos una regla

debajo del lado AB.

2. Sobre la regla ubicamos una

escuadra que pase por el

vértice C y trazamos una línea.

3. La altura del triángulo es igual a la

medida de la línea perpendicular

trazada desde el vértice C hasta

el lado AB.

h (altura)

h

Acutángulo. Tiene todos ángulos agudos.

Obtusángulo. Tiene un ángulo obtuso

Rectángulo. Tiene un ángulo recto.

h h

C

A B

Ortocentro En todo triángulo podemos trazar tres alturas. El ortocentro es el punto

donde coinciden las tres alturas de un triángulo. Este punto puede

coincidir con uno de los vértices, quedar dentro o fuera del triángulo.

C

A B

C

A B

h

h

Altura y eje de simetría

C

A B

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U6


1. Trazo los siguientes triángulos según corresponda:

Ahora respondo estos planteamientos.

• ¿Cuáles de los triángulos son acutángulos?, ¿por qué?

• ¿Cuáles de los triángulos son isósceles?, ¿por qué?

• ¿Cuál de los triángulos es equilátero?, ¿por qué?

a) El triángulo ABC, sabiendo que AB 5 2 cm,

BC 5 4 cm y que m(\ABC) 5 45º.

b) El triángulo DEF, sabiendo que DE 5 5 cm,

m(\FDE) 5 60º y que m(\DEF) 5 30º.

c) El triángulo OPQ, sabiendo que OP 5 3 cm,

que OP 5 PQ y que m(\OPQ) 5 90º.

d) El triángulo RST, sabiendo que RS 5 6 cm,

m(\RST) 5 m(\TRS) 5 55º.

e) El triángulo KLM, sabiendo que KL 5 10 cm,

LM 5 8 cm y que m(\KLM) 5 120º.

f) El triángulo XYZ, sabiendo que

XY 5 YZ 5 ZX, y que m(\XYZ) 5 60º.

2. Mido los lados de los triángulos y verifico que cumplan con la propiedad de los ángulos

internos y de los lados de los triángulos.

a) b) c)

3. Trazo las tres alturas de los triángulos y hallo el ortocentro en cada caso.

a) b) c)


Juan Carlos, Andrea, Karina y yo jugamos Triángulo con metras.

Este juego consiste en sacar, de un triángulo equilátero, las metras

de quienes compiten usando las propias. Ahora es mi turno

y debo colocar mi metra a igual distancia de la de cada persona

que juega.

Dibujo un punto que represente el ortocentro del triángulo

equilátero y hallo el punto que está a igual distancia de los vértices.

Leo el planteamiento y resuelvo.

.

. . .

.

...

. . .

. . .

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U6 Cuadriláteros

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. . .

.

...

. . .

. . .

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U6 Cuadriláteros

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U6

Construcción de cuadriláteros Para construir un cuadrilátero lo podemos hacer de dos maneras. Una

es conociendo dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos;

la otra es conociendo sus diagonales.

Construcción de cuadriláteros conociendo dos de sus lados y el ángulo entre ellosPara construir un romboide de vértices A, B, C y D con lados AB 5 3 cm,

CB 5 2 cm y m(\ABC) 5 35º, hacemos lo siguiente:

Construcción de cuadriláteros según sus diagonales Cuando queremos construir un cuadrilátero si tenemos trazadas

sus diagonales, basta con unir los extremos de las diagonales

de la siguiente manera:

1. Trazamos el segmento AB. Luego

marcamos el ángulo ABC en el

vértice B y trazamos el segmento BC.

2. Colocamos una regla y una escuadra

como muestra la figura y trazamos

una línea paralela a AB, que pase

por el punto C.

3. Colocamos una regla y una escuadra

como lo indica la figura y trazamos

una línea paralela a BC, que pase por

el punto A.

4. Ambas líneas trazadas se cortan

en el punto D. Coloreamos y así

construimos el romboide ABCD.

35º3 cm

2 cm

A B

C

35º3 cm

2 cm

A B

CD

B

C

B

C

Diagonales

Diagonales

Unimos los extremos

Unimos los extremos

Formamos un romboide

Formamos un cuadrado

A

A

Para dividir cantidades terminadas en un cero.

Ejercicios

a) 180 4 90b) 240 4 80 c ) 750 4 50d ) 990 4 90

Cálculo mental

1 4 0 7 0

1 4 7 0 2

Dividimos entre 10

140 4 70 5 2

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Pensamiento críticoRespondo buscando la información en la imagen.

Mientras observaba un partido de ajedrez, Isabel se

puso a contar cuántos cuadriláteros tiene el tablero.

a) ¿Cuántos cuadriláteros blancos tiene un tablero de

ajedrez?, ¿y cuántos negros?

b) ¿Cuántos son en total?

c) ¿Cuántos cuadriláteros se puedan formar

combinando los cuadriláteros que forman en tablero?

1. Escribo el cuadrilátero que cumpla con las características mencionadas. Luego lo dibujo

en mi cuaderno.

4. Resuelvo los problemas.

a) Pablo y su papá construyeron una pecera con la base en forma de cuadrilátero.

Si todos los ángulos internos miden 90º, ¿qué forma tiene la pecera?

b) Carolina hizo un papagayo en forma de cuadrilátero. Sus diagonales tienen

diferentes longitudes pero sus diagonales están centradas una con la otra.

¿Qué forma tiene el papagayo?

2. Construyo los cuadriláteros correspondientes a las siguientes diagonales e indico sus nombres.

a) b) c) d)

3. Dibujo los cuadriláteros correspondientes según los datos suministrados.

a) Un cuadrilátero de vértices A, B, C y D, donde AB 5 5 cm, BC 5 3 cm y m(\BAD) 5 45º.

b) Un cuadrilátero de vértices E, F, G y H, donde EF 5 FG 5 2 cm y m(\HEF) 5 90º.

c) Un cuadrilátero de vértices O, P, Q y R, donde OP 5 3 cm, m(\ROP) 5 m(\RQP) 5 60º.

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.©

Edi

toria

l San

tilla

na, S

.A.

©

Respondo

Mientras observaba un partido de ajedrez, Isabel se

puso a contar cuántos cuadriláteros tiene el tablero.

a)

b)

c)

Características Cuadriláteros

a) Todos sus lados tienen igual longitud.

b) Sus ángulos internos no son iguales.

c ) Sus ángulos opuestos son iguales.

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1. Realizo un croquis del siguiente plano. Luego

respondo las preguntas.

a) ¿Cuál es la diferencia entre este plano

y el croquis que hice?

b) ¿Cuál es más sencillo de hacer?, ¿por qué?

2. Trazo las circunferencias según corresponda.

a) D 5 3 cm d) r 5 2 cm

b) r 5 1,5 cm e) D 5 2,8 cm

c ) D 5 5 cm f ) r 5 2,5 cm

3. Observo la imagen y respondo.

a) Si el tamaño de r1 es el doble de r2, ¿cuál

es la proporción del diámetro?

b) Con la condición anterior, ¿cuántas vueltas

daría la circunferencia azul para coincidir

en el mismo punto con la roja?, ¿por qué?

4. Observo la circunferencia de centro O y

las rectas que se han trazado. Luego

respondo lo que se pregunta.

a) ¿Cuál de las rectas es secante a la

circunferencia?, ¿por qué?

b) ¿Cuál es el ángulo al centro formado por

la recta s en la circunferencia?

c) ¿Cuál de las rectas es exterior a la

circunferencia?, ¿por qué?

d) ¿Con cuál recta se puede trazar un

segmento de cuerda?, ¿por qué?

5. Construyo los siguientes polígonos inscritos

en una circunferencia:

a) Triángulo equilátero

b) Cuadrado

c ) Pentágono

Ahora completo con las operaciones

adecuadas.

r

t

O

s

Polígono Operación Ángulo

Triángulo equilátero

360 4 5

Cuadrado 360 4 5

Pentágono 360 4 5


r1 r2

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8. Resuelvo este problema.

Irene está remodelando parte de su casa.

Para ello contrató a un albañil que le hiciera

algunas modificaciones.

a) Si el albañil está midiendo un espacio

triangular donde las medidas de un

ángulo son 90º y de otro 45º, ¿cuánto

medirá el ángulo restante?

b) Suponiendo que dos de los lados miden

5 cm y el ángulo entre ellos es de 90º,

¿cuánto mide el lado restante?

6. Trazo los polígonos.

a) El triángulo ABC, sabiendo que AB 5 5 cm,

BC 5 4 cm y que m(\ABC) 5 60º.

b) El triángulo DEF, sabiendo que DE 5 8 cm,

m(\FDE) 5 m(\DEF) 5 45º.

c ) Un cuadrilátero de vértices A, B, C y D, donde

AB 5 5 cm, BC 5 3 cm y m(\ABC) 5 45º.

d) Un cuadrilátero de vértices E, F, G y H, donde

EF 5 FG 5 2 cm y m(\EFG) 5 90º.

e) Un cuadrilátero de vértices O, P, Q y R, donde

OP 5 3 cm, m(\ROP) 5 m(\RQP) 5 60º.

7. Respondo lo siguiente.

a) ¿Un triángulo que tenga todos sus ángulos

iguales es equilátero?, ¿por qué?

b) ¿Un cuadrilátero que tenga todos sus lados

paralelos es rectángulo?, ¿por qué?

c ) ¿Un cuadrilátero que tenga todos sus

ángulos iguales se puede inscribir en

una circunferencia?, ¿por qué?

FOTOGRAFÍA DE LA ESFERA DE CARACAS.

Enlace con...Historia

Cuentan que el Tangram surgió cuando un emperador

chino mandó a hacer una lámina de vidrio muy grande, y

al transportarla hacia el palacio la hoja se cayó partiéndose

en siete formas geométricas perfectas. Al llevar las piezas

de las hojas al palacio se la presentaron al emperador

como un rompecabezas quien le agradó la idea.

En el Tangram podemos encontrar un triángulo mediano,


dos triángulos grandes, dos triángulos pequeños, un cuadrado y un romboide. Con ellos

podemos armar figuras, ¿cuáles armarías tu?

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Resolución de problemasRazonamiento espacial

Podemos resolver este problema por razonamiento espacial;

calculamos el valor de cada radio de cada esfera.

Debido a que el valor del radio de la esfera grande es igual

a 2 cm, entonces su diámetro es igual a 4 cm y el diámetro

de la esfera pequeña es la mitad, que sería 2 cm. Por lo

tanto, si sumamos 2 cm 1 2 cm 1 4 cm 5 8 cm,

la opción correcta es la c).

1

2 3 ¿Cómo debe ser el diámetro de la

esfera para que entre en la caja,

tocando todas las caras del cubo?

Si sabemos que el diámetro de la

esfera es igual a la mitad de la arista

de la caja, ¿cuántas esferas iguales

se pueden colocar adentro sin que

sobresalgan de la caja?

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

La torre está formada por dos esferas y un cubo. La esfera

pequeña tiene la mitad del radio que la grande y el radio

de la grande es igual a las aristas del cubo, que son de

2 cm. ¿Cuál es el tamaño de la torre?

a) 4 cm

b) 6 cm

c) 8 cm

d) 10 cm

2 cm

2 cm

4 cm

a) Menor a la

arista del cubo.

b) Mayor a la arista del cubo.

c) Igual a la arista del cubo.

d) Ninguna de las anteriores.

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Seguridad vialCómo lo hacemos

1. Consultamos en un manual de tránsito la imagen de cuatro señales de circulación y tránsito.

2. Escogemos del manual una señal triangular, una cuadrada, una en forma de rombo y otra circular.

3. Escribimos en las fichas el nombre de las señales, para qué se usan y cuál es su significado.

4. Trazamos en la cartulina el cuadrado de la señal de tránsito, con 25 cm de lado; el triángulo equilátero con 25 cm de lado, con las puntas redondeadas; el rombo con las diagonales iguales a 35 cm; y finalmente, el círculo con 13 cm de radio.

5. Pintamos y coloreamos las imágenes de las señales seleccionadas sobre las figuras que trazamos, tal como aparecen en el manual de tránsito.

6. Recortamos las figuras geométricas y le pegamos el palo de gancho por detrás, de manera que podamos manipularlas sin dañarlas.

Utilizamos nuestras señales de tránsito

• Exponemos, por turnos, a nuestros compañeros y compañeras, cuáles fueron las señales

de tránsito que escogimos y cuál es su significado.

• Al terminar la exposición escogemos 8 señales de tránsito que nos hayan parecido más importantes o mejor elaboradas, y las pegamos en la cartelera.

Qué necesitamos• Cartulina o cartón

de 1 m × 1 m

• Creyones o marcadores rojo, azul, amarillo, verde y blanco

• Regla, escuadras y compás

• Lápiz

• 4 fichas de cartulina

• Cuatro palos de gancho

• Cinta plástica

• Pega blanca

• Manual de tránsito vigente

Pensar, hacer y reflexionar…a) ¿Estoy satisfecho con el trabajo que realicé?b) ¿Cómo puedo contribuir a mejorar el tránsito en mi

comunidad?c) ¿Por qué debemos respetar las señales de tránsito?

•

Unidad 1

Númerosdecimales p.20

Estimacióny aproximación

de resultados p.42


Desarrollo del pensamiento

y toma de decisiones p.63

MULTIPLICACIÓNcon fracciones p.84

ActividadesDE REPASO p.102

Enlace con…

HISTORIA p.133

Resolución de problemas

RazonamientoABSTRACTO p.176


PERIÓDICOescolar p.195

5




5

CD Alumno


con

Mat

emát

ica

5con MatemáticaEnlace es un conjunto de materiales didácticos articulados por la

convicción de que sólo encontrándole sentido a los conocimientos

logramos el aprendizaje.

Las áreas académicas se enlazan entre sí y –a la vez– con la red del

conocimiento universal y con la realidad cotidiana. Son esas conexiones

las que otorgan signifi cado a los conceptos. Enlace presenta algunas

de ellas, pero faltan muchas por descubrir. Ese es el reto.

Desde Santillana agradecemos a las escuelas que participaron en

las pruebas de las páginas piloto. Los aportes hechos por los y las

docentes, tras vivir la experiencia de Enlace con sus estudiantes,

fueron clave para desarrollar estos bienes pedagógicos.

con Lengua y Literaturacon Matemáticacon Ciencias de la Naturaleza y Tecnologíacon Ciencias Sociales

con Matemática

INCLUYELIBRO DIGITAL INTERACTIVOINCLUYELIBRO DIGITAL INTERACTIVO


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Enlace con Matemática 5