Enseignement des statistiques et des probabilités en LP ...maths-sciences.ac-rouen.fr/ressources/bacpro3ans/probabilites-bac... · Rappel des objectifs du stage… Objectif: - Mettre

Enseignement des statistiques et des probabilités en LP dan le

cadre du nouveau programme Bac pro 3 ans

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

Rappel des objectifs du stage…Rappel des objectifs du stage…Objectif :

- Mettre en œuvre les nouveaux programmes.

- Savoir utiliser un tableur pour : traiter, résoudre, représenter, simuler des expériences aléatoires et illustrer les lois de probabilités.

Contenu :

- Apports théoriques sur les probabilités : vocabulaire probabiliste, variables aléatoires, lois de probabilités, fluctuation d’échantillonnage

- Utilisation de tableur comme outil privilégié de traitement des problèmes liés au hasard.

- Etude et réflexion sur des cas concrets.

Les objectifs principaux

seconde Première terminale

- exploiter des données ;

Le calcul d’indicateurs, la construction de graphiques et la simulation

- apprendre à identifier, classer, hiérarchiser l'information ;

- interpréter un résultat statistique ;

- gérer des situations simples relevant des probabilités.

d’expériences aléatoires à l’aide des TIC sont indispensables et constituent

une obligation de formation.

Statistique à une variable

Classe de seconde

L'utilisation des TIC est nécessaire.L’objectif de ce module est de consolider les acquis du collège en s’appuyant sur desexemples (…)

Classe de premièreStatistique à une variable

L’usage des TIC est nécessaire pour les calculs des indicateurs et les graphiques.

Réactiver les capacités et connaissances de seconde professionnelle en statistique et lescompléter par les notions d’écart type et d’écart interquartile. (…).

Classe de terminaleStatistique à deux variablesEtudier un lien éventuel entre deux caractères d’une même population et, lorsqu’ilest pertinent, de déterminer une équation de droite d’ajustement;

Représentations graphiques.

TP n° 0 : Représentations graphiques.

25000 lancers

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Simulation PILE OU FACE

PILE0.47

PILE0.524

PILE0.486

FACE0.53 FACE

0.476FACE0.514

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

100 s imulations 250 s im ulations 1000 s imulations

0.4650.47

0.4750.48

0.4850.49

0.4950.5

0.5050.51

0.515

1 2 3 4 5 6 7 8

0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00

0 5 10 15 20 25 30 35 40

71,2%1 5,25%

1 3,53% CD non pitatés

CD artisanalement piratésCD

industriellement

Boîte à moustaches.

Une boîte à moustaches (ou boîte de distribution ou boîte à pattes) est une

59

30

40

50

60

70

80

90

1

Maximum

Minimum

Médiane

Moyenne

Le premier quartile

Troisième quartile

représentation graphique d’une variable numérique. Elle peut être considérée

comme une vue aérienne des principales caractéristiques de la distribution d’un. ou de plusieurs échantillons.

Un pépiniériste veut établir les prix de vente auprès d’une grande enseigne dejardinerie. Il constitue un échantillon de 40 arbuste de la même espèce.

Le prix est fonction de la taille de l’arbuste. Il les range par taille croissante :

0,80; 0,80; 0,85; 0,85; 0,85; 0,90;0,90;0,95;1,00;1,00;1,05;1,05;1,10;1,15

1,15; 1,15; 1,20; 1,20; 1,20; 1,20;1,20;1,25; 1,25; 1,25; 1,25; 1,25; 1,25;1,30

1,30; 1,30 ; 1,35 ; 1,35 ; 1,35 ; 1,40 ; 1,40 ; 1,40 ; 1,40 ; 1,45; 1,45 ; 1,45 ; 1,50

1.Calculer l’étendue de la série (écart entre la + grande et la plus + arbuste)

2. Répartir la série en 4 groupes de même effectifs en suivant un ordre croissant.

3.Quelle est la valeur 1Q

4.Quelle est le pourcentage d’arbustes mesurant moins que ?1Q

5.Quelle est la valeur du 3ème quartile (taille du plus grand arbuste du 3èmegroupe) ?3Q

du 1er quartile (taille du plus grand arbuste du 1er groupe) ?

Exemple d’activité

Comment sont calculer les quartiles?

Boîte à moustaches et paramètres de position

-La boîte à moustache utilisent principalement cinq valeurs : 1Q 2Q 3QMin Max

1er quartile

MIN

moyennemédiane

MAX

3ème quartile

0.400.450.500.550.600.650.700.750.800.850.900.951.001.051.101.151.201.251.301.351.401.451.501.551.601.651.701.751.80

1

Bien que la distribution soit partagée en quatre zones de même effectif

les plages des valeurs des tailles ne sont pas égales.

Déterminer une valeur médiane, les valeurs des premier et troisième quartiles, et

Avec Sine qua non.

-On considère une série de 9 valeurs : 1 , 3, 4 , 5 , 6 , 7 , 9 , 10 , 15

l'étendue de cette série statistique. Également la moyenne , l’écart type ….

avec Sine qua non

D1 D9Q1 Q3Med3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 15 16.5 18-1.5-3-4.5

2

3

4

5

6

-1

-2

0 1.5

1

x

y

Sous Excel.

PoidsParameters de positions et de

dispersions

Q1 QUARTILE(taille;1)

Min MIN (taille)

Médiane MEDIANE (taille)

Moyenne MOYENNE (taille)

Max MAX(taille)

Q3 QUARTILE(taille;3)

Effet placebo

Cinquante malades ayant tous des problèmes d’hypertension artérielle sont

1) Le médicament administré au groupe 1 a-t-il eu un effet ?

répartis en deux groupes.

- Un groupe est traité avec un nouveau médicament sensé abaisser la tension

- l’autre groupe est traité avec un produit placebo

2) Quel est le pourcentage de malades du groupe1 (resp groupe2) dont on est

sûr que la tension est inférieur à 14 ?

Les résultats après traitement sont dans le fichier (effet placebo.xls)

3) Ce médicament est-il efficace ?

Comparer deux série statistiques .

La répartition par sexe et par âge des salariés d’une entreprise est le suivant :

Ages Homme Femme

]20 ; 30 [ 30 50

]30 ; 40[ 70 80

]40 ; 50[ 50 70

]50 ; 60[ 10 40

Quels renseignements peut-on tirer de la comparaison de ces deux séries statistiques?

D1 D9Q1 Q3Med20 30 40 50 60 70 800 10 x

y

D1 D9Q1 Q3Med20 30 40 50 60 70 800 10 x

y Homme

Pourcentage 40%

moyenne 37,5

Ecat type 8,29

étendue 40

Femme

Pourcentage 60%

moyenne 39,17

Ecat type 9,90

étendue 40

- Les hommes sont en moyenne plus jeunes que les femmes

- Les âges des hommes sont plus resserrés autour de la moyenne

- Les âges des femmes sont mieux réparties sur son étendue

- La moyenne des âges des hommes est plus représentative que la moyenne des âges des femmes

TP n° 4 : Ajustement affine .

Le tableau ci-dessous fournit, pour la France, la vitesse moyenne des

véhicules légers, ainsi que le nombre de morts sur les routes (1986-2006)

Année Vitesse moyenne des véhicules légers (km/h) Nombre de morts

1998 88,7 8 4371999 88,6 8 0292000 90,1 7 6432001 89,4 7 7202002 89,2 7 2422003 86,8 5 7312004 84,5 5 5932005 82,9 5 3182006 82 4 703

(Source www.securiteroutiere.gouv.fr).

Résolution avec un tableur….

Ce qui conduit à l’idée d’une corrélation entre la vitesse et le nombre de morts

Les deux graphiques sont très semblables, avec une tendance générale à la baisse

ajustement affine du nuage

La droite indique la « tendance » du nuage :

lorsque la vitesse augmente, le nombre de morts à tendance à augmenter.

y = 485.97x + 4283.1

Résolution avec Sine qua nonLe nuage de points est ajusté par une droite de régression par la méthode desmoindres carrés. Ceci n’est possible évidemment que si le tableau comporteau moins 2 points différents !

Résolution avec Sine qua non

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

400600800

10001200140016001800200022002400

0 5

200

x

y

Avec Sine qua non, on peut faire afficher le point moyen

Probabilité dans le nouveau Probabilité dans le nouveau programme..programme..

seconde

Introduire la notion des fluctuations d’échantillonnage par le biais de

Première

Reprendre et approfondir l’étude des fluctuations d’échantillonnage menée en

En terminale, la notion de probabilité est introduite en s’appuyant sur

Terminale

l’expérimentation (lancers de pièces, de dés, ou tirages dans une urne…), puis parsimulation à l’aide du générateur de nombres aléatoires, d’un tableur …

seconde en quantifiant la variabilité et préparer le calcul des probabilités en ter.

l’observation de la fluctuation d’échantillonnage d’une fréquence et sur larelative stabilité de cette fréquence lorsque l’expérience est répétée un grandnombre de fois.

En 3ème DP6

B.O. 19 Avril 2007

Classe de seconde bac pro

Fluctuations d’une fréquence selon les échantillons, notion deprobabilité, approche fréquentiste des probabilités.

Classe de première bac proConsolider et d’approfondir l’étude, initiée en seconde professionnelle, de lavariabilité lors d’une prise d’échantillon, pour favoriser la prise de décisiondans un conteste aléatoire.

Classe de terminale bac proLa notion de probabilité est introduite en s’appuyant sur l’observation de la

Entrainer les élèves à décrire quelques expériences aléatoires simplesfluctuation d’échantillonnage d’une fréquence

Tout développement théorique est exclu. , et à calculer des probabilités.

Simulation d’une expérience aléatoire

Comment simuler un lancer de pièce, un lancer de dé ???

La fonction ALEA() sur un tableur ou RND sur une calculatrice permettent de

Attention, la fonction alea() est dite volatile !

Activer la touche F9

Sous Excel : menu Outils Options, dans l’onglet « calcul » cocher « sur ordre »

générer des nombres aléatoires (suivant la loi uniforme…)


- ALEA() (générateur de nombres aléatoires entre 0 et 1)

- ALEA() + 0.8 donne un nombre entre 0,8 et 1,8

- ENT(ALEA() + 0.8) donne 00 avec une fréquence de 20%

Pour simuler un lancer de pièce on peut utiliser ENT(ALEA()+0,5)

Pour simuler un nombre aléatoire selon une loi uniforme

SI((A1=1); "pile"; "face")

On peut ensuite coder les 0 0 et les 1 par :et les 1 par :


Pour simuler un tirage de boules dans une urne, il suffit de connaître la proportion p des

=ENT(ALEA()+p)

Urne

boules « rouges »


Pour simuler un lancer de dé équilibrer, on utilisera la fonction :

ENT(ALEA()*6)+1

qui retourne un entier (ici entre 1 et 6)

On peut aussi utiliser la fonction

ALEA.ENTRE.BORNES(1;6))

après avoir coché l’option « utilitaire d’analyse » dans le menu Outils puis Macro

complémentaires…

TP n° 1 : LANCER D’UNE PIECE

TP n° 1 : Fluctuation des fréquences Simulons 200 échantillons de taille 50 et remarquons qu’environ plus de 95% des

]1,1[n

pn

p +−

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 20 40 60 80 100 120

fréquences observées se situent dans l’intervalle

LANCER D’UNE PIECE

TP n° 1 : stabilisation des fréquences

Simulons trois échantillons de taille 100, 250 «et 1000 et remarquons la stabilisation

Simulation PILE OU FACE

PILE0.47

PILE0.524

PILE0.486FACE

0.53

FACE0.476

FACE0.514

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

100 s imulations 250 s imulations 1000 s imulations

des fréquences quand la taille de l’échantillon croît.

Exemple http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/node8.html#SECTION00031020000000000000

Infographie

On peut également visualiser sous forme d’histogramme ou BAM

simuler avec la touche F9….

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0 50 100 150 2000 20 40 60 80 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0.1 3

0.20

0.1 7

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

Taille30

Répartition des fréquences Le programme suivant calcule 500 nombres selon une loi normale.

simuler avec la touche F9….

[m - s , m + s] [m - 2s , m + 2s] [m - 3s , m + 3s]

434 610 646

Simulation 66.26% 93.13% 98.63%

Théorie 68.27% 95.45% 99.73%

88.04707 0 1 1

89.23014 0 1 1

96.67043 1 1 1

100.7929 1 1 1

88.19658 0 1 1

93.56121 1 1 1

114.4339 0 1 1

100.3341 1 1 1

101.1911 1 1 1

Il simule aussi les répartitions dans les intervalles

[m - s , m - s], [m - 2s , m - 2s] et [m - 3s , m - 3s].

Lancer d’un dé équilibrer

TP n° 2 : Lancer d’un dé équilibrer

Simulons 1000 échantillons de taille 25 et remarquons que les fréquences se

5000 lancers

0

0.05

0.1

0.15

0.2

1 2 3 4 5 6

•

Les élèves peuvent facilement manipuler un dé puis les résultats de l’ensemble seront

stabilise et tendent une valeur limite

Centralisés dans un tableau (rapidement on a une approche de la probabilité

Lancer d’un dé non équilibrer

TP n° 3 : Lancer d’un dé non équilibrer

Simulons un échantillons de taille 1000 et remarquons les fréquences se stabilisent

0

1

2

3

4

5

6

7

0 50 100 150 200 250 0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

1 2 3 4 5 6

Jeu de Craps

Le Craps est un jeu d’argent Américain qui se jeu avec deux dés à six faces

Peut-on prévoir que le plus difficile à obtenir est le 12 ?

Les paris portent sur les combinaisons successives obtenus avec la somme des faces des deux dés. Au premier lancer, le lanceur perd s’il fait un Craps.

Un Craps désigne un total des points des 2 faces dont il n’existe qu’uneManière de les obtenir : 2(1 + 1) ou 3(2 + 1) ou 12(6 + 6)

25000 lancers

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Le juge et statisticien

En Novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida étaitcondamné à huit ans de prison. Il attaqua ce jugement au motif que la

désignation des jurés de ce comté était discriminante à l’égard des Américains

d’origine mexicaine. Alors que 79,1% de la population de ce comté était

d’origine mexicaine, sur les 870 personnes convoqués pour être jurés lors d’une

certaine période de référence, il n’y eut que 339 personnes d’origine mexicaine.

1. Quelle est la fréquence des jurés d’origine mexicaine dans ce comté ?

2. Simuler sur un tableur un échantillons de taille n = 870 dans une population

où la fréquence des habitants d’origine mexicaine est p = 0,791.

Le juge et le statisticien

La fréquence observée des jurés d’origine mexicaine est 39,0870339 =

On a [0,791 – ; 0,791 + ] c’est-à-dire environ [0,76 ; 0,82].

8701

8701

0.700.710.720.730.740.750.760.770.780.790.800.810.820.830.840.85

0 20 40 60 80 100 120 140

4 points sont en dehors de l’intervalle précédent, soit 4 % des cas.

La fréquence observée 0,39 est très loin des valeurs obtenues sur les simulations.

Devenez sourcier, devenez savant

Un sourcier prétend posséder des pouvoirs, lui permettant de détecter la

Est-il rare, d’obtenir au moins 25% de bonnes réponses?

Peut-on, d’obtenir 40% de bonnes réponses? Si, oui, est-ce rare ?

TP n° 7 : d’après G. Charpak et H. Broch

présence d’eau à l’aide d’une baguette en bois. On met en place un

dispositif permettant de tester les prétendus pouvoirs du sourcier. Cinq.

canalisations sont masquées dont une seule contient (aléatoirement) del’eau. Le sourcier doit désigner la canalisation contenant de l’eau.

E répondant au hasard,

Contrôle de fabrication

TP n° 4 : contrôle de fabrication

Une usine de la région rouennaise fabrique des billes métalliques de

diamètre nominal 0,8 cm . Une étude statistique sur un échantillon montre

que les erreurs de diamètres ont une moyenne nulle et un écart 0,001 par

rapport à cette moyenne.

Lors du contrôle sont soumis à rebut toutes les billes qui passent dans une

bague de diamètre 0,812 cm.

Quelle est la probabilité qu'une bille prise au hasard soit rejetée ?

Contrôle de fabrication

TP n° 4 : contrôle de fabrication

Tailles Pièces accéptées Fréquences

100 3 0.030

500 15 0.030

1000 34 0.034

2000 81 0.041

3000 128 0.043

5000 211 0.042

10000 415 0.042

0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

1 2 3 4 5 6 7

Feux de circulations

Un boulevard contient 10 intersections, dans chaque intersection se

TP n° 5 : Feu tricolore

trouve un feu de circulation. Les habitants sont courtois, ils s'arrêtent

lorsque le feu est jaune, comme s'il est rouge.

Un ingénieur civil a évalué que lorsque un véhicule arrive à une

Un ingénieur civil a évalué que lorsque un véhicule arrive à uneintersection, la probabilité que le feu soit rouge est 1/3 et la probabilité

que le feu soit vert est 2/3.

Quelle est la probabilité qu'un véhicule s'arrête au 10ème feu ?

Réussir un concours par hasard

Un concours d'entrée dans une administration consiste à une série de 4

TP n° 6 : Questions aux choix multiples (QCM)

questions indépendantes comptant chacune pour le même nombre de

points. A chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule

Quelle est ma chance de cocher plus de la moitié des questions si je répond

est exacte.

au hasard ?

Définition Soit une expérience aléatoire et l’univers associé.A chaque événement A, on fait correspondre un nombre réel P(A) appelé probabilité de A :

Notion de probabilité

Ω

1)(0 ≤≤ AP 1)( =ΩP0)( =φP

)()()( BPAPBAP ×=∩

)()()( BPAPBAP +=∪

)()()(

Ω=

cardAcardAP

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪Pour deux événements quelconque :

Si deux événements sont incompatibles, alors :

Si deux événements sont indépendants :

La probabilité p(A) de l’événement A est donnée par la relation :

Où card (A) est d’éléments de A

Au programme

0)()( ==∩ φPAAP

Connaissance Exemple Calculs

et

et Événements contraires

Tirer une carte rouge et noire

Tirer une carte rouge ou noire

et sont incompatibles Tirer une carte noire et un cœur

Tirer une carte noire ou un cœur

et sont incompatiblesTirer une carte noire et un pique

Tirer une carte noire ou un pique

AA ∩φ=∩ AA Ω=∪ AA

AA ∪ 1)()( =Ω=∪ PAAPA A

φ=∩ BAA B

BA ∩

BA ∪

φ=∩ BA

A B

BA ∩

BA ∪

0)()( ==∩ φPBAP

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪0

328

3216 −+

328)()( ==∩ BPBAP

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

328

328

3216 −+

Défauts d’un appareil

Un appareil peut-être défectueux à cause de deux, désignés par A et B.Dans un lot de 1000 appareils, on a constaté que :

TP probabilité Exercice 3ème année

Ap

Bp

- 100 appareils présentaient le défaut A (peut-être le défaut B),

Un client achète un des appareils produits.

- 80 appareils présentaient le défaut B (peut-être le défaut A)- 40 appareils présentaient simultanément les deux défauts A et B.

1. Calculer la probabilité

2. Calculer la probabilité

pour que cet appareil ne présente que le défaut A

pour que cet appareil ne présente que le défaut B

Défauts d’un appareil

6,010060 ==Ap

%41000

40 ==Bp

B

A

Total

Total

Le nombre d’appareils ne présentant que le défaut A (case A )B

Le nombre d’appareils ne présentant que le défaut B (case B)A

réponse

BA

920801000 =−

404080 =− 86040900 =−

6040100 =−

100080

40 100

9001001000 =−

Naissances à pile ou face

TP probabilité Garçon ou fille ? 3ème année

Supposons que l'on a la même chance d'avoir garçon ou une fille.

Voir simulation

Quelle est la probabilité d'observer deux garçons dans une famille de quatre enfants ?

Quelle est la probabilité d'observer trois garçons dans une famille de quatre enfants ?

FG FG

G F G F

F

F

G F

G

G

G FG

G G G G G GF F F F F F F

G G G G G G G G F F F F F FG G G G F F F F G G G G F FG G F F G F G F G G F F G GG F G F G G F F G F G F G F

Naissances à pile ou face

F FF FF FG F

375,0)5,01()5,0(6)2( 22 =−××==xP

Utiliser un tableau pour dénombrer les événements

Tableau de dénombrement

Tableau de dénombrement

Hommes Femmes Total

Infirmiers libéraux

Infirmiers hospitaliers

Autres salariés

Total

réponse

18210301212 =− 12121030

180

909100751212 =×

16210090180 =×

103100101030 =×

7652651030 =−

12310891212 =−20103123 =−

144765909 =−

18162180 =−

Loterie

Dans un loterie de 1000 billets, un des billet gagne 500€, 10 billets 100 € Chacun, 50 billets 20€ chacun et 100 billets 5 € chacun. Tous les autres ne gagne rien.

Si j’achète un billet quelle est la probabilité pour que je gagne au moins 20 €

Parfois il est utile d’utiliser l’union des événements

Soit

Il est clair que 50010020 AAAA ∪∪=

)()()()( 50010020 APAPAPAP ++=D’où

l’événement « gagner 100 euros »l’événement « gagner 500 euros »l’événement « gagner au moins 20 euros »

20A l’événement « gagner 20 euros »Soit 100A

Soit 500ASoit A

et que

061,01000

1100010

100050 =+=

50010020 AAAA ∩∩=

Rater la cible

Une cible contient trois zones I, II et III.

Calculer la probabilité de rater la cible

La probabilité d’atteindre la zone I est 0,15,

la probabilité d’atteindre la zone II est 0,23

la probabilité d’atteindre la zone III est 0,17

Parfois il est utile d’utiliser l’événement contraire

Rater la cible

Soit A l’événement « coup la cible »

A

IIIIII AAAA ∪∪=Comme

)()()()( IIIIII APAPAPAP ++=alors

55,017,023,015,0)( =++=AP

Or )(1)( APAP −=

d’où 45,055,01)( =−=AP

Soit l’événement « atteindre la cible »

et φ=∩∩ IIIIII AAA

Tableau ou arbre

Un sondage est effectué dans une entreprise comprenant 20% de cadres et 80% d’employés. On sait que 40% des cadres et 15 % des employés parlent anglais

- Faire un arbre pondéré(ou un tableau) représentant cette situation

On choisi au hasard une personne de l’entreprise. On appelle :

C : l’événement « être cadre »

E : l’événement « être employé »

A : l’événement « parler anglais »

- Calculer la probabilité des événements : CA ∩ EA ∩

- En déduire la probabilité de l’événement A

Hors programme

Connaissance Exemple Calculs

A et B sont indépendantsTirages successifs avec remise

Tirer une carte rouge puis une carte noire

A et B sont dépendants Tirages successifs sans remise

Tirer une carte rouge puis une carte noire

Formule de combinaisonSous ensembles non ordonnés de trois cartes

Formule d’arrangement Sous ensembles ordonnés de trois cartes

BA ∩ )()()( BPAPBAP ×=∩

3216

3216 ×

BA ∩ )()()( BPAPBAP ×=∩

3116

3216 ×

)!(!!

knknC k

n −×=

)!(!kn

nAkn −

=

4960)!332(!3

!32332 =

−×=C

29760)!332(

!32332 =

−=A

EXEMPLE ÉVALUATION METTANT EN EXEMPLE ÉVALUATION METTANT EN ŒUVRE LES TICŒUVRE LES TIC

Thématique : jouer avec le hasard (vie sociale et loisirs).

Surréservation.

Deux énoncés sont proposés.

Niveau : seconde professionnelle.

- Dans le premier, l’élève est guidé dans la démarche de résolution

- Dans le second il peut faire preuve de son autonomie et de sa prise d’initiative

dans la résolution d’un problème.


On suppose que toute personne réservant une place dans un avion a une chance sur 10 de ne pas se présenter à l’embarquement.Réaliser une simulation du nombre de 100 places pour 107 réservations, sur un échantillon aléatoire à l’aide d’un tableur.

Énoncé 1 Une compagnie aérienne dispose d’un avion de 100 places et vend (possède 107 options d’chat) 07 réservations.L’objectif est d’évaluer la probabilité de surréservation de cette compagnie, autrement dit le risque que plus de 100 passagers se présentent à l’embarquement.

1. saisir « =ENT(ALEA()+0,9) » dans la cellule A1 et recopier cette formule

Pour cela, dans une feuille de calcul du tableur :

jusqu’en DC1 pour obtenir 107 réalisations

saisir « =SOMME(A1:DC1) » dans la cellule DD1.Appel n° 1


2. Réaliser une simulation du nombre de personnes se présentant à

3. Déterminer, pour cette simulation de 1 000 vols, la proportion des cas où l’effectif des passagers à l’embarquement est supérieur à 100. Pour cela :- dans une cellule de votre choix, saisir « =NB.SI(DD1:DD1000;">100") »,

a) En utilisant la touche F9, réaliser plusieurs simulations, puis évaluer la

b) Évaluer, en pourcentage, le risque de surréservation pour la compagnie aérien

- dans une cellule de votre choix, en déduire la fréquence demandée.

l’embarquement de 1 000 vols de 100 places pour 107 réservations à chaque vol

Appel n° 2

Appel n° 3

Appel n° 4


Énoncé 2 On suppose qu’une personne réservant une place d’avion a une chance sur 10 de ne pas se présenter à l’embarquement. Une compagnie dispose d’un avion de 100 places et vend 107 réservations.Le but de l’exercice est d’évaluer la probabilité de surréservation.

2. Sur un tableur, réaliser une simulation sur un échantillon de taille 1 000 de

3. À l’aide des simulations réalisées, est-il possible d’évaluer le risque de

On pourra utiliser la formule =NB.SI(plage).

1. Sur un tableur, réaliser une simulation du nombre de personnes se présentant àl’embarquement lorsqu’il y a 107 réservations.

l’expérience aléatoire précédente et déterminer, pour cette simulation, la

fréquence des cas où plus de 100 personnes se présentent à l’embarquement.

surréservation que prend la compagnie ? On peut utiliser la touche F9.

Compétences évaluées Éléments permettant de situer l’élève

L’élève est capable, en tirant profit des aides éventuelles, de réaliser la simulation de la question 1.

L’élève comprend le sens de l’affichage 1 ou 0 de l’instruction =ENT(ALEA()+0,9) et ne confond pas le rôle des valeurs 100 et 107

L’élève est capable, en tirant profit des aides éventuelles, de réaliser la simulation d’un échantillon de taille 1 000.

L’élève prend l’initiative de compter les sommes strictement supérieures à 100.

L’élève connaît la différence de sens entre effectif et fréquence.

L’élève comprend le sens de la question 3.

L’élève identifie la probabilité comme l’invariant autour duquel fluctuent les fréquences observées.

L’élève donne une estimation convenable du risque de surréservation.

L’élève tire profit des indications éventuellement données à l’oral ; ces indications peuvent être des aides logicielles nécessaires pour réaliser ce qu’il a prévu.

RemarquesRemarques

- Pas de théorie

En seconde et première professionnelle

- Les probabilités sont traitées de façon assez classique… en s’appuyant sur des représentations graphiques pertinentes (arbres, tableaux, diagrammes)…

En troisième année professionnelle

- Les élèves doivent manipuler, observer, expliquer, déduire, utiliser ou construire des fichiers pour augmenter le nombre d’expériences…

Un peu de vocabulaireUn peu de vocabulaire

Expérience aléatoire Une expérience est dite aléatoire si les résultats sont dus au hasard uniquement Exemple : jeter un dé, prélever une pièce dans une production …

Univers l’univers ou l’inventaire, des possibles, est l’ensemble des résultats ou événements élémentaires pour une expérience aléatoire. On le note Exemple : Pour le jeu de dés. l’univers est = 1, 2, 3…6

Pour le tirage de cartes, l’univers est l’ensemble des 32 cartes.

Evénements Un événement A est une partie de l’ensemble des événements élémentaires.Exemple :Pour le jeu de dés. L’événement A « obtenir un chiffre pair » A = 2 ; 4 ; 6

Evénement certain : événement toujours réalisé Exemple : « Obtenir pile ou face » est un événement certain

ΩΩ

Evénement impossible : événement jamais réaliséExemple : « Tirer une carte qui soit à la fois trèfle et carreau »

Evénements incompatibles : événements qui ne peuvent se réaliser simultanément

Evénements contraires :

Réunion de deux événements : est réalisé si l’un au moins des deux événements est réalisé.

A Ω=∪ AA φ=∩ AA

BA ∪

Intersection de deux événement : événement est réalisé si les événementsExemple : « être cadre et parler anglais couramment»

Evénements indépendants : quand l’issue de l’un ne dépend pas de l’issue de l’autre

BA ∩

Exemple : « Obtenir au jeu de dés un chiffre pair » est l’événement contraire de l’événement « obtenir un chiffre impair »

A et

Exemple : « Tirer une noire ou pique » est la réunion des événements A = «tirer une carte noire » et B = «tirer un pique »

Variable aléatoireVariable aléatoireDéfinition :

IReeX n →=Ω ....;(: ;1

;....( 1 nxx

....;( ;1 nee=Ω

Notons les valeurs prises par X.

ixX =ix ii pxXP == )(

L’ensemble des couple est par définition la loi de probabilité de X);( ii px

Dans le cas discret, on peut la présenter sous forme d’un tableau

L’événement « X prend la valeur » est noté par avec

Une variable aléatoire X est une fonction définie sur l’univers d’une expérience

aléatoire à valeurs réels :

Exemple de variable aléatoireExemple de variable aléatoire

30;15;0;15: −→ΩX

FFFPFFFFPFPFFPPPFPPPFPPP ;;;;;;;=Ω

)( iω

)(ωω X→

Après chaque lancer, on gagne 10 € si on obtient P et on perd 5 € sinon.

On lance en l’air, trois fois de suite, une pièce de monnaie dont les faces sont P

et F. La pièce est supposée équilibrée.

désigne le gain possible à la fin des trois lancers.)(ωX

sorties PPP PPF PFP FPP FPF FFP PFF FFFgains 30 15 15 15 0 0 0 -15probabilités

)( ix

)( ip 83

83

83

81

83

83

83

81

Paramètres d’une variable aléatoireParamètres d’une variable aléatoireEspérance mathématique d’une variable aléatoire discrète :

Variance :

8115

8303

8315

8315

8315

8130)( ×−××+×+×+×+×== ∑

iii pxXE

∑ =−=i

ii xXPXEx )())²((²σ

Ecart type : 4,206,416 ==σ

75,188

150)( === ∑i

ii pxXE

6,416)²17,18(8133)²17,1815(

813)²17,1830(

81² =−××+−×+−=σ

Loi normale La loi normale est caractérisée par sa densité de probabilité qui peut s’écrire de la forme :

²2)²(

21)( σ

πσ

mx

exf−

−=

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

πσ 21

∑ ===i

ii maXPaXE )()( ∫Ω= XdPXE )(

∑ =−=i

ii xXPma )()²(²σ dPmx∫ −= )²(²σ

La courbe de la loi normale a la forme d’une cloche symétrique.

Fonction de répartition d’une loi normaleLa fonction de répartition d’une loi normale de moyenne et d’écart-type est donnée par :

∫∞−

−−=

x mt

dtexF ²2)²(

21)( σ

πσ

Exemple :

=)96,1(F LOI.NORMALE(1,96;0;1;VRAI) = 0,9750021 avec un tableur

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

-0.04

-0.08

0 1

0.04

x

y

)(xF

0)( =− ∞F 1)( =+ ∞FF est une fonction croissante

0.9750021

x

Fonction de répartition d’une loi normale)( xF − )(1 xF−=

)(xF )( xF −)()( xFxF −−

= _

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

-0.04

-0.08

0 1

0.04

x

y

)( xF −

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

-0.04

-0.08

0 1

0.04

x

y

)(1 xF−

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

-0.04

-0.08

0 1

0.04

x

y

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

-0.04

-0.08

0 1

0.04

x

y

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

-0.04

-0.08

0 1

0.04

x

y

Calcul de )( xXxP ≤≤−

Par exemple, déterminer

D’après ce qui précède : )()()( xFxFxXxP −−=≤≤−

x pour que : %95)( =≤≤− xXxP

Fonction de répartition d’une loi normale

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

-0.040 1

0.04

x

y

0,95

? ?

9750,0)96,1( =F

1)(2)](1[)()( −=−−=≤≤− xFxFxFxXxP

On a vu que , donc :

1)96,1(2)96,196,1( −=≤≤− FXP

95,09750,02)96,196,1( =×=≤≤− XP

On démontre aussi que :

99,0)575,2575,2( =≤≤− XPet que :

90,0)645,1645,1( =≤≤− XP

Fonction de répartition d’une loi normale

Exemple d’application de la loi normale

La quantité de lait produite quotidiennement par une vache est

une variable aléatoire normale de moyenne 36 litres etd'écart-type 5 litres. D'après les statistiques 5% des vachesnormandes produisent moins que la normale et 5% plus que lanormale.A partir de quelles productions journalières peut-on dire qu'une

vache normande est une mauvaise laitière ou excellente

productrice ?

Résoudre ce problème revient à trouver deux valeurs

46 51 56 61 66 71 76312621161161-4

0.016

0.024

0.032

0.04

0.048

0.056

0.064

0.072

-0.008

-0.016

36 410

0.008

x

y

A

B

C

1x 2x

- 5 % des vaches ont une production à inférieure à

1x et 2x telle que :

- 5 % des vaches ont une production supérieur à1x

On définit ainsi trois catégories A, B et C de vaches :

2x

- A : Les mauvaise productrice :

- B : Les vaches qui produisent normalement :

05,0)( 1 =≤ xXP

- C : Les excellentes productrice :

90,0)( 21 =≤≤ xXxP

05,0)( 2 =≥ xXP

Cherchons

36)2

( 21 =+ xx

mauvaises laitière.

1x05,0)( 1 =≤ xXP

...1 INVERSENORMALELOIx = 7775,27)5;36;05,0( =

Ainsi : 7775,271 =xComme

1x et 2x Sont symétriques par rapport à 36=m

22,447775,272362 =−×=x

Finalement - Si la production est inférieur à 27.7 litres par jours la vache est une

- Si la production est supérieur à 44,22 litres par jours la vache est une

d'excellente productrice.

Loi binomiale

- n est un entier naturel

- La loi binomiale de paramètres n et p est la loi de probabilité de la

où

1≥ 10 ≤≤ p

Cette loi est notée B(n, p)

On a bien

-

représente la probabilité d’obtenir k succès quand on effectue n

(par exemple un tirage avec remise ou non exhaustif)

knkkn qpCkXP −== )(

1)()( =+=== ∑∑ ∑ − nknkkn qpqpCkXP

et

variable aléatoire X qui prend les valeurs

épreuves répétées indépendantes

pq −= 1

avec la probabilité :n...;2;1;0

)( kXP =

xxii 00 11 22 33

ppii qq33 3pq3pq22 3p3p22qq pp33

Trois conditions doivent donc être vérifiées pour utiliser une loi binomiale :

p q

p q

qp qp

p q p q p q

n=3

2 3 2 1 2 1 1 03p

3qqp 2 qp 2 qp 22pq 2pq 2pq

Conditions

répétition,

On peut représenter la situation par un arbre pondéré à n niveau :

indépendance et alternance

Ici, n=3, donc :

Espérance mathématique pour une loi binomiale :

(Résultat intuitif, on répète n épreuves avec à chaque fois la probabilité p d’avoir un succès, le nombre moyen de succès est n p)

qpnx ..)( =σ

knkkn qpCkXP −== )(

)!!.(!

knknC k

n −=

∑∑ −=== knkkn qpCkkXkPXE .)()(

Variance et écart-type :

330)0( ppCxP n === qpqpCxP n221 3)1( ===

²3²)2( 2 pqpqCxP n ===333)3( qqCxP n ===

pnxE ×=)(

qpnxV ××=)(

Réponse : P(X=3) = 43

3 317 4 4 0.17C

En moyenne, on obtient 1.75 cœur

Exemple d’applicationOn tire 7 fois une carte avec remise dans un jeu de 32 cartes.La variable aléatoire X qui compte le nombre de cœurs obtenus suitLa loi binomiale

: Question : Quelle est la probabilité d’obtenir 3 cœurs

)41;7(B

Approximation d’une loi binomiale par une loi normale

D’après le théorème de Moivre-Laplace :

On donne en général comme conditions d’approximations :

,

Exemple : On lance 50 fois une pièce de monnaie équilibrée (n = 50 et p = 0,5). X est la variable aléatoire qui compte le nombre de « face » obtenu.

X suit la loi binomiale B(50;0,5), approchée par la loi normale

)54,3;25();( NnpqnpN =

30n 5pn × 5)1( pn −× et

On peut approximer une loi binomiale par une loi normale dès que n est assez grand

Approximation d’une loi binomiale par une loi normale

n = 10 et p =0,1

0.0%

5 .0%

1 0.0%

1 5 .0%

2 0.0%

2 5 .0%

3 0.0%

3 5 .0%

4 0.0%

4 5 .0%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37

n= 10 et p =0,4

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

35.0%

40.0%

45.0%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11

n = 10 et p =0,5 n = 10 et p =0,9

Pour pouvoir comparer des tirages dont les nombres d’épreuves sont différents

qui mesure la fréquence des succès des tirages

Fluctuation des fréquences

On effectue n épreuves répétées indépendantes, avec deux issues possibles à chaque épreuve. On note p est la probabilité du succès à une épreuve.

Par exemple, on effectue n tirages au hasard et avec remise dans une urne contenant des boules noires et des boules blanches et on compte les boules noires tirées

p est la proportion de boules noires dans l’urne, la variable aléatoire S qui compte les succès (nombre de boules noires tirées) suit la loi binomiale B(n, p), qu’on approxime (pour n assez grand) par la loi normale

Sn

Y 1=

);( npqnpN

(ou des échantillons de tailles différentes), on considère la variable aléatoire

Fluctuation des fréquencesC’est la loi de probabilité de cette variable aléatoire qui mesure les fluctuations d’échantillonnage des fréquences sur les échantillons de taille n

D’après l’approximation précédente, Y suit alors la loi normale :

On démontre (loi normale) :

pnpn

SEn

YE =×== 1)(1)(

npqnpq

nS

nY =×== 1)(1)( σσ

)96,196,1(95,0 σσ +≤≤−= pYpP

)22(95,0 σσ +≤≤−≤ pYpP

On majore par 2 : 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

0.28

0.32

0.36

-0.04

-0.08

0 1

0.04

x

y

0,95

-1,96 1,96

Fluctuation des fréquences

)22(95,0npqpY

npqpP +≤≤−≤

environ plus de 95 % des tirages fournissent une fréquence de succès dans l’intervalle

]1;1[

np

npI +−=

)11(95,0n

pYn

pP +≤≤−≤alors

Comme la fonction

41≤pq d’où

21≤pq

On remplace

σn

pp )1( −

)1()( xxxf −= est bornée sur [0 ; 1] par 41

, par suite :

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.2

0 0.1

0.1

x

y0,25

par

Stabilisation des fréquences

Voici une version de la loi faible des grands nombre :

Pour tout entier n >0 et pour tout réel t >0

Ce théorème indique que la variable aléatoire Y qui mesure la fréquence d’apparition d’un événement A de probabilité p prend une valeur extérieur à l’intervalle

Avec une probabilité inférieur à

Ce qui justifie la définition fréquentiste de la probabilité d’un événement comme étant une valeur autour de laquelle la fréquence d’apparition de cet événement se stabiliselorsque devient assez grand.

²1))1((tn

pptpYP ≤−−

])1();)1([n

pptpn

pptp −+−−

²1t

. t

Stabilisation des fréquences

Cette loi est d’une grande importance théorique, mais elle produit numériquementun résultat qui semble faible.

.

Par exemple

26,0))1(96,1( ≤−−n

pppYP

En effet, d’après la loi faible des grands nombre :

))1(96,1(1))1(96,1(n

pppYPn

pppYP −−−=−≤−

74,0))1(96,1)1(96,1( ≥−+≤≤−−n

pppYn

pppP

On est très loin de 95%

pour t = 1,96, la probabilité pour Y soit dans l’intervalle est supérieure à 0.74

Documents

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