Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología · contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes. ... Con las lecciones contenidas

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnologíapara la Educación SecundariaPROPUESTA HIDALGO

1ergrado

Ma. Guadalupe Flores BarreraAndrés Rivera Díaz

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología

Enseñanza de las Matemáticascon Tecnologíapara la Educación SecundariaPROPUESTA HIDALGO1er. grado

Revisión: Ramón Guerrero LeyvaFormación y diseño: Ana Garza

© EMAT Hidalgo 2008© Ángeles Editores, S.A. de C.V. 2011 Campanario 26 SanPedroMártir,Tlalpan México, D.F. 14650 e-mail [email protected] www.angeleseditores.com

Primera edición: agosto de 2011Segunda edición: agosto de 2012

ISBN 978-607-9151-06-5

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Reg. Núm. 2608

Impreso en México

Coordinadores de Zona Escolar EMAT-HidAlgo

EstematerialseutilizaenlasescuelassecundariasGenerales,TécnicasyTelesecundarias del Estado de Hidalgo con apoyo de las Direcciones, Su-pervisiones y Jefaturas de Sector, pero sobre todo de los Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo.

Alfaro Vera Gonzalo

Ángeles Ruiz Alfonso

Arroyo Rendón Martha Patricia

Arteaga Romero Damián

Azuara Sánchez Arturo

Badillo Ordóñez Filiberto

BautistaMontañoMaximino

BibianoSantiagoEdgar

Calva Badillo Jacobo

Castañeda Ahumada Héctor Hugo

Colín Pretel Alfonso

Cruz Bustos Marina

de la Cruz Reyes Rodrigo

Delgado Granados Nicasio

Díaz Badillo Ma. del Carmen

Espinoza Soto Juan Carlos

Flores Barrera Joel

Franco Moedano Aniceto Alejo

García Callejas Maricela Ma. del Carmen

García Mayorga Víctor

González Funes Cecilia Iliana

Hernández Ángeles Juan

Hernández Hernández Honorio

Hernández Hernández José Luis

Hernández Hidalgo Magdiel

Hernández Reyes Ernesto

Herrera Tapia Andrey

Islas Arciniega Silvia

Juárez Rojas Iván Ramsés

López Castellanos Verónica

López Lugo Silvia

López Miranda Rigoberto

Lozano Mendoza Rubén

Maqueda Lora Oscar Daniel

Mayorga Hernández Raúl =Mendoza Paredes Maximino

Mendoza Ruiz Francisco

Meza Arellanos Ma. del Refugio

MoraMartínTeresa

Moreno Alcántara Alfonso

MorenoMartínezErickaSofía

Mota Aguilar Gloria

Naranjo Calderón Josué Arturo

Noble Monterrubio Guillermo

Nolasco Orta Edgar Arturo

Paredes Larios Hugo Alberto

Pedraza Sánchez Jaén Maximiliano

Pérez Pacheco Set Isaí

Pérez Salas Jesús Enrique

Recéndiz Medina Juan Carlos

Robles Feregrino María Teresa

Rodríguez Escudero María Teresa

Trejo Reyes Jesús

Ugarte Morán Sergio

Vargas Rivera Rafael

Vázquez Hernández Juan Andrés

Veloz Vega María Esther

Ma. Guadalupe Flores [email protected]

Andrés Rivera Dí[email protected]

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCIT-Hidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo y, sobre todo, del Centrode InvestigaciónyEstudiosAvanzadosdel InstitutoPolitécnicoNacional,particularmentedelDepartamentodeMatemáticaEducativa,del cual surgió la propuesta nacional.

Autores de EMAT-Hidalgo

Introducción ............................................................................................. 5

Organización del texto EMAT-Hidalgo ...................................................... 7

Programación del Primer Grado .............................................................. 9

SeptiembreRepresentaciónanalíticaygráficadefraccionesydecimales ............... 13Representación de fracciones y decimales en la recta numérica .......... 15Problemas con suma y resta de fracciones ............................................ 17Generación de sucesiones de números .................................................. 18

octubrePerímetro y área ..................................................................................... 20Construcción de triángulos .................................................................... 22Líneas importantes del triángulo ............................................................ 24Reparto proporcional ............................................................................. 25Eventos probables en un juego de azar .................................................. 27

NoviembreCriterios de divisibilidad ......................................................................... 29Cálculo del MCD y el mcm ..................................................................... 31Problemasaditivos ................................................................................. 33Multiplicaciónydivisióndenúmerosfraccionarios ............................... 34

diciembrePropiedades de la mediatriz y la bisectriz .............................................. 37Perímetro y área de polígonos regulares................................................ 39Proporcionalidad directa ........................................................................ 42

EneroMultiplicacióndenúmerosdecimales ................................................... 43División de números decimales .............................................................. 44Ecuaciones de primer grado ................................................................... 45

Contenido

FebreroEcuaciones de primer grado ................................................................... 45Construcción de polígonos regulares ..................................................... 47Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares ............................ 49Constante de proporcionalidad .............................................................. 51

Marzo y AbrilNúmeros con signo ................................................................................. 52Construcción de círculos ........................................................................ 55Lacircunferenciayelnúmero∏ ............................................................ 59Análisis de la regla de tres simple .......................................................... 63Problemas de proporcionalidad inversa ................................................. 66Problemas de conteo ............................................................................. 68

MayoOperaciones con números enteros ........................................................ 70Potencia de números .............................................................................. 72Notacióncientífica(1) ............................................................................ 76Notacióncientífica(2) ............................................................................ 78

JunioSucesionesconprogresiónaritmética .................................................... 80Perímetro y área del círculo .................................................................. 82Proporcionalidadmúltiple ..................................................................... 84Problemasdeproporcionalidadmúltiple ............................................... 85

Bibliografía ............................................................................................. 86

EMAT-Hidalgo

Las Herramientas Computacionales (HC) constituyen un revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones constantes que influyen significativamente en nuestras vidas. Mantenernos expectantes o tomar las riendas de los procesos de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por cada uno de nosotros.

En el ámbito educativo, las HC constituyen una valiosa ayuda para favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de las ciencias, pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor.

En definitiva podemos preguntarnos: ¿Qué aspectos caracterizan a las HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las podrían caracterizar:

1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste tiene que estar actualizado para planificar con éxito las actividades que realizarán los estudiantes.

2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas al entorno educativo.

3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte de una educación integral.

4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno. Este último, de sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tiene como función rectora orientar al alumno en el uso de las herramientas tecnológicas que sean utilizadas en el proceso.

5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollan sus actividades con el apoyo de la tecnología, economizando tiempo y energía.

Introducción

5

Además de estas ventajas que nos proporcionan las Herramientas Computacionales en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar el contenido con el de otras asignaturas, particularmente el de las ciencias, contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes.

Por lo anterior, la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo ha implementado el Programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores imparten un curso-taller, programado un día al mes durante el ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, para que a su vez ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores que imparten ciencias en sus zonas correspondientes.

Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre la Hoja electrónica de cálculo, herramienta tecnológica que forma parte de la propuesta original elaborada por la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se han diseñado y elaborado los textos EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar de educación secundaria.

Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida, utilizaremos el presente material para beneficio de nuestros alumnos.

Profr. Joel Guerrero JuárezSecretario de Educación Pública

SEPH

6

PRESENTACiÓN

El libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de lecciones que hacen uso de cuatro herramientas de tecnología, estrechamente relacionadas cada una con las áreas específicas de geometría, álgebra, aritmética, resolución de problemas y modelación matemática. El texto cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de matemáticas para las modalidades de Educación Secundaria (General, Técnica y Telesecundaria).

En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas cuatro piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico, que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico.

La Propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o espacio asignado a equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.

En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de geometría euclidiana; calculadora con manipulación simbólica para la introducción a la sintaxis algebraica, la graficación y la resolución de problemas; lenguaje de programación LOGO para la programación con representación geométrica y la hoja electrónica de cálculo para la enseñanza del álgebra, la resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información.

En el espacio para desarrollar el Programa EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las actividades programadas semanalmente en el texto.

Cómoestá organizadoestelibro

7

Con las lecciones contenidas en el libro se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello la programación de las lecciones se hace como en el siguiente ejemplo:

En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a:• Explorar• Formular y validar hipótesis• Expresar y debatir ideas• Aprender mediante el análisis de sus propios errores

Las sesiones EMAT-Hidalgo se organizan a partir de lecciones en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la herramienta computacional, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas lecciones ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados.

Finalmente, una reflexión:

La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños.

Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera DíazCoordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo

JUNioSemana Eje lecciones del Bloque CiNCo Herramienta Pág.

1 SNPA Sucesionesconprogresiónaritmética. Geometría dinámica 80

2 FEM Perímetro y área del círculo. Geometría dinámica 82

8

SEPTiEMBRESemana Eje lecciones del Bloque UNo Herramienta Pág.

1

SNPA

Representaciónanalíticaygráficadefraccionesydecimales. Geometría dinámica 13

2Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica. Geometría dinámica 15

3 Problemas con suma y resta de fracciones. Hoja de cálculo 17

4 Generación de sucesiones de números. Hoja de cálculo 18

oCTUBRESemana Eje lecciones del Bloque UNo Herramienta Pág.

1

FEM

Perímetro y área. Geometría dinámica 20

2 Construcción de triángulos. Geometría dinámica 22

3 Líneas importantes del triángulo. Geometría dinámica 24

4

SNPA Reparto proporcional. Hoja de cálculo 25

MI Eventos probables en un juego de azar. Hoja de cálculo 27

NoViEMBRESemana Eje lecciones del Bloque doS Herramienta Pág.

1

SNPA

Criterios de divisibilidad. Hoja de cálculo 29

2 Cálculo del MCD y el mcm. Hoja de cálculo 31

3 Problemasaditivos.Hoja de cálculo y

calculadora33

4 Multiplicaciónydivisióndenúmerosfraccionarios. Geometría dinámica 34

Programación Primer gradoEMAT-HidAlgo

9

diCiEMBRESemana Eje lecciones del Bloque doS Herramienta Pág.

1

FEM

Propiedades de la mediatriz y la bisectriz. Geometría dinámica 37

2 Perímetro y área de polígonos regulares. Geometría dinámica 39

3 SNPA Proporcionalidad directa.Hoja de cálculo y

calculadora42

ENERoSemana Eje lecciones del Bloque TRES Herramienta Pág.

1

SNPA

Multiplicacióndenúmerosdecimales. Hoja de cálculo 43

2 División de números decimales. Hoja de cálculo 44

3 Ecuaciones de primer grado. Calculadora 45

FEBRERoSemana Eje lecciones del Bloque TRES Herramienta Pág.

1 SNPA Ecuaciones de primer grado. Calculadora 45

2

FEM

Construcción de polígonos regulares. Geometría dinámica 47

3 Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares. Geometría dinámica 49

4 SNPA Constante de proporcionalidad. Hoja de cálculo 51

10

Programación Primer gradoEMAT-HidAlgo

MARZo Y ABRilSemana Eje lacciones del Bloque CUATRo Herramienta Pág.

1 SNPA Números con signo.Calculadora y

Geometría dinámica52

2

FEM

Construcción de círculos. Geometría dinámica 55

3 La circunferencia y el número π. Geometría dinámica 59

4

MI

Análisis de la regla de tres simple. Hoja de cálculo 63

5 Problemas de proporcionalidad inversa. Hoja de cálculo 66

6 Problemas de conteo. Hoja de cálculo 68

MAYoSemana Eje lecciones del Bloque CiNCo Herramienta Pág.

1

SNPA

Operaciones con números enteros.Calculadora y

Hoja de cálculo70

2 Potencia de números.Calculadora y


3 Notacióncientífica(1).Calculadora y

Hoja de cálculo76

4 Notacióncientífica(2).Calculadora y

Hoja de cálculo78

JUNioSemana Eje lecciones del Bloque CiNCo Herramienta Pág.

1 SNPA Sucesionesconprogresiónaritmética. Geometría dinámica 80

2 FEM Perímetro y área del círculo. Geometría dinámica 82

3MI

Proporcionalidadmúltiple.Hoja de cálculo y


4 Problemasdeproporcionalidadmúltiple.Hoja de cálculo y


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LECCIÓN 1

NombredeArchivo

Al inicio de cada lección aparece, a la derecha del título, un elemento que muestra el nombre del archivo a utilizar y a la izquierda el icono que indica qué recurso tecnológico debe usarse.

Significa que para esta lección se requiere el uso de la hoja de cálculo.

Quiere decir que para esta lección se necesita la calculadora.

Significa que en esta lección se requiere el uso de un software de geometría dinámica.

Iconos

Los iconos y su significado son los siguientes:

12

Sentidonuméricoypensamientoalgebraico

LECCIÓN 1

ReanagrafradecRepresentaciónanalíticaygráficadefraccionesydecimales

BloqueUno

Para comparar números racionales, también llamados fracciones, abre el archivo Reanagrafradec.

Recuerda que una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador, una fracción impropia es la que tiene el numerador mayor que el denominador, y un número mixto es el que consiste de un número entero más una fracción propia.

En la recta siguiente, -2 está a la izquierda de -1 12

; - 58

está a la izquierda de - 18

; y 1 78

está a la

derecha de 1 18

.

En la recta numérica el orden es creciente de izquierda a derecha, es decir, dados dos números, el que esté a la izquierda es menor que (<) el de la derecha y, análogamente, el que está a la derecha es mayor que (>) el de la izquierda, la relación de orden de los números anteriores se indica así:

-2 < -1 12

- 58

< - 18

1 78

> 1 18

Para localizar en la recta numérica fracciones impropias, es conveniente primero convertirlas a un número entero más una fracción propia, es decir, a un número mixto. Para hacer esto, dividimos el numerador entre el denominador para encontrar el cociente entero y el residuo (fracción propia).

Por ejemplo, para representar 108

en la recta numérica, primero dividimos 10 ÷ 8, y vemos que el

cociente es 1 y el residuo es 2, por lo que el resultado es 1 28

(número mixto). Ahora en la recta

numérica dividimos los enteros en 8 partes iguales, puesto que así lo indica la fracción, y se

cuentan diez octavos o simplemente se ubica un entero más dos octavos.

En la recta se ha marcado 108

con una flecha azul, que equivale a 1 28

1. Ubica en la recta numérica las fracciones que se indican en cada caso:

-2 -1 0 1 2

-1 12 - 5

8 - 18 1 1

8 1 78

10

18

28

38

48

58

68

78

88

98

108

118

128

7 2

23 7

15 4 13

Bloque Uno EnseñanzadelasMatemáticasconTecnologíaparalaEducaciónSecundaria 1er grado

2. Escribe dentro del círculo la fracción que señala la flecha:

Representación analítica y gráfica de números decimales

Para encontrar el número intermedio entre dos números decimales, se suman los dos números y el resultado se divide entre 2; para localizar fácilmente el nuevo número en la recta numérica, es muy útil hacer subdivisiones de los números marcados en ella.Ejemplo.

Encontrar el número decimal que está entre 0.4 y 0.5.Se suma 0.4 + 0.5 = 0.9, luego se divide 0.9 ÷ 2 = 0.45Así que el número que está entre 0.4 y 0.5 es el 0.45

En la recta numérica:

Al realizar su representación gráfica en el ambiente de Geometría dinámica, con el archivo Reanagradec, verás que se puede verificar la propiedad de densidad de los números racionales, es decir, entre dos números racionales siempre hay otro número racional.

1. Señala con una flecha en la recta numérica los números que se indican.

2. Utilizando el procedimiento del ejemplo anterior, encuentra y ubica en la recta un número que esté entre los siguientes.

Procedimiento numérico.

a) 1.5 y 1.6

b) 2.7 y 2.8

100 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4

0 1 2

0 1 2 3

0 0.4

0.45

0.5 1

0 21 4 53 6

0.9 2.50 5.20 1.70 0.5 3

14


LECCIÓN 2

Refradec

En esta lección aprenderás a ubicar números fraccionarios y decimales en la recta numérica y determinar el orden de las fracciones.

Las fracciones pueden ubicarse en una recta, dividiendo a la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador, mientras que los decimales pueden situarse dividiendo la unidad siempre en 10 partes iguales.Ejemplo:

Representacióndefraccionesydecimalesenlarectanumérica

Abre el archivo Refradec y manipula los valores correspondientes para realizar las siguientes actividades.

1. En cada pareja, encierra en un círculo el número mayor.

12

y

18

23

y

32 0.01 y

1

1034

y

13

35

y 0.2

0.1 y

38

47

y

35

15

y 0.325

y

24

25

y

512

2. Ordena en el recuadro de abajo, de menor a mayor, los números que se muestran.

12 ,

13 ,

14 , 0.2

23 , 0.2,

52 , 1 0.01,

110 ,

15 , 0.3

3. Colorea los números decimales que sí están correctamente ubicados en la recta:

0 0.5 1

12

7 8

7.47 7.69 7.917.237.06

7.10 7.32 7.54 7.83 8.0

15


4. Ubica en la recta los números decimales indicados.

3.6 y 3.7

3 4

8.5 y 8.6

8 9

0.7 y 0.8

0 1

5. Sitúa en la recta los siguientes números señalándolos con una flecha.

4.02 4.13 4.28 4.33 4.40 4.570 4.600 4.720 4.85 4.99

4 5

16


LECCIÓN 3

ProsuresfraProblemasconsuma yrestadefracciones

En cada ejercicio analiza qué operación tienes que hacer para resolverlo y utiliza el archivo Prosuresfra.

1. Resuelve los siguientes ejercicios.

a) Un obrero fabricó el lunes 14 12

docenas de piezas metálicas; el martes 15 23

docenas, y el

miércoles 16 34

docenas. ¿Cuántas docenas de piezas fabricó en los tres días? ¿Cuántas

piezas fueron en total?

b) Si a 34

de tonelada de azúcar agrego 12

tonelada, ¿cuánto tengo?

c) Si Javier ve que su reloj marca las 6 12

y después de un rato el reloj avanzó 34

de hora,

¿Qué hora marca el reloj?

d) A 25

partes de los alumnos del grupo 1º A, les gusta jugar futbol, a 14

parte le gusta jugar

basquetbol, a 13

parte le gusta jugar volibol, y a los demás no les gusta practicar deporte.

¿A cuántos alumnos no les gusta practicar deporte?

e) Para hacer una blusa, la mamá de Martha compró 85 de metro de tela, de los cuales utilizó

34 de metro. ¿Cuántos metros de tela le sobraron?

f) Si en un restaurante tenían 712 kilogramos de café por la mañana y se vendieron 7

14

kilogramos durante el día, ¿cuánto café quedó al final del día?

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LECCIÓN 4

genSucesionesGeneraciónde sucesionesdenúmeros

En el ambiente de hoja de cálculo realiza lo siguiente.Escribe un 4 en la celda A1 y en la celda A2 la fórmula: = A1 + 1. Tu hoja debe verse como sigue:

A B C

1 4

2 5

3

4

En la celda A3 debes tener el valor 6 y la fórmula: = A2 + 1.En la celda A4 debes tener el valor 7 y la fórmula: = A3 + 1.

Si esto es así, ¿qué fórmula debes tener en la celda A5? Compara tu fórmula con la de la hoja.

Cambia ahora el 4 de la celda A1 por el número 15 y observa lo que pasa. ¿Qué sucesión obtienes

ahora en la columna A?

¿Qué harías para obtener la sucesión 100, 101, 102, 103… en la columna A?

Hazlo en la hoja de cálculo.En seguida escribe el número 100 en la celda B1. En la celda B2 escribe una fórmula que dé como resultado el número 99. Cópiala hacia abajo para que obtengas en la columna B la sucesión 100, 99, 98, 97… Tu hoja debe verse así:

A B C

1 100 100

2 101 99

3 102 98

4 103 97

Construye en la columna C la sucesión 1, 3, 5, 7… Recuerda que en C1 debes poner el primer número, en C2 la fórmula que te dé el segundo número y después copiarla hacia abajo.

18


Ahora construye las siguientes sucesiones:En la columna D: 10, 5, 0, -5… En la columna F: 40, 20, 10, 5, 2.5…En la columna E: 1, 2, 4, 8, 16… En la columna G: 5, -5, 5, -5, 5…

Piensa en el siguiente problema: tu papá te ofrece dos opciones para darte tu gasto. En la primera, te dará 100 pesos para empezar y cada semana incrementará 100 pesos a la cantidad inicial. En la segunda opción, te dará un centavo para empezar, aunque promete que cada semana te dará el doble de la semana anterior. ¿Cuál de las dos opciones escogerías?

Para averiguar cuál es la mejor elección, construye la siguiente hoja de cálculo usando fórmulas en la fila 3 para generar las tres sucesiones.

A B C

1 SEMANA 1a oPCiÓN 2a oPCiÓN

2 1 100 0.01

3 2 200 0.02

4 3 300 0.04

Extiende tu tabla hasta la semana 52 (un año) y contesta las siguientes preguntas.

¿En qué semana la cantidad de la segunda opción será igual a la de la primera?

¿Cuánto tendría que darte tu papá en la semana 26 (medio año) si hubieras escogido la segunda

opción?

¿Cuánto tendría que darte en esta misma opción en la semana 30?

¿Crees que pueda seguirte pagando tu semana?

En una sucesión aritmética se suma un número fijo al valor anterior para obtener el siguiente. En una sucesión geométrica se multiplica el valor anterior por un número fijo para obtener el siguiente.

¿Cuál de las sucesiones de arriba es geométrica y cuál es aritmética?

Clasifica las sucesiones de la lección Generación de sucesiones de números como aritméticas o geométricas.

Aritméticas:

Geométricas:

19


LECCIÓN 5

CalcuPeriArea

Nombre Figura Perímetro Área

Triángulo b

a

h cP = suma de los lados

P = a + b + cA = b • h

2

Cuadradol

P = 4 • l A = l2

Rectángulob

a P = 2(b + a) A = b • a

Romboa

dd

P = 4 • a A = D • d2

Romboide h

b

a P = 2(b + a) A = b • h

Trapecio h

bc d

BP = B + c + b + d A = B + b

2 • h

Trapezoidea

bd

c

P = a + b + c + dA = Suma de las áreas de

los dos triángulos

Polígono regulara

l

P = nl A = P • a2

Perímetroyárea

El perímetro y el área son medidas de uso común en diseños, edificaciones, estudio de estructuras, comparación de figuras de formas diversas, etcétera. Por esta razón es importante su estudio en el ambiente de Geometría dinámica.

Se le llama perímetro tanto al contorno de una figura como a la medida de éste, mientras que el área comprende la región interior de una figura y es su medida.

Área y perímetro de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares

Abre cada archivo de acuerdo al nombre del polígono y comprueba las fórmulas del perímetro y del área de cada figura.

20

Forma, espacio y medida

Figura Perímetro Área

1. Abre el archivo CalcuPeriArea y calcula el perímetro y área de las siguientes figuras, midiendo los lados y alturas con las herramientas adecuadas.

21


LECCIÓN 6

CalcuPeriArea

Pasos para construir un triángulo con regla y compás

1. Con base en el procedimiento anterior y con herramientas de geometría dinámica, traza cuatro triángulos con las siguientes medidas.a) 6, 3 y 4 cm b) 4, 4.5 y 3 cm c) 3.5, 4.5 y 4.5 cm d) 6, 6 y 6 cm

1. Se traza un segmento de cualquiera de las medidas dadas, por ejemplo, 6 cm.

2. Se abre el compás a cualquiera de las otras dos medidas y con centro en un extremo del segmento, se traza un arco.

3. Se abre el compás a la tercera medida y con centro en el otro extremo del segmento, se traza un arco que cruce al anterior.

4. Se unen los extremos del segmento con el punto dondesecortanlosarcosyseobtieneeltriángulopedido.

Construcción detriángulos

22

Forma, espacio y medida

Construcción de cuadriláteros.

Un cuadrilátero es una figura plana formada por cuatro lados que se cortan dos a dos. Según la disposición de los lados y los ángulos que forman, se clasifican como sigue.

Tipos de cuadriláteros.

Cuando los lados son paralelos dos a dos, el cuadrilátero se llama paralelogramo

Cuando solamente son dos los lados paralelos, el cuadrilátero se llama trapecio

Caundo no existe ningún lado paralelo a otro, el cuadrilátero se llama trapezoide

Diagonal es la recta que une un vértice con otro no inmediato.

Para construir un cuadrado conociendo su diagonal d, se siguen estos pasos:d

s

r

d C

A B

• Sobre un punto A cualquiera se trazan dos rectas perpendiculares entre sí: recta r y recta s.

• Se traza la bisectriz a del ángulo formado por las rectas r y s.• Con el compás se lleva d a la bisectriz, haciendo centro en A y

marcando el extremo con C .• Desde ese punto C se trazan paralelas Cd y CB a las rectas r y s.• Utilizando los puntos A, B, C y D se construye el cuadrado.

1. Construye los siguientes cuadriláteros:a) Cuadrado cuyas diagonales midan 4.6 cmb) Cuadrados cuyas diagonales midan 5.2 cm y 6.9 cm, respectivamente

Para construir un rombo a partir de una diagonal d y su lado a:• Se coloca la diagonal sobre una recta r cualquiera. Se obtienen los

puntos A y C.• Con el lado a como radio, se trazan dos arcos desde A y C.

Obtenemos los puntos B y d.• Se unen los extremos A y C de la diagonal con los puntos B y d y

se obtiene el rombo. 2. Dibuja dos rombos cuyas diagonales midan:

a) 4 cm y 3 cmb) 5 cm y 7 cm

A

da

ra

d

C

B

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LECCIÓN 7

linTrianLíneasimportantes deltriángulo

Bisectriz (l)

l

Mediatriz (m)

Mediana (n)

Altura (r)

r mn

La siguiente figura muestra la bisectriz, la altura y la mediana, trazadas desde un vértice del triángulo; aparece también la mediatriz en el lado opuesto al vértice considerado.

Reproduce este trazo en el ambiente de Geometría dinámica.Anota los pasos que seguiste para realizarlo.

Mueve los vértices del triángulo y verifica que las propiedades de cada una de las rectas se conservan.

Si sigues moviendo los vértices, ¿habrá un momento en que concurran las cuatro rectas?

¿En qué tipo de triángulo coinciden las cuatro rectas?

En otro triángulo traza todas las:a) bisectrices b) alturas c) medianas d) mediatrices

Elpropósitodeestalecciónesreafirmarlosconceptos de bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera.

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LECCIÓN 8

ReparPropor Repartoproporcional

Una forma de resolver los problemas de reparto proporcional consiste en determinar la cantidad total y las partes en las que se va a llevar a cabo dicho reparto. Otra forma de resolverlos es encontrar el valor unitario de las partes a repartir.

Ejemplo.Los chicos de la escuela organizaron una visita a los museos de la Ciudad de México. Para reunir fondos vendieron playeras. Después de cubrir los pagos que debían hacer (comida, transporte y otros) notaron que tenían un sobrante de $2 000. ¿Cómo podrían dividir esta cantidad de una manera justa? ¿Qué datos necesitas para hacer el reparto?

La estrategia que usaron para hacer el reparto fue la siguiente.a. Anotaron en una tabla el número de playeras que vendió cada uno.

Nombre Playeras vendidas

Karina 15

Carmen 25

Emilio 30

María 10

Mauricio 20

Total 100

b. Después de construir la tabla, repartieron el monto total en proporción a esos datos. Como son $2 000 a repartir y vendieron 100 playeras, el valor unitario es 2 000 ÷ 100 = 20, así que por cada playera vendida se deben dar $20.

Nombre Playeras vendidas operación Cantidad a recibir

Karina 15 15 x 20 $300

Carmen 25 25 x 20 $500

Emilio 30 30 x 20 $600

María 10 10 x 20 $200

Mauricio 20 20 x 20 $400

Total 100 $2 000

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Problemas de reparto proporcional

1. Un abuelo desea repartir $18 000 proporcionalmente al número de nietos que le han dado sus tres hijos: Juan tiene 3 hijos, Carmen 1 y Eduardo 2. Calcula cuánto recibirán cada uno de los nietos.

2. Hugo, Paco y Luis compraron un billete de lotería con un costo de $80. Hugo puso $15, Paco $45 y Luis $20. Si ganaron un premio de $120 000 y deciden repartirlo en partes proporcionales de acuerdo con su aportación para comprar el billete, ¿qué cantidad le corresponde a cada uno?

3. Marifer, Tania, Dominique y Paulina hicieron panecillos y los vendieron durante una semana. Marifer trabajó solo el lunes y miércoles; Tania trabajó martes, miércoles, viernes y sábado; Dominique trabajó lunes, martes, jueves, viernes y domingo; Paulina trabajó martes, jueves y sábado. Si obtuvieron $800 de ganancia por la venta de los panecillos, ¿cuánto dinero le tocará a cada una si lo reparten de manera proporcional a los días que trabajó cada una?

4. En la empresa “Patito”, el dueño desea repartir las ganancias de todo un año entre sus empleados, para motivarlos. Las ganancias ascienden a $350 000. Si José trabajó 7 meses, Mauricio 9 meses, Martín 12 meses, Mario 5 meses y Orlando 6 meses, ¿cuánto dinero le tocará a cada uno si se reparte de manera proporcional de acuerdo al número de meses que trabajaron?

PararesolverlostienesqueabrirelarchivoReparPropor y completar las tablas con las fórmulas apropiadas.

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Manejo de la información

LECCIÓN

JuegoJusto

9Eventosprobables enunjuegodeazar

Para determinar si un juego de azar es justo se debe establecer que:

En cada turno o partida todos los jugadores tengan la misma probabilidad de ganar.

Si las probabilidades de los jugadores son diferentes, es justo que a quien elija el número con menor probabilidad se le dé un mayor premio para compensar.

Las reglas del juego no favorezcan a ninguno de los jugadores.

Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, la probabilidad de que salga 1 es 16

y es exactamente

la misma para que salga 2, 3, 4, 5 o 6. Recuerda que la fórmula para calcular la probabilidad es

la siguiente:

Probabilidad de un evento = número de eventos favorablesnúmero de eventos posibles

En este caso, existen 6 eventos posibles, porque un dado tiene 6 caras y el número de eventos favorables es 1 porque sólo una cara queda hacia arriba, aunque puede ser cualquiera de las 6.Por lo tanto, los 6 eventos en un dado son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Con el lanzamiento de una moneda pasa lo mismo:

La probabilidad de que "salga" águila es 12

, porque sólo puede caer una vez águila entre los 2

eventos posibles (águila o sol) al lanzar una vez la moneda, y la probabilidad de que caiga sol

también es 12

; por lo tanto, los eventos águila y sol son equiprobables.

El conjunto de todos los eventos posibles se denomina espacio muestral.Abre el archivo JuegoJusto y explora los dos ejemplos anteriores.

3

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Eventos no equiprobables en un juego de azar

Cuando lanzamos dos dados cambian las condiciones; para verlo abre el archivo SumaDosDados.

1. Completa el espacio muestral en el lanzamiento de dos dados:

¿Serán eventos equiprobables que la suma de los dos

dados sea 4 o que sea 5?

Los eventos con los que la suma nos da 4 son:1–3, 2–2 y 3–1, aclarando que el primer número es del dado 1 y el segundo corresponde al dado 2.Entonces tenemos 3 resultados de los 36 posibles que conforman el espacio muestral, es decir, la probabilidad de que la suma sea 4 es:

P(suma 4) = 336

= 0.083; es decir, 8.3%

Ahora, los eventos con los que la suma nos da 5 son: 1–4, 2–3, 3–2 y 4–1, es decir, la probabilidadde que la suma sea 5 es:

P(suma 5) = 436

= 0.111; que es 11.1%.

En base a estos resultados, podemos concluir que los eventos suma = 4 y suma = 5 no son equiprobables, porque su probabilidad es diferente.

2. Resuelve los siguientes ejercicios haciendo en tu cuaderno las operaciones necesarias para justificar tu respuesta

a) P(suma 6) y P(suma 7) P(suma 6) = P(suma 7) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué? b) P(suma 4) y P(suma 10) P(suma 4) = P(suma 10) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué? c) P(suma 8) y P(suma 9) P(suma 8) = P(suma 9) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué? e) P(suma par) y P(suma impar) P(suma par) = P(suma impar) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué? f) P(suma mayor que 6) y P(suma menor que 8)

P(suma mayor que 6) = P(suma menor que 8) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué?

dado 1 dado 2 Suma

1

123 1 + 3 = 44 1 + 4 = 556

2

12 2 + 2 = 43 2 + 3 = 5456

3

1 3 + 1 = 42 3 + 2 = 53456

4

1 4 + 1 = 523456

5

123456

6

123456

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LECCIÓN 1

Criteriodivis Criteriosdedivisibilidad

BloqueDos

En esta lección es importante que se comprendan los criterios de divisibilidad y, comprobarlos con el archivo CriterioDivis.

Divisibilidad por dosTodo número que termina en un dígito par o en cero, es divisible por dos.

Divisibilidad por tresTodo número es divisible por tres cuando la suma de sus dígitos es divisible por tres.

Divisibilidad por cinco Todo número es divisible por cinco si termina en cero o cinco.

Divisibilidad por sieteUn número es divisible por siete cuando el doble de la primera cifra de la derecha, restado de lo que queda a la izquierda,daceroounmúltiplodesiete.

Divisibilidad por once

Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derechaaizquierda,esceroomúltiplode11.

Divisibilidad por treceUn número es divisible por trece cuando el producto de la primera cifra de la derecha por 9, restado de lo que queda a laizquierda,es0omúltiplode13.

1. Haciendo uso del archivo FacPrim, escribe todos los divisores de:

a) 50 b) 81 c) 36

2. Escribe cinco números de dos cifras, que sean divisibles entre:

a) 2 y 3 b) 2 y 5 c) 2 y 9 d) 3 y 5

3. Escribe tres parejas de números primos entre sí.

4. En 14 sustituye cada espacio por una cifra, de forma que el número que resulte sea divisible por 2, 3 y 5 a la vez. Halla tres soluciones.

a) b) c)

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Bloque dos EnseñanzadelasMatemáticasconTecnologíaparalaEducaciónSecundaria 1er grado

5. Explica cuáles de estos números son múltiplos de 11, aplicando el criterio de divisibilidad:4709 990 1342 99385 5071 1995 770066 74017

6. Encuentra un múltiplo de 26 comprendido entre 300 y 350.

7. Encuentra todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 151 y 200.

8. ¿Es 15 múltiplo de sí mismo? ¿Es 15 múltiplo de 1?

9. ¿Cuáles son los números comprendidos entre 200 y 400 que son divisibles por 4 y 5?

10. ¿Cuáles son los números inferiores a 100 divisibles a la vez por 2, 3 y 4?

11. Con el archivo MultiploVSDivisor, escribe en los espacios la palabra múltiplo o divisor, según corresponda.

a) 25 es de 5 b) 60 es de 120

c)16 es de 8 d) 11 es de 33

e) 100 es de 25 f) 7 es de 63

g) 333 es de 4 h) 343 es de 7

12. De los siguientes números: 9, 25, 15, 20, 4, 8, 100, 45, 5, 2, 22, 3. Elige cuatro parejas que cumplan entre sí la relación de divisibilidad.

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LECCIÓN

CalcMCdmcm

2 CálculodelMCDyelmcm

Mediante el archivo EUCLIDES, calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de las siguientes parejas de números.

a) 140, 350 b) 30, 45 c) 72, 108 d) 270,234 e) 560,588 f) 210, 315g) 18, 24 h) 12, 40 i) 220, 150 j) 300, 500 k) 80, 100 l) 21, 35

Haciendo uso de EUCLIDES, analiza y resuelve los siguientes problemas.

1. Una fuente situada en una plaza cambia de programa cada 450 segundos, y otra situada en una plaza cercana cambia cada 250 segundos. Si a las 9 de la mañana coinciden las dos fuentes con el mismo programa, ¿a qué hora volverán a coincidir?

2. Se tienen dos toneles de vino, uno de 420 litros y otro de 225 litros, y se quiere envasar el vino en garrafas iguales sin mezclarlo, pero de forma que el número de garrafas sea el mínimo. ¿Qué capacidad debe tener cada garrafa?

El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es elmenormúltiploquetenganencomún.

divisores: los divisores de un número son todos los números que dividen a dicho número, dando residuo cero.

Ejemplo: los divisores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20

Números primos: sonlosnúmerosquesólotienendosdivisores, el 1 y ellos mismos.

Son primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... En el archivo FacPrim tienes los números primos menores que 100.

Máximo común divisor (MCd): El MCD de dos o más números es el número más grande posible que divide a esos números.

Para calcular el MCD de dos números se colocan uno debajo del otro, se obtienen todos los divisores de ambos y el mayor divisor que se repita es el MCD.

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