Ensino Superior

Cálculo 1

2.1- Regras de Derivação

Amintas Paiva Afonso

1. REGRAS DE DERIVAÇÃO

Considere u e v funções deriváveis de x, com k IR

e n IR.

As principais regras de derivação e derivadas das principais funções elementares segundo a Regra da Cadeia são:

Regras de derivação

R1 - Derivada de uma função constante

Se k é uma constante e f(x) = k para todo x, então f’(x) = 0.

Exemplo

Seja f(x) = 5 f’(x) = 0.

Se aplicarmos a definição:

x

xfxxfxf

x

)()(lim)(' 11

01

00lim55

lim)('00

1

xx x

xf

Cálculo 1 - Derivadas

Cálculo 1 - Derivadas

R2 - Derivada de uma função potência

Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então:

f’(x) = n. xn-1

Exemplo: Seja f(x) = x5 f’(x) = 5x4.

R3 - Derivada de uma função multiplicada por k

Sejam f uma função, k uma constante e g a função definida por g(x) = k.f(x), então:

g’(x) = k.f’(x).

Exemplo: f(x) = 8x2 f’(x) = 8.(2x) = 16x

Cálculo 1 - Derivadas

R4 - Derivada da Soma

• Sejam f e g duas funções e h a função definida por

h(x) = f(x) + g(x).

A derivada da soma é: h’(x) = f’(x) + g’(x).

Exemplo: f(x) = 3x4 + 8x + 5

f’(x) = 3.(4x3) + 8.1 + 0 = f’(x) = 12x3 + 8

R5 - Derivada do Produto

• Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) . g(x). A derivada do produto é:

h’(x) = f (x) . g’(x) + f’(x).g(x) y’ = u.v’ + u’.v

Exemplo f(x) = (2x3 - 1)(x4 + x2) f’(x) = (2x3 - 1).(4x3 + 2x) + (x4 + x2).6x2

Cálculo 1 - Derivadas

R6 - Derivada do quociente

– Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) / g(x). A derivada do quociente é:

Exemplo:

2)]([

)(').()(').()('

xg

xgxfxfxgxh

35

32)(

2

4

xx

xxf 22

432

)35(

)52)(32()04.2).(35()('

xx

xxxxxxf

22

432

)35(

)52)(32()8).(35()('

xx

xxxxxxf

2

'.'.'

v

vuuvy

Exercícios de Fixação

R1 - Derivada de uma função constante

Se c é uma constante e f(x) = c para todo x, então f’(x) = 0.

a)

b)

c)

8y 3y

5y

a) b)

c)

cosy)3( seny

ey R2 - Derivada de uma função potência

Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então

f’(x) = n. xn-1.

a)

b)

c)

8xy 3xy2/1xy

Cálculo 1 - Derivadas

R3 - Derivada de uma função multiplicada por uma constante

Sejam f uma função, k uma constante e g a função definida por g(x) = k.f(x) g’(x) = k.f’(x).

a)

b)

c)

82xy 36 xy

2/14xy

d)

e)

f)

35 xy3/238 xy

baexy /

g)

h)

i)

3/5 xy3/2/1 xybaxey //

Cálculo 1 - Derivadas

R4 - Derivada da Soma e da Diferença

Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x).

A derivada da soma é: h’(x) = f ’(x) + g’(x)

A derivada da diferença é: h’(x) = f ’(x) - g’(x)

xxy 82

xxy 26 3

234 2/1 xxy

45 3 xy

3/13/238 xxy

23 3/5 xxy

xxy 2/1 3/2

2

3

2

3 xxy x

ba

x

ba

xy

25

Cálculo 1 - Derivadas

R5 - Derivada do Produto

Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x).g(x). A derivada do produto é h’(x) = f(x) . g’(x) + f ’(x) . g(x).

a)

b)

c)

xxy 82xxy 2.6 3xxy 3.4 2/1

d)

e)

f)

xxy 4.5 33/13/23 .8 xxy

g)

h)

i)

23 3./5 xxy

xxy 2./1 3/2

161

3

x

xxy 2312 xxxy

Cálculo 1 - Derivadas

R6 - Derivada do quociente

Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x)/g(x)

A derivada do quociente é:

2)]([

)(').()(').()('

xg

xgxfxfxgxh

a)

b)

c)

)1/()2( 8 xxxy

32/6 3 xxy

d)

e)

f)

)23/(5 3 xxy3/13/23 /8 xxy

g)

h)

i)

xxxy 2/)2( 3/2

23/12 xxxy 2

3

31

x

xy

22

42

xb

xy

xa

xay

Cálculo 1 - Derivadas

R7 - Seja f(x) = sen x, a derivada do seno é f’(x) = cos x.

R8 - Seja f(x) = cos x, a derivada do cosseno é f’(x) = - sen x.

R9 - Seja f(x) = cotg x, a derivada da cotangente é f’(x) = - cosec2 x.

R10 - f(x) = sec x, a derivada da secante é f’(x) = sec x . tg x.

R11 - f(x) = cosec x, a derivada da cosec é f’(x) = -cosec x . cotg x.

Cálculo 1 - Derivadas

Exemplo– Calcule a derivada de h(x) = (2x + 1)10.

A função h(x) é composta, f(x) = x10 e g(x) = 2x + 1.

Pela regra da cadeia, temos

h’(x) = f‘(g(x)) . g’(x) = 10.(2x + 1)9.2 = 20(2x + 1)9

R12 - Regra da Cadeia

Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função composta f(g(x)) é dada por:

[f(g(x))]’ = f’(g(x)) . g’(x)

Cálculo 1 - Derivadas

R12) Regra da Cadeia

Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função composta f(g(x)) é dada por:

[f(g(x)]’ = f’(g(x)) . g’(x)

a)

b)

c)

8)32( xy

d)

e)

f)

522 axy

331 xy 3

xa

xay

x

xy

1

1

22 32 xy

Cálculo 1 - Derivadas

R13 - Derivada da função logarítmica natural

Seja f(x) = lnx, sua derivada é; f’(x) = 1/x.

Exemplo:

xx

xx

xxxf

entãoxxxf

22

2

3

16)16.(

3

1)('

),3ln()(

10ln.

1)('

,log)( 10

xxf

entãoxxf

R14 - Derivada da função logarítmica de base a

Seja f(x) = loga(x), sua derivada é; f’(x) = 1/x . lna

Exemplo:

Cálculo 1 - Derivadas

R15 - Derivada da função exponencial de base “e”

Seja f(x) = ex, sua derivada é a própria f’(x) = ex.

R16 - Derivada da função exponencial de base “a”

Seja f(x) = ax, sua derivada é: f’(x) = ax . lna

(u + v) = +

+

DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE

= 0 dk = 0 (k)´= 0

d(ku) = 0 (ku)´= 0

d(u+v) = du+dv (u+v)´= u´+ v´

d(u.v) = vdu + udv (uv)´= u´v+v´u

d(u/v) = (vdu –udv)/v2 (u/v)´= (u’v – v’u)/v2

d(un) = n.un-1.du (un)´= n.un-1.u´

d(eu) = eu.du (eu)´= eu.u´

DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE

d(au) = au.lna.du (au)’ = au.lna.u’

d(senu) = cosu.du (senu)’ = cosu.u’

d(cosu) = - senu.du (cosu)’ = -senu.u’

d(lnu) = (1/u).du (lnu)´= (1/u).u’

d(arctgu) = du/(1+u2)

(arctgu)’ = u’/(1+u2)