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Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 5 – Estudo de Funções
Amintas Paiva Afonso
O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática.
A idéia de função…• Toda vez que temos
dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles...que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.
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10
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1°Trim.
3°Trim.
LesteOesteNorte
Em nosso dia-a-dia temos muitos exemplos de funções:
• O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida.
• A altura de uma criança é função de sua idade;
• O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade.
• Perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados.
O conceito de função na história...
• René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês porpôs a utilização de um sistema de eixos para localizar pontos e representar graficamente as equações.
• Galileu Galilei (1564-1642), astrônomo e matemático italiano iniciou o método experimental a partir do qual se pode estabelecer uma lei que descreve relações entre as variáveis de um fenômeno.
A função é um modo especial de relacionar grandezas.
• Duas grandezas x e y se relacionam de tal forma que:
– x pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado.
– a cada valor de x corresponde um único valor y em um dado conjunto B.
– os valores que y assume dependem dos valores assumidos por x.
Temos várias maneiras para representar a idéia de função.
d iag ram a d e se tas g rá ficos(p lan o cartes ian o)
le i d e fo rm açã o
C om o rep resen ta r u m a fu n çã o
Representação gráfica
• No dia-a-dia
utilizamos esse tipo
de representação
em vários setores.
Algumas funções especiais:
c rescen te d ec rescen te
q u e p od e ser
o g rá fico é u m a re ta
fu n çã o d o p rim e iro g rau
com con cavid ad e p ara c im a com con cavid ad e p ara b a ixo
o g rá fico é u m a p ará b o la
fu n çã o d o seg u n d o g rau
F u n çõ es
A = {1, 2}; B = {2, 3, 4}A x B = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}
A x B = { (x, y) | x A e y B}
Produto Cartesiano
Uma função (ou aplicação) f é uma lei
segundo a
qual cada elemento x em um conjunto A
está
associado a exatamente um elemento,
chamado f(x), em um conjunto B.
Definição de função
Não é função de A em B
É função de A em B
Definição de função através de conjuntos
Não é função de A em B
É função de A em B
Noção de função através de conjuntos
Im(f)
D(f) = A CD(f) = B
Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem
Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez.
Teste da reta vertical
D = {x IR| –3 x 4 e x 1} e Im = {y IR| –2 < y 3}
Domínio e imagem através do gráfico
Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função f todo elemento de A para o qual temos f(x) =0.
Interpretação geométrica das raízes de uma função
raiz
raiz
FUNÇÃO INJETORA
É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B.
0
-3
2
4
1
6
8
Ou seja, “x” diferente tem “y” diferente !!!A B
Uma função f(x) é injetora se nenhuma reta horizontal interceptar seu gráfico em mais de um ponto.
Teste da reta horizontal para verificar se uma função é
injetora
FUNÇÃO SOBREJETORAÉ quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. (Im = CD)
-1
1
3
1
9
Se M é o conjunto das mulheres e H é o conjunto dos homens,então não se pode ter homem
solteiro !!!M H
FUNÇÃO BIJETORAÉ uma função simultaneamente injetora e sobrejetora.
-1
3
7
Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos !!
1
5
9
M H
Injetora: “x” diferente
tem “y” diferente
Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio.
Não é injetora.É sobrejetora
É injetora.Não é sobrejetora
Injeção, sobrejeção e bijeção
a) b)
É injetoraÉ sobrejetora É bijetora
Injeção, sobrejeção e bijeção
c)
Testando seus conhecimentos
1) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas:
é injetora é sobrejetora
a) b)
123
4567
123
4
6
é bijetoranão é sobrejetora, nem injetora
c) d)123
456
123
345
2) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas:
3) Dada a função sobrejetora f : [2; 8] B, tal que f(x) = x² – 8x +7, observe atentamente seu gráfico e determine seu domínio e imagem.
D(f) = [2;8]
Im(f) = [-9;7]
y
x
7
-5
2 4
7 8
-9
A função f é crescente
A função f é crescente
A função g é decrescente
A função g é decrescente
a b
g
g(a)
g(b)
a b
ff(a)
f(b)
O a b
f
f(a)
f(b)
O a b
g
g(a)
g(b)
Diz-se que f é crescente, se para a < b, então f(a) < f(b).
FUNÇÃO CRESCENTE:
Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b).
6) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos onde a função é:
y
x-2 0 2 4 6
a) Decrescente: ]0, 4[
b) Crescente: ]-∞ ; 0[ e ]4 ; +∞[
Função crescente e Função decrescente
Função crescente e Função decrescente
Função crescente e Função decrescente
GRÁFICO PARA x 0 GRÁFICO COMPLETO
Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eixo das ordenadas.
Função Parf(-x) = (-x)4 - (-x)2 = x4 – x2 = f(x)
f(x) = x4 – x2
Função ímpar
Gráfico para x 0
Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal.
Função ímparf(-x) = (-x)3 + (-x)5 = -(x3 + x5) = - f(x)
f(x) = x3 + x5
FUNÇÃO PAR: f(x) = f(-x)
Exemplo:
f(x) = x² é par pois 2² = (-2)² = 4
FUNÇÃO ÍMPAR: f(a) = - f(-a)
Exemplo:
f(x) = x³ é ímpar pois 2³ = - (-2)³
Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eixo y.
Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem.
y
x
f(x) = x²
y
x
f(x) = x³
4) a) Verifique se f(x) = 2x³ + 5x é par ou ímpar:
Primeiro vejamos que f(1) = 2.1³ + 5.1 = 7
Em seguida, vejamos f(-1) = 2.(-1)³ + 5.(-1) = -7
Logo f(x) = 2x³ + 5x é ÍMPAR, pois f(x) = - f(-x)
ou seja, f(1) = - f(-1), pois 7 = - (-7)
b) Mostre que f(x) = 3x² é par:
Primeiro vejamos que f(1) = 3(1)² = 3
Em seguida, vejamos f(-1) = 3(-1)² = 3
Logo f(x) = x² é PAR, pois f(x) = f(-x)
ou seja, f(1) = f(-1), pois 3 = 3
5) Sendo o gráfico ao lado de f(x), o gráfico de f(– x) será:
Resposta: E
f(x) = f(-x)
Lembre-se:Se
Então a função “f” é par e ela é simétrica ao eixo “y”.
Sejam f e g duas funções quaisquer. Denomina-se função composta de g com f a função h definida por h(x) = g(f(x)).
Esquema para a composição de funções
x y
D Rf(x)
f -1(x)
FUNÇÃO INVERSAA idéia agora é entender que y = f(x) e seguir o seguinte procedimento:1) Isola “x”;2) Troca “x” por “y” e vice versa.
O símbolo para a função inversa de f é f -1 e lê-se “função inversa de f”.
FUNÇÃO INVERSA
O símbolo “–1” em f-1 não é um expoente; f-1(x) não significa 1/f(x).
x
y ou f(x)y = x2 ou f(x) = x2
2-2
4
0
TESTE DA RETA HORIZONTAL
Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal.
EXEMPLO: a função f(x) = x2 tem inversa?
reta horizontal
FUNÇÃO INVERSA
Conclusão: a função f(x) = x2 não tem inversa.
Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x).
Simetria das funções inversas
1.
3.
7.
. 3
. 7
. 15
f
1.
3.
7.
. 3
. 7
. 15
f -1 A B
A B