Entendendo o CEP

Entendendo o C. E. P.

Entendendo o C. E. P.Controle Estatístico do Processo

Autor: Prof. Celso Jacubavicius

Ilustrações: Prof. José Jorge

Diagramação: Gabriel Duarte

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Índice

Prefácio ........................................................................................ 11

I - Conceito de CEP ........................................................................ 13

II – O pensamento Estatístico .......................................................... 18

Capítulo II - Para praticar. .............................................................. 22

III - Escolha da amostra ................................................................. 24

Capítulo III – Para praticar .............................................................. 29

IV – Histograma ............................................................................ 31

Capítulo IV - Para praticar – Histograma ........................................... 39

V – Medidas separatrizes ................................................................ 43

Capítulo V - Para exercitar Medidas separatrizes ................................ 48

VI – CEP por atributos .................................................................... 52

Capítulo VI.I - Controle simples de defeitos (carta c) .......................... 54

Capítulo VI.I – Para praticar - Controle simples de defeitos (carta c) .... 60

Capítulo V.II - Controle simples de defeitos (carta u) .......................... 62

Capítulo VI.II - Para praticar - Controle simples de defeitos (carta u) ... 70

Capítulo VI.III - CEP por atributos - CARTA p .................................... 75

Capítulo VI.III – Para praticar - CEP por atributos - CARTA p ............... 83

Capítulo VI.IV - CEP por atributos – carta p ......................................... 87

Capítulo VI.IV – Para Praticar - CEP por atributos carta p .................... 95

Capítulo VI.V - CEP por atributos – carta np ......................................... 99

Capítulo VI.V - Para Praticar - CEP por atributos carta np .................. 107

VII – CEP por Variáveis ................................................................. 110

Capítulo VII – Para Praticar – CEP por Variáveis ............................... 122

VIII – CEP por variáveis (sigma) .................................................... 127

Capítulo VIII – Para Praticar - CEP carta x e carta R ......................... 133

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IX – Curva de Gauss .................................................................... 137

Capítulo IX – Para Praticar - Curva de Gauss ................................... 144

X – Curva de Gauss (Segunda parte). ............................................. 146

Capítulo X – Para Praticar - Curva de Gauss (Segunda parte). ........... 152

XI – Capacidade do processo ......................................................... 154

Capítulo XI – Para Praticar – Capacidade do processo ....................... 160

Capítulo XI – Para praticar - Determinação do Cpk ............................ 167

Capítulo XII - Determinação do tamanho da amostra. ....................... 170

Capítulo XII – Para praticar ........................................................... 177

Resposta dos exercícios propostos neste livro .................................. 187

Bibliografia .................................................................................. 203

Veja o que preparei para você que quer aplicar CEP na empresa...

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Prefácio

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I - Conceito de CEP

Neste capítulo inicial você verá:

• O inicio da estatística. • O inicio do controle estatístico de processos

produtivos. • Conceitos básicos de estatística.

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O entendimento e a aplicação do CEP estão muito ligados a conceitos matemáticos e a engenharia da produção, mas sua origem se encontra muito antes da revolução industrial...

Se caso se interessa por saber a origem do controle estatístico como vemos hoje ai vai, caso contrário pule esta introdução, mas se ficar vai aprender um pouco e quem sabe até goste de sentir aprendendo por si só um conceito novo.

Origem da estatística moderna

Primeiro o Censo demográfico...

A primeira palavra criada neste caminho foi “Census", que quer dizer "conjunto dos dados estatísticos dos habitantes de uma cidade, província, estado, nação etc." a ideia era então saber qual o potencial da região para contribuir com impostos ou para guerrear.

Segundo o IBGE o primeiro censo foi realizado na China em 2238 a.C., por ordem do imperador Yao que mandou realizar um censo da população e das lavouras cultivadas, seja naquela época ou nos dias de hoje, a ideia é medir para planejar.

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Depois venho a estatística...

Ainda com a necessidade de uma nação de saber as necessidades do estado e de criar planos de desenvolvimento e metas futuras nasceu a palavra Estatística, que significa resumidamente determinar o estado das coisas.

No século XVII os matemáticos Pascal e Fermat criaram um estudo sobre os jogos de azar, mas quem escreveu sobre o tema em 1794, e ficou com todos os louros da criação foi, Carl Friedrich Gauss. Guarde bem o nome deste matemático, Gauss vai ser importante em todo este livro.

Daí o que era Censo, e que cresceu para Estatística, cresceu mais ainda e começou a tratar da probabilidade de ocorrência de um evento.

Pronto, chegou o que estávamos esperando, a criação do conceito do controle estatístico do processo.

Origem do CEP

Espero que você saiba quem foram os Gurus da Qualidade, se não existe um grande material sobre o assunto, digo isso, pois um dos gurus da qualidade foi Walter Shewhart que foi o criador do atual conceito de CEP.

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Indico o site www.qualidadebrasil.com.br se você quiser saber mais sobre eles.

Então, um dos gurus da qualidade, Shewhart foi muito importante para a história tanto da estatística quando para a história da evolução da qualidade, pois ele nos trouxe muitos novos conceitos para ambos os campos.

Um bom resumo de sua vida pode ser encontrado em muitos sites nacionais.

Primeiro então, este CEP como todos falam na indústria significa Controle Estatístico de Processos, note que não tem nada há ver com o CEP dos correios (controle de endereçamento postal) e será uma sigla extensamente usada neste livro.

CEP não é só uma planilha de dados que gera alguns gráficos quer serão analisados posteriormente, CEP não é um tipo diferente de gráfico, faz parte de uma filosofia de melhoria continua dos processos, seja esta melhoria de qualidade ou relacionada à produtividade.

Mas só vai servir quando os processos forem repetitivos, só para aqueles que trabalham com pedidos

O que é CEP?

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e lotes de matéria primas repetidos, assim podemos compará-los e estudar as possibilidades de melhoria.

Então CEP só será aplicado aos processos contínuos por Bateladas.

O CEP é baseado em conceitos de estatística, daí muita gente achar difícil ou até chato o controle estatístico do processo, por que muita gente sente dificuldades para aprender matemática, mas espero que ao final deste livro você possa ver como é útil e possível de ser aplicado no seu dia a dia.

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II – O pensamento Estatístico

Neste capítulo você verá:

• O que é a variação. • As falhas e os tipos mais comuns. • Exercícios.

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A palavra Estatística foi cunhada por um alemão chamado Gottfried Achenwall por volta do século XVIII e apareceu pela primeira vez na enciclopédia britânica em 1797.

Nesta mesma época John Graunt criou a tábua de mortalidade, através de muitos números e de muito estudo, conclui-se que nascia mais meninos que meninas, acho difícil você lembrar o nome dele, mas foi muito importante para a época e um marco no estudo da contagem de Jonh Graunt, mas foi um feito muito impor ante e ainda mais, atualmente estas tábuas são a base de muitos estudos de populações, como por exemplo o cálculo para a sua aposentadoria ou cálculo dos seguros de todos os tipos.

CONCEITO DE VARIAÇÃO

Uma das funções mais importantes da gerência de qualidade ou de produção é a de encontrar as variações de processo e minimiza-las, para tanto devemos entender quais os tipos de variação existentes.

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Este livro não tem o objetivo de explicar o que é estatística e sim apresentar de forma prática o uso do CEP, mas não adiantaria de nada seu uso se não forem entendidos alguns conceitos extremamente básicos sobre os defeitos.

Conceito de falhas

As falhas podem ser inicialmente dividias em falhas de processo e falhas do produto, para se aprofundar neste assunto leia sobre FEMEA, claro que existe muita literatura sobre o assunto.

Depois de entendida a falha como de projeto ou de produto, vamos classificá-la segundo sua frequência, parece até intuitivo que existam falhas muito comuns, falhas que acontecem com alguma frequência e falhas que raramente acontecem, então concluímos que primeiro devemos atacar as falhas comuns, depois as que as vezes atrapalham o processo, e quem sabe um dia se dedicar as falhas raras, também chamadas de especiais.

Vamos entender melhor então cada uma delas.

Falhas comuns (será o trabalho do dia a dia do CEP!)

Pense um pouco no processo do seu trabalho e diga que falhas são comuns, como erros de lançamento de dados, erros humanos, ou se for comum, problemas decorrentes da troca de matéria prima, ou durante a entrada de um novo produto. As falhas comuns são relativamente pequenas, mas acontecem com bastante frequência.

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Falhas estruturais

Depois existem as falhas estruturais, são aquelas que só acontecem às vezes, mas estão sempre por ai, elas são mais difíceis de serem diagnosticadas, pois a empresa precisa de um bom banco de dados de suas falhas para poder perceber que realmente acontecem bastante, as vezes são consideradas especiais, como as que serão explicadas em seguida.

Falhas Especiais

Estas acontecem muito raramente, às vezes, uma única vez, mas como uma grande onda inesperada, abala os pilares da empresa, para a implantação do CEP o sistema deve estar livre de falhas especiais, deverá apresentar uma normalidade entre a produção do período, então espero que fique claro até aqui, que o CEP não é a primeira ferramenta do controle de processo de uma empresa.

É difícil exemplificar que tipos de defeitos são comuns, estruturais, ou especiais, pois cada empresa tem sua realidade, veja que, por exemplo, uma empresa pode com muita frequência errar a quantidade de pedido a produzir, enquanto em outra isso seja muito raro, em outra empresa a produção sofre com as variações de sua matéria prima, enquanto em outra o problema mais comum seja as diferenças que ocorrem quando um produto é produzido de uma máquina para outra, por isso, peço que você descreva os problemas de sua empresa.

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Capítulo II - Para praticar.

1. Veja se consegue identificar apenas um tipo de problema que em sua opinião seja causado pelo projeto inicial e que por isso pode ser corrigido através de mudanças nas especificações ou nas diretrizes do projeto inicial.

2. Agora indique um problema que você identifica como sendo causado durante a produção, causado por falhas durante a produção.

3. Espero que você tenha chegado até aqui sem dificuldades, agora escreva aqui um defeito ou mais defeitos que ocorram de modo muito comum no seu dia a dia de trabalho.

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4. Agora então identifique problemas que você considere que ocorram uma ou duas vezes ao mês, quem sabe até mais raros, mas que sempre estão de volta.

5. Finalmente chegamos aquele defeito que ocorreu uma única vez, por isso chamado de especial.

O objetivo deste teste foi para você perceber que para cada doença existe um remédio diferente, vejamos, nós iremos agora para o próximo capítulo, mas só podemos falar de CEP e de sua implantação se o processo se ver livre destas últimas falhas, as especiais...

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III - Escolha da amostra

Este capítulo tratará de:

• Definição de amostra. • Definição de universo amostral. • Tipos de amostras.

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Você pode achar que está sendo enrolado com mais um capítulo teórico sem ainda saber nada sobre CEP, mas você verá aqui um pequeno resumo de algumas informações sobre a nomenclatura básica, necessária para que se possa tratar dados no seu ambiente de trabalho, espero que concorde.

As empresas contam com milhões de dados que são gerados diariamente, mas qual deles é uma informação é as vezes uma tarefa difícil, para isso, vamos começar definindo qual é o objetivo do seu trabalho estatístico.

Eu quero controlar a produção da empresa!

Pronto, você acaba de excluir dados sobre recursos humanos, faturamento, vendas, compras, acidentes, transporte, manutenção, etc. E também acaba de determinar seu universo amostral também chamada de população. Este universo amostral conterá todos os dados que você quer pesquisar.

Mas imagino que em uma produção existam muitos tipos de produtos, portanto, analisar este universo seria considerar informações de mais, então vamos fracionar todas estas informações.

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Eu quero controlar a produção da peça M00939!

Agora seu universo amostral ou população não é mais toda a produção da empresa, e sim, somente das peças que você escolheu, no caso M00939. Mais um último exemplo, a peça tipo M00939 é produzida a mais de três anos imagino que os acontecimentos mais relevantes sejam somente os mais recentes, sem falar do enorme banco de dados que teria que se considerar, então:

Eu quero controlar a produção da peça M000939 e criar relatórios diários!

Sabendo-se que a peça em questão é produzida a uma taxa de 1.800 peças/hora, dá pra imaginar de quantas peças estamos falando, fica claro que os custos e o tempo para analisar todas estas peças seriam inviáveis para o processo, portanto, vamos tomar uma parcela menor de peças, que possam representar a situação real da produção.

A parcela do universo amostral é chamada de amostra, deve ser determinada e fixada como sendo a mesma para todo o processo, e tem a função de representar de forma confiável a situação do todo, do universo que contem estas amostras.

O número de amostras retiradas do universo se chama amostragem, então, de modo muito comum nas empresas, o funcionário retira, por exemplo, a cada hora de produção (1.800 peças) uma amostragem de 20 peças, ou 50 peças, ou 100 peças.

Espero que você concorde que se retirarmos a cada hora de produção apenas uma peça corremos o risco de nos enganarmos, pode ser que esta peça seja boa, mas todo o resto seja ruim, ou que ela seja ruim e todo o resto sejam peças boas, então quanto mais

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peças pegarmos, mais confiável será nosso controle, para tanto, iremos no próximo capitulo determinar o tamanho de nossas amostras.

Agora vamos escolher o que medir das amostras, pode-se medir o peso, dimensões, rugosidade, resistência, cor, volume, viscosidade, etc. Esta determinada característica será chamada de variável.

As variáveis podem ser classificadas como qualitativas e como quantitativas.

Vamos então determinar suas diferenças.

As variáveis qualitativas são usadas para determinar categorias, e assim distinguir tipos diferentes de amostras, então a variável modelo da peça M000939 é qualitativa, pois outro modelo é outro tipo de peça, então continuando, se a peça for fabricada na máquina 01 ou 09, também é um tipo de variável qualitativa, assim como, a produção da terça-feira, as peças do turno da manhã, o lote, são todos exemplos de variáveis qualitativas. Note que as variáveis qualitativas podem ser representadas por letras ou números, mas não é possível fazer qualquer tipo de operação matemática com elas.

Agora fica faltando descrever as variáveis quantitativas, como seu nome nos diz, é uma variável que nos trás a quantidade de uma contagem ou medição, então vamos fechar o assunto.

Universo: Produção das peças M000939 de hoje.

Amostra: peça M000939

Amostragem: retirar 30 peças por hora.

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Variável qualitativa: peça M000939 das máquinas 01 e 09.

Variável quantitativa: diâmetro interno do furo em milímetros.

Agora é com você, leia o estudo de caso abaixo e confira se entendeu:

Uma empresa de filtros produz filtros tanto para motos como para carros, existem 29 tipos de filtros para motos e outros 78 para carros, os modelos de filtros de motos são chamados de FM e os filtros para carros chamados de FC, então os tipos de filtros vão de FM001 até FM029, e de FC001 até FC078.

A produção é dividida em duas máquinas e em três turnos de produção e ainda, digamos que a produção seja padrão de 1.500 filtros por hora, para qualquer modelo.

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Capítulo III – Para praticar

Apresente um exemplo de: 1. Universo amostral

2. Amostra

3. Amostragem

4. Variável qualitativa

5. Variável quantitativa.

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Agora vou dificultar, veja se consegue:

Um lote de peças produzidas, é considerado como universo, como uma amostra, amostragem, ou dependendo da situação pode ser qual quer um deles? Não vale só responder, justifique!

Então vamos para o próximo!

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IV – Histograma Neste capítulo serão abordados os seguintes temas:

• O que é um histograma. • Como construir um histograma. • Exercícios.

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Agora só falta este capítulo para você entrar no tema do livro CEP, mas toda esta enrolarão tem um sentido teórico. É possível se fazer um controle estatístico de quase tudo que se possa contar ou mensurar.

Pode-se, por exemplo, se pode controlar o tempo que cada pessoa de sua casa demora em tomar banho, ou a frequência com que se muda de canal de televisão, o tempo de cada um no acesso a internet, mas você notar, estas tarefas estão fora do seu controle.

Somente as tarefas que apresentem uma curva normal podem ser passivas do CEP.

Existem várias maneiras de se determinar a normalidade de um evento, o modo que escolhi para você, acredito ser o mais claro, objetivo e mais simples. O Histograma

Aqui entre nós, gráfico é sempre mais fácil de ser compreendido quando comparado a um texto, uma tabela, um relatório sempre fica mais claro quando apresenta representações gráficas.

Mas as vezes podemos abusar da simplicidade de se fazer gráficos em planilhas eletrônicas e criar gráficos de difícil entendimento.

Um bom gráfico deve ser simples, é bater o olho entender, se tiver que ler, calcular, pensar no objetivo do gráfico, então não está bom.

Depois, com tantos dados espalhados por tantos bancos de dados, as vezes deixamos de averiguar a veracidade dos dados, um grande problema é que quem lança os dados no banco de dados, não faz uso dele, e isso pode criar a falta de comprometimento com a verdade dos dados.

Finalmente, pense em quem vai ler seu gráfico, seja ele qual for, se ele se repetirá com frequência então é importante que manter sempre os mesmos padrões

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exibidos no primeiro gráfico, caso contrário você pode induzir a erros de interpretação.

Isso claro, vamos iniciar o nosso histograma.

Aviso: O histograma faz parte das ferramentas básicas da qualidade que podem ser aplicadas em situações menos complexas (quando se faz necessário o uso das ferramentas gerenciais).

Para montar um histograma basta seguir os seguintes passos:

1º. Passo. Obter os dados para montar nosso gráfico, não que você não possa fazer com qualquer quantidade de amostra, mas uma boa amostragem fica entre o mínimo de 50 e no máximo 100 dados.

IMPORTANTE: a frequência de tomadas dos dados, a quantidade de amostras, o momento da amostragem, devem ser mantidos sempre que se for elaborar o histograma, garantindo assim ao máximo a reciprocidade da informação. No caso abaixo, foram feitas a tomada de dados.

48,9 49,3 49,5 49,7 49,3 49,8 49,1 49,6

49,6 48,9 49,3 49,6 49,5 48,8 49,7 49,2

49,3 49,1 49,2 49,0 49,7 49,4 49,1 49,9

49,3 48,9 50,1 49,6 49,1 49,3 49,6 49,4

49,8 49,4 49,4 49,4 49,6 48,8 49,1 49,5

49,5 49,1 50,0 49,8 49,3 49,5 49,8 49,6

Tabela 01 – histograma I

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2º. Passo: definir as dimensões do gráfico através de cinco procedimentos.

1. Com base na tabela, visualmente determine o maior e o menor valores; Maior valor: Menor valor:

2. Calcule a amplitude dos dados, que é a distância entre dois valores, no nosso caso a amplitude total será a diferença entre o maior e menor valo, apresentados na tabela de dados e será representada pela letra R do inglês Range (R=máximo - mínimo);

R = - =

3. Nosso gráfico terá várias colunas, o número de colunas vai depender do número total de dados, quanto mais dados, mais colunas.

Cada coluna será chamada de Classe. Para determine o número de classes faça o cálculo da raiz quadrada do número total de dados n.

Com muita frequência o resultado apresentará decimal, como estamos falando do número de colunas então neste caso o valor deve ser arredondado. No. Classe = =

50,

48,8

50,1

48,8

1,3

6,98

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Então número de classes será = ou seja, 7 colunas !

4. Agora calcule a amplitude das classes; ou seja, o intervalo que cada classe terá da amplitude total. Intervalo de classe = Amplitude (R)

= No. Classe

5. Construa a tabela; Inicie com o valor mínimo (48,8), em seguida some o o intervalo de classe aproximadamente (0,19).

Tabela 02 – tabela auxiliar histograma I

TABELA DE SEQUÊNCIA

Classes Limites das classes Frequência

1 48,80 T

48,99

2 48,99 T

3 T

4 T

5 T

6 T

7 T

total

Depois copie este valor na classe seguinte, depois faça isso até a última classe, no exemplo, até a classe 7.

0,18

1,3

7

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Tabela 03 – tabela auxiliar histograma I



1 48,80 T

48,99

2 48,99 T

49,17

3 49,17 T

49,36

4 49,36 T

49,54

5 49,54 T

49,73

6 49,73 T

49,91

7 49,91 T

50,10

total

Agora conte, um a um, valores estão no intervalo de classe 1.

IMPORTANTE:

Note que o final de uma classe é o início de outra, aquele símbolo que parece a letra “T” deitada significa que do lado “I” pertence e do “___” não pertence, quer dizer, a classe 1 começa em 48,8 e vai até 48,98. A Classe 2 começa em 49,99 e vai até 49,16, assim por diante.

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Tabela 04 – tabela auxiliar completa histograma I



1 48,80 T

48,99 5

2 48,99 T

49,17 7

3 49,17 T

49,36 9

4 49,36 T

49,54 5

5 49,54 T

49,73 12

6 49,73 T

49,91 7

7 49,91 T

50,10 3 total 48

3º. Passo: Construir o histograma

Chegamos! Vamos traçar o gráfico. Marque na horizontal as classes determinadas. No nosso caso, de 1 até 7.

Na vertical marque a frequência com que os dados foram distribuídos em cada classe, veja que a maior frequência é 12.

Construa o histograma, sendo a altura de cada coluna o valor da frequência da coluna

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Tabela 04 - Histograma I

4º. Passo: analisar o histograma através da distribuição das classes.

Agora analisa comigo, olhe no histograma a

classe 1, classe 2, classe 3, opa! Olha que estava indo tudo bem, de repente

entre a classe 3 e a 5 ocorreu um problema, esta descontinuidade é grave, por isso vamos dizer que a distribuição não é normal, não segue uma curva normal.

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Capítulo IV - Para praticar – Histograma

49,5 49,4 49,5 49,7 49,3 49,8 49,1 49,6

49,6 48,9 49,3 49,6 49,5 48,8 49,7 49,2

49,3 49,1 49,2 49,4 49,7 49,4 49,1 49,8

49,3 48,9 50,1 49,6 49,1 49,3 49,6 49,4

49,4 49,4 49,4 49,4 49,6 48,8 49,1 49,5

49,5 49,4 50,0 49,8 49,3 49,5 49,8 49,6

Tabela 05 – histograma II

Novamente, alguém foi até uma máquina, ou um lote, fez 48 medições, anotou todas em uma tabela e vai verificar que a distribuição destes dados é normal.

Agora um novo exemplo, só para você.

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1. Determine o máximo e o menor valor; Maior valor: Menor valor:

2. Calcule a amplitude dos dados (R=máximo - mínimo);

R = - =

3. Determine o número de classes; sendo n o número total de amostras.

No. Classe = √ n = √ =

4. Calcule a amplitude das classes;

Amplitude (R) No. Classe

= =

Construa a tabela;



1 T

2 T

3 T

4 T

5 T

6 T

7 T

total Tabela 06 – tabela auxiliar histograma II

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5. Agora você está quase lá. Marque na horizontal as classes determinadas.

No nosso caso, de _____ até ______. Na vertical marque a frequência com que os

dados foram distribuídos em cada classe, veja que a maior frequência é ________.

Construa o histograma, sendo a altura de cada coluna o valor da frequência da coluna.

Título_________________

Depois copie este valor na classe seguinte, depois faça isso até a última classe, no exemplo, até a classe 7.

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Agora responda, o gráfico indica uma distribuição normal dos dados?

Sempre lembrando que quando o processo não apresenta distribuição normal, está passivo de falhas especiais e de turbulências que impedem a implantação do CEP.... vá resolver estes problemas antes de implantar o CEP!

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V – Medidas separatrizes

Neste capítulo serão abordados os temas: • Diferença entre estatística descritiva e

inferencial. • Definição e cálculo de média simples, desvio

padrão. • Cálculo do coeficiente de variação. • Conscientizar da necessidade de medidas além

da média. • Exercícios.

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O Capítulo a seguir vai tratar de medidas separatrizes e se o assunto após este capítulo ainda vai estar longe de ser esgotado...

Espero que seja possível a você notar como ao analisar-se um fato, devemos obrigatoriamente avaliar somente o fato!

E seus indicadores e não nos deixar levar pela nossa experiência no assunto, ou por um resultado pré-julgado.

Quando estudamos qualidade o termo usado para o caso é análise factual dos dados, mas como o nosso assunto é estatística, vamos tratar os números que separaram partes como separatrizes.

Quando se realiza um censo como do IBGE, por exemplo, mapeia-se uma população e extrai dados que descrevem esta população, está é parte da estatística chamada de estatística descritiva.

Mas o objetivo do controle estatístico na produção de uma empresa é com apena um lote de amostras dizer como está a produção e qual será sua tendência, isto é fazer uma inferência, e é por isso que é chamada de estatística inferencial.

Estamos, falando de média, moda, mediana, desvio padrão, etc. destes você conhece bem a média, é com ela que o aluno é aprovado em uma disciplina, mas se este é o que você conhece bem, e se leu até aqui, quero que concorde que este é um grave erro da

Sei que você quer aplicar o tal CEP, mas veja mais esta teoria...

45

avaliação da educação, pois a média de 4 e 10 é 7, mas você acha correto somar o “4,0 de história Nacional” com o “10 de invasão bárbara na Etiópia” e dizer que o aluno está aprovado com uma boa nota 7!

Até aqui vimos que não podemos fazer isso na produção, devemos definir o nosso universo amostral.

Mas se no seu trabalho você já teve que atingir metas de produção veja esta agora...

Calcule a média de produção das máquinas abaixo nos quatro horas de produção indicados, lembrando Média é a somatória de todos os dados, divididos pelo total de dados. Meta de produção 20 peças/hora Máquina

Produção por hora 1 2 3 4

Média

1 20 20 20 20 20

2 15 25 18 22 20

3 0 40 10 30 20

Tabela 07 – Cap. V – meta de produção

A produção foi um sucesso, a média das três

máquinas atingiu o objetivo, todas com a média de 20 peças/hora. Mas é claro que você percebeu que a máquina 1 apresentou menor variação do que a segunda, e a terceira então!

Para este caso gostaria de apresentar o desvio

padrão, ele vai representar dentro de uma sequência de valores o grau de variação, olhando para nossa tabela, após calcularmos o desvio padrão devemos chegar a conclusão que a primeira máquina não varia nada! Que a segunda varia, e que a terceira varia muito mais...

xx

n= ∑

46

Vamos calcular com o auxilio de uma tabela.

n valores x - x (x - x)2

1 20 20 – 20 = 0 02

2 20 20 – 20 = 0 02

3 20 20 – 20 = 0 02

4 20 20 – 20 = 0 02

∑ 80 - 0

Tabela 08 – Cap. V meta de produção solução I Média = 80/4 = 20 Isto significa dizer que a variação dos valores com relação à média é nula. Agora vamos para a máquina 2


1 15 15 – 20 = 5 (-5)2 = 25

2 25 25 – 20 = 0 (5)2 = 25

3 18 18 – 20 = 0 (-2)2 = 4

4 22 22 – 20 = 0 (2)2 = 4

∑ 80 - 58

Tabela 09 – Cap. V – meta de produção solução II Média = 80/4 = 20

S = 0, então desvio padrão 0

0

3

0

4 - 1

S = 4,4, então desvio padrão 4,4

58

4 - 1

58

3

47

Isto significa dizer que a variação dos valores com relação a média vale 4,4 peças. Veja que o desvio padrão segue a mesma grandeza que os valores com os quais foi calculado. Finalmente vamos ver o valor do desvio padrão para a máquina 3, deve ser maior que 0 da primeira máquina, e maior que 4,4 da segunda.

Tabela 10 – Cap. V meta de produção solução III Média = 80/4 = 20

Como esperado, então desvio padrão de 18,3 peças/hora na máquina 3 identifica que a produção desta máquina é muito menos confiável que das outras duas.

O que se pode concluir deste exemplo é que a média de um valor por si só, não representa toda a verdade dos fatos, quando combinamos o desvio padrão podemos falar com muito mais profundidade dos fatos.


1 0 0 – 20 = - 20 (-20)2 = 400

2 40 40 – 20 = 20 (20)2 = 400

3 10 10 – 20 = -10 (-10)2 = 100

4 30 30 – 20 = 10 (10)2 = 100

∑

- 1.000

S = 18,3 peças por hora.

1.000

4 - 1

1.000

3

48

Capítulo V - Para exercitar Medidas separatrizes

Agora é com você, vamos supor que forma medidos quatro lotes de peças de aço, representados nos quadros 1 até 4. Nele são apresentadas as medições da espessura de 10 peças para cada lote.

A primeira parte é calcular os desvios padrões de cada lote.

1 n xi xi - x (xi - x)2

1 10

2 11

3 11

4 10

5 10

6 10

7 11

8 10

9 10

10 11

Média

-

Sigma

49

2 n xi xi - x (xi - x)2

1 8

2 15

3 11

4 10

5 9

6 11

7 11

8 10

9 8

10 11

Média

-

Sigma

3 n xi xi - x (xi - x)2

1 10

2 12

3 12

4 10

5 9

6 11

7 11

8 10

9 8

10 11

Média

-

Sigma

50

Agora é aquela parte difícil, de avaliação dos resultados...

5. Como você interpreta os valores das médias e os resultados do desvio padrão juntos?

6. Qual dos quatro dias foi o melhor? Claro, tem

que justificar!

4 n xi xi - x (xi - x)2

1 9

2 14

3 9

4 9

5 12

6 14

7 10

8 9

9 8

10 10

Média

-

Sigma

Tabela 11 – Cap. V – conjunto de tabelas para calcular

Sigma

51

Cálculo do coeficiente de variação.

Então até agora vimos a média e o desvio padrão, mas gostaria de mostrar uma regra de três que mostra a porcentagem do desviou padrão em relação a média, para isso, vou voltar no exercício das 20 peças por hora.

Na máquina 2 a média encontrada foi 20 peças/hora e Sigma 4,4. Depois a máquina 3 onde a média foi 20 peças/hora e Sigma 18,6.

Então vamos calcular o percentual de variação.

Conseguimos o percentual de variação, chamaremos isto de coeficiente de variação é uma medida relativa de variabilidade.

Veja se realmente acha importante o cálculo de CV, volte para o exercício das peças de aço e determine o CV da cada um dos quatro lotes, e note como é bem mais fácil avaliar os resultados, siga o exemplo.

Lote Sigma Média CV 1 0,52 10,4 5% 2 3 4

Tabela 12– Cap. V – meta de produção calcular CV

Ficou bem mais fácil!

52

VI – CEP por atributos Este capítulo apresenta finalmente a construção

de cartas de controle. Serão apresentadas as quatro cartas de controle estatístico por atributo.

• Carta c • Carta u • Carta p • Carta np

53

Vamos pensar em nossa primeira situação para o controle estatístico de um processo, quando vezes o controle de qualidade não é realizado através de uma unidade de medida, como peso, espessura, temperatura, etc.

Em algumas situações os produtos são avaliados segundo o número de defeitos da peça avaliada. Às vezes qualificados como perfeitos ou defeituosos, ou seja, o produto é avaliado como se serve ou não para seu uso, é o que a qualidade chama de conforme e não conforme.

Em ouras ocasiões, existe a necessidade de controlar o número total de defeitos em um lote de peças.

Nestes casos, aplica-se o CEP por atributos como será visto.

Este capítulo será dividido em 4 partes.

As cartas u e c serão muito parecidas, como parecidas as suas funcionalidades. Ambas servem quando o controle for para saber quantos defeitos por peça, ou por lote:

54

A Carta c quanto você só tem o número de defeitos totais.

A Carta u quanto você tem os defeitos e o número de peças avaliadas também.

As cartas p e pn são necessárias quando se quer controlar os itens não conformes no lote:

A Carta p quando você tem um número controlado de peças e de defeitos no lote, e quer saber quantos defeitos ocorrem por lote, sem que necessariamente seja um defeito por peça.

A Carta pn quando você tem um número controlado de peças e de defeitos no lote, e quer saber quantos defeitos ocorrem por lote, sendo que cada defeito é atribuído a uma peça.

Capítulo VI.I - Controle simples de defeitos (carta c)

Nesta primeira situação, quero comparar o

desempenho de 15 máquinas que produzem nas mesmas condições de trabalho, o inspetor anota os defeitos de todas as máquinas em no seu turno de trabalho.

55

Máquina Amostras defeituosas (c) 1 12 2 8 3 6 4 9 5 10 6 12 7 11 8 16 9 10

10 6 11 15 12 9 13 16 14 10 15 5

1º. Passo: Calcular a média de defeitos c

Some todos os valores de defeito e divida pelo número n de amostras.

2º. Passo: Calcular os limites da carta c

A nossa carta de controle terá um limite superior e inferior de controle, em todo este livro você verá:

LSC sendo Limite Superior de Controle

LIC sendo Limite Inferior de Controle

56

Neste momento vamos determinar estes limites através destas fórmulas:

LSCc = c + 3.

LICc = c - 3.

LSCc = 10,33 + 3. = 10,33+3.3,21 =10,66+9,64=

LICc = 10,33 - 3. = 10,33-3.3,21 =10,66-9,64=

LSCc = 19,977 defeitos

LICc = 0,069 defeitos

3º. Passo - Fazer a carta c

Agora estamos prontos para o gráfico, este gráfico terá 15 pontos, porque se escolheu a tomada de 15 valores.

Que fique claro que o número de pontos será o número n de itens avaliados.

Sem os limites, seria um simples gráfico de

57

linhas:

Até agora se nota que os defeitos variaram de uma máquina para outra. Vamos para o próximo passo.

4º. Passo Finalizar a carta c

Agora eu posso concluir comparando os valores a média, quais máquinas apresentam mais ou menos defeitos, dentro das que apresentam mais defeitos, qual a pior, dentro das que apresentam menos defeitos, qual a melhor.

Em seguida apresento uma possibilidade para a apresentação da sua carta de atributos C, muito comumente usadas em programas de CEP.

58

E nossa carta ficaria então assim:

59

5º. Análise da carta c

Lembrando que os valores apresentados na carta representam defeitos, o gráfico c ideal seria uma linha reta junto a linha zero. Mas como isso não acontece (se acontecesse nem precisaria deste controle), todos os resultados apresentado são potencialmente ruins.

O trabalho da análise se concentra em encontrar maneira de repetir os melhores valores e de inibir as causas (capítulo 3) do piores resultados.

O melhores pontos da carta são 3 e 10.

Você pode verificar que dos 15 pontos do gráfico, metade deles estão acima da média de defeitos, sendo que os pontos 8, 11 e 13 foram os piores resultados.

60

Capítulo VI.I – Para praticar - Controle simples de defeitos (carta c) Matemática não se aprende só na teoria! Faça um para ver se entendeu:

Uma empresa produz rótulos para uma série de grandes empresas do ramo alimentício e de bebidas entre outros, um controle feito por amostras, escolhe aleatoriamente algumas caixas de rótulos que serão enviados no próximo dia, abre as caixas e mede os rótulos segundo os dados de aceitação fornecidos pelo cliente. Foram feita as contagens de 15 caixas apresentadas abaixo.

Máquina Defeitos (C) 1 8 2 8 3 6 4 9 5 10 6 12 7 12 8 14 9 12

10 6 11 14 12 10 13 16 14 10 15 12 C

61

1. Inicie calculando a média

2. Depois calcule os limites superiores e inferiores

3. Faça o gráfico com o número de amostras 4. Adicione os limites calculados

62

5. Como você acha que foram os resultados

deste teste?

Capítulo V.II - Controle simples de defeitos (carta u)

Espero que você tenha entendido o objetivo da Carta c, pois se sim, a carta u será muito semelhante, quase igual, a diferença é que usamos a carta u quando o número de amostras aqui chamado de n, pode variar.

Por conta desta variação vou acrescentar mais uma variável na fórmula.

Só para nos aproximarmos de uma situação real, vamos supor um controle de inspeção em uma empresa de próteses dentárias. Cada caixa contem dezenas de próteses a serem enviadas para todas as partes do país.

O inspetor fez uma série de análises no primeiro dia, ele verificou 17 caixas e encontrou 22 defeitos, no segundo dia avaliou 15 caixas e encontrou 25 erros, dos mais variados, mas que se caracterizavam como falha.

Por fim preferiu montar uma tabela para auxiliá-lo e fez o mesmo, por escolha própria, prosseguir no trabalho por 15 dais seguidos, chegando a seguinte tabela.

63

dia lotes de inspeção (n) defeitos (c) 1 17 22 2 15 25 3 16 17 4 15 18 5 16 37 6 13 29 7 15 21 8 18 17 9 15 20

10 14 25 11 15 8 12 15 24 13 19 29 14 15 18 15 13 22

Média

Note como parece com a carta anterior, apenas aumentou a coluna com o número de amostras!

1º. Passo: Calcular a média de defeitos n

Some todos os valores de amostras (aqui no nosso caso são caixas, mas podem ser lotes, ou qualquer outra divisão realizada durante a produção) e divida pelo número de vezes que foram feitas as analises.

64

2º. Passo: Calcular o índice de defeitos u.

Será determinado pela divisão entre os defeitos (c) e o número de lotes inspecionados (n).

Isso quer dizer que ocorrem 1,29 defeitos por caixa.

dia Lotes de inspeção (n) defeitos (c) Índice u

1 17 22 1,29

2 15 25 1,67

3 16 17

4 15 18

5 16 37

6 13 29

7 15 21

8 18 17

9 15 20

10 14 25

11 15 8

12 15 24

13 19 29

14 15 18

15 13 22

média 15

65

Concluído todas as divisões:

dia Lotes de inspeção (n) Defeitos (u) Índice u

1 17 22 1,29

2 15 25 1,67

3 16 17 1,06

4 15 18 1,20

5 16 37 2,31

6 13 29 2,23

7 15 21 1,40

8 18 17 0,94

9 15 20 1,33

10 14 25 1,79

11 15 8 0,53

12 15 24 1,60

13 19 29 1,53

14 15 18 1,20

15 13 22 1,69 n 15

Para terminar esta tabela e seguir, é necessário calcular a média dos índices de u, através da soma de todos os índices e dividido pelo número n de testes.

= 1,45

66

3º. Passo: Calcular os limites da carta u

A nossa carta de controle terá um limite superior e inferior de controle, lembrando:

LSC sendo Limite Superior de Controle

LIC sendo Limite Inferior de Controle

Neste momento vamos determinar estes limites através destas fórmulas:

LSCu = u + 3.

LSCu = 1,45 + 3. = 2,37

LICu = u - 3.

LICu = 1,45 - 3. = 0,53

Foi um pouquinho mais trabalhoso determinar os limites mesmo!

3º. Passo - Fazer a carta u

Com a média e os limites estamos prontos para o gráfico, este gráfico terá 15 pontos, pois foram feitas 15 amostras.

Com os 15 índices defeito u temos o gráfico de linha:

67

Em seguida adicionar os limites de controle e a média

68

E chegamos ao fim da carta u, vou agora sugerir um formulário para uso:

E o formulário devidamente preenchido:

69

Agora um aviso que vale para todas as cartas por atributo:

As vezes o limite inferior pode ser negativo, neste caso, o valor a ser utilizado deve ser zero.

Você ainda lembra qual o objetivo desta carta?

Ela mostra a relação entre o número de amostra de defeitos encontrados nas amostras, sendo as amostras composta de uma quantidade pré-definida.

A Carta u ideal seria aquela que não apresentasse defeitos, pena isso não ser tão comum, então neste tipo de carta quero mostrar dois pontos para você que indico na carta.

O ponto A é o mais alto, quer dizer que teve o maior número de defeitos, no caso deste ponto ruim, foram 37 defeitos! Este sem dúvida deve ser estudado.

O ponto B foi o mais baixo, quase passou o limite de controle inferior, mas isso foi muito bom, pois ao contrário do ponto ruim, este ponto apresentou 8 defeitos!

Temos que descobrir como fazer mais ponto B e como erradicar as causas provenientes dos defeitos do ponto A

70

Capítulo VI.II - Para praticar - Controle simples de defeitos (carta u)

Exercício proposto para consolidar seus conhecimentos.

Como você já devia imaginar, agora gostaria de propor um exercício para sua total compreensão:

Vamos agora supor que uma empresa que produz materiais feitos de plástico injetado quer submeter-se ao controle estatístico e que neste controle seja feito um teste de funcionalidade, assim, a peça pode apresentar um ou mais defeitos que comprometem sua qualidade.

Só como exemplo, vamos supor que o inspetor pode em um dia de trabalho fazer entre 20 até 25 testes em lotes de produção.

Veja que não se sabe se ocorreu em uma só peça, ou se ficou distribuído entre a amostragem.

Apresento a seguir a tabela criada através destes dados:

71

dia Amostras (n) defeitos

1 25 15

2 25 14

3 21 14

4 21 15

5 25 12

6 25 12

7 25 8

8 23 11

9 23 9

10 22 10

11 25 8

12 25 13

13 21 17

14 25 18

15 25 20

Proponho seguir os passos abaixo:

1º. Passo: Calcular a média de defeitos n

72

2º. Passo: Calcular o índice de defeitos u e sua média

dia Amostras (n) defeitos U

1 25 15

2 25 14

3 21 14

4 21 15

5 25 12

6 25 12

7 25 8

8 23 11

9 23 9

10 22 10

11 25 8

12 25 13

13 21 17

14 25 18

15 25 20

Média n Média u 3º. Passo: Calcular os limites de controle

LSC

LIC

73

4º. Passo: Montar a ficha de CEP 5º. Passo: Montar o gráfico

6º. Passo: Avaliar a carta u comente sobre suas

impressões sobre este controle, quais pontos foram ruins, quais foram bons, sua visão geral sobre os 15 pontos apresentados pela carta u.

74

Está é na verdade a segunda parte deste capítulo, pois a primeira tratava de controles baseados em peças com um ou mais defeitos.

Nesta nova situação é ou sim ou não!

Quando a peça apresenta um defeito caracteriza uma peça não conforme e não está aprovada.

75

Capítulo VI.III - CEP por atributos - CARTA p

Você vai usar a carta p quando o controle for do tipo sim ou não, serve ou não serve.

Em uma determinada indústria de filtros automotivos, diariamente são obtidas amostras de produtos acabados que são classificados quanto à presença ou não irregularidades, elas são classificadas em vários tipos, como deformações, coloração, gramatura, dimensão, etc.

A intenção do controle é comparar o percentual de falhas produzidas nestes lotes examinados, comparando os lotes entre si.

Nesta carta vamos determinar p que será a fração defeituosa como você verá.

dia Amostras (n) defeitos p 1 200 22

2 200 25 3 200 17 4 200 18 5 200 37 6 200 29 7 200 21 8 200 17 9 200 20 10 200 25 11 200 8 12 200 24 13 200 29 14 200 18 15 200 22

76

No primeiro dia foram contados 22 defeitos, no segundo 25 defeitos, assim por diante.

Vamos à formação da carta p de CEP por atributos.

1º. Passo: Calcular o índice de defeitos por dia

Faça a divisão entre os defeitos e o lote

Primeiro do lote de amostra nº. 1

p= = 0,110

Este valor indica de 11% do lote apresentou defeito.

Assim vamos para o lote n º. 2

p= = 0,125

Foram testadas

diariamente 200

peças, durante

15 dias.

Em seguida foram

contados os defeitos

presentes em cada lote

de 200 peças.

77

Este valor indica de 12,5% do lote apresentou defeito, ou seja, um índice maior que o primeiro lote de amostras.

Calculando todos os lotes nossa amostra vai ficar assim:

dia Amostras (n) defeitos p

1 200 22 0,110

2 200 25 0,125

3 200 17 0,085

4 200 18 0,090

5 200 37 0,185

6 200 29 0,145

7 200 21 0,105

8 200 17 0,085

9 200 20 0,100

10 200 25 0,125

11 200 8 0,040

12 200 24 0,120

13 200 29 0,145

14 200 18 0,090

15 200 22 0,110

2º. Passo: Calcular a média de defeitos p, chamado de p

p = =

78

3º. Passo: Determinar os limites da carta p

Os limites serão calculados de modo similar as outras cartas, veja como calcular os limites superiores e inferiores.

p = e

p =

Sendo a média p=0,111 e n=200, vamos ter:

p = = =

p =

p = = =

p =

Pronto, agora podemos ir para a carta p.

4º. Passo: Carta p

Monte um gráfico de linhas com base nos índices p do passo 1º. Passo.

79

Ainda é só um gráfico de linhas...

Calma... Agora com os limites LSC e LIC e média p:

Nossa.. Quanta paciência! Ainda você

fala só!

80

5º. Passo: Formulário da Carta p

Como anteriormente quero mostrar um formulário que pode ser usado em sua empresa:

81

E nossa carta p (finalmente) está aqui:

6º. Passo: Avaliação da Carta p

Sei que você está achando que acabou, é verdade, mas agora falta a leitura da carta p. Vamos avaliar os resultados encontrados nesta análise.

Talvez seja natural pensar que um bom controle de processo seja quando todos os valores se aproximam da média, mas nesta carta este pensamento não funciona, pois o ótimo é um índice perto de zero, ruim é todo valor maior que zero, quanto maior o índice, mais indesejado é seu resultado.

Veja o ponto A, indica que no 5º. dia de medições, como todos os dias foram medidas 200 peças, mas o número de defeitos foi superior (37) o

82

que resultou no maior e pior índice p (0,19) ou seja 19% de defeitos, claro que o valor é muito superior ao normalmente encontrado e só aparece aqui como forma didática, mas fique claro que este foi o pior ponto!

Já o ponto B está fora do limite inferior, mas neste caso isso não é notícia ruim, é o melhor índice do controle com 8 defeitos em 200 peças avaliadas.

Dentre tantos dados que nos fornece a carta p, também se pode verificar a variabilidade do processo, no caso olhe o gráfico, está regular ou irregular? Está tanto para cima como para baixo não é?

Devida a esta irregularidade, não se pode encontrar uma tendência do processo, de melhoria ou não.

Agora é continuar controlando e atuar nos problemas que causam, por exemplo, o ponto A.

Tomei o cuidado de apresentar os mesmo valores de defeitos tanto na carta u como na carta p, veja como a carta em si ficou similar.

83

Capítulo VI.III – Para praticar - CEP por atributos - CARTA p

Gostaria agora de apresentar uma nova situação para sua prática.

Uma empresa que fabrica ventiladores optou por fazer o controle de 350 ventiladores por dia, os ventiladores foram escolhidos regularmente durante o dia e esta forma de tomada de amostras segue por todos os dias do controle.

Como para a empresa o produto que apresenta um ou mais defeitos é igualmente não conforme, a carta ideal é a carta p.

Sugiro seguir os passos como no exercício desenvolvido anteriormente.

84

Dia Amostras (n) Defeitos p

1 350 15 2 350 14 3 350 14 4 350 15 5 350 12 6 350 12 7 350 8 8 350 11 9 350 9 10 350 10 11 350 8 12 350 13 13 350 17 14 350 18 15 350 20

média

85

1. Complete a tabela com o índice p para todos os dias avaliados.

2. Calcule a média dos índices.

3. Determine os limites superiores (LSC) e inferiores (LIC) de controle.

p = e

p =

86

4. Finalmente aplique os valores na carta p

5. Finalmente documente aqui suas conclusões sobre a carta p

87

Capítulo VI.IV - CEP por atributos – carta p

Nesta nova situação, apresento um novo problema muito frequente do dia a dia de um controle estatístico, quando a empresa recebe diferentes tamanhos de lote para análise, ótima seria se isso não acontecesse, sendo todos os lotes de amostra idênticos facilitaria muito o trabalho estatístico.

Mas não vamos nos preocupar, pois é o método que deve ser criado para uma situação de análise, e não, mudarmos o processo para adequação ao sistema de controle.

Então esta carta pode ser usada para lotes inconstantes, como os que vimos nos controles de entra e saída de material, ou produções irregulares.

Se caso você chegou até este capítulo através do capítulo anterior, vou adiantar, a única diferença será que temos que fazer a médias das amostras que realizados os testes (n), de resto será tudo igual.


2 212 21 3 195 17 4 197 18 5 200 17 6 205 29 7 202 26 8 199 20 9 197 20 10 189 21 11 200 8 12 200 9 13 205 14 14 202 14 15 200 22

88

Tabela 13 – Cap. VI – carta p

A tabela representa a coleta de 15 amostragens, note que as amostragens foram retiradas neste caso de aproximadamente 200 amostras cada, pois, como já dito, neste caso não é obrigatório que sejam todas do mesmo tamanho já que a carta vai levar em conta o percentual p de defeitos.

1º. Passo – Calcular o índice de peças defeituosas

ou seja, 5,7% das 210 amostras

apresentam defeitos

ou seja, 9,9% das 210 amostras

apresentam defeitos

Até o completar a tabela...

dia Amostras (n) defeitos p 1 210 12 0,057 2 212 21 0,099 3 195 17 0,087 4 197 18 0,091 5 200 17 0,085 6 205 29 0,141 7 202 26 0,129 8 199 20 0,101 9 197 20 0,102

10 189 21 0,111 11 200 8 0,040 12 200 9 0,045 13 205 14 0,068 14 202 14 0,069 15 200 22 0,110

Tabela 14 – Cap. VI – carta p soluçã0

89

A tabela representa a coleta de 15 amostragens, note que as amostragens foram retiradas neste caso de aproximadamente 200 amostras cada, pois, como já dito, neste caso não é obrigatório que sejam todas do mesmo tamanho já que a carta vai levar em conta o percentual p de defeitos.

2º. Passo – Calcular a média de p (p)

3º. Passo – Calcular a média de n (n)

4º. Passo Calcular os limites de controle

Anote ai:

LSC é o limite superior de controle e

LIC o limite inferior de controle.

Para determinação utilize as duas fórmulas abaixo.

p = e

p =

Por favor, compare com a fórmula do item 6.3, o item trata de amostras com o mesmo tamanho, neste nosso item os lotes são irregulares e temos que calcular

90

a média das amostras (3º. Passo) que é a única diferença nos cálculos.

Calculando o limite superior de controle:

p = =

p =

p = =

p = =

p =

Calculando o limite inferior de controle:

p = =

p =

p = =

p = = =

p =

5º. Passo - Fazer nossa carta p de CEP

Para isso faça um gráfico de linhas usando os valores de p que você calculou.

91

Tabela 15 – Cap. VI – Gráfico carta p

Até agora é só um gráfico de linha, vamos transforma-lo em uma Carta p, para isso indique no gráfico os valores da média de LSCp e LICp.

LSC p

X

LIC p

92

Aqui segue uma sugestão de formulário.

E a carta p com o uso deste formulário sugerido:

93

6º. Passo – Avaliação da Carta p

Alguns livros explicam como você deve interpretar os dados apresentados na carta, seja ela qual for eu não o farei isso, quem sabe o que é adequado ou não para a empresa é você.

Quero apenas apontar para três pontos do gráfico:

Ponto A – pontos próximos da média

A primeira vista, obter resultados próximos a média parece bom, mas como a média, no caso da carta por atributos aqui apresentada, significa defeitos contabilizados, então os pontos próximos da média indicam regularidade do processo, que produziu o mesmo índice de defeitos por lote.

Ponto B – pontos próximos do limite superior de controle

Assim como mencionado acima, o ponto B caracteriza o pior ponto da carta, pois em 205 peças, foram contados 29 defeitos, gerando um índice de 0,14, o maior de todos.

O estudo para diagnosticar o motivo deste resultado ruim é um ótimo caminho para a melhoria dos índices.

Ponto C - pontos próximos do limite inferior de controle

O ponto mostra um baixo número de defeitos no lote, é com o estudo das razões para este ótimo resultado, 8 defeitos em 200 peças verificadas, que podemos melhorar o processo.

94

Para utilizar estas informações você deve dominar algumas ou todas as ferramentas de solução de problemas, vamos discutir isso depois!

CUIDADO !

Cada dia de coleta deve representar adequadamente a qualidade dos produtos de um dia de trabalho.

O gráfico final representará a variação entre os dias de produção, dando uma ideia de como o desempenho do processo de altera ao longo do tempo.

95

Capítulo VI.IV – Para Praticar - CEP por atributos carta p

Agora vou apresentar um exercício para você checar se entendeu mesmo.

Na tabela a seguir são apresentados os dados colhidos durantes 15 dias. Neles foram feitas 15 apontamentos de produção, seguidos do total de defeito ocorridos em cada leitura.

1º. Passo – Calcular o índice de peças defeituosas


2 150 14 3 149 14 4 150 15 5 153 12 6 150 12 7 148 8 8 151 11 9 144 9 10 150 10 11 152 8 12 151 13 13 153 17 14 150 18 15 150 20

Total

96

Tabela 16 – Cap. VI – carta p exercício

Complete a tabela acima calculando os índices p de defeitos

2º. Passo – Calcular a média de p (p)

3º. Passo – Calcular a média de n (n)

4º. Passo Calcular os limites de controle

Anote ai:

LSC é o limite superior de controle e LIC o limite inferior de controle.


p = e

p =

97

Agora construa o gráfico da Carta p

98

Agora faça a sua análise da carta p

a. O gráfico indica que o processo está sobre controle? Quais suas impressões sobre o resultado obtido na carta p?

b. Pode-se indicar uma tendência para este processo?

99

Capítulo VI.V - CEP por atributos – carta np

Finalmente termina com este tópico o capítulo de cartas de controle por atributo. Neste item irei apresentar a carta np, que para quem chegou aqui através do capítulo anterior pouca coisa muda.

A carta np serve para controlar lotes com número fixos de peças e quando cada peça apresenta um único defeito.

Ou seja, não importa se a peça tem mais de um defeito, este controle indicará o número de peças defeituosas.

Então vamos ao exemplo:

Em uma empresa, são feitos testes de controle dimensional por amostragem, a empresa decide então controlar a relação entre peças no lote e peças defeituosas.

Neste controle a empresa avalia 20 lotes, todos com 45 peças cada.

Com base neste controle chegou-se a tabela abaixo:

100

Lotes (k) Amostras (n) Defeitos (p)

1 45 5

2 45 8

3 45 12

4 45 9

5 45 7

6 45 6

7 45 6

8 45 5

9 45 6

10 45 9

11 45 7

12 45 6

13 45 6

14 45 7

15 45 10

16 45 9

17 45 8

18 45 8

19 45 9

20 45 8

Observando a tabela, sem nenhum cálculo ainda, posso notar que o número de defeitos é regular, que o menor número de defeitos foi no primeiro lote de amostras e que o pior resultado foi no terceiro lote.

Espero te convencer que todo este trabalho é válido pelo ganho visual, ao montar uma carta de controle todos podem rapidamente visualizar o andamento do processo a ser controlado.

101

Para elaboração da carta np vou seguir os mesmos passos da carta p.

1º. Passo. Calcular a média de defeitos no controle (np)

Para calcular a média simples de defeitos, some todos os defeitos do controle e divida pelo total de lotes avaliados.

lotes (k) Amostras (n) defeitos (p)

1 45 5

2 45 8

3 45 12

4 45 9

5 45 7

6 45 6

7 45 6

8 45 5

9 45 6

10 45 9

11 45 7

12 45 6

13 45 6

14 45 7

15 45 10

16 45 9

17 45 8

18 45 8

19 45 9

20 45 8 Soma = 151 defeitos

102

np = =

Obténs-se: np = 7,6

2º. Passo. Calcular os limites de controle

Os limites de controle para a carta será calculado com base no número de defeitos médios e será simétrico, ou seja, os valores de controle para cima e para baixo da média serão iguais.

LSC é o limite superior de controle e LIC o limite inferior de controle. Para determinação utilize as duas fórmulas abaixo.

np = e,

np =

Aplicando a formula tem-se:

np = = =

np =

np =

Agora para o limite inferior, aplicando a formula tem-se:

np = = =

np =

103

np =

3º. Passo. Construção da carta np

Partimos da montagem de um gráfico de linhas com base nos defeitos p apresentados na tabela de tomada de dados.

E inserindo os limites de controle e a média de defeitos np.

104

Sugiro aqui o uso deste formulário ou que seja, um padrão de visualização para todas as cartas np.

E finalmente a aplicação do gráfico na carta np

105

Agora um aviso que vale para todas as cartas por atributo:

As vezes o limite inferior pode ser negativo, neste caso, o valor a ser utilizado deve ser zero.

4º. Passo. Análise da carta np

E como sempre, finalizo este tópico com a avaliação dos resultados apresentados na carta np.

Espero que você ainda se lembre de para que e quando usamos a carta np, a carta np avalia quantos elementos da amostra apresentam defeitos em lotes com o número de elementos fixos.

Nesta análise, como aconteceu em todas as cartas por atributos, os pontos baixos são bons, e claro, os pontos acima da média são sinais de preocupação por parte do analista.

106

Ainda, pode-se avaliar a regularidade do processo, avaliando quão reta ou não, é a linha apresentada pelos resultados da carta.

Terminando o capítulo de CEP por atributos, e acreditando que você chegou até aqui através de um árduo caminho carta a carta, vamos aprofundar o assunto análise.

Bom ou ruim depende de fatores que são intrínsecos a cada processo, quando vejo o terceiro ponto da carta acima, o mesmo apresentou 12 peças defeituosas em um total de 45! Isso seria terrível para a maioria das realidades de produção, mas a melhoria da qualidade vem de custos e investimentos que as vezes o valor agregado ao produto não viabiliza.

A noção do resultado deve vir acompanhada do conhecimento da proposta da empresa para o produto avaliado e os estudos de melhoria engajados as expectativas do cliente.

107

Capítulo VI.V - Para Praticar - CEP por atributos carta np

Agora é com você avaliar este processo.

São produzidos 1.000 ventiladores por dia em uma empresa do ramo, optou-se por avaliar a relação entre sua produção e o número de ventiladores com defeito. Por conveniência estipulou-se que seriam testados 12 lotes de 120 ventiladores cada.

E o resultado é apresentado nesta tabela.

lotes (k) Amostras (n) Defeitos (p)

1 120 8

2 120 8

3 120 9

4 120 7

5 120 7

6 120 7

7 120 9

8 120 9

9 120 12

10 120 10

11 120 10

12 120 13

108

1º. Passo. Determine a média de defeitos (p).

2º. Passo. Determine os limites de controle.

LSC é o limite superior de controle e LIC o limite inferior de controle.


np = e,

np =

109

3º. Passo. Construa a carta np.

4º. Passo. Avalie os resultados apresentados na carta np.

110

VII – CEP por Variáveis Ao final deste capítulo você poderá:

• Construir carta de controles das médias. • Construir carta de controles das variáveis. • Avaliar estas cartas. • Exercicios.

111

Este será com certeza o capítulo com mais

conteúdo do livro, não que seja o mais difícil, mas o CEP como será visto agora, apresenta na sua execução

a carta das Médias (X), a carta amplitudes (R) em conjunto com o histograma, já visto.

Inicialmente deve ser considerada a coleta de dados assim como visto no capítulo de controle estatístico por atributos, em seguida se faz necessária o formatação de uma folha de coleta de dados, não existe um padrão conforme, a folha de coleta para as cartas de controle devem focar a necessidade de cada empresa.

O CEP é por variáveis quando os valores nele indicados apresentam uma escala de unidades, em nosso exemplo milímetros.

Então, o operador que selecionou alguns dados para a execução do Histograma volta a atacar, agora ele preparou os mesmos dados e vai realizar o CEP por variáveis.

Leituras realizadas

1 2 3 4 5 6 7 8

n am

ostr

as

1 49,5 49,4 49,5 49,7 49,3 49,8 49,1 49,6 2 49,6 48,9 49,3 49,6 49,5 48,8 49,7 49,2 3 49,3 49,1 49,2 49,4 49,7 49,4 49,1 49,8 4 49,3 48,9 50,1 49,6 49,1 49,3 49,6 49,4 5 49,4 49,4 49,4 49,4 49,6 48,8 49,1 49,5 6 49,5 49,4 50,0 49,8 49,3 49,5 49,8 49,6

Tabela 17 – CEP variáveis

112

Lembre-se que ele já garantiu que esta produção segue um curva norma, então, visto os pontos indicados, que precedem a implantação da carta das médias e das amplitudes, seguem os passas para sua elaboração:

1º. Cálculo da média e amplitude de cada coluna.

2º. Calcular a amplitude.

A amplitude é chamada de R (range). Também para cada coluna de dados.

R = Xmáx – Xmín = 49,6 - 49,3 = 0,3

1

n am

ostr

as

1 49,5 2 49,6 3 49,3 4 49,3 5 49,4 6 49,5

Média 49,4 Amplitude 0,3

113

Faço o mesmo em todas as oito leituras, lembrando que oito leituras com seis amostras cada uma, foi até aqui um valor ao acaso.

Leituras realizadas (mm)

1 2 3 4 5 6 7 8

n am

ostr

agen

s

1 49,5 49,4 49,5 49,7 49,3 49,8 49,1 49,6

2 49,6 48,9 49,3 49,6 49,5 48,8 49,7 49,2

3 49,3 49,1 49,2 49,4 49,7 49,4 49,1 49,8

4 49,3 48,9 50,1 49,6 49,1 49,3 49,6 49,4

5 49,4 49,4 49,4 49,4 49,6 48,8 49,1 49,5

6 49,5 49,4 50,0 49,8 49,3 49,5 49,8 49,6

Média 49,4 49,2 49,6 49,6 49,4 49,3 49,4 49,5

Amplitude 0,3 0,5 0,9 0,4 0,6 1,0 0,7 0,6 Tabela 18 – CEP variáveis completo

3º. Passo - Em seguida, calcular a média das médias

(X)e as médias das amplitudes (R) totais de cada linha.

Média das médias (X) = 49,4 mm

Agora falta a Média das Amplitudes (R)

114

4º. Passo - Determine os limites da carta das médias.

Vou apresentar aqui o primeiro de dois modos de se calcular este valor, o primeiro modo será quando não se tem o desvio padrão, e será realizado com o uso de uma tabela, que servirá tanto para a Carta das médias com para a carta das amplitudes.

Tabela de fatores para a carta CEP

Nº de amostragens

Fatores da carta X Fatores da carta R

(n) A2 (Inferior) D3 (Superior) D4

2 1,880 0 3,268

3 1,023 0 2,574

4 0,729 0 2,282

5 0,577 0 2,114

6 0,483 0 2,004

7 0,419 0,076 1,924

8 0,373 0,136 1,864

9 0,337 0,184 1,816

10 0,308 0,223 1,777 Tabela 19 – CEP variáveis

Com base nesta tabela auxiliar vamos calcular

os limites de controle X . Tomamos o valore já

calculado da Média das médias (X) = 49,4 mm e

média das amplitudes R = 0,6 mm

115

X A2*R X A2*R

Veja que na fórmula, só está faltando o valo de

A2, volte na tabela, como o número de amostragens foi 6. Então vamos olhar horizontalmente a tabela, somente na linha 6 da tabela.


Nº de amostragens

Fatores da carta X Fatores da carta R

(n) A2 (Inferior) D3 (Superior) D4

6 0,483 0 2,004 Tabela 20 – CEP variáveis resumo

Então vamos calcular

X A2*R = 49,4 + 0,483 * 0,6 = 49,7

X A2*R = 49,4 - 0,483 * 0,6 = 49,1 5º. Determine os limites da carta das Amplitudes

4 *R = 2,004 *0,6 =1,253

*R = 0 * 0,6 = 0 6º. Construa as cartas das médias e das amplitudes. Tabela 21 – Cap. VII – Resumo dos valores limites

Média total X

49,4 LSC 49,7 LIC 47,1

Amplitude R

0,6 LSC 1,253 LIC 0

116

7º. Passo - Fazer a carta das médias.

Neste passo vamos fazer a primeira carta, a carta das médias. Inicialmente, lance os oito valores de média calculados no 2º. Passo.

Tabela 22 - Gráfico CEP variáveis Depois vamos colocar neste gráficos os valores dos limites, como os apresentados na tabela 21.

Tabela 23 - Gráfico CEP variáveis pronto.

117

8º. Passo - Construção da carta das amplitudes. Começando por lançar os valores determinados na tabela 18.

Tabela 24 - Gráfico CEP AMPLITUDE.

Depois, assim como foi feito na carta das médias, lançar os limites determinados.

Tabela 25 - Gráfico CEP AMPLITUDE pronto.

118

8º. Construa o histograma. Este exercício foi realizado no capítulo 04- e ficou assim.

Tabela 26 - Gráfico CEP AMPLITUDE pronto. 9º. Passo - Faça a análise dos dados.

Terminado a produção agora só falta tudo! É isso mesmo, um gráfico pode ser produzido através de uma planilha ou um programa adequando, mas para a sua sorte, a interpretação ainda é parte humana do processo.

Vamos então para a Carta das médias, vamos neste primeiro passo, simplesmente ver se os valores estão dentro dos limites de controle. Mais que isso, o gráfico ideal seria uma linha reta exatamente sobre a reta das médias. Note que se apresentou irregular, longe de uma reta, e no ponto 2 quase passou do ponto inferior, mas se manteve dentro dos limites.

Depois vamos discutir sobre a carta das amplitudes, o gráfico ideal das amplitudes seria um gráfico sem amplitude! Ou seja, um gráfico com uma linha reta horizontal junto ao zero.

119

Vendo a carta das amplitudes que apresentamos, o melhor ponto foi o 1 e o piores pontos foram o 3 depois o 6.

Olhando agora o histograma, ele foi o melhor dos resultados, a curva apresentada foi um excelente exemplo de curso de sino.

Então terminado o histograma devemos interpretar e garantir que o processo apresenta uma distribuição normal, para simplificar, deve formar uma figura que lembre algo com a letra v de cabeça para baixo, ou como você verá adiante, a forma de um sino.

Se, no entanto, o resultado lembrar a letra M ou a letra W, ou ainda, não apresentar subida, pico, descida, mesmo que não totalmente simétrico, então pare tudo!

120

Gostaria de apresentar um formulário para ser usado na carta das médias e amplitudes.

121

122

Capítulo VII – Para Praticar – CEP por Variáveis

Agora proponho que você faça as duas cartas de CEP e faça a análise dos resultados.

Veja que eu inverti a tabela, assim você pode notar mais esta possibilidade. Assim, troquei os subgrupos que estavam na vertical para a horizontal, e o inverso com o número de amostras.

Amostras Subgrupos de amostragem (n) Médias

1 2 3 4 5 X R

1 10,01 10,01 9,99 10,02 10,01

2 10,00 9,99 9,99 10,02 10,01

3 10,00 10,02 9,99 9,99 10,01

4 10,00 9,99 9,99 9,99 10,00

5 10,02 9,99 10,01 10,01 10,00

6 10,00 10,00 10,02 10,01 10,01

7 10,02 9,99 10,02 10,02 10,00

8 10,01 9,99 9,99 10,01 10,00

9 10,01 10,01 10,01 9,98 9,98

10 10,00 9,98 9,99 9,99 10,02

total

123

Cuidado quando for encontrar os valores de A2, d2, D3, D4, o valor de subgrupos n será 5.

Limites da carta das médias.

X A2*R = _________ + _________ x _________ = ___________

X A2*R = _________ + _________ x _________ = ___________ Limites da carta das Amplitudes

4 *R = _________ x _________ = ___________

*R = _________ x _________ = ___________

Aqui uma tabela para resumir os dados encontrados até aqui.

média total

X

LSCx

LICx

Amplitude

R

LSCR

LICR

124

Car

ta d

as m

édia

s

Car

ta d

as a

mpl

itude

s

Após a elaboração das cartas faça a avaliação. Avalie a carta das médias.

125

Avalie a carta das Amplitudes.

Como determinação do desvio padrão estimado

Para se estimar o valor do desvio padrão vamos utilizar a formula

2dRσ̂ = ,

Você deve ter notado que, a média da amplitude você tem, que o sigma apareceu com um acento circunflexo, isto sempre vai significar estimativa, e depois que aparece um desconhecido que é d2. Para resolver este caso vou apresentar a mesma tabela 19, mas desta vez com a coluna de d2.

Use sempre que não tem o sigma, e já testei, funciona mesmo.

126


Nº de amostragens

Fatores da carta X

Estimativa do σ Fatores da carta R

(n) A2 d2 Inferior

D3 Superior

D4 2 1,880 1,128 0 3,268 3 1,023 1,693 0 2,574 4 0,729 2,059 0 2,282 5 0,577 2,326 0 2,114 6 0,483 2,534 0 2,004 7 0,419 2,704 0,076 1,924 8 0,373 2,847 0,136 1,864 9 0,337 2,97 0,184 1,816 10 0,308 3,078 0,223 1,777

Tabela – fatores completos

Agora é aplicar a fórmula e calcular o Sigma.

Sendo o valor de R = 0,6 mm, olhe na tabela e veja qual o valor de d2 quando se utilizam seis amostragens como foi nosso caso, o valor de d2=2,534.

Agora é encontrar o sigma estimado.

2dRσ̂ = =

Agora faça um teste:

Compare os dois métodos, o tradicional e o por estimativa...

Veja com é legal aprender sozinho!

127

VIII – CEP por variáveis (sigma)

Este capítulo tem a seguinte proposta:

• Apresentar uma nova maneira de apresentar a carta das médias através da do cálculo de desvio padrão.

• Comparar o método do capítulo anterior e deste.

128

Neste capítulo que na verdade é uma segunda parte do capítulo anterior, vamos encontrar os limites da carta das médias, desta vez vamos calcular através do método como foi inicialmente concebido por seu idealizador Shewhart, através do cálculo do desvio padrão.

Para prosseguir neste capítulo você precisa antes ter conhecimento do que é sigma, que é apresentado neste livro nos capítulos 5 e 9.

Quando temos um processo garantido em 3 sigmas isto significa dizer que podemos com garantir 99,73% de certeza que o resultado ocorrerá como esperado.

Quando decidimos calcular os limites de controle através deste conceito, ou seja a média ± 3.σ/√n (fique tranquilo, já vou demonstrar passo a passo este conceito) os resultados do controle podem apontar pontos falso no processo.

Para se imaginar esta falta de precisão gerada ao se trabalhar com amostragens pode gerar um ponto falso a cada 370 grupos, assim, se forem analisados 20 grupos por dia, poderia ocorrer um ponto falso em 20 dias de trabalho.

129

O capítulo 7 tratou da determinação dos limites inferiores e superiores através de tabelas auxiliares calculadas a partir de cálculos estatísticos que permitem a estimativa destes valores de controle.

Este capítulo mostra o primeiro conceito, criado entre os anos de 1930 e 1940 por Walter Shewhart, sem, no entanto nos aprofundar nos conceitos teóricos que o levou a desenvolver sua base de controles estatísticos.

Vamos utilizar a mesma tabela de dados do exercício anterior, assim podemos verificar se nossa avaliação muda quando mudados o método de determinação do Desvio padrão ou Sigma.

Leituras realizadas (mm)

1 2 3 4 5 6 7 8

n am

ostr

agen

s

1 49,5 49,4 49,5 49,7 49,3 49,8 49,1 49,6

2 49,6 48,9 49,3 49,6 49,5 48,8 49,7 49,2

3 49,3 49,1 49,2 49,4 49,7 49,4 49,1 49,8

4 49,3 48,9 50,1 49,6 49,1 49,3 49,6 49,4

5 49,4 49,4 49,4 49,4 49,6 48,8 49,1 49,5

6 49,5 49,4 50,0 49,8 49,3 49,5 49,8 49,6

Média 49,4 49,2 49,6 49,6 49,4 49,3 49,4 49,5

Amplitude 0,3 0,5 0,9 0,4 0,6 1,0 0,7 0,6

A tabela apresenta o número de elementos do subgrupo, ou seja, n=6, são 6 amostras a cada controle feito.

Foram realizada 8 amostragens, ou se preferir, 8 lotes.

130

Total de 48 elementos analisados, com base nestes valores pode-se então determinar a média, os limites superiores e inferiores de controle.

Com os 48 elementos da tabela calcula-se o desvio padrão, pode ser calculado como indicado no capítulo 05 sobre medidas separatrizes, mas dado ao grande número de elementos, muito mais simples é utilizar uma calculadora ou uma planilha de dados.

Supondo que você calculou a média e o desvio padrão destes 48 elementos você deve ter encontrado os valores de:

X = 49,42

σ = 0,29

Para calculo das linhas de limite vamos utilizar:

LSC = LIC =

Antes de calcular o valor final do limite, vou calcular o valor do intervalo de 3 x :

Intervalo do controle = = 3 x = 3 x

0,0415 = 0,12

Logo os limites serão: média + 0,12 e média – 0,12, ou aproximando os resultados:

LSC = 49,42 + 0,12 = 49,55

LIC = 49,42 - 0,12 = 49,30

131

E a carta das médias ficaria assim:

Quando volto ao capítulo anterior vejo que os valores de controle mudaram muito pois após calculados este foi o resultado anteriormente calculado:

Veja os limites se apresentaram diferentes nos dois modos de cálculo, mas não pense que isto sempre acontece, como o valor da média é igual nas duas fórmulas:

Estimativa dos limites:

LSCx = e LICx =

Determinação através do desvio padrão:

LSCx = e LICx =

132

Quando se usa o método de estimativa dos limites o valor da amplitude média (R) for alto, o limite fica maior do que o limite pelo método do uso de desvio padrão.

Quando maior for o valor do número de elementos (n) no método que determina os limites através do desvio padrão, menor ficam os limites.

Olha que importante!

Quando você faz o controle de poucos elementos, os limites são altos, mas quando você trabalha com muitos valores, a tendência é que se pareçam mais uns com os outros, então os limites de controle diminuem.

133

Capítulo VIII – Para Praticar - CEP carta x e carta R

Vamos praticar então!

Um controle de variação foi preparado de modo tal que cada lote apresenta 5 peças, foram feitas 10 amostragens com um total de 50 amostras.

Construa a carta das médias através do valor do desvio padrão.

Amostras Subgrupos

1 2 3 4 5

1 31,00 31,04 29,98 31,00 29,94

2 31,00 31,05 29,98 31,00 31,00

3 31,02 31,02 31,00 29,98 29,94

4 31,04 31,04 30,98 29,97 30,88

5 30,99 31,00 30,97 30,92 30,85

6 30,97 30,97 30,95 30,95 31,00

7 31,01 31,01 30,92 30,92 30,90

8 31,09 31,09 30,92 30,92 31,00

9 31,08 31,07 30,94 30,94 29,92

10 31,08 31,08 30,92 30,92 31,00

134

1º. Passo – Cálculo das médias

Inicie com o valor das médias de leitura de cada dia (X) através da soma dos cinco valores medidos no dia, divididos pelo número de leituras (5).

X = =

Com os valores de amplitudes, a diferença entre o maior valor e o menor valor da amostra.

R = maior valor – menor valor = 31,04 – 29,94 = 1,10

A primeira amostra é indicada na tabela abaixo.

Amostras Subgrupos

1 2 3 4 5 X R

1 31,00 31,04 29,98 31,00 29,94 30,59 2 31,00 31,05 29,98 31,00 31,00

3 31,02 31,02 31,00 29,98 29,94

4 31,04 31,04 30,98 29,97 30,88

5 30,99 31,00 30,97 30,92 30,85

6 30,97 30,97 30,95 30,95 31,00

7 31,01 31,01 30,92 30,92 30,90

8 31,09 31,09 30,92 30,92 31,00

9 31,08 31,07 30,94 30,94 29,92

10 31,08 31,08 30,92 30,92 31,00

médias

135

2º. Passo: Determinação do desvio padrão

A fórmula do uso é a seguinte, mas como já dito, utilize uma calculadora ou uma planilha de dados para determinar este valor.

3º. Passo- Calcular os limites através da fórmula:

LSCx = e LICx =

LSC

LIC

136

4º. Passo- Carta das médias C

arta

das

méd

ias

5º. Passo. Avaliação dos resultados. Comente aqui suas conclusões sobre os pontos da carta.

137

IX – Curva de Gauss

Neste capítulo você será apresentado

• A curva de Gauss, também conhecida como curva normal.

• Como apresentar a curva normal de um processo.

• Como apresentar os três sigmas. • Exercícios.

138

Este capítulo trata de um assunto que foi tão falado até agora, a curva normal, só que agora afundo, assim, e só assim, vamos poder ir com tranquilidade para o próximo capítulo que trata da capacidade do processo.

Primeiro, a definição de o que é ser normal, uma pessoa normal, o significado de ser normal mudou muito no decorrer da história humana, e cada ver mais rápido, uma pessoa normal nos países mais ricos é normalmente mais obesa do que em países mais pobres.

Os jovens estão maiores hoje do que no passado, então a estatura normal hoje é diferente do que no passado.

As pessoas vivem mais atualmente, então é mais normal ter uma idade avançada hoje do que no passado.

É este o significado que quero trazer para você, em um controle estatístico qualquer, a curva normal, mostra onde estão a maioria dos dados.

Nele também podemos encontrar os dados indesejáveis, como taxa de acidentes, mortalidade, todos os tipos de falhas.

Esta curva tem o formato de um sino, por isso também ser chamada de curva do sino, uma propriedade importante deste sino, é que é simétrica assim, tudo que acontece de um lado se repete no outro.

139

A importância desta curva na estatística é enorme, pois muitos outros controles convergem para ela, e especificamente para o CEP e para a qualidade, a curva ser chave para muitas análises.

Escolhi apresentar a curva normal iniciando após você ter calculado o desvio padrão, o sigma, vamos a um exemplo.

Anotei o tempo em que fiquei ao telefone durante cinco ligações.

tempo das

ligações (x-x) (x-x)2

1 10 1,8 3,24

2 8 -0,2 0,04

3 7 -1,2 1,44

4 7 -1,2 1,44

5 9 0,8 0,64

8,2 ∑ 6,80

Então cheguei a conclusão que na média fico 8,2 min. por ligação e o sigma 1,30 min. Vejamos o que quer dizer isso.

Vamos fazer o seguinte, sendo a média de ligações 8,2 min., vamos somar um sigma, depois, dois sigmas, depois três sigmas, depois de mesmo modo subtrair.

140

Chegando a seguinte representação

Você nota que quando somo e depois subtraio um sigma da média, ao obter os valores 6,9 e 9,5 min., encontro os valores com o maior espaço na curva do sino?

Diz-se então que a maioria das minhas ligações, entre 6,9 e 9,5 min., estão divididas simetricamente, isto é, metade para a direita metade para esquerda, ou ainda um sigma para cada lado. Isto corresponde a 68,27% da área total do sino, ou seja, quando faço uma ligação, a probabilidade de demorar entre 6,9 e 9,5 min. é de 68,27%.

141

Então, 68,27% das ligações que realizei, ficaram entre 6,9 e 9,5 minutos, sento que metade delas ficou entre 8,2 e 9,5 min., aproximadamente 34,13% e a outra metade ficou entre 6,9 e 8,2 min., também 34,13% do tempo das ligações.

Vou apresentar todos os percentuais presentes na curva.

Agora consigo saber o tempo normal de uma ligação, sei que dificilmente farei ligações com menos de 4,3 min. ou com mais de 12,1 min. Posso chegar a infinitas conclusões sobre o tema.

Através da curva de Gauss, ou de sino, ou curva normal, posso agora saber como falo ao telefone, e assim propor metas de melhorias.

Ficou claro como podemos fazer uso da curva para a indústria, imagine como ela nos cerca, lembra-se da definição de normal?

142

Então quando temos os dados do peso normal das pessoas, isso influencia na indústria têxtil, automobilística, entretenimento, etc.

O mesmo acontecerá com os jovens, eles sendo normalmente maiores, os automóveis seguirão esta tendência e logo mudarão seus padrões de projeto. Sabendo-se que a idade avançada é cada vez mais comum, os aparelhos eletrônicos, por exemplo, devem se adequar, ou serem especiais, ao uso desta classe de usuários.

Na indústria, saber os dados normais de produção é vital para a tomada de decisão, qualquer que seja o campo.

Vamos fazer uma pequena pausa para checagem

Uma empresa recebe em média 20 reclamações por dia, o sigma foi de 2 ligações. Determine os pontos da curva normal para estes dados.

Resposta:

1º. Vamos somar um a um os sigmas

Média = 20

Média + 1σ = 20+2 = 22

Média + 2σ = 20+4 = 24

Média + 3σ = 20+6 = 26

2º. Depois fazer o mesmo subtraindo o sigma

Média = 20

Média - 1σ = 20-2 = 18

Média - 2σ = 20-4 = 16

Média - 3σ = 20-6 = 14

3º. Representar a curva normal

143

1. Qual a probabilidade de termos mais de 18 e

menos de 22 reclamações?

R: 68,27%

2. Qual a probabilidade de termos mais de 16 e menos de 20 reclamações?

R: veja que 16 até 20 é metade de 16 até 25, então, metade de 95,45%, ou aproximadamente 47,73%.

3. Qual a probabilidade de termos mais de 20 e menos de 26 reclamações?

R: com o mesmo raciocínio aplicado anteriormente, o intervalo entre 20 e 26 é a metade, entre 14 e 26, então 20 até 26 é metade de 99,73%. Aproximadamente 49,87%.

14 16 18 22 24 26

20

144

Capítulo IX – Para Praticar - Curva de Gauss

Agora você confere se entendeu e entendeu e então eu gostaria de mostrar um pouco mais do que é possível fazer com a curva.

Após a medição do volume de algumas garrafas de bebida identificou-se a média de 540 ml e um sigma de 3 ml. Sabendo-se que a produção apresenta uma curva normal.

1. Apresente os valores da distribuição normal:

145

2. Qual a probabilidade de uma garrafa ter mais de 534 ml e menos que 540?

3. Com 99,73% de certeza, quando abro uma garrafa desta produção, quantos ml ela deve apresentar?

Fala se essa curva normal não diz muito sobre o processo?!

146

X – Curva de Gauss (Segunda parte).

Neste capítulo será discutida a seguinte situação,

como calcular a probabilidade de se produzir produtos ou serviços como se deseja, ou então qual a probabilidade de ocorrerem falhas no processo.

Para tanto será utilizada uma tabela auxiliar, chamada de tabela Z.

147

Não sei se você notou, mas até aqui todas as nossas questões eram sobre um, dois ou três sigmas, para esquerda ou para direita da curva, mas se nossa dúvida for um valor que não é exatamente estas divisões como podemos calcular?

Para isso vamos utilizar uma relação e uma tabela auxiliar chamada de tabela da curva normal que você pode ver nos anexos.

Vamos lembrar a situação anterior, quando após a medição do volume de algumas garrafas de bebida identificou-se a média de 540 ml e um sigma de 3 ml. Sabendo-se que a produção apresenta uma curva normal.

Eu quero saber qual a probabilidade da produção apresentar garrafas com volume entre 530 e 545 ml.

Vou dividir a resposta em duas, da parte esquerda até a média, depois da parte direita até a média, ou a probabilidade de 538 até 540 ml, depois de 540 até 545 ml.

Você será agora apresentado a uma solução baseada na determinação do valor de Z, com este valor vamos utilizar a tabela e então determinar a probabilidade.

Este valor de Z também é chamado de Z score.

Parte I – 538 até 540 ml.

148

Então vamos encontrar na tabela normal o valor Z=0,66

O valor inteiro e do segundo decimal é 0,6, encontro na tabela, na coluna do lado esquerdo..., como o valor que procuro é 1,66, na parte superior da tabela encontra-se a segunda decimal deste valor (0,06)

Na tabela da curva normal, verifico valor na tabela normal:

Segunda cada decimal

Zc 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 .....

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6 0,24537

0,7

O valor índice encontrado é 0,24537, isto significa que 24,537% de probabilidade das garrafas estarem entre 540 e 545 ml.

Parte II – 540 até 545 ml.

149

Então vamos encontrar na tabela normal o valor Z=1,66

O valor inteiro e do segundo decimal é 1,6, encontro na tabela, na coluna do lado esquerdo..., como o valor que procuro é 1,66, na parte superior da tabela encontra-se a segunda decimal deste valor (0,06)

Na tabela da curva normal, verifico valor na tabela normal:

Segunda cada decimal

Zc 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 .....

0,0

0,1

0,2

0,3

......

1,5

1,6 0,45154

1,7

1,8

...

4,1

O valor índice encontrado é 0,45154, isto significa que 45,154% de probabilidade das garrafas estarem entre 540 e 545 ml.

Conclusão, a probabilidade de se encontrar garrafas entre 538 ml e 545 ml é a soma das probabilidades das duas partes da curva, então:

150

Resposta: probabilidade (ρ) 24,537% + 45,154% = 69,688%

Neste último exemplo, vamos calcular a probabilidade das garrafas conterem entre 542 ml e 544 ml. A dificuldade está em que as duas situações se encontram do mesmo lado (direito) da curva.

Todos os cálculos devem sempre partir da média, então inicialmente calcule a probabilidade da maior área do sino, no nosso caso de 540 até 544 ml.

Então vamos encontrar na tabela normal o valor Z=1,33 que será ρ=0,40824 ou seja 40,824%.

540 ml 544 ml

151

Agora calcular a menor área, que no nosso caso é o intervalo entre 540 e 542 ml.

Então vamos encontrar na tabela normal o valor Z=0,66 que será ρ=0,24537 ou seja 24,537%.

Quase acabando, gostaria então de mostrar que a área que desejamos é a diferença entre a área maior e a área menor:

540 ml 542 ml

Só nos resta :

Z = Z1 – Z2 = 40,824% - 24,537% =

= 16,287%

152

Capítulo X – Para Praticar - Curva de Gauss (Segunda parte).

Agora é praticar, primeiro um exercício básico sobre uma empresa gráfica.

A referida gráfica produz, segundo a ficha de produto, certa folha que pesa 71 g/m2. Após vários testes conclui-se que a média de gramatura da folha era realmente 71 g/m2, mas que apresentava um desvio padrão de 0,2 g/m2.

1. Determine a probabilidade das folhas produzidas estarem entre os valores de 70,9 e 71,1 g/m2.

2. Determine a probabilidade das folhas

produzidas estarem entre os valores de 70,75 e 70,90 g/m2.

153

3. Estarem acima de 71,1 g/m2.

4. Estarem entre de 71,15 e 71,25 g/m2.

5. Estarem entre de 70,85 e 71,20 g/m2.

154

XI – Capacidade do processo

Este capítulo apresenta meios de se verificar se os resultados apresentados pelo processo até o momento podem garantir que tenhamos sucesso e atingir o resultado esperado, ou seja, determinar a capacidade de processo.

Ao final deste capítulo você terá passado pelos conceitos de Cp e Cpk e teremos discutido estes valores são importante para a qualidade do processo produtivo.

O capítulo termina com exercícios.

155

Inicialmente, vamos definir o que é capacidade do processo.

Eu tenho a capacidade de correr 2.000 m em 10 minutos, determinei isto ao realizar este teste algumas vezes, notei, porém, que cedo corro melhor que após o almoço, então noto que minha capacidade é menor no período da tarde, sem falar nos dias de chuva, que dada a minha idade, prefiro não arriscar e fico em casa.

Se fizer o mesmo teste com uma pessoa de mesma idade no mesmo percurso os resultados serão diferentes, provavelmente melhores.

Assim sei que nossas capacidades são diferentes e por tanto, os níveis esperados para nós dois sejam diferentes.

Vejamos agora uma situação hipotética na linha de produção.

Supondo que uma máquina produz 60 peças/min., ao final de 24 horas, deveríamos ter 60 peças x 24 horas = 1.440 peças/dia, mas ao final do dia são contadas não o total esperado, e sim 1.300 peças.

Mais que depressa alguém calcula a eficiência do dia, dividindo o valor real pelo esperado obtendo aproximadamente 90% de eficiência, em seguida a esses apontamentos, é cobrando dos operadores maior empenho.

Também com este valor, compara-se esta produção com a produção do mesmo tipo de máquina que se encontra ao lado desta, mas que neste mesmo dia atingiu 89% de eficiência, e claro cobrando destes

156

operadores mais empenho para que se igualem aos resultados de seus vizinhos.

Mas este caminho não é correto, cada equipamento e cada operação apresentam capacidade diferentes de desempenho, e se ocorrer qualquer interferência (leia sobre a ferramenta espinha de peixe) o valor da capacidade será alterado.

Então para que eu possa determinar quais serão meus indicadores de produção e de qualidade, preciso antes, calcular a capacidade do processo.

A capacidade do processo vai depender dos valores esperados de projeto, estes valores de tolerância são comumente chamados de limites especificados, por exemplo, dada uma certa medida de 100 mm, o projeto aceita uma tolerância tal que a medida seja 100 ± 2 mm.

Indicamos então:

LSE (limite superior especificado) = 102 mm

LIE (limite inferior especificado) = 98 mm

A variação total especificada é 102 – 98 mm = 4 mm.

A variação total do processo é toda variação da curva de sino, três sigmas para cada lado, ou seja, 6σ. Vamos supor que fizemos várias medições e determinamos o sigma 0,5 mm.

O total de variação será 6 x 0,5 = 3 mm

Seguindo este raciocínio noto que a variação esperada era de 4 mm e a real foi de 3 mm e que isso é uma boa notícia.

157

Mas você deve estar a espera de uma fórmula que relacione os valores especificados e os reais, aqui está:

A capacidade de reproduzir a variação esperada (Cp) será:

Cp=1,333, ou seja, a capacidade é maior que 1,0 (100%) é 1,33 ou de 133% !

Cp é a capacidade potencial do processo.

Assim a variação da curva normal real foi melhor que a esperada, poderia ser assim:

variação esperada

variação real

O processo é dito incapaz se o valor de Cp for menor que 1,0.

158

variação esperada

variação real

Cp<1Processoincapaz

O processo é capaz se o valor de Cp for igual a 1,0 e menor que 1,33.

variação esperada

variação real

Cp=1,0ProcessoCapaz

variação esperada

variação real

Cp>1Processo

capaz

159

O processo é capaz e ótimo se o valor de Cp for maior que 1,33.

variação esperada

variação real

Cp>1,33Processo

ótimo

160

Capítulo XI – Para Praticar – Capacidade do processo

Faça uma pausa para verificação e calcule o valor de Cp para as situações propostas:

1. Uma ficha de produto determina entre outros, os seguintes dados: a. Largura da peça: 1.015±2 mm b. Espessura da peça: 8,0±0,1 mm c. Distância entre eixos: 841±2 mm d. Tempo de produção da peça: 62±3 seg.

Para estas medições foram encontradas as seguintes variações:

a. Largura da peça: σ = 1 mm b. Espessura da peça: σ = 0,1 mm c. Distância entre eixos: σ = 0,6 mm d. Tempo de produção da peça: σ = 1 seg.

a. Vou fazer o primeiro e o resto é com você: LSE= 1015+2=1017 LIE = 1015-2 =1013

Agora veja se é capaz de resolver os exercícios abaixo.

161

O processo é incapaz, ou sejam, abaixo de 100%.

b. Espessura da peça

Avaliação do processo Cp= Processo

c. Distância entre eixos


d. Tempo de produção da peça


162

Ainda continuando este capítulo

Determinação do Cpk

Muito pouco, quase nada é novidade neste livro, mas uma demonstração à seguir eu pessoalmente nunca vi.

Você calcula o Cp=1,0, então o processo é classificado como capaz.

Assim, se os valores especificados fossem 520±3 ml e Sigma=1ml

LSE= 520+3=523 ml LIE = 520-3 =517 ml

Sendo assim, com a variação de σ=1 ml, tão comemorada, e se eu disser que a média encontrada fosse encontrada foi de 415 ml. Na verdade a variação seria assim representada, através de suas duas curvas normais.

163

variação esperada

variação real

415 ml 520ml

Como o Cp determina a razão entre a variação esperada e a variação real, se faz necessário uma relação que avalie a centralização entre a média esperada e a média obtida durante a medição do processo.

Este valor será divido em duas partes, um valor irá medir a proximidade das duas caldas esquerdas e o outro das duas caldas direitas.

Temos então Cpk, a capacidade de dos valores estarem próximos inferior (Cpi) e superior (Cps) será a capacidade nominal do processo e vai determinar a centralização entre as médias esperadas e realizadas.

Cpk (Cpi, Cps)

E iremos calcular estes valores utilizando as fórmulas

Cps =

Cpi =

Vou voltar para os mesmos exemplos aplicados em Cp para enfatizar a utilização de cada um dos valores a serem calculados. No exemplo os valores especificados eram 520±3 ml e Sigma=1ml, acrescentando um dado, a média encontrada no processo foi de 519 ml.

164

Como já visto, Cp será:

LSE= 520+3=523 ml LIE = 520-3 =517 ml

Agora o Cpk

Cpk=(1,33;0,67)

Representando graficamente seria assim:

Para entender o resultado a linha pontilhada é a curva da variação esperada, a linha contínua, a variação real.

Note que na calda superior a variação real foi menor que a esperada, o que justifica o valor de Cps=1,33.

165

Na calda inferior, o valor mínimo esperado era 517 ml, mas o valor atingiu 516 ml, o que também justifica que o Cpi=0,67 ou que 67% da parte inferior da curva está dentro do esperado.

Vamos a um exemplo completo da determinação da capacidade de um processo.

Uma empresa possui entre entras máquinas, uma responsável por cortar chapas. As especificações são que determinada chapa apresente um comprimento de 390±3 mm.

Com a mudança de uma faca de corte e do fornecedor de matéria prima, desconfia-se que a capacidade do processo mudou.

Com a tomada de dados chegou-se aos seguintes dados:

X = 391 mm e σ =1 mm

Vamos calcular os valores de capacidade do processo e verificar se as mudanças impactaram negativamente no processo.

Como já visto, Cp será:

LSE= 390+3=393 mm LIE = 390-3=387 mm

O processo é capaz!

Agora o Cpk

166

Cpk=(0,67; 1,33) ou seja, Cpi incapaz e Cps ótimo, representando ficaria assim:

Gostaria que ao final deste capítulo ao ver uma curva normal, você imagine que ela foi formada por várias classes (ver histograma) de produção até, de forma normalmente distribuída, formar o gráfico abaixo.

167

Capítulo XI – Para praticar - Determinação do Cpk

Quero propor um exercício que já vale por três, na situação proposta vamos medir a capacidade de três diferentes máquinas, uma com dez anos de uso, outra com cinco anos de uso, e a terceira foi comprada este ano, a questão é saber se todas podem atender os níveis de qualidade e produção esperados.

As três máquinas foram testadas nas mesmas condições e os valores nominais são de 815±5 g/m2. Os resultados são os seguintes:

Máquina com 10 anos de uso

Média obtida X = 813 g/m2 e

σ = 2 g/m2

168

Cp= processo:

Cps= processo:

Cpi= processo:

Máquina com 5 anos de uso

X = 816 g/m2 e σ = 2 g/m2

Cp= processo:

Cps= processo:

Cpi= processo:

Máquina nova.

X = 816 g/m2 e σ = 1,5 g/m2

169

Cp= processo:

Cps= processo:

Cpi= processo:

Qual a conclusão? Todas apresentam os mesmos índices de capacidade?

170

Capítulo XII - Determinação do

tamanho da amostra.

171

Uma ação preliminar e importante para o controle estatístico do processo e colher amostras, o meio de retirada de amostra garantimos o sucesso do controle e determinamos o futuro do controle.

Vamos supor que uma máquina produz 1000 peças/hora quantas peças devem ser retiradas para se garantir uma avaliação respeitável da produção?

Apresento uma maneira para determinar este valor:

O que significa cada um destas incógnitas:

n Número de elementos que devemos tomar para teste. N Numero de elementos de produção total

Z2 Nível de confiança escolhido p % de falhas do ocorrido q % complementar

e2 Erro máximo

Não espere por uma explicação teórica para a solução do problema, aqui trataremos de práticas para determinar quantas amostras temos que retirar de cada lote e somente isso.

N é a produção total ou o tamanho do lote, por exemplo, 1000 peças/hora.

Z é o intervalo de confiança, para determinar este valor será necessário o uso da tabela Z anexo no final deste livro.

172

Veja se é muito complicado, vamos supor que o intervalo de confiança esperado seja de 95%.

Metade de 95 é 47,5, então na tabela Z procure pelo valor 0,475, o valor encontrado é de 1,96.

O valor de p é o percentual de falhas apresentadas atualmente, no lote ou na produção diária, por exemplo, 4%.

O valor de q é o percentual da diferença entre o percentual total e o valor de p, ou seja, 100% - 4% será de 96%.

E o erro máximo e admitido para o processo, seja pelo cliente ou exigido pelo processo, por exemplo, 5%.

Assim teremos finalmente os valores necessários para nossa fórmula:

É este o método que gostaria de apresentar, gostaria ainda de fazer algumas ponderações:

O valor escolhido de nível de confiança de 95% é bastante comum, ele equivale a 2 sigmas, apresentado no capítulo 9, e é por alguns chamado de controle natural. Mas qualquer outro valor escolhido vai implicar em mais ou menos amostras, o que implica em impacto no custo da qualidade.

173

Para determinar o valor do percentual de falhas do ocorrido, é necessário saber o total o total de peças com defeito, depois, o total de produção ou total do lote, depois realizar a divisão entre eles, por exemplo:

Agora se você já tem o valor de desvio padrão apresentado no capítulo 5, se a fórmula anterior é:

O desvio padrão substitui o produto de p.q e fica assim:

n Número de elementos que devemos tomar para teste. N 1000

Z2 1,96 S2 Variância populacional, e o valor calculado do desvio padrão. e2 0,05

Vamos considerar os mesmos valores do exemplo anterior, e que o valor do desvio padrão calculado foi de 0,1 mm.

174

175

Outro ponto de discussão vem agora,

Quando e como tirar as amostras para análise.

De tantas maneiras possíveis, apresento algumas, de como podemos colher amostra:

• Conveniência • Por julgamento • Por cota • Aleatória simples • Sistemática • Estratificada • Por grupo

Todas apresentam pontos fortes e pontos fracos.

A amostragem por conveniência, aquela quando são tomadas amostras do modo como se pode ser tomada, por exemplo, somente de determinada máquina, somente em certo horário, tem como ponto forte o menor custo e menor tempo, mas o principal ponto fraco é a ação tendenciosa dos resultados.

A amostragem por julgamento segue de acordo com a escolha do pesquisador, quando você considera um determinado lote mais importante, certa máquina mais velha, um produto a ser pesquisado. O ponto forte continua sendo o baixo custo e a facilidade de colher amostras, mas assim como a anterior, mas o resultado pode ser generalizado para outras pesquisas e torna o trabalho subjetivo.

Amostragem por cota, modo de colheita de amostras bastante parecido com os anteriores, pode

176

ser utilizada em condições especiais, mas ainda não garante representatividade em seus resultados.

Amostra do tipo aleatória simples é bastante utilizada por sua fácil compreensão e a possibilidade de projetar os seus resultados a outras pesquisas, mas a dificuldade de implantação é a montagem de uma estrutura amostral e a baixa precisão.

Amostragem Sistemática é realizada á partir de um regra rígida de escolha, aleatória, dos elementos, apresenta-se mais simples que a amostragem aleatória simples, mas não tem a mesma representatividade.

Amostragem Estratificada subdivide o universo em subgrupos, é extremamente precisa, mas exige cálculos complexos o que dificulta a implantação deste processo amostral e torna muitas vezes, o custo da qualidade inviável.

Amostragem por grupo, quando as amostras são separadas por unidades primárias selecionados de forma aleatória e por unidades secundárias, o ponto forte a simplicidade de implantação e o ponto fraco é sua imprecisão.

177

Capítulo XII – Para praticar

1. A empresa AKIEHBOM deseja determinar quantas amostras devem ser retiradas de sua linha de produção, para tanto, são extraídas informações sobre cada produto conforme a tabela.

n Número de amostras

N Produção/hora 1.000 1.300 1.600 1.900 2.200

Z2 Nível de confiança 1,96 1,96 1,96 1,96 1,96

p % do ocorrido 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04

q % complementar

e2 Erro máximo aceitável 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05

Encontre o número n de amostras que devem ser retiradas, utilize sua calculadora ou se preferir, uma planilha eletrônica.

Lembre-se que q vale 1-p.

Utilize para tanto, a fórmula para determinação de n:

n para 1000 peças/hora

n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

178


n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=


n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=


n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=


n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

179

Comparando os valores de retirada de amostras elas aumentaram muito de 1000 para 2200 peças/hora? Como você pode justificar esta resposta?

2. Após algum tempo de produção, a empresa AKIEHBOM decide atualizar as quantidades de amostras retiradas para análises estatísticas. Pois agora se pode determinar a média e o desvio padrão de seus produtos.

n Número de elementos

N Produção/hora 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000

Z2 Nível de confiança escolhido 1,96 1,96 1,96 1,96 1,96

S2 Desvio 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

e2 Erro máximo 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05



180


n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=


n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=


n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=


n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

181


n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

Comparando os valores de retirada de amostras elas aumentaram muito de 1000 para 5000 peças/hora? Como você pode justificar esta resposta?

182

Agora vamos voltar aos exercícios 1 e 2, e fixar a produção com um único valor, e alterar os padrões de variação, vamos ver o que acontece:

3. A empresa AKIEHBOM deseja determinar quantas

amostras devem ser retiradas de sua linha de produção, acredita-se que a produção é a mesma para todas suas máquinas mas o percentual de erro varia de uma máquina para outra, esta situação é representada na seguinte tabela:

n Número de amostras

N Produção/hora 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Z2 Nível de confiança 1,96 1,96 1,96 1,96 1,96

p % do ocorrido 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

q % complementar

e2 Erro máximo aceitável 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05

Note que ocorre uma variação de 1% de uma coluna para outra. Agora pegue sua calculadora ou monte uma planilha para completar esta tabela.

Para p=3%

n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

Para p=4%

183

n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

Para p=5%

n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

Para p=6%

n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

Para p=7%

n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

184

Você que já completou a primeira tabela, agora compare com esta que acaba de calcular. Qual variante é mais importante para o número de amostras a serem retiraras, a produção ou o percentual de falhas?

4. Para terminar este capítulo vamos discutir a variação que ocorre quando a produção se mantém constante e seu desvio padrão varia, esta situação é representada abaixo:

n Número de elementos

N Produção/hora 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000


S2 Desvio 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18

e2 Erro máximo 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05



185

S=0,10

n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

S=0,12

n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

S=0,14

n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

S=0,16

n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

186

S=0,18

n=____________________ = __________________=

n=____________________ = __________________=

n=

Agora que terminou todos estes cálculos, a variação do desvio padrão impacta fortemente no resultado do número de amostras a serem retiradas?

187

Resposta dos exercícios propostos neste livro

188

Capítulo 02 - O pensamento Estatístico

1. Aqui o leitor deve encontrar no seu dia a dia problemas causados pela ideia inicial do produto, como a utilização de uma máquina ou matéria prima que dificultam a execução do trabalho. O leitor ainda pode identificar problemas causados pelo modo como a tarefa é executada desde que se iniciou.

2. Neste tópico pense em algumas das tantas falhas que acontecem durante um dia de trabalho, falta ou a falha de matéria prima, falta de pessoal, quebra da máquina e falhas humanas.

3. Finalmente, aponte um problema que ocorre com muita frequência no trabalho, aquele que você sabe que vai acontecer.

4. Nesta questão você deverá ter ou um banco de dados atualizado ou boa memória, deve se lembrar de falhas menos frequentes daquelas que indicou na questão anterior, mas que às vezes acontecem.

5. E para terminar, esta questão pede um exemplo de problema que ocorreu uma vez e não ocorreu mais, talvez uma queda de energia ou alguém que passou mal durante o dia, uma quebra na produção que aconteceu, mas dificilmente vai se repetir.

189

Capítulo 03. Escolha da amostra.

A produç1ão é dividida em duas máquinas e em três turnos de produção e ainda, digamos que a produção seja padrão de 1.500 filtros por hora, para qualquer modelo.

Apresente um exemplo de: 1. O universo amostral é representado por todos os

elementos de sua amostragem, por exemplo, se escolher falar do primeiro turno de trabalho, o universo amostral serão todos os filtros produzidos pelo primeiro turno. Se dentro do primeiro turno de trabalho você escolher analisar as peças da máquina 1. Então o universo amostral passa a ser todas as peças produzidas por esta máquina.

2. Amostra é uma parte do universo, podem ser 20 filtros, um filtro por hora.

3. Amostragem é cada unidade da amostra, no nosso caso: filtro.

4. Variável qualitativa pode ser a aparência do filtro

quanto ao toque, cheiro, aparência, etc. pode ser representada por números, um avaliador pode classificar um item de 0 até 5.

5. Variável quantitativa é representada por uma grandeza escalar, um centímetro, dois centímetros, 10g, 20g, etc. Então escolha um item de análise como espessura ou altura e apresente as medições.

6. Pode sim ser universo e amostra, um lote pode ser

universo se a análise for sobre este lote, mas pode ser amostragem se forem analisados muitos lotes, mas não pode ser amostra, esta é a cada elemento da amostragem.

190

Capítulo 04 - Histograma

A tabela de frequências

Classe Intervalo Frequência

1 48,80 T 48,99 4

2 48,99 T 49,17 5

3 49,17 T 49,36 8

4 49,36 T 49,54 15

5 49,54 T 49,73 10

6 49,73 T 49,91 4

7 49,91 T 50,10 2

E o histograma

E a avaliação é positiva, veja como as colunas sobem até o meio do gráfico, depois começam a decrescer gradualmente, formando a forma de um sino, o que indica que os valores apresentam uma distribuição normal.

191

Capítulo 05 - Medidas separatrizes

1. n xi xi - x (xi - x)2 3. n xi xi - x (xi - x)2

1 10 -0,3 0,16

1 8 -2,3 5,76

2 11 0,7 0,36

2 15 4,7 21,16

3 11 0,7 0,36

3 11 0,7 0,36

4 10 -0,3 0,16

4 10 -0,3 0,16

5 10 -0,3 0,16

5 9 -1,3 1,96

6 10 -0,3 0,16

6 11 0,7 0,36

7 11 0,7 0,36

7 11 0,7 0,36

8 10 -0,3 0,16

8 10 -0,3 0,16

9 10 -0,3 0,16

9 8 -2,3 5,76

10 11 0,7 0,36

10 11 0,7 0,36

Média 10 Sigma 2,4

Média 10 Sigma 36,4

2. n xi xi - x (xi - x)2 4. n xi xi - x (xi - x)2

1 10 -0,3 0,16

1 9 -1,4 1,96

2 12 1,7 2,56

2 14 3,6 12,96

3 12 1,7 2,56

3 9 -1,4 1,96

4 10 -0,3 0,16

4 9 -1,4 1,96

5 9 -1,3 1,96

5 12 1,6 2,56

6 11 0,7 0,36

6 14 3,6 12,96

7 11 0,7 0,36

7 10 -0,4 0,16

8 10 -0,3 0,16

8 9 -1,4 1,96

9 8 -2,3 5,76

9 8 -2,4 5,76

10 11 0,7 0,36

10 10 -0,4 0,16



192

Parte 1

Lote Sigma Média CV 1 0,52 10,4 5% 2 3 4

Parte 2. Avaliação dos resultados.

5. Você notou que propositadamente todas as médias encontradas forma 10? A ideia e enfatizar a importância do desvio padrão correlacionado com a média. Uma média 10 com desvio padrão de 1, significa uma variação de 10%.

6. Os valores encontrados para os exercícios 1, 2, 3 e 4 foram respectivamente 0,5; 1,3; 2,0 e 2,2. Um caminho para avaliação é calcular o percentual de variação em relação a média, como você pode notar, o desvio padrão aumentou a cada exercício. No exercício 1 a variação foi de 5%, na questão 2 foi de 13%, exercício 3 20% e no último 22%. Assim o pior resultado foi o apresentado no exercício 4.

193

Capítulo 06 – CEP por atributos

Máquina defeitos (C) 1 8 2 8 3 6 4 9 5 10 6 12 7 12 8 14 9 12

10 6 11 14 12 10 13 16 14 10 15 12

C médio 10,600

E a carta CEP a seguir:

194

Capítulo 07 – CEP por Variáveis (Primeira parte).

LSC 10,02 LIC 9,98

Os resultados ficaram, com apenas uma exceção para o 4º. ponto, todos os valores tendem para 10. A carta CEP apresentou três indicações acima da média 10,00, e outras mesmos três indicações abaixo da média o pode-se concluir, apresenta até o momento uma produção estável.

Mas seguem duas observações. A avaliação da carta de CEP sempre que possível

deve conter os valores de tolerâncias solicitados para o processo, como este exercício não apresenta este valores, a avaliação será baseada nas tendências apresentadas pelo gráfico.

Um gráfico com apenas dez pontos é uma proposta didática para quem está começando seu caminho pelo assunto, mas é pouco representativa dependendo do tamanho da produção a que se refere.

Amostras Média

1 10,01

2 10,00

3 10,00

4 9,99

5 10,01

6 10,01

7 10,01

8 10,00

9 10,00

10 10,00

195

Capítulo 08 – CEP por variáveis (segunda parte).

A avaliação do processo apresenta uma condição instável, o controle iniciou com valores abaixo do limite inferior de controle, em seguida os valores aumentaram até que no final da carta dois pontos ficaram acima do limite superior de controle. Apenas os pontos 2, 4 e 9 estiveram perto da média dos valores. Importante você notar que se o controle fosse realizado pelos cálculos do capítulo anterior ficariam assim:

Notou que agora muda tudo? E agora qual dos controles aplicar? Esta pergunta fica por sua conta. A rigidez do controle estatístico fica por conta das necessidades e expectativas esperadas do controle de processo.

196

Capítulo 09 – Curva de Gauss (primeira parte).

1. Distribuição da curva

Sigma à esquerda da média

Sigma à direita da média

3 2 1 3 1 2 3

531 534 537 540 543 546 549

2. Probabilidade de ocorrerem garrafas entre 534 e 540 ml. Resposta: é a metade da probabilidade entre dois sigmas (95,45%) ou seja 44,73 %.

3. Ao se abrir uma garrafa do lote analisado, a probabilidade de abrir uma garrafa que contenha entre 549 e 531 ml é de 99,73%.

197

Capítulo 10 – Curva de Gauss (segunda parte).

1. Para determinar a probabilidade das folhas produzidas estarem entre os valores de 70,9 e 71,1 g/m2 com o sigam de 0,2 g/m2, use a fórmula do “Z score”:

Com o uso da tabela temos 0,34134, ou seja,

34,134%, fala que você percebeu que o valor 1,0 significa um sigma, ou seja, metade de 68,27. Se estiver em dúvida, veja a figura na página 104.

2. Para se determine a probabilidade das folhas produzida note que inicialmente estarem entre os valores de 70,75 e 70,90 g/m2, tem-se que notar que os valores desejados estão à esquerda média, logo serão necessários dois cálculos com o auxilio do “z score”. Cálculo do Z1 e Z2

e cálculo do Z2.

Verificando na tabela auxiliar Z encontramos Z1=0,45543 ou 45,543% Z2=0,34134 ou 34,134% Então os valores entre Z1 e Z2= 45,543% - 34,134% = 11,409%

198

3. Para calcular a probabilidade das folhas de papel estarem acima de 71,1 g/m2. É só pensar que metade da curva normal corresponde a 50%!

4. Estarem entre de 71,15 e 71,25 g/m2. Assim como

na questão 2, os valores estão para direita da linha da média, vamos seguir analogamente:

Cálculo do Z1 e Z2

e cálculo do Z2.

Verificando na tabela auxiliar Z encontramos Z1=0,11791 ou 11,791% Z2=0,28814 ou 28,814% Então os valores entre Z1 e Z2= 28,814% - 11,791% = 17,023% 5. Estarem entre de 70,85 e 71,20 g/m2.

Cálculo do Z1 e Z2

e cálculo do Z2.

Verificando na tabela auxiliar Z encontramos Z1=0,40320 ou 40,320% Z2=0,19146 ou 19,146% Então os valores entre Z1 e Z2= 40,320% - 19,146%= 21,174%

199

Capítulo 11 – Capacidade do processo Vamos fazer um estudo da máquina mais velha até a mais nova.

Primeiro os cálculos da máquina com 10 anos de uso:

LIE LSE

815 5 810 820 10 0,83 83%

6 sigma 12

2

Média Cps Cpi

813 1,17 0,50

3σ 2σ 1σ 813 3σ 2σ 1σ 807 809 811 815 817 819 Em seguida a máquina com 5 anos de uso.

LIE LSE

815 5 810 820 10 0,83 83%

6 sigma 12

2

Média Cps Cpi

816 0,67 1,00

3σ 2σ 1σ 816 3σ 2σ 1σ 810 812 814 818 820 822 E finalmente a máquina nova.

LIE LSE

815 5 810 820 10 1,11 111%

6 sigma 9

1,5

Média Cps Cpi

816 0,89 1,33

3σ 2σ 1σ 816 3σ 2σ 1σ 811,5 813 814,5 817,5 819 820,5

200

Capítulo 12 - Determinação do tamanho da amostra.

Exercício 1

n Número de elementos 56 56 57 57 57

N Numero de elementos da população 1000 1300 1600 1900 2200


p % do ocorrido 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04

q % complementar 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96

e2 Erro máximo 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05

Exercício 2

n Número de elementos 278 322 341 351 357

N Numero de elementos da população 1000 2000 3000 4000 5000


S2 Desvio 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

e2 erro máximo 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05

Exercício 3

n Número de elementos 56 68 80 91

N Numero de elementos da população 1000 1000 1000 1000

Z2 Nível de confiança escolhido 1,96 1,96 1,96 1,96

p % do ocorrido 0,04 0,05 0,06 0,07

q % complementar 0,96 0,95 0,94 0,93

e2 erro máximo 0,05 0,05 0,05 0,05

Exercício 4

n Número de elementos 22 30 39 49

N Numero de elementos da população 5000 5000 5000 5000

Z2 Nível de confiança escolhido 1,96 1,96 1,96 1,96

S2 Desvio 0,12 0,14 0,16 0,18

e2 erro máximo 0,05 0,05 0,05 0,05

201

ANEXO Distribuição Normal Padrão Tabela Z

Segunda casa decimal de zc

zc 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0

0,00000

0,00399

0,00798

0,01197

0,01595

0,01994

0,02392

0,02790

0,03188

0,03586

0,0

0,1

0,03983

0,04380

0,04776

0,05172

0,05567

0,05962

0,06356

0,06749

0,07142

0,07535

0,1

0,2

0,07926

0,08317

0,08706

0,09095

0,09483

0,09871

0,10257

0,10642

0,11026

0,11409

0,2

0,3

0,11791

0,12172

0,12552

0,12930

0,13307

0,13683

0,14058

0,14431

0,14803

0,15173

0,3

0,4

0,15542

0,15910

0,16276

0,16640

0,17003

0,17364

0,17724

0,18082

0,18439

0,18793

0,4

0,5

0,19146

0,19497

0,19847

0,20194

0,20540

0,20884

0,21226

0,21566

0,21904

0,22240

0,5

0,6

0,22575

0,22907

0,23237

0,23565

0,23891

0,24215

0,24537

0,24857

0,25175

0,25490

0,6

0,7

0,25804

0,26115

0,26424

0,26730

0,27035

0,27337

0,27637

0,27935

0,28230

0,28524

0,7

0,8

0,28814

0,29103

0,29389

0,29673

0,29955

0,30234

0,30511

0,30785

0,31057

0,31327

0,8

0,9

0,31594

0,31859

0,32121

0,32381

0,32639

0,32894

0,33147

0,33398

0,33646

0,33891

0,9

1,0

0,34134

0,34375

0,34614

0,34849

0,35083

0,35314

0,35543

0,35769

0,35993

0,36214

1,0

1,1

0,36433

0,36650

0,36864

0,37076

0,37286

0,37493

0,37698

0,37900

0,38100

0,38298

1,1

1,2

0,38493

0,38686

0,38877

0,39065

0,39251

0,39435

0,39617

0,39796

0,39973

0,40147

1,2

1,3

0,40320

0,40490

0,40658

0,40824

0,40988

0,41149

0,41309

0,41466

0,41621

0,41774

1,3

1,4

0,41924

0,42073

0,42220

0,42364

0,42507

0,42647

0,42785

0,42922

0,43056

0,43189

1,4

1,5

0,43319

0,43448

0,43574

0,43699

0,43822

0,43943

0,44062

0,44179

0,44295

0,44408

1,5

1,6

0,44520

0,44630

0,44738

0,44845

0,44950

0,45053

0,45154

0,45254

0,45352

0,45449

1,6

1,7

0,45543

0,45637

0,45728

0,45818

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0,49999

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Bibliografia

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