Entwicklung von SimulationsmodellenWS 2007/08

Dr. Falk-Juri Knauft

Mittwoch 9.15 Uhr – 10.00 Uhr S25

Praktikum zur Entwicklung von Simulationsmodellen:Mittwoch 14.00 Uhr – 17.00 Uhr GEO CIP-Pool

Modul: 22ahttp://www.bayceer.uni-bayreuth.de/mod/html/ws0708/geooekologie/simulationsmodelle

Entwicklung von Simulationsmodellen WS 2007/2008 – Überblick I

17.10.2007

Einführung, Ziele, Definition System, Model

24.10.2007

Systemanalyse vs. –simulation, Zustandsbeschreibung

31.10.2007

Diskretisierung, Auswertung der Excel-Simulation

07.11.2007

Programmierparadigmen

14.11.2007

Klassische Wachstumsmodelle und Stabilität

21.11.2007

28.11.2007

05.12.2007

12.12.2007

19.12.2007

http://www.bitoek.uni-bayreuth.de/mod/html/ws0708/geooekologie/simulationsmodellehttp://www.bayceer.uni-bayreuth.de/mod/html/ws0708/geooekologie/simulationsmodelle

Modellierung von Wachstum

• Diskretisierung von Wachstumsprozessen

• Lineares Wachstum• Exponentielles Wachstum• Logistisches Wachstum• Kopplung von Wachstumsmodellen

Modellierung von Wachstum

- y = f(x)

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5

- yt+1 = yt + f(xt+1 )

Zuwachsrate!

• Diskretisierung von Wachstumsprozessen:

Modellierung von Wachstum

• Diskretisierung von Wachstumsprozessen• Lineares Wachstum

Beispiele: - Sparstrumpf (ohne Verzinsung und Inflation)- in der Biologie???

N(t) = N0+bt N0,b=const.

Nt+1 = Nt + b

Modellierung von Wachstum

• Diskretisierung von Wachstumsprozessen• Lineares Wachstum• Exponentielles Wachstum

ttt rNNN 1

.,)( 00 constrNrteNtN

Beispiele: - Bakterienwachstum- Sparplan (?)- Wirtschaftswachstum (?)

)()(

trNdt

tdN Malthus-Funktion (1798)

Modellierung von Wachstum

• Diskretisierung von Wachstumsprozessen• Lineares Wachstum• Exponentielles Wachstum

Kaninchenpopulation

Zuwachs

Zuwachsrate

Modellierung von Wachstum

• Diskretisierung von Wachstumsprozessen• Lineares Wachstum• Exponentielles Wachstum

Problem: ist unrealistisch, da Ressourcen immer begrenzt sind.

Lösung: Annäherung an Ressourcengrenze wirkt sich zunehmend hemmend auf Wachstum aus:

Zuwachsrate_log := r Nt K

Zuwachsrate_exp := r Nt

Kapazität

NK t1

Modellierung von Wachstum

• Diskretisierung von Wachstumsprozessen• Lineares Wachstum• Exponentielles Wachstum• Logistisches Wachstum

K

NrNNN t

ttt 11 (Verhulst 1845)

- berücksichtigt endliche Kapazität- Wachstumsfunktion hat Maximum:

2

KNc • Bedingungen:

0

,0,0

dNKN

KNKr

t

t

- sehr reichhaltige Dynamik

Kaninchenpopulation

Zuwachs

Zuwachsrate

Logistisches Wachstum

Kaninchenpopulation

Zuwachs

Zuwachsrate

Kapazität

Kaninchenpopulation

Zuwachs

Zuwachsrate

Kapazität

Zuwachs =Zuwachsrate*Kaninchenpopulation*(1-Kaninchenpopulation/Kapazität)

Zuwachs_log := r * N * K

Logistisches Wachstum

Modellierung von Wachstum

• Diskretisierung von Wachstumsprozessen

• Lineares Wachstum• Exponentielles Wachstum• Logistisches Wachstum• Kopplung von Wachstumsmodellen:

- Lottka-Volterra

Modellierung von Wachstum

Lotka-Volterra-Modell (1925/26)

• beschreibt die Interaktion zwischen zwei Arten eines Ökosystems, einer Räuber- und einer Beute-Art

• zwei Funktionen: Veränderung der Räuber- und der Beute-Population:

dB/dt = a B – b B R

dR/dt = e b B R- c R

• a ist die natürliche Wachstumsrate der Beute-Population ohne den Einfluss von Räubern,

• b ist die Todesrate der Beute verursacht durch den Räuber,

• c ist die natürliche Todesrate der Räuber bei Fehlen von Beute,

• e ist die Effizienz, Beute in Räuber umzuwandeln.

Modellierung von Wachstum

B

Zuwachs B Mortalität B

const a

const b

R

Mortalität RZuwachs R

const cconst e

T = 5000

a = 0.05

b = 0.0005

c = 0.01

e = 0.1

B

Zuwachs B Mortalität B

const a

const b

R

Mortalität RZuwachs R

const cconst e

Lotka-Volterra-Modell

Modellierung von Wachstum

Lotka-Volterra-Modell

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1

251

501

751

1001

1251

1501

1751

2001

2251

2501

2751

3001

3251

3501

3751

4001

4251

4501

4751

5001

B

R

R

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Modellierung von Wachstum

Logistisches Lotka-Volterra-Modell

T = 5000

a = 0.05

b = 0.0005

c = 0.01

e = 0.1

K = 5000

B

Zuwachs B Mortalität B

const a

const b

R

Mortalität RZuwachs R

const cconst e

K

Verbessertes logistisches Wachstum

• Positivität eingebaut• Starke Mortalitätsfunktion • dieselbe qualitative Dynamik• klassische Kategorienbildung:

„r-Strategen“, „K-Strategen“

K

N1rexpNN t

t1t

Systemeigenschaften oder Umweltbedingungen?

Am Beispiel logistisches Wachstum• Parameter r und K: Umwelt- oder

Systemeigenschaften?- Wandel der Interpretationen- als Systemeigenschaft experimentell

widerlegt- als Umwelteigenschaft unbeobachtbar