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§1.2 概率
随机事件A发生可能性大小的数值度量,称为A的概率。
1
设 随机试验E 具有下列特点: 基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生
则称 E 为 古典概型
古典概型中概率的计算:
记 N = Ω中包含的基本事件总数
M A=组成的基本事件个数
( ) /P A M N=则
古典概率
概率的 古典定义
2
加法原理 完成一件事情有n 类方法,第 i 类 方法中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情 共有 ∑
=
n
iim
1
种不同的方法.
乘法原理 完成一件事情有n 个步骤,第 i 个 步骤中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情 共有 ∏
=
n
iim
1
种不同的方法.
组合记数 (复习)
3
排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地)按一定的次序排成一排不同的 排法共有
( 1)( 2) ( 1)mnP n n n n m= − − − +
全排列 !nPnn =
可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复地 取出 m 个排成一排, 不同的排法有
mn种.
4
组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地)组成一组, 不同的分法共有
!!( )!
n nm m n m
= −
1n rr+ −
重复组合 从 n 个不同元素中每次取出一个, 放回后再取下一个,如此连续取r次所得的组合 称为重复组合,此种重复组合数共有
0! 1 10n
= =
和
5
bam +≤例 袋中有a 只白球,b 只红球,从袋中按 不放回与放回两种方式取m个球( ), 求其中恰有 k 个 ( )白球的概率 mkak ≤≤ ,
bam +≤
)1()1)(()( +−+−++== + mbababaAn mba Ω
解 (1)不放回情形 E: 球编号,任取一球,记下颜色,放在一边, 重复 m 次
: 记事件 A 为m个球中有k个白球,则
)!(!
)!(!
)!(!!
kmbb
kaa
kmkm
AACn kmb
ka
kmA
+−⋅
−⋅
−=
= −
6
又解 E1: 球编号, 一次取 m 个球,记下颜色 m
baCn +=1Ω1:
记事件 A 为m个球中有k个白球,则 km
bkaA CCn −=
不放回地逐次取 m 个球, 与一次任取 m 个 球算得的结果相同.
则 m
ba
kmb
ka
km
AAACAP+
−
=)( mkak ≤≤ ,
因此 m
ba
kmb
ka
CCCAP+
−
=)( mkak ≤≤ , 称超几 何分布
7
(2)放回情形
E2: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放回去, 重复 m 次
mban )(2
+=Ω2:
记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球, 则
m
kmkkm
babaCBP
)()(
+=
− kmkkm ba
bba
aC−
+
+=
baap+
=记
),min(,,2,1)1()( makppCBP kmkkm =−= −
称二项分布 8
例(球入盒子模型)设有 k 个不同的球, 每个
球等可能地落入 N 个盒子中( ), 设
每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率: (1)某指定的 k 个盒子中各有一球;
(4)恰有 k 个盒子中各有一球; (3)某指定的一个盒子没有球;
(5)至少有两个球在同一盒子中; (6)每个盒子至多有一个球.
(2)某指定的一个盒子恰有 m 个球( ) m k≤
k N≤
9
解 kn N=设 (1) ~ (6)的各事件分别为 1 6A A→
则 1
!Am k= 11
!( ) Ak
m kP An N
= =
4!( )
kN
k
C kP AN
=
3( 1)( )
k
k
NP AN−
=
2( 1)( )
m k mk
k
C NP AN
−−=
5!( )
k kN
k
N C kP AN−
= 41 ( )P A= −
3( 1)k
Am N= −2
( 1)m k mA km C N −= −
4!k
A Nm C k=
5!k k
A Nm N C k= −
6!k
A Nm C k= 6 4( ) ( )P A P A= 10
5 , 4 , 例有双不同型号的鞋子从中任取只求
( ) ; 4 1 只鞋恰好为两双取出的
: 下列各事件的概率
( ) ; 4 2 只鞋都是不同型号的取出的
( ) . 4 3 双只鞋恰好有两只配成一取出的
解 , 4 A 只鞋恰好为两双取出的设 =
, 4 B 只鞋都是不同型号的取出的=
. 4 C 双只鞋恰好有两只配成一取出的=
( ) , 4 10 5 取法总数为只中任取只双鞋子从 . 410C
11
为中所含有的基本事件数A . 25C
为中所含有的基本事件数B . 12
12
12
12
45 CCCCC
为中所含有的基本事件数C . 12
12
24
22
15 CCCCC
于是可得
( ) ( )AP 1 410
25
CC
=
123478910
1245
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅
= . 211
=
( ) ( )BP 2 410
12
12
12
12
45
CCCCCC
= 21080
= . 218
=
( ) ( )CP 3 410
12
12
24
22
15
CCCCCC
= 210120
= . 74
=12
例 由 n 个人组成的团队参加团体操训
练,其中甲乙两人是好朋友,若
(1) n 个人任意排成一列;或
(2) n 个人任意围成一圈,
求甲乙两人之间恰有 k 个人(k < n-1)的概率。
13
(1)几何概型 设Ω为试验E的样本空间,若 ①试验Ω的样本空间是直线上某个区间,或者面、
空间上的某个区域,从而含有无限多个样本点; ②每个样本点发生具有等可能性 ; 则称E为几何概型。 (2)几何概型概率的定义
设试验的每个样本点是等可能落入区域Ω上的随
机点M,且D含在Ω内,则M点落入子域D(事件A)上的概率为:
几何概型
( )P(A)( )
m Dm
=Ω
( ) ( )m m DΩ Ω
Ω
注:及在是区间时,表示相应的长度;
在是平面或空间区域时,表示相应的面积或体积。14
例 某人的表停了,他打开收音机听电台报时, 已知电台是整点报时的,问他等待报时的时间短于 十分钟的概率.
9点 10点
10分钟
61
6010)( ==AP
15
例 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干,而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时,试求在一昼夜内,任一船到达时,需要等待空出码头的概率.
解: 设船1 到达码头的瞬时为 x ,0 x < 24 船2 到达码头的瞬时为 y ,0 y < 24
设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待空出码头.
16
x
y
24
24
y = x 224=ΩS
( )22 222321
+=AS
1207.01)( =−=ΩS
SAP A
240,240),( <≤<≤=Ω yxyx( , ) ( , ) ,
1, 2A x y x y
x y x y x y= ∈Ω
≤ ≤ + ≤ ≤ +
17
“概率为 1 的事件不一定发生”
如图,设试验E 为“ 随机地向边
0 1 x
Y
1 长为1 的正方形内投点” 事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内”
11111)( 2
121
=×
×+×=
+=
正方形
蓝三角形黄三角形
SSS
AP
由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生.
)(AP 求
18
设在 n 次试验中,事件 A 发生了m 次,
频率
nmfn =则称 为事件 A 发生的 频率
19
频率的性质 0 ( ) 1nf A≤ ≤
1)( =Ωnf 事件 A, B互斥,则
)()()( BfAfBAf nnn +=∪
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
非负性 归一性
可加性
稳定性 某一定数
)()(lim APAfnn=
∞→
20
试验者 抛币次数n “正面向上”次数m 频率
De Morgan 2084 1061 0.518
Bufen 4040 2048 0.5069
Pearson 12000 6019 0.5016
Pearson 24000 12012 0.5005
( )nf A
抛掷钱币试验记录 频率稳定性的实例
21
( )Afn , 的频率正面向上出现从上表中可以看出
, 次但总的趋势是随着试验的不同而变动虽然随 n
. 5.0 这个数值上数的增加而逐渐稳定在
可见, 在大量重复的试验中, 随机事件出现
的频率具有稳定性. 即通常所说的统计规律性.
22
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同:
A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006
23
概率的 统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次
试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一 常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越 小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).
24
设 是随机试验E 的样本空间,若能找到 一个法则,使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数,记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率,这种 赋值满足下面的三条公理:
非负性: , ( ) 0A P A∀ ⊂ Ω ≥ 归一性: ( ) 1P Ω =
11
( )i iii
P A P A∞ ∞
==
=
∑
可列可加性:
其中 为两两互斥事件 1 2, ,A A
概率的公理化定义
25
概率的性质 ( ) 0P ∅ =
( ) 1 ( )P A P A= − ( ) 1P A⇒ ≤
有限可加性: 设 nAAA ,, 21 两两互斥
∑==
=
n
ii
n
ii APAP
11)(
若 A B⊂ ( ) ( ) ( )P B A P B P A⇒ − = −( ) ( )P A P B⇒ ≤
26
对任意两个事件A, B, 有
)()()( ABPBPABP −=−
B
A B=AB+(B – A)
P(B)=P(AB)+
P(B – AB)
B - AB
AB
27
加法公式:对任意两个事件A, B, 有
)()()()( ABPBPAPBAP −+=∪)()()( BPAPBAP +≤∪
推广:
)()()()(
)()()()(
ABCPBCPACPABP
CPBPAPCBAP
+−−−
++=∪∪
28
)()1()(
)()()(
211
1
111
nn
n
nkjikji
njiji
n
ii
n
ii
AAAPAAAP
AAPAPAP
−
≤<<≤
≤<≤==
−+++
+−=
∑
∑∑
一般:
右端共有 项. 12 −n
29
例 “球入盒子模型”的应用
生物系二年级有 n 个人,求至少有两 人生日相同(设为事件A ) 的概率.
30
解
为 n 个人的生日均不相同,这相当于 A
本问题中的人可被视为“球”,365天为 365只“盒子”
若 n = 64,
每个盒子至多有一个球. 365 !
( )365
n
n
C nP A
⋅= 365 !
( ) 1 ( ) 1 .365
n
n
C nP A P A
⋅⇒ = − = −
( ) 0.997.P A⇒ ≈
31
例 某市发行A,B,C三种报纸。已知在市民中订阅A报的有45%,订阅B报道有35%,订阅C报道有30%,同时订阅A及B报的有10%,同时订阅A及C报的有8%,同时订阅B及C报的有5%,同时订阅A,B,C报的有3%,试求下列事件的概率:
(1)只订A报; (2)只订A及B报; (3)至少订一种报纸; (4)不订任何报纸; (5)恰好订两种报纸; (6)恰好订一种报纸; (7)至多订一种报纸。 32
小结
概率的公理化定义及概率的性质
事件在一次试验中是否发生具有随机性,它发
生的可能性大小是其本身所固有的性质,概率
是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标.
它介于0与1之间.
古典概型的定义 古典概率的求法
33