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蔵本転移における 秩序変数ダイナミクスの非平衡等式を用いた導出 佐々真一（京大理） 2014/03/22@早稲田大学 日本物理学会
1 新学術領域研究 「ゆらぎと構造の協奏」
先端研究拠点事業 「ソフトマターと情報の非平衡ダイナミクス」
蔵本模型
)(ti
N
j
jiii
N
K
dt
d
1
)sin(
i
i番目の振動子の位相変数
時間発展方程式
自然振動数 確率変数：分布
0K
)(g
結合定数 2
)()( gg 0)0('' g 0)(' g0for
集団同期現象
N
j
ti jeN
tW1
)(1)(
秩序変数
N
r
K
定常状態
3
)()()( tietrtW 0)( tr
)0(
2c
gK
非集団同期
集団同期
Kuramoto, 1976
問題：集団ダイナミクス
4
秩序変数のダイナミクス
N
j
ti jeN
tW1
)(1)(
例えば、時刻0 でW=１（位相が揃う）とし、 その後の時間変化を議論する。 定常状態に到達するかどうか（安定性）？ 到達するとして、その緩和時間は？ 普遍的な振る舞いは？
前提とすること
C
C
K
KK 1
転移点の近くに焦点をあてる
転移点近くでのスケーリングの存在
5
)( trr b a
a, b の値は後で決める
()r の関数形は に依存しない
テクニカルな設定
微小なノイズを加えた系を考える
極限の順序の問題
6
)'(2)'()( ttTtt ijji
を より先に考える 0T
(I) Noiseless case (元の問題）
t 0
i
N
j
jiii
N
K
dt
d
1
)sin(
を より先に考える t 0 0T
(II) Noiseless limit
Sakaguchi, 1988
関連する先行研究(抜粋）
Strogatz et al 1993 １体分布関数の線形安定性解析 (II) +（部分的？）(I)
7
Kuramoto-Nishikawa 1986 最初の試み (I) 問題の難しさの提示
Crawfold 1994 分岐解析（中心多様体理論） (II)
Ott-Antonsen 2009 特別な振動数分布での特別な解 (I)
Chiba 2013 分岐解析（一般化された中心多様体理論） (I)
(I) Noiseless case (II) Noiseless limit
複素解析をばんばん 使う！
本講演では、
8 Shin-ichi Sasa , ArXiv:1501.00055 for (II)
一般的な振動数分布に対して、全く新しい 方法で秩序変数ダイナミクスを導出する。
(II)ノイズレス極限に焦点をあてる。
（一般性を保つ範囲で）「計算手数」は最小！
秩序変数に対する「摩擦係数」の計算！
(4min)
アウトライン
１．動機
２．設定
4. 摂動展開
３. アイデア
５. 注釈
9
準備
10
i
N
j
jiii
N
K
dt
d
1
)sin(
N
j
titi jeN
etr1
)()( 1)(
iiii Kr
dt
d
)sin(
定常分布 を固定： ),( r ),,;(ss
one ii rP
初期条件： ),,;()0,( 00
ss
one iii
rPP θ
);,(),( one iii
tPtP θ
N
時間発展
11
N
j
titi jeN
etr1
)()( 1)(
N
2
0one
)( );,()()( iti etPdgdetr
iiii Kr
dt
d
)sin(
0)sin(();,(
oneoneone
PTPKr
t
tP
時間に依存する秩序変数と１体分布 に関するセルフコンシステント方程式
対称性による簡単化
12
00
0)sin();,(
oneoneone
PTPKr
t
tP
),0,;(),;( 0
ss
one0
ss
one rPrP ii
),;(),;( 0
ss
one0
ss
one rPrP ii
);,();,( oneone tPtP ii
2
0one
)( );,()()( iti etPdgdetr
0)( t
2
0one cos);,()()( tPdgdtr
表記
対称性
アウトライン
１．動機
２．設定
4. 摂動展開
３. アイデア
５. 注釈
13
操作的熱力学的視点
14
iiii Kr
dt
d
sin
)(tr 操作パラメータ： 前もってきめられているプロトコル
2
0one cos);,()()( tPdgdtr
周期ポテンシャル＋一定外力のブラウン粒子系
非平衡定常系への操作 →操作限界の定式化 （拡張された熱力学） →非平衡恒等式 （Jarzynski の拡張）
非平衡恒等式
15
10
)),((
t
ds
dr
r
srds
e
),;(log),;( ss
one rPr
Hatano-Sasa, PRL, 2001
ss
,
)),((
0
r
ds
dr
r
srds
AAe
t
)(A任意の に対して、
0
0)),((
ds
dr
r
srds準静的操作に対して、
(7min) 利点： ゆっくりした操作に関する摂動展開を組める
アウトライン
１．動機
２．設定
4. 摂動展開
３. アイデア
５. 注釈
16
時間尺度の分離
17
ss
,
)),((
0
r
ds
dr
r
srds
AAe
t
)( trr b a
)()),(( 2ss
,0,
OAr
srA
ds
drdsA
r
t
t
)()(
)),(( 2ss
,,
OAA
dt
tdrtr
rt
0
ss
,
),),0(())((),(
rr
rsAdsr
時間発展
18
)()(
)),(( 2ss
,,
OAA
dt
tdrtr
rt
0
ss
,
),),0(())(cos()()(
rr
rsdsgdr
)())(()()(
))(( 2 OtrGtrdt
tdrtr
cosA tAgdtr
,)()(
)(cos)()( 53
31
ss
,rOraragdrG
r
転移点 cKK
a
11cK
Ka 1
ωで積分
臨界点でのスケーリング
19
)(2/1 trr
C
C
K
KK )()()(
)())(( 23
3 Otratrdt
tdrtr
3
3)sgn()(
)0( rard
rd
t
222
22
)(2)()0(
T
TgdK
)4()(4
2)(
22222
223
3TT
TgdTKa
ノイズレス極限
20
222
22
)(2)()0(
T
TgdK
)4()(4
2)(
22222
223
3TT
TgdTKa
2
1)(')0( gdK
)0(''16
3
3 gK
a
3
3)sgn()(
)0( rard
rd
〇 先行研究とは矛盾しない結果
〇 摩擦係数に関する公式
0T
アウトライン
１．動機
２．基本アイデア
4. 結果
３. 展開
５. 注釈
21
ノイズがない場合
22
〇 非平衡恒等式//
〇 初期条件//
〇 結果//
何とつくれる！
)(g
),,;()0,( 00
ss
one iii
rPP θ
0T
に依存
のフーリエ変換が指数関数よりも速く減衰するなら、ノイズレス極限と一致する
)(g
どこかで….
Shin-ichi Sasa , ArXiv:1504.***** for (I)
まとめ
23
一般的な振動数分布に対して、全く新しい 方法で秩序変数ダイナミクスを導出した。
非平衡恒等式(Hatano-Sasa)が役に立った！！
（一般性を保つ範囲で）「計算手数」は最小！
秩序変数に対する「摩擦係数」の計算！
