おねえさん問題の乱択近似

柴田友樹1, 山内由紀子2, 来嶋秀治2, 山下雅史2

九州大学 工学部電気情報工学科 (1:研究当時)

大学院システム情報科学研究院 (2)

初夏のワークショップ June 15, 2016

[参照]

柴田友樹，山内由紀子, 来嶋秀治, 山下雅史, 格子上の経路数え上げの乱択近似--24時間で解くおねえさん問題, 2015年度 冬のLAシンポジウム, 京都大学数理解析研究所, 2016年1月28日.

柴田 友樹, 格子上の経路数え上げの乱択近似, 九州大学工学部電気情報工学科卒業論文, 2016年3月.

おねえさん問題 2

画像引用 ： 日本科学未来館, 『フカシギの数え方』 おねえさんといっしょ！ みんなで数えてみよう！, YouTube, 2012/9/10公開, https://www.youtube.com/watch?v=Q4gTV4r0zRs

格子グラフ上で左上(𝑠𝑠)から右下(𝑡𝑡)を結ぶ，

𝑠𝑠-𝑡𝑡単純経路の総数を求めよ．

*H. Iwashita, Y. Nakazawa, J. Kuwahara, T. Uno, S. Minato, Efficient computation of the number of paths in a grid graph with minimal perfect hash functions, Hokkaido University TCS Technical Report, TCS-TR-A-13-64, 2013.

おねえさん問題の答え(𝑛𝑛 = 1～26) 3

0 1

1 2

2 12

3 18

4

4 85

12

5 12

6281

6

6 57

5780

564

7 78

9360

0532

52

8 32

6659

8486

9816

42

9 41

0442

0870

2632

4968

04

10 1

5687

5803

0464

7500

1321

4100

11 1

8241

3291

5142

4804

9241

4708

8523

6

12 6

4528

0393

4327

0018

9633

5718

5158

4821

18

13 6

9450

6647

6152

1361

6642

7470

1548

9073

5899

6488

14 2

2744

9714

6768

1273

9631

8264

5932

7989

8633

8761

3323

440

15 2

2667

4556

8862

6727

4637

4567

3967

1309

8934

8663

2488

5408

3190

28

16 6

8745

4456

0914

9931

5876

3156

3132

4892

3282

4587

9459

6809

9457

2854

1930

6

17 6

3448

1461

1237

9639

7131

0297

5407

9552

4400

4494

4398

6866

4806

9364

6369

3878

5533

6

18 1

7821

1284

0842

0651

2989

3384

9466

5232

5275

1678

3806

5704

7676

5593

1452

4746

0582

6692

7825

32

19 1

5233

4497

1704

8799

9308

0742

8103

1922

9690

8994

5425

5323

2945

5577

6029

8667

3735

5060

5928

7756

9255

844

20 3

9628

9219

9823

0375

6020

7299

5171

3336

2502

1063

3970

5739

4637

7151

5237

1133

7701

0682

3640

3570

6704

4720

6494

0398

21 3

1374

7510

5013

7102

7204

2053

8137

3822

1451

3103

3121

9369

8723

6530

6135

1991

3464

3337

9389

3857

9396

5576

9922

4602

1316

4638

68

22 7

5597

0286

6673

4533

9661

5191

2331

5222

6193

5310

3732

0724

0948

1167

3914

1047

9517

9257

9274

3631

2349

8703

8883

3176

3498

7271

1714

0443

9792

23 5

5435

4293

5523

7477

0099

1431

8489

0614

3793

0690

3799

7096

4331

3325

5695

8646

4840

0840

7334

8855

4456

6386

9240

2087

5711

2420

6008

5408

5134

8293

3945

720

24 1

2371

7122

3120

7064

7583

3874

4862

6735

7083

2373

0419

8901

2943

5396

7872

7080

4849

5169

5515

9304

8564

1394

5507

9215

3037

1918

5802

8212

5122

8092

6600

3045

8138

6791

094

25 8

4029

7485

7881

1334

7100

7083

7454

3680

9127

2960

5429

3775

3835

4982

4742

6239

3702

8497

8982

1525

6929

1785

7708

3970

9601

2162

5602

5060

2731

6549

7184

0210

6494

0499

7837

5604

2474

08

26 1

7369

9315

8627

9272

9311

7544

0421

2364

9890

0372

2295

8828

8140

6046

6370

3720

9103

4241

3276

1347

6278

9218

1934

9800

6107

0822

9622

3143

3804

9134

8290

0267

2193

1129

6277

0873

8890

8539

0810

8906

396

http://oeis.org/A007764/b007764.txt

余白 4

乱択近似のアイデア

記法の準備 Ω = {𝑠𝑠𝑡𝑡 単純経路} Ξ𝑘𝑘 = 長さ𝑘𝑘以下の𝑠𝑠𝑡𝑡 単純経路

𝑘𝑘 = 2𝑛𝑛,2𝑛𝑛 + 2,2𝑛𝑛 + 4, … , 𝐿𝐿∗ ただし，𝐿𝐿∗は最長路の長さ:

𝐿𝐿∗ = � 𝑛𝑛 + 1 2 − 1 (𝑛𝑛が奇数)𝑛𝑛 + 1 2 − 2 (𝑛𝑛が偶数)

自己帰着(self-reducibility)

Ξ𝐿𝐿∗ =Ξ𝐿𝐿∗Ξ𝐿𝐿∗−2

⋅Ξ𝐿𝐿∗−2Ξ𝐿𝐿∗−4

⋯Ξ2𝑛𝑛+4Ξ2𝑛𝑛+2

⋅Ξ2𝑛𝑛+2Ξ2𝑛𝑛

⋅ Ξ2𝑛𝑛

アイデア 2. Ξ𝑘𝑘Ξ𝑘𝑘+2

= [Ξ𝑘𝑘+2の中で長さ𝑘𝑘以下の𝑠𝑠-𝑡𝑡単純経路の割合]

本研究: マルコフ連鎖モンテカルロ(MCMC)法を用いた 乱択近似数え上げアルゴリズムの提案．

5

つまり，求めたいものは Ω (= |Ξ𝐿𝐿∗|)．

アイデア 1. Ξ2𝑛𝑛 = 最短経路の個数

= 2𝑛𝑛𝑛𝑛

逆数を考えると...

乱択近似アルゴリズム 6

パラメータ： 𝜏𝜏 （マルコフ連鎖の遷移回数）， 𝑀𝑀 （モンテカルロ法のサンプル）．

入力：𝑛𝑛 （格子のサイズ）． 出力：𝑍𝑍 （経路総数の近似値）． Set 𝑍𝑍 ≔ 1; For (𝑘𝑘 = 2𝑛𝑛 + 2; 𝑘𝑘 < 𝐿𝐿∗; 𝑘𝑘 ≔ 𝑘𝑘 + 2){

Set 𝑋𝑋 ∈ Ξ𝑘𝑘; (𝑋𝑋はマルコフ連鎖MCの初期状態) Set 𝑆𝑆 ≔ 0; (Sはカウンター) for(i=0; i<M; i++){

for(j=0; j<𝜏𝜏; j++){ 𝑋𝑋を更新(マルコフ連鎖の1回遷移)

} if(𝑋𝑋 ∈ Ξ𝑘𝑘−2) S++;

}

Set 𝑍𝑍 ≔ 𝑍𝑍 ∗ 𝑀𝑀𝑆𝑆

;

} Output 𝑍𝑍;

Ξ𝑘𝑘からの一様サンプリング

をしている

近似精度保証 7

定理 任意の 𝜖𝜖 (0 < 𝜖𝜖 < 1)と任意の𝛿𝛿 (0 < 𝛿𝛿 < 1)に対して， Ξ𝑘𝑘 (𝑘𝑘 = 2𝑛𝑛,2𝑛𝑛 + 2, … , 𝐿𝐿∗)からの一様標本の数を 𝑀𝑀 = 12𝑛𝑛3 2𝑛𝑛2𝜖𝜖−1 2 ln 𝑛𝑛2𝛿𝛿−1 とすると，近似解𝑍𝑍は

Pr 1 − 𝜖𝜖 |Ω| ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1 + 𝜖𝜖 |Ω| ≥ 1 − 𝛿𝛿 を満たす．

余白 8

マルコフ連鎖モンテカルロ法 9

目標

Ξ𝑘𝑘からの一様サンプリング

x

x

x

x

x

・・・

漸近的に定常分布

マルコフ連鎖モンテカルロ法のアイデア 1. 目的の分布を定常分布にもつマルコフ連鎖を設計． 2. 十分な回数推移させ、極限分布からサンプリング．

状態空間

準備: s-t単純経路の表現 10

s

t

s

t

𝑠𝑠-𝑡𝑡単純経路

単連結な色塗り

マルコフ連鎖の状態遷移 11

c

s

t

c

s

t

マルコフ連鎖𝑀𝑀𝑀𝑀

状態空間: Ξ𝑘𝑘，

状態遷移: 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋𝑋は以下のように定められる;

1. セルcを一様ランダムに選ぶ．

2. 状態𝑌𝑌を𝑋𝑋のセルcを反転したものとする．

3. 𝑌𝑌 ∈ Ξ𝑘𝑘なら𝑋𝑋′ = 𝑌𝑌，そうでなければ𝑋𝑋′ = 𝑋𝑋とする．

Check! • 𝑌𝑌(の境界線)は𝑠𝑠-𝑡𝑡経路 • 長さ𝑘𝑘以下

実装上は高速化のため， もう少しべたに場合分けする．

極限分布 12

定理

マルコフ連鎖MCの極限分布はΞ𝑘𝑘上の一様分布

証明の概略

• マルコフ連鎖MCは既約 (Ξ𝑘𝑘上で(強)連結)

• マルコフ連鎖MCは非周期的

• マルコフ連鎖MCは詳細釣合の式 ∀𝑋𝑋,𝑌𝑌 ∈ Ξ𝑘𝑘 , Pr 𝑋𝑋 → 𝑌𝑌 = Pr(𝑌𝑌 → 𝑋𝑋)

を満たす．

MCMC法設計の常套手段

• 既約で非周期的な有限状態マルコフ連鎖は一意の極限分布をもつ．

• 詳細釣合の式 ∀𝑋𝑋,𝑌𝑌 ∈ 𝑆𝑆, Pr 𝑋𝑋 → 𝑌𝑌 = Pr 𝑌𝑌 → 𝑋𝑋

を満たせば，定常分布は𝑆𝑆上の一様分布

マルコフ連鎖MCのmixing time(𝜏𝜏)は未解決

計算機実験 13

𝒏𝒏 真の解* 近似解 実行時間

25 8.40 * 10150 8.55 * 10150 1h 27m

26 1.74 * 10163 1.78 * 10163 1h 33m

30 unknown 2.09 * 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟕𝟕 2h 4m

50 unknown 6.35 * 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝟏𝟏𝟔𝟔 5h 44m

100 unknown 6.07 * 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐 23h 20m

200 unknown 1.196 * 𝟏𝟏𝟏𝟏9667 96h

実行時間(理論値)は O 𝑀𝑀𝜏𝜏𝑛𝑛2

マルコフ連鎖の遷移回数 𝜏𝜏 = 30

サンプリング回数 𝑀𝑀 = 107

(近似解は5回の平均)

おねえさんに教えてあげたい... 14

n と log10 𝑍𝑍の関係

格子数 n×n における経路数 𝑍𝑍 ：n = 1~26 の正しい経路数 ：n = 1~200の近似値

：放物線 𝑦𝑦 = 0.2415𝑥𝑥2

経路の総数はおよそ100.2415𝑛𝑛2 ≃ 1.744𝑛𝑛2個 (予想)

3予想 Ω ≥ 3𝑛𝑛2

15

Ω log10 Ω log10 Ω𝑛𝑛2

1 2 0.301030 0.301030 2 12 1.079181 0.269795 3 184 2.264818 0.251646 4 8512 3.930032 0.245627 5 1262816 6.101340 0.244054 6 575780564 8.760257 0.243340 7 7.8936E+11 11.897275 0.242802 8 3.2666E+15 15.514096 0.242408 9 4.10442E+19 19.613252 0.242139

10 1.56876E+24 24.195556 0.241956 11 1.82413E+29 29.261056 0.241827 12 6.4528E+34 34.809748 0.241734 13 6.94507E+40 40.841676 0.241667 14 2.2745E+47 47.356885 0.241617 15 2.26675E+54 54.355403 0.241580 16 6.87454E+61 61.837244 0.241552 17 6.34481E+69 69.802419 0.241531 18 1.78211E+78 78.250935 0.241515 19 1.52334E+87 87.182798 0.241504 20 3.96289E+96 96.598012 0.241495 21 3.1375E+106 106.496580 0.241489 22 7.5597E+116 116.878505 0.241485 23 5.5435E+127 127.743787 0.241482 24 1.2372E+139 139.092430 0.241480 25 8.403E+150 150.924433 0.241479

3予想 Ω ≥ 3𝑛𝑛2

16

0.000000

20.000000

40.000000

60.000000

80.000000

100.000000

120.000000

140.000000

160.000000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

log_10

log_10

log10 Ω のプロット

0.000000

0.050000

0.100000

0.150000

0.200000

0.250000

0.300000

0.350000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

log_10/n^2

log_10/n^2

log10 Ω𝑛𝑛2

のプロット