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A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
EOMETRIA
I punti non si riescono a dividere,
ma quando decidono di unirsi possono creare di tutto(segmenti, rette, curve e superfici; ma anche immagini sullo schermo della televisione, quadri, e perfino molte espressioni della lingua italiana)
“I primi elementi”
IPSSAR - Soverato
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
Osserva le seguenti immagini
Gli oggetti in esse raffigurati sono molto diversi fra loro, ma ci sono degli
elementi comuni
tutti occupano un certo spazio
ognuno di essi ha una forma precisa
ci sono delle forme che sono comuni ad alcuni oggetti
Chiesa di S.Miniato a Firenze
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
Osservando le figure possiamo dire che il quaderno ad anelli ha le pagine
rettangolari con i fori circolari, la squadretta ha la forma triangolare, la palla è
sferica e presenta disegni a forma di pentagono, nella facciata della chiesa,
oltre alle porte di forma rettangolare, spiccano elementi decorativi a forma di
rettangolo, cerchio, semicerchio e strutture triangolari
Il triangolo, il rettangolo, il pentagono o più in generale un poligono sono modelli
ideali che servono per descrivere la realtà che ci circonda ed individuare le
proprietà comuni ad alcuni oggetti. La scienza che si occupa di studiare le
proprietà di questi oggetti si chiama geometria.
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
La sua origine è antichissima se si pensa che già gli antichi
egizi si servivano di forme ideali come i triangoli per costruire
le piramidi e che sapevano come effettuare le misurazioni dei
terreni, i cui confini venivano periodicamente cancellati dalle
inondazioni del Nilo
La parola geometria deriva dalla fusione dei due vocaboli della lingua greca
“geo”(terra) e “metrein” (misurare).
A quell’epoca la geometria non poteva ancora dirsi una scienza, perché fu
solo parecchi secoli dopo che cominciò a svincolarsi dai problemi pratici e a
svilupparsi come scienza razionale. Questo passaggio si realizzò
gradualmente dal VI al III sec. a.C., per opera di grandi matematici:
Talete (ca. 624-545 a.C.) Pitagora (ca. 570-490 a.C.)
Archimede (ca. 287-212 a.C.)
e soprattuttoEuclide (ca.367-
283 a.C.)
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Dominijanni
Euclide nacque ad Alessandria intorno al 300 a.C. ed è considerato il più
famoso matematico di tutti i tempi. La sua popolarità è dovuta alla sua
maggiore opera: gli Elementi, un trattato dove Euclide raccolse tutte le nozioni
di geometria note a quell’epoca.
Come in ogni disciplina, anche in geometria vi è la necessità di dare
definizioni che servano ad individuare senza equivoci un oggetto
geometrico.
A proposito delle definizioni, nasce una difficoltà. Per definire un concetto bisogna
utilizzare vocaboli che fanno riferimento ad altri concetti, che a loro volta vanno
definiti, utilizzando altri vocaboli … e così via, con il rischio che vi siano concetti
che rimandano l’uno all’altro. Per scongiurare questo rischio, si prese atto che
bisogna rinunciare a definire alcune nozioni dette per questo primitive.
In geometria, dunque, è necessario introdurre alcuni enti ideali primitivi, dei
quali non viene data alcuna definizione.
Gli enti primitivi della geometria sono: punto, retta, piano.
La geometria di Euclide è sostanzialmente quella che ancora oggi si
studia in tutte le scuole e che si dice appunto geometria euclidea.
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
Non è possibile dare una definizione di questi oggetti; tuttavia, affinché tutti ne
abbiano la stessa immagine, possiamo fare delle analogie fisiche, indicano per
es. come:
Occorre però tenere presente che il punto, la retta ed il piano sono enti
geometrici astratti e che il punto non ha dimensioni, la retta ed il piano sono
illimitati e senza spessore; mentre la traccia della punta della matita, il filo e il
foglio di carta sono oggetti tridimensionali perché concreti.
punto la traccia che la punta di una matita lascia su un foglio
retta un filo molto sottile ben teso che si estende illimitatamente
piano la pagina superiore di un foglio di carta ben teso e pensato illimitato.
•
α
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
Nei primi anni di scuola si studia la geometria intuitiva il cui scopo è
quello di intuire le proprietà degli enti geometrici attraverso
l’osservazione e l’esperimento su corpi reali o modelli fisici.
Negli anni successivi si passa allo studio della geometria razionale,
che altro non è che la geometria intuitiva precisata nei suoi concetti e
nei suoi procedimenti
La geometria razionale è impostata come una scienza ipotetico-deduttiva,
cioè una scienza la cui costruzione procede nel modo seguente:
Si introducono alcuni oggetti detti enti primitivi o fondamentali, e si suppone
che essi verifichino alcune proprietà dette assiomi o postulati; a partire dagli
enti fondamentali e dagli assiomi si deducono proposizioni dette teoremi.
Un teorema è quindi un’affermazione di cui bisogna controllare la verità
mediante un ragionamento che si dice dimostrazione.
La dimostrazione di un teorema è costituita da una sequenza di affermazioni
che, partendo dall’ipotesi, conducono alla tesi.
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
GEOMETRIA
INTUITIVA RAZIONALE
OSSERVAZIONI
PROVE
TENTATIVI
CONCETTI
PRIMITIVIASSIOMI
Può essere
Si basa su Parte da
Definiti mediante
Concludendo
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Dominijanni
Indice
Gli elementi fondamentali della geometria euclidea
Postulati e teoremi
Punto
Retta
Piano
Postulati riguardanti gli enti elementari
Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
(semirette, segmenti, angoli
Gli obiettivi
Comprendere il significato di “dimostrazione”
Cogliere la differenza fra postulato e teorema
Approfondire la conoscenza degli enti geometrici
fondamentali
Operare con segmenti ed angoli
I contenuti
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
I punti di partenza della geometria
Gli enti primitivi della Geometria sono:
PUNTO
RETTA
PIANO
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Dominijanni
Gli elementi fondamentali della geometria
Gli enti fondamentali della geometria sono: il punto, la retta, il piano dei
quali non è data definizione: la loro natura risulta però determinata da
particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati.
(Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!)
Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure
geometriche.
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Dominijanni
PUNTO
PUNTO
Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia
lasciata dalla matita vi dà l’idea approssimativa di un punto.
Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso
indica soltanto una posizione.
Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi
la lettera maiuscola dell’alfabeto; diremo perciò: punto A, punto B, ecc.
•A
•B
•C•D
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RETTA
RETTA
Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dà l’immagine concreta di
una retta.
A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e
senza spessore.
Su di una retta si possono segnare infiniti punti
Per distinguere una retta dall’altra si pone accanto a ciascuna di esse
Una lettera dell’alfabeto minuscolo; si dirà: retta a, retta b, ecc.
retta a
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Dominijanni
PIANO
PIANO
Un sottile foglio di carta, la superficie dell’acqua stagnante di un lago,
forniscono delle immagini concrete di un piano.
Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il
piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come
indefinitamente esteso in tutti i sensi
I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco:
α (alfa), β (beta), γ (gamma), ecc.
αPiano α
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Postulati riguardanti gli enti elementari
Alla retta appartengono infiniti punti
Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti
Esistono infinite rette
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Postulati riguardanti gli enti elementari
Per due punti distinti passa una sola retta
•
A
•
B
Per un punto passano infinite rette (l’insieme di tale rette è chiamato fascio
poprio)
A
Una retta può essere percorsa in due versi, l’uno opposto all’altro
La retta è illimitata e continua, vale a dire non ha fine né inizio; fra due
suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha “buchi”.
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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
Semiretta – Si dice semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta
rimane divisa da un suo punto.
•A
semiretta semiretta
origine
Segmento – Un segmento è la parte di retta limitata da due suoi
punti che si dicono estremi del segmento
A• •
B
segmento
estremi
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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
Segmenti consecutivi - Due segmenti aventi un estremo in comune si
dicono consecutivi
•
Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono adiacenti se sono
consecutivi ed appartengono alla stessa retta
A• •
B
A
B
C
C• •
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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
B
A C
Una linea formata a più segmenti consecutivi prende il nome di linea
spezzata
Una spezzata può essere aperta, chiusa o intrecciata
D
ESpezzata aperta
Spezzata chiusaSpezzata
intrecciata
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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano
da due semirette aventi l’origine in comune
Angolo convesso
Angolo
concavo
Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi
lati
Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei
suoi lati
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Dominijanni
Angoli particolari
Angolo PIATTO - Quando la semiretta OA ruota intorno ad O di
mezzo giro, assume la posizione OB, diventa cioè opposta ad OA.
In questo caso si dice che AÔB è un angolo piatto [un lato è il
prolungamento dell’altro ( 180 °)]
A O B
Angolo piatto
PIATTO:180°
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Angoli particolari
Angolo nullo - Se la semiretta OA rimane nella posizione
iniziale coincidente con OB, cioè se ha una rotazione nulla, si
dice che AÔB è un angolo nullo
O
A
B
Angolo GIRO - Se invece OA ruota di un giro completo intorno
ad O, descrive tutto il piano. Si dice in tal caso che AÔB è un
angolo giro [ i due lati sono sovrapposti (360°)]
O
A
BAngolo giroGIRO: 360°
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Dominijanni
Angoli particolari
Un angolo si dice RETTO se è la metà di un angolo piatto
RETTO:90°
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Dominijanni
Angoli particolari
Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto
Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto
OTTUSO: > di 90°
ACUTO: < di 90°
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Dominijanni
Angoli particolari
Angoli CONSECUTIVI - Due angoli si dicono consecutivi se
hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati
situati da parte opposta rispetto al lato comune
O
A
B
CLato comune
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Dominijanni
Angoli particolari
Angoli ADIACENTI - Due angoli si dicono adiacenti se oltre ad
essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti ad una
stessa retta
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
Angoli particolari
Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i
prolungamenti dell’altro
O
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Dominijanni
Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono
SUPPLEMENTARI
Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono
COMPLEMENTARI
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono
ESPLEMENTARI
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
Concetti o enti primitivi
Enti che non definiamo esplicitamente
Assiomi o postulati
Proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto
non dimostriamo
Teoremi
I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le
proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema,
mentre quella che segue l’allora è la tesi del teorema. La tesi
deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e
avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate,
vale a dire dei risultati di altri teoremi.