Eppur si muove ! Pare che queste fossero le parole pronunciate da Galileo Galilei all'uscita del tribunale di Inquisizione. Non vi erano ancora però dimostrazioni

Eppur si muove !

Pare che queste fossero le parole pronunciate da Galileo Galilei all'uscita del tribunale di Inquisizione.

Non vi erano ancora però dimostrazioni che la terra ruotava su se stessa.

Dovettero passare due secoli e mezzo perché si potesse realizzare un esperimento definitivo a conferma della giusta opinione di Galileo: questo esperimento, che utilizza un pendolo, fu proposto da Leon Foucault nel 1851, e mostrò in modo eclatante che il succedersi dei giorni e delle notti è dovuto alla rotazione della Terra non al movimento del Sole attorno ad essa.

Galileo, convinto che il sistema eliocentrico copernicano (1543) fosse il modello corretto, ne dimostrò la validità portando prove sia fisiche che astronomiche grazie alle osservazioni compiute con il cannocchiale.

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Il pendolo di Foucault è un dispositivo che mette in evidenza la rotazione della Terra attorno al proprio asse.Come viene evidenziata la rotazione della Terra? Con l’apparente rotazione del piano di oscillazione del pendolo.Si tratta di un fenomeno simile a quello che si osserva quando si fa oscillare un pendolo appeso sopra il centro di una giostra e si osserva il suo moto mentre si sta sopra la giostra in rotazione.

Al contrario l’osservatore esterno, fermo rispetto alla giostra, vede oscillare il pendolo sempre in un piano immobile.I “fisici” descrivono questo fenomeno dicendo che il secondo osservatore si trova in un sistema di riferimento inerziale mentre il primo osservatore si trova in un sistema di riferimento non-inerziale (in moto accelerato, dovuto alla rotazione della giostra)

Cosa è un pendolo di Foucault ? Come funziona?

Si vede che il piano di oscillazione ruota in senso opposto a quello di rotazione della giostra.

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Che cosa è un sistema di riferimento ?

Supponiamo di viaggiare su una automobile in autostrada.

A seconda del sistema di riferimento che scelgo posso descrivere la situazione in due modi diversi:

- se mi riferisco all’auto, posso dire che sono fermo e che la strada si muove.- se mi riferisco alla strada posso dire che mi sto muovendo io.Dato che siamo abituati a pensare che “le strade non si muovono” siamo indotti a usare comunemente per descrivere tutti i fenomeni un sistema di riferimento “terrestre”(rigidamente collegato alla superficie della Terra) che assumiamo come immobile.Ma pensiamo di osservare questi fenomeni da un sistema “fisso” dello spazio interplanetario (ad esempio dal Sole): vedremmo che anche le strade si muovono, esse infatti ruotano insieme al globo terrestre.Ai tempi di Foucault si pensava esistesse un sistema di riferimento assoluto (“inerziale”) riferito alle "stelle fisse”.



Che cosa è un sistema inerziale ?

Oggi sappiamo che non esiste nello spazio un sistema di riferimento inerziale assoluto (ovvero almeno una terna di punti fissi nello spazio).

Un sistema di riferimento inerziale è definito implicitamente dalla prima legge della dinamica.

Ad esempio anche le stelle dette "fisse"si muovono di moto accelerato, e solo la scala di lunghezza del fenomeno esaminato ci permette di volta in volta di approssimare un particolare sistema di riferimento ad un sistema inerziale.Per moti brevi (temporalmente e spazialmente) la Terra si può considerare un riferimento inerziale, mentre lo stesso non si può dire per una automobile o una giostra in movimento.In prima approssimazione un sistema fisso rispetto all'orbita che la Terra percorre attorno al Sole (eclittica) può essere considerato un sistema inerziale per moti abbastanza estesi, ad esempio per il moto di un proiettile che percorra molti chilometri, o per il moto di un pendolo che duri molte ore.

Ovvero, un sistema si dice inerziale se rispetto ad esso un corpo non soggetto ad alcuna interazione si muove di moto rettilineo ed uniforme.



Perché il piano di oscillazione del pendolo è immobile in un sistema inerziale ?

Questa previsione discende direttamente dalla seconda legge della dinamica per le rotazioni.Tale legge stabilisce che la derivata del vettore momento della quantità di moto è uguale al vettore momento della forza applicata . Nel pendolo conico (una massa appesa tramite un filo ad un punto fisso, o fulcro) la forza risultante che agisce sulla massa è la somma vettoriale della forza di gravità e della tensione del filo. Dato che il momento di tale forza è all’inizio perpendicolare al piano di oscillazione, la velocità della massa in ogni istante deve rimanere un vettore parallelo a tale piano e quindi il moto della massa resta vincolato al piano.


Se si pensa ad un pendolo posto al Polo Nord e si trascurano il moto della terra attorno al sole e le eventuali forze di attrito, le leggi della dinamica prevedono che le oscillazioni del pendolo, spostato dalla sua posizione di equilibrio, e poi lasciato andare con velocità nulla, giacciano su un piano immobile nel sistema di riferimento delle stelle “fisse”.Il moto del pendolo oscillante lungo questo piano immobile, visto da un osservatore dal sistema di riferimento rotante della Terra, sembra avvenire lungo un piano che ruota in senso contrario a quello della rotazione della Terra.

Un pendolo di Foucault posto al Polo Nord

In questa situazione il piano di oscillazione compie in 24 ore una rotazione di un angolo giro (360°).


Il grande valore scientifico dell’esperimento di Foucault consistette nell’aver fornito una prova sperimentale di un fenomeno astronomico utilizzando un fenomeno tutto contenuto nell’ambiente terrestre.

L’esperimento di Leon Foucault

Foucault ebbe la prima idea quasi per caso, mentre lavorava al tornio un’asta sottile le cui vibrazioni trasversali mostravano uno “strano” comportamento: se si ruotava il mandrino il piano della oscillazione restava fisso.

Egli capì la natura del fenomeno e pensò di usarlo per trasformare un pendolo in un rivelatore del moto di rotazione della terra.



L’asta vibrante all’origine dell’esperimento

Foucault presentò all’Accademia delle Scienze il 3 febbraio 1851 una relazione contente la seguente osservazione:

“…un’esperienza che mi ha messo sulla via della ricerca e che è assai facile da ripetere.

Dopo aver fissato al mandrino di un tornio una verga d’acciaio cilindrica e flessibile in modo che sia coassiale con l’asse della macchina, la si ponga in vibrazione spostandone l’estremità libera dalla posizione d’equilibrio e poi abbandonandola.

Si determina così un’oscillazione: essa si svolge in un piano che, a causa della persistenza dell’immagine visiva, si viene a disegnare nettamente nello spazio.

Ora, facendo ruotare a mano il mandrino che sostiene l’asta vibrante, si potrà notare che tale rotazione non trascina quella del piano di vibrazione.”


Foucault fece, nella cantina di casa sua, un primo tentativo con una palla di ottone di 5 kg appesa ad un filo d’acciaio lungo due metri, che mostrò ripetutamente una rotazione del piano di oscillazione in senso orario.

I tre esperimenti di Foucault con il pendolo.

Fece così un secondo tentativo all'osservatorio astronomico di Parigi con un filo lungo circa 11 metri, ottenendo un risultato migliore, ma non ancora soddisfacente.

Questo pendolo era costituito da una sfera di ottone di 28 kg appesa ad un filo di acciaio lungo 67 metri e fornita di una punta che lasciava traccia del suo movimento su uno strato di sabbia steso sul pavimento.

In quel primo esperimento lo smorzamento era eccessivo: per far percepire meglio la rotazione del piano, si doveva usare un filo più lungo.

Il terzo tentativo consistette nel collocare un enorme pendolo entro il Pantheon di Parigi, in occasione della grande Esposizione Internazionale del marzo 1851.


Il periodo di oscillazione era 16,5 secondi, e il tempo di smorzamento 6 ore.

Caratteristiche del pendolo montato nel Pantheon

Doveva quindi massimizzare la lunghezza L del pendolo, dato che T≈2√L/g .Inoltre doveva utilizzare grande ampiezza A di oscillazione, dato che lo spostamento della posizione del pendolo ad ogni successivo passaggio sul cerchio toccato dalla elongazione massima è proporzionale ad A.

Con tale allestimento il piano di oscillazione ruotava di 0.05 gradi ad ogni periodo, e con ampiezza di 3 metri il pendolo tracciava traiettorie sulla sabbia che, sul cerchio di massima elongazione, erano separate da quasi 3 millimetri, una distanza apprezzabile anche ad occhio nudo. Per rendere visibile la lenta rotazione del piano di oscillazione, che alla latitudine di Parigi (circa 49°) corrisponde ad una rotazione di soli 11.3 gradi ogni ora, Foucault aveva bisogno di massimizzare il periodo T delle oscillazioni.

Infine doveva utilizzare una grande massa, dato che a parità di attrito tra punta tracciante e sabbia lo smorzamento è inversamente proporzionale al momento di inerzia del sistema rispetto al fulcro, e quindi anche alla massa oscillante.


Altre famose versioni dell’esperimento

L’anno successivo a Groninga, Middelburg, Deventer, Danzica, Colonia, Haarlem, Copenhagen, poi a Pechino…Oggi quasi ogni museo scientifico possiede un pendolo di Foucault.

Un pendolo di 93 metri e pesante 54 kg, fu attaccato alla sommità della cupola della cattedrale di Sant'Isacco.

Già nello stesso anno 1851 l’esperimento di Foucault suscitò tale interesse da essere ripetuto prima nella cattedrale di Reims, poi nella Radcliffe Library di Oxford, poi a Dublino, poi a New York, a Rio de Janeiro, a Colombo (Ceylon) ed infine a Roma, nella chiesa di S. Ignazio dal padre gesuita Angelo Sechi.

L'esperimento di Foucault fu ripetuto ottant’anni dopo (il 12 aprile del 1931) a S. Pietroburgo, con un allestimento eccezionale

L'ampiezza delle oscillazioni era di 5 metri e il periodo di oscillazione era di 20 secondi. Ad ogni oscillazione la punta del pendolo si spostava di 6 millimetri.

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Il valore della velocità angolare del piano di oscillazione dipende dalla latitudine a cui il pendolo si trova, ed è uguale al prodotto della velocità angolare della Terra per il seno trigonometrico della latitudine : = sin La latitudine di un luogo è misurata dall’angolo tra la verticale locale e la verticale all’Equatore.

La rotazione del piano di oscillazione a diverse latitudini

Ad esempio la latitudine del Polo Nord è 90° , la latitudine di Padova è 45.24°, quella dell’Equatore è 0° , e quella del Polo Sud è -90°.

In altre parole a Padova il pendolo impiega circa un giorno e mezzo per completare un giro.

Il seno di 45.24° vale 0.71, e quindi la velocità di precessione del pendolo a Padova è circa 2/3 della velocità di rotazione della Terra.


L’animazione mostra quale sarebbe al Polo Nord il moto apparente di un pendolo ideale di lunghezza L pari al diametro della Terra, quindi con periodo di oscillazione T di 2 ore. Il periodo vale: ove g è l’accelerazione di gravità.

T =2 L / g


Animazione che mostra quale sarebbe il moto apparente dello stesso pendolo ideale posto vicino all’Equatore (2.5 gradi Nord).


Animazione che mostra quale sarebbe il moto apparente dello stesso pendolo ideale posto a Padova, alla latitudine =45.24 gradi Nord

Si vede che la traiettoria del pendolo rispetto al piano solidale alla Terra è un’orbita “aperta” prodotta da una

rotazione del piano ad una velocità angolare inferiore a quella del globo terrestre (), e ad essa legata dalla relazione = sin. pulsante rosso: avanti pulsante nero: indietro pulsante bianco: inizio

Le forze fittizie in un sistema rotante

Se invece ci muoviamo con velocità v rispetto alla giostra, oltre alla forza di gravità, e alla forza centrifuga sentiamo una seconda forza fittizia, la forza di Coriolis Fc in direzione è ortogonale alla velocità.

Un modo per spiegare la rotazione del piano di oscillazione al polo Nord, è quello di porsi nel sistema di riferimento rotante ed introdurre nelle equazioni del moto anche le “forze fittizie.Ad esempio tutti sappiamo che quando ci troviamo sopra una giostra che gira velocemente ci sentiamo spingere verso l’esterno da una forza “centrifuga” F.

La forza centrifuga è sempre diretta radialmente e dipende solo dalla velocità angolare e dalla distanza dall’asse di rotazione r, mentre la direzione della forza di Coriolis dipende sia dalla direzione della velocità angolare della giostra che dalla direzione della nostra velocità v, e la sua intensità è proporzionale ad entrambe.



Se restiamo fermi rispetto alla giostra , ad esempio su una sedia, la sedia applica al nostro corpo una forza centripeta -F (dovuta alla rotazione).

La relazione tra il vettore velocità v (di un corpo posto a distanza r dall’asse) relativo alla giostra che ruota con velocità angolare e il vettore velocità v' misurato da un osservatore esterno è:

v' = v + r, ove è il prodotto vettore.

L’accelerazione di Coriolis

L’accelerazione di Coriolis, che dipende invece dalla velocità del corpo v, può diventare importante per grandi valori di v, ad esempio per le masse d’aria : essa infatti provoca il fenomeno dei cicloni atmosferici.

L’analoga relazione tra le accelerazioni èa' = a + ( r ) +2 v.

Il secondo termine è l'accelerazione centrifuga, e il terzo termine è la accelerazione di Coriolis.L’accelerazione centrifuga, quando si considera la lentissima rotazione del globo terrestre, è trascurabile, non solo ai Poli ove si annulla, ma anche all’equatore, ove è qualche permille della accelerazione di gravità g.


La forza di Coriolis nel pendolo sulla giostra

Nel sistema di riferimento di una giostra in lentissima rotazione il pendolo si muove come se fosse soggetto, oltre alla forza di gravità, alla forza di Coriolis Fc, diretta come qui indicato dalla freccia verde, che cambia verso insieme alla velocità v (freccia rossa).



Il merito di Foucault fu quello di rendere visibili gli effetti della forza di Coriolis, utilizzando il pendolo che accumula, oscillazione dopo oscillazione, le piccole deviazioni prodotte da questa debole forza .

Cenni storici sulla forza di Coriolis

Già nel 1835 era stato pubblicato uno studio ad opera di Gaspard-Gustave de Coriolis sulle possibili deviazioni subite dai proiettili per effetto della rotazione terrestre (Sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps ).

La scoperta degli effetti della componente verticale della rotazione terrestre sul moto dei corpi non fu merito di Foucault.


Pendolo posto su una Giostra o su una Ruota Panoramica

Da ciò si può dedurre che la componente di tale forza lungo un piano qualsiasi è proporzionale alla proiezione della velocità angolare sulla perpendicolare a tale piano. Per piccole ampiezze, la massa del pendolo si muove quasi in un piano orizzontale, e quindi la componente orizzontale della forza di Coriolis è massima per una giostra orizzontale (che ha velocità angolare verticale).Invece se poniamo il pendolo su una grande ruota verticale (come quelle dei Luna Park), ove la velocità angolare è diretta orizzontalmente, la componente nel piano orizzontale della forza di Coriolis è nulla.Per questa ragione l’effetto della forza di Coriolis su un pendolo è massima ai Poli (come su una giostra) e nulla all’Equatore (come su una ruota verticale)


In una rappresentazione vettoriale la forza di Coriolis si scrive Fc=-2mv.

La forza di Coriolis ad una latitudine generica

Per un pendolo posto alla latitudine di Padova (=45.3°) l’effetto della forza di Coriolis Fc è intermedio rispetto ai valori assunti ai Poli e all’Equatore perché la componente verticale della velocità angolare della Terra vale '= sin


La traiettoria del pendolo su una giostra

Facendo oscillare un pendolo ancorato ad un fulcro posto sopra una giostra, se si fa in modo che il pendolo lasci una traccia sulla piattaforma, la traccia risulta una “rosetta” con un numero N di “petali” che cresce con il rapporto tra il periodo di rotazione della giostra Tr ed il periodo di oscillazione T: N=2Tr/T. La forma esatta della traiettoria dipende anche dalle condizioni iniziali.Se il pendolo è tenuto fermo lontano dalla sua posizione di equilibrio, e poi abbandonato con velocità nulla relativa alla giostra, (ad esempio da un operatore sulla giostra) allora la traiettoria descrive una curva come questa



Come è la traiettoria di questo pendolo reale?

Se esso fosse posto al Polo Nord sulla piattaforma “Terra” che ruota di un giro ogni 24 ore (86400 secondi), disegnerebbe ben 19.200 “petali.

Questo pendolo, appeso alla volta del Palazzo della Ragione, è lungo 20 metri , con periodo di circa 9 secondi.

Il periodo di oscillazione di un pendolo, per piccoli valori dell’ampiezza di oscillazione, dipende solo dalla sua lunghezza L, e vale T=2√(L/g), ove g=9.8 m/s2 è l’accelerazione di gravità .

Alla latitudine di Padova il piano di oscillazione di ogni pendolo di Foucault in 24 ore sembra ruotare di circa 256 gradi (con una velocità angolare apparente di circa 10.7 gradi/ora, pari a circa 0.18 gradi al minuto).


Ovvero servono circa 11 minuti per osservare una apparente rotazione di 2 gradi per un pendolo di Foucault posto a Padova.La “rosetta disegnata da questo pendolo in 24 ore è composta di ben 27000 petali, e per una rotazione apparente di 2 soli gradi esso deve completare ben 75 oscillazioni.

Una diversa traiettoria del pendolo sulla giostra

Se si pone in oscillazione il pendolo sulla giostra e poi si mette in moto la giostra, si osserva una curva diversa (nel sistema di riferimento rotante).

La traiettoria vista dal sistema di riferimento inerziale (osservatore esterno alla giostra) è invece un tratto di retta.


La traiettoria con condizioni iniziali diverse

La stessa curva si ottiene se il pendolo parte dalla posizione di equilibrio, con velocità finita (in direzione radiale qualsiasi).

La differenza è dovuta al fatto che nel secondo caso il pendolo parte con una piccola velocità tangenziale al cerchio di massima elongazione, e la traiettoria vista dal sistema di riferimento inerziale è una ellissi.

La prima curva passa due volte per il punto di equilibrio ogni periodo di oscillazione, mentre la seconda non ci passa mai.


Le diverse traiettorie per un pendolo posto al Polo Nord

Le due possibili traiettorie descritte da un pendolo ideale: quella sopra è prodotta quando il pendolo è rilasciato fermo nel sistema rotante, quella sotto quando è lanciato dal centro, o da un osservatore esterno alla Terra. A sinistra è evidenziata la rotazione del piano di oscillazione.


Le diverse traiettorie al Polo Nord e a PadovaQuesta simulazione mostra le due possibili traiettorie descritte da due pendoli ideali, con periodo di 2 ore, per effetto della rotazione terrestre.

A sinistra viene evidenziata la rotazione dei due piani di oscillazione: quello del pendolo posto al Polo Nord compie un intero giro in 24 ore, quello posto a Padova percorre in 24 ore solo un angolo di 256 gradi. pulsante rosso: avanti pulsante nero: indietro pulsante bianco: inizio

Il pendolo e Galileo

Nel 1641 Galileo propose l'utilizzo del pendolo come meccanismo regolatore degli orologi, e ne abbozzò addirittura un progetto.

Pensando che il periodo di oscillazione di un pendolo fosse praticamente indipendente dalla sua ampiezza (fenomeno detto "isocronismo"), cercò di trovare una

relazione tra la lunghezza e il periodo. Sulla base di questa sua idea il pendolo venne usato come strumento per misurare gli intervalli di tempo, trovando applicazione per esempio in medicina, come misuratore delle pulsazioni cardiache.

Quando si nomina un pendolo, al di fuori dell’ambiente scientifico, è frequente scoprire che i più, giustamente, relazionano questo dispositivo alla figura di Galileo Galilei. Si ipotizza che nel 1581 Galileo abbia intrapreso lo studio del moto del pendolo dopo aver osservato il moto di oscillazione di una lampada sospesa nella Cattedrale di Pisa.



SAGR. V. S. […] Io ho ben mille volte posto cura alle vibrazioni, in particolare, delle lampade pendenti in alcune chiese da lunghissime corde, inavvertentemente state mosse da alcuno; ; […] ma che io fussi per apprenderne che quel mobile medesimo, appeso a una corda di cento braccia di lunghezza, slontanato dall'imo punto una volta novanta gradi ed un'altra un grado solo o mezzo, tanto tempo spendesse in passar questo minimo, quanto in passar quel massimo arco, certo non credo che mai l'avrei incontrato, ché ancor ancora mi par che tenga dell'impossibile; […]

SALV. Prima d'ogni altra cosa bisogna avvertire che ciaschedun pendolo ha il tempo delle sue vibrazioni talmente limitato e prefisso, che impossibil cosa è il farlo muovere sotto altro periodo che l'unico suo naturale. [VIII, 138-141]

Dalla Prima Giornata dei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due Nuove

Scienze


L’orologio a pendolo

Galileo, dato che possedeva fuori dalla finestra del suo studio presso l'università di Padova un grande pendolo lungo 10 metri a cui era appesa una palla da un chilo, avrebbe potuto rilevare l'effetto di Foucault.

Oggi sappiamo che il pendolo è un oscillatore anarmonico il cui periodo di oscillazione dipende dall’ampiezza, quindi non isocrono, e si può considerare “abbastanza isocrono” soltanto se le oscillazioni sono di piccola ampiezza.

E forse in effetti di qualcosa si accorse, dato che negli scritti del suo allievo Viviani a proposito del pendolo si legge: “insensibilmente va traviando dalla prima sua gita”.



La relazione che lega il periodo T di un pendolo semplice alla elongazione è:

T ()=4 L

2gdα

cosα−coso

ϑ

∫

Questi effetti furono studiati da Christian Huygens che nel 1656 brevettò il primo orologio a pendolo, e più tardi pubblicò una estesa teoria (Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum,1673).

Il pendolo è un oscillatore anisocrono

ove l’integrale ellittico è oggi facilmente calcolabile per via numerica.Solo per piccoli valori dell’ampiezza di oscillazione la variazione del periodo diventa trascurabile, e quindi può servire a scandire il tempo.Mantenendo costante l’ampiezza di oscillazione mediante opportuni accorgimenti (ad esempio con il dispositivo detto scappamento ) si può ottenere un periodo molto costante, utilizzabile in un orologio.


Per mantenere costante l’ampiezza di oscillazione di 2 metri di diametro, un campo magnetico pulsato, prodotto da un elettromagnete posto al centro della piattaforma sottostante, attrae la sfera durante i quarti di periodo in cui essa si avvicina al centro.

Come è fatto questo pendolo ?

Un anello di Charron, posto a circa 25 cm dal punto di attacco del filo, provvede a contenere la ellitticità del moto pendolare.L’oscillazione della sfera è soggetta smorzamento per effetto di vari fenomeni dissipativi (principalmente l’attrito con l’aria).

La sfera, in alluminio e ferro, del peso di 13 kg, è appesa al soffitto mediante un filo di acciaio di diametro 1 mm e lungo 20 metri.

Un LED blu al centro si accende durante l’intervallo di tempo in cui il campo magnetico attira la sfera (ovvero quando si fa passare corrente nella bobina dell’elettromagnete).Per evitare la magnetizzazione permanente della sfera il verso della corrente nella bobina viene cambiato ogni quarto di periodo.


Maggiori dettagliUn sensore ottico al centro della piattaforma fornisce il segnale che spegne il campo magnetico al passaggio del pendolo.Altri sensori ottici posti lungo un cerchio misurano la velocità radiale per consentire la stabilizzazione della ampiezza di oscillazione (tramite il controllo della intensità del campo magnetico) anche quando la distanza sfera-magnete cambia per effetto delle dilatazioni termiche stagionali della struttura e del filo.La rotazione del piano di oscillazione è evidenziata da 180 LED che si accendono in sequenza. L’arco di LED accesi si allunga mano a mano che il piano ruota.


Quando il piano di oscillazione ha compiuto un giro completo (360 gradi) tutti i LED si spengono ed il processo ricomincia.

La prima breve parte del filmato riproduce le oscillazioni a velocità naturale, poi viene proiettata una sequenza di fotogrammi scelti in modo tale da comprimere la durata del fenomeno senza impedire l’osservazione delle oscillazioni.

L’istante in cui il piano di oscillazione passa per la direzione Est-Ovest (la direzione dei paralleli) è diverso ogni giorno.

Quindi l’arco di LED ha diversa lunghezza alla stessa ora del giorno in giorni diversi.

Una registrazione della rotazione del piano di oscillazione


Un filmato delle oscillazioni registrato da una telecamera appesa al soffitto è proiettato a ciclo continuo.

Comune di Padova

Multimediale a cura di Labtrek, con la collaborazione del Dipartimento di Fisica dell’Università di Padova

e con un contributo di Ruben Sabbadini per la costruzione delle simulazioni con Cabri

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