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 Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques d’Oran Module Phy004 : Electromagnétisme & Optique Physique Année universitaire 2011 / 2012 22/04/2012    Semestre 2 Série de TD n°6 : Ondes électromagnétiques dans les plasmas I. Rappel de cours : Equations de Maxwell dans les plasmas : Un plasma est un milieu composé d’atomes ou de molécules ionisés mais qui reste globalement électriquement neutre. Cet environnement est constitué d’ions négatifs mobiles (électrons) et d’ions positifs immobiles (noyaux donc beaucoup plus lourds). Equation de Maxwell- Gauss   = 0 Equation de Maxwell- Faraday =          Equation de Maxwell- Flux   = 0 Equation de Maxwell- Ampère   = μ 0    + μ 0 ε 0          A haute fréquence et à cause de l’inertie des électrons, le comportement du plasma est proche de celui du vide et le milieu est dit transparent : les variations du champ électrique de l’onde E.M. sont trop rapide pour être suivies par les électrons. A basse fréquence, les ondes sont évanescentes (elles ne vont pas loin dans le plasma) car l’amplitude décroit d’une manière exponentielle et le milieu est dit dispersif. Seules les ondes planes monochromatiques de pulsations >  se propagent dans un plasma qui se comporte alors comme un f iltre « passe-haut » ce dernier coupe les basses fr équences <  . II. Tester ses connaissances : Lois de propagation dans un plasma : L’ionosphère est la partie de la haute atmosphère ( 75 à 250 km d’altitude en plusieurs couches) où les gaz sont ionisés par le rayonnement cosmique et par le vent solaire : c’est un exemple de plasma. On s’intéresse à la propagation d’une onde E.M. plane progressive monochromatique dans ce plasma qui se propage dans la direction des  posétifs. On note  et  les champs électrique et magnétique associés à cette onde. Ces champs agissent sur les électrons du plasma et les mettent en mouvement. On note  la densité volumique d'électrons libres ainsi produits. ( , ) = 0 exp(i(. ))  , = 0 + 0  Equation de Klein- Gordon (Relation de Dispersion) 2 2 + 2 = 2   2 = 2 2 2  ou Vitesse de phase (propagation de l’onde)  =   =   2 2 =  1 2 2  Vitesse de groupe = = 2 = 2   = 2 = 2 =   2 2  

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  • Ecole Prparatoire en Sciences et Techniques dOran

    Module Phy004 : Electromagntisme & Optique Physique

    Anne universitaire 2011 / 2012

    22/04/2012 Semestre 2

    Srie de TD n6 : Ondes lectromagntiques dans les plasmas

    I. Rappel de cours : Equations de Maxwell dans les plasmas :

    Un plasma est un milieu compos datomes ou de molcules ioniss mais qui reste globalement lectriquement neutre. Cet environnement est constitu dions ngatifs mobiles (lectrons) et dions positifs immobiles (noyaux donc beaucoup plus lourds).

    Equation de Maxwell- Gauss

    = 0

    Equation de Maxwell- Faraday

    =

    Equation de Maxwell- Flux

    = 0

    Equation de Maxwell- Ampre

    = 0 + 00

    A haute frquence et cause de linertie des lectrons, le comportement du plasma est proche de

    celui du vide et le milieu est dit transparent : les variations du champ lectrique de londe E.M. sont

    trop rapide pour tre suivies par les lectrons.

    A basse frquence, les ondes sont vanescentes (elles ne vont pas loin dans le plasma) car

    lamplitude dcroit dune manire exponentielle et le milieu est dit dispersif.

    Seules les ondes planes monochromatiques de pulsations > se propagent dans un plasma qui

    se comporte alors comme un filtre passe-haut ce dernier coupe les basses frquences < .

    II. Tester ses connaissances : Lois de propagation dans un plasma :

    Lionosphre est la partie de la haute atmosphre (75 250 km daltitude en plusieurs couches) o

    les gaz sont ioniss par le rayonnement cosmique et par le vent solaire : cest un exemple de plasma.

    On sintresse la propagation dune onde E.M. plane progressive monochromatique dans ce plasma

    qui se propage dans la direction des postifs.

    On note et les champs lectrique et magntique associs cette onde. Ces champs agissent sur

    les lectrons du plasma et les mettent en mouvement. On note la densit volumique d'lectrons

    libres ainsi produits.

    ( , ) = 0 exp(i( . )) O , = 0 + 0

    Equation de Klein-Gordon (Relation de Dispersion)

    22 + 2 = 2

    2 =2

    2

    2 ou

    Vitesse de phase (propagation de

    londe) =

    =

    2 2=

    1 2

    2

    Vitesse de groupe

    =

    = 2

    =

    2

    = 2

    =

    2

    =

    2

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  • 1. Ecrire lquation de propagation aux

    drives partielles laquelle obit le

    champ lectrique

    2. Donner lquation du mouvement de

    llectron, la vitesse de llectron et la

    densit de courant induite par le champ .

    3. Montrer que la propagation est possible

    condition d'avoir une certaine relation

    entre et que l'on dterminera. On fera

    apparatre une pulsation de coupure

    caractristique .

    4. Dterminer les expressions de la vitesse de

    phase de la vitesse de groupe.

    5. Calculer la valeur de la frquence

    caractristique dans le cas de l'ionosphre.

    6. Vous tes ingnieur en

    tlcommunication, vous disposez de deux

    frquences (164 KHz, 105,5 MHz) pour

    tablir une liaison radio interocanique et

    une autre satellitaire. Comment allez vous

    affectez ces frquences ?

    Donnes numrique pour l'ionosphre :

    Permabilit magntique 0 = 4. 107H. m1

    Permittivit dilectrique 0 =1

    36. 109F. m1

    Charge lmentaire : = 1.6 x 1019C

    Masse de l'lectron : = 9 x 1031kg

    Densit volumique d'lectrons: = 1012 m3

    III. Concours tranger (Polytechnique-1990): Dispersion dans le plasma interstellaire :

    Le plasma interstellaire est constitu dlectron de masse , de charge , de nombre volumique ,

    en mouvement non relativiste, et dions supposs fixes. Il est localement neutre et le reste au

    passage dondes lectromagntiques. Avec ces hypothses, on cherche des solutions des quations

    de Maxwell sous la forme dondes planes progressives monochromatiques (appeles OPPM dans la

    suite) de vecteur donde , de pulsation :

    ( , ) = 0 exp(i( . ))

    Et :

    ( , ) = 0 exp(i( . ))

    1. Montrer que de telles solutions nexiste que si la densit de courant des lectrons est elle-mme

    une OPPM de mme vecteur donde et de mme pulsation, cest--dire de la forme

    ( , ) = 0 exp(i( . ))

    2. Montrer que est orthogonal .

    3. Ecrire lquation du mouvement de llectron et montrer que leffet du champ magntique y

    ngligeable. Montrer que les vecteurs et sont colinaires et dterminer la conductivit du

    plasma. Commenter.

    4. A laide des quations de Maxwell, exprimer 0 en fonction de , , 0 et 0 . En dduire une

    nouvelle expression de .

    5. En dduire la relation de dispersion () . En posant = 0n2

    , tablir les expressions des

    vitesses de phase et de groupe des ondes lectromagntiques dans le plasma. Quelle relation

    vrifient-elles ?