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gerger
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Ecole Prparatoire en Sciences et Techniques dOran
Module Phy004 : Electromagntisme & Optique Physique
Anne universitaire 2011 / 2012
22/04/2012 Semestre 2
Srie de TD n6 : Ondes lectromagntiques dans les plasmas
I. Rappel de cours : Equations de Maxwell dans les plasmas :
Un plasma est un milieu compos datomes ou de molcules ioniss mais qui reste globalement lectriquement neutre. Cet environnement est constitu dions ngatifs mobiles (lectrons) et dions positifs immobiles (noyaux donc beaucoup plus lourds).
Equation de Maxwell- Gauss
= 0
Equation de Maxwell- Faraday
=
Equation de Maxwell- Flux
= 0
Equation de Maxwell- Ampre
= 0 + 00
A haute frquence et cause de linertie des lectrons, le comportement du plasma est proche de
celui du vide et le milieu est dit transparent : les variations du champ lectrique de londe E.M. sont
trop rapide pour tre suivies par les lectrons.
A basse frquence, les ondes sont vanescentes (elles ne vont pas loin dans le plasma) car
lamplitude dcroit dune manire exponentielle et le milieu est dit dispersif.
Seules les ondes planes monochromatiques de pulsations > se propagent dans un plasma qui
se comporte alors comme un filtre passe-haut ce dernier coupe les basses frquences < .
II. Tester ses connaissances : Lois de propagation dans un plasma :
Lionosphre est la partie de la haute atmosphre (75 250 km daltitude en plusieurs couches) o
les gaz sont ioniss par le rayonnement cosmique et par le vent solaire : cest un exemple de plasma.
On sintresse la propagation dune onde E.M. plane progressive monochromatique dans ce plasma
qui se propage dans la direction des postifs.
On note et les champs lectrique et magntique associs cette onde. Ces champs agissent sur
les lectrons du plasma et les mettent en mouvement. On note la densit volumique d'lectrons
libres ainsi produits.
( , ) = 0 exp(i( . )) O , = 0 + 0
Equation de Klein-Gordon (Relation de Dispersion)
22 + 2 = 2
2 =2
2
2 ou
Vitesse de phase (propagation de
londe) =
=
2 2=
1 2
2
Vitesse de groupe
=
= 2
=
2
= 2
=
2
=
2
2
1. Ecrire lquation de propagation aux
drives partielles laquelle obit le
champ lectrique
2. Donner lquation du mouvement de
llectron, la vitesse de llectron et la
densit de courant induite par le champ .
3. Montrer que la propagation est possible
condition d'avoir une certaine relation
entre et que l'on dterminera. On fera
apparatre une pulsation de coupure
caractristique .
4. Dterminer les expressions de la vitesse de
phase de la vitesse de groupe.
5. Calculer la valeur de la frquence
caractristique dans le cas de l'ionosphre.
6. Vous tes ingnieur en
tlcommunication, vous disposez de deux
frquences (164 KHz, 105,5 MHz) pour
tablir une liaison radio interocanique et
une autre satellitaire. Comment allez vous
affectez ces frquences ?
Donnes numrique pour l'ionosphre :
Permabilit magntique 0 = 4. 107H. m1
Permittivit dilectrique 0 =1
36. 109F. m1
Charge lmentaire : = 1.6 x 1019C
Masse de l'lectron : = 9 x 1031kg
Densit volumique d'lectrons: = 1012 m3
III. Concours tranger (Polytechnique-1990): Dispersion dans le plasma interstellaire :
Le plasma interstellaire est constitu dlectron de masse , de charge , de nombre volumique ,
en mouvement non relativiste, et dions supposs fixes. Il est localement neutre et le reste au
passage dondes lectromagntiques. Avec ces hypothses, on cherche des solutions des quations
de Maxwell sous la forme dondes planes progressives monochromatiques (appeles OPPM dans la
suite) de vecteur donde , de pulsation :
( , ) = 0 exp(i( . ))
Et :
( , ) = 0 exp(i( . ))
1. Montrer que de telles solutions nexiste que si la densit de courant des lectrons est elle-mme
une OPPM de mme vecteur donde et de mme pulsation, cest--dire de la forme
( , ) = 0 exp(i( . ))
2. Montrer que est orthogonal .
3. Ecrire lquation du mouvement de llectron et montrer que leffet du champ magntique y
ngligeable. Montrer que les vecteurs et sont colinaires et dterminer la conductivit du
plasma. Commenter.
4. A laide des quations de Maxwell, exprimer 0 en fonction de , , 0 et 0 . En dduire une
nouvelle expression de .
5. En dduire la relation de dispersion () . En posant = 0n2
, tablir les expressions des
vitesses de phase et de groupe des ondes lectromagntiques dans le plasma. Quelle relation
vrifient-elles ?