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Equação de um lugar geométrico (LG)
Definição de lugar geométrico (LG)
Um conjunto de pontos que possuem com exclusividade uma determinada propriedade e somente eles a possuem é denominado de lugar geométrico (LG).
Propriedade essa que pode ser traduzida por uma relação matemática.
Exemplos de lugares geométricos planos
Uma circunferência de centro O e raio R é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à distância R do ponto O.
O
P1
P2
P3
R
RR
OP1 = OP2 = OP3 = ... = R
Exemplos de lugares geométricos planos
Uma reta de um plano que passa por dois pontos A e B é o lugar geométrico dos pontos do plano alinhados com A e B.
P1 , P2 , P3 , ... estão alinhados com A e B.
A
P1
r
B
P2
P3
Exemplos de lugares geométricos planos
A mediatriz de um segmento AB é o lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam dos extremos do segmento AB.
P1A = P1B
A
P1
r
B
P2
P3
P2A = P2B
P3A = P3B. . . . . . . . .
Exemplos de lugares geométricos planos
Dados uma reta r e um ponto F, o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de r e F é uma parábola.
P1A1 = P1F
P2A2 = P2F
P3A3 = P3F
. . . . . . . . . .
P3
P1
FA3
A1
P2
P4
A2
A4
r
Exemplos de lugares geométricos planos
A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos do plano que eqüidistam dos seus lados.
P1A1 = P1B1
P2A2 = P2B2
P3A3 = P3B3
. . . . . . . . .O
A
B
x
P1
P2
P3
A1
A2
A3
B1 B2 B3
Os pontos da bissetriz OX eqüidistam dos lados AO e OB.
Equação de um lugar geométrico (LG)
Quando um lugar geométrico está contido num sistema xOy de coordenadas cartesianas, ele pode ser associado a uma equação de variáveis x e y. Chamada equação do lugar geométrico.
Equação de um lugar geométrico (LG)
De maneira geral, a equação do lugar geométrico é obtida assim:
toma-se um ponto genérico P(x, y) do lugar geométrico;
escreve-se a relação matemática que expressa a propriedade que caracteriza os pontos P do lugar; finalmente chega-se à equação do lugar geométrico nas variáveis x e y.
Exemplos
Dados os pontos A(1, 3) e B(4, 1), obter a equação da reta r, mediatriz do segmento AB.
A
B
41
3
x
y
0
P(x,y)
PA = PBr
2222 )1y()4x()3y()1x(
–2x + 1 – 6x + 9= –8x + 16 – 2y + 1
6x + 2y – 7 = 01
Exemplos
Achar a equação da circunferência de centro no ponto O(4, 3) e raio 2.
3)3y()4x( 22
4
3
x
y
0
OP = 3
x2 – 8x + 16 + y2 – 6y + 9 = 0
P(x,y)
3
O 9)3y()4x( 22
x2 + y2 – 8x – 6y + 25 = 0
Exemplos
Encontrar a equação da reta determinada pelos pontos A(0, 1) e B(2, 3).
P(x, y) ∊ AB ⇒ A, B e P estão alinhados
A
B
2
1
3
x
y
0
P(x,y)
r
x y 1
0 1 1
2 3 1
= 0
–2x + 2y – 2 = 0 : (–2)
x – y + 1 = 0
Exemplos
Dado o ponto F(3, 4), obter a equação da parábola p com foco em F e diretriz no eixo x.
FP = Px
F
3
4
x
y
0
P(x,y)
p
y)4y()3x( 22
x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = y2
x2 – 6x + – 8y + 25 = 0
Exemplos
Obter a equação do LG dos pontos do plano cuja distância ao eixo x é o dobro da distância ao eixo y.
y2 = 4x2
P(x, y) ∊ LG ⇒ Px = Py
| y | = 2| x |
⇒ y2 – 4x2 = 0
⇒ (y + 2x).(y – 2x) = 0⇒ y + 2x = 0 ou y – 2x = 0
x
y
1–1
–2
2A B
CD
r2r1
Exemplos
Obter a equação do LG dos pontos do plano cuja distância ao ponto A(1, 2) é o dobro da distância à origem.
x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 4(x2 + y2)
P(x, y) ∊ LG ⇒ PA = 2PO
x
y
1
2222 )0y()0x(2)2y()1x(
–3x2 – 3y2 – 2x – 4y + 5 = 03x2 + 3y2 + 2x +4y – 5 =0
0
Pontos de umlugar geométrico
Para que um ponto pertença a um lugar geométrico, suas coordenadas devem verificar sua equação.
Exemplos
Verifique se o ponto A(1, 6) pertence à circunferência de centro C(3, 4) e raio √8.
8)4y()3x( 22
CP = √8
8)4y()3x( 22
Fazendo x = 1 e y = 6 na equação da circunferência, temos
(1 – 3)2 + (6 – 4)2 = 8⇒ (–2)2 + (2)2 = 8
Portanto, A(1, 6) pertence ao L.G.
Exemplos
Verificar se o ponto O(0, 0) pertence ao lugar geométrico cuja equação é x2 + y2 – √3x + √7y = 0.
Fazendo x = 0 e y = 0 na equação dada, temos
(0)2 + (0)2 – √3.0 + √7.0 = 0
Logo, O(0, 0) pertence ao L.G.
