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Equação de Laplace Pedro Henrique do Nascimento de Luzia [email protected] Universidade Federal Fluminense (UFF) Instituto de Matemática (IM) Departamento de Matemática Aplicada (GMA) Rua Mário Santos Braga, S/N Valonguinho 24020-14 - Niterói, Rio de Janeiro, Brasil Dezembro, 2010

Equacao Laplace Esfericas

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Page 1: Equacao Laplace Esfericas

Equação de Laplace

Pedro Henrique do Nascimento de Luzia

[email protected]

Universidade Federal Fluminense (UFF) Instituto de Matemática (IM)

Departamento de Matemática Aplicada (GMA) Rua Mário Santos Braga, S/N – Valonguinho 24020-14 - Niterói, Rio de Janeiro,

Brasil

Dezembro, 2010

Page 2: Equacao Laplace Esfericas

Introdução

No campo científico pode – se encontrar um desafio de problemas

matemáticos. Esses problemas conhecidos como equações diferenciais, na qual

relaciona uma função a si mesma e a suas derivadas. Equações diferenciais quando

ocorre em múltiplas dimensões são chamadas de equações diferenciais, e será a

discussão do trabalho. Na seção I é apresentada a dedução do operador laplaciano

em coordenadas esféricas, na seção II são apresentadas as Equações de Legendre

e Legendre Associadas, com explicação de ortogonalidade e recorrência. Na seção

III é apresentada a série de Fourier-Legendre, na seção IV começamos a

demonstrar a solução das equações diferenciais, com a equação de Euler-Cauchy.

Na seção V é apresentada a solução da equação de laplace em coordenadas

esféricas, com diversas condições de contorno.

Page 3: Equacao Laplace Esfericas

I. Dedução Laplaciano (Coordenadas Esféricas):

Caso Geral:

Para coordenadas esféricas temos as relações:

. No caso geral , e podem ser pensadas como funções

de e :

( ) ( ) ( )

Assumindo que em domínio no espaço, estas funções têm derivadas

contínuas e podem ser resolvidas para e :

( ) ( ) ( )

Escolhemos um ponto com coordenadas ( ), também representado

por ( ) em termos de e . Se

e n e variarmos ,

obtemos uma curva (lisa) passando por

chamada . Igualmente obtemos a

e a . Como mostrado na

figura.

Podemos ainda introduzir os vetores

junto com as tangentes dessas curvas

(na direção de crescimento de e ). Isto

estabelece um sistema local de eixos. Por conveniência e são escolhidos de

maneira que ( ) assumam a forma da mão direita.

Esse sistema local possui, em geral, as seguintes características que o

distingue em relação aos cartesianos :

1) Eixos podem não ser ortogonais; e os ângulos entre eles podem variar de um

ponto a outro.

2) A orientação de (com respeito a ) pode variar de um ponto a

outro, mesmo se os ângulos entre os eixos se mantiverem.

3) Os significados físicos de e podem não ser comprimento, e e não

precisam ser iguais aos elementos de arco na respectiva direção.

Podemos pensar em M definido pelo vetor posição . Se e

são funções de e , temos:

( ) ( ) ( )

Page 4: Equacao Laplace Esfericas

Variando por é o mesmo que variar , e por , e , o que é

causado por variar e por e . Temos as seguintes relações gerais:

Se movermos no sentido da , temos , e assume a

forma:

( ) ( ) (

)

Isto define a derivada de com respeito ao parâmetro :

( )

Em seu significado, é vetor na direção . De maneira que pode ser

representado como:

|

|

√(

)

(

)

(

)

A quantidade √(

)

(

)

(

)

tem uma interpretação geométrica

simples: o comprimento do arco Elemental produzido quando apenas varia é

dado por |( ) |

De maneira similar são deduzidos:

|

|

√(

)

(

)

(

)

|

|

√(

)

(

)

(

)

√(

)

(

)

(

)

√(

)

(

)

(

)

Page 5: Equacao Laplace Esfericas

Supondo agora que a tríplice é uma tríplice ortogonal, temos as

relações:

Estas relações são satisfeitas pela maioria dos sistemas de coordenadas na

física. Em particular, é válido para sistemas esférico e cilíndrico.

Esta análise verifica a característica (1) dos eixos locais, variando de ponto a

ponto. Sendo essa principal característica de sistemas curvilíneos. A característica

(3) também é representada, já que alguns parâmetros representam ângulos.

Como regra geral, o deslocamento elementar decomposto ao longo do

sistema local de eixos:

Assumindo o sistema local como ortogonal, temos o elemento de arco dado

por:

| | √

Por exemplo, no caso de coordenadas esféricas, hr= 1 , hθ= r, hφ= r senθ

Consideremos a análise de coordenadas curvilíneas, verificamos derivação

das fórmulas pelos usuais operadores diferenciais. Para expressar em

termos dos novos eixos e novas variáveis, podemos começar com:

E depois usar:

Page 6: Equacao Laplace Esfericas

E ainda expressar em termos de . Uma maneira mais rápida é

utilizar o enunciado:

( )

E reescrever na forma:

( ) (

) (

) (

)

Que segue imediatamente:

Lembrando que é arbitrário, e que ao estabelecer obtemos:

( ⁄ ) ( ⁄ ), etc.

O cálculo da divergência pode ser obtido da

definição geral:

∯( )

Sem perda de generalidade, pode ser tirado

como elemento de lados ao longo das (fig ??).

Em geral o fluxo pela área Elemental orientada na

direção é dada por:

ul . hmdm . hndn

Ao subtrair os fluxos através das áreas

e , não esquecer que tanto quanto e

são funções de . Deduzimos que fluxo externo

através dessas duas faces é:

(ulhmhn)dl dm dn

Somando as contribuições análogas das outras quatro faces e dividindo pelo

elemento de volume (que é ) obtemos:

{ ( )

( )

( )

}

Em coordenadas esféricas encontramos com nesta ordem.

Page 7: Equacao Laplace Esfericas

Então , , . Finalmente, a expressão

para o Laplaciano é obtida combinando as fórmulas para gradiente e divergente:

{

(

)

(

)

(

)}

No sistema esférico, após simplificação trivial:

,

(

)

(

)

(

)-

II. Equação de Legendre e Legendre Associada

a. Equação de Legendre

Em matemática, ao resolvermos a fórmula de Rodrigues, as Funções de

Legendre são as soluções às Equações Diferenciais de Legendre:

[( )

( )] ( ) ( )

Esta equação é encontrada freqüentemente em Física e em outros campos

técnicos. Em particular, aparece quando se resolve a equação de Laplace em

coordenadas esféricas.

A equação diferencial de Legendre pode ser resolvida usando-se o método

de série de potências. Em general a série de potências obtida converge quando

| | e no caso particular de que n seja um inteiro não negativo ( ) as

soluções formam uma família de polinômios ortogonais, chamados Polinômios de

Legendre. A cada polinômio de Legendre ( ) é um polinomio de grau n. Este pode

ser expressar usando a Fórmula de Rodrigues:

Page 8: Equacao Laplace Esfericas

( )

( )

Ao desenvolvermos a fórmula de Rodrigues obtemos a seguinte expressão

para os Polinômios de Legendre:

( ) * ( )

+

b. Ortogonalidade

Iremos mostrar que os polinômios de Legendre são funções de mutualidade

ortogonais em ( ), isto é:

( ) ( )

{

( )

( ) * ( )

+ ( )

( )

( ) * ( )

+ ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Podemos escrever os dois primeiros termos como:

( )(

) ( )

Assim, integrando a equação (1) e usando a equação (2), temos:

( )(

)| ( ) ( ) ∫

( ) ( )

Page 9: Equacao Laplace Esfericas

Como o termo integrado é zero porque ( ) em e . O

colchete na frente da integral não é zero. Então, a integral deverá ser zero, para que

seja completada a prova, assim:

( ) ( )

Vamos agora observar uma importante aplicação das funções de Legendre

associadas.

c. Equação de Legendre Associada

Tal como o polinômio de Legendre, sua função associada pertence a um

espaço de . Estes polinômios formam uma base para o espaço vetorial

, poderemos, onde não for complicado envolver processo de

ortogonalização para prova a suposição acima.

A equação diferencial relacionada à equação de Legendre é a seguinte:

( ) * ( )

+ ( )

com . Podemos, utilizando o método de Frobenius, resolver esta

equação por séries. Contudo, é mais útil saber como as soluções são relacionadas

aos polinômios de Legendre, então nós devemos simplesmente verificar a solução

conhecida. Primeiro substituiremos:

( ) ( )

Page 10: Equacao Laplace Esfericas

Obtemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Para , esta é a equação de Legendre com soluções ( ).

Diferenciando (3) temos:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

Mas esta é justamente a (3) com no lugar de u, é ( ) no lugar de ,

em outras palavras, se ( ) é solução de (3) com ; (x) é a solução de (3)

com ; ( ) é a solução com , e em geral para todo , no intervalo,

, (

⁄ ) ( ) é a solução da equação (3), então:

( )

( ) ( )

É a solução da equação (1). A função (5) é chamada de função de Legendre

associada ou polinômio de Legendre associado e são denotados por:

( ) ( )

( ) ( )

Um valor negativo de em (1) não irá variar , então a solução de (1) para

um valor positivo de é também válida para seu correspondente negativo. Assim,

podemos definir ( ) para como igual a

| |( ). Alternativamente,

nós podemos usar a fórmula de Rodrigues.

Page 11: Equacao Laplace Esfericas

( )

Para ( ) em (6) e assim obter:

( )

( )

( ) ( )

Para cada , as funções ( ) são na forma de funções ortogonais em

( ). A constante de normalização ser avaliada. Pela definição nós achamos:

( )

( )

( ) ( )

As funções de Legendre apresentam-se nos mesmos problemas em que os

polinômios de Legendre aparecem, de fato, os polinômios de Legendre são

exatamente um caso especial no qual as funções ( ) tem .

Iremos agora estudar algumas propriedades das funções de Legendre

associadas. Antes, porém, devemos definir o produto interno:

Seja { ( ) , uma sequência ortogonal de polinômios em , indicada

por um grau n; Então para cada n, é ortogonal em para todos os

polinômios de grau menor que n.

Prova: Se indica o m-dimensional subespaço de [a,b] consistindo em

todos polinômios de grau menos que m, junto com o polinômio zero. Então,

é i,a base ortogonal para , e todo polinômio Q de grau , pode

ser escrito na forma:

Page 12: Equacao Laplace Esfericas

Onde:

. Por isso:

( ) ( )

Então:

, se k , segue que

, como afirmamos.

Todas as propriedades dos polinômios de Legendre valem para os

polinômios de Legendre associados.

d. Recorrência

Derivando m vezes a equação da Legendre associada obtemos:

( )

( )

( )( )

Ou multiplicando por ( )

:

( )

( ) ( )

( )( )(

)

Sabemos que ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( )

Page 13: Equacao Laplace Esfericas

( ) ( )( )

( )

O que nos permite escrever:

( )( )( )

( )

( )( )

( )

De onde:

( )

√( )

( )( )( ) ( )

Dita primeira fórmula de recorrência das funções associadas de Legendre.

III. Série de Fourier-Legendre

Ao trabalharmos com as funções de Legendre e as funções de Legendre

Associadas, é extrema utilidade expandirmos ambas as funções em séries de

Fourier. A essa expansão é dado o nome de Série Fourier-Legendre.

Se ( ) e ( ) são seccionalmente contínuas, então em todo ponto de

continuidade de ( ) no intervalo , existirá um desenvolvimento em série

de Legendre com a forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( )

Para determinarmos , multipliquemos ambos os lados por ( ) e depois

integremos:

( ) ∑ ( )

( ) ( ) ( ) ∑ ( )

Page 14: Equacao Laplace Esfericas

∫ ( ) ( )

∑ ∫ ( ) ( )

Como o Polinômio de Legendre obedece à relação de ortogonalidade, temos:

∫ ( ) ( )

Logo:

∫ ( ) ( )

Então:

∫ ( ) ( )

IV. Equação de Euler-Cauchy

A equação de Cauchy-Euler é a EDO da forma

( )

onde a e b são constantes.

Vamos procurar uma solução da equação de Cauchy-Euler da forma .

Substituindo na equação de Cauchy-Euler,

( ) ( )

Logo, é uma solução da equação de Cauchy-Euler, quando for

uma raiz da equação algébrica.

( )

Page 15: Equacao Laplace Esfericas

No caso das equações de Cauchy-Euler, equação algébrica (2) desempenha

o mesmo papel que a equação característica desempenhava para as EDO lineares

homogêneas de coeficientes constantes. Temos agora que considerar 3 casos:

a. Caso 1: Se (2) tiver duas raízes reais distintas, podemos construir duas

soluções linearmente independentes para (1).

Exemplo 1: Resolver a EDO .

Esta é uma equação de Cauchy-Euler. Procurando solução da forma ,

substituímos esta expressão na EDO (ou aplicamos diretamente (2)), encontrando:

( )

ou seja, , cujas raízes são e . Portanto, duas

soluções linearmente independentes para a EDO são e . A solução

geral é

b. Caso 2: Se (2) tiver raiz real dupla . Neste caso, conhecemos uma

solução da equação de Cauchy-Euler. Aplicamos, então, o método

de D'Alembert para descobrir uma segunda solução linearmente

independente de . Procuramos da forma . Substituindo em (1),

temos:

(

) ( )

Agrupando os termos, obtemos:

( ) (

)

= 0

Page 16: Equacao Laplace Esfericas

Ou seja:

( )

Simplificando, temos:

( ) ( )

Note que a equação (2) se reescreve como

( )

Portanto, se ela tem raiz dupla, é porque ( ) . Neste caso, a

raiz dupla é:

Portanto, . Substituindo em (3), obtemos:

que é redutível à primeira ordem. Se fizermos , obteremos:

Separando as variáveis, temos:

Integrando e escolhendo a constante de integração como sendo 0,

encontramos , de onde segue,

Page 17: Equacao Laplace Esfericas

Integrando mais uma vez, segue que e, portanto,

Logo, se a equação algébrica (2) tem raiz real dupla , duas soluções

linearmente independentes para a equação de Cauchy-Euler são e

.

Exemplo 2: Resolva a EDO

A equação algébrica (2) toma a forma

( )

que tem raiz dupla . Portanto, duas soluções linearmente

independentes são e e a solução geral é:

c. Caso 3: Se (2) tiver raízes complexas. Neste caso, as raízes são números

complexos conjugados e , , sendo, portanto,

raízes distintas. Aplicando o primeiro caso, podemos construir duas soluções

linearmente independentes:

( )

Page 18: Equacao Laplace Esfericas

Note que acima, temos duas exponenciais complexas de base . Até este

ponto, só tínhamos trabalhado com exponenciais complexas de base . Para dar um

significado às exponenciais complexas de base t > 0, usamos o fato que:

Obtemos

( ) ( )

Aplicando esta observação em (4), temos:

( ( ) ( ))

( ) ( )

( ( ) ( ))

( ) ( )

O inconveniente destas duas soluções é que não são reais. Para conseguir

soluções reais, vamos tomar combinações lineares convenientes. Soluções reais

linearmente independentes são dadas pelas combinações lineares

( )

( )

Exemplo 3: Encontre duas soluções reais linearmente independentes para a EDO:

A equação algébrica (2) toma a forma

( )

Page 19: Equacao Laplace Esfericas

Ou seja, cujas raízes são e .

Portanto, duas soluções da EDO são e , dados por:

( ) ( ( ) ( ))

Ou seja,

( ) ( )

( ) ( )

Duas soluções reais linearmente independentes são as combinações lineares

( )

( )

Vale ressaltar que a discussão acima sobre a equação de Cauchy-Euler foi

resolvida na semi-reta ( ). As funções só estão definidas nesse

domínio, pois

( )

e o domínio de é a semi-reta ( ). Não é de se estranhar que isto aconteça,

pois a equação de Cauchy-Euler não está em forma normal (o termo de derivada

mais alta não está isolado). A forma normal da equação de Cauchy-Euler (1) é

cujos coeficientes não estão definidos em t = 0. Portanto, a equação de Cauchy-

Euler pode ser resolvida na semi-reta ( ) (como fizemos acima) ou na semi-reta

( ). Para resolvê-la na semi-reta ( ), substituímos as funções e

Page 20: Equacao Laplace Esfericas

respectivamente por | | e | | | |. Excepcionalmente, quando

a equação algébrica (2) tiver raízes inteiras não negativas, podemos encontrar

soluções definidas em todo ( ). Isto aconteceu com uma das soluções da

equação do Exemplo 1.

V. Solução da Equação de Laplace em coordenadas esféricas

( ) ( ) ( )

( ) | | ( )

a. Solução geral

Em coordenadas esféricas temos que e a equação de Laplace corresponde:

2

2

2 2

u 1 u 1 uu = r,θ, = r + senθ + = 0 1

r r senθ θ θ sen θ

Supondo que:

u r,θ, 2R r

Seja a solução do problema e para realizar a separação de variáveis,

derivamos o quanto for necessário e substituímos em (1) e simplificamos. Temos

então:

2

2

" ' " ' 1 "2 cot 0 3

R Rr r g

R R sen

Reorganizando a equação para podermos igualar a um autovalor temos:

2

12

" ' " ' 1 "2 cot 4

R Rr r g

R R sen

Page 21: Equacao Laplace Esfericas

2

1

12

" '2 5

" ' 1 "cot 6

R Rr r

R R

gsen

Resolvendo a equação (6) fazendo 2

1 :

2 2" '2 7

R Rr r

R R

2 2" 2 ' 0 8r R rR R

Resolvendo (8) pelo método Euller-Couchy e considerando (

) chegamos ao resultado:

19n n

n n

BR r A r

r

Partindo da equação (6):

12

1 2

" ' 1 "cot 10

" ' 1 "cot 11

gsen

gsen

Multiplica-se (11) por 2sen e cada membro será igual a uma nova constante.

2 2 2

1 2

" ' "cot 12sen sen g sen

Page 22: Equacao Laplace Esfericas

2

2 2 2

1 2

" 0 13

" cot ' ( ) 0 14sen sen g sen

Substituindo um autovalor ímpar temos:

2

2 2 2 2

" 0 15

" cot ' ( ( ( 1) ) 0 16

m

sen sen g sen n n m

Resolvendo a EDO (16) temos que:

cos 17n nA m B sen m

Resolvendo (14) Dividindo por :

2

2" cot ' ( ( 1) 0 18

mg n n

sen

Fazendo a mudança de variável :

2

2 22

2 2

cos 19

1 20

21

cos 22

S

sen S

d dsen

d dS

d d dsen

d dS dS

Substituindo (19), (20), (21) e (22) em (18) temos :

2 2

2

2 21 2 1 0 23

1

d d mS S n n

dS dS S

A equação (23) é a equação de Legendre cuja solução é :

Page 23: Equacao Laplace Esfericas

cos cos 24m m

n n n nA P B Q

Logo temos a solução geral do problema sendo:

1u r,θ, cos cos cosn m mn

n n n n n n nn

BA r A P B Q A m B sen m

r

b. Solução para o potencial externo e interno da esfera considerando

( ), qualquer que seja

A partir da interpretação inicial do problema, vemos que ele possui uma

simetria azimutal. Por isso, a solução geral do problema de potencial em todo o

espaço é dada pelo produto da função radial R(r) com o polinômio de Legendre:

10

, cos 1n nn nn

n

Br A r P

r

V

Sendo que os coeficientes e podem ser determinados se as condições

de contorno são conhecidas.

A partir da equação (1) calculamos o potencial no espaço de uma esfera.

Inicialmente, queremos o potencial interno cuja na superfície seu valor é V

independentemente dos ângulos.

Aplicando a condição de contorno vemos que no centro onde r = 0 o valor de Bn =

0. Aplicando a condição ( ) , temos:

0

, cos 2n

n n

n

a A a P V

V

Page 24: Equacao Laplace Esfericas

Isso é uma série de Fourier-Legendre. Em vez de usarmos a variável x,

podemos achar as fórmulas necessárias diretamente em função da variável θ.

Usando a substituição , achamos que a relação de ortogonalidade

n1

n' nn'

-1

2P x P x dx = δ

2n+1

torna-se:

n' nn'

0

2P cosθ P cosθ senθdθ = δ

2n+1.

Conseqüentemente, se multiplicarmos nossa série por ( ) e

integrarmos em relação a θ de , obteremos os coeficiente desejado de Fourier-

Legendre:

2

n nna π

0

2n +1A = VP cosθ senθdθ.

Agora queremos calcular o valor do potencial externo a esfera com raio (

) . Aplicando a condição de contorno vemos que no infinito o potencial tem que

ser zero logo An = 0.

10

, cos 3nnn

n

Br P

r

V

Aplicando a condição ( ) e calculando de modo análoga ao

calculado , vemos que vale:

1

2

n

n nB a

π

0

2n +1= VP cosθ dθ.

Page 25: Equacao Laplace Esfericas

Para temos:

0

, cosn

n n

n

r A r P

V

2

n nna π

0

2n +1A = VP cosθ senθdθ.

Para temos:

10

, cosnnn

n

Br P

r

V

1

2

n

n nB a

π

0

2n +1= VP cosθ dθ.

A partir da interpretação inicial do problema, vemos que ele possui uma

simetria azimutal. Por isso, a solução geral do para o potencial em todo o espaço é

dada pelo produto da função radial R(r) com o polinômio de Legendre:

l

l

-(l+1)

1 2φ r,θ = A r + A r P cosθ 1

Mas, como o potencial é finito em qualquer do espaço, esta equação deve ser

separada em uma solução interna e noutra externa aos hemisférios:

l

l

l

1

-(l+1)

1

φ r,θ = A r P cosθ para r a 2

φ r,θ = A r P cosθ para r a 3

Inicialmente iremos resolver a equação (2) cujo raio é . A partir das

condições de contorno temos:

+V (0 θ < π / 2)φ a,θ =

- V (π / 2 < θ π)

Page 26: Equacao Laplace Esfericas

Formamos uma série infinita destas soluções:

l

1 l l

l=0

φ r ,θ = A r P cosθ

Tentamos assim determinar os coeficientes , de tal maneira que ( )

satisfaça a condição de contorno restante:

l

l l

l=0

φ a,θ = A aP cosθ .

Isso é uma série de Fourier-Legendre. Em vez de usarmos a variável x,

podemos achar as fórmulas necessárias diretamente em função da variável θ.

Usando a substituição , achamos que a relação de ortogonalidade

1

l l' ll'

-1

2P x P x dx = δ

2l+1

torna-se:

π

l l' ll'

0

2P cosθ P cosθ senθdθ = δ

2l+1.

Conseqüentemente, se multiplicarmos nossa série por ( ) e

integrarmos em relação a θ de , obteremos os coeficientes desejados de

Fourier-Legendre:

π

l ll

0

1 2A = φ a,θ P cosθ senθdθ.

a 2l+1

Para nossa solução particular

+V (0 θ < π / 2)φ a,θ =

- V (π / 2 < θ π)

Page 27: Equacao Laplace Esfericas

Um raciocínio de simetria é útil: ( ) é anti-simétrica com relação à troca

de posições ( )

Por outro lado, ( ) e ( ) , e como ( )

contém somente potências ímpares de , se for ímpar, e somente potências

pares de , se for par, segue-se que

π

l

0

φ a,θ P cosθ senθdθ = 0 (paral =par)

de maneira que somente estarão presentes polinômios ímpares. Para

valores ímpares de l ,

π π/2

l l

0 0

φ a,θ P cosθ senθdθ = 2V P cosθ senθdθ

Necessitamos agora da integral

π/2

1

l l0

0

P cosθ senθdθ = P x dx.

Usando a função geradora

l

l2

l=0

1= tP x t <1

1- 2xt + t

e integrando ambos os lados, obtemos:

1 1

l

l20 0

l=0

dx= t P x dx.

1-2xt + t

Calculando o lado esquerdo explicitamente:

Page 28: Equacao Laplace Esfericas

2

1

20

dx 1 1+ t=1- + ,

t t1- 2xt + t

Usando a fórmula do binômio:

2 2k 2k

k=0 k=0

1/ 2 Γ 3 / 21+ t = t = t ,

k Γ k +1 Γ 3 / 2-k

E fazendo , obtemos:

2

l

l=impar

Γ 3 / 21 1+ t1- + =1+ t ,

t t Γ l / 2+3 / 2 Γ 1- l / 2

De maneira que

1

l0

Γ 3 / 2P x dx = l =1, 3, 5,...

Γ l / 2+3 / 2 Γ 1- l / 2

e

l l

Γ 3 / 21A = 2l+1 V (l =1,3,5...)

a Γ l / 2+3 / 2 Γ 1- l / 2

A série resultante

l

l

l=1,3,5...

2l+1 π / 2rφ r,θ = V P cosθ

a Γ l / 2+3 / 2 Γ 1- l / 2

Assim foi calculado o potencial em uma esfera para um raio .

Agora, para um potencial cujo raio o procedimento é análogo ao

descrito anteriormente para seguindo a equação (3). Assim o potencial será:

-(l+1)

l

l=1,3,5...

2l+1 π / 2rφ r,θ = V P cosθ

a Γ l / 2+3 / 2 Γ 1- l / 2

Page 29: Equacao Laplace Esfericas

Conclusão

Através desse estudo, pudemos entender um pouco mais sobre a Equação

de Laplace, além de suas peculiaridades abordadas de forma específica nas

diversas seções. Foi possível também notar a grande importância da mesma para a

descrição de fenômenos naturais. Com isso, pode-se afirmar que tal ferramenta é

essencial para as sociedades poderem interagir com a natureza de maneira cada

vez mais eficaz.

Agradecimentos

Aos amigos Annelys M. Schetinger, Victor Rios Silva, Bruno César Gimenez,

Camilla Pessanha, Danniel Sistons Nunes de Souza, Diego Trugilho Ferrari, Pedro

Gall Fernande, Liziane Freitas Possmoser e Yuri Chagas Figueiró França pelo

empenho, dedicação e auxílio na elaboração, desenvolvimento e conclusão deste

estudo.

Ao professor Dr. Altair de Assis pelo material cedido para pesquisa e atenção

assistida nos diversos itens enunciados.

Referências

[1] Murray R. Spiegel, Análise de Fourier, Coleção Schaum, Editora McGraw

- Hill do Brasil Ltda,1976

[2] D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuller, e F. W. Perkins, Introdução a

Análise Linear, Volume 3, Ao Livro Técnico S/A e Editora UNB, RJ, 1972.

Page 30: Equacao Laplace Esfericas

[3] Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and

Engineers, John Wiley & Sons Inc., 1982.

[4] E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, RJ, 1978

[5] A. S. de Assis, Notas de Aula de Métodos I, 2010

[6] http://pt.wikilingue.com/es/Polinomio_de_Legendre