Otimizacao de equacoes derecorrencia lineares

Jedson B. Guedes

http://jedsonguedes.wordpress.com

Neste texto sera apresentada uma maneira de se otimizar umaequacao de recorrencia linear a coeficientes constantesnao-homogeneas.

Eis alguns exemplos:

I cn = 7cn−1 + 2n

I un = 3un−2 + 5n−1

Definicao formal

Sejaun = a1un−1 + · · ·+ akun−k + f (n), n ≥ k ,

onde

f (n) =l∑

i=1

bni Pi (n),

com Pi (n) sendo um polinomio em n de grau bi .

Otimizacao - Exemplo

Uma tecnica bem util e bastante utilizada e a de transformar umaequacao de recorrencia linear a coeficientes constantesnao-homogenea em uma linear a coeficientes constanteshomogenea.Um exemplo do uso de tal tecnica e mostrado abaixo.

Nos sao dadas as seguintes informacoes:

un = 2un−1 + 3n, n ≥ 1u0 = 1

Otimizacao - Exemplo

Assim, vemos que se

un = 2un−1 + 3n,

entaoun+1 = 2un + 3n+1. (1)

Otimizacao - Exemplo

E se multiplicarmos a equacao de recorrencia dada por tres,encontramos

3 · un = 3 · 2un−1 + 3 · 3n

3un = 6un−1 + 3n+1 (2)

Otimizacao - Exemplo

A equacao dada nao foi multiplicada por tres por acaso.Repare que agora o termo que torna a equacao dadanao-homogenea, que neste caso e o 3n+1, esta presente em ambasas equacoes.

Com isso podemos subtrair (2) de (1), para eliminar o termo queas deixa nao-homogeneas.

un+1 − 3un = 2un − 6un−1

un+1 = 5un − 6un−1 (3)

Exemplo

A relacao de recorrencia (3) e linear homogenea e equivalenteaquela dada que e nao-homogenea.

Portanto, basta utilizar o mesmo processo visto na nota de aulaEquacoes de recorrencia, I : achar o polinomio caracterıstico, usar osomatorio dado, montar o sistema de equacoes e substituir osvalores.

Exemplo

O polinomio caracterıstico de un+1 = 5un − 6un−1 e

p(x) = x2 − 5x + 6.

Suas raızes: {2,3}. Cada raiz tem multiplicidade igual a 1.

Exemplo

Rescrevendo o polinomio caracterıstico, encontramos

p(x) = (x − 2)1(x − 3)1.

Exemplo

Usando un =∑p

j=1 Qj(n)rnj , achamos

un = Q1(n)︸ ︷︷ ︸λ0

2n + Q2(n)︸ ︷︷ ︸λ1

3n

Exemplo

Dessa forma, podemos montar o seguinte sistema de equacoes:{u0 = λ020 + λ130 = 1u1 = λ021 + λ131 = 5

⇓{λ0 + λ1 = 1

2λ0 + 3λ1 = 5

Com isso, achamos que λ0 = −2 e λ1 = 3.

Exemplo

Reescrevendo o un em funcao nao mais de Qi (n), mas em funcaode λi , temos

un = λ02n + λ13n

Substituindo os valores de λi ,

un = −2 · 2n + 3 · 3n

⇓

un = −2n+1 + 3n+1

Pronto!

Reescrevendo o un em funcao nao mais de Qi (n), mas em funcaode λi , temos

un = λ02n + λ13n

Substituindo os valores de λi ,

un = −2 · 2n + 3 · 3n

⇓

un = −2n+1 + 3n+1

So isso.

Pronto!

Usando raciocınio analogo, e possıvel reslover mais uma gama derelacoes de recorrencia.

A dificuldade deste metodo esta em reparar quais operacoes fazerpara se conseguir eliminar a parte nao-homogenea, o que pode naoser tao obvio.

Outro problema e que pode ser preciso repetir os passos iniciaisvarias e varias vezes, como veremos abaixo.

Exemplo 2

Sejaun = 2un−1 + n + 2n, n ≥ 1u0 = 0

Exemplo 2

Sejaun = 2un−1 + n + 2n, n ≥ 1u0 = 0

Multiplicando por dois a equacao dada:

2un = 4un−1 + 2n + 2n+1 (4)

Exemplo 2

Ainda da equacao dada, temos que

un = 2un−1 + n + 2n

⇓

un+1 = 2un + (n + 1) + 2n+1 (5)

Subtraindo (4) de (5):

(5− 4) : un+1 − 2un = 2un − 4un−1 + (n + 1)− 2n (6)

un+1 = 4un − 4un−1 − n + 1 (7)

un+2 = 4un+1 − 4un − (n + 1) + 1 (8)

Exemplo 2

Como ainda ha termo deixando a equacao de recorrencia naohomogenea, continuamos.

(8− 7) : un+2 − un+1 = 4un+1 − 8un + 4un−1 − 1 (9)

un+2 = 5un+1 − 8un + 4un−1 − 1 (10)

un+3 = 5un+2 − 8un+1 + 4un − 1 (11)

Exemplo 2

(11 - 10):

un+3 − un+2 = 5un+2 − 13un+1 + 12un − 4un−1 (12)

un+3 = 6un+2 − 13un+1 + 12un − 4un−1 (13)

Exemplo 2

Agora, sim, encontramos uma equacao de recorrencia linear acoeficientes constantes homogenea, a equacao (13):

un+3 = 6un+2 − 13un+1 + 12un − 4un−1.

Com isso, a otimizamos da forma ja conhecida.

Exemplo 2

Primeiramente, achamos seu polinomio caracterıstico. O qual edefinido por

P(x) = x4 − 6x3 + 13x2 − 12x + 4

Exemplo 2

Podemos - e devemos - reescrever tal polinomio na formaP(x) = (x − r1)m1(x − r2)m2 . . . (x − rp)mp , p ≤ k. Assim, osupracitado polinomio caracterıstico fica:

P(x) = (x − 2)2(x − 1)2

Exemplo 2

Seguindo com o processo, encontraremos uma relacao derecorrencia que e equivalente a primeira, mas dada em funcao de napenas, que e

un = −2− n + 2n+1 + n2n.

Um outro caminho

Esta relacao deu bastante trabalho, basicamente devido asmanobras que foram necessarias para se conseguir uma relacao derecorrencia homogenea equivalente a primeira, pois apos achar opolinomio caracterıstico, o processo foi o ja conhecido.

Voltemos, pois, ao passo em que estamos a achar o polinomiocaracterıstico. Repare que

P(x) = (x − 2)2(x − 1)2 = (x − 2)1(x − 1)1+1(x − 2)0+1.

O polinomio caracterıstico pelo produto de produtorios!

Os expoentes nao foram postos assim por acaso, mas para facilitara visualizacao e identificacao.

P(x) = (x − 2)1︸ ︷︷ ︸(H)

(x − 1)1+1(x − 2)0+1︸ ︷︷ ︸(N−H)

(H) significa a parte homogenea, ao passo que (N-H) representa aparte nao-homogenea.

O polinomio caracterıstico pelo produto de produtorios!

Ha um teorema que diz que o polinomio caracterıstico pode serescrito como um produto de produtorios, que e definido por:

P(x) =∏

(x − ri )mi ·

∏(x − bi )grau

Pi (n)+1

ri e a raiz homogenea e bi e a parte nao-homogenea.

O polinomio caracterıstico pelo produto de produtorios!

E gracas a este teorema que podemos reescrever P(x) como

P(x) = (x − 2)1(x − 1)1+1(x − 2)0+1

E, de fato, podemos verificar que as raızes deP(x) = x4 − 6x3 + 13x2 − 12x + 4 sao {2, 1}.

Para que se apreenda bem o uso deste produto de produtorio,outro exemplo e dado a seguir.Considere

un = 5un−1 − 6un−2 + n22n.

O polinomio caracterıstico pelo produto de produtorios!Exemplo

A parte homogenea e 5un−1 − 6un−2 e suas raızes sao {2, 3}, umavez que o polinomio caracterıstico deste e x2 − 5x + 6, e cada raizpossui multiplicidade igual a 1.

Assim, o produtorio da parte homogenea sera∏(x − ri )

mi = (x − 2)1(x − 3)1.

O polinomio caracterıstico pelo produto de produtorios!Exemplo

A parte nao-homogena e n22n.

Em 2n, temos que 2 e raiz de multiplicidade 1.Teremos, entao, expoente igual a 3, que surge da multiplicidade den2, que e 2, adicionado de 1.

Desta forma, o produtorio da parte nao-homogenea sera∏(x − bi )grau

Pi (n)+1 = (x − 2)3.

O polinomio caracterıstico pelo produto de produtorios!Exemplo

O polinomio caracterıstico de un = 5un−1 − 6un−2 + n22n e,portanto,

P(x) = (x − 2)(x − 3) · (x − 2)3

P(x) = (x − 2)4(x − 3).

Bibliografia e referencias

Arquivo pessoal do Jedson: Anotacoes das aulas do prof.Rafael, UFC - DEMA, Matematica Finita (2011)

Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik:Matematica concreta, Reading, Massachusetts:Addison-Wesley (1994)