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2011 Luciano Moura Cavalcante Equações Diferenciais Ordinarias

Equações Diferenciais Ordinarias

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  • 2011

    Luciano Moura Cavalcante

    Equaes Diferenciais Ordinarias

  • Copyright 2011. Todos os direitos reservados desta edio SECRETARIA DE EDUCAO A DISTNCIA (SEAD/UECE). Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, dos autores.

    EXPEDIENTE Design instrucionalAntonio Germano Magalhes JuniorIgor Lima RodriguesPedro Luiz Furquim Jeangros

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    Coordenador EditorialRafael Straus Timb Vasconcelos

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    IlustraoMarcos Paulo Rodrigues Nobre

    CapaEmilson Pamplona Rodrigues de Castro

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    COORDENADOR DA SECRETARIA DE EDUCAO A DISTNCIAAntonio Germano Magalhes Junior

    COORDENADOR GERAL UAB/UECEFrancisco Fbio Castelo Branco

    COORDENADORA ADJUNTA UAB/UECEElosa Maia Vidal

    COORDENADOR DA LICENCIATURA EM MATEMTICACleiton Batista Vasconcelos

    COORDENADOR DE TUTORIA E DOCNCIA DA LICENCIATURA EM MATEMTICAGerardo Oliveira Barbosa

  • Apresentao ....................................................................................................................... 7

    Captulo 1Equaes Diferenciais Ordinrias ......................................................................................... 9

    1 Equaes Diferenciais Ordinrias .................................................................................. 11

    Captulo 2Equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem ............................................................. 17

    1. Equaes Diferenciais Ordinrias com Variveis Separveis .......................................... 191.1 Aplicaes Geomtricas .................................................................................................221.2 Trajetrias Ortogonais ....................................................................................................251.3 Aplicaes Diversas ........................................................................................................26

    2. Equaes Diferenciais Homogneas .............................................................................. 363. Equaes Diferenciais Exatas ......................................................................................... 394. Equao Diferencial Ordinria Linear ............................................................................. 43

    Captulo 3Equaes Diferenciais Ordinrias Lineares de Segunda Ordem .............................................. 49

    1. Equaes de Segunda Ordem Incompletas ................................................................... 512. Operadores Diferenciais Lineares ................................................................................ 553. Equaes Diferenciais Lineares de 2 Ordem Homogneas a Coe cientes Constantes . 584. Equaes Diferenciais Homogneas de ordem superior ............................................... 635. Aplicaes ...................................................................................................................... 65

    5.1 Aplicaes Geomtricas .................................................................................................665.2 Aplicaes Diversas .......................................................................................................68

    Dados do Autor .................................................................................................................... 77

  • A origem do estudo das equaes diferenciais e as tcnicas de resoluo datam da poca do surgimento do Clculo Diferencial e Integral no sculo XVII, envolvendo personagens histrios e famosos como Isaac Newton, Gottfried Leibniz e muitos outros. A partir da, o campo de estudo das equaes diferenciais vem se desenvolvendo, com a formulao e resoluo de inmeros problemas nas mais diferentes reas das cincias.

    Asequaesdiferenciais,pordefinio, so equaesque envolvem funes esuas derivadas, e por isso elas so divididas em duas classes distintas. As Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO) envolvem apenas derivao de funes ordinrias e as Equaes Diferenciais Parciais (EDP) trabalham com derivadas parciais de funes de vrias variveis.

    Este livro trata apenas da primeira classe de equaes, onde estudaremos as equaes diferenciais ordinrias desde a sua definio, tentando ajudar o aluno aentenderasuanaturezaeoseusignificado.Algumasvezespreferimosserocasional-mente informais nas provas e demonstraes de resultados, mas compreensveis, pois no pretendemos construir uma estrutura matemtica logicamente impecvel, com teoremas,provasedemonstraesquedesafiemacapacidadedoleitor.Onossoprinci-palobjetivoprocurarinterpretarosignificadodasequaesdiferenciaiseaplic-lasaproblemasdecinemtica,eletricidade,decaimentoradiativo,crescimentopopulacio-nal, cintica qumica, ecologia, epidemiologia e outras reas, com uma variedade de problemas resolvidos e propostos.

    O Autor.

  • Captulo

    Objetivos:

    DefinirasEquaesDiferenciaisOrdinrias IdentificarumaEquaoDiferencialOrdinria Analisar as solues de uma Equao Diferencial Ordinria

    1Equaes Diferenciais

    Ordinrias

  • 11EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    A origem do estudo das equaes diferenciais e as tcnicas de re-soluo datam da poca do surgimento do Clculo Diferencial e Integral no sculo XVII, envolvendo personagens histricos e famosos como Isaac Newton, Gottfried Leibniz e muitos outros. A partir da, o campo de estudo das equaes diferenciais vem se ampliando, com a formulao e resoluo de inmeros problemas nas mais diferentes reas do conhecimento.

    Estudaremosasequaesdiferenciaisdesdeasuadefinio,tentan-doajudaroalunoaentenderasuanaturezaesignificado.Algumasvezes,parafacilitaroentendimento,faremossimplificaesousadas,sem,noen-tanto desprezarmos a exatido dos conceitos e o rigor matemtico. O nosso principalobjetivofacilitaracompreenso,ainterpretaoeasaplicaesdas equaes diferencias ordinrias. Para isto apresentaremos exerccios resolvidos e propostos versando sobre aplicaes nas cincias fsicas biol-gicas e humanas.

    1 Equaes Diferenciais OrdinriasDefinio

    Uma Equao Diferencial Ordinria ( E.D.O.) de ordem ndefi-nida como uma relao da forma F( x , y , y , y, ... , yn ) = 0 envolvendo

    uma funo y = y( x ) e suas n primeiras derivadas y = dydx

    ; y = 2

    2

    d ydx

    ; ...... ;

    yn = n

    n

    d ydx

    , onde a funo F sempre suposta ser contnua.

    A palavra ordinriasignificaqueafunoy=y(x)dependeso-mente de uma varivel independente x. Havendo duas ou mais variveis

    independentes, a equao chamada de Equao Diferencial Parcial ( E.D.P. ). Um exemplo de tais equaes a conhecida equao de Laplace:

    0),(),( 22

    2

    2

    =

    +

    yyxf

    xyxf

    .

    O grau de uma E.D.O. o maior dos expoentes que est elevada a derivada de maior ordem contida na equao.

  • 12 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Exemplo:

    1. dydx

    = 3x + 1 uma equao diferencial de primeira ordem.

    Aqui temos

    y = dydx

    =3x+1ouy-3x+1=0.

    Portanto, F( x , y , y ) =

    y-3x+1=0

    2. 2

    2

    d ydx

    y = 0 uma equao diferencial ordinria de segunda ordem.

    Neste caso, temos que y = dydx

    , y = 2

    2

    d ydx

    e assim y + y = 0 ou ainda

    F( x , y , y ) = y + y = 0.

    3. 23 2

    3 2

    d y d yydx dx

    =

    uma E.D.O. de terceira ordem e de grau dois.

    4. 8

    2 xdy x edx

    =

    uma E.D.O. de primeira ordem e grau oito.

    Uma funo y = f( x ) com derivadas at a ordem n uma soluo de uma E.D.O. F( x , y , y , y, .... , yn ) = 0 se, e somente se, a substituio da funo y = f( x ) e de suas respectivas derivadas na equao, a tornarem umaidentidadeemx,ouseja,yesuasderivadassatisfizeremaigualdadeF( x , y , y , y , .... , yn ) = 0.

    Exemplo: A funo y = exsoluodaequaoy+4y-5ex = 0, pois y = ex ;

    y = ex ; y = ex ; y = ex ,oqueimplicadizerquey+4y-5ex = 0, acarreta que ex + 4 ex-5ex = 0 uma identidade em x.

    fcil observar no exemplo anterior que, no somente a funo y = ex soluo da equao dada, mas tambm so solues as funo da forma y = ex + k , com k constante. Nesse caso, dizemos que a funo y = ex uma soluo particular, pertencente a uma famlia de funes que so so-lues da equao diferencial.

    De um modo geral, podemos apresentar a soluo de uma equao diferencial ordinria F( x , y , y , y , .... , yn ) = 0 de duas formas:

    i) A soluo geral, que uma expresso que depende de um ou mais parmetros e engloba todas as solues da equao. Representa uma famlia de curvas chamadas curvas integrais ou primitivas.

  • 13EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Por exemplo, a soluo geral da equao diferencial dydx

    = 2x a

    famlia das funes f( x ) = x2 + C constituda de todas as parbolas com concavidade para cima e vrtice sobre o eixo y, pois para cada valor da pa-rmetro C temos uma soluo da equao.

    ii) A soluo particularqueumafunoespecficadentrodafa-mlia de funes que compem a soluo geral. Para se obter essa funo necessrio que sejamatribudas condies iniciais quepermitam determinar valores particulares para as constantes. De uma maneira geral, para se obter uma soluo particular de uma equao diferencial F( x , y , y , y , .... , yn ) = 0, com condi-es iniciais:y0 = f( x0 ) ; y0 = f( x0 ) ; y0 = f( x0 ) ; ..... ; y0

    n = fn( x0 ), onde x0 D , devemos encontrar a soluo geral para em seguida aplicar essas condies.

    Exemplo:Encontre a soluo particular da equao diferencial dy

    dx = x + 1 , sa-

    bendo que essa curva passa no ponto P0( 0 , 1 ) ou equivalentemente satisfaz a condio inicial y(0) = 1.

    Soluo:Veja que a equao

    dydx

    = x + 1 pode ser resolvida fazendo-se

    dy = ( x + 1 ) dx , o que implica dizer que y = ( 1)x dx+ , ou ainda y = 22x

    + x + C

    que a soluo geral. A condio inicial dada que a funo procurada

    deve passar no ponto P0(0,1),ouseja,y=1,quandox=0,que

  • 14 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    substituindo na soluo geral teremos que 1 = 2

    02 + 0 + C , logo C = 1.

    Logo a soluo procurada y = 2

    2x + x + 1.

    Exemplo 2:Umacurva,queogrficodafunoy=f(x),talqueemtodos

    os seus pontos, a inclinao da reta tangente igual ao dobro do valor da abscissa do ponto. Exprimir essa condio por meio de uma EDO.

    Soluo:Sabemos que a inclinao da reta tangente ao grfico da funo

    y = f( x ) em qualquer ponto P( x , y ) dada por dydx

    . Se a inclinao igual

    ao dobro da abscissa, ento dydx

    = 2x.

    Exemplo 3:Obtenha uma EDO de segunda ordem cuja soluo geral seja

    y = f( x ) = c1ex + c2 , com c1 e c2 constantes.

    Soluo:Se y = c1e

    x + c2 , ento y = c1ex e y = c1e

    x o que implica dizer que y = y , logo y y = 0 a equao diferencial procurada.

    1.Identifiqueaordemeograudasequaesdiferenciaisabaixo:a) ( y )3-3yy+xy=0

    b) x4y4 + y = ex

    c) n

    n

    d xdy

    = y2 + 1

    d) 3 92

    2

    d r dr rydy dy

    + =

    2. Verifiquequaisdasfunesabaixososoluesdaequaodiferencialy y = 0.

    a) f( x ) = ex b) f( x ) = senx

    c) f( x ) = 4.e-x d) f( x ) = 2

    2x + 1.

  • 15EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    3.Escrevaaequaodiferencialdeterminadapelascondiesespecficas:a) Em qualquer ponto de uma curva y = f( x ) a inclinao da reta tan-

    gente igual ao cubo da ordenada do ponto.

    b) A taxa de decomposio do rdio proporcional quantidade Q pre-sente em cada instante.

    c) Massa vezes acelerao igual a fora.

    4. Mostre que a funo y = 3

    2 xe+ uma soluo da equao diferencial de primeira ordem y + 3x 2 .y = 6x 2 .

    5. Verifique que y = 2 ln xx+ a soluo da equao diferencial

    x 2.y + x.y = 1 com valor inicial y( 1 ) = 2 .

    6. Para quais valores no nulos de k a funo y = sen kt satisfaz a equa-o diferencial y + 9y = 0 ?

    7.Verifiquequeparatodososvaloresdekdaquestoanterior,todasasfunes da famlia y = A.sen kt + B.cos kt so tambm solues da equao .

    8. Para quais valores reais de r a funo y = e rt satisfaz a equao diferencialy+y-6y=0?

    9. Quais das funes abaixo so solues da equao diferencial y + 2y + y = 0 ?

    a) y = e t ; b) y = e t ;

    c) y = t.e t ; d) y = t 2.e t .

  • Objetivos:

    Estudar as equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem em todas as suas formas, com aplicaes diversas.

    Equaes Diferenciais Ordinrias com variveis separveis Equaes Diferenciais Homogneas Equaes Diferenciais Exatas Equaes Diferenciais Ordinrias Lineares

    Equaes Diferenciais Ordinrias de primeira ordem

    2Captulo

  • 19EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Definio

    Uma equao diferencial ordinria de primeira ordem uma equa-

    o cujaformageralF(x,y,y)=0,ou dydx

    = f( x , y ) ou ainda

    P( x , y ) dx + Q( x , y ) dy = 0.

    As equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem constituem um grupo de equaes que envolvem apenas derivadas de primeira ordem. So as de maior aplicao em todos os ramos do conhecimento. Elas podem se apresentar de formas diferentes. Aqui estudaremos algumas delas.

    1. Equaes Diferenciais Ordinrias com Variveis Separveis

    As equaes com variveis separveis so equaes de primeira ordem conforme descrita acima, onde f( x , y ) ou P( x , y ) e Q( x , y ) so funes de apenas uma varivel ou o produto de fatores de uma s varivel ou constantes.

    Para se obter a soluo geral desse tipo de equao, devemos agrupar cada uma das variveis envolvidas, no caso x e y, com seus diferenciais, possibilitandoassimaintegrao.Istojustificaonomeequaesdiferen-ciais com variveis separveis.

    Vejamososseguintesexemplosdecomoresolveressetipodeequao:

    1) y. dydx

    =-x

    Multiplicando ambos os membros da equao por dx obtemos ydy=-xdx,ouaindaxdx+ydy=0.

    Integrando essa igualdade teremos

    =+ cydyxdx . Segue que 22x

    + 2

    2y = c ou x2 + y2 = 2c . Ento

    cyx 222 =+ a soluo geral.

    2) ( y + xy ) dx + ( x xy ) dy = 0

    Colocandoemevidnciaofatorcomumynocoeficientededxeofatorcomumxnocoeficientededy,temosy(1+x)dx+x(1y)dy=0.

  • 20 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Dividindo agora por xy teremos que x

    x+1 dx +

    yy1

    dy = 0. Integrando

    temos 1 1x ydx dy c

    x y+

    + = ou dxx + dx +

    dyy - dy = c. Portanto a

    soluogeralln|x|+x+ln|y|-y=couln|xy|+x-y=c.

    3) 4xy2 dx + ( x2 + 1 ) dy = 0

    Para se obter a separao de variveis necessrio que dividamos toda

    a equao pelo fator y2( x2 + 1 ), no que resulta em 2 2

    4 1 01

    x dx dyx y

    + =+

    , que

    integrando obtemos 2 2

    4 11

    x dx dy cx y

    + =+ ou

    22

    22.1

    x dx y dy cx

    + =+

    Calculando essas integrais temos que 2.ln( x2+1)-y1

    = c, que a solu-

    o geral. Esta soluo pode ser escrita na forma explcita y = cx + 22 )1ln(

    1

    4) xdx + y2xe dy = 0

    Multiplicando a equao por 2xe chegaremos a x

    2xe dx + ydy = 0. In-

    tegrando esta equao teremos2xxe dx ydy c+ = ou

    21 22

    xxe dx ydy c+ = Resulta que

    2xe + y2 = 2c que a soluo geral

    5) dy

    dx =

    422

    +

    xe y

    Multiplicando ambos os membros dessa equao por e2ydx obteremos

    e2ydy = 2 4dx

    x +. Integrando temos e2ydy = 2 4

    dxx +

    .

    Aintegraldoprimeiromembroimediata,ouseja 2 ye dy = 21

    e2y + c1

    Para resolver a integral do segundo membro, observe que

    2 4dx

    x + = 24( 1)4

    dxx

    + = 2

    14

    12

    dxx +

    Fazendo agora u = 2x

    , teremos que du = 2dx ou ainda dx = 2du, por-

    tanto 2 4dx

    x + = 21 24 1

    duu +

    = 2

    12 1

    duu +

    = 21

    .arctg u + c2 = 21

    .arctg 2x

    + c2

  • 21EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Portanto, deveremos ter 21

    e2y + c1 = 21

    .arctg 2x

    + c2, ou ainda

    e2y = .arctg 2x

    + c. A soluo geral portanto y = 21

    .ln| arctg 2x

    | + c.

    6) 0cos..cos2 =+ xdysenysenxdxy , sabendo que y = 0, quando x = 0.

    Dividindo a equao por cosx.cos2y obtemos 2 0cos cossenx senydx dy

    x y+ = ,

    que integrando obteremos 2cos cossenx senydx dy c

    x y+ = .

    Para resolver a primeira integral, fazendo u = cosx teremos que

    du = - senx dx ou ainda senxdx = - du, e assimcossenx dx

    x = duu =

    -ln|u|+c1 =-ln|cosx|+c1

    Nasegundaintegral,fazendov=cosyteremosquedv=-senydyou

    senydy=-dv,logo 2cosseny dy

    y = 2dv

    v =-

    2v dv = v1

    + c2 = ycos1

    + c2

    Portanto,asoluogeraldaequao-ln|cosx|+secy=c.

    Sey=0,quandox=0,ento-ln|cos0|+sec0=c.Resultaquec=1easoluoprocurada-ln|cosx|+secy=1ousecy=1+ln|cosx|ouainda na forma explcita y = arcsec(1+ ln|cosx | ).

    7) y-2dx = lndy

    x x tal que y( 1 ) = 1.

    Se multiplicarmos essa equao por y2xlnx teremos xlnxdx = y2dy ,

    que integrando obtemos xlnxdx = y2dy.

    Para se resolver a integral do primeiro membro dessa equao, deve-

    mos usar integrao por partes, tomando u = lnx e dv = xdx. Assim, temos

    du = 1 dxx

    e v = 2

    2x e da teremos que xlnxdx = 2

    2x.lnx-

    2

    .2x dx

    x =

    2

    2x.lnx-

    4

    2x.

    Como o segundo membro da equao y2dy = 33y

    , a soluo

    geral da equao ser 2

    2x.lnx-

    4

    2x =

    3

    3y + c.

  • 22 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Para x = 1 temos y = 1, ento 2

    12.ln1-

    412

    = 313

    + c c=-7

    12 ,

    e assim obtemos a soluo particular 2

    2x.lnx-

    4

    2x =

    3

    3y-

    712 .

    1.1 Aplicaes GeomtricasSejaP(x,y)umpontoqualquerdeumacurvay=f(x).

    Observandoafigura,verificamosque:

    1) tg = dydx

    a inclinao da reta t tangente curva no ponto.

    2) -1

    tg=-

    dxdy

    a inclinao da reta n normal curva no ponto.

    3)SefixarmosessepontocomosendoP(x0 , y0 ), ento a equao da

    retatangentecurvaemPy-y0 = dydx

    (x-x0 ).

    4) Sob as mesmas condies, a equao da reta normal curva no

    pontoPdadapory-y0=-dxdy

    (x-x0 ).

    Apartirdessasobservaes,podemosdefinir:

    a) Segmento tangente: TPcujamedidaTP = 2 2TM MP+

  • 23EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Mas MP = y e tg = MPTM

    TM = y

    tg =

    ydydx

    = y. dxdy

    , portanto

    TP = 2

    2dxy ydy

    +

    TP = | y |.

    2

    1 dxdy

    +

    b) Segmento subtangente:

    TMcujamedidaTM = y. dxdy

    .

    c) Segmento normal:

    PNcujamedidaPN = 2 2

    PM MN+ .

    Se tg = MNPM

    , ento MN = y. tg MN = y. dydx , por-

    tanto PN = 2

    2 2 dyy ydx

    +

    = | y | .

    2

    1 dydx

    +

    .

    d) Segmento subnormal:

    MNcujamedidaMN = y. dydx

    .

    e) OT o valor da abscissa do ponto onde a reta tangente corta o

    eixo x, que pode ser um nmero real qualquer. Fazendo y = 0 na

    equao da retatangente,teremosque-y0 = dydx ( OT x0 )

    OT-x0=-y0 . dxdy

    OT = x0-y0 . dxdy

    .

    f) OQ o valor da ordenada do ponto onde a reta tangente corta o

    eixo y. Ento, fazendo x = 0 na equao da reta tangente, teremos

    OQ -y0 = dydx ( x0 ) , logo OQ = y0-x0 .

    dydx .

    Exemplo 1:Encontreaequaodafamliadecurvascujocomprimentodasub-

    normal constante e igual a .

  • 24 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Soluo:Se o comprimento da subnormal igual a , teremos y. dy

    dx =

    ou y.dy = .dx. Integrando esta igualdade obtemos ydy = dx ou

    2

    2y= .x + c. A soluo geral portanto y2 = 2 .x + 2c, que uma

    famlia de parbolas.

    Exemplo 2:A ordenada do ponto em que a reta tangente a uma curva no ponto

    (x,y) corta o eixo y 2xy. Determine a equao da curva.

    Soluo:

    12,6rando as variveis obtemos 1 2x dxx = dy

    y. Integrando esta equao

    temosln|x|-2x=ln|y|+couln|yx

    | = 2x + c que a equao geral. Usan-

    do exponencial podemos apresentar a soluo geral na forma yx

    = e2x+c ou

    y= x.e-2x-c

    Exemplo 3:Encontreaequaodafamliadecurvascujaretanormalemqual-

    quer ponto passa na origem.

    Soluo:

    Aequaodaretanormalaumacurvaqualquery-y0=-dxdy

    (x-x0 ).

    Se y0 = x0=0teremosy=-dxdy

    x ou x dx + y dy = 0. Teremos xdx + ydy = 0

    ou 2

    2x +

    2

    2y = c. Ento x2 + y2 = r2, onde r2 = 2c a famlia de curvas pro-

    curada e so todas as circunferncias centradas na origem.

    Exemplo 4:Ache a famlia de curvas que, em qualquer ponto, a medida do seg-

    mentoOTsejamdiaaritmticadeOMeaconstante .

    Soluo:

  • 25EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Se OT =2

    OM + , ento x - y .dxdy

    =2+x. Teremos x dy - y dx =

    2+xdyouydx=(x-

    2+x

    ) dy. Segue que y dx = ( 2x

    ) dy, que se-

    parando as variveis teremos dyy

    = 2 dxx

    . dyy = 2

    1 dxx . Integrando

    ambos os membrosdaigualdade,teremosqueln|y|=2ln|x- | + c.

    Concluimos ento que y = k.e2ln|x- | a famlia de curvas procurada.

    Exemplo 5:Encontreaequaodacurvacujocomprimentodasubtangentesejao

    dobro da abscissa do ponto de contato, e passa no ponto P0( 1 , 2 ).

    Soluo:Sabemos que o comprimento da subtangente TM = y. dx

    dy. En-

    to, TM = 2x implica que y. dxdy

    = 2x ou 2 dyy

    = dxx

    . Integrando, temos

    2 dyy =

    dxx , ou 2 ln| y | = ln| x | + ln c. Assim teremos ln| y

    2 | = ln| cx | e ou y2 = cx,

    que a soluo geral. Como a curva procurada passa no ponto P0( 1 , 2 ),

    ento 22 = c.1 , o que implica que c = 4, portanto y2=4xasoluodesejada.

    1.2 Trajetrias OrtogonaisSejaF(x,y, ) = 0 a equao de uma famlia de curvas que de-

    pendem do parmetro .Definimosastrajetriasortogonaisdessafam-lia, como uma outra famlia de curvas que cortam as curvas da primeira segundo um ngulo reto.

    Exemplo:Encontreastrajetriasortogonaisdafamliadehiprbolesx.y=k.

    Soluo:

    Derivando a equao x.y = k com relao a x teremos que x.y + y = 0.

    Seguequey=-xy,oquenospermiteafirmarqueadeclividadedafam-

    lia de hiprboles em qualquer ponto dydx

    =-xy

    .

    Se as trajetrias ortogonais so perpendiculares a essa famlia de

    curvas,entoadeclividadedessastrajetriassoinversasesimtricasda

    declividade da famlia de hiprboles. Logo, dydx

    = yx

    ou y dy = x dx.

  • 26 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Integrando esta equao teremos ydy = xdx , e assim y2-x2 = k que a famlia de curvas ortogonais famlia dada.

    1.3 Aplicaes Diversas

    Vamos agora aplicar a teoria das equaes diferenciais ordinrias com variveis separveis em Cinemtica, Eletricidade, Decaimento Radioativo, Dinmica Populacional, Aquecimento e Arrefecimento, etc. Embora os pro-blemasqueapresentaremossejambastantesimples,necessrioquete-nhamos algum conhecimento sobre mecnica newtoniana, que a teoria do movimento. As relaes fundamentais da mecnica esto contidas nas trs leis do movimento de Newton, que enunciaremos a seguir.

    1. Quando no existem foras externas agindo sobre um corpo, ele permanece num referencial inercial, em repouso ou em movimento, com velocidade constante.

    2. A taxa de variao do movimento de um corpo em relao ao tempo igual resultante das foras externas que agem sobre o corpo, ou

    seja, F = ddt , onde o momento (quantidade de movimento).

    A quantidade de movimento, , o produto da massa do corpo

    m pela velocidade v. Quando a massa do corpo constante, ento

    F = m. dvdt

    = m.a, onde a = dvdt

    a acelerao.

    3. As foras sempre existem aos pares: quando um corpo A exerce uma fora FAB sobre um corpo B, este exerce sobre aquele um fora igual e oposta FBA=-FAB.

    Exemplo 1:Uma bola de golfe de massa 0,2 Kg recebe uma tacada que lhe im-

    prime uma velocidade de 180 Km/h. Supondo que a bola permanece em contato permanente com o cho e que a fora de atrito que atua sobre ela de 10 newtons ( N ), qual a distncia percorrida pela bola at ela parar ?

    Soluo:Antes de comearmos a solucionar o problema vamos lembrar que

    uma fora unitria agindo sobre um corpo de massa de 1 Kg provoca uma acelerao de 1 m/s2,ouseja,1unidadedefora=1Kg.1m/s2.

    Esta combinao de unidades 1 Kg . 1 m/s2 , chamada de newton, ousejaaunidadedefora1N=1Kg.1m/s2.

    Usando a segunda lei de Newton, temos que F = m. dvdt

    ou 0,2 dvdt

    =-10.

    O sinal negativo indica que a fora atua no sentido contrrio ao desloca-

    mento. Segue quedv=-50dt;Integrandotemos dv =-50 dt e assim v=-50.t+c1 .

  • 27EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Comovelocidadeinicialdabolade180Km/h=50m/s,parat=0temosquev=50,oqueresultaemc1=50,eassimv(t)=-50t+50metrospor segundo que a velocidade da bola a cada instante t.

    Quando a bola pra, temos v( t ) = 0, logo t = 1 segundo. Mas, se s(t)

    o espao percorrido pela bola em um tempo t, ento dsdt

    = v(t) no que re-

    sulta uma nova nova equao dsdt

    =-50t+50.Entods=(-50t+50)dt.

    Integrando esta equao temos ds = ( 50 50)t dt + . Segue que s= - 25t2 +50t+ c2. Como para t = 0 temos que o espao percorrido

    s = 0, conclumos que c2 = 0.

    Portanto, o espao percorrido pela bola em qualquer instante t s(t)=-25t2+50t,enoinstantetiguala1segundoteremoss(1)=-25+50= 25metrosqueodeslocamentodabola.

    Exemplo 2: Um bote est sendo rebocado a uma velocidade de 6,1 m/s. No instan-

    te t = 0 em que o cabo do reboque largado, um homem no bote comea a remar, no sentido do movimento, exercendo uma fora F = 10 Kgf. Sabendo que o peso do bote com o homem 200 Kgf e que a resistncia ao desloca-mento, em Kgf, R = 2,6v, onde v a velocidade em m/s, ache a veloci-dadedobotenofimde30segundos.

    Soluo:Antes de partirmos para solucionar o problema necessrio que faa-

    mos algumas consideraes.A fora mais comum na nossa experincia cotidiana a fora de atra-

    o que a terra exerce sobre todos os corpos, que chamamos de peso do corpo. Podemos determinar o peso de um corpo com 1 Kg de massa, medin-do a acelerao desse corpo em queda livre, quando a nica fora que atua sobre ele o prprio peso. A acelerao da gravidade , conforme sabemos, 9,8 m/s2 com sentido para baixo.

    O peso P da massa de 1 Kg ser portanto P=m.a = 1 Kg.9,8 m/s2 = 9,8 N.Em algumas situaes prticas, no lugar da unidade de massa,

    fundamental que usemos a unidade de fora, que o quilograma-fora. Oquilograma-fora(Kgf),pordefinio,opesodoquilograma(massa)padroemumlugaremqueaaceleraodagravidadeseja9,8m/s2. Assim, a relao entre essa unidade de fora e o newton ser 1 Kgf = 1 Kg . 9,8 m/s2 = 9,8 N.

    Uma vez que 1 Kg pesa 9,8 N num lugar em que a acelerao da gra-vidade 9,8 m/s2, o peso de um corpo com massa de 1 Kg, medido em Kgf 1 Kgf.

    Agora podemos comear a solucionar o problema, observando primei-ro que as foras que atuam sobre o bote, aps o cabo do reboque ser lar-

    gado, so a fora exercida pelo homem e a fora de resistncia. Aplicando a

    segunda lei de Newton teremos m. dvdt

    =F-R,ouseja,200dvdt

    = 10 2,6v

  • 28 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    ou dvdt

    =0,05-0,013v.

    Segue que 0,05 0,013

    dvv

    = dt e portanto 0,05 0,013

    dvv = dt .

    Paraaprimeiraintegral,faamosu=0,05-0,013v,du=-0,013dv ou

    aindadv=-0,013

    du.Ento-

    013,01 du

    u = dt. Segue que - 013,01

    . ln|u|=t + c

    ouaindaln|0,05-0,013v|=-0,013(t+c).Portanto0,050,013v= )(013,0 cte + ,

    ou0,013v=0,05- te 013,0 . ce 013,0 . Teremos v = 0,050,013

    -013,0

    013,0 ce . te 013,0

    Quando t = 0, sabemos que v = 6,1, que substituindo na equao en-

    contramos 013,0

    013,0 ce=2,25,logov=

    10,26

    -2,25. te 013,0 .

    Avelocidadedoboteaofinalde30segundosv(30)=2,32m/s.

    Exemplo 3:Um circuito eltrico constitudo por uma resistncia R de 8 e

    estsujeitoaumaforaeletromotriz(f.e.m.)E=4volts.Sendoocoefi-cientedeauto-indutnciaL=0,2henries,encontreaintensidadedacor-rente eltrica i no instante em que t = 0,01 s.

    Soluo:

    Quando a intensidade i de uma corrente eltrica sofre uma variao, elaproduzumavariaonofluxomagntico,oqual,porsuavez,daorigem

    a uma fora eletromotriz induzida que, de acordo com a lei de Lenz, se ope variaodacorrente.Estaf.e.m.deauto-indutnciaseexprimeemfun-

    odavariaodaintensidadedecorrente,pelarelaoe=-L.didt

    , onde

    Laconstantedocircuitoquesedenominacoeficientedeauto-indutncia.

    O sinal negativo traduz o fato de que a f.e.m. induzida se ope variao da corrente.Aunidadeprticadeauto-indutnciacorrespondenteaovolteao

    ampre o henry.

    Pela lei de Kirchhof, temos que i = R

    mef ... =

    ReE +

    i.R = E + e

    ouainda-e+i.R=E L.didt

    + R.i = E , onde L , R e E so constantes.

  • 29EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Para solucionar essa equao diferencial L. didt

    + R.i = E faamos

    L. didt

    =E-RiouLdi=(ERi)dt diE Ri

    = L1

    dt diE Ri = L

    1dt .

    Fazendonaprimeiraintegralu=ERi,teremosquedu=-Rdi

    oudi=-R1du,deondetiramosque-

    R1

    . 1 duu = L

    1 dt . Resolvendo

    ambasasintegraisobtemosqueln|E-Ri|=-LR

    .t + C.

    Quando t = 0, temos i = 0 o que implica que C = ln| E |, que substi-

    tuindonaequaoanteriortemosln|E-Ri|=-LR

    .t + ln| E | ou ainda

    ln| E - Ri | - ln| E | = -LR

    .t ln| E RiE | = -

    LR

    .t

    E RiE =

    tLR

    e

    E.t

    LR

    e

    =E-Ri Ri=E-E.t

    LR

    e

    i = RE

    (1-t

    LR

    e

    ) Que a equao que exprime a intensidade i de corrente, t segundos

    apsserfechadoocircuito,equegraficamentepodeservistanogrfico.

    No caso em que E = 4; R = 8; L = 0,2 e t = 0,01 temos que i = 0,16 amp.

  • 30 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Exemplo 4:AleidevariaodatemperaturadeNewtonafirmaqueataxadeva-

    riao da temperatura de um corpo diretamente proporcional diferena de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Se um corpo tempera-turade50Ccolocadoemummeioondeatemperaturade100C,eseaps5minutosatemperaturadocorpode60C,determinesuatempera-tura depois de 20 minutos.

    Soluo:A lei de Newton pode ser traduzida pela equao diferencial

    dTdt

    = -k(T-Tm), onde Tm a temperatura do meio, e se admite constante,

    k uma constante positiva que depende da propriedade fsica do corpo. Osinalnegativoseexplicapelofatoqueocalorfluidafontemaisquente

    para a mais fria, e assim, para T > Tm teremos dTdt

    < 0 o que quer dizer

    que o corpo est esfriando, enquanto que T < Tm acarretar aquecimento

    do corpo, ou dTdt

    > 0.

    Ento,seatemperaturadomeio100C,entodTdt

    =-k(T-100)ou

    dT=-k(T-100)dt 100

    dTT

    =-kdt 100

    dTT =-k dt

    Integrando,temosln|T-100|=-kt+c0 T = C.kte + 100.

    SeT=50parat=0,entoC=-50;eT=60parat=5,temosquek=0,045,portantoT=-50. te 045,0 + 100.

    Assim, podemos agora obter a temperatura do corpo em t = 20 min,

    queserT=-50. 0,045 20e + 100 T=79,5C.

    Um outro modelo que se enquadra na classe de modelos matemticos caractersticos de equaes diferenciais com variveis separveis o cres-cimento populacional, que se baseia na premissa de que uma populao cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da populao.

    Admitamos ser P a populao de uma cidade , e esta cresce ao longo

    do tempo t a uma taxa proporcional a P, isto , .dP k Pdt

    = , onde k > 0 cha-

    mada de constante de proporcionalidade .

    Assim, .dP k Pdt

    = 1 .dP k dtP

    = 1 .dP k dtP

    = ln P = k.t + r , logo P = e k.t + r P = e k.t . e r P = C . e k.t , com e r = C.

  • 31EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Exemplo 5:Suponhamos que a populao de uma cidade dobrou nos ltimos 20

    anos, passando de 20.000 habitantes em 1990 para 40.000 em 2010. Faa uma estimativa de sua populao para as prximas trs dcadas.

    Soluo:

    t 0 20 30 40 50 P 20.000 40.000 ? ? ?

    Vejanatabelaacima,queconsideramost=0em1990,comopontode partida de nossa estimativa , e t = 20 para o ano de 2010 .

    Ento: Sendo P = C . ek.t, ento para t = 0, temos P = C . ek.0 logo P = C . 1 = C.

    A constante C corresponde sempre ao valor de P na data zero.

    Assim, P = 20000.e k.t

    Para t = 20, P = 20000 e k.20 40000 = 20000 e 20k

    e 20k = 2 20k = ln 2 k = ln 220

    k=0,034657.

    Agora , a funo est completa onde P = 20000 e 0,034657.t e podemos fazer a estimativa da populao para qualquer perodo.

    Em 2020 , t = 30 P = 20000 e0,034657.30 P=56.568habitantes.

    Em 2030, t = 40 P = 20000 e 0,034657.40 P = 79.998 habitantes.

    Em2040,t=50 P = 20000 e 0,034657.50 P=113.135habitantes

    conveniente observar que essa estimativa feita com base nos dados que tomamos , e que o crescimento populacional de uma cidade pode sofrer influnciasquemodifiquemesseresultado.

    Na fsica nuclear temos tambm um exemplo que tem caractersticas semelhantesaosmodelosanteriores,quandoseafirmaqueamassadeum

    elemento radioativo decai a uma taxa proporcional massa presente em

    cada instante. Admitindo ser M a massa desse elemento, temos que dMdt

    =

    -k.M,ondek>0aconstantedeproporcionalidadeeosinalnegativoin-dica a perda de massa do elemento.

  • 32 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    A equao diferencial para esse modelo semelhante equao do modelo de crescimento populacional, e assim, podemos dizer que

    dMdt

    =-k.M M = C. kte .

    Exemplo 6:Seumasubstnciaradioativaperdeu30%desuamassaem15anos,

    em quantos anos perder 60 % ?

    Soluo:

    M M0 70%M0 40%M0t 0 15 ?

    Suponhamos que existiam inicialmente 100 gramas da substncia. Sehouveumaperdade30%em15anos,entorestam70gramas,equere-mos saber em quanto tempo restaro 40 gramas.

    Assim, temos M = C. kte , de modo que :

    M = 100 para t = 0 , implica que C = 100

    M=70parat=15,ento70=100. 15ke 15ke = 0,7 ou ainda

    -15k=ln0,7 k = 0,3566715

    k = 0,023.

    Agora temos a funo M = 100. te 023,0 , e para saber o tempo em que a massa do elemento se reduzir a 40 gramas devemos fazer M = 40,

    no que implica 40 = 100. te 023,0 te 023,0 = 0,4 -0,023t=ln0,4

    t = 023,0

    9163,0

    Portanto, o tempo ser de aproximadamente 40 anos.

    Exemplo 7:Ameia-vidadordio-226de1590anos.Seumaamostraderdio

    temhojeumamassade100mg,calcule:

    a) sua massa daqui a 1000 anos .

    b) em quantos anos essa massa estar reduzida a 30 mg .

    Soluo:a) Se M a massa de rdio , M = M 0 . e

    k.t M = 100 . e k.t .

  • 33EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Ameia-vidadeumelementoradioativootemponecessrioparaquesua massa se reduza metade .

    Ento,50=100e1590.k e 1590.k=0,5 1590k=ln0,5

    k=-0,0004359.

    Em 1000 anos teremos M = 100 e 0,0004359.1000 M = 100 e 0,4359

    M=65mg.

    b) Para saber o tempo em que a massa se reduzir a 30 mg, de-vemos fazer M = 30 , no que implica em 30 = 100 e 0,0004359t

    e 0,0004359t =0,3-0,0004359t=ln0,3 t=-ln 0,3

    0,0004359 t = 2.762 anos.

    Outrotipodeproblemacujasoluorecaiemumaequaodiferencialcom variveis separveis o problema de misturas.

    Umproblematpicodemisturaenvolveumtanquedecapacidadefixapreenchido por uma soluo completamente misturada de alguma substn-cia. Uma soluo de uma dada concentrao entra no tanque a uma taxa fixaeamistura,bemagitada,saiaumataxafixaquepodeserdiferenteda taxa de entrada . Se y ( t ) for a quantidade de substncia no tanque no tempo t , ento y ( t) a taxa na qual a substncia est sendo adicionada , menos a quantidade na qual ela est sendo retirada . A descrio matem-tica da situao leva frequentemente a uma equao diferencial com vari-veis separveis . Esse mesmo raciocnio podemos usar para modelar outros tipos de fenmenos , como ; reaes qumicas , descarga de poluentes em umlagoouinjeodemedicamentosnacorrentesanguinea.

    Exemplo 8:Umtanquecontem20kgdesaldissolvidosem5000litrosdagua.

    gua salgada que contem 0,03 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxade25l/min.Asoluomisturadacompletamenteesaidotanquemesma taxa . Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora ?

    Soluo :Suponhamos que y( t ) a quantidade de sal depois de t minutos.

    Nos foi dado que y( 0 ) = 20 e queremos saber o valor de y( 30 ). Se dydt

    a taxa de variao da quantidade de sal , ento:

    dydt

    =(taxadeentrada)-(taxadesada).

    A taxa de entrada a taxa na qual o sal entra no tanque, logo:

    Taxadeentrada=(0,03kg/l).(25l/min)=0,75kg/min.

  • 34 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    Taxa de sada = ( 5000

    )(tykg/l).(25l/min)=

    200)(ty

    kg/min .

    Ento: dydt

    =0,75-200

    )(ty dy

    dt =

    200)(150 ty

    .

    Resolvendo essa equao diferencial , que de variveis separveis , temos que :

    1 1150 ( ) 200

    dy dty t

    =

    1 1150 200

    dy dty

    =

    e da

    -ln|150y|=200

    t + C

    Quandot=0,temosquey=20,issoimplicadizerqueC=-ln130,

    o queacarretaque-ln|150y|=200

    t-ln130 -ln130+ln|150y| =

    -200

    t ln

    130|150| y=-

    200t

    |150-y|=130.e t/200 .

    Como y(t) contnua, y(0) = 20 e o lado direito dessa equao nunca igualazero,entoconclumosque150-y(t)semprepositiva,oqueimplicadizerque|150-y|=150-y,portanto:

    y(t)=150-130.e t/200 .

    Em meia hora, temos que t = 30 y( 30 ) = 150 - 130.e 30/200 logo y( 30 ) = 38,1 kg .

    1. Resolva as seguintes equaes diferenciais:

    a) y = y 2 b) 2

    34

    xdy edx y

    =

    c) y.y = x d) y = x.y

    e) 21

    tdy edt y y

    =+

    f) 2.ln

    dy xydx y

    =

    2. Encontre a soluo da equao diferencial que satisfaz a condio inicial dada:

    a) y = y 2 + 1 ; y( 1 ) = 0

  • 35EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    b) 1dy x

    dx xy+

    = ;comx>0.y(1)=-4.

    c) . .t dxx e tdt

    = ; x( 0 ) = 1.

    3. Encontre uma equao da curva que satisfaz 34dy x ydx

    = ecujointercep-to y igual a 7.

    4. Encontre uma equao da curva que passa pelo ponto P0(1,1)ecuja

    inclinao da reta tangente em qualquer ponto P( x , y ) 2

    2

    xy

    .

    5. Resolva o problema de valor inicial y = y.sen x ; y( 0 ) = 1.6. O crescimento do nmero de bactrias em uma determinada cultura

    proporcional quantidade presente. Se existem 1.000 bactrias presen-tes inicialmente e a quantidade dobra em uma hora , quantas bactrias existiroem5horas?

    7. Em uma reao qumica a taxa de converso de uma substncia pro-porcional quantidade de substncia ainda no transformada . Aps 10 minutos , um tero da quantidade original da substncia foi convertido, e20gramasforamconvertidasaps15minutos.Qualeraaquantidadede substncia no incio?

    8.Setrintaporcentodeumasubstnciaradioativadesapareceem15anos, qual a vida mdia dessa substncia?

    9. Um tanque contm 200 gales de gua salgada na qual existem 3 kg de salporgalo.Deseja-sediluirestasoluoadicionando-seguasalgadacontendo1kgdesalporgalo,quefluinotanquetaxade4galesporminuto,esaimesmataxa.Emquantotempootanqueconter1,5kgde sal por galo?

    10.Umacurvapassapeloponto(0,5)etemapropriedadedequeaincli-nao da reta tangente curva em qualquer ponto P( x , y ) o dobro da ordenada de P. Encontre a equao dessa curva. Encontre tambm as trajetriasortogonaisdessacurva.

    11.Encontreastrajetriasortogonaisdasseguintescurvas:a) y = k.x 2

    b) x 2-y2 = k

    c) y = ( x + k ) 1

    d) y = k.e x

    12. Suponhaquevocacaboudeservirumaxcaradecafrecm-passadoaumatemperaturade95Cemumasalacomtemperaturaambientede20C.Sabendoqueataxaderesfriamentodocafproporcionaldiferena de temperatura com o meio ambiente, em quanto tempo o caf estaraumatemperaturade55C?

  • 36 EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    2. Equaes Diferenciais HomogneasSe n um nmero natural, dizemos que uma funo de duas variveis

    f( x , y) homognea de grau n quando f( tx , ty ) = tn.f( x , y ) para todo nmero real t.

    Tomemos por exemplo a funo f( x , y ) = 2 2x yxy .

    f(tx , ty) = 2 2( ) ( )

    ( )( )tx ty

    tx ty =

    2 2 2

    2

    ( )t x yt xy = t0.

    2 2x yxy

    = t0. f(x , y),

    portanto essa funo homognea de grau zero.

    A funo f( x , y ) = x3 + xy2 homognea de grau 3, pois

    f( tx , ty ) = ( tx )3 + ( tx )(ty )2 = t3( x3 + xy2 ) = t3. f( x , y ) .

    Uma equao diferencial ordinria do tipo P( x , y ) dx + Q( x , y ) dy = 0 dita homognea, quando as duas funes P( x , y ) e Q( x , y ) forem homo-gneas de mesmo grau.

    A equao diferencial ( x2 + y2 ) dx + x2 dy = 0 homognea pois as duas funes P( x , y ) = x2 + y2 e Q( x , y ) = x2 so homogneas de grau dois.

    TeoremaUma equao diferencial ordinria homognea P(x, y) dx + Q(x, y)

    dy = 0 se reduz ao caso de variveis separveis mediante a substituio y = x . v.

    ProvaSe y = x.v , ento dy = x.dv + v.dx que substituindo na equao

    temos que

    P( x , xv ) dx + Q( x , xv ) (x.dv + v.dx ) = 0 ou

    [ P( x , xv ) + v. Q( x , xv ) ] dx + x Q( x , xv ).dv = 0.

    Dividindo essa igualdade por x.[ P( x , xv ) + v. Q( x , xv ) ] obtemos

    dxx

    + ( , ) .

    ( , ) ( , )Q x xv dv

    P x xv Q x xv+ = 0.

    SuponhaagoraqueasduasfunesPeQsejamhomogneasdegraur,

    e assim dxx

    + ( 1, ) .[ ( 1, ) ( 1, )]

    r

    r

    x Q v dvx P v Q v

    +

    = 0 ou ainda

  • 37EQUAES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

    dxx

    + ( 1, ) .

    ( 1, ) ( 1, )Q v dv

    P v Q v

    + =0,conformesejax>0oux