Equações do Movimento

João Oliveira

Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial

1 Ângulos de Euler

1.1 Referenciais

Referenciais: fixo na Terra e do avião

• FE (OxEyEzE) : referencial «iner-cial», fixo na Terra; (supõe-seTerra plana e ~g vertical, segundozE)

• FB (Cxyz) : referencial com ori-gem no centro de massa da aero-nave e que se move solidário comela;

DefiniçõesPodemos usar referenciais diferentes para medir/definir o vector e

para escrever as suas componentes.

~Vab• o expoente a identifica o referencial relativamente ao qual medi-

mos o vector

• o índice b identifica o referencial no qual escrevemos as compo-nentes do vector

1

Exemplos

• Velocidade relativamente à Terra: ~VE

– ~VEE = (xE, yE, zE)– ~VEB = (uE, vE,wE)

• «Airspeed»: ~VB = (u,v,w)

Note-se que, se o vento tiver velocidade ~W ,

~V E = ~V + ~W

1.2 Definição dos Ângulos de Euler

Orientação relativa dos referenciaisOrientação relativa dos dois referenciais (FE fixo na Terra e FB soli-

dário com o avião):

Ângulos de Euler

• Muitas definições possíveis.

• Em Aeronáutica:

– guinada (yaw),

– picada/cabragem (pitch),

– pranchamento ou rolamento (bank, roll).

Ângulos de Euler: ângulo de guinada ψ

2

Ângulos de Euler: ângulo de picada/cabragem θ

Ângulos de Euler: ângulo de pranchamento φ

1.3 Matrizes de rotação

Matrizes de rotação

Rotação em torno do eixo Ox:

Lx(α) =1 0 0

0 cosα sinα0 − sinα cosα

x

y

z

α

α

Rotação em torno do eixo Oy:

Ly(β) =cosβ 0 − sinβ

0 1 0sinβ 0 cosβ

β

βx

y

z

3

Rotação em torno do eixo Oz:

Lz(γ) = cosγ sinγ 0− sinγ cosγ 0

0 0 1

x

y

z

γ

γ

Rotação: referencial Terra para referencial do aviãoMatriz de rotação do referencial fixo na Terra FE para o referencial

fixo na aeronave FB :

LBE = Lx(φ) · Ly(θ) · Lz(ψ)

Transformação de vectores:

~VB = LBE ~VE

Rotação: referencial Terra para referencial do avião (2)Matriz de rotação do referencial fixo na Terra FE para o referencial

fixo na aeronave FB :

LBE = Lx(φ) · Ly(θ) · Lz(ψ) =

= cosθ cosψ cosθ sinψ − sinθ

sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ sinφ cosθcosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ cosφ cosθ

Rotação: referencial Terra para referencial do avião (3) ExemploTransformação do vector peso: (m~g)E = (0,0,mg)

Para um vector qualquer: ~VB = LBE ~VE

(m~g)B = cosθ cosψ cosθ sinψ − sinθ

sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ sinφ cosθcosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ cosφ cosθ

00mg

= −mg sinθmg cosθ sinφmg cosθ cosφ

Rotação: referencial do avião para referencial TerraMatriz de rotação do referencial fixo na aeronave FB para o referen-

cial fixo na Terra FE :

LEB = L−1BE = Lz(−ψ) · Ly(−θ) · Lx(−φ)

Transformação de vectores:

~VE = LEB ~VB

4

Rotação: referencial do avião para referencial TerraMatriz de rotação do referencial fixo na aeronave FB para o referen-

cial fixo na Terra FE :

LEB = L−1BE = Lz(−ψ) · Ly(−θ) =

=cosθ cosψ sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ cosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ

cosθ sinψ sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ− sinθ sinφ cosθ cosφ cosθ

1.4 Velocidades angulares

Velocidade angularNos eixos do corpo ~ω = p~iB + q~jB + r ~kBPor outro lado ~ω = ψ~k1B + θ ~j2B + φ~i3BMas, pela definição dos ângulos de Euler:

~i3B = ~iB~j2B = cosφ~jB − sinφ~kB~k1B = cosθ(sinφ~jB + cosφ~kB)− sinθ~iB

Velocidade angular (2)~ω = ψ~k1B + θ ~j2B + φ~i3B

~i3B = ~iB~j2B = cosφ~jB − sinφ~kB~k1B = cosθ(sinφ~jB + cosφ~kB)− sinθ~iB

~ω = ψ~k1B + θ ~j2B + φ~i3B= ψ[cosθ(sinφ~jB + cosφ~kB)− sinθ~iB]+θ[cosφ~jB − sinφ~kB]+ φ~iB

= (φ− ψ sinθ)~iB + (ψ cosθ sinφ+ θ cosφ)~jB++ (ψ cosθ cosφ− θ sinφ)~kB

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Velocidade angular (3)Logo

( ~ω)B = p~iB + q~jB + r ~kB= (φ− ψ sinθ)~iB + (ψ cosθ sinφ+ θ cosφ)~jB+

+ (ψ cosθ cosφ− θ sinφ)~kB

p = φ− ψ sinθ

q = ψ cosθ sinφ+ θ cosφ

r = ψ cosθ cosφ− θ sinφ

2 Equações de Euler

2.1 Equações do movimento

Equações do movimento no referencial inercialEquação da dinâmica de translação:

~F =m[

ddt(~VE)

]FE

Equação da dinâmica de rotação:

~MC =[

ddt( ~HC)

]FE

• ~F : força resultante

• ~MC : momento resultante relativo ao CM do avião

• ~HC : momento angular relativamente ao CM do avião

Equações do movimento no referencial do aviãoO referencial do avião é um referencial em rotação com velocidade

angular ~ω.

Equação da dinâmica de translação:

(~F)B =m[

ddt(~VE)

]FE=m

[(~VE)B + ( ~ω)B × (~VE)B

]Equação da dinâmica de rotação:

( ~MC)B =[

ddt( ~HC)

]FE=[( ~HC)B + ( ~ω)B × ( ~HC)B

]

6

2.2 Forças aplicadas

Forças aplicadas a uma aeronavePrincipais forças externas aplicadas:

• força gravítica: m(~g)B

• forças aerodinâmicas: ~A

• força de propulsão: ~T

ForçasForça gravítica:

m(~g)B =mg(− sinθ~iB + cosθ sinφ~jB + cosθ cosφ~kB

)Forças aerodinâmicas e de propulsão:

( ~A)B + (~T)B = X~iB + Y ~jB + Z~kB

Notas:

• X, Y e Z dependem das variáveis dinâmicas (~V e ~ω)

• considerar também forças de controlo

2.3 Equações do movimento no referencial do avião

Equação da dinâmica de translação

(~F)B =m[

ddt(~VE)

]FE=m

[(~VE)B + ( ~ω)B × (~VE)B

]

No referencial do avião:

( ~ω)B = p ~iB + q ~jB + r ~kB(~VE)B = uE~iB + vE ~jB +wE~kB

Logo

X −mg sinθ =m(uE + qwE − rvE)

Y +mg cosθ sinφ =m(vE + ruE − pwE)Z +mg cosθ cosφ =m(wE + pvE − quE)

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Equação da dinâmica de rotaçãoEquação da dinâmica de rotação:

( ~MC)B =[

ddt( ~HC)

]FE=[( ~HC)B + ( ~ω)B × ( ~HC)B

]( ~MC)B = L~iB +M ~jB +N ~kB ; [( ~HC)B] = [IB][( ~ω)B]

Matriz de inércia: [IB] = Ixx −Ixy −Ixz−Ixy Iyy −Iyz−Ixz −Iyz Izz

em que Ixx =

∫(y2 + z2)dm, etc.

Ixy =∫xy dm, etc.

Equação da dinâmica de rotação (2)Depois de efectuadas todas as operações, obtém-se:

L = Ixxp − Iyz(q2 − r 2)− Izx(r + pq)− Ixy(q − rp)− (Iyy − Izz)qrM = Iyy q − Izx(r 2 − p2)− Ixy(p + qr)− Iyz(r − pq)− (Izz − Ixx)rpN = Izz r − Ixy(p2 − q2)− Iyz(q + rp)− Izx(p − qr)− (Ixx − Iyy)pq

Resumo das equações do movimentoX −mg sinθ =m(uE + qwE − rvE)

Y +mg cosθ sinφ =m(vE + ruE − pwE)Z +mg cosθ cosφ =m(wE + pvE − quE)

L = Ixxp − Iyz(q2 − r 2)− Izx(r + pq)− Ixy(q − rp)− (Iyy − Izz)qrM = Iyy q − Izx(r 2 − p2)− Ixy(p + qr)− Iyz(r − pq)− (Izz − Ixx)rpN = Izz r − Ixy(p2 − q2)− Iyz(q + rp)− Izx(p − qr)− (Ixx − Iyy)pq

p = φ− ψ sinθ

q = ψ cosθ sinφ+ θ cosφ

r = ψ cosθ cosφ− θ sinφ

Resumo das equações do movimento

• Sistema de equações diferenciais

– 9 equações

– 9 incógnitas (u,v,w,p, q, r ,ψ, θ,φ)

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• Sistema não linear

• Equações acopladas

• Simplificação: aeronave simétrica ⇒ Ixy = 0 = Iyz

2.4 Flight Path

Flight pathA trajectória é determinada no referencial da Terra, FE .

Mas

• ~VEE = (xE, yE, zE)

• ~VEB = (uE, vE,wE)• uE , vE e wE obtidos pelas equações do movimento

• [~VEE ] = [LEB][~VEB ]

Daqui obtém-se o sistema de equações para a trajectória.

Flight pathSistema de equações diferenciais para as coordenadas:

xE = uE cosθ cosψ+ vE(sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ)+wE(cosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ)

yE = uE cosθ sinψ+ vE(sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ)+wE(cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ)

zE = −uE sinθ + vE sinφ cosθ +wE cosφ cosθ

3 Rotores em movimento

Efeito de rotoresMesmo desprezando os efeitos de elasticidade, um avião não é um

corpo rígido.

Exemplo de partes em movimento:

• Hélices (motores a hélice)

• Turbinas e compressores (motores a jacto)

Como introduzir o efeito dos rotores nas equações de Euler?

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Equações de Euler quando há rotoresSomamos

[( ~HC)B] = [IB][( ~ω)B]+ [~h′B]

• ~h′B : momento angular dos rotores (devido ao seu movimento derotação relativo ao avião).

• [IB][( ~ω)B]: momento angular do avião

e usamos o novo momento angular na equação para a dinâmica derotação:

( ~MC)B =[

ddt( ~HC)

]FE=[( ~HC)B + ( ~ω)B × ( ~HC)B

]

Equações de Euler quando há rotoresLogo, aparecem os seguintes termos adicionais na equação dos mo-

mentos:

Na equação segundo x: qh′z − rh′yNa equação segundo y : rh′x − ph′zNa equação segundo z: ph′y − qh′x

(Nota: admitimos que a velocidade angular dos rotores é constante)

4 Sistemas de eixos do corpo

Sistemas de eixos

• Podemos usar qualquer sistema de eixos solidários com o corpo

• Na prática:

– xz no plano de simetria do avião

– Cx apontando «para a frente»

– Cz apontando «para baixo»

– Cy formando um triedro directo

• Ficam muitas possibilidades de escolha de Cx e Cz

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Sistemas de eixos: Cx linha de sustentação nula

Sistemas de eixos principais de inércia

Vantagens: Ixy = Ixz = Iyz = 0⇒

hx = Ixphy = Iyqhz = Izr

Nota: γ: ângulo de subida (ou de rota)

Sistemas de eixos de estabilidade (xS , yS , zS)Eixo dos x segundo a direcção do vector velocidade.

Vantagens:αx = 0⇒ w = 0

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Novos momentos e produtos de inércia:

IxS = IxP cos2 ε+ IzP sin2 ε

IzS = IxP sin2 ε+ IzP cos2 ε

IxSzS =12(IzP − IxP ) sin 2ε

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