Equações do Movimento - Técnico Lisboa · Equação da dinâmica de rotação Equação da dinâmica de rotação: —G~ C

Equações do Movimento

João Oliveira

Departamento de Engenharia MecânicaÁrea Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial

Instituto Superior Técnico

Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial

João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 1 / 43

Sumário

Referenciais

Ângulos de EulerDefinição dos Ângulos de EulerMatrizes de rotaçãoVelocidades angulares

Equações de EulerEquações do movimentoForças aplicadasEquações do movimento no referencial do aviãoResumo

Flight Path

Rotores em movimento

Sistemas de eixos do corpo


Referenciais

Sumário

Referenciais



Flight Path




Referenciais

Referenciais: fixo na Terra e do avião

ñ FE (OxEyEzE) : referencial«inercial», fixo na Terra;(supõe-se Terra plana e ~gvertical, segundo zE)

ñ FB (Cxyz) : referencialcom origem no centro demassa da aeronave e que semove solidário com ela;


Referenciais

Definições

Podemos usar referenciais diferentes para medir/definir ovector e para escrever as suas componentes.

~Vabñ o expoente a identifica o referencial relativamente ao

qual medimos o vectorñ o índice b identifica o referencial no qual escrevemos

as componentes do vector


Referenciais

Exemplos

ñ Velocidade relativamente à Terra: ~VE

ñ ~VEE = (xE, yE, zE)ñ ~VEB = (uE, vE,wE)

ñ «Airspeed»: ~VB = (u,v,w)

Note-se que, se o vento tiver velocidade ~W ,

~VE = ~V + ~W


Ângulos de Euler

Sumário

Referenciais



Flight Path




Ângulos de Euler

Orientação relativa dos referenciais

Orientação relativa dos dois referenciais (FE fixo na Terrae FB solidário com o avião):

Ângulos de Euler

ñ Muitas definições possíveis.ñ Em Aeronáutica:

ñ guinada (yaw),ñ picada/cabragem (pitch),ñ pranchamento ou rolamento (banking, rolling).


Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler

Ângulos de Euler: ângulo de guinada ψ



Ângulos de Euler: ângulo de picada/cabragem θ



Ângulos de Euler: ângulo de pranchamento φ


Ângulos de Euler Matrizes de rotação

Rotação em torno do eixo Ox

Lx(α) =

1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα

x

y

z

α

α



Rotação em torno do eixo Oy

Ly(β) =

cosβ 0 − sinβ0 1 0

sinβ 0 cosβ

β

βx

y

z



Rotação em torno do eixo Oz

Lz(γ) =

cosγ sinγ 0− sinγ cosγ 0

0 0 1

x

y

z

γ

γ



Rotação: referencial Terra para referencial doavião

Matriz de rotação do referencial fixo na Terra FE para oreferencial fixo na aeronave FB:

LBE = Lx(φ) · Ly(θ) · Lz(ψ)

Transformação de vectores:

~VB = LBE ~VE



Rotação: referencial do avião para referencialTerra

Matriz de rotação do referencial fixo na aeronave FB parao referencial fixo na Terra FE:

LEB = L−1BE = Lz(−ψ) · Ly(−θ) · Lx(−φ)

Transformação de vectores:

~VE = LEB ~VB



Rotação: referencial Terra para referencial doavião (2)

Matriz de rotação do referencial fixo na Terra FE para oreferencial fixo na aeronave FB:

LBE = Lx(φ) · Ly(θ) · Lz(ψ) =

= cosθ cosψ cosθ sinψ − sinθ

sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ sinφ cosθcosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ cosφ cosθ



Rotação: referencial do avião para referencialTerra

Matriz de rotação do referencial fixo na aeronave FB parao referencial fixo na Terra FE:

LEB = L−1BE = Lz(−ψ) · Ly(−θ) =

=cosθ cosψ sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ cosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ

cosθ sinψ sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ− sinθ sinφ cosθ cosφ cosθ


Ângulos de Euler Velocidades angulares

Velocidade angularNos eixos do corpo ~ω = p~iB + q~jB + r ~kBPor outro lado ~ω = ψ~k1B + θ ~j2B + φ~i3BMas, pela definição dos ângulos de Euler:

~i3B = ~iB~j2B = cosφ~jB − sinφ~kB~k1B = cosθ(sinφ~jB + cosφ~kB)− sinθ~iB



Velocidade angular (2)

Usando

~i3B = ~iB~j2B = cosφ~jB − sinφ~kB~k1B = cosθ(sinφ~jB + cosφ~kB)− sinθ~iB

em ~ω = ψ~k1B + θ ~j2B + φ~i3B obtém-se

~ω = ψ~k1B + θ ~j2B + φ~i3B= ψ[cosθ(sinφ~jB + cosφ~kB)− sinθ~iB]+θ[cosφ~jB − sinφ~kB]+ φ~iB

= (φ− ψ sinθ)~iB + (ψ cosθ sinφ+ θ cosφ)~jB++ (ψ cosθ cosφ− θ sinφ)~kB



Velocidade angular (3)

Logo

( ~ω)B = p~iB + q~jB + r ~kB= (φ− ψ sinθ)~iB + (ψ cosθ sinφ+ θ cosφ)~jB+

+ (ψ cosθ cosφ− θ sinφ)~kB

p = φ− ψ sinθ

q = ψ cosθ sinφ+ θ cosφ

r = ψ cosθ cosφ− θ sinφ


Equações de Euler

Sumário

Referenciais



Flight Path




Equações de Euler Equações do movimento

Equações do movimento no referencial inercial

Equação da dinâmica de translação:

~f =m[

ddt(~VE)

]FE

Equação da dinâmica de rotação:

~GC =[

ddt(~hC)

]FE

ñ ~f : força resultanteñ ~GC : momento resultante relativo ao CM do aviãoñ ~hC : momento angular relativamente ao CM do avião


Equações de Euler Equações do movimento

Equações do movimento no referencial do avião

O referencial do avião é um referencial em rotação comvelocidade angular ~ω.

Equação da dinâmica de translação:

( ~f)B =m[

ddt(~VE)

]FE=m

[(~VE)B + ( ~ω)B × (~VE)B

]


( ~GC)B =[

ddt(~hC)

]FE=[(~hC)B + ( ~ω)B × (~hC)B

]


Equações de Euler Forças aplicadas

Forças aplicadas a uma aeronave

Principais forças externas aplicadas:

ñ força gravítica: m(~g)Bñ forças aerodinâmicas: ~Añ força de propulsão: ~T


Equações de Euler Forças aplicadas

Forças

Força gravítica:

(~g)B = [LBE][(~g)E] =[cosθ cosψ cosθ sinψ − sinθ

sinφ sinθ cosψ−cosφ sinψ sinφ sinθ sinψ+cosφ cosψ sinφ cosθcosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ cosφ sinθ sinψ−sinφ cosψ cosφ cosθ

][00g

]

m(~g)B =mg(− sinθ~iB + cosθ sinφ~jB + cosθ cosφ~kB

)Forças aerodinâmicas e de propulsão:

( ~A)B + (~T)B = X~iB + Y ~jB + Z~kB


Equações de Euler Equações do movimento no referencial do avião

Equação da dinâmica de translação

( ~f)B =m[

ddt(~VE)

]FE=m

[(~VE)B + ( ~ω)B × (~VE)B

]

No referencial do avião:

(~VE)B = uE~iB + vE ~jB +wE~kB

( ~ω)B = p ~iB + q ~jB + r ~kB

Logo

X −mg sinθ =m(uE + qwE − rvE)

Y +mg cosθ sinφ =m(vE + ruE − pwE)Z +mg cosθ cosφ =m(wE + pvE − quE)



Equação da dinâmica de rotação


( ~GC)B =[

ddt(~hC)

]FE=[(~hC)B + ( ~ω)B × (~hC)B

]

( ~GC)B = L~iB +M ~jB +N ~kB ; [(~hC)B] = [IB][( ~ω)B]

Matriz de inércia: [IB] =

Ixx −Ixy −Ixz−Ixy Iyy −Iyz−Ixz −Iyz Izz

em que Ixx =

∫(y2 + z2)dm, etc. e Ixy =

∫xydm, etc.



Equação da dinâmica de rotação (2)

Depois de efectuadas todas as operações, obtém-se:

L = Ixxp − Iyz(q2 − r2)− Izx(r + pq)− Ixy(q − rp)− (Iyy − Izz)qrM = Iyy q − Izx(r2 − p2)− Ixy(p + qr)− Iyz(r − pq)− (Izz − Ixx)rpN = Izz r − Ixy(p2 − q2)− Iyz(q + rp)− Izx(p − qr)− (Ixx − Iyy)pq


Equações de Euler Resumo

Resumo das equações do movimento

X −mg sinθ =m(uE + qwE − rvE)

Y +mg cosθ sinφ =m(vE + ruE − pwE)Z +mg cosθ cosφ =m(wE + pvE − quE)

L = Ixxp − Iyz(q2 − r2)− Izx(r + pq)− Ixy(q − rp)− (Iyy − Izz)qrM = Iyy q − Izx(r2 − p2)− Ixy(p + qr)− Iyz(r − pq)− (Izz − Ixx)rpN = Izz r − Ixy(p2 − q2)− Iyz(q + rp)− Izx(p − qr)− (Ixx − Iyy)pq

p = φ− ψ sinθ

q = ψ cosθ sinφ+ θ cosφ

r = ψ cosθ cosφ− θ sinφ


Equações de Euler Resumo

Resumo das equações do movimento

ñ Sistema de equações diferenciaisñ 9 equaçõesñ 9 incógnitas (u,v,w,p, q, r ,ψ, θ,φ)

ñ Sistema não linearñ Equações acopladas

Simplificação: se a aeronave é simétrica, Ixy = 0 = Iyz


Flight Path

Sumário

Referenciais



Flight Path




Flight Path

Flight path

A trajectória é determinada no referencial da Terra, FE.

Mas

ñ ~VEE = (xE, yE, zE)ñ ~VEB = (uE, vE,wE)ñ uE, vE e wE obtidos pelas equações do movimentoñ [~VEE ] = [LEB][~VEB ]

Daqui obtém-se o sistema de equações para a trajectória.


Flight Path

Flight path

Sistema de equações diferenciais para as coordenadas:

xE = uE cosθ cosψ+ vE(sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ)+wE(cosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ)

yE = uE cosθ sinψ+ vE(sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ)+wE(cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ)

zE = −uE sinθ + vE sinφ cosθ +wE cosφ cosθ



Sumário

Referenciais



Flight Path





Efeito de rotores

Mesmo desprezando os efeitos de elasticidade, um aviãonão é um corpo rígido.

Exemplo de partes em movimento:

ñ Hélices (motores a hélice)ñ Turbinas e compressores (motores a jacto)

Como introduzir o efeito dos rotores nas equações deEuler?



Equações de Euler quando há rotores

Somamos

[(~hC)B] = [IB][( ~ω)B]+ [~h′B]

ñ ~h′B: momento angular dos rotores (devido ao seumovimento de rotação relativo ao avião).

ñ [IB][( ~ω)B]: momento angular do avião

e usamos o novo momento angular na equação para adinâmica de rotação:

( ~GC)B =[

ddt(~hC)

]FE=[(~hC)B + ( ~ω)B × (~hC)B

]



Equações de Euler quando há rotores

Logo, aparecem os seguintes termos adicionais naequação dos momentos:

Na equação segundo x: qh′z − rh′yNa equação segundo y: rh′x − ph′zNa equação segundo z: ph′y − qh′x

(Nota: admitimos que a velocidade angular dos rotores éconstante)



Sumário

Referenciais



Flight Path





Sistemas de eixos

ñ Podemos usar qualquer sistema de eixos solidárioscom o corpo

ñ Na prática: xz no plano de simetria do aviãoñ Cx apontando «para a frente»ñ Cz apontando «para baixo»ñ Cy formando um triedro directo

ñ Ainda temos muitas possibilidades de escolha de Cx eCz



Sistemas de eixos: Cx linha de sustentação nula



Sistemas de eixos principais de inércia

Vantagens: Ixy = Ixz = Iyz = 0⇒

hx = Ixphy = Iyqhz = Izr

Nota: γ: ângulo de subida (ou de rota)



Sistemas de eixos de estabilidade (xS , yS , zS)Eixo dos x segundo a direcção do vector velocidade.

Vantagens:αx = 0⇒ w = 0

Novos momentos e produtos de inércia:

IxS = IxP cos2 ε+ IzP sin2 ε

IzS = IxP sin2 ε+ IzP cos2 ε

IxSzS =12(IzP − IxP ) sin 2ε


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