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Escola Secundária de Alcochete Escola Secundária de Alcochete 11.º Ano – Matemática A Geometria no Plano e no Espaço II

Equações Trigonométricas

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Page 1: Equações Trigonométricas

Escola Secundária de AlcocheteEscola Secundária de Alcochete11.º Ano – Matemática A

Geometria no Plano e no Espaço II

Page 2: Equações Trigonométricas

Equações Trigonométricas

O que são?

São equações que envolvem o uso de

funções trigonométricas.

Page 3: Equações Trigonométricas

Mas... Ainda não se sabe o que são funções trigonométricas!

Apesar disso, pode-se dizer que uma equação éApesar disso, pode-se dizer que uma equação é

considerada trigonométrica se se envolver o uso de

pelo menos uma razão trigonométrica.

Page 4: Equações Trigonométricas

Exemplo

sen x=1 Trata-se de uma equação trigonométrica

Uma vez que a variável x aparece comoUma vez que a variável x aparece como

sendo a amplitude de um ângulo do qual

se sabe que o valor do seu seno é igual a

1.

Envolve-se o uso da razão trigonométrica

seno

Page 5: Equações Trigonométricas

Equações Trigonométricas

Equações com a Tangente Equações com o Co-seno

Equações com o Seno

Page 6: Equações Trigonométricas

Equações com a Tangente

São equações do tipo tg x=k, com k∈

Têm sempre solução

Page 7: Equações Trigonométricas

O Alberto pretende saber o ângulo de inclinação do telhado da casa

abaixo representada. Ele sabe que a casa tem 3 metros de largura e 3

metros de altura.

Como proceder?Como proceder?

Page 8: Equações Trigonométricas

Observando que se tem, conforme abaixo esquematizado...

Constata-se que, relativamente ao

ângulo de amplitude α se conhecem

os valores das medidas do cateto

oposto e do cateto adjacente.

αααα

2,5m

2,5m

oposto e do cateto adjacente.

Então, aplicando a definição de

tangente, sai

Page 9: Equações Trigonométricas

Mas não existirão mais “soluções” proporcionadas

pelo círculo trigonométrico?

Sabe-se, por exemplo, que dado

um ângulo de amplitude α se

tem

Então, numa outra situação,

poder-se-ia ter também o ângulo

de 180°+63,43°=243,43°

Page 10: Equações Trigonométricas

Mas mais soluções, possíveis noutros contextos,

podem ser consideradas

Basta considerar ângulos que tenham

a mesma amplitude principal que

63,43° ou 243,43°

Que são ângulos que, no seu

conjunto, diferem 180°×k, com k

inteiro.

Page 11: Equações Trigonométricas

Assim sendo, a equação tg(x)=2, terá como

soluções

com

Page 12: Equações Trigonométricas

De um modo geral

� Graus

De um modo geral

• Radianos

Page 13: Equações Trigonométricas

Equações com o Seno

São equações do tipo sen x=k, com k∈

Só têm solução quando

Page 14: Equações Trigonométricas

Do cimo da torre foi lançada uma flecha que percorreu 24 metros, tendo

antingido o solo a 8 metros da base. Qual o ângulo em que a seta foi

disparada?

Como proceder?Como proceder?

Page 15: Equações Trigonométricas

Observando que se tem, conforme abaixo esquematizado...

Constata-se que, relativamente ao

ângulo de amplitude α se conhecem

os valores das medidas do cateto

oposto e da hipotenusa.αααα24m

Então, aplicando a definição de seno,

sai8m

24m

Page 16: Equações Trigonométricas

Mas não existirão mais “soluções” proporcionadas

pelo círculo trigonométrico?

Sabe-se, por exemplo, que dado

um ângulo de amplitude α se

tem

Então, numa outra situação,

poder-se-ia ter também o ângulo

de 180°-19,47°=160,53°

Page 17: Equações Trigonométricas

Mas mais soluções, possíveis noutros contextos,

podem ser consideradas

Basta considerar ângulos que tenham

a mesma amplitude principal que

19,47° ou 160,53°

Estes ângulos estarão agrupados em

dois conjuntos, onde os elementos de

cada um diferirão 360°×k, com k

inteiro.

Page 18: Equações Trigonométricas

Assim sendo, a equação sen(x)=1/3, terá como

soluções

com

Page 19: Equações Trigonométricas

De um modo geral

� Graus

De um modo geral

• Radianos

Page 20: Equações Trigonométricas

Equações com o Co-seno

São equações do tipo cos x=k, com k∈

Só têm solução quando

Page 21: Equações Trigonométricas

A Bruna, ao observar ao meio-dia a Torre de Pisa, pretende determinar a

amplitude do ângulo que a torre faz com a horizontal.

A Bruna sabe que a altura da torre é de aproximadamente 55 metros e que,

ao meio-dia, os raios solares são perpendiculares ao solo.

Como proceder?Como proceder?

Page 22: Equações Trigonométricas

Observando que se tem, conforme abaixo esquematizado...

Constata-se que, relativamente ao

ângulo de amplitude α se conhecem

os valores das medidas do cateto

oposto e do cateto adjacente.oposto e do cateto adjacente.

Então, aplicando a definição de co-

seno, sai

Page 23: Equações Trigonométricas

Mas não existirão mais “soluções” proporcionadas

pelo círculo trigonométrico?

Sabe-se, por exemplo, que dado

um ângulo de amplitude α se

tem

Então, numa outra situação,

poder-se-ia ter também o ângulo

de -84,47°

Page 24: Equações Trigonométricas

Mas mais soluções, possíveis noutros contextos,

podem ser consideradas

Basta considerar ângulos que tenham

a mesma amplitude principal que

84,47° ou -84,47°

Estes ângulos estarão agrupados em

dois conjuntos, onde os elementos de

cada um diferirão 360°×k, com k

inteiro.

Page 25: Equações Trigonométricas

Assim sendo, a equação cos(x)=5,3/55, terá como

soluções

com

Page 26: Equações Trigonométricas

De um modo geral

� Graus

De um modo geral

• Radianos