SOLUTIO

/EQUATIONIS GENERALIS TERTII GRADUS

QUAM

VENIA AMPLISS. FACULT. PHILOS. UPSAL.

.

r. p.

MAG. ANDS. JONAS ÅNGSTRÖMASTRONOMI/E ORSERVATOH

ET

AUCTOR

JACOBD8 NICOLAUS GRANLUNDNOnnL. STIP. NOKBEP.G.

IN AUDIT. GUSTAV. DIE XXVIII NOVEiVIBRIS MDCCCXLVI.

n. A. M. s.

UPSALIJ2

IT AHES THUM KT C.

, \J i_ . „v.. . ..

'

|

■

-

■

«lam diu solverunt Mathematici asquationes algebraicas quat-tuor graduum, turn transformationibus quibusdam, tum fun-ctionibus symmetricis adjuti. Nihil igitur novi facimus sol¬ventes aiquationem generalem tertii gradus: neque id nobishoc quidem tempore in mentem venit. Sed possunt functio-nes aliquot symmetrica in partes suo quodam modo symme-tricas distribui, valoresque partium inveniri, nondum cognitisipsis quantitatibus, quibus efficiantur functiones symmetricaein partes distributae, data vero aiquatione, cujus radices sintillae ipsae quantitates. Eam rem ad melius cognoscendas fun¬ctiones symmetricas pertinere rati, exemplum, etsi levissimum,in medio proponere decrevimus. Quoniam vero necesse erat,ut partes illas suo quodam nomine adpellaremus, definitionessequentes proponere placuit.

Definitiones.4. Termini Homoyenei sunt, in quibus, si summam ex-

ponentium, quibus singube litterae sunt instructae, feceris, idemnumerus exsistit.

2. Functio Symmetrica quantitatum (vel litterarum) qua-rumlibet est series terminorum bomogeneorum, in qua unaquselibet quantitas toties, quoties altera quaelibet, in eamdemdignitatein elevata occurrit.5. Totalis adpellatur functio symmetrica, quae, si quam-libet permutationem quantitatum feceris, (nisi ordine termi¬

norum vel quantitatum) non mutatur.

2

4. Partialis adpellatur functio symmetrica, quae ejus-modi permuta tione aliqua alios prorsus terminos adipiscitur,ii. e. essentialiter mutatur.

Sic ex.gr. ab + ac + bc est functio symmetrica totalis quan-titatum a, b et c; at ambn + aT>cm + bmcn est parlialisj permutatiseonim inter se quantitalibus b et c, babemus anbm + amcn + bncm.

Adparet, nos vocabulum functionis symmetricae consue-tudine latius intellexisse, eamque speciem, quam nomine fun¬ctionis symmetricae totalis distinximus, notioni functionis sensuvulgari symmetricae congruere. Sed nobis mulla videbanturfunctionibus yulgo symmetricis dictis esse communia cum iispartibus, quas nomine quodam adpellatas volebamus: ob eam¬que rem eidem generi et illas et bas subjecimus. Praeterea,si quis alia nomina aptiora invenerit, non repugnabimus.

§. 1.Sit nobis proposita aequatio generalis tertii gradus, quae

ita scribi potest:x3+px2 + qx + r = o'y (1)

quaeritur, quaenam sint bujus aequationis radices. Designenturlitteris «, b et c bae radices 3 jam e natura aequationis (1) se-quitur:

p =—a— b — c, (2)q = ab + ac + bc, (5)r = —abc (4)

Hisque aequationibus (2), (3) et (4) da tis, vel ex aequa-tione (1) elicitis, ipsas quantitates ß, 6 et c, quae sunt radi¬ces aequationis (1), coefficientibus /?, q et r exprimere in ani-mo est.

Ponamus a — —£ + £V*, c? = — }— ] VH5, quasquantitates cum ipsa unitate radices aequationis y3— i = 0 es¬se, jam cognitum haberi potest: ceterum id nihil boc loco

ad rem 5 proprietates tantum quaedam liarum quantitatum usuierunt. Sed quo facilius ipsae radices a, b et c inveniantur,tribus aliis quantilatibus Iit9 Rz et li3, ad tempus indetermi-natis, utentes, eas hoc modo quaeramus. Ponamus:

(t — jRj +-^8+3 J . ........... (t))b — Ry + Ctllz + cfRn (G)C = Rx + c?Rz + ciRz (7)

At de a et a* scirnus:

l+a+a2=0, («)2=«®, (<*8)*=a, a.a2=i, (ay=l, (o;2)3= I. . . (8)Summa igitur aequationum (5), (6) et (7) facta, babemus

a + b + c = 5Rn vel:Rx = + + (9)

Multiplicata aequatione (6) in «*, (7) in «, summaque cumaequatione (5) facta, babemus a + c^b + ac = 5jR2, vel:

Rt — \(a + a*b + ac) (10)Multiplicata aequatione (6) in «, (7) in c**, summaque cum

aequatione (5) facta, babemus a+ ub+cfc = 5R3, vel:Rs = ^(a + ab + ciic) (11)

Quibus rebus quantitates Rlf Rz et Rs sunt determinatae,aequationesque (5), (6) et (7) bac ratione scribi possunt:

a — ^(a+b+c) + \(a + ct*b + ac) + ^(a + «6 + «8c), . . (12)b = *(a + b+ c) + ^(aa+b + a*c) + £(«®fl + b + «c), . . . (15)c — ^(a+ b + c) + %(<K*a + ab + c) + ^(aa + a*b + c). . . . (14)

Atque videmus, bas aequationes (i2), (13) et (14) nonsibi tantum invicem antecedentibusque convenire, sed esseomniuo identicas.

§• 2.Sed ea maxime in re vertebatur caussa nostra, ut quan¬

titates Rt, Rt et R$ coefficientibus p, q et r expressas in~

4

venirennis, quo facto a, b et c facillime cognoscerentur. Con-tendentibus igitur aequationem (9) paragraphi primae cum aequa-tione (2) ejusdein paragraphi patet:

Ri =—iP (^)Deinceps ad inveniendas quantitates R% et Ii$ progre-

dienfibus nobis admoncre liceat, quantitatem quamlibet, rea¬lem vel imaginariam, nihil mutari, si eam in tertiam digni-tatem elevaveris, radicem vero cubicam e quantitate inde ef-fecta extraxeris. Hinc sequitur, si ad proprietates quantita-tum cc et in formulis (8) paragraphi primae expositas ani-mum adverterimus, aequationes (10) et (Ii) ejusdem paragra¬phi hoc modo seribi posse:

3

Rz = ^Ya3+b3+ci+(iabc+^cc{abz+a2c+bc2)+^a2(a'ib+act+b2c), . (2)3

■^3 = 4V^3+^3+c3+6«i»c+3a2(aft2+a2c+ftc8)+5a(a*ft+ac8+68c). . (5)a3 + b3 + c3 et abc sunt functiones symmetricae totales quanti-tatum «, b et c, qua? radices sunt aequationis propositae. At-que doctrina vulgaris de ejusmodi functionibus cerliores nos

iacit, facillimo illas negotio coefficientibus p, q et r aequatio¬nis propositae ita posse exprimi: a3 + b* + e* — —p3+ Zpq 5r,abc — —r. Ideoque habemus:a3+ b3 + c3 + 6abc = —p3 + 5pq—9r (4)

§• 3.Itaque ad quantitates Rz et R3, vel ipsas radices ß, b

et c, coefficientibus p, q et r exprimendas id tantum restat,ut functiones symmetricas partiales atf+a^c+bc* et a2b+ac*+b*ciisdem coefficientibus p, q et r expriinere possimus. Ponamusbrevitatis caussa:

k — ab* + a*c+bc*, • . . . (i)l = a^b + atf + tfc (2)

Quum vero i et — i sint radices aequationis if—= 0«deinceps ponamus:

k = ri + ri, (3)I = r i — rt (4)

Summa igitur facta aequationum (5) et (4), Iiabemus k+l= 2r0 vel:

rt = ^(k + l) (3)Tum aequatione (4) de aequatione (3) subducta, Iiabemus

k—Z = 2r2, vel:r, = h(k-l) (6)

Quibus rebus efficitur, ut aequationes (5) et (4) ita scribipossint:

k = {(k+ l) + ^(k—/), (7)l = i(k + l)— i(k~l) (8)

Sed k+l est functio symmetrica totalis quantitatum «, bet c, quae coefficientibus p, q et r exprimi potest. Sequen-tes igitur doctrinam vulgarem de ejusmodi functioriibus in-venimus k + l — —pq + 3r, vel:

ri = ~ipq + $r. (9)Deineeps accedentibus nobis ad exprimendam coefficienti¬

bus p, q et r quanlitatem r2 admonere boc quoque loco li-ceat, quantitatem quamlibet, realem vel imaginariam, nullomodo mutari, si eam in secundam dignitatem elevaveris, radi-cem vero quadratam e quantitate inde effecta extraxeris. Hincsequitur, aequationem (6) bac ratione scribi posse:

rt = iVk' + l*—2AZ. (10)At babemus:

k2+l2= a*b*+a4ci+b2ci+a*bt+aic*+b4c'i+'2(atb*c+(iibci+ab*c2+a*b3c++ a3bc2+ab9c3) 5tum vero:

kl = a3&*4^V+6V+a4&c+a&4c+«6c4+3«2&V.Scimus autem:

V+a465+aV+6V =—%p3r+p*q*+åpqr—2^'—3r®,

6

a3b2c+aibc3+ab3c2+a'b3c+a3bG9+ab2c3 == abc(a2b+ac'+b2c+ab2+a2c+bc9) =pqr—3r2,

a3b3+a3c3+b3c3 =—Spqr+cf+Sr9,a^bc+ab^c+abc* — abc(a3+b3+c3) =p3r—5/i^r+3r2,

u2&V = r2.Inde efficitur:

r2 = —Ap3r+p2q2+1 8pqr—Aq3—27r2 (1 i)Possunt igitur quantitates k et Z, seu functiones symme-

tricae partiales ab2+a2c+bc9 et a2b+ac2+b2c, coefficientibus p, qet r expressae, bac ratione scribi:

k =—ipq+l.r+lV—Apsr+p9q9+l8pqr—4<y3—27r3, . . (12)l — —Apq+%r—iY—Ap3r+p9q*+i8pqr—Aq3—27r2. . (13)Facillime patet, eadem prorsus ratione , qua quantita¬

tes k et l coefficientibus p, q et r expressas invenimus, ge¬neralis functiones symmetricas partiales ambn + ancm + bmcn etrtnftm+ «,ncn+ fencm posse inveniri, designantibus litteris m et nnumeros quoslibet integros, positivos vel negativos. Illudquoque adparet, eodem modo aequationem generalem secundigradus solvi posse.

§•Facillimo tandem negotio, hisce rebus effectis, quantita¬

tes H2 et ^ lpsaeque radices dy b et c, coefficientibus p^ qet r exprimi possunt. Reductionibus enim quibusdam factisbabemus:

Ttak+SccH= —ir+$Yl2p*r-5piq'3-Mpqr+l%q*+&lr*9 . (1)5«2Ä+3aZ = —lr—l%p3r~Zp2q2-$Apqr+l'%q3+8lr'i. . (2)

Quos valöres in aequationes (2) et (3) paragrapbi secun-dae substituentes, animumque ad aequationem (4) ejusdem para-graphi adtendentes, invenimus:

n 2 —^3

±\/-p3+%P<]-yr+%Ytäp3r-5p2q*-S4p(ir+l%q*+8lr\ . (5)

il3 = -^V—p3+%pq—V*r—|V12p3r—3p2<y2—54p^r+12^3+81r2. (4)

Atque ipsae radices «, 6 et c sequationis propositie eo-eflicientibus p, q et ?* lioc modo exprimi possunt:

3__

« = -p*-typq-yr+lYi%pir~5p2q1-li4pqr+i2,q3+&lrl (f>)3

+ ■'i\/-p9+%pq- yr~*V 12psr-5p2^f i-S4p<yr+12(jf3+81r2.3

3

b=-ip+h<*V pr+1V12p3r-5p2q2-54p^r+12fjf3+81r2 (C)3

+la2\/-p *+lpq-V r-|T12p3r-5p2^r2-54p<yr+12^3+81r2.3

c='^p+^a2\/~ps+^pq~Y r+*Y12p3r-5p2^2-54p<yr+12<jf3+81r2 (7)3

+i«\///-p3+|pq- yr-fV 12p3r-3/>2q2-3&pqr+12<73+S1 r2.

§. 5.Postremo panca de iis rationibus, quae ad methodum a

wobis propositam solvendi a?quationem generalem tertii graduscommendandam pertinere videantur, dicere nobis liceat. Ob-servandum igitur primum est, nullam omnino transformatio-nein aequationis propositae esse faetam, ne secundum quidemejus terminum esse sublatum. Atque, verum si quaerimus,aiia prorsus est aequatio eo modo transformata, alia propo-sita: alias enim habent radices. Dicitur quidem vulgo termi-nus secundus tolli, auctis vel deminutis quantitate quadamradicibus: sed quum radices quaedam esse possint imaginaria1,quid tum significat eas augere vel deminuere ?

8

Deinde naturae rei magis convenire videtur, ut tres radi-ces tribus quantitatibus indeterminatis utentes quaeramus, quamduabus, quod alias usu venit.

Tum re vera aequationibus utimur primi tantum gradussolutionis caussa. Nam etsi quantitates k et l eadem ratione,qua aequatio generalis secundi gradus solvi potest, invenimus,id tarnen aequationibus primi tantum gradus utentes effecimus.Ceterum nihil ea re mutari videtur, quod quantitates quas-dam in tertiana vel secundam dignitatem elevavimus, radicesvero cubicas vel quadratas e quantitatibus inde effectis ex-traximus: quae quidem operationes se invicem destruunt. Itaomnino, ut quam brevissiine dicamus, a nobis soluta estaequatio proposita, ut primum singulas radices sibi ipsis aequa-les poneremus, quod quidem ex aequationibus (12), (15) et(14) paragraplii primae patet, deinde vero non transformatio-nibus ejusmodi, ut aliae aequationes exsisterent, sed aliis tan¬tum scriptionibus earumdem rerum, ad usum coefficientiumaequationis solvendae aptioribus, uteremur.

Denique quantitates a et a1 proprielatum tantum quarum-dam caussa sunt electae. Parum sibi convenire videtur, quodalias usu venit, ut, quum tres statuantur radices cubicae, exutraque radice aequationis reductae extrahendae, tarnen non nisitres combinationes earum admittanturj nam si omnes, novemliaberemus radices aequationis propositae, quae tres tantum nu-mero esse possunt.

Sed quamvis multa habeamus dicenda, quae methodum anobis propositam solvendi aequationem generalem terlii graduscommendare videantur, tarnen brevitatis caussa iis, quae jamsunt dicta, erimus contenti. Illud tantum addere liceat, va¬löres duarum functionum symmetricarum partialium, quae si-mul unam explent functionem symmetricam totalem, esse in-ventos, eaque maxime re nos adjutos aequationem generalemtertii gradus solvisse. Alio forsitan tempore de functionibusquibusdam symmctricis partialibus quattuor quantitatum dicen-dum sit, quarum valoribus inventis aequationem generalemquarti gradus solvere liceat.