Equations de lamécanique des

fluides

Cours de Mécanique des fluides

Olivier LOUISNARD

Poids :

V

g dV

S

-pn dS Pression :

• frottement fluide / fluide• adhérence fluide aux parois solides• dissipent de l’énergie• origine microscopique : mouvement thermique + interactions dans

les liquides

Forces extérieures

Déjà spécifiées pour l’hydrostatique

Mais dans un fluide en mouvement, il y a aussi des frottements visqueux

h

y

x

U0

v

t1 0

v

t

v

t2 > t1

• profil linéaire de u au bout d’un temps assez grand

• avec S surface mouillée

• u = U0 sur la plaque supérieure• u = 0 sur la plaque inférieure

Constatations expérimentales :

Le coefficient de proportionnalité ne dépend que du fluide = viscosité dynamique

Viscosité : expérience de Couette

• homogène à kg.m-1.s-1 = Pa.s = Pl (Poiseuille)on utilise le Poise (Po) et surtout le Centipoise (cPo)Eau à 20°C : 10-3 Pa.s = 1 cPoAir à 20°C : 1.85 10-5 Pa.s

• augmente avec T pour un gazindépendant de p pour un gazdiminue avec T pour un liquide (cf. huile dans une poêle)augmente avec p pour un liquide

Viscosité

(Rappel MMC) : Contrainte = dF/dS

V

S

dS n

n dS

Question : peut-on exprimer v en fonction de n ?

Contrainte de pression p = -pnExprimée facilement en fonction de n

x

y

z

exv

dFv=v dS

v= force visqueuse/u. de surface

dFp= -pn dS

p= force de pression/u. de surface

v = = . n

Oui sous forme tensorielle xx

yx

zx

On montrera (Cours 7) : Pour les fluidesdits « newtonien »

Contrainte visqueuse

S

v (v.n) dS + =

-QDM

transportéepar le fluide

rentrant - sortant

vdV

VVariation de QDM

du fluidedans le volume V

V

g dV

Poids

S

-pn dS +

Pression

Bilan de quantité de mouvement

Maintenant qu’on connaît toutes les forces extérieures,

on peut écrire le bilan de QDM :

S

v (v.n) dS = -vdV

V

A RETENIR

dFp= -pn dS

V

S

dS nn dS

dFp = gdV

dFv=v. n dS

dV

S

Frottementvisqueux

v. n dS

Le calcul de inclut les puissances de toutes les forces extérieures

V

S

dS n

n dS

• Forces de pression : dFp = pn dS

dFp= -pn dS

dFp = gdV

• Poids : dFg = g dV

v

d p = pn.v dS

v

d g = g.v dV

Bilan d’énergie

dV

d v = ( vn).v dS

dFv=vn dS

• Forces visqueuses : dFv = vn dS

S

u + v2/2)(v.n) dS

Energie totale transportéepar le fluide

rentrante - sortante

u + v2/2)dV

V

Variation d’énergie totaledu fluide

dans le volume V

S

-pv n dS

Puissance des forces de pression

V

g.v dV

Puissance du poids

Bilan d’énergie

Puissance calorifique

S

vn) v dS

Puissance des frottementsvisqueux

Objectif : remplacer le bilan sur un volume V par des relations différentielles valables en chaque point du fluide

Moyens mathématiques :

Intérêt : • calcul analytique • calcul numérique

• puis passage à la limite V 0

• théorèmes analyse vectorielle

Equations locales

Conservation de la masse :

Vrai quel que soit V donc :

==>

Un exemple

QDM

Energie

Système complet ? 1 équation vectorielle 2 équations scalaires

1 inconnue vectorielle3 inconnues scalaires

Masse

Il manque une équation d’état :

+ 2 équations scalaires + 1 inconnue scalaire

pression

vitesse

masse volumique

énergie interne

Equations locales de la mécadef

Gaz parfait : (compresseurs, turbines à gaz)

GP isotherme : (rare)

GP isentropique :(acoustique, ondes de chocs,écoulements gazeux en général)

Liquide compressible :

(explosions sous-marines,écoulements liquides supersoniques, rare)

Fluide incompressible :

(hydraulique, presque tousles écoulements liquide + écoulements gaz faible Mach)

BAROTROPESEquation de l’énergie

découplée de M et QDM

Quelques équations d’état

s’écrit aussi

ou encore

= a accélération du fluide

Autres écritures QDM

• Modèle de fluide incompressible : masse volumique constante• Modèle de fluide parfait : frottement visqueux négligés

Ces équations sont des EDP très complexes

On cherche donc des approximations à l’aide d ’hypothèses supplémentaires

Dans les TD à suivre, on utilisera en général les deux

On parlera ensuite de la validité ...

Des modèles pour simplifier

(x,y,z,t) =

S

v.n dS = 0

Tube de courant veSe = vsSs

Ve Vs

Equation localeV = vS

débit volumique (noté aussi Q)

GénéralV

dSn

Se Ss

S = Se + Ss

v

vn

Ce qui rentre = Ce qui sortAccumulation de masse impossible

ConstanteM = dV = V

VConservation de la masse :

Fluide incompressible

Correct si :

• Validité indépendante du caractère gazeux ou liquide• Inutilisable si Ma > 0,3• Inutilisable pour rendre compte de certains phénomènes (acoustique, chocs)• En pratique presque toujours valable dans les liquides

Ma nombre de Mach

c vitesse du son dans le fluide déduite de l’équation d’état

Exemple pour un gaz parfait: = 340 m/s à 298 K

Validité fluide incompressible

• mouvement non dissipatif

• conservation de l’énergie mécanique

• pas d’adhérence aux parois solides : le fluide « glisse »

• ouvre de nombreuses simplifications mathématiques

Permet de négliger les frottements visqueux

• du freinage visqueux d’un corps ou d’un fluide (voiture économique !)

• de l’amortissement des ondes (vagues, acoustiques, ...)

• de la nécessité de pomper un fluide

Limitations évidentes. Ne rend pas compte :

Validité ?

Modèle de fluide parfait

• Ecoulements externes :

• Ecoulements en conduite :

Fluide parfait applicable (Bernoulli) ...avec correction pour pertes de charges(cf. cours 6)

Si Re >> 1, valable à l’extérieur de la couche limite (qui est petite)(cf. cours 9)

Si Re << 1, totalement invalide,à traiter par théorie écoulements rampants.(cf. cours 7, 8)

Validité fluide parfait

Nombre de Reynolds

S

v (v.n) dS + =

-QDM transportée

par le fluiderentrant - sortant

vdV

VVariation de QDM

du fluidedans le volume V

V

g dV

Poids

S

-pn dS

Pression

Forme locale

Forme globale

Conservation QDM en fluide parfait

Equations d’Euler

Masse

Equations locales :

QDM

Une grande simplification est possible :

Loi de Bernoulli

Incompressible Parfait

Fluide parfait incompressible

On suppose régime permanent =>

On projette la conservation QDM sur la ligne de courant

( grad v2/2 + rot v v) . dM = (g grad p) . dM

De plus, on peut écrire g = grad (gz) si z orienté vers le haut

grad( v2/2 + p + gz) . dM = 0

1

2

v12/2 + p1 + gz1 = v2

2/2 + p2 + gz2

On suit une ligne de courant :

v

v v

v

=> (rot v v) . dM = (v dM) . rot v = 0

MdM

dM // v

Loi de Bernoulli : démonstration

Sous les hypothèses :• Fluide parfait• Fluide incompressible• Régime permanent

La quantité p + v2/2 + gz est constante le long d’une ligne de courant

Energie potentielle de

pression

Energie cinétique Energie potentielle

de pesanteur

Traduit la conservation de l’énergie mécanique

Il existe une version en compressiblePeut être généralisé en instationnaire dans quelques cas rares (cf. TD)

Loi de Bernoulli : énoncé

Formule de Bernoulli :

p + v2/2 + gz = Cte le long d’une ligne de courant

Ecoulements unidirectionnels

(démontré ultérieurement)

Dans la direction transverse à un écoulement unidirectionnel,la pression varie de façon hydrostatique.

Conditions aux limites en pression :

Aux points de contact entre un écoulement et l’atmosphère, la pression vaut patm.

Fluide parfait incompressible :

A retenir pour les TDs fluide parfait.