Equations-Differentielle-Ordinaires

RESOLUTION DES EQUATIONSDIFFERENTIELLES ORDINAIRES

LES PREMIERS PAS

-OOO-

JEAN MACCARIO

polycopié destiné aux étudiants de 1ère année de Pharmacie deChatenay Malabry – Université Paris Sud

Eq Diff � JM �PHA 1A 1

RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRESLES PREMIERS PAS

0 - Avant-propos

0.1 - Prérequis

Ce document suppose une certaine pratique du calcul algébrique, du calculdifférentiel et du calcul intégral.

Les connaissances minimales sont les tables de dérivées et de primitivesdonnées par ailleurs.

0.2 - But du document

Le but du document est de mettre à la disposition des étudiants un texte :- donnant de façon relativement succincte les méthodes de résolution des équationsdifférentielles les plus simples,- et présentant dans un deuxième temps, sinon les démonstrations, au moins desjustifications des méthodes exposées.

Ce document peut être lu de deux façons : soit en se limitant aux techniques,soit en poussant la curiosité un peu plus loin.

Les exemples présentés dans chaque paragraphes ne sauraient êtreconsidérés comme des exercices. Ils ne sont destinés qu'à éclaircir le propos et s'ilsfacilitent la mémorisation des méthodes ils ne constituent pas un véritable entraînement.Pour cela on renvoie au polycopié d'exercices

Certains des éléments exposés ne figurent pas dans les objectifs, ils ont étéplacés dans le document parce qu'ils semblaient s'y intégrer naturellement.

0.3 - Objectifs

On souligne que les étudiant(e)s sont avant tout censé(e)s résoudre deséquations différentielles, c'est-à-dire en calculer les solutions. Le choix de la méthode faitsouvent partie du problème, mais lorsque une équation peut être traitée de plusieursfaçons l'étudiant est libre de choisir celle qui lui convient et seule l'exactitude du résultatsera prise en compte.

Le programme de la première année des études de Pharmacie est limité auxrésolutions:- des équations différentielles linéaires du premier ordre avec et sans second membre,- des équations à variables séparées simples,- des équations différentielles du deuxième ordre linéaires à coefficients constants avecet sans second membre,- le cas avec second membre étant traité par identification,

La méthode de Lagrange ne sera appliquée aux équations du deuxième ordreque dans des cas très simples et en rappelant la formule de l'équation de compatibilité.

La résolution des systèmes d'équations différentielles ne fait pas partie de ceprogramme.

Les objectifs détaillés sont présentés ailleurs.

0.4 - Plan du document

Dans l'introduction on présente les définitions et le vocabulaire minimal. Leschoix des méthodes reposent sur ces définitions, il convient donc de lire attentivementcette partie qui ne devrait d'ailleurs présenter aucune difficulté particulière.


On réalise ensuite la revue systématique des équations dans un ordre dedifficulté en principe croissante, mais l'utilisateur constatera assez vite qu'il peut falloir degrand efforts pour résoudre une équation en apparence anodine.

On passe des équations du premier ordre linéaire à celles du deuxième ordre,pour chaque ordre on traite d'abord les équations sans second membre puis avec unsecond membre.

Pour le premier ordre on présente les équations à coefficients constants et àcoefficients variables, les méthodes de résolution sont très voisines. Pour le deuxièmeordre seules seront abordées les équations à coefficient constants; il n'existe pas deméthode générale de résolution des équations différentielles du deuxième ordre àcoefficients variables.

Au passage on traite deux extensions. D'abord, après les équations du premierordre, on expose la méthode de résolution des équations à variables séparées, qui n'estqu'une application de la méthode utilisée avec les équations du premier ordre. Ensuite,la résolution des systèmes d'équations différentielles est présentée en liaison avec leséquations du deuxième ordre, car il s'agit de deux formulations équivalentes.

A la fin du document, on trouvera un paragraphe qui élargit la présentation endirection d'abord d'un peu de théorie, ensuite des méthodes de résolution numériquesdes équations différentielles et enfin en évoquant les méthodes d'obtention deséquations différentielles dans les sciences expérimentales.

1 - IntroductionUne bonne connaissance du vocabulaire est essentielle, le choix des méthodes

en dépend, il faudra donc aller au-delà de la simple connaissance livresque pour enavoir une bonne compréhension.

1.1 - Définition d'une équation différentielle

Une équation différentielle est une équation qui met en jeu une fonctioninconnue y, ses dérivées jusqu'à un ordre n donné, et, explicitement ou non, la variablex. La forme la plus générale qu'on peut donner est l'écriture

F(x,y,y',y'',...,y(n)) = 0On appelle solution, ou parfois intégrale, de l'équation toute fonction y(x) qui satisfait larelation identiquement, c'est-à-dire pour toute valeur de la variable x.

Pour que l'équation mérite le qualificatif de différentielle, il est nécessaire d'yvoir figurer au moins une dérivée comme dans

x2 . y' - (3x + 2).y = 0dont la solution, si elle n'est pas bien difficile à obtenir, n'est cependant pas évidentecomme pour l'équation (non différentielle) :

x2 - (3x + 2).y = 0Par convention on continue à appeler équation différentielle une équation contenant uneou des dérivées mais pas la fonction elle-même, le cas limite étant la situation la plussimple de la forme

y' = f(x)dont la résolution revient au "simple" calcul d'une primitive.

La variable x n'est pas toujours explicitement présente, si elle est absente del'écriture cela est dû à l'ellipse d'usage courant qui fait écrire y et y' au lieu de y(x) ety'(x), ainsi:

y' + 3.y = 0doit être lue comme

y'(x) + 3.y(x) = 0 .


Si l'équation différentielle et la fonction solution ne dépendent que d'une seulevariable, l'équation différentielle porte le nom d'équation différentielle ordinaire pour ladistinguer des équations différentielles impliquant des fonctions de plusieurs variables.Dans ce cas on doit voir figurer dans son écriture des dérivées partielles à la place desdérivées ordinaires, d'où le nom d'équations différentielles aux dérivées partielles qu'onleur donne, parfois abrégé en "équations différentielles partielles". Nous n'aborderonsdans la suite que des équations différentielles ordinaires.

1.2 - Définitions et vocabulaire

Ordre d'une équationOn appelle ordre d'une équation l'ordre de dérivation le plus élevé qui y figure. La suitedes dérivées n'a pas besoin d'être continue, ainsi les deux équations

y'' + 3.y' + 5y = 0 et y'' + 5.y = 0sont toutes deux des équations du deuxième ordre.

La définition précédente peut être mise en défaut par une écriture maladroitede l'équation qui ferait apparaître des ordres de dérivation superflus, comme parexemple avec

y'' + 3.y' + 5y = 0 et y''' + 3.y'' + 5.y' = 0La deuxième équation est évidemment réductible à la première en remplaçant y' par y,y'' par y',etc. Les deux équations sont donc des équations du deuxième ordre.

Equation linéaire (sans second membre).On dit qu'une équation différentielle est linéaire si on peut la décomposer en une somme(algébrique) de termes ayant chacun la forme d'un produit dont l'un des facteurs est unefonction connue de x et l'autre facteur est la fonction y ou l'une de ses dérivées . Parexemple

a(x) . y'' + b(x) . y =0est une équation linéaire (du deuxième ordre), alors que les équations,

a(x).y'2 � y = 0 ou y.y'' + 2 y'2 = 0qui contiennent des puissances ou des produits de y et/ou de ses dérivées, ne sont paslinéaires. On peut aussi dire que y, ou la dérivée, qui figure dans chaque terme, apparaîtà la puissance unité.

Une des propriétés essentielles des équations linéaires est que si une fonctiony est solution, il en est de même pour toute fonction k.y déduite de y par multiplicationpar une constante. Plus généralement, si y1 et y2 sont deux solutions de l'équation, unecombinaison linéaire de ces deux fonctions est aussi solution. Cette propriété sera miseà profit pour la résolution des équations linéaires du deuxième ordre. On pourra ainsivérifier, par exemple, que les fonctions sin x et cos x sont des solutions de l'équationdifférentielle :

y'' + y = 0et qu'il en est de même de (A.sin x + B.cos x) pour des valeurs quelconques desconstantes A et B.

Equation avec second membreOn désigne par second membre le terme, ou l'ensemble des termes, ne contenant ni y nises dérivées. Ceci veut dire qu'une équation avec second membre a la forme générale

F(x,y,y',y'') = g(x)d'où son nom, à cette équation avec second membre correspond une équation sanssecond membre qui peut se mettre sous la forme

F(x,y,y',y'') = 0


Dans l'écriture d'une équation avec second membre, on doit donc pouvoir mettre enévidence un terme ne contenant ni y, ni ses dérivées.

La distinction entre équation avec et sans second membre est importante carelle conditionne le choix des méthodes de calcul. On commencera systématiquementpar résoudre l'équation sans second membre associée.

Avec les équations différentielles linéaires, qui font l'essentiel des équations duprogramme, il est particulièrement facile de reconnaître les équations sans ou avecsecond membre. En effet, les équations linéaires sans second membre admettent toutesla solution, dite triviale, y = 0. Si une équation linéaire est vérifiée par y =0 elle est sanssecond membre, sinon il en existe un. L'introduction de la solution triviale y=0 dansl'équation suffit à mettre ce second membre en évidence dans les rares cas où il n'estpas complètement évident.

Equation linéaire à coefficients constantsDans ces équations la variable x n'est plus présente que dans un éventuel secondmembre, les coefficients en facteur de y et des dérivées sont des termes constants. Parexemple les équations

y' + 3 y = 0 et y' + 3.y = sin xsont des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants (lapremière sans, la seconde avec second membre); alors que les équations

x.y' + y = 0 et x.y' + y = sin xsont des équations à coefficients variables, en fait un seul coefficient.est variable, il s'agitdu x en facteur de y' dans chacune des équations.

1.3 - Forme de la solution générale d'une équation différentielle

Pour des raisons qui s'éclaireront dans la suite, parmi l'infinité de fonctions quisont solutions d'une équation différentielle, on distingue deux catégories: les solutionsgénérales et les solutions particulières.

Le propre de la solution générale d'une équation d'ordre nest de contenir n constantes arbitraires

On donnera plus loin - à la section 7) -quelques éclaircissements sur lesaspects théoriques de cette propriété, pour l'instant elle sera admise comme une règlequi, comme beaucoup de règles, est observée avant d'être comprise.

Par "constante arbitraire" il faut entendre que la fonction vérifie l'équationdifférentielle pour toutes les valeurs que l'on peut attribuer à la constante. Par exemple,la fonction

y = C.e-3.x

vérifiey' + 3.y = 0

pour toutes les valeurs de la constante COn peut proposer comme commentaire à cette propriété que la solution d'une

équation différentielle, du premier ordre par exemple, est en quelque sorte obtenue parune intégration qui ferait passer de y' à y, cette intégration introduisant une constante(arbitraire) d'intégration. Pour une équation différentielle d'ordre n, il faudrait passer de ladérivée y(n) à la fonction y par n intégrations successives qui introduiraient chacune uneconstante, d'où l'égalité entre le nombre de constantes et l'ordre de l'équationdifférentielle.

Conséquence pratique importante : dans les exercices, et surtout à l'examen,on veillera à fournir une solution générale contenant le nombre prescrit de constantesarbitraires. Pour les équations du premier ordre LA constante sera produite lors d'uneintégration, pour les équations du deuxième ordre les DEUX constantes seront posées apriori.


1.4 - Equation et problème différentiels

D'un point de vue mathématique, une équation différentielle admet donc uneinfinité de solutions. Pour un expérimentateur cela est inacceptable pour desapplications pratiques, une trajectoire de satellite par exemple est unique, de mêmequ'est parfaitement définie la quantité d'antibiotique produite en une heure dans unfermenteur.

L'unicité est obtenue en adjoignant des équations supplémentaires à l'équationdifférentielle. Ces équations vont permettre de donner des valeurs précises à nosconstantes arbitraires et d'obtenir ainsi une fonction y(x) unique vérifiant simultanémentl'équation différentielle et ces conditions annexes.

Dans le cas des équations du premier ordre, il n'y a qu'une constante àdéterminer, il suffit donc d'une seule équation supplémentaire. Dans la quasi-totalité descas cette équation supplémentaire précise la valeur que doit prendre la fonction pourune valeur donnée de la variable. Il s'agit donc d'une équation de la forme :

y(x0) = y0où x0 et y0 sont des quantités connues d'après le contexte expérimental. Le plussouvent on précise le point de départ de l'évolution de y(x), c'est-à-dire qu'on donne lacondition sous la forme

y(0) = y0Cette forme étant la plus courante, on donne à ces équations supplémentaires le nomgénérique de conditions initiales.

Dans le cas des équations différentielles du deuxième ordre il faut fournir deuxéquations supplémentaires, on les écrit souvent en précisant les valeurs initiales de lafonction et de sa dérivée première.

L'ensemble équation différentielle et condition(s) supplémentaire(s) reçoit lenom de problème différentiel. Si on a des conditions initiales, le problème est en principesoluble sauf pour des choix caricaturaux du genre ln(0) = 0 qu'il est très facile dedétecter. Dans la suite nous nous limiterons au cas des conditions initiales.

Il faut cependant savoir que parfois, pour d'autres types de conditions que lesconditions initiales, le problème différentiel n'a plus systématiquement une solution. Ilpeut en être ainsi lorsque, par exemple avec une équation du deuxième degré, onprécise les valeurs de la solution y pour deux valeurs distinctes de la variable; on obtientalors des conditions dites "aux limites" de la forme y(x0) = y0 et y(x1) = y1 , pourlesquelles on ne peut pas garantir l'existence d'une solution.pour n'importe quellesvaleurs de y0 et y1.

2 - Les équations différentielles linéaires du premier ordresans second membre

2.1 - Définition

En fonction des définitions vues précédemment, seule est convenable la forme:

a(x) . y' + b(x) . y = 0

où a(x) et b(x) désignent des fonctions quelconques, mais connues, de la variable x. Lecas particulier

a . y' + b . y = 0où les coefficients a et b se réduisent à des constantes ne se traite pas différemment ducas général, la seule particularité de ce cas est la simplicité des calculs et la formestéréotypée de la solution (on verra qu'il s'agit de fonctions exponentielles).


On notera que, linéarité oblige, la fonction et sa dérivée figurent bien à lapuissance unité dans l'équation.

2.2 - Principe de la méthode de résolution

Une équation linéaire du premier ordre se résout en séparant les variables. Ondécompose la dérivée y' en ses deux parties dy et dx, puis on place tout ce qui dépendde y, dy compris, d'un coté du signe égale (ou égal?) et tout ce qui dépend de x del'autre. La séparation des variables est immédiate en :

dy y = � b(x)

a(x) . dx

L'intégration du membre de gauche donne un logarithme (évidemment népérien)

⌡⌠

dy y = ln(y) + cste

L'intégration du membre de droite, plus ou moins immédiate selon les les fonctions a(x)et b(x) rencontrée donne une fonction de x,

⌡⌠

� b(x)

a(x) . dx = F(x) + cste

La forme "résolue" de l'équation est doncln(y) + cste = F(x) + cste

Il est inutile de conserver les deux constantes arbitraires puisque une différence deconstantes arbitraires est encore une constante arbitraire. On peut donc poser

ln(y) = F(x) + csteDe là, en général en "descendant" du logarithme, on tire l'expression de y

y = eF(x) + cste

soit, en transformant ecste en une autre constante : C

y = C . eF(x)

Le passage de ln(y) à y transforme la constante additive d'intégration en une constantemultiplicative, il faut savoir que si ce passage à une constante multiplicative est trèsfréquent, il n'est cependant pas systématique, pas plus d'ailleurs que la formeexponentielle de la solution qui peut n'être qu'une forme intermédiaire dans le calcul.

2.3 - Exemples

Résolution de y' � x.y = 0

Cette équation est une illustration immédiate da la méthode exposée ci-dessus.La forme à variables séparées est

dy y = x.dx

L'intégration des deux membres conduit à

ln(y) = x2

2 + cste

qui se transforme en

y(x) = C.exp

x2

2

L'adjonction d'une condition initiale telle que y(0) = 1 permet de fixer laconstante


1 = y(0) = C.e0 = CComme illustration d'une condition initiale "absurde" on peut proposer y(0) = 0 quiconduirait à C = 0 et donc à la solution triviale identiquement nulle.

Résolution de x.y' � y = 0

Cette équation, très simple également, montre que l'écriture finale peut ne pascontenir d'exponentielle. La forme à variables séparées est

dy y = dx

x

qui s'intègre enln(y) = ln(x) + cste

et y prend en définitive la formey(x) = C.x

Toutes les solutions vérifient y(0) = 0 , ce n'est donc pas par une condition initiale, ausens strict du terme, qui peut constituer la condition supplémentaire permettant dedéterminer la valeur de la constante arbitraire C. Les représentations graphiques dessolutions de cette équation sont les droites passant par l'origine. Pour en choisir une ilfaut se donner un point autre que l'origine par où la droite doit passer, c'est-à-direpréciser la valeur de la fonction pour une valeur non nulle de x.

Résolution de x.y' � y.ex = 0

La séparation des variables donne

dy y = e

x x

. dx

Le second membre de cette équation n'a pas de forme primitive simple, on est donccontraint de laisser la solution sous la forme :

ln(y(x)) = cste + ⌡⌠

0

x e

t t

. dt

ou, ce qui ne change rien à la nature du problème de l'évaluation de y(x), sous la forme :

y(x) = C . exp

⌡⌠

0

x e

t t

. dt

2.4 - Cas particulier des coefficients constants

Ce cas particulier est surtout remarquable par sa simplicité. La forme à variableséparée ne met en jeu que des coefficients constants. Avec des notations évidentes ona

dy y = � b

a . dx = k . dx

La forme intégrée estln(y) = k . x + cste

et le calcul s'achève avec l'écriture de la solution sous la forme

y = C.ek.x

qui est la forme absolument générale de la solution d'une équation différentielle linéairedu premier ordre à coefficients constants et sans second membre (ouf!). La simplicitédes calculs rend superflue la présentation d'exemples.


3 - Les équations à variables séparéesLa méthode de résolution utilisée ci-dessus peut permettre de résoudre des

équations plus compliquées : les équations à variables séparées dont les équationslinéaires sans second membre ne sont en définitive qu'un cas particulier. Ces équationssont très diverses dans leur forme et ainsi que dans la forme de leurs solutions. Ondiagnostiquera leur caractère "à variables séparées" tout simplement en effectuant, avecsuccès, la séparation des variables.

On trouvera dans ce qui est présenté ci-dessous de fortes ressemblances avecles calculs précédents.

3.1 - Définition

Comme il a été dit : définition et méthode de résolution ne font qu'un. Onappelle équation (différentielle) à variables séparées toute équation du premier ordresusceptible de se mettre sous la forme

y'. f(y) = g(x)

Par un simple jeu d'écriture où la dérivée y' est remplacée par dydx , on obtient

l'équation :dy . f(y) = g(x) . dx

qui mérite mieux le nom de "à variables séparées" puisque tout ce qui dépend de lafonction y est d'un coté du signe égale et tout ce qui dépend de la variable x de l'autre.


La solution est obtenue par deux opérations à partir de la forme à variablesséparées.

La première opération est l'intégration de la forme à variable séparées

⌡⌠ dy . f(y) = ⌡⌠

g(x) . dx

qui, appliquée sans finesse, donneraitF(y) + cste = G(x) + cste

mais on sait qu'il est inutile de conserver les deux constantes d'intégration puisque cste�cste est encore une constante. On pose donc

F(y) = G(x) + csteLa deuxième étape est un calcul purement algébrique qui aboutira, si possible,

à la forme conventionnelle d'écriture d'une fonctiony = H(x)

On reconnaît sans peine les étapes vues avec les équations linéaires, mais les calculspeuvent ici être plus difficiles, en particulier la primitive à calculer pour y n'est plussystématiquement un logarithme.

3.3 - Exemples

Résolution de x2 . y' � y2 = 0

La séparation des variables donnedy y2

= dx x2


qui s'écrit après intégration1 y = 1

x + K

et que l'on transforme en

y(x) = xK.x + 1

ou toute autre forme algébriquement équivalente comme par exemple

y(x) = 1

K + 1 x

On notera la place curieuse de la constante arbitraire d'intégration.

Examen de y'. + y = sin x

Cette équation n'est pas une équation à variables séparées, il est impossible de lamettre sous la forme prescrite. Il s'agit d'une équation différentielle avec secondmembre. On verra plus loin comment la résoudre.

Résolution de x.y' � y.sinx = 0

La forme à variables séparées est

y . dy = sin x x . dx

Le membre de droite n'a pas de fonction primitive simple, on est contraint de le laissersous la forme d'une primitive, ce qui donne :

ln(y(x)) = ⌡⌠

0x sin t

t . dt + cste

ou encore

y(x) = C . exp

⌡

⌠0x sin t

t . dt

3.4 - Commentaires

Le dernier exemple, analogue à un autre vu avec les équations linéaires,montre qu'en fait la deuxième étape n'est pas toujours possible. Elle ne fait d'ailleurs paspartie de la résolution au sens strictement mathématique du terme. On considère eneffet l'équation différentielle comme résolue quand on obtient une formulation pour y telleque:

y = ⌡⌠ h(x).dx

ou même telle que

⌡⌠ f(y).dy = ⌡⌠ g(x).dx

Il est légitime de considérer l'équation comme résolue avec l'une ou l'autre de cesformules car il est alors possible de trouver la valeur prise par la fonction y pour toutevaleur de la variable x ( quand la fonction y est définie pour la valeur en question). Maison peut se convaincre que le calcul de cette valeur de y risque de demander largementplus d'efforts que la résolution de l'équation différentielle elle-même.

Dans la pratique, il est convenu que l'on cherchera systématiquement àprésenter la solution sous la forme habituelle

y = une fonction de x


Ne pas le faire est considéré au mieux comme un manque de courtoisie et en généralcomme une faute.

3.5 - Autres exemples

Résolution de y' � y . x . sin x= 0

Cet exemple pour rappeler d'une part que les équations différentielles linéaires sont uncas particulier d'équations à variables séparées et d'autre part pour montrer, enrapprochant cet exemple de x.y' + y.sin x = 0 vu ci-dessus, que des "petites"modifications entraînent de grands changement dans les calculs. La séparation desvariables donne

dy y = x. sinx . dx

Après intégration par partie du second membre, il vientln(y(x)) = � x.cos x + sin x + K

ou encorey(x) = C . exp ( � x.cos x + sin x )

Résolution de x.y' � y2 = 0

Avec cet exemple on va voir que la méthode s'applique (parfois) à certaines équationsdifférentielles non linéaires. Les variables se séparent en

dy y2

= dx x

L'intégration des deux membres est élémentaire et donne

� 1y = ln(x) + K

qui se transforme en

y(x) = �1K + ln(x) ou y(x) = 1

K + ln(1/x)

selon qu'on décide de faire porter le signe moins sur le dénominateur ou le numérateur.La constante K n'a pas la même valeur dans les deux équations.

Résolution de y'.y � ex/2 = 0

Cette équation est une pseudo-difficulté, en effet elle s'écrit

y'.y = ex/2

et on reconnait dans y'.y la dérivée de y2

2 . L'intégration des deux membres donne

y2 2 = 2.ex/2 + Kou y2

2 = 2.( ex/2 + K )

et en définitive, parmi d'autres écritures possibles, on choisit :

y(x) = ± 2. ex/2 + K La donnée d'une condition initiale permettra de déterminer la valeur de la constantearbitraire K. Cette condition, associée au contexte, fixera également le signeconvenable.


4 - Les équations différentielles linéaires du premier ordreavec second membre

4.1 - Définition

Ce sont les équations différentielles linéaires du premier ordre qui contiennentun terme ne dépendant ni de y ni de y'. Elles sont toujours susceptibles de se mettresous la forme

a(x).y' + b(x) . y = g(x)

où a(x), b(x) et g(x) sont des fonctions connues de x . Il est d'ailleurs vivement conseilléde ne faire démarrer le calcul qu'après s'être ramené à cette forme, car on commenceratoujours par résoudre l'équation sans second membre associée, obtenue en annulant lesecond membre, c'est-à-dire

a(x).y' + b(x) . y = 0

4.2 - Formulations du problème

Pour fixer les idées, on prend l'exempley' + y = sin x

Pour trouver la solution de l'équation complète, on part du fait que l'on sait résoudre leséquations sans second membre et donc, en particulier, celle que l'on déduit de l'équationcomplète, dite équation sans second membre associée, obtenue en annulant le secondmembre

y' + y = 0

Si on connaît y(x), la solution de cette équation sans second membre (ici y(x) = C.e�x ),on peut présumer que la solution de l'équation complète doit en être assez voisine.

On va voir deux méthodes pour passer de la solution générale de l'équationsans second membre (désignée dans la suite par ses initiales SGES2M) à la solutiongénérale de l'équation avec second membre (SGEA2M).

La première cherche à ajouter à la SGES2M une certaine fonction dite solutionparticulière de l'équation avec second membre (SPEA2M). Cette méthode, appeléeméthode par identification ou méthode de recherche d'une solution particulière évite lecalcul intégral, ce qui fait qu'on la considère souvent comme plus "simple". Elle ne fournitcependant pas systématiquement la solution.

L'autre démarche, due à Lagrange mais aussi appelée méthode de variation dela constante, cherche une fonction par laquelle on multiplie la SGES2M pour obtenir laSGEA2M. On reste dans le cadre du calcul intégral pour obtenir la solution, avec lesinconvénients que cela comporte, mais la méthode aboutit toujours à la solution.

4.3 - Recherche d'une solution particulière par identification

4.3.A - Principe

Supposons connue y(x) la SGES2M, c'est par définition une fonction qui vérifiea(x).y' + b(x) . y = 0

et qui contient LA constante arbitraire. Ce dernier point est crucial.Si on veut transformer la SGES2M en la SGEA2M en lui ajoutant une fonction

Y(x), il faut que l'on aita(x).(y + Y)' + b(x) . (y + Y) = g(x)


soita(x).y' + b(x) . y + a(x).Y' + b(x).Y = g(x)

donc, comme y(x) est la SGES2M,la relation devienta(x).Y' + b(x).Y = g(x)

qui est l'équation différentielle que doit vérifier Y(x). On retrouve une forme identique à laprécédente et ce n'est pas là que se trouve le bénéfice. Le bénéfice est que, dans lafonction Y(x), il n'est plus nécessaire de se préoccuper de LA constante arbitraire quifigure déjà dans la SGES2M .

On est donc, pour Y(x), à la recherche d'une solution particulière de l'équationavec second membre (SPEA2M) . Le problème peut paraître à peine plus simple, et engénéral il ne l'est guère, sauf dans le cas d'équations simples où on peut faire laconjecture qu'il doit exister une solution particulière de l'équation avec second membrequi soit assez voisine du second membre lui-même. L'équation différentielle fournit ainsielle même les indications nécessaires à sa résolution, la question étant alors de savoircorrectement interpréter ces indications.

4.3.B - Règles pour la recherche d'une solution particulière

Une solution particulière peut être n'importe quelle fonction pourvu qu'elle"marche", c'est-à-dire qu'elle vérifie identiquement l'équation. Si on laisse de coté unerecherche uniquement guidée par l'intuition ou la mémoire, il faut une procédure.

Celle-ci consiste à copier le second membre d'une façon assez souple pourpouvoir l'adapter, on détaillera la démarche dans les exemples. Cette démarche peut seformaliser en un ensembles de règles. Il en existe des répertoires parfois très étendus,l'option adoptée ici est de se limiter à un ensemble restreint de règles de base, dont laliste est donnée ci-dessous.

tableau des règles

second membre

polynômex2 + 1

exponentiellee2.x

fonction trigonométriquesin OU cos

sin 2x

forme a priori de la SPEA2M

polynôme de même degréa.x2 + b.x + c

exponentielle de même coefficienta.e2.x

fonctionS trigonométriqueSsin ET cos

a.sin 2x + b.cos 2x

Sur les exemples présentés dans le tableau on peut voir qu'à chacune des formes debase du second membre correspond une forme obtenue en faisant appel à descoefficients indéterminés qui en généralise l'écriture. Ces coefficients seront déterminéspar identification selon une procédure qui sera précisée dans la suite.

Auparavant on peut faire les commentaires suivants sur ces règles.- le cas du polynôme est assez clair : une combinaison mettant en jeu un polynôme etses dérivées est encore un polynôme de même degré. Il est donc raisonnable, au moinspour les équations à coefficients constants, de penser qu'il existe une solution ayant laforme d'un polynôme de ce degré;- il en est de même pour les exponentielles dont le coefficient en exposant resteinchangé dans les dérivations;- pour les fonctions trigonométriques par contre, si on introduisait dans la forme a prioride la SPEA2M que la seule fonction sinus par exemple, la dérivation ferait apparaître lafonction cos. Il faut donc en prévoir l'apparition en plaçant d'emblée dans la forme apriori le sin ET le cos.

La précaution qui consiste à mettre d'emblée dans la forme a priori tous lestermes qui risquent d'apparaître dans les calculs est ce qui permet à la méthoded'identification d'aboutir heureusement. On peut dire que cette précaution est en quelque


sorte une métarègle, c'est à dire une règle à laquelle doivent obéir toutes les autresrègles.

Dans le cas où le second membre est une combinaison de ces formes debase, on imitera la combinaison des formes a priori en essayant d'éviter les coefficientssuperflus. Par exemple, si on a le second membre

e3.x + x2

somme d'une exponentielle et d'un polynôme du deuxième degré, on posera pour laforme a priori de la SPEA2M la somme des formes conseillées :

a.e3.x + b.x2 + c.x + dSi, par contre, le second membre a la forme

x2 . e3.x

d'un produit d'une exponentielle et d'un polynôme, l'application rigide des règlespousserait à utiliser pour forme a priori le produit des formes a priori, c'est-à-dire

A.e3.x . ( b.x2 + c.x + d)mais en développant cette expression, on se rend compte qu'en fait, le coefficient An'apparaît nulle part seul. On a en effet

A.b.e3.x .x2 + A.c.e3.x . x + A.d.e3.x

qui n'est, un produit de coefficients étant encore un coefficient, qu'une façon maladroited'écrire la relation

B.e3.x .x2 + C.e3.x .x + D.e3.x = e3.x . ( B.x2 + C.x + D )Cette forme est la forme appropriée qui contient le nombre, en principe, nécessaire etsuffisant de coefficients.

On peut aussi faire intervenir la métarègle "prévoir l'apparition de termes et lesmettre d'abord dans la forme a priori". Ici le terme x2.e3.x donne par dérivation un termeen x.e3.x (à un coefficient près), il faut donc le faire figurer dans l'écriture. Mais celui-ci,dérivé à son tour, donnera e3.x qu'il faut inclure à son tour. Ce passage en revue destermes attendus met donc en évidence les trois termes:

x2.e3.x , x.e3.x et e3.x

qui sont les trois termes de la forme a priori précédemment obtenue par l'applicationraisonnée des règles.

4.3.C - Mise en œuvre - Identification

On va illustrer les étapes de la mise en �uvre sur un exemple. Soit à trouver lasolution particulière de l'équation différentielle

y'' + 2.y' + y = x2 + 1La forme a priori sera un polynôme de degré deux. Conformément aux règles, on posepour cette forme a priori le polynôme de degré deux le plus général:

a.x2 + b.x + cOn porte l'écriture choisie dans l'équation différentielle, c'est-à-dire qu'on y place lesdérivées du polynôme. On obtient l'équation

(2.a) + 2.(2.a.x + b) + (a.x2 + b.x + c) = x2 + 1soit

a.x2 + (4a + b).x + (2a + 2b + c) = x2 + 1Cette égalité, vérifiée pour toutes les valeurs de la variable, est en fait une identité. Enégalant les coefficients de chaque puissance de x , on produit autant d'équations que decoefficients :


coeff de x2 a = 1coeff de x 4.a + b = 0terme constant 2.a + 2.b + c = 1

La résolution de ce système ne soulève aucune difficulté, on obtienta = 1b = � 4c = 7

La solution particulière de l'équation avec second membre que nous cherchons est donc

SPEA2M = x2 � 4.x + 7La solution générale de l'équation complète sera obtenue en additionnant les SGES2Met SPEA2M. Ici, où comme on l'a vu :

SGES2M = e�x . (A.x + B)la solution générale de l'équation avec second membre est donc

SGEA2M = y(x) = e�x . (A.x + B) + x2 � 4.x + 7On a déjà signalé que la méthode par identification peut ne pas aboutir. Il y a

deux façon caractéristique de la voir échouer :- ou bien on aboutit à une impossibilité mathématique comme sin x = 0 (on rappelle qu'ils'agit d'une identité, c'est-à-dire d'une égalité vraie pour toutes les valeurs de lavariable), ceci est le signe d'une forme a priori inadéquate : il n'existe pas de solutionparticulière de la forme prescrite;- ou bien on obtient un nombre insuffisant d'équations, il s'agit alors d'une formulationmaladroite de la forme a priori avec un nombre excessif de paramètres.

4.4 - Exemples

Résolution de y' + y = sin x

L'équation sans second membre associée dont il faut la solution générale esty' + y = 0

dont la forme à variables séparées estdy y = � 1.dx

qui conduit à la solution générale de l'équation sans second membre

SGES2M = C.e� x

La forme a priori de la solution particulière de l'équation avec second membre doitincorporer le sin et le cos, on pose donc

SPEA2M = a.sin x + b.cos xSon introduction dans l'équation fournit l'identité

( a.cos x � b.sin x) + (a.sin x + b.cos x) = sin xAprès réarrangement des termes, il vient

( a + b ) . cos x + ( a � b ) . sin x = sin xet, en égalant les coefficients des fonctions sin et cos de part et d'autre du signe égale,on obtient le système

coeff de cos x a + b = 0coeff de sin x a � b = 1

qui admet les solutions

a = 1 2 et b = � 1

2


La solution particulière de l'équation avec second membre est donc, en prenant soin demettre le bon coefficient en face de la bonne fonction,

SPEA2M = sin x � cos x2

et la solution générale de l'équation complète, somme des deux solutions, est

SGEA2M = SGES2M + SPEA2M = C.e� x + sin x � cos x2

Résolution de y' + y = x.sinx

On ne revient pas sur la résolution de l'équation sans second membre associée qui estla même que précédemment.

Cet exemple va nous permettre de présenter non seulement la mise en �uvrecorrecte mais aussi des mises en �uvre erronées.

Commençons par le bon calcul. Le second membre est de la forme produitd'un polynôme du premier degré et d'une fonction trigonométrique. Les formes a priorisont respectivement

a.x + b et a.cos x + b.sin xOn a déjà dit que le produit sans précaution de ces fonctions produirait une forme avecun nombre excessif de coefficients. Mais ce produit contiendrait les fonctions

x.cos x , x.sin x , cos x et sin xil faut, en conséquence, poser comme forme a priori

Y = a.x.cos x + b.x.sin x + c.cos x + d.sin xdont la dérivée est

Y' = a.cos x � a.x.sin x + b.sin x + b.x.cos x � c.sin x + d.cos xSon introduction dans l'équation différentielle avec second membre donne, aprèsregroupement des termes :

(a + b).x.cos x + (b � a).x.sin x + (a + c + d).cos x + (b � c + d).sin x = x.sin xL'identification des coefficients des fonctions de part et d'autre du signe égale donne lesystème

coeff de x.cos x a + b = 0coeff de x.sin x b � a = 1coeff de cos x a + c + d = 0coeff de sin x b � c + d = 0

dont la résolution donne le jeu de coefficientsa = � 1/2 , b = 1/2 , c = 1/2 et d = 0.

Ces valeurs permettent l'écriture de la fonction solution particulière de l'équation avecsecond membre

SPEA2M = �x.cos x + x.sin x + cos x2

et de là, la solution générale de l'équation complète en lui ajoutant la solution généralede l'équation sans second membre déjà calculée à l'exercice précédent.

SGEA2M = SGES2M + SPEA2M = C.e� x + �x.cos x + x.sin x + cos x2

Un choix erroné de la SPEA2M de y' + y = x.sinx

La façon dont échoue l'identification après un choix incomplet de la forme apriori est instructif. Supposons qu'on ait limité la forme a priori aux seuls termes en x.cosx et x.sin x. La forme a priori est alors


a.x.cos x + b.xsin xL'introduction de cette forme dans l'équation différentielle donne

(a + b).x.cos x + (b � a).x.sin x + a.cos x + b.sin x = x.sin xqui conduit au système de quatre équations à deux inconnues

coeff de x.cos x a + b = 0coeff de x.sin x b � a = 1coeff de cos x a = 0coeff de sin x b = 0

dont il est clair qu'il contient des équations incompatibles.On aura remarqué au passage que la dérivation de notre forme a priori fait

apparaître des fonctions non "prévues", en violation de la métarègle.

Tentative de résolution de y'+ y = e-x

Les règles données sont cependant insuffisantes, ici en effet l'applicationcorrecte des règles donne la forme a priori

A.e� x

dont l'introduction dans l'équation différentielle donne

�A.e� x + A.e� x = e� x

0 = e� x

qui est une impossibilité car une exponentielle ne peut pas être identiquement nulle.L'échec est de la même nature que précédemment, il est dû au fait qu'il n'y a

pas de solution particulière de la forme e� x . La différence avec le cas précédent estqu'il n'y pas application inexacte des règles.

Le parti adopté dans ce document de ne fournir que des règles simples nepermet pas de trouver la forme a priori adéquate. Dans le cas où on échoue à trouverune forme a priori convenable, on aura recours à la méthode générale : la méthode deLagrange.

4.5 - Principe de la méthode de Lagrange (variation de la constante)

4.5.A - Principe

Cette méthode suppose, comme la précédente, la résolution préalable del'équation sans second membre associée, ce qui fournit la solution de forme générale

y = C . eF(x)

La méthode de Lagrange cherche un facteur par lequel multiplier cette solution(SGES2M) pour la transformer en la solution générale de l'équation complète, ou plusprécisément par quelle fonction C(x) remplacer la constante C de l'écriture, d'où le nomde méthode de variation de la constante qu'on lui donne aussi.

La forme C(x) . eF(x) portée dans l'équation différentielle va donner uneéquation en C'(x) de la forme

C'(x) = une fonction connue de xLa détermination de C(x) se résume ainsi à un "simple" calcul de primitive.

On achève le calcul en multipliant la fonction C(x) obtenue par le facteur eF(x).


4.5.B - Précautions et vérifications

En cours de calcul on aura soin de vérifier que l'équation en C'(x) ne contientplus de C(x), c'est-à-dire qu'on obtient bien la forme la plus simple d'une équationdifférentielle. En d'autres termes, la fonction C(x) doit disparaître des calculs.

Le calcul de C(x) introduit une constante arbitraire d'intégration, il faudraprendre garde qu'elle est LA constante arbitraire qui doit figurer dans la solution généralede l'équation complète. Son oubli aurait des conséquences définitivement graves sur laqualité du résultat.

4.6 - Exemples

Résolution de y'+ y = e-x

On rappelle que la solution générale de l'équation sans second membre est

SGES2M = y(x) = C.e� x

L'introduction de la forme C(x).e� x dans l'équation donne

C'(x).e� x � C(x).e� x + C(x).e� x = e� x

On constate la disparition des termes en C(x), il reste, après simplification par e� x

C'(x) = 1dont la solution évidente est :

C(x) = x + KLa forme de la solution générale de l'équation avec second membre est donc

SGEA2M = C(x).e� x = (x + K) . e� x

Dans cette forme on reconnaît d'une part K.e� x : la SGES2M, l'autre partie est donc laSPEA2M que nous n'avions pas obtenue tout à l'heure, on voit qu'il aurait fallu poser uneforme a priori en x.e� x . On insiste encore sur le rôle de la constante d'intégration K, sonoubli ne permettrait d'obtenir que la SPEA2M.

Résolution de y' + y = sin x

L'équation sans second membre associée dont il faut la solution générale esty' + y = 0

a pour solution

SGES2M = C.e� x

On pose donc C(x).e� x dont l'introduction dans l'équation différentielle donne

( C'(x).e� x � C(x).e� x ) + C(x).e� x = sin xOn assiste à la disparition habituelle de C(x) pour aboutir à

C'(x) = ex.sin xOn rappelle que le calcul de cette primitive se fait au moyen d'intégrations par parties dela fonction ex.sin x et de la fonction associée ex.cos x.

⌡⌠ ex.sin x . dx = � ex.cos x + ⌡⌠

ex.cos x . dx

⌡⌠ ex.cos x . dx = + ex.sin x � ⌡⌠

ex.sin x . dx

La résolution de ce système donne deux primitives, la première est C(x), celle qui nousintéresse au premier chef


C(x) = ⌡⌠ ex.sin x . dx = e

x.sin x � ex.cos x2 + K1

Pour mémoire l'autre est

⌡⌠ ex.cos x . dx = e

x.sin x + ex.cos x2 + K2

On prendra garde de ne pas oublier l'introduction de la constante arbitraire, ici K1, en finde calcul.

La construction de la solution générale de l'équation avec second membreétant C(x).e�x ,on a

e

x.sin x � ex.cos x2 + K1 . e� x

qui, après développement, redonne

SGEA2M = y(x) = K1 . e� x + sin x � cos x2

forme que nous avions obtenue par la méthode de la solution particulière.

Résolution de y' + y = x.sin x

L'introduction de C(x).e� x dans l'équation différentielle donne ici, tous calculsfaits,

C'(x) = x . ex.sin x

Le calcul de la primitive de x . ex.sin x doit se réaliser par parties. Comme il est assezlong, nous le détaillons ci-dessous.

Dans le but d'appliquer la formule de l'intégration par parties

⌡⌠ u.dv = u.v � ⌡⌠ v.du

nous posons

u = x et dv = ex.sin x. dxLe calcul de du = dx ne pose évidemment aucun problème. Par contre celui de vsuppose l'intégration de ex.sin x. Nous venons de voir, dans l'exercice immédiatementprécédent, qu'une primitive de cette fonction est

⌡⌠ ex.sin x . dx = e

x.sin x � ex.cos x2

On peut donc poser

C(x) = ⌡⌠ x.ex.sin x.dx = x.e

x.sin x � ex.cos x2 � ⌡

⌠

ex.sin x � ex.cos x2 . dx

La dernière primitive est la demi-différence des primitives calculées à l'exempleprécédent. Nous avions obtenu en cours de calcul

⌡⌠ ex.sin x . dx = � ex.cos x + ⌡⌠

ex.cos x . dx

d'où il vient

⌡⌠

ex.sin x � ex.cos x2 . dx = � e

x.cos x2 + K

et en définitive

C(x) = x.ex.sin x � ex.cos x

2 + ex.cos x

2 + K

La construction de la solution générale de l'équation avec son second membre


C(x).e�.x redonne la solution déjà obtenue, sans doute plus simplement, avec la recherche de lasolution particulière.

SGEA2M = K.e� x + x.sin x � x.cos x + cos x2

4.7 - Justification de la méthode de Lagrange

L'équation sans second membre associéea(x).y' + b(x).y = 0

a pour solution générale

y(x) = C.eF(x)

où F(x) est une primitive de � b(x)a(x)

⌡⌠

� b(x)

a(x) . dx = F(x) + cste

Par conséquent la dérivée est

F'(x) = � b(x)a(x)

Cette remarque étant faite, l'introduction dans l'équation complètea(x).y' + b(x).y = g(x)

de la fonction C(x).eF(x) donne

a(x).( )C'(x).eF(x) + F'(x).C(x).eF(x) + b(x).C(x).eF(x) = g(x)soit

a(x).C'(x).eF(x) � a(x) . b(x)a(x) C(x).eF(x) + b(x).C(x).eF(x) = g(x)

d'où la fonction C(x) disparaît, pour donner l'équation différentielle simplissime

C'(x) = g(x)a(x) e

�F(x)

4.8 - Commentaires sur le choix de la méthode

Le choix entre méthode de Lagrange et recherche d'une solution particulière sefait sur une conjecture portant sur la difficulté relative des deux méthodes. Le lecteurretire sans doute de ce qui précède que la méthode de Lagrange peut donner descalculs assez longs. La recherche de la solution particulière sera préférable dans les casoù on peut avoir une bonne chance de trouver une forme convenable de la forme a prioride la solution particulière. Cela sera probablement le cas

- si l'équation est à coefficients constants,- si le second membre a une forme simple.

Mais on peut, dans d'autres situations, avoir une réminiscence ou une intuition quipermette d'obtenir la forme convenable.

Dans tous les cas où la recherche de la SPEA2M n'aboutit pas ou sedéveloppe d'une façon désavantageuse, on l'abandonnera au profit de la méthode deLagrange, plus austère mais générale.


5 - Equations différentielles linéaires du deuxième ordre àcoefficients constants sans second membre

5.1 - Définition

La précision du titre restreint énormément le nombre de possibilités d'écriture,la seule forme possible est

a.y'' + b.y' + c.y = 0

Le cas particulier b = 0 fait encore partie de la définition. Annuler le coefficient a renvoieaux équations différentielles du premier ordre, annuler le coefficient c également caralors l'équation est une équation du premier ordre portant sur y' au lieu de y.


La résolution des équations différentielles du second ordre linéaires àcoefficients constants se fait en deux étapes dont aucune n'est une étape de calculintégral. La première étape est la résolution d'une certaine équation algébrique dusecond degré : l'équation caractéristique. La seconde étape pose une forme a priori dela solution générale en fonction du nombre et de la nature des racines de l'équationcaractéristique.

5.2.A - L'équation caractéristique

L'équation caractéristique est l'équation du second degré ayant les mêmescoefficients que l'équation différentielle, c'est-à-dire

a.r2 + b.r + c. = 0On la déduit de l'équation différentielle à l'aide des correspondances

à y'' on fait correspondre r2

à y' on fait correspondre r1 = r

à y on fait correspondre r0 = 1A chaque dérivation correspond donc une puissance de même rang. On notera que lafonction y elle-même est considérée comme dérivée zéro fois et on se souviendra que r0= 1 .

5.2.B - Les solutions types

La suite du calcul repose sur le nombre et la nature des racines de l'équationcaractéristique, ou, ce qui revient au même sur la valeur du discriminant ∆ de l'équationcaractéristique

∆ = b2 � 4.a.c∆ > 0

L'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes

r1 = �b + b2 � 4.a.c2.a et r2 = �b � b2 � 4.a.c

2.a

La solution générale de l'équation sans second membre est de la forme :

y(x) = A.er1.x + B.er2.x


où A et B sont les constantes arbitraires qu'on déterminera éventuellement à l'aide desconditions initiales.∆ = 0

L'équation caractéristique a une racine réelle double, donnée par la formule

r = �b 2.a


y(x) = A.x.er.x + B.er.x = (A.x + B) . er.x

où A et B sont les constantes arbitraires qu'on déterminera éventuellement à l'aide desconditions initiales.∆ < 0

L'équation caractéristique a deux racines distinctes, mais elles sont complexesconjuguées. Elles ont pour parties réelle Re(r)=α et imaginaire Im(r)=β les quantités :

Re(r) = α = �b 2.a et Im(r) = β = 4.a.c � b2

2.a


y(x) = eα.x ( A.sin β.x + B.cos β.x )où A et B sont les constantes arbitraires qu'on déterminera éventuellement à l'aide desconditions initiales.

5.3 - Exemples

Résolution de y'' + 3.y' + 2.y = 0

L'équation caractéristique

r2 + 3.r + 2 = 0se factorise en (r + 1).(r + 2) = 0. Des racines r1 = �1 et r2 = �2, on déduit la solutiongénérale de l'équation différentielle

y(x) = A.e� x + B.e�2.x

Si on ajoute les conditions initiales y(0) = y'(0) = 1, on en déduit le systèmepermettant de calculer A et B

A + B = 1A + 2.B = �1

qui admet la solution A = 3 et B = �2 . La solution de l'équation différentielle qui vérifieles conditions initiales est donc

y(x) = 3.e� x � 2.e�2.x

Résolution de y'' + 2.y' + y = 0


r2 + 2.r + 1 = 0admet la racine double r = �1, la solution générale de l'équation différentielle est

y(x) = (A.x + B) . e� x

Si on ajoute les conditions initiales y(0) = y'(0) = 1, on en déduit le systèmepermettant de calculer A et B

B = 1A � B = 1


qui admet la solution A = 2 et B = 1 . La solution de l'équation différentielle qui vérifie lesconditions initiales est donc

y(x) = ( 2.x + 1) . e� x

Résolution de y'' + y = 0


r2 + 1 = 0admet les racines imaginaires pures conjuguées r1 = �i et r2 = +i, c'est à dire que lapartie réelle des racines est nulle, donc α = 0 et β = 1. La solution générale de l'équationdifférentielle peut s'écrire

y(x) = (A.sin x + B.cos x)Si on ajoute les conditions initiales y(0) = y'(0) = 1, on obtient directement les

valeurs des coefficientsy'(0) = A A = 1y (0) = B B = 1

La solution de l'équation différentielle qui vérifie les conditions initiales est doncy(x) = sin x + cos x


Les racines imaginaires conjuguées de l'équation caractéristique sont tellesque

α = �1 et β = 1et la solution générale de l'équation différentielle

y = e� x . ( A.cos x + B.sin x )Si on ajoute les conditions initiales y(0) = y'(0) = 1, on obtient le système

A = 1

B � A = 1dont la solution A = 1 et B = 2 permet d'écrire la solution de l'équation différentielle quivérifie la condition initiale:

y(x) = e� x . ( cos x + 2.sin x )

5.4 - Justification de la méthode de résolution

Trouver la solution de l'équation différentielle c'est trouver une fonctiona) qui vérifie l'équation,

b) qui contienne deux constantes arbitraires qui lui permettent devérifier n'importe quelles conditions initiales, par exemple de la forme

y(0) = y0 et y'(0) = y'0Pour résoudre ce problème on va d'abord chercher (et trouver) deux solutions

particulières de l'équation (sans second membre) : y1 et y2 . Grâce au caractère linéairede l'équation, toutes les combinaisons linéaires de ces deux solutions particulièresseront également solutions de l'équation différentielle.

Si on les combine à l'aide de deux constantes arbitraires A et B, on obtient desfonctions de la forme

A.y1 + B.y2


Il reste à vérifier que l'on peut, avec une telle combinaison linéaire, satisfaire n'importequelles conditions initiales.

5.4.A - Les conditions initiales et le Wronskien

Cela revient à dire que pour n'importe quelles valeurs de y0 et y'0, on saitcalculer les valeurs convenables des constantes A et B. Ou encore que le systèmedéduit des conditions initiales

y0 = A.y1(0) + B.y2(0)

y'0 = A.y'1(0) + B.y'2(0)

Pour qu'un tel système admette une solution unique en A et B, il faut et suffit que ledéterminant du système soit non nul, c'est-à-dire

y1(0) . y'2(0) � y2(0) . y'1(0) . 0

Notre choix de conditions strictement initiales, c'est-à-dire pour x=0, peut être gênant .Dans telle ou telle application, on peut avoir besoin de préciser la valeur de la fonction etde sa dérivée pour une autre valeur de la variable que zéro. Pour prévoir tous les cas,c'est-à-dire pour que des conditions de la forme

y(x) = y0 et y'(x) = y'0puissent être satisfaites pour une valeur x quelconque de la variable et plus seulement àl'origine, nous allons exiger que le système

y0 = A.y1(x) + B.y2(x)

y'0 = A.y'1(x) + B.y'2(x)

ait une solution unique pour toutes les valeurs de x, d'où la condition portant maintenantsur l'ensemble des valeurs possibles du déterminant du système

y1(x) . y'2(x) � y2(x) . y'1(x) . 0

Ce déterminant, qui est donc une fonction de x, porte le nom de wronskien, d'après lenom du mathématicien polonais qui en a proposé l'usage.

Notre problème prend maintenant la forme: trouver deux solutions particulièresde l'équation différentielle dont le wronskien n'est jamais nul.

5.4.B - Les solutions exponentielles et l'équation caractéristique

La recherche de ces solutions particulières se fait parmi les fonctionsexponentielles. Si on injecte dans l'équation différentielle une exponentielle er.x onobtient, après les dérivations nécessaires,

a. (r2.er.x) + b. (r.er.x) + c.er.x = 0Comme une exponentielle n'est jamais nulle, on peut diviser les deux membres del'équation par er.x ce qui conduit à :

a.r2 + b.r + c = 0qui est l'équation caractéristique. Selon la valeur de son discriminant, cette équation adeux racines réelles, une racine réelle double ou deux racines complexes. On se limiteraau où les coefficients a,b et c sont réels, les racines complexes sont alors conjuguées,c'est-à-dire ont la même partie réelle et des parties imaginaires de signes opposés. Onpasse en revue les trois cas possibles.


5.4.C - Les solutions types

∆ < 0L'existence de deux racines réelles distinctes, r1 et r2, permet d'obtenir deux

solutions particulières. Pour qu'elles soient acceptables il faut que leur wronskien soitnon nul. Ce wronskien a pour expression

det

er1.x er2.x

r1.er1.x r2.er2.x = r2.er2.x.er1.x � r1.er1.x.er2.x = (r1�r2).er1.x.er2.x

quantité qui n'est jamais nulle puisque, par hypothèse r1 ≠ r2 .Le couple de solutions particulières y1 = er1.x et y2 = er2.x permet donc la

construction de la solution générale de l'équation sans second membre sous la formed'une combinaison linéaire de ces solutions particulières, c'est-à-dire sous la forme :

y(x) = A.er1.x + B.er2.x

∆ = 0On ne dispose ici que de la seule racine double r = �b/(2.a) de l'équation

caractéristique et donc d'une seule solution particulière y1 = er.x . Il faut faire uneconjecture supplémentaire pour en trouver une autre. La conjecture est de poser

y2 = x.er.x

pour laquelle il faut vérifier deux points importants.Le premier est que cette fonction y2 est solution de l'équation différentielle,

c'est-à-dire porter dans cette équation les dérivées

y'2 = r.x.er.x + er.x

y''2 = r2.x.er.x + 2.r.er.x

ce qui donne la relation

a(r2.x.er.x + 2.r.er.x ) + b.(r.x.er.x + er.x) + x.er.x

qui, après réarrangement des termes, devient

x.er.x. ( a.r2 + b.r + c) + er.x. ( 2.a.r + b)La première parenthèse contient l'équation caractéristique, elle est donc nulle car r estsa racine. La seconde parenthèse est également nulle car r est racine double est parconséquent égal à �b/(2.a) .

Le second point est que le couple de solutions particulièresy1 = er.x et y2 = x.er.x est convenable, c'est-à-dire que son wronskien est différent dezéro. Celui-ci est égal à

det

er.x x.er.x

r.er.x r.x.er.x + er.x = r.e2.r.x � r.e2.r.x + e2.r.x = e2.r.x

Il n'est donc jamais nul et les deux solutions particulières sont convenables.La solution générale de l'équation différentielle peut se mettre sous la forme

d'une combinaison linéaire de ces deux solutions particulières

y(x) = A.x.er.x + B.er.x = (A.x. + B ) . er.x

∆ < 0Dans ce cas on retrouve deux racines distinctes, complexes conjuguées, c'est

à direr1 = α +i.β et r2 = α � i.β

où

α = � b2.a

et β = 4.a.c � b22.a


Les deux solutions particulières y1 = er1.x et y2 = er2.x constituent bien un coupleadmissible (de wronskien non nul) comme on pourra le vérifier et la solution générale del'équation pourrait s'écrire, en remplaçant les racines par leurs expressions :

y(x) = eα.x . ( A.e+i.β.x + B.e�i.β.x )Cette forme n'est cependant pas très commode à cause de la présence d'exponentielleset de constantes complexes dans une expression qui est, le plus souvent dans nosapplications, destinée à décrire un phénomène physique ou chimique qui s'exprime envaleurs réelles.

Pour arriver à une forme plus "simple" on fait intervenir la formule de Moivre

e+i.β.x = cos(β.x) + i.sin(β.x)qui permet de transformer l'écriture précédente en

y(x) = eα.x . [ ](A+B).cos(β.x) + i.(A�B).sin(β.x) Sachant qu'une combinaison de constantes, même complexes, arbitraires est encoreune constante arbitraire, la forme à utiliser de la solution générale :

y(x) = eα.x .( A.cos(β.x) + B.sin(β.x) )Dans cette écriture, on voit en fait apparaître deux "nouvelles" solutions

particulières eα.x.cos(β.x) et eα.x.sin(β.x) et deux nouvelles constantes arbitraires (engénéral réelles dans cette écriture). Les fonctions sont a) solutions de l'équationdifférentielle et b) leur wronskien est bien non nul. On laisse la curiosité du lecteur lepousser à entreprendre ce calcul, un peu long mais sans difficulté.

5.5 - Retour sur deux exemples

Nous reprenons deux exemples pour montrer comment, dans le cas ∆<0,mettre en �uvre les conditions initiales sur la forme imaginaire de la solution del'équation différentielle et que l'on obtient des solutions réelles avec ces formes.

Résolution de y'' + y = 0

Les racines complexes conjuguées sontr1 = �i et r2 = +i

la solution générale de l'équation différentielle est

y(x) = A.e+ i x + B.e� i x

sa dérivée

y'(x) = i.A.e+ i x � i.B.e� i x

L'utilisation de conditions initiales telles que y(0) = y'(0) = 1 conduit au système1 = A + B1 = i.A � i.B

qui admet les solutions

A = 1 � i2 et B = 1 + i

2

La solution vérifiant les conditions initiales est alors

y(x) = e+ i x + e� i x

2 + e+ i x � e� i x

2.i

d'où, en appliquant la formule de Moivre : e+ i x = cos x + i.sin x,

y(x) = 2.cos x2 + 2.i.sin x

2.i = cos x + sin x



Avec cette équation différentielle, la solution a la forme

y(x) = e� x . (A.e+ i x + B.e� i x )dont la dérivée est

y'(x) = � e� x . (A.e+ i x + B.e� i x ) + e� x . (i.A.e+ i x � i.B.e� i x )L'introduction d'une condition initiale telle que y(0) = y'(0) = 1 conduit au système

1 = A + B1 = � (A + B) + i (A � B)

dont les solutions sont

A = 1 � 2 i2 et B = 1 + 2 i

2

Ici aussi les parties imaginaires des coefficients vont disparaître. En effet en appliquantla formule de Moivre à

y(x) = e� x .

1 � 2 i

2 .e+ i x + 1 + 2 i2 .e� i x

on obtient, tout développement fait,

y(x) = e�x . (cos x + 2.sin x )

5.6 - Lien avec les systèmes d'équations différentielles linéaires dupremier ordre

5.6.A - Définition d'un système d'équations différentielles linéaires

Un système d'équations différentielles est un groupe d'équations différentielles,portant sur plusieurs fonctions inconnues Yi,qui peut se mettre sous la forme

dY1 dx = f1(x,Y1,Y2,...,Yn)dY2 dx = f2(x,Y1,Y2,...,Yn)

....dYn dx = fn(x,Y1,Y2,...,Yn)

Le système est linéaire quand le sont toutes les équations différentielles qui leconstituent. Nous ne nous intéresserons qu'aux systèmes de dimension 2, linéaires et àcoefficients constants, c'est-à-dire aux systèmes qui ont la forme

dY1 dx = a.Y1 + b.Y2dY2 dx = c.Y1 + d.Y2

Nous allons voir qu'un tel système est équivalent à une équation différentielle linéaire dudeuxième ordre à coefficients constants et réciproquement. Pour cela nous allonstransformer une telle équation en un système et inversement.

Auparavant on peut remarquer que le système peut se mettre sous uneécriture matricielle

ddx

Y1

Y2 = a bc d

Y1

Y2


5.6.B - Passage de l'équation au système

Ce passage est en fait un simple jeu d'écriture. Le point de départ estl'équation différentielle

a.y'' + b.y' + c.y = 0On pose les changements d'inconnues

Y1 = y et Y2 = y'

ce qui a d'abord pour conséquence immédiate queY'1 = Y2

qui est une première équation du système.L'autre est obtenue en portant les nouvelles inconnues dans l'équation

différentielle, ce qui donnea.Y'2 + b.Y2 + c.Y1 = 0

La juxtaposition des deux relations fournit bien un système linéaire d'équationsdifférentielles.

dY1dx = Y2

dY2dx = � ca Y1 � ba Y2

5.6.C - Passage du système à l'équation

Dans ce sens le calcul est un peu plus long. Il faut d'abord choisir dans lesystème

dY1 dx = a.Y1 + b.Y2dY2 dx = c.Y1 + d.Y2

pour laquelle des deux fonctions inconnues on veut écrire l'équation du deuxième ordre.On choisit arbitrairement Y1. Il convient alors d'éliminer Y2 et Y'2 de l'écriture. De lapremière équation du système on tire (si b . 0)

Y2 = Y'1 � a.Y1

b

et, en dérivant cette relation

Y'2 = Y''1 � a.Y'1

b

Ces deux expressions, portées dans la deuxième équation du système, donnentY''1 � a.Y'1

b = c.Y1 + d . Y'1 � a.Y1b

qui se réarrange enY''1 � (a + d).Y'1 + (a.d � b.c).Y1 = 0

qui est la forme cherchée.

5.6.D - Les conditions initiales

Il faut également adapter les éventuelles conditions initiales. Si l'on part del'équation différentielle du deuxième ordre, la condition initiale est

y(0) = y0 et y'(0) = y'0


ce qui donne immédiatement les valeurs initiales de Y1 et Y2Y1(0) = y(0) = y0 et Y2(0) = y'(0) = y'0

Si on part du système, la condition initiale donne les valeurs de Y1(0) et deY2(0). Il ne reste alors à définir que la valeur initiale de Y'1(0) pour avoir la conditioninitiale de l'équation différentielle du deuxième ordre, ceci est facilement fait à l'aide de lapremière équation du système

Y'1(0) = a.Y1(0) + b.Y2(0)

En conclusion, la solution générale de l'équation différentielle ou les solutions généralesdu système différentiel doivent dépendre de deux constantes arbitraires.

5.6.E - Formes des solutions d'un système de deux équationsdifférentielles

De l'équivalence entre système et équation du deuxième ordre on peut inférerque les solutions du système seraient de la forme A.er.x + B.es.x, mais si on pose, parexemple, les formes

Y1(x) = A.er.x + B.es.x

Y2(x) = C.er.x + D.es.x

on fait apparemment dépendre ces solutions de quatre constantes arbitraires. Pouréliminer les constantes surnuméraires on porte ces expressions dans le systèmedifférentiel. Cela donne

r.A.er.x + s.B.es.x = a.(A.er.x + B.es.x) + b.(C.er.x + D.es.x)r.C.er.x + s.D.es.x = c.(A.er.x + B.es.x) + d.(C.er.x + D.es.x)

Comme il s'agit d'identité on peut poser l'égalité des coefficients des différentesexponentielles dans chaque équation. On en tire les quatre équations:

r.A = a.A + b.Cs.B = a.B + b.Dr.C = c.A + d.Cs.D = c.B + d.D

ce qui semblerait fixer les quatre constantes. Serions nous maintenant sans constantearbitraire?

Un examen plus approfondi des quatre équations montre qu'il s'agit en fait dedeux systèmes de deux équations

r.A = a.A + b.C s.B = a.B + b.Dr.C = c.A + d.C s.D = c.B + d.D

qui, mis sous forme matricielle, donnent

r. AC =

a bc d .

AC s.

BD =

a bc d .

BD

où l'on peut voir

a) que les exposants des exponentielles sont les valeurs propres de la matrice dusystème. On peut facilement vérifier que l'équation caractéristique de la matrice

det a � r b

c d � r = r2 � (a + d).r + (a.d � b.c) = 0

coïncide avec l'équation caractéristique de l'équation du second degré équivalente ausystème.

b) que les vecteurs de composantes (A,C) et (B,D) sont les vecteurs proprescorrespondants à ces valeurs propres. On sait que les vecteurs propres sont définis àune constante multiplicative près, avec une telle constante arbitraire par vecteur on


retrouve nos deux constantes arbitraires, mais sous une forme qui n'avait rien d'évident.Les fonctions Y1 et Y2 peuvent donc être définies comme suit

Y1(x)

Y2(x) = K1. A C .er.x + K2.

B D .es.x

Dans cette forme on reconnaîtra, les deux constantes arbitraires K1 et K2, lesdeux exponentielles ayant pour coefficients les valeurs propres de la matrice du systèmeet enfin les deux vecteurs propres correspondants en facteur de ces exponentielles.

5.6 - Exemples de résolution de système d'équations différentielles

Un système dégénéré - cas b = 0

Le système différentieldY1dx = a.Y1

dY2dx = c.Y1 + d.Y2

a son coefficient b égal à zéro, ce qui invalide le calcul qui nous avait permis deconstruire l'équation différentielle du deuxième ordre équivalente. Mais ce système esten fait très simple à résoudre en le traitant comme deux équations différentielles dupremier ordre.

La première des équations est élémentaire et donne la solution

Y1(x) = C1.ea.x

L'introduction de ce résultat dans la deuxième équation donnedY2dx = c.C1.ea.x + d.Y2

qui n'est autre qu'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficientsconstants avec second membre, cas considéré ici comme résolu.

Un système standard

Soit à résoudre le systèmeY'1 = Y1 + Y2Y'2 = Y1 � Y2

dont l'équation caractéristique

det 1�r 11 �1�r = r2 � 2 = 0

a pour racines

r = 2 et s = � 2 Si on a des conditions initiales, Y1(0) = Y2(0) = 1 par exemple, on peut traiter

le problème de deux façons.La première passe par la détermination des vecteurs propres la seconde en fait

l'économie, mais comme elle nécessite des développements un peu plus longs les deuxcalculs sont à peu près équivalents.

Détermination des constantes arbitraires à l'aide des vecteurs propres

Les vecteurs propres étant définis à un facteur près, on peut imposer que leurpremière composante soit égale à 1. La détermination des vecteurs propres se fait alorsavec l'équation


1 11 �1 .

1u = ± 2 .

1u

qui admet pour solutions

u = �1 ± 2 Si on se reporte à la forme des solutions établies plus haut, on peut poser

Y1(x)

Y2(x) = K1.

1

�1 + 2 .e 2 .x + K2.

1

�1 � 2 .e� 2 .x

Avec les conditions initiales, on obtient les équations sur K1 et K21 = K1 + K2

� 1 = K1 . (1 � 2 ) + K2 . (1 + 2 )

qui s'arrange en1 = K1 + K22 = K1 � K2

et les solutions sont

K1 = 12 . ( )1 + 2 et K2 = 12 . ( )1 � 2

Les solutions sont alors

Y1(x) = 12 . ( )1 + 2 . e 2 .x + 12 . ( )1 � 2 . e� 2 .x

Y2(x) = 12 . e 2 .x + 12

. e� 2 .x

Détermination directe des constantes arbitraires

On pose la forme des solutions

Y1(x) = A.e 2 .x + B.e� 2 .x

Y2(x) = C.e 2 .x + D.e� 2 .x

les quatres paramètre A, B, C et D sont déterminés à l'aide d'une part des conditionsinitiales qui donnent deux équations

Y1(0) = 1 = A + BY2(0) = 1 = C + D

et d'autre part, le système différentiel évalué en x = 0 qui permet d'écrireY'1(0) = Y1(0) + Y2(0) = 2Y'2(0) = Y1(0) � Y2(0) = 0

d'où deux équation supplémentaires pour les paramètres

2 = A. 2 � B. 2 0 = C. 2 � D. 2

De ce double système, on tire

A = 12 . ( )1 + 2 ; B = 12

. ( )1 � 2 et C = D = 12

La forme de la solution obtenue en découle.


6 - Equations différentielles linéaires du deuxième ordre àcoefficients constants avec second membre

6.1 - Définition

La forme générale de ces équations est

a.y'' + b.y' + c.y = g(x)

Leur résolution a, avec celle des équations du premier ordre, plus que desanalogies. On y retrouve les mêmes méthodes : recherche d'une solution particulière etméthode de Lagrange ou variation DES constantes. Les calculs sont simplement un peuplus longs, surtout pour la méthode de Lagrange.

6.2 - Recherche d'une solution particulière par identification

Le principe et les règles sont purement et simplement identiques à ceux vusavec les équations du premier ordre.

Pour mémoire on pose une forme a priori pour la solution particulière, ens'inspirant du second membre de l'équation différentielle. Cette forme portée dansl'équation donne les équations d'identification avec lesquelles on précise la solutionparticulière de l'équation avec second membre. On retrouve la relation

SGEA2M = SGES2M + SPEA2M

6.3 - Exemples

Résolution de y'' + 3.y' + 2.y = 2.e2.x

L'équation sans second membre associée a pour équation caractéristique

r2 + 3.r + 2 = 0qui admet deux racines réelles distinctes r1 = �1 et r2 = �2. La solution générale del'équation sans second membre est donc

SGES2M = y(x) = A . e� x + B . e�2.x

La forme du second membre suggère l'essai de

Y(x) = A.e2.x

L'introduction de cette forme dans l'équation donne

(4.A.e2.x) + 3.(2.A.e2.x) + 2.(A.e2.x) = 2.e2.x

L'identification est immédiate et on obtient

A = 16

Une solution particulière de l'équation avec second membre est donc

SPEA2M = 16 . e2.x

et la solution générale de l'équation complète est

SGEA2M = SGES2M + SPEA2M = A.e� x + B.e�2.x + 16 . e2.x


Résolution de y'' + 2.y' + 3.y = 2.x+1

L'équation sans second membre associée a pour équation caractéristique

r2 + 2.r + 3 = 0qui admet deux racines complexes conjuguées

r1 = �2 + 4 � 122 et r1 = �2 � 4 � 12

2

soit encore

α = �1 et β = 2 d'où la solution générale de l'équation sans second membre

SGES2M = e� x . ( A.cos x. 2 + B . sin x. 2 )La recherche de la solution particulière est indépendante de la résolution de

l'équation sans second membre. Ici la forme a priori apparemment convenable estY(x) = a.x + b

Les dérivée successives de Y(x) sontY'(x) = a et Y''(x) = 0

Leur introduction dans l'équation fournit les équations d'identificationcoeff de x 3.a = 2terme constant 2.a + 3.b = 1

dont la résolution donne la solution particulière de l'équation avec second membre

SPEA2M = 23 . x � 19

et la solution générale de l'équation complète est

SGEA2M = SGES2M + SPEA2M = e� x . ( A.cos x. 2 + B . sin x. 2 ) + 23 . x � 19

Résolution de y'' + 2.y' + 3.y = sin x

L'équation sans second membre est résolue à l'exemple précédent.La forme appropriée de la solution particulière est

Y(x) = A.sin x + B.cos xdont les dérivées sont

Y'(x) = A.cos x � B.sin xet Y''(x) = �A.sin x � B.cos xLeur introduction dans l'équation différentielle donne

(�A.sin x � B.cos x) + 2(A.cos x � B.sin x) + 3(A.sin x + B.cos x) = sin xLe regroupement des termes donne

sin x .(2.A �2.B) + cos x . (2.A + 2.B) = sin xd'où les équations d'identification

coeff de sin x 2.A � 2.B = 1coeff de cos x 2.A + 2.B = 0

dont la résolution fournit la solution particulière de l'équation complète

SPEA2M = Y(x) = sin x � cos x4

La solution générale de l'équation avec son second membre est obtenue commed'habitude en sommant la SGES2M et la SPEA2M que l'on vient d'obtenir

SGEA2M = e� x . ( A.cos x. 2 + B . sin x. 2 ) + sin x � cos x4


Résolution de y'' + y = ex . sin x

La solution générale de l'équation sans second membre estSGES2M = A.sin x + B.cos x

En utilisant la meta-règle, on peut poser que la forme a priori à adopter pour la solutionparticulière de l'équation avec second membre doit contenir le second membre et sesdérivées. La dérivée première du second membre

(ex . sin x)' = ex . sin x + ex . cos x

fait apparaître la fonction ex. cos x, qu'il faut donc prévoir d'inclure dans la forme a priori.La fonction semble complète avec les deux termes

Y(x) = A.ex . sin x + B.ex . cos xpuisque la dérivée de l'un fait apparaître l'autre. Les dérivées de cette fonction sont

Y'(x) = (A � B).ex . sin x + (A + B).ex . cos xY''(x) = �2.B.ex . sin x + 2.A.ex . cos x

L' introduction de Y(x) et Y''(x) dans l'équation donne

(A � 2.B) .ex. sin x + (2.A + B).ex. cos x = ex.sin xd'où les équations d'identification

coeff de ex. sin x 1 = A � 2.Bcoeff de ex. cos x 0 = 2.A + B

qui donnent

SPEA2M == Y(x) = ex sin x � 2.cos x5

La solution générale de l'équation avec second membre est donc

SGEA2M = A.sin x + B.cos x + ex sin x � 2.cos x5

Tentative de résolution de y'' � 2.y' + y = x.ex

L'équation caractéristique de l'équation sans second membre associée

r2 � 2.r + 1 = (r � 1)2 = 0admet la racine double

r = +1La solution générale de l'équation sans second membre est donc

SGES2M = (A.x + B) . ex

Le fait que cette solution générale contienne le terme x.ex va entraîner l'échec de laméthode par identification.

L'application de la règle pour la forme a priori de la solution particulière del'équation complète donne une forme identique à la SGES2M

(A.x + B) . ex

dont l'introduction dans l'équation complète conduit à l'impossibilité

0 = x.ex

Cette impossibilité signifie qu'il n'y a pas de solution particulière de l'équation complètede la forme prescrite. Ceci n'a rien d'étonnant puisque cette forme est justement celle dela solution de l'équation sans second membre.

Dans de tels cas on fera appel à la méthode de Lagrange qu'on trouvera ci-dessous appliquée à cet exemple.


Tentative de résolution de y'' + y = sin x

Pour la même raison que précédemment (second membre égal à une solutionde l'équation sans second membre) la forme a priori de la SPEA2M est inadéquate. Laforme

A.sinx + B.cos xdonne, portée dans l'équation, l'impossibilité

0 = sin xIci encore il est conseillé de passer à la méthode de Lagrange (voir ci-dessous).

6.4 - Méthode de Lagrange

Avec les équations du premier ordre, la méthode de Lagrange était surtout utiledans le cas des équations à coefficients quelconques, avec les équations du deuxièmeordre, où nous n'envisageons que les équations à coefficients constants, on aura moinsl'occasion d'avoir recours à cette méthode Comme elle n'est pas une simple extensionde la méthode du premier ordre nous la présentons en détail.

6.4.A - Principe

Le principe est assez voisin de ce que nous avons vu avec les équations dupremier ordre : remplacer les constantes arbitraires de la solution générale de l'équationavec second membre par des fonctions inconnues que l'on va chercher à déterminer. Onpose donc

y(x) = A(x).y1(x) + B(x).y2(x)

où y1(x) et y2(x) sont les solutions particulières de l'équation sans second membreobtenues par l'intermédiaire de l'équation caractéristique, A(x) et B(x) ces fonctionsinconnues.

Cette forme portée dans l'équation différentielle va fournir une équation portantsur A(x) et B(x), ou plus exactement sur leur dérivées.

Mais nous avons deux fonctions à déterminer et une seule équation ne sauraitsuffire. Il convient d'en rajouter une, celle qu'il est commode d'utiliser est

A'(x).y1 + B'(x).y2 = 0

que l'on appelle équation arbitraire de compatibilité.

6.4.B - Mise en oeuvre

L'équation de compatibilité intervient deux fois dans les calculs. Une premièrefois dans les calculs de dérivation qui surviennent quand on introduit laforme A(x).y1(x) + B(x).y2(x) dans l'équation différentielle. En effet

y'(x) = A(x).y'1 + B(x).y'2 + A'(x).y1 + B'(x).y2mais, à cause de l'équation de compatibilité, cette dérivée se simplifie en

y'(x) = A(x).y'1 + B(x).y'2et la dérivée seconde prend la forme

y''(x) = A(x).y''1 + B(x).y''2 + A'(x).y'1 + B'(x).y'2Cela, porté dans l'équation différentielle, donne

a.{ }A(x).y''1 + B(x).y''2 + A'(x).y'1 + B'(x).y'2 + b.{ }A(x).y'1 + B(x).y'2 + c{ }A(x).y1(x) + B(x).y2(x) = g(x)


Le regroupement des termes conduit àA(x) . { }ay''1 + by'1 + cy1 +

B(x) . { }ay''2 + by'2 + cy2 +

a. { }A'.y'1 + B'.y'2 = g(x)

où les deux premiers termes s'annulent puisque y1 et y2 sont des solutions particulièresde l'équation sans second membre. On voit disparaître les fonctions A(x) et B(x) au profitde leur dérivée, exactement comme avec les équations du premier ordre.

En définitive, en utilisant une nouvelle fois l'équation de compatibilité, onobtient le système d'équations

g(x)a = A'.y'1 + B'.y'2

0 = A'.y1 + B'.y2

Le déterminant de ce système n'est autre que le wronskien, qu'il est satisfaisant deretrouver ici car on peut assurer que le système a toujours la solution unique :

A'(x) = g(x)a .

y2y'1.y2 � y'2.y1 et B'(x) = g(x)

a . � y1

y'1.y2 � y'2.y1

L'intégration des deux seconds membres conduit aux formes cherchées pour A(x) etB(x). La multiplication de ces formes par les fonction y1(x) et y2(x) donne la solution del'équation complète.

6.4.C - Commentaires

On peut être gêné par le nom d' "équation arbitraire" de l'équation decompatibilité, elle n'est arbitraire que de parce que la formulation de l'équationdifférentielle ne la précise pas explicitement. Mais il est clair que la forme donnée à cetteéquation ne doit rien au hasard et qu'elle a été définie de façon à rendre le calcul dessolutions possible - et relativement commode.

On souligne, ici aussi, le rôle essentiel des constantes d'intégration dans lecalcul donnant A(x) et B(x) à partir des expressions de A'(x) et B'(x). En effet si on note,pour les faire apparaître,

A(x) = F(x) + K1 et B(x) = G(x) + K2la solution générale de l'équation complète est

y(x) = F(x).y1 + K1.y1 + G(x).y2 + K2.y2L'oubli de K1 et K2 serait catastrophique pour la qualité de la solution qui, limitée à

y(x) = F(x).y1 + G(x).y2et ne contenant pas les deux constantes arbitraires, ne serait qu'une solution particulièrede l'équation avec second membre (SPEA2M).

6.5 - Exemples

Résolution de y'' � 2.y' + y = x.ex

La solution générale de l'équation sans second membre est

SGES2M = (A.x + B) . ex

Il convient de mettre en évidence les solutions particulières de l'équation sans secondmembre qui la composent, c'est-à-dire ici


y1(x) = x.ex et y2(x) = ex

Les dérivées de ces fonctions sont

y'1(x) = (x + 1).ex et y'2(x) = ex

et leur wronskien

det

y'1 y'2

y1 y2 = det

(x + 1).ex ex

x.ex ex = e2.x

L'application de la méthode fait appel au système

A' y'1 + B' y'2 = g(x)a

A' y1 + B' y2 = 0

qui prend ici la forme

A' (x + 1).ex + B' ex = x.ex1

A' x.ex + B' ex = 0

La résolution de ce système conduit aux relations

A' = x et B'= �x2

de là on passe aux primitives évidentes

A = x22 + K1 et B = �x3

3 + K2

et la solution générale de l'équation avec son second membre est, simplification faite,

SGEA2M =

x3

6 + K1.x + K2 . ex

On y reconnaît la SGES2M, et par différence, la SPEA2M que nous n'avions pas suobtenir par identification

SPEA2M = x36

. ex

Résolution de y'' + y = sin x

La SGES2M est A.sin x + B.cos x, construite avec les solutions particulièressin x et cos x

On laisse au lecteur le soin de vérifier que le wronskien de ces fonctions est égal à 1. Lesystème permettant la variation des constantes s'écrit ici

A'.cos x � B'.sin x = sin xA'.sin x + B'.cos x = 0

d'où les expressions

A' = sin x.cos x et B' = � sin2 xdont les primitives sont

A = �14 cos(2x) + K1 et B = sin 2x

4 � x2 + K2

La solution de l'équation complète est donc

SGEA2M = �14 cos 2x . sin x + 14 sin 2x . cos x � x2 cos x + K1 . sin x + K2 . cos x

Comme souvent avec les fonctions trigonométriques, une écriture apparemmentcompliquée est susceptible de simplifications spectaculaires. Ici on remarque que


sin 2x . cos x � cos 2x . sin x = sin(2x � x) = sin xLa fonction s'écrit donc

SGEA2M = 14 sin x � x.cos x2 + K1 . sin x + K2.cos x

Mais on y trouve alors sin x en facteur de (K1 + 14 ) qui est une autre forme possiblepour une constante arbitraire. En définitive la solution s'écrit

SGEA2M = � x.cos x2 + K1 . sin x + K2 . cos x

où se trouve en évidence la SPEA2M = � x.cos x2 que la méthode par identification ne

nous avait pas permis de trouver.

7 - Quelques développementsLes éléments qui suivent sont à considérer comme des éléments de culture

générale. Ils diffèrent de ce qui précède tant par le niveau des calculs rencontrés que dupoint de vue adopté, l'intérêt portant maintenant moins sur la détermination d'une formealgébrique que sur la détermination de la valeur de la fonction. Pour une part ilsreviennent sur le nombre de constantes arbitraires de la solution générale, pour uneautre part ils donnent à grands traits des indications sur les résolutions approchées deséquations. Le dernier paragraphe est une simple mention de l'existence de modèlesdifférentiels.

7.1 - Sur les aspects théoriques

Non seulement la solution générale d'une équation différentielle d'ordre ndépend de n constantes arbitraires mais la réciproque est vraie, c'est-à-dire que toutefonction dont l'expression contient n constantes arbitraires est solution d'une équationdifférentielle d'ordre n. Les démonstrations dans le cas général demandent des moyensassez abstraits, nous allons ici nous limiter aux ordres un ou deux, cela devrait suffirepour en dégager le principe.

7.1.A - Une fonction dépendant de constantes arbitraires

Commençons par une fonction ne contenant qu'une constante. Par exemple, lafonction

y = C.xOn peut construire une relation de la forme F(x,y,C) identiquement nulle, ici cela donnetout simplement la relation

F(x,y,C) = y � C.x = 0On se convaincra que ce genre de modification de l'écriture est toujours possible et doncque si l'expression d'une fonction contient n constantes arbitraires

y = f(x,C1 , C2 , C3 ,...,Cn)

on peut trouver une relation identiquement nulleF(x,y,C1 , C2 , C3 , ..., Cn) = 0

C'est à l'aide de cette fonction F que l'on construit l'équation différentielle.Comme elle est constamment nulle, il en est de même de ses dérivées. En utilisant sesdérivées comme équations supplémentaires on peut éliminer les constantes de l'écriturede F, mais on y fait entrer les dérivées.

Reprenons notre exemple à une constante : F(x,y,C) étant identiquement nulle,on a aussi (identiquement)


ddx F(x,y,C) = dy

dx � C = 0

De là on tire que C = y' et en portant ce résultat dans F, il vienty � x.y' = 0

qui est l'équation différentielle vérifiée par la fonction y.Plus généralement, on éliminera les constantes à l'aide des dérivées

successives de F. Il faudra autant de dérivées que de constantes. Mais la dérivéepremière de F contient y', la dérivée seconde y' et y'', etc. Cette dépendance n'est pastrès facile à mettre en évidence. Par exemple, pour la dérivée première, on obtientl'équation

dFdx = .F

.x + .F.y . y' = 0

qui montre l'intervention de la dérivée y'. Annuler la dérivée seconde conduit à la relation

d2Fdx2 = .

2F.x2 + 2. .2F

.x.y . y' + .2F

.y2 . y'2 + .F.y . y'' = 0

qui met en jeu les dérivées y' et y''.Les n constantes seront donc remplacées par des expressions contenant les n

dérivées. On aboutit ainsi à une équation différentielle d'ordre n.

7.1.B - Une équation différentielle

On va se limiter ici à une équation du premier ordre. La méthode d'étude portele nom de méthode d'Euler-Cauchy, elle est constructive, c'est-à-dire que ladémonstration consiste à montrer comment on peut obtenir les valeurs de la fonctionsolution.

Toute équation différentielle du premier ordre peut se mettre sous la formey' = f(x,y)

Pour calculer explicitement la valeur de sa solution, au moins de façon approximative, enun point x on peut procéder comme suit :- on fait d'abord intervenir la condition initiale

y(0) = y0- puis grâce à l'équation on calcule la dérivée de y(x) en 0

y'(0) = f(0,y0)

- à l'aide du développement limité au terme d'ordre uny(h) ♠ y(0) + h.y'(0)

et des deux valeurs précédentes, on passe à la valeur de y en un point voisin parl'approximation

y(h) ♠ y(0) + h.f(0,y0)

- ce procédé se répète pour obtenir la valeur de y en x = 2.h avecy(2.h) ♠ y(h) + h.y'(h) ♠ y(h) + h.f(h,y(h))

- on poursuit, jusqu'à obtenir la valeur au point x désiré, par la relation de récurrence quise déduit, au moins intuitivement, de ce qui précède

y( )(k+1).h = y(k.h) + h.f( )h , y(k.h) Dans cette construction on aura noté la nécessité d'une valeur de départ, elle

est la constante arbitraire dont dépend la solution.Le procédé s'étend à des ordres quelconques. Si on dispose d'une équation du

deuxième ordre, on la met d'abord sous la formey'' = f(x,y,y')


Avec les conditions initialesy(0) = y0 et y'(0) = y'0

on peut calculer la dérivée seconde en x = 0y''(0) = f(0,y0,y'0)

et, avec le développement limité, approcher les valeurs de y(h) et de y'(h)

y(h) ♠ y(0) + h . y'0 + h2

2 . f(0,y0,y'0)

y'(h) ♠ y'0 + h . f(0,y0,y'0)

Dans ce calcul on voit intervenir les deux valeurs y0 et y'0 qui sont les représentantes deconstantes arbitraires. On admettra que ces résultats s'étendent à l'ordre n.

Nous laisserons sans réponse la question de savoir si l'approximation tendvers la valeur exacte quand le pas h tend vers zéro. Il a été montré que pour desfonctions f(x,y,y',...) suffisamment "régulières", il faut entendre ne variant pas tropbrusquement, le procédé converge effectivement vers la valeur théorique exacte de lasolution.

7.2 - Sur les méthodes de résolution numérique

Le procédé constructif d'Euler-Cauchy, appelé parfois méthode du polygone,est un procédé effectif de calcul. Mais si, sous les conditions de régularité déjàmentionnées, la convergence est sûre, elle peut d'une part être très lente et d'autre partêtre gravement perturbée par les inévitables erreurs d'arrondi. On a donc cherché àaccélérer la convergence et à améliorer la stabilité (sensibilité aux arrondis) du procédé.

Parmi les méthodes proposées pour cette amélioration, les plus utilisées sontsans doute des méthodes qu'on regroupe sous l'appellation de méthodes de Runge-Kutta du nom des promoteurs de leur première version.

7.2.A - Principe des méthodes - Etude de l'ordre deux

Ces méthodes sont une extension astucieuse de la méthode d'Euler-Cauchy.On suppose la fonction connue en un point x0, il s'agit par exemple de la

condition initiale. Le problème posé est celui de l'évaluation de y(x0 + h). Avec laméthode d'Euler-Cauchy nous avons utilisé le développement limité au premier ordre.Poussons le développement un cran plus loin

y(x0 + h) = y(x0) + h.y'(x0) + h2

2 . y''(x0)

Chacun de ces termes peut être évalué, les deux premiers ne posent aucun problème :y(x0) = y0 est connu par hypothèse et y'(x0) est calculable, comme précédemment, parl'intermédiaire de l'équation différentielle

y'(x0) = f(x0,y0)

La dérivée seconde peut être obtenue comme dérivée de la dérivée première, cettevérité évidente donne une formule qui l'est un peu moins

y''(x) = dy'dx = df(x,y)

dx = .f(x,y).x + .f(x,y)

.y . dy

dx

Comme il nous faut l'évaluer y'' en x0, en posant y'0 = f(x0,y0) = f0 , on obtientl'approximation

y''(x0) ♠ .f0.x +

.f0.y

. f0

et, pour la variation k = y(x0 + h) � y(x0), on peut poser


k = y(x0 + h) � y(x0) = h.f0 + h2

2 .

.f0

.x + .f0.y

. f0

Nous allons maintenant chercher une autre approximation de k.Avec la méthode d'Euler-Cauchy nous avions fait une approximation de cet

accroissement k par la quantitéK1 = h . f(x0,y0) = h . f0

Quelle pourrait être l'approximation si nous nous rapprochions de x0+ h , en nousplaçant en un point intermédiaire x0 + α.h par exemple? On aurait une formule dumême genre

K = h . f(x0+α.h, y)

La valeur de y est indéterminée, mais on peut en faire une approximation par unequantité telle que

y0 + β.K1qui met en jeu une fraction β de l'accroissement K1 . Les deux paramètres α et β sontpour l'instant indéterminés, mais on peut écrire une deuxième approximation del'accroissement y(x0+h) � y(x0)

K2 = h . f( x0 + α.h , y0 + β.K1 )

L'idée suivante est de tenter d'améliorer les deux approximations K1 et K2 enles combinant, c'est-à-dire à poser

k ♠ µ1 . K1 + µ2 . K2avec deux paramètres supplémentaires indéterminés µ1 et µ2 .

Avant de passer à la détermination des quatre paramètres indéterminés α, β,µ1 et µ2 qui sont apparus en cours de calcul, on va trouver une approximation de K2 enfonction de quantités connues. En développant f comme une fonction de plusieursvariables, on a

K2 ♠ h . f(x0,y0) + α.h2 . .f(x0,y0)

.x + h . β.K1 . .f(x0,y0).y

ou encore, en condensant les notations et en remplaçant K1 par son expression

K2 ♠ h . f0 + α . h2 . .f0.x + β . h2 . f0 .

.f0.y

La combinaison de K1 et K2 pour l'approximation de k donne alors la deuxièmeapproximation

k ♠ (µ1 + µ2) . h . f0 + µ2 . α . h2 . .f0.x + µ2 . β . h2 . f0 .

.f0.y

et l'identification de cette formule avec la première approximation de k donne le systèmeµ1 + µ2 = 1µ2 . α = 1/2µ2 . β = 1/2

de trois équations à quatre inconnues. Il nous reste un choix arbitraire à effectuer, il enest deux qui sont assez fréquents.

Choix µ1 = µ2 = 1/2

Ce choix fixe les valeurs de α et β à 1 . On a alors les formulesK1 = h . f(x0,y0)

K2 = h . f( x0+h , y0+K1)


et pour la valeur de y(x0+h)

y(x0+h) = y(x0) + K1 + K2

2

Choix µ1 = 0 et µ2 = 1

Ce choix fixe les valeurs α et β à 1/2 . On a alors les formulesK1 = h . f(x0,y0)

K2 = h . f( x0+ h2 , y0+ K12 )

et pour la valeur de y(x0+h)

y(x0+h) = y(x0) + K2

7.2.B - Formules de Runge et de Kutta

Les formules précédentes n'ont pas encore une précision suffisante pourcertaines applications, les utilisateurs pensent, en majorité, que les formules quiréalisent le meilleur compromis simplicité/précision sont les formules d'ordre 4, c'est-à-dire qui exploitent les développements limités jusqu'au 4° ordre. On les trouvera sansdémonstration ci-dessous (les calculs sont passablement longs).

Formules de Runge

K1 = h . f( x0 , y0 )

K2 = h . f( x0 + h2 , y0 + K12 )

K3 = h . f( x0 + h2 , y0 + K22 )

K4 = h . f( x0 + h , y0 + K3 )

y(x0+h) = y(x0) + K1 + 2.K1 + 2.K1 + K1

6

Formules de Kutta

K1 = h . f( x0 , y0 )

K2 = h . f( x0 + h3 , y0 + K13 )

K3 = h . f( x0 + 2.h3 , y0 �

K13 + K2 )

K4 = h . f( x0 + h , y0 + K1 � K2 + K3 )

y(x0+h) = y(x0) + K1 + 3.K1 + 3.K1 + K1

8


7.3 - Sur l'utilisation des équations différentielles

Dans ce qui précède on a surtout fait porter notre attention sur la résolution deséquations différentielles, mais ceci n'est en général que la partie finale d'une élaboration,il a fallu au préalable établir ces équations différentielles.

C'est une généralisation acceptable de dire que toutes les sciences exactesprocèdent par formulation de leurs lois au moyen d'équations différentielles. Il existedeux démarches:- ou bien on fait référence à un corps de règles déjà mises sous forme différentielle, c'estpar exemple le cas en Mécanique avec les lois de Newton ou en Electromagnétismeavec les lois de Maxwell. Dans ce cas l'utilisateur doit choisir les quantités entrant dansles équations mais, en principe, pas la forme des équations elles-mêmes.- ou bien on établit les équations différentielles en totalité pour décrire un phénomène.Cette démarche est très fréquente dans le domaine bio-médical où l'on sait assez bienraisonner sur des phénomènes microscopiques mais où les phénomènesmacroscopiques échappent à une rationalisation complète. Le talent de l'utilisateur serade séparer les parties influentes des éléments secondaires pour établir une théoriedifférentielle ad hoc.

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Equations-Differentielle-Ordinaires