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francesco-dulio
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7/27/2019 Equazioni Meccanica dei Fluidi
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Sommario
Variabilifluidodinamiche.............................................................................................................1Densit(Unitdimisura:Kgm3).......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..1Pressionediunfluido(Unitdimisura: bar = 100000Pa = 0.9869atm = 10N/cm2).......... .......... .......... 2VolumeV(Unitdimisura:dm3 = 1l = 0,001m3).......... .......... .......... .......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ....2Lavorodellepressioni(Unitdimisura: J)............................................................................................................................2
Viscosit............................................................................................................................................................................................2Portata(Unitdimisura:m3s = 1000ls).......... .......... .......... .......... .......... .......... ......... .......... .......... .......... .......... .......... ....2Forze......................................................................................................................................................................................................2ForzedivolumeproporzionaliadV.........................................................................................................................................2 Forzedisuperficieproporzionalia dS....................................................................................................................................2 Forzadiattritointerno..................................................................................................................................................................2 Forzadiresistenza(velocitlimite)........................................................................................................................................2 Portanza...............................................................................................................................................................................................2
Equilibrio.....................................................................................................................................3Equilibriostaticodiunfluido.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 3Equilibrioinpresenzadellaforzapeso......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..3
Fluidoinrotazione.......................................................................................................................3 Inunsistemadiriferimentorotanteconilliquido(noninerziale)...................................................................3 Inunsistemadiriferimentoinerziale.............................................................................................................................4
Effettidinamici............................................................................................................................4RiconsiderazionedellaleggediLeonardoedelteoremadiBernoulli......................................................................4 Correntefluidainuncondottocurvo.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....4Conservazionedelmomentoangolareevortici..................................................................................................................4
Motolaminare...................................................................................................................................................................................5Motovorticoso..................................................................................................................................................................................5
Fenomeni....................................................................................................................................6 Disuperficie................................................................................................................................................................................6Superficieliberanonpiana..........................................................................................................................................................6
Dicoesioneediadesione......................................................................................................................................................6 Dicapillarit...............................................................................................................................................................................6
Leggi............................................................................................................................................7LeggediStevino(pressioneinpresenzadellaforzapeso).............................................................................................7 PrincipiodiArchimede(spintaforzadensit).............................................................................................................7 TeoremadiBernoulli(relazionefondamentale)................................................................................................................7 TeoremadiTorricelli(efflusso)......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......7LeggediHagen-Poiseuille(portata)........................................................................................................................................8 LeggediStokes(forzadiresistenza).......................................................................................................................................8
Esempi........................................................................................................................................9TubodiVenturi..................................................................................................................................................................................9 Paradossoidrostatico.....................................................................................................................................................................9 EffettoMagnus......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 9
Costantiesimboli........................................................................................................................9Coefficientidi = -VVp =modulocompressibilitisoterma................................................................................9 Coefficientidi = dWdS = dFds =tensionesuperficiale..........................................................................................10
Variabilifluidodinamiche
Densit(Unitdimisura: )
=
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Pressionediunfluido(Unitdimisura: = = . = /) =
VolumeV(Unitdimisura: = = ,) =
Unavariazionedivolumenecomportaunadidensit;percentualmentelevariazionisonougualiinmodulomadisegnoopposto.
Lavorodellepressioni(Unitdimisura:)
=
= = =lavoroneifenomenidisuperficie
=!
!!
!=lavoropercompressioneuniformeisoterma
=
=
=tensionesuperficiale
=
=modulocompressibilitisoterma
Viscosit
Dipendedalfluido.Neiliquididecresceallaumentaredellatemperatura.Neigascresceallaumentaredellatemperatura.
Portata(Unitdimisura: = )Volumedifluidochepassatoattraversoinunsecondo.
= =
!
=mediaspaziale(enontemporale)dellevelocit
Forze
Forzedivolumeproporzionalia
! = = = = =forzapeso
Forzedisuperficieproporzionalia
! = = =
Forzadiattritointerno
=
Forzadiresistenza(velocitlimite)
!"#=
1
2
!
Lavelocitlimitediunasferachecadeinunfluido:
!"# =
2
9!"#$%
!!"#$% !"#$%&
!"#$%&
Portanza
Laformadellealisceltainmodotaledacausareunadissimmetrianellelineedicorrente.Lariapivelocerispettoallalanellapartesuperiorechenellaparteinferioreequindilapressioneminoresoprarispettoasotto.Nerisultaunaspintaversolalto:
= 2
=variazionedelmodulodellavelocitindirezioneortogonalea
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=coefficienteadimensionaledipendentesolodallaformadelcorpo =superficiealare
Equilibrio
Equilibriostaticodiunfluido
Inunfluidoinquietetuttiglielementihannoaccelerazioneevelocitnulla,inunsistemadiriferimentoinerziale.
! + ! = 0Lacondizionediequilibrio:
=
!
= !
=
!
= = Selaforzadivolumeconservativa:
=!,!
= = !,! = |!,!|
Ilgradientedellapressionehalastessadirezioneeversooppostodelgradientedellenergiapotenzialeperunitdimassa.Unasuperficieequipotenzialeeisobaricaesudiessaladensitcostante. =componentedellaforzalungolasse
, =energiapotenzialeperunitdimassa
Equilibrioinpresenzadellaforzapeso
Seladensitcostante: =
PrincipiodiPascal:ognicambiamentodellapressioneesternadluogoaunugualevariazionedipressioneinterna.
Fluidoinrotazione
Inunsistemadiriferimentorotanteconilliquido(noninerziale)Ognielementoinequilibriostaticosottolazionedelleforzedivolumee!edalleforzedipressionedovuteaglielementidiliquidocircostanti.
Lenergiapotenzialeperunitdimassadelleforzedivolume:!,! = !
!!!+ !
Lasuperficieliberadelliquido: !
!!!+
!= = = !,!(0,0,)
Lequazionedelparaboloidedirotazione:
= +!
2!= +
!
2(! + !)
Ilvolumetotalesottoilparaboloide:
= ! +
!!
4
Laltezzadelliquidorispettoalfondodelrecipiente:
= !!
4
Lavelocitangolaremassima:
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!"#
=
4
!
InunsistemadiriferimentoinerzialeLaforzaagentesuognielementodiliquidoinrotazionelarisultantedellaforzadivolume(forzapeso)edelleforzedisuperficieedeveesserecentripeta(dovutaallavariazionedipressione):
= !Lungoladirezioneverticale,leforzeagentisonoinequilibrio:
=
Laforzaradiale,nonnulla,dipendedalledifferenzedipressione:
=
Perci:
=
!
Lafunzione(, ):
, = +1
2
!!+
Lequazionedelparaboloidedirotazione:
= +!
2!
=versoredelladirezioneradiale,orientataversolesterno =altezzadelliquidoinquiete = + =pressionesulfondodelrecipienteesullassedirotazione
Effettidinamici
RiconsiderazionedellaleggediLeonardoedelteoremadiBernoulli Selasezionecostanteeilcondottoorizzontalerettilineo,lavelocitcostantein
modulo,direzioneeverso,perchlapressionecostanteenoncisonoforzerisultanti,verificandoilprincipiodinerzia.
Seilmotoavvienelungouncondottoinclinato,lapressionenonpuesserecostanteperchleforzedipressionedevonocontrastarelazionedellaforzapeso.
Correntefluidainuncondottocurvo
Perrealizzareilmotocurvilineodeveessereapplicataalfluidounaforzacentripetaesercitatadalcondotto.Allinternodelfluidolazionedellaforzacentripetaavvieneattraversounavariazioneradialedipressione,checresceversolesterno,cioversolaparetedelcondotto
pilontanadalcentrodicurvatura.
Conservazionedelmomentoangolareevortici
Seilliquidoidealeleunicheforzeagentisonoleforzedipressioneradialieaforzapesoverticale,chehannomomentonullorispettoallasseverticale,percuinelmotodiunelementodiliquidosiconservailmomentoangolarechevale = .Lavelocitlineare:
=
!"!"
Lavelocitangolare:
=
=
!"!"
!
!
Aumentanoentrambemanmanochecisiavvicinaallasse.Lequazionedellasuperficieliberadelvortice:
= !2=
!"
!!"
!
2!
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Motolaminare
Velocitnonelevata;regimestazionario;lineedicorrentecostantineltempoechenonsiintersecanomai.Ilfluidoacontattoconleparetidelcondottofermo.Lavelocitmassimasullassedelcondotto.
=
4(! !)
!"#
=
!
4
=
!
8
=
!!
!=
!=
!
8
=
8
!!
Nelregimelaminarelaportata,lavelocitmediaelavelocitdeisingolistraticilindricisono
direttamenteproporzionalialgradientedipressione!
!.
=raggiodellostratocilindrico,distanzadallasse
=raggiodelcondotto=velocitmedia
Motovorticoso
Oltreunvalorecriticodivelocitperraggimaggioridiquellicapillarioltreilqualecompaionomotivorticosi.SihalatransizionedaregimelaminareavorticosoquandoilnumerodiReynolds:
=
: > 1200.Lavelocitcritica:
!= 1200
Per < !:
=
!
8
=
!!
Per !:
o Aparitdidifferenzadipressione:sihaunanotevolediminuzionediportata,motoinstabile;
o Aumentandoladifferenzadipressione:siraggiungedinuovounflussostabileinregimovorticosocon:
=
!
2
Inregimevorticosoilgradientedipressione!
!necessariopermantenereunacertavelocitdi
efflussofunzionequadraticadellavelocit,invecechelinearecomenelregimelaminare.
=coefficientediresistenza =raggiodelcondotto
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Fenomeni
DisuperficieNeiliquidi,alivellomicroscopico,lemolecolerisentonodiforzediorigineelettricachedipendonofortementedalladistanzaintermolecolare.
o Perdistanzeinferioriaduncertovalorechiamatocortoraggiolaforzarepulsivaecrescemoltorapidamentealdiminuiredi.
o Perdistanzemaggioriaduncertovalorechiamatocortoraggiolaforzadiventaattrattivaedecresceinmoduloconladistanza,conunandamentopilento.lasituazionepicomune.
o Perunamolecolainprossimitdellasuperficieliberasirisentediunaforzadirettaversolinternodelliquido.
Laumentodellasuperficieliberadiunliquidononpuavvenirespontaneamente;bisognacompierelavoroperportareunamolecoladallinternodelliquidoallasuperficie:
= Lasuperficieliberadiunliquidotendeacontrarsi,assumendolestensioneminimapossibile,compatibilmenteconleforzeesterneagentielecondizioniincuiilliquidostessositrova.Sesiseparaconuntagliolasuperficie,lungoiltaglioagisconodueforze:
=
=
=
=tensionesuperficiale
Superficieliberanonpiana
Condizionediequilibrio:
=4
= ! ! ! = > !! = < !
o Nelcasodiunasuperficiesferica;leccessodipressionechecnellaparteinternarispettoaquellaesternaacausadellacurvatura:
!=
2
=raggiodellasuperficie
DicoesioneediadesioneSiparladiforzedicoesionecheessendodebolmenteattivateriesconoatenerelegatelemolecole,manonriesconoamantenerleinposizionefissa.direttaversolinternodelliquido.Laforzadicoesionesempredirettalungolabisettricedellangolodicontatto.Lamassadiliquidodellostratosuperficialeinprossimitdellaparete,oltreallaforzadicoesione,risenteanchedelleforzediadesione,cioleforzetralemolecoledelsolidoedelliquido.direttaversoilsolido.Laforzadiadesionesempreortogonaleallaparete.
o Ladesionepredominasullacoesione:lasuperficieliberaacontattoconlapareteincurvataversolaltoesidicecheilliquidobagnalaparete.Angolodicontattoacuto.
!"#$
< !"#$ 2o Lacoesionepredominasulladesione:lasuperficieliberaacontattoconlaparete
incurvataversoilbassoesidicecheilliquidononbagnalaparete.Angolodicontattoottuso.
!!"#
> !"#$ 2
DicapillaritPostaunacondizionedivasicomunicanti.Illivellodellasuperficieliberadelliquidonelcapillare,rispettoalquellodelrestodelrecipiente,:
o Maggioreseilliquidobagnalepareti,meniscoconvesso.o Minoreseilliquidononbagnalepareti,meniscoconcavo.
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Cidovutoalfattochelasuperficiedelcapillaresipuapprossimareadunasuperficiesferica.Ildislivellodovutoalfenomenodicapillarit:
=2 cos
Seilliquidobagnatotalmenteilcapillare, = 0,valelaleggediJurin:
=2
=
angolodicontatto
!=
Leggi
LeggediStevino(pressioneinpresenzadellaforzapeso)
= ! +
=
=
PrincipiodiArchimede(spintaforzadensit)! = !
Uncorpoimmersoinunfluidoriceveunaspintaversolaltopariallaforzapesodelvolumedifluidospostato.Permisurareladensitdelfluido:
!"#$%& = !"#$%"
!"#$%&
!"#$%"
= !"#$%"
!"#$%&
!"#$%"
TeoremadiBernoulli(relazionefondamentale)
+1
2
!+ =
Inunfluidoidealeinmotoconregimestazionariolasommadellapressione,delladensitdienergiacineticaperunitdivolumeedelladensitdienergiapotenzialeperunitdivolumecostantelungoqualsiasitubodiflusso.Seilcondottoorizzontale:
+1
2
!=
Quandocambialasezionecambianoanchepressioneevelocit:
! > !! < !! > !
! < !! > !! < !
TeoremadiTorricelli(efflusso)
Lavelocitdiefflussonondipendendalladensitndallapressionesulfluidoedpariaquellacheavrebbeseilliquidoscendesseincadutaliberadallaltezza.
= 2
= = 2
=
portata = 2 =massaeffluitaalsecondo = =massatotale
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=
2
=
Quandocisonoduefluidiacontatto,lavelocitdiefflussodiquellopivicinoalforo: = ! + !! =pressionesullasuperficiediseparazione = 0 =velocitsullasuperficiediseparazione
=
2
!
!! + !!
LeggediHagen-Poiseuille(portata)
=
!
8
Sempreverificatasecisitrovacontubicapillari. =raggiodelcapillare
LeggediStokes(forzadiresistenza)
!"#= 6
Validapersfereconpiccolavelocit. =
raggiodellasfera
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Esempi
TubodiVenturi
!!=
2
!!
!
!
!
!
Paradossoidrostatico
+1
2
!= !"# < !"#
=pressionedellariachesimuoveavelocit.
EffettoMagnus
Uncorpoinrotazioneinunfluidotrascinaconslostratodifluidoimmediatamenteacontattoconesso,equest'ultimo,asuavolta,trascinaconslostratoattiguo:attornoalcorporotantesiformanocosstratidifluidorotantisucirconferenzeconcentriche.Seilcorpohaunmotoditraslazionerettilinea
(versosinistranell'immagineinalto)comesevenisseinvestitodaunacorrentedifluidochesimuoveindirezioneoppostaaquelladelcorpo(nelnostrocasoquindiversodestra).Seilmotopuramenteditraslazionerettilinealelineedicorrentesarannougualmentespaziatetralorointornoalcorpo.Nelmomentoincuiilcorpodotatodimotosiarotatoriochetraslatorio,lavelocitdelfluidoaumentasuperiormenteoinferiormentealcorpoasecondadelversodirotazionedelcorpo,proprioperiltrascinamentodelfluidoattornoalcorpostesso(levelocitdeglistratidifluidoinrotazioneamplificanoilmotodellacorrentedovutoallatraslazioneinversoconcordeaquest'ultimaediminuisconolavelocitnellazonaincuiiversisonoinvecediscordi).
Costantiesimboli
=variazionedelmodulodellavelocitindirezioneortogonalea
, =energiapotenzialeperunitdimassa
=componentedellaforzalungolasse
!=
=mediaspaziale(enontemporale)dellevelocit
=velocitmedia
=superficiealare
=
coefficienteadimensionaledipendentesolodallaformadelcorpo =altezzadelliquidoinquiete =coefficientediresistenza = + =pressionesulfondodelrecipienteesullassedirotazione =raggiodelcondotto =raggiodellostratocilindrico,distanzadallasse =versoredelladirezioneradiale,orientataversolesterno =angolodicontatto
=
=modulocompressibilitisoterma
=
=
=tensionesuperficiale
Coefficientidi =
=modulocompressibilitisoterma
Acciaio 160GPaAcqua 2,2GPaAria 0,142MPa
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Diamante 442GPaEliosolido 50MPaVetro 35-55GPa
Coefficientidi =
=
=tensionesuperficiale
Superficiedicontattotraliquidoegas
acqua-aria 0.073alcooletilico-aria 0.022
etereetilico-aria 0.016mercurio-vuoto 0.435Superficiedicontattotraliquidoeliquido
mercurio-acqua 0.418mercurio-oliodioliva 0.335acqua-oliodioliva 0.020alcooletilico-oliodioliva 0.0023