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fernandoabel01
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,m,m,m
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A Terra exerce uma força sobre cada um dos pontos materiais que
formam um corpo. Todas essas pequenas forças podem ser substituídas
por uma única força equivalente (P) sobre o corpo aplicada num ponto G
(no centro de gravidade do corpo) chamado de baricentro.
Introdução
As forças exercidas pela Terra sobre a placa são denominadas ∆P, e estão
orientadas para o centro da Terra.
Introdução
Se aumentarmos o número de elementos em que a placa é dividida e
diminuirmos simultaneamente o tamanho de cada elemento, teremos no
limite as seguintes expressões que definem o peso P e as coordenadas
do baricentro.
dPyPydPxPxdPP
Podemos observar que para se encontrar as coordenadas do baricentro G de um
arame ou cabo , o baricentro G geralmente não estará sobre o arame se ele não
for reto.
Introdução
Centróide de placas e curvas
No caso de superfícies homogêneas de espessura
uniforme, o módulo ∆P do peso de um elemento de placa
pode ser expresso como:
Onde:
= peso específico no material (peso por volume)
t = espessura da superfície
∆A = área do elemento
AtP
Placa homogênea
Podemos definir o módulo P do peso da placa inteira como:
Onde A é a área total da placa.
AtP
Centróide de placas e curvas
Para calcular as coordenadas 𝑥 e 𝑦 do centróide de uma superfície por tanto
temos:
𝑥 =1
𝐴 𝑥𝑑𝐴 𝑦 =
1
𝐴 𝑦𝑑𝐴
Se aumentarmos o número de elementos em que a placa homogênea é dividida e
diminuirmos simultaneamente o tamanho de cada elemento, teremos no limite as
seguintes expressões que definem as coordenadas 𝑥 e 𝑦 por integral.
dAyAyedAxAx
O ponto G definido pelas coordenadas 𝑥 e 𝑦 é conhecido como Centróide C da
superfície A.
Centróide de placas e curvas
No caso de um arame homogêneo de seção
transversal uniforme, o módulo ∆P de um elemento do
arame pode ser expresso como:
Onde:
= peso específico no material (peso por volume)
a = área da sessão transversal do arame
∆L = comprimento do elemento
LaP
𝑥 =1
𝐿 𝑥𝑑𝐿 𝑦 =
1
𝐿 𝑦𝑑𝐿
Centróide de placas e curvas
Para calcular as coordenadas 𝑥 e 𝑦 do centróide de um arame homogêneo temos:
Podemos definir o módulo P do peso do arame inteira como:
Onde L é o comprimento total do arame.
LtP
dLyLyedLxLx
O ponto G definido pelas coordenadas 𝑥 e 𝑦 é conhecido como centróide C da
superfície delimitada pelo arame.
Momentos de primeira ordem (Q)
O cálculo de momento de primeira ordem é útil para se calcular as forças cortantes
devido a carregamentos transversais em elementos de máquina, e sua
determinação é simples:
A integral é conhecida como momento de primeira ordem da superfície A em
relação ao eixo y , representada por Qy
A integral é conhecida como momento de primeira ordem da superfície A em
relação ao eixo x, representada por Qx.
Assim, teremos:
xdA
ydA
ydAQxexdAQy
Comparando essa equação com podemos chegar na
equação do momento de primeira ordem em função da área.
AyQxeAxQy
Observação: o momento de primeira ordem estático pode ser negativo dependendo
do quadrante em que se encontra.
dAyAyedAxAx
Portanto podemos calcular as coordenadas 𝑥 e 𝑦 como:
𝑥 =𝑄𝑦
𝐴 𝑦 =
𝑄𝑥
𝐴
Momentos de primeira ordem (Q)
Centróide de uma superfície
Livro: BEER, Ferdinand P.;
JOHNSTON JR., E. Russell.
Mecânica vetorial para
engenheiros. São Paulo:
Makron Books, 2006. 5ª
edição, página 295.
Tabela de centróides
Centróide de placas compostas
Em muitos casos, uma placa ou superfície não tem o formato comum
como mostrado na tabela de baricentros, Neste caso, uma placa pode
ser dividida em retângulos ou triângulos.
nn
nn
PyPyPyPnPPY
PxPxPxPnPPX
...)...21(
...)...21(
2211
2211
Centróide de placas compostas
Centróide de placas compostas
Determine as coordenadas do centróide para a superfície plana e
homogênea abaixo (Exercício Resolvido 5.1 da página 299 do livro BEER,
Ferdinand P.; JOHNSTON JR., E. Russell. Mecânica vetorial para
engenheiros. São Paulo: Makron Books, 2006. 5ª edição.). :
Exemplo 1
Centróide de placas compostas
Dividir a figura em partes geometricamente conhecidas e tabeladas
Exemplo 1
Centróide de placas compostas
Calcular a área de cada figura e completar a tabela com as coordenadas x e y
utilizando a tabela de baricentros.
Exemplo 1
Centróide de placas compostas Determinação do centróide por integração
Exemplo 1
Exercícios da página 304 do livro BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR., E.
Russell. Mecânica vetorial para engenheiros. São Paulo: Makron Books, 2006. 5ª
edição.
Centróide de placas compostas
Exemplo 1
Centróide de placas compostas
Exemplo 2
O triângulo da figura é feito de um arame fino e homogêneo. Determinar seu
baricentro (Exercício Resolvido 5.2 da página 301 do livro BEER, Ferdinand P.;
JOHNSTON JR., E. Russell. Mecânica vetorial para engenheiros. São Paulo: Makron
Books, 2006. 5ª edição.).
65 cm
60 cm
C
A B
Centróide de placas compostas
Exemplo 2
Segmento L,cm 𝒙 ,cm 𝒚 ,cm 𝒙 𝐋, 𝒄𝒎𝟐 𝒙 𝐋, 𝒄𝒎𝟐
AB BC CA
60 65 25
30 30 0
0 12,5 12,5
1,8 x 103 1,95 x 103
0
0 0,81 x 103 0,31 x 103
ΣL= 150 Σ𝑥 𝐿 = 3,75 x 103 Σ𝑦 𝐿 = 1,12 x 103
25 cm
60 cm
y
x
30 cm
12,5 cm
C
A B
Centróide de placas compostas
Exemplo 2
𝑋 𝐿 = 𝑥 𝐿 𝑋 150 𝑐𝑚 = 3,75 𝑥 103𝑐𝑚2
𝑌 𝐿 = 𝑦 𝐿 𝑌 150 𝑐𝑚 = 1,12𝑥 103𝑐𝑚2
𝑋 =3,75 𝑥 103𝑐𝑚2
150 𝑐𝑚= 25,0 cm
𝑌 =1,12 𝑥 103𝑐𝑚2
150 𝑐𝑚= 7,5 cm
Determinação do centróide por integração
y
dx x
x
y
Exemplo 1
Determinação do centróide por integração
Determine as coordenadas do centróide para a superfície plana e homogênea
abaixo:
x
30 cm
40 cm
y
Primeiramente temos que determinar 𝑥 𝑒𝑙 , 𝑦 𝑒𝑙 e dA. Optando por efetuar a
integração na direção x. Os valores de 𝑥 𝑒𝑙 , 𝑦 𝑒𝑙 e dA são:
Exemplo 1
Determinação do centróide por integração
𝑥 𝑒𝑙 = 𝑥 𝑦 𝑒𝑙 =𝑦
2 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥
x
30 cm
40 cm
y Observe que a y possui uma
dependência linear com x,
assim:
𝑦 =30
40𝑥 =0,75x
y = 0,75x
Exemplo 1
Determinação do centróide por integração
Calculando a área abaixo da reta:
𝑄𝑦 = 𝑥𝑒𝑙𝑑𝐴 = 𝑥𝑦𝑑𝑥 = 0,75𝑥2𝑑𝑥 =0,75𝑥3
3
40
0
40
0
40
0=
0,75 (40)3
3= 16000 𝑐𝑚3
Calculando os momentos de primeira ordem Qx e Qy:
𝐴 = 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥 = 0,75𝑥𝑑𝑥 =0,75𝑥2
2
40
0
40
0
40
0=
0,75 (40)2
2= 600𝑐𝑚2
𝑄𝑥 = 𝑦𝑒𝑙𝑑𝐴 = 𝑦
2𝑦𝑑𝑥 =
𝑦2
2𝑑𝑥 =
(0,75𝑥)2
2𝑑𝑥
40
0
40
0
40
0
𝑄𝑥 =0,752
2 𝑥2𝑑𝑥 =
0,752
2
𝑥3
3
40
0
40
0=
0,75 (40)3
6= 6000 𝑐𝑚3
Calculando as coordenadas 𝑥 𝑒 𝑦 :
Exemplo 1
Determinação do centróide por integração
𝑥 =𝑄𝑦
𝐴=
16000
600= 26,6 cm 𝑦 =
𝑄𝑥
𝐴=
6000
600= 10,0 cm
x
30 cm
40 cm
y
26,6 cm
10 cm
Centróide
x
b
a
y
𝑦 = 𝑘𝑥2
Determinar por integração direta , o centróide da superfície sob a parábola
(Exercício Resolvido 5.4 da página 314 do livro BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON
JR., E. Russell. Mecânica vetorial para engenheiros. São Paulo: Makron Books,
2006. 5ª edição).
Exemplo 2
Determinação do centróide por integração
Nesse caso primeiro determinamos a constante k. Para isso observamos que y = b
quando x = a. Substituindo na função obtemos 𝑘 = 𝑏/𝑎2.
Exemplo 2
Determinação do centróide por integração
Optando por efetuar a integração na direção x. Os valores de 𝑥 𝑒𝑙 , 𝑦 𝑒𝑙 , dA e da
função são:
𝑥 𝑒𝑙 = 𝑥 𝑦 𝑒𝑙 =𝑦
2 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥 𝑦 =
𝑏
𝑎2𝑥2
𝐴 = 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥 = 𝑏
𝑎2𝑥2𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎2
𝑎
0
𝑎
0
𝑥3
3 𝑎
0=
𝑏𝑎3
3𝑎2=
𝑎𝑏
3
Calculando a área abaixo da curva:
Exemplo 2
Determinação do centróide por integração
Calculando os momentos de primeira ordem Qx e Qy:
𝑄𝑦 = 𝑥𝑒𝑙𝑑𝐴 = 𝑥𝑦𝑑𝑥 = 𝑥𝑏
𝑎2 𝑥2 𝑑𝑥 =𝑏
𝑎2
𝑥4
4
𝑎
0
𝑎
0
𝑎
0=
𝑏 𝑎2
4
𝑄𝑥 = 𝑦𝑒𝑙𝑑𝐴 = 𝑦
2𝑦𝑑𝑥 =
1
2
𝑏
𝑎2 𝑥2
2
=𝑏2
2𝑎4
𝑥5
5 𝑎
0=
𝑎𝑏2
10
𝑎
0
𝑎
0
Calculando as coordenadas do centróide 𝑥 𝑒 𝑦 :
𝑥 =𝑄𝑦
𝐴=
𝑎2𝑏4𝑎𝑏3
=𝑎2𝑏
4
3
𝑎𝑏=
3𝑎
4 𝑦 =
𝑄𝑥
𝐴=
𝑎𝑏2
10𝑎𝑏3
=𝑎𝑏2
10
3
𝑎𝑏=
3𝑏
10