Ermat Tema 2

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TEMA 2. REPASO DE ESTÁTICA

2.1. Introducción2.2. Tipos de apoyos y cargas2.3. Ecuaciones de equilibrio del sólido rígido.2.4. Estructuras isostáticas e hiperestáticas2.5. Estabilidad de una estructura.2.6. Cálculo de reacciones y fuerzas entre elementos.2.7. Propiedades mecánicas de una sección. Área, centro de

gravedad y momentos de inercia

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Ubicación del tema en el contenido de la asignatura

( )DEFORMACIONES

menores que las admisiblesResolver estructura

Buscar sección más desfavorable

Calcular Distribución de

tensiones

-Comprobar punto mas desfavorable

-Dimensionar (h,…)

.MATERIALresiss s£

Esfuerzos internos en una sección: , ,

Propiedades de la sección

ìïïïïïïïï-íïï-ïïïï-ïïî

fN Q M

AreaCentro deGravedadMomento de Inercia

( )TENSIONES

menores que las admisibles

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2.1. INTRODUCCIÓN

La Estática es una parte de la mecánica que estudia de forma gráfica y/o analíticalas condiciones de equilibrio que deben cumplir las cargas aplicadas sobre cuerposrígidos.

Cuando las fuerzas exteriores están distribuidas en forma tal que se equilibran entresí, el cuerpo se encuentra en reposo o equilibrio estático.

El primer paso para un análisis de equilibrio estructural es idealizar la estructura:

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2.2. TIPOS DE APOYOS Y CARGAS

APOYO MOVILPermite el movimiento en una dirección y el giro.

Impide uno de los desplazamientos => Reacción(perpendicular a la superficie en el punto de

contacto)

Principio de acción y reacción: Las fuerzas en la parte eliminada son iguales y de sentido contrario.

R

RR

R

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2.2. TIPOS DE APOYOS Y CARGASAPOYO FIJO

Permite el giro.

Impide los desplazamientos vertical y horizontal => Reacción de dirección desconocida

RYR

XR

Desde un punto de vista práctico es mejor descomponer la reacción de dirección desconocida en una componente Rx y otra componente Ry

NOTA: Siempre aparece una reacción por cada movimiento que esté impedido.

YR

XR

6

2.2. TIPOS DE APOYOS Y CARGASEMPROTRAMIENTO

(o nudo rígido) Impide los tres grados de libertad ( desplazamiento vertical, horizontal y giro )

A

AM

A

VAR

HAR

AMA

VAR

HAR

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2.2. TIPOS DE APOYOS Y CARGASDESLIZADERAS

Si la deslizadera es articulada, impide el

desplazamiento relativo entre los elementos en la dirección perpendicular al

eje

Si la deslizadera es rígida, impide el desplazamiento

relativo entre los elementos en la dirección perpendicular

al eje, y el giro

A

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2.2. TIPOS DE APOYOS Y CARGASCABLE El cable es un elemento que solo trabaja a TRACCION.

T

T

T

T

Direcciondel

movimiento

La fuerza de contacto es normal a la dirección del movimientoCONTACTO

UNION ENTRE ELEMENTOS

(Articulada o Rígida)BA

B

A BM

BH

BV

AH

AV

AB

AH

AV

BM

BHBV

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Tipos de fuerzas:

• PUNTALES. Aplicadas en un punto del sólido.

• DE SUPERFICIE O DISTRIBUIDAS. Aplicadas en una superficie del sólido.

• DE VOLUMEN. Aplicadas de forma homogénea en todo el volumen del sólido. Ej: Peso

Unidades: kgf, N, dina (1N =105dina) (1kgf = 9.8N)


M

F

B

A

W

CdG

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• SISTEMAS EQUIVALENTES. Son los que producen el mismo efecto en el sólido.


Ejemplo:

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2.3. ECUACIONES DE EQUILIBRIO DEL SÓLIDO RÍGIDO

0 0 0

0 0 0x y z

x y z

F F F

M M M

S = S = S =

S = S = S =

0 0 0x y OF F MS = S = S =

Un sólido se encuentra en equilibrio estático cuando mantiene un balance de fuerzas y momentos. Estorequiere que dicho equilibrio se cumpla en los tres ejes.

EQUILIBRIO en 3D. (6 ecuaciones)

EQUILIBRIO en 2D. (3 ecuaciones)

La aplicación de las condiciones de equilibrio permite determinar reacciones desconocidas, bien sea conel terreno o con otro elemento

122.4. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS E HIPERESTATICAS

Antes de empezar con el análisis de fuerzas en una estructura es necesario conocer el grado dedeterminación de la estructura y analizar su estabilidad.

Si todas las fuerzas internas y reacciones pueden obtenerse con las ecuaciones de la estática diremos quela estructura es ESTATICAMENTE DETERMINADA o ISOSTATICA

Si las ecuaciones de la estática no son suficientes para calcular todos los esfuerzos entre elementos y/oreacciones, diremos que la estructura es ESTATICAMENTE INDETERMINADA o HIPERESTATICA.

El numero de incógnitas que no podemos resolver constituye el GRADO DE HIPERESTATICIDAD

3 (Estaticamente determinada)3 (Estaticamente indeterminada)

= ⋅> ⋅

r b ISOSTATICAr b HIPERESTATICA

: º: º

r n de reaccionesb n de barras o elementos

B

A

B

A

3 13 ( )= =

=r b

r b ISOSTATICA4 13 ( , 1)

= => =

r br b HIPERESTATICA Grado

(1)

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2.5. ESTABILIDAD DE UNA ESTRUCTURA

ESTABILIDAD. Las ecuaciones (1) son condición necesaria pero no suficiente para que tenga lugar el equilibrio estático, ya que existen situaciones particulares en las que dicho equilibrio no se verifica, como por ejemplo en los siguientes casos:

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< ⋅³ ⋅

r b inestabler b inestable si hay elementos parcialmenterestringidos o restricciones inadecuadas

: º: º

r n de reaccionesb n de barras o elementos

ELEMENTOS PARCIALMENTE RESTRINGIDOS. Cuando al aplicar una determinada carga sobre un elemento del sistema no aparece una reacción que contrarreste el efecto de dicha carga.

RESTRICCIONES INADECUADAS. Cuando todas las reacciones del sistema convergen en un punto, o bien, son paralelas.

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2.5. ESTABILIDAD DE UNA ESTRUCTURA

ESTABILIDAD. Ejemplos:

33 3 1

1r

estableb

ü= ïï = ⋅ ýï= ïþ

88 3 2

2r

estableb

ü= ïï > ⋅ ýï= ïþ

33 3 1 ( )

1r

inestable reacciones concurrentesb


33 3 1 ( )

1r

inestable reacciones paralelasb


77 3 3

3r

inestableb

ü= ïï < ⋅ ýï= ïþ

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2.6. CÁLCULO DE REACCIONES Y ESFUERZOS INTERNOS

Pasos a seguir:

• Idealizar la estructura o el mecanismo.

• Comprobar que se cumplen las condiciones de equilibrio y estabilidad.

• Aislar la estructura, representando las reacciones que aparecen en los apoyos.

• Aislar los elementos de la estructura, representando los esfuerzos internos que aparecen en los puntos de unión. En la unión de dos elementos los esfuerzos internos que aparecen son iguales pero de sentido contrario en cada uno de los elementos.

• Aplicar las ecuaciones de equilibrio en la estructura o en cada uno de los elementos aislados según convenga.

NOTA: Se pueden plantear tres ecuaciones por cada

elemento.

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2.6. CÁLCULO DE REACCIONES Y ESFUERZOS INTERNOS

Ejemplo:

66 3 2

2r

estableb


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2.7. PROPIEDADES MECÁNICAS DE UNA SECCIÓN:

ÁREA•El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales.

•Cualquier superficie plana puede dividirse en figuras sencillas y calcularse su área como suma de las áreas de dichas figuras.

•Unidades: m2, cm2, mm2, …

A b h= ⋅2

b hA ⋅= 2A rp= ⋅

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CENTRO DE GRAVEDAD

•El centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.

•El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Por ejemplo, el centro de gravedad de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.

•El centro de gravedad está en los ejes de simetría.

•El centro de gravedad de una superficie plana puede dividirse en figuras sencillas y calcularse sus coordenadas a partir de los centros de gravedad y de las áreas de dichas figuras.

1 1

1 1

n n

i i i ii iG Gn n

i ii i

x A y Ax y

A A= =

= =

S ⋅ S ⋅= =

S S

19


31

3

1

31

3

1

757.7 10 54.813.8 10

506.2 10 36.613.8 10

n

i iiG n

ii

n

i iiG n

ii

x Ax mm

A

y Ay mm

A

=

=

=

=

S ⋅ ⋅= = =

⋅S

S ⋅ ⋅= = =

⋅S

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2.7. PROPIEDADES MECÁNICAS DE UNA SECCIÓN:MOMENTOS DE INERCIA

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema departículas en rotación, respecto a un eje de giro.El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje degiro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.Dada una sección plana transversal A de un elemento estructural, el momento de inercia sedefine para cada eje de coordenadas contenido en el plano de la sección A mediante lasiguiente fórmula:

Donde:•Ieje, es el momento de inercia respecto del eje. •dA, es el diferencial de área, de la sección A. •deje, es la mínima distancia del elemento dA al eje escogido.

•Unidades: m4, cm4, mm4, …•Ejemplo:

2= ⋅òeje ejeA

I d dA

/ 23 3/ 22 2

00

2 23 12

ù⋅ ⋅ú= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =úûò ò

hh

xA

y b b hI y dA y b dydy

xy

b

/ 2h

dA

ejedeje

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• PRODUCTO DE INERCIA. Puede ser positivo o negativo.

• MOMENTO POLAR DE INERCIA. Respecto del origen de coordenadas.

• TEOREMA DE STEINER. Establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes

= ⋅ ⋅òxyA

I x y dA

( )2 2 2 2 2= ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = +ò ò ò òO x yA A A A

I r dA x y dA x dA y dA I I

yxO

yx dAr

Gxd

x

G 2Gx xI I A d= + ⋅

NOTA IMPORTANTE: Sólo se puede aplicar si uno de los dos ejes es el que pasa por el centro de gravedad.

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• El momento de inercia de una superficie plana puede dividirse en figuras sencillas y calcularse a partir de los momentos de inercia de dichas figuras, aplicando el Teorema de Steiner si fuera necesario.

• Ejemplo:

23

2.7. PROPIEDADES MECÁNICAS DE UNA SECCIÓN.(Área, centro de gravedad y momentos de inercia)

24


25


26

Ejercicio 2.1. Calculo de CdG y Momentos de Inercia

27

Ejercicio 2.1.

28

Ejercicio 2.1.

29

Ejercicio 2.2.

30

Ejercicio 2.2.

31

Ejercicio 2.2.

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