Eron Conjuntos Reais Relacoes Matematica Uneb Parfor

7/24/2019 Eron Conjuntos Reais Relacoes Matematica Uneb Parfor

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UNIVERSIDADEDOESTADODABAHIAUNEB

PROGRADDCET

CAMPUS ISALVADOR

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMTICA

CONJUNTOS,NMEROS REAIS E RELAES

Georg Cantor (18451918)

NOTAS DE AULAS

Eron

Salvador, fevereiro de 2011.


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2APRESENTAO

Estas notas complementam os contedos da disciplina Lgica.

PARTE IICONJUNTOS

PARTE IIICONJUNTO DOS NMEROS REAIS

PARTE IVRELAES E DEFINIO DE FUNO

Desde j, assumo total responsabilidade por todos os erros que possa conter este material,

ainda incompleto, e agradeo a quem indicar as correes, crticas e sugerir melhorias.

No final, h uma lista com a bibliografia utilizada para confeccionar este material, voc

deve procurar obter pelo menos uma delas que verse sobre o contedo pretendido. Observo

tambm que este material no substituia consulta, leitura e estudo de textos e livros citados na

bibliografia, deve servir como um material de auxlio, principalmente no momento em que se

realizam a aulas.

Salvador, fevereiro de 2011.

Eron

[email protected]


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Figura da capa Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor nasceu na cidade de So Petersburgo em 3 de maro de

1845 e faleceu no hospital de doenas mentais de Halle em 1918. Passou a maior parte de sua

vida na Alemanha. Seus pais eram cristos de ascendncia judia, e Georg logo se interessou pelosconceitos de continuidade e infinito da Teologia medieval.

Estudou em Zurich, Gttingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia, Fsica e Matemtica,

possuindo grande imaginao, em 1867 obteve o grau de doutor em Berlim, com uma tese sobre

Teoria dos Nmeros.

Muito atrado pela Anlise, sua preocupao estava voltada para a idia do infinito, que at

1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemtica, mas sem se chegar a uma

concluso precisa. Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionrio artigo

que at mesmo seus editores hesitaram em aceitar. Havia reconhecido a propriedade fundamental

dos conjuntos infinitos e, ao contrrio de Dedekind (18311916), percebeu que nem todos eram

iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos conforme suas potncias.

Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a mesma potncia que o dos inteiros

positivos, pois podem ser postos em correspondncia biunvoca; provou que o conjunto de todas

as fraes contvel (enumervel) e que a potncia, do conjunto dos pontos de um segmento de

reta unitrio igual potncia do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitrio. Alguns

destes resultados eram to paradoxais que o prprio Cantor, certa vez escrevendo a Dedekind,

disse: Eu vejo isso, mas no acredito, e pediu ao seu amigo que verificasse a demonstrao. Seus

incrveis resultados levaram ao estabelecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina

matemtica completamente desenvolvida, de profundos efeitos no ensino. Os matemticos da

poca duvidavam da teoria da infinidade completa de Cantor, mas este, juntando as provas,

construiu toda uma aritmtica transfinita.

Cantor passou a maior parte de sua carreira na Universidade de Halle, de pouca importncia,

nunca conseguindo realizar uma de suas grandes aspiraes que era a de ser professor na

Universidade de Berlim, devido perseguio de Kronecker (18231891).

O reconhecimento de suas realizaes mereceu a exclamao de Hilbert (18621943):

Ningum nos expulsar do paraso que Cantor criou para ns.


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Toda a Matemtica atual formulada na linguagem de conjuntos. Portanto, a noo de

conjunto a mais fundamental: a partir dela, todos os conceitos matemticos podem serexpressos. Ela tambm a mais simples das idias matemticas.

A Matemtica se ocupa primordialmente de nmeros e do espao. Portanto, os conjuntos

mais freqentemente encontrados na Matemtica so os conjuntos numricos, as figuras

geomtricas (que so conjuntos de pontos) e os conjuntos que se derivam destes, como os

conjuntos de funes, de matrizes etc.

A linguagem dos conjuntos, hoje universalmente adotada na apresentao da Matemtica,

ganhou esta posio porque permite dar aos conceitos e s proposies desta cincia a preciso e a

generalidade que constituem sua caracterstica bsica.

Contedos

1. Conjuntos um pouco de histria

2.

Conjunto, elemento e pertinncia

3. Relao de incluso e igualdade de conjuntos

4. Diagramas de Venn

5. Interseco e unio de conjuntos

6. Diferena simtrica e complementar

7.

Quantidade de elementos de conjunto finito

8. Conjuntos nos argumentos lgicos

9. Exerccios de Aprendizagem e Fixao


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Conjuntos

A Teoria dos conjuntos se reporta aos primrdios da Matemtica. Os conceitos da teoria dos

conjuntos, tais como funes e relaes, aparecem explcita ou implicitamente em cada ramo da

Matemtica. Aqui, trataremos de um resumo dos conceitos de conjuntos de modo informal semdiscusso axiomtica detalhada, que pode ser encontrada em livros da referncia.

Conceitos primitivos: conjunto, elemento e relao de pertinncia.

Georg Cantor: agrupamento em um todo de objetos bem definidos da nossa intuio ou do nosso

pensamento.

Um conjunto pode ser determinado pela

i) designao dos seus elementos;

ii) propriedade dos elementos.

Relao de pertinncia. Usamos o smbolo a A para indicar que o elemento a pertence ao

conjunto A . Usamos o smbolo a A para indicar que o elemento ano pertence ao conjunto A .

Notao: a A e a A .

Exemplos

{ }1,0,1A =

{ } { }; 1 3 2B x x= + = =

{ } { }2; 0C x x= < = =

{ } { }; par 0,2, 4, 6,...D x x= =

Relao de incluso (subconjunto).Um conjunto A dito um subconjunto de um conjunto Bou

A est contido em B(denotamos A B ) ou Bcontm A se e somente se todo elemento que

pertence a A pertence tambm a B. Resumindo, ( )A B x A x B .


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Exemplos

a) { }1,3,5A = subconjunto de { }1,2,3,4,5,6B= .

b) { } { }; par ; multiplo de 6M x x x x =

.

c) Qualquer que seja o conjunto A cumpre-se: A e A A .

Observaes

1) Se A B e existe um elemento em Bque no est em A dizemos que A subconjunto

prpriode B .

2) Se A B dizemos tambm que a uma partede B .

Proposio.Para qualquer conjunto A , temos que A .

Dem] Para mostrar que A temos que tomar um elemento x qualquer e mostrar que

x x A ( x x A verdade). Como x falso temos que a condicional

x x A verdadeira, logo a implicao x x A vale para todo conjunto A .

Propriedades da incluso. Dados quaisquer conjuntos , eA B Ctem-se:

i) Reflexividade: A A

ii) Anti-simtrica: se A B e B A ento A B= .

iii)

Transitividade: se A B e B C ento A C .

Demonstrao de iii) Se A B e B C ento A C .

Hipteses: A B e B C Tese: A C .

Dem] Seja x A , por hiptese A B , logo, x B . Como, por hiptese, B C temos que

x C . Logo, se todo elemento x A deduzimos que x C , temos que A C .


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Igualdade de conjuntos. Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A B= se e somente se

A B e B A . De outro modo, eA B A B B A= .

Exemplo Algumas igualdades entre conjuntos

a) { }1,3,5,7A = e { }7,5,3,1B= .

b) { }2,4,2,6M = e { }4,2,6N = .

c) { }2; 3 2 0E x x x = + = , { }2,1F = e { }1,2,2,1G= .

Conjunto das partes.Dado um conjunto A o conjunto de todos os subconjuntos de A chamado

de conjunto das partes de A indicado por { }( ) ;P A X X A= .

Exemplos

a) Seja { }4,5A = , ento { } { } { }{ }( ) , 4 , 5 , 4,5P A =

b) Seja { }, ,B a b c = , ento { } { } { } { } { } { } { }{ }( ) , , , , , , , , , , , ,P B a b c a b a c b c a b c = .

Observao. Em a), { }4 ( )P A , assim como { }4,5 ( )P A .

Diagramas de VennEuler. De modo simples podemos ilustrar as relaes entre conjuntos

mediante os chamados diagramas de VennEuler ou simplesmente diagramas de Venn, que

representam um conjunto em uma regio plana, limitada geralmente por crculos, quadrados,

retngulos, losangos.


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Operaes entre conjuntos

Dados dois conjuntos A e B(subconjuntos de um determinado conjunto universo U) definimos:

Unio.A reunio (ou unio) de A e B, indicamos por A B , o conjunto de todos os elementos

que pertencem a A ou a Bou a ambos.

{ }; ouA B x x A x B =

O conectivo lgico ou no sentido inclusivo de fato, quando dizemos que xest em A ou x

est em B , queremos dizer que xest em pelo menos um dois conjuntos com a possibilidade de

estar em ambos.Graficamente podemos indicar a unio de dois conjuntos A e Bpela figura abaixo.

Propriedades da unio de conjuntos

U1) Comutativa A B B A =

U2) Associativa ( ) ( )A B C A B C =

U3) Idempotente A A A =

U4) Identidade A A =

U5) A U U =

U6) A B A B B =

U7) ( ),A B C A B C

U8) ( )A A B e ( )B A B


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Interseco.A interseco de A e B , indicamos por A B , o conjunto de todos os elementos

que pertencem a A e a Bsimultaneamente.

{ }; eA B x x A x B =

Graficamente podemos indicar a interseco de dois conjuntos A e Bpela figura abaixo.

Propriedades da interseco de conjuntos

I1) Comutativa A B B A =

I2) Associativa ( ) ( )A B C A B C =

I3) Idempotente A A A =

I4) Identidade A =

I5) A U A =

I6) A B A B A =

I7) A B A e A B B

Observao.Se A B = dizemos que A e Bso conjuntos disjuntos.

Propriedades adicionais

1) a) F = b) U V=

2) a) ( ) ( ) ( )A B C A B A C = b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C =


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Exemplos Demonstre as seguintes propriedades citadas anteriormente:

U8) ( )A A B e ( )B A B

I7) A B A e A B B

U6) A B B A B =

Como a demonstrao envolve uma equivalncia, temos que mostrar (a) ida e (b) volta:

a)

A B B A B =

Dem]

Ex 1) hip

x A x A B x B .

b) A B A B B =

Dem]Como a tese ( A B B = ) envolve uma igualdade de conjuntos, temos que mostrar que

i) A B B

Dem] Seja x A B , ento oux A x B . Se x B temos A B B . Se x A , por

hiptese A B tambm conclumos que x B , logo, A B B .

ii) B A B (j foi feito, veja demonstrao do exerccio 2)

Portanto, de a) e b) A B B A B = .

I6) A B A A B =

A definio abaixo s faz sentido para conjuntos A e B subconjuntos de um determinado

conjunto universo U . Assim,

Diferena. A diferena entre dois conjuntos A e B , indicamos por A B , o conjunto dos

elementos que pertencem a A e no pertencem a B.

{ }; eA B x x A x B =


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Observao.Outras notaes para diferena: A B , /A B.

Graficamente, representa-se pela figura abaixo.

Propriedade da diferena de conjuntos. Para todos os subconjuntos A e B de um conjunto

universal Utem-se:

D1) A A =

D2) A A =

D3) ( )A B A

D4) Se A B ento A B = .

D5) A =

D6) Se A B ento ( )A B A B = .

D7) Os conjuntos A B , A B e B A so disjuntos dois a dois.

Observao. Em geral, A B B A .

Demonstrao de algumas propriedades

D1) A A =

Dem] Suponhamos, por absurdo, que A A . Ento, existe x A A , ou seja, que

ex A x A , que representa uma contradio. Logo, s podemos ter A A = .


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D3) ( )A B A

Dem] ( ) ex A B x A x B x A .

Diferena simtrica. A diferena simtrica (ou soma booleana) entre dois conjuntos A e B(nessa

ordem), denotada por A B , definida como o conjunto

( ) ( )A B A B B A = .

A parte sombreada mostrada na figura representa a diferena simtrica.

Complementar.Dados dois conjuntos A e B , se A B , ento a diferena B A chamada

complementar de A em relao a Be indicamos porA

BC B A= .

Se considerarmos o complementar de A em relao a um conjunto universo U , indicamos AU

C ou

A ou A . Outra maneira de representar { };AUC x U x A= , desse modo, podemos identificaro complementar como a negao (lgica).

Propriedades do complementar de um conjunto

C1) A A=

C2) a) A B A B = b) A B A B =

C3) a) A A U = b) A A =

C4) a) U = b) U =

C5) A B A B = =


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C6) A B B A

C7) A B A B =

C8) ( ) ( )A B A B B A =

Demonstraes de algumas propriedades

C2) a) A B A B =

Dem] { } { }; ( ) ; e )A B x U x A B x U x A x B A B = = = .

C2) b) A B A B =

Dem] ( ) oux A B x A B x A x B x A B .

C3) a) A A U =

Dem]Supondo A A U , temos que existe x U tal que oux A A x A x A oux A x A que uma contradio, logo, A A U = .

C3) b) A A =

Dem]

5) A B A B = =

Dem]

C6) A B B A

i)A B B A


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Dem]Seja x B , isto , x B . Como A B , conclumos que x A , ou seja, x A .

ii)B A A B

Dem]Seja x A , isto , x A . Como B A , temos que x B , logo, x B .

De i) e ii) conclumos que A B B A .

C7) A B A B =

Dem] { } { }; ;A B x x A x B x x A x B A B = = = .

Exemplos Resolvidos Mostre que

1) ( )B A B =

Dem]Supondo ( )B A B existe ( )x B A B ento x B x A x B , isto implica

em x B x B que uma contradio. Portanto, ( )B A B = .

2) ( ) ( )A A B B A B =

Dem] Supondo ( ) ( )A A B B A B existe { }( ) ( )x A A B B A B ento( ) ( )x A A B x B A B , ou seja, ( ) ( )x A x A B x B x A B , da

deduzimos que x A x B , que significa ( )x A B o que uma contradio.

3)Se B A ento ( )B A B A = .

Dem]Hiptese: B A Tese: ( )B A B A =

a) ( )B A B A

( ) ( ) ( ) ( )x B A B x B x A x B x B x A x B x B

( ) ( ) ( ) .x B A x U x B A U x A U x A


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b) ( )A B A B

Seja x A , como B A , temos duas alternativas a considerar

i)

x B . Logo, ( )x B A B .

ii) x A e x B , isto implica em ( )x A B , logo, ( )x B A B .

De a) e b) temos que ( )B A B A = .

Nmero de elementos de um conjunto finito.Dado um conjunto finito A , indicamos o nmero de

elementos de A por ( )n A ou card( )A ou #( )A (tambm chamado de cardinalidade de A ).

Observaes

i) O nmero de elementos de um conjunto finito no muda.

ii) Por definio, ( ) 0n = .

iii)

Todo subconjunto A de um conjunto finito B finito e ( ) ( )n A n B .

iv)Tem-se que ( ) ( )A B n A n B = = .

Proposio 1.Se A B = ento ( ) ( ) ( )n A B n A n B = + .

Dem]

Proposio 2.Se A B ento ( ) ( ) ( )n B A n B n A = .

Dem] Se A B ento ( )B A B A= . Alm disso, sabemos que ( )A B A = . Portanto,

( ) ( ) ( ) ( )n B n A B A n A n B A = = + .

Proposio 3. ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B = + .

Dem]Utilizaremos os resultados a) e b) abaixo


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a) ( ) ( ) ( )A B A A B B A B A B =

De fato, A B A e A B B ento pelo Exerccio Resolvido 3 anterior temos que

( ) ( )A A B A B A = e ( ) ( )B A B A B B =

. Desses resultados e operando

A B , temos o resultado em a).

b) Os conjuntos ( )A A B , ( )B A B

e ( )A B so disjuntos dois a dois, ou seja,

podemos ver isso usando os Exerccios Resolvidos 1 e 2 anteriores, ento

( ) ( )A A B B A B =

( ) ( )A A B A B =

( ) ( )B A B A B =

De a) e b) temos que

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

n A B n A A B n B A B n A B

n A n A B n B n A B n A B

n A n B n A B

= + + = + +

= +

Exemplos de Problemas envolvendo conjuntos finitos

1 Numa escola que tem 415 alunos, 221 amam Estatstica, 163 amam Lgica e 52 amam ambas

as disciplinas.

a) Quantos alunos amam Estatstica ou Lgica?

b) Quantos alunos no amam essas disciplinas?

2 Uma populao consome trs marcas de sucos: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado

nesta populao, colheram-se os seguintes dados

Marca A B C A e B B e C A e S A, B e C No bebem sucos

N. Consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115


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Determine:

a) o nmero de pessoas consultadas;

b)

o nmero de pessoas que s bebem a marca A;

c) o nmero de pessoas que no bebem as marcas A ou C;

d) o nmero de pessoas que consomem ao menos duas marcas.

Um pouco mais de Lgica em Conjuntos. Pelas definies vistas vemos que as operaes lgicas

esto intimamente relacionadas com as operaes entre conjuntos. Podemos estabelecer as relaes

Lgica Conjuntos

Conjuno Interseco

Disjuno Unio

Condicional Relao de incluso

Bicondicional = Igualdade

Negao C Complementar

Contradio F Conjunto vazio

Tautologia V U Conjunto universo

Mais alguns exemplos de demonstraes

1) Mostrar que A .

Dem]Devemos mostrar que x x A .

Para todo x U , a proposio x falsa e, portanto, a proposio " "x x A

verdadeira.


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2) Mostrar que A A B

Dem]Devemos mostrar que " "x A x A B .

Segue da implicao de adio p p q que " ou "x A x A x B . Portanto" "x A x A B .

3) Mostrar que ( ) ( ) ( )A B C A B A C = .

Dem] Devemos mostrar que ( ) ( ) ( )" "x A B C x A B A C , ou seja, que

( ) ( ) ( )" "x A x B x C x A x B x A x C . Esta equivalncia segue da

propriedade distributiva ( ) ( ) ( )p q r p q p r .

Argumentos e conjuntos (Demonstrao indireta). Vejamos alguns exemplos de como o mtodo

da demonstrao indireta est presente nas demonstraes matemticas, em particular, nas

propriedades de Conjuntos.

1) Mostre que ( )A B B = .

Dem] Suponhamos, por absurdo, que ( )A B B . Ento existe um elemento x tal que

x A B e x B o que equivalente a afirmar que x A e x B e x B , o que uma

contradio!

2) Mostre que: Se A B , C D e B D = ento A C = .

Neste caso, as premissas so:

1 :P A B

2 :P C D

3 :P B D =

e a concluso :Q A C =


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Dem]Vamos negar a concluso, isto , supor A C . Assumindo as premissas verdadeiras

vamos usar argumentos que nos levem a uma contradio. Se A C , temos que existe um

elemento xtal que x A e x C . De 1P e 2P conclumos que x B e x D . Mas, isto contradiz

a premissa 3P .

Argumentos e diagramas de Venn. Os resultados obtidos dos conjuntos e os diagramas de Venn so

muito teis na verificao da validade de determinados argumentos, principalmente quando as

premissas envolvem proposies quantificadas. Vamos mostrar isto apresentando alguns exemplos.

Esquematicamente, o conjunto A , constitudo por todos os elementos possuidores da propriedade a ,

representado por uma regio limitada do plano, ficando fora desta regio os elementos nopossuidores desta propriedade:

.y

A: conjunto dos possuidores da propriedade a ;

x: possui a propriedade a. y: no possui a propriedade a.

Temos, ento, os seguintes diagramas, correspondendo s quatro proposies bsicas:

Proposio Diagrama de Euler

Todo a b . A B

Nenhum a b . A B

Algum a b .

(ou existe aque b .)A

B

Algum ano b .

(ou existe aque no b .)A

B

A

.x


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Exemplo 1 Consideremos o seguinte argumento

1 :P Bebs so ilgicos.

2 :P Ningum desprezado se pode domar crocodilos.

3 :P Pessoas ilgicas so desprezadas.

:Q Bebs no podem domar crocodilos.

Utilizando conjuntos, faamos a seguinte associao:

B= Conjunto dos bebs

I = Conjunto das pessoas ilgicasD= Conjunto das pessoas desprezadas

C = Conjunto dos domadores de crocodilos

Podemos reinterpretar o argumento usando a associao de conjuntos acima, assim:

1 :P B I

2

:P D C =

3 :P I D

:Q B C =

Abaixo, vemos o diagrama correspondente. Este diagrama nos mostra que a concluso vlida.

Exemplos 2 Verifique a validade dos seguintes argumentos utilizando os diagramas de Venn.

Argumento 1

1 :P Alguns estudantes so preguiosos.

D

I

B

C


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PE

2 :P Todos os homens so preguiosos.

:Q Alguns estudantes so homens.

Sejam: E = conjunto dos estudantes; H = conjunto dos homens; P= conjunto dos preguiosos.

Com esta notao, reescrevemos o argumento 1 como

1 :P E P

2 :P H P

:Q E H

O diagrama abaixo nos mostra uma situao em que as premissas so verdadeiras com a concluso

falsa.

O argumento no vlido, apesar de podermos construir tambm um diagrama onde a concluso

verdadeira.

Observao.Para concluirmos a validade do argumento a representao do diagrama no pode

deixar dvida quanto a concluso.

Argumento 2

1 :P Todo nmero primo mpar.

2 :P Nenhum nmero mpar par.

:Q Existe um nmero primo que par.

1 : rP P I

2 :P I P =

:r

Q P P

O argumento no vlido apesar da proposio Q ser verdadeira. Isto porque a concluso

no decorre das premissas.

H

rP

rP P


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TR

UF

UFP

AP

A

Argumento 3

1 :P Todos os advogados so ricos. ( A R )

2 :P Poetas so temperamentais. (P T )

3 :P Nenhuma pessoa temperamental rica. (T R = )

:Q Nenhum advogado poeta. ( A P = )

A concluso vlida.

Argumento 4

1 :P Todos os artistas so famosos. ( )1 :P A F

2 :P Para ser diplomado pela universidade suficiente ser professor. ( )2 :P P U

3 :P Existem diplomados pela universidade famosos. ( )3 :P U F Para cada concluso apresentada abaixo, analise a validade do argumento quando:

1 :Q Professores no so famosos.

2 :Q Artistas no so professores.

3 :Q Se Joo diplomado pela universidade ento ele no artista.

A P


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23UF

UFP

A P

A

Argumento 5

1 :P Todo matemtico estudou na universidade. M U

2 :P suficiente ser bilogo para ter estudado na universidade. B U

3 :P Nenhum bilogo matemtico. B M =

4 :P Existem matemticos que so sbios. M S

5:P Ningum que estuda na universidade analfabeto. A U =

6 :P Existem sbios analfabetos. S A

Para cada concluso apresentada abaixo, analise a validade do argumento quando:

a) 1 :Q Nenhum bilogo analfabeto.

b) 2 :Q Existem sbios que estudam na universidade.

c)3

:Q Todos os sbios estudam na universidade.

d) 4 :Q Nenhum bilogo sbio.

e) 5 :Q Existem pessoas que estudaram na universidade e no so sbios.


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EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM E FIXAO CONJUNTOS

1 Considere os conjuntos:

A = conjunto dos quadrilteros planos.

{ }; tem lados 2 a 2 paralelosP X A X =

{ }; tem 4 lados congruentesL X A X =

{ }; tem 4 ngulos retosR X A X =

{ }; tem 2 lados paralelos e 2 ngulos retosQ X A X =

Determine os conjuntos abaixo:

a) L P b) R P

c) L R d) Q R

e) L Q f) P Q

2 Usando as operaes entre conjuntos e suas propriedades, simplifique as seguintes expresses:

a) ( )A B

b) ( ) ( )A B A B

c) A B A B

d) ( ) ( ) ( )A B C A A B A A C

e)

( )A B A A B

f) ( ) ( )A B C A B C

3 Verifique se a equaes dadas abaixo so sempre verdadeiras, usando diagramas de Venn.

No caso de verdadeira, demonstre;


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No caso de falsa d contra-exemplo.

a) ( ) ( ) ( )A B C A B A C =

b)

( ) ( ) ( )A B C A B A C =

c) ( ) ( ) ( )A B C A B A C =

d) ( )A A B A B =

e) ( )A B A A B =

f) ( )A B A B A =

g)

( ) ( ) ( )A B C A B A C = h) ( ) ( ) ( )A B C A B A C =

i) A B A B =

j) ( )A B A A B =

4 Mostre que:

a) Se B C e C A ento B C A .

b) Se A B e A C ento A B C .

c) ( ) ( ) ( )P A P B P A B =

d) Se A B = ento A B A = .

e) Se A B = ento A B B = .

f) A B se e somente se A B = .

g) Se A B A = e A C ento B C .

5 Dados os conjuntos { }1,2A = e { }1,2,3,4B= , determine todos os conjuntos X B tais queA X B .

Considere { }1,2,3A = e { }3,4,5B= . Ento determine


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PARTEIICONJUNTOS

26

a) ( )P A

b) ( )P B

c) ( )P A B

d) ( )P A B

6 Determine todos os elementos dos conjuntos A , Be E sabendo-se que , ( )A B P E e que

{ }1,3,8,9A B = , { }4,6,9AEC = e { }3,4,6BE

C = .

7 No relatrio de uma pesquisa encomendada por uma editora, para saber sobre as preferncias

dos leitores em relao a trs revistas , eA B C . Observou-se as seguintes estatsticas: 90% liam

a revista A; 6% a B; 7% a C; 4% liam A e a B; 5% a A e a C; 2% a C e a B e 1% liam as trs

revistas.

a) Supondo-se que as pessoas pesquisadas eram leitoras de pelo menos uma das revistas,

pergunta-se: As estatsticas do relatrio so consistentes?

b)

Caso no universo das pessoas consultadas nem todas lessem revistas desta editora, o que sepoderia concluir?

8 Em um levantamento feito por 100 estudantes de uma certa universidade para verificar o

aprendizado de lngua inglesa, francesa e alem, verificou-se o seguinte:

78 estudavam pelo menos uma destas trs lnguas;

47 estudavam ingls, 32 francs e 21 alemo;

31 estudavam apenas ingls e 17 apenas francs;

6 estudavam francs e alemo;

5 estudavam ingls e alemo mas no estudavam francs.

a) Quantos estudavam as trs lnguas?

b)

Quantos estudavam ingls e francs mas no estudavam alemo?


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PARTEIICONJUNTOS

27

c) Quantos estudavam apenas alemo?

d) Quantos no estudavam qualquer das trs lnguas?

e)

Quantos no estudavam francs?

9 Dados os conjuntos , eA B C tais que: ( ) 25n A B C = ; ( ) 1n A B C = ; ( ) 10n A = ;

( ) 14n B = ; ( ) 20n A B = ; ( ) 6n B A C = ; ( ) 2n A B C =

. Determine:

a) ( )( )n A C B

b) ( )( )n B C A

10 Dados os conjuntos , eA B C tem-se que: ( ) 32n A B = ; ( ) 35n A B = ; ( ) 31n B C = ;

( ) 37n B C = ; ( ) 2n A B C = ; ( ) 12n C A B = ; ( ) 26n A B C = . Determine

a) ( )( )n A C B

b) ( )( )n A B C

c) ( )( )n B A C

d) ( )( )n A B C

11 Utilize os diagramas de Venn para decidir quais das seguintes afirmaes so vlidas.

a) Todos os girassis so amarelos e alguns pssaros so amarelos, logo nenhum pssaro um

girassol.

b) Alguns livros so verdes e algumas coisas verdes so comestveis. Conclumos que alguns

livros so comestveis.

c) Como todos os peixes so mamferos, todos os mamferos so aves e existem minerais que

so peixes, conclumos que existem minerais que so aves.

d) Alguns homens sabem nadar. No existem peixes que no sabem nadar. Concluso: os

peixes sabem nadar.


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PARTEIICONJUNTOS

28

e) Alguns baianos so surfistas. Alguns surfistas so louros. No existem professores surfistas.

Concluses

i) Alguns baianos so louros.

ii) Alguns professores so baianos.

iii) Alguns louros so professores.

iv) Existem professores louros.

12 Considere as seguintes premissas:

(1) suficiente ser artista para ser uma pessoa sensvel

(2)Existem pessoas sensveis que no so determinadas.

(3)Ser determinada condio necessria para uma pessoa ser pragmtica.

(4)Somente pessoas que no so pragmticas se tornam artistas.

(5)Existem artistas que so pessoas determinadas.

Escreva, justificando atravs do diagrama de Venn, quais das seguintes concluses so vlidas e

quais as falsas:

a) Toda pessoa pragmtica no sensvel.

b) Existem artistas que no so determinadas.

c) Existem pessoas determinadas que so sensveis.

d)

Nenhuma pessoa pragmtica sensvel.e) Existem pessoas determinadas que no so sensveis e nem so artistas.


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PARTEIICONJUNTOS

29

LEITURA COMPLEMENTAR

Axiomatizao

Em um desenvolvimento axiomtico de um ramo da Matemtica, iniciamos com

Termos indefinidos (ou primitivos)

Relaes indefinidas

Axiomas relacionando os termos indefinidos e as relaes indefinidas.

Em seguida, desenvolvem-se teoremas baseados em axiomas e definies. No desenvolvimento

axiomtico da Teoria dos Conjuntos, temos

elemento e conjunto so termos indefinidos;

elemento pertencente a um conjunto uma relao indefinida;

Dois dos axiomas so

Axioma de extenso. Dois conjuntos A e Bso iguais se, e somente se, cada elemento de

A pertence tambm a Be cada elemento em Bpertence a A .

Axioma de especificao.Sejam ( )P x uma proposio qualquer e A um conjunto. Existeum conjunto { }; , ( ) verdadeiraB a a A P a = .

Aqui, ( )P x uma sentena em uma varivel para a qual ( )P a verdadeira ou falsa para

qualquer a A . Existem outros axiomas que no esto relacionados que so utilizados para uma

discusso mais longa e detalhada da Teoria dos conjuntos.


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PARTEIICONJUNTOS

30

Algumas Equivalncias Lgicas

1p p p

p p p

7 ( )

( )p q p q

p q p q

2p V p

p F p

8 ( )p q p q

3p F F

p V V

9 p q p q

4p p F

p p V

10 ( ) ( ) ( )p q p q p q

5( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

p q r p q p r

p q r p q p r

11 ( ) ( )p q p q q p

6( )( )

p p q p

p p q p

12

Algumas Regras de Inferncia

ADp p q

q p q

SIMPp q p

p q q

CONJ ,p q p q

MP ,p q p q

MT ,p q q p

SH ,p q q r p r


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PARTEIIICONJUNTODOSNMEROSREAIS

1PARTE IIICONJUNTO DOS NMEROS REAIS

Enquanto os conjuntos constituem um meio auxiliar, os nmeros so um dos dois objetos

principais de que se ocupa a Matemtica. (O outro o espao, junto com as figuras geomtricas

nele contidas.)

A Teoria dos conjuntos bastante geral, no entanto, os conjuntos importantes que

encontramos em Matemtica elementar so os conjuntos de nmeros e, dentre eles, o conjunto

dos nmeros reais.

Nmeros so entes abstratos, desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem

contar e medir, portanto avaliar as diferentes quantidades de uma grandeza. Nesta parte das

notas, estudaremos um pouco dos nmeros reais e suas propriedades.

Contedos

1. Nmeros um pouco de histria

2. Conjunto dos naturais, dos inteiros, racionais e dos irracionais

3. Conjunto dos nmeros reais

4. R corpo

5. R ordenado

6. Mdulo

7. Equaes e inequaes



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2Comentrio sobre alguns conjuntos numricos

O desenvolvimento formal da construo dos conjuntos numricos ser feito em outra disciplina

deste curso: lgebra I. Aqui, faremos um breve comentrio dos conjuntos numricos naturais,inteiros, racionais e irracionais e desenvolveremos algumas propriedades importantes dos reais

que nos ajudaro a entender contedos como relaes e funes reais.

Nmeros Naturais. Os nmeros naturais constituem um modelo matemtico, uma escala padro,

que nos permite a operao de contagem. A seqncia desses nmeros uma livre e antiga

criao do esprito humano. Comparar conjuntos de objetos com essa escala abstrata ideal o

processo que torna mais precisa a noo de quantidade; esse processo (a contagem) pressupe

portanto o conhecimento da seqncia numrica. Sabemos que os nmeros naturais so 1, 2, 3,

4, 5, A totalidade desses nmeros constitui um conjunto, que indicaremos com o smbolo e

que chamaremos de conjunto dos naturais. Portanto { }1,2,3,4,5,...= .Deve-se a Giusepe Peano (1858-1932) a constatao de que o conjunto dos nmeros naturais

possui propriedades fundamentais, das quais resultam como conseqncias lgicas, todas as

afirmaes verdadeiras que se pode fazer sobre esses nmeros, so os Axiomas de Peano. Uma

dessas propriedades fundamentais o Princpio da Induo um eficiente instrumento para a

demonstrao de fatos referentes aos nmeros naturais.

{ }0,1,2,3,4,5,...=

Operaes definidas em :

Adio

Multiplicao

Nmeros Inteiros. Este conjuntoaparece como ampliao do conjunto dos nmeros naturais. O

conjunto dos nmeros inteiros, indicado pela letra , o conjunto

{ }..., 3, 2, 1, 0,1, 2, 3,...=

Em , podemos distinguir trs subconjuntos notveis

{ }0,1,2,3,...+ = = : conjunto dos inteiros no negativos { }..., 3, 2, 1, 0 = : conjunto dos inteiros no positivos

{ }* ..., 3, 2, 1,1,2, 3,...= : conjunto dos inteiros no nulos


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3Operaes definidas em . Neste conjunto tambm so definidas as operaes de adio e

multiplicao que temos para os naturais e conservam as mesmas propriedades mais a seguinte:

Elemento simtrico aditivo (ou oposto). Para todo x , existe um nico y tal que0x y+ = (simtricoou opostopara a operao de adio). Denotamos y x= .

Observaes

I. Devido existncia do elemento oposto, podemos definir em a operao de subtrao,

estabelecendo que ( )x y x y = + para todos ,x y . fechado em relao

subtrao.

II. Em temos a existncia do 0 (zero), chamado elemento neutro da adio: x ,

0 0x x x+ = + = .

III. A equao 4 0x+ = tem soluo em ( 4x= ) mas no tem soluo em .

IV. no fechado para a operao de diviso. Por exemplo, 1 e 2 so inteiros, mas

10,5

2

= .

Nmeros Racionais. Assim como o conjunto dos nmeros inteiros podem ser vistos como uma

ampliao do conjunto dos nmeros naturais, o conjunto dos nmeros racionais pode ser

construdo como uma ampliao do conjunto dos nmeros inteiros.

Como no existe um inverso multiplicativo em , esta dificuldade foi superada introduzindo os

nmeros racionais.

Sejam ,a b com 0b . Se a mltiplo de b , ento existe um nico elemento r de

maneira que a b r= . Este elemento r chamado quociente (ou diviso) de a por b e

indicamosa

rb

= ou r a b= ou /r a b=

Tambm chamamosa

b de frao onde a numerador e b denominador. Assim, definimos

ento o conjunto de todos os nmeros que podem ser escritos na forma de frao como o

conjunto dos nmeros racionais(ratio=razo)

; , e 0a

a b bb

=


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4Note que todo nmero inteiro x racional, pois1x

x= . Isto quer dizer que .

Vamos definir alguns tipos de fraes Fraes equivalentes:

a ac

b bc= , , ,a b c e , 0b c .

Fraes prprias:

a

bcom a b< , ,a b e 0b .

Fraes imprprias:a

bcom a b> , ,a b e 0b .

Fraes aparentes:a

b, ,a b , 0b , ;c a bc = .

Fraes decimais: 10na

, a e n .

Fraes irredutveis:a

b, ,a b , 0b , mdc( , ) 1a b = .

Exerccio D exemplos de cada um dos tipos de fraes definidas acima.

Operaes em . Podemos definir em as operaes j estruturadas em : adio,

multiplicao e subtrao e, alm disso, definiremos uma outra, a diviso. Vejamos tais

operaes:

Adio:a c ad bc

b d bd

++ = , , , ,a b c d e , 0b d .

Observaes

O elemento opostode

a

b dado por

a

b e tem a seguinte propriedade:

a a a

b b b

= =

para ,a b e 0b .

Assim, podemos definir a operao de subtraoentre dois nmeros racionais:

a c a c ad bc

b d b d bd

= + = , , , ,a b c d e , 0b d .

Multiplicao:a c ac

b d bd = , , , ,a b c d e , 0b d .


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5As operaes de adio e multiplicao definidas para os racionais apresentam todas as

propriedades das mesmas operaes para os inteiros. Alm disso, em , existe o

Elemento inverso multiplicativo. Para todo { }0axb

= , existe um nico y tal que

1xy yx = = (inverso multiplicativo). Denotamos por 1 b

y xa

= = .

Por exemplo, se34

x= , ento 143

x = e, portanto, 13 4

14 3

xx = = .

Esta propriedade nos mostra como podemos definir a operao de diviso em . Se ,x y

com 0y , a diviso de xpor y, o nmero racional 11x

x xyy y

= = .

Exemplo:45

x= e16

y= , ento 14 6 245 1 5

xxy

y

= = = .

Representao decimal. Qualquer nmero racional pode ser escrito na forma decimal. Para isto,

basta dividir o numerador pelo inteiro denominador. Nessa diviso, podem ocorrer dois casos:

1. O nmero decimal tem uma quantidade finita de algarismosdiferentes de zero, isto , uma

decimal exata.

Exemplos:4

41

= 1

0,52

=

40,16

25=

170,0017

10000

=

2. O nmero decimal tem uma quantidade infinitade algarismos que se repetem periodicamente,

isto , uma dzima peridica.

Exemplos

a)1

0,3333... 0, 33

= = (perodo 3)

b)13

2,1666... 2,166

= = (perodo 6)

c)3

0,428571428571... 0, 428571

7

= = (perodo 428571)


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6

Assim, dado um nmero decimal, decidimos se ou no racional, se for possvel represent-lo

sob a formaa

b

(chamada defrao geratriz, geralmente uma frao irredutvel), pois os nmeros

racionais so caracterizados por poderem ser representados sob a forma de frao. Vejamos

alguns exemplos

1. Decimal exata:50 1

0,0501000 20

= = 224 56

2,24100 25

= =

2. Dzima peridica: alguns exemplos abaixo

a) 40, 4 0, 444... 9= = , pois 0,4444... 4 10 410 4,444... 9

x x x xx

= = = =

.

b)637

6,43 6,434343...99

= = , pois6,434343... 637

100 637100 643, 4343... 99

xx x x

x

= = = =

.

c)25534

2,5791 2,57919191...9900

= = , pois

2,57919191... 25534100 257,919191... 10000 100 25534

990010000 25791,9191...

x

x x x x

x

= = = = =

Exerccio Determine a frao geratriz de cada dzima. Observe que, em geral, a frao geratriz

de uma dzima no pode ser escrita como frao decimal (denominador uma potncia de dez).

a) 5,6 1,6666...= b) 0,371 0,371371... = c) 2,0845 2,084545...= d) 0,9 0,999...=

Ordem em .Para compararmos duas fraes, elas devem ter o mesmo denominador, assim

sendo, a maior frao aquela que possui maior numerador.

Exemplo Complete com os smbolos de , ou= < > entre as fraes:

a)3 2

5 5

b)250 1

1000 4

c)17 22

18 23

d)3 2

5 3


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7Nmeros Irracionais. Os gregos sempre pensaram que o nmero a medida de todas as coisas.

Os nmeros medem tambm as reas, os comprimentos, os lados de um tringulo, a conta

bancria de um indivduo, etc. tambm foram os gregos que descobriram que nem todos os

segmentos podiam ser medidos por um nmero inteiro positivo ou uma frao entre nmerosinteiros, fato este conhecido como a descoberta de 2 pelos pitagricos no sculo V a.C.

Consideremos um tringulo retngulo e issceles, cujos catetos

sejam iguais a 1. Segundo o Teorema de Pitgoras: 2 2 21 1 2d = + =

onde d indica o comprimento da hipotenusa deste tringulo e

satisfaz a igualdade 2 2d = .

Chamamos este nmero de raiz quadradade 2 e representamos pelo

smbolo 2 .

Evidentemente a hipotenusa possui um comprimento, conforme se pode observar na figura, mas

era simplesmente impossvel achar o nmero que pudesse ser associado ao exato comprimento

expresso por 2 . O valor32

grande demais,75

um pouco menor. De qualquer maneira que

se buscasse esse nmero, encontra-se apenas valores aproximados, que ora excedem o valor real,

ora permanecem inferiores a ele, sempre por uma pequena diferena. Provaremos ento que

2 um nmero no racional. Aristteles (384322 a.C.), como exemplo de uma demonstrao

por reduo ao absurdo, demonstrou que 2 no um nmero racional, isto , no se pode

escrever como uma frao de dois inteiros.

Demonstrao.Suponha que existem dois nmeros naturais pe qprimos, tais que 2 p

q= [

p

q

irredutvel] e2

2p

q

= . Ento, 2 22p q= , isto implica que 2p um nmero par e,

conseqentemente, p tambm par [porque se fosse mpar teramos 2 1p k= + para algum

nmero natural k e ( ) ( )22 2 22 1 4 4 1 4 1p k k k k k = + = + + = + + seria mpar]. Se p um

nmero par, existe um natural ntal que 2p n= e assim 2 2 2 24 2 2n q q n = = . Ento q

par [porque 2q par], o que absurdo visto que p e qso primos entre si.

Se um nmero irracional a parte decimal no segue um padro, isto , no se repete nunca.

Com o auxlio de um computador, podemos calcular a representao decimal de 2 com muitas

casas decimais para nos convencer deste fato. Embora este nmero com suas aproximaes


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8vistas em computador com at bilhes de casas decimais sejam convincentes, isto no basta

como uma prova matemtica. Do mesmo modo que mostramos logicamente que 2 irracional,

tambm podemos mostrar que os nmeros e eso irracionais.

Alguns exemplos de nmeros irracionais:

2 1,4142135623730950488016887242097...= (medida da diagonal de um quadrado de

lado medindo 1 unidade)

3,1415926535897932384626433832795...= (a letra grega pi representa a rea e

tambm metade do permetro de um crculo de raio 1)

2,7182818284590452353602874713...e= (base do sistema de logaritmos, inventado em

1617 pelo escocs John Napier)

Observaes

Os nmeros racionais tm representao decimal finita ou infinita peridica, mas os

nmeros irracionais no tm essa representao.

Existem infinitos nmeros irracionais, uma maneira de ver isto escrevendo aseqncia seguinte: ..., 3 2, 2 2, 2, 2, 2 2, 3 2, ... .

Exerccios

1. Mostre que se { }0c ento 2c irracional.

2. Mostre que 3 um nmero irracional.

3. D exemplo de dois irracionais tais que:

a) a soma racional; b) o produto racional; c) a diviso racional.4. D exemplos de um nmero racional e um irracional tal que o produto racional.

Observao.Note que o exerccio (3) mostra que o conjunto dos irracionais no fechado para

as operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso definidas anteriormente.


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9CONJUNTO DOS NMEROS REAIS

= ( )irracionais

=

=

Nmero real algbrico.Um nmero real diz-se algbrico se ele satisfaz a uma equao do tipo

1 21 2 1 0 0

n n

n na x a x a x a x a

+ + + + + = onde os coeficientes , 0,1,2,...,ia i n = .

Transcendente um nmero que no algbrico.

Exemplos

a) Todo nmero racional algbrico.

b) 2 algbrico.

c) 3,14...= transcendente (Lindemann, 1882)

d) 2,7182...e= transcendente (Hermite, 1873)

Estruturao algbrica do conjunto dos nmeros reais

um corpo

Definimos em duas operaes: Adio Multiplicao

( )

:

,x y x y

+

+

( )

:

,x y x y

i

Essas operaes cumprem as seguintes condies:

Associatividade: , ,x y z tem-se ( ) ( )x y z x y z + + = + + e ( ) ( )x y z x y z = .

Comutatividade: ,x y tem-se x y y x + = + e x y y x = .

Elementos neutros: Existem em os elementos 0 e 1 tais que x , 0x x+ = e 1x x = .


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10Inversos: x possui inverso aditivo x tal que ( ) 0x x+ =

Se 0x , existe tambm um inverso multiplicativo 1x tal que 1 1x x = .

Distributividade: , ,x y z tem-se ( )x y z xy xz + = + .

Definidas a adio e multiplicao com as condies acima, caracterizamos como um corpo.

Exerccios de sala de aula

1 Defina as operaes de subtrao e diviso em .

2 Utilize a distributividade e o elemento oposto para mostrar que 0 0x = , x .

3 ,x y , mostre que se 0x y = ento 0x= ou 0y= .

4 Utilize 3 e conclua que 2 2 x y x y = = .

5 Demonstre as regras de sinais, ou seja, ,x y tem-se

i) ( )x x =

ii) ( ) ( )x y xy =

iii) ( )x y xy =

um corpo ordenado

Definimos em um subconjunto+

, chamado de conjunto dos nmeros reais positivos,que cumpre as seguintes condies:

P1. , ex y x y x y + + + + .

P2. Dado x ocorre uma nica das alternativas: 0x= ou x + ou x + .

Indicamos

{ };x x + = conjunto dos nmeros reais negativos.


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11P2 indica que { }0+ = tem duas unies disjuntas.

Exerccio Mostre que todo nmero real 0x tem quadrado positivo.

Escrevemos x y< (x menor que y) quando y x + , isto significa que y x z= + onde

z + .

Se x + (positivo), indicaremos 0x> e

se x + (negativo), indicaremos 0x< .

Valem as seguintes propriedades da relao de x y< em :

O1. Transitividade: x y< e y z< implica x z< .

O2. Tricotomia:Dados ,x y , ocorre uma nica das alternativas:

x y= ou x y> ou x y< .

O3. Monotonicidade da adio: Se x y< , z temos x z y z + < + .

O4. Monotonicidade da multiplicao: Se x y< , 0z > tem-se xz yz < .

Porm, se 0z< , temos xz yz > .

Exerccios A partir do que conhecemos at agora, mostre os seguintes resultados:

a) x y< e a b< implica que x a y b+ < + .

b) 0 x y< < e 0 a b< < implica que xa yb< .

c) Se 0 x y< < ento 1 1y x < .


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12Intervalos (alguns tipos de subconjuntos de ). Usamos as seguintes notaes para indicar

determinados subconjuntos de e chamamos intervalos.

Intervalos (subconjuntos de )

[ ],a b { };x a x b ab

( ],a b { };x a x b< ab

[ ),a b { };x a x b


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13Interpretao geomtrica do mdulo de um nmero real. Temos, tambm, que:

e

ou

x a a x a

x a x a x a

< < > <

.

Teorema. Sejam ,x y , mostre que:

i) x y x y + +

ii) x y x y =

iii) Seja , x a a x a < < < + .

Exerccios Resolver as seguintes equaes e inequaes modulares

a) 3 3 1x x =

b) 2 1 1x x+ =

c) 2 1 1x x+ >

d)2

13

x

x

+

EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM E FIXAO CONJUNTO DOS NMEROS REAIS

1 Prove as seguintes unicidades:


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14a) Se x x+ = para algum x ento 0= .

b) Se x x= para todo x ento 1= .

c) 0x y y x + = = .

d) 11xy y x = = .

2 Usando as propriedades de ordem em , prove que:

a) Sejam xe zreais positivos. Se x y< e z w< ento xz yw < .

b) Se 3 3x y= e ,x ytm o mesmo sinal ento x y= .

3 Mostre que:

a) Se a b> e c d> ento a c b d + > + .

b) Se 0a b> > e 0c d> > ento ac bd > .

c) Se 0a b> ento 2 2a b> .

d) Se 0a> e 0b> e 2 2a b> ento a b> .

e) Se 0a e 0b ento a b= se e somente se 2 2a b= .

f) Se x y< ento2

x yx y

+< < .

4 Explique, justificando, onde est o erro na demonstrao a seguir:

Sejam ,a b no nulos. Suponha a b= . Ento

Multiplicando os dois lados da igualdade por atemos 2a ab=

Subtraindo 2b dos dois lados da igualdade anterior temos 2 2 2a b ab b =

Fatorando os dois membros da igualdade acima temos ( )( ) ( )a b a b b a b+ = Dividindo ambos os membros por ( )a b temos a b b+ =


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15Como sabemos que a b= , podemos substituir apor b obtendo b b b+ =

Que implica em 2b b=

Dividindo ambos os membros por b , chegamos concluso de que 2 1= .

5 Faa um esboo, na reta, dos resultados seguintes:

a) (1,2 0,3 b) (1,2 0,3

c) ( )0,1 d) (1,4 ,3

e) ( )1,4 ,3 f) (1,2 2,1

g) )0,1 1,5

h) ) (1, ,0

+

i) { }1

2 ,12

j) ( ), 0

6 Determine todos os nmeros reais que satisfazem a desigualdade. Expresse a soluo com a

notao de intervalos e represente-a na reta dos reais.

a) 10 18 4x x< + b)9 5 24 2 3

x< +

c) 2 5 3 11x < d) 1 01

x

x

>+

e) ( )( )1 3 0x x f) 2 1 3x x+ + >

7 Sejam ,x y , mostre que:

a) x y x y

b) x y x y < < +

c) Se x < , para todo 0> , ento 0x= .

d) Para quaisquer , ,x y z , prove que x z x y y z + .

e) Dados ,x y , se 2 2 0x y+ = prove que 0x y= = .

8 Determine todos os nmeros reais que satisfazem as equaes:

a) 3 1x = b) 5 3x x=


46/69


16c) 2 5 8x x x + = d) 4 5 2 3x x+ = +

e) 5 8x x x+ = f) 2 4 4 2x x x + =

10 Determine o intervalo soluo das seguintes desigualdades:

a)1

2 3x x

x x

+ f) 3 2 4x x+ <

g)5 1

2 1 2x x

h) 2 4 1x x+ +

i) 4 1 3x x x+ + + j) 1 2x x x+ > +

k) 3 1 3 1x x x + < + l)3 41 1

x

x x

+


47/69

PARTEIVRELAESEDEFINIODEFUNO

1

PARTE IVRELAES E DEFINIO DE FUNO

Nesta seo estudaremos a definio relao (binria), conceito que d suporte a entender uma

funo como substrato da teoria dos Conjuntos. Tambm uma preparao para estudarmos

algumas caractersticas gerais das funes (reais) e tipos de funes elementares cujo estudo mais

detalhado faremos na disciplina chamada Fundamentos de Matemtica 1.

Contedos

1. Produto cartesiano

2. Relaes binrias

3. Domnio e imagem de uma relao

4. Representao grfica

5. Relao inversa

6. Funo

7. Grfico de uma funo

8. Igualdade, prolongamento e restrio de funes



48/69


2

Produto Cartesiano

Par ordenado.Dados dois elementos xe ypertencentes a determinados conjuntos definimos opar ordenado como o elemento que indicaremos por ( ),x y

x o 1. elemento ou 1. coordenada

y o 2. elemento ou 2. coordenada.

Igualdade de pares ordenados.Dizemos que dois pares ordenados ( )1 1,x y e ( )2 2,x y so iguais se esomente se

1 2x x= e 1 2y y= .

Exemplos

a)

b)

Produto cartesiano. Dados dois conjuntos no vazios A e B, o produto cartesiano ou

simplesmente produto de A por B, indicamos A B , o conjunto de todos os pares ordenados

( , )x y tal que x A e y B .

{ }( , ) ; eA B x y x A y B =

Observaes

1) A = .

2) ( )n A p= e ( )n B q= ento ( )n A B pq = .

3) Se A B= ento 2A B A A A = = .

4)

Em geral, A B B A , ou seja, o produto cartesiano no comutativo.


49/69


3

Representao grfica de uma relao. Existem algumas formas de representar um produto

cartesiano graficamente.

Exemplo Sejam { }1,2A = e { },B a b= .

a) Tabela de dupla entrada

A/B a B

1 1,a 1,b

2 2,a 2,b

b) Diagrama sagital

c) Diagrama cartesiano. Se ,A B , ento ( ), ex y A B x y .

x

y

( , )x y

Exerccio Represente no plano cartesiano os seguintes produtos:

a) { } { }1,1 0,1

b) { }1,1 0,1

c) 1,1 0,1


50/69


4

Algumas Propriedades

1) ( ) ( ) ( )A B C A B A C =

2) ( ) ( ) ( )A B C A B A C =

3) ( ) ( ) ( )A B C A B A C =

4) ( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C B D =

5) ( ) ( )A B A C B C

Demonstraes.

2)

3)

Generalizaes

( ){ }1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., ; , , ...,n n n n A A A x x x x A x A x A =

( )1 2, ,..., nx x x chamada de n-upla.

Relao (binria).Dados os conjuntos A e B , uma relao binria (ou simplesmente, relao de

A em B) R qualquer subconjunto de A B . Isto , R uma relao de A em B

R A B .

Notao: ( , )xRy x y R .

Observao. ( , )x y R se ( , )x y satisfaz a determinada sentena aberta que caracteriza R .

Exemplos

1 Considere { }, ,A a b c = e { },B x y= .

a) { }1 ( , ),( , )R a x b y = uma relao de A em B .


51/69


5

b) { }2 ( , )R c x=

2 Sejam { }1,2,4A = e { }1,3,4,6,8B= .a) { }1 ( , ) ;R x y A B x y = <

b) { }2 ( , ) ; |R x y A B x y =

c) { }3 ( , ) ; 2R x y A B x y = + =

3 Caracterize os elementos de

a) { }2 2 24 ( , ) ; 0R x y x y = + =

b) { }5 ( , ) ; 4R x y x y = + =

Domnio de uma relao.Seja R uma relao de A em B , o domnio de R , indicamos ( )D R o

conjunto de todos os elementos x A tais que y B e ( , )x y R . Isto ,

{ }( ) ; e ( , )D R x A y B x y R A=

Imagem de uma relao.A imagem de R , indicamos Im( )R , o conjunto de todos os elementos

y B para os quais existe x A e ( , )x y R . Isto ,

{ }Im( ) ; e ( , )R y B x A x y R B =

Exemplos

Representao grfica de relaes

Como R A B temos as seguintes representaes


52/69


6

Tabela de dupla entrada

Diagrama sagital

Diagrama cartesiano

Exemplos Determine a representao grfica no plano cartesiano das seguintes relaes,

indicando para cada uma delas o domnio e a imagem.

a) { }2 21 ( , ) ;R x y y x = =

b) { }2 ( , ) ;R x y y x = =

c) { }23 ( , ) ;R x y y x =

d) { }2 2 2

4 ( , ) ; 1R x y x y = +

e) { }25 ( , ) ; 1R x y x y = + +

g) { }7 ( , ) ;R x y A B y x = = onde 1,1A = e 0,2B = .

Se R uma relao de A em A , dizemos simplesmente que R uma relao em A ou sobre A .


53/69


7

Propriedades das relaes em A.Seja R uma relao em A , ento:

i) R reflexiva , ( , )x A x x R .

ii) R simtrica ( , ) ( , )x y R y x R .

iii)R anti-simtrica ( , ) e ( , )x y R y x R x y = .

iv)R transitiva ( , ) e ( , ) ( , )x y R y z R x z R .

v) R equivalncia R reflexiva, simtrica e transitiva.

vi)R ordem R reflexiva, anti-simtrica e transitiva.

Exemplos e classificao das propriedades

1 { }1,2,3,4A =

a) Em A , definimos { }1 (1,1),(2,2),(3,4),(4,1)R = . Ento

i) 1R no reflexiva pois 1(3,3) R e 1(4,4) R .

ii)1R no simtrica...

iii) 1R anti-simtrica.

b) { }2 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,2)R =

i)2R reflexiva;

ii) 2R no simtrica;

iii) 2R no anti-simtrica.


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8

Exerccios/Exemplos

Reflexiva

1 Em { }1,2,3,4A = definimos as relaesa) { }1 (1,1),(2,2),(1, 3)R =

b) { }2 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)R =

2 mltiplo dexRy x y R

Note que x , x mltiplo de x, ou seja, ( , )x x R e, portanto, R reflexiva.

3 2 ( ) >1xRy x y

4 xRy x y <

Simtrica

1 Em { }1,2,3,4A = definimos as relaes

a) { }1 (1,1),(2,1),(1,2),(3,1)R =

b) { }2 (2,1),(1,2),(3,2),(2,3)R =


3 2 ( ) >1xRy x y

4 xRy x y 2R

Anti-simtrica


a) { }1 (1,1),(2, 3),(3,2)R =

b) { }2 (2,3)R =


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9

c) { }3 (1,2),(2,1),(3,4)R =

d) { }4 (1,2),(3,4)R =


3 2 ( ) >1xRy x y

4 xRy x y 2R

Transitiva


a) { }1 (1,2),(2,3)R =

b) { }2 (1,2),(3,4)R =

c) { }3 (2,1)R =


3 2 ( ) >1xRy x y

4 xRy x y < 2R

Relao inversa. Dada a relao R A B , a relao inversa de R , denotada por 1R ,

definida por { }1 ( , ); ( , )R y x x y R = .

Observaes

i) 1( , ) ( , )x y R y x R .

ii) R A B ento 1R B A .

Exemplos


56/69


10

1 Considere { }1,2,3A = , a relao definida por { }(1,1),(2,3),(1,3)R= tem relao inversa

{ }1 (1,1),(3,2),(3,1)R = .

2 { }2,3A = e { }5,4,6B= definimos dividexRy x y R A B . Vemos que

{ }(2,4),(2,6),(3,6)R= ................

Propriedades da relao inversa. Seja R A B

i)

1 1( )R R =

ii) 1( ) Im( )D R R=

iii) 1Im( ) ( )R D R=

Exemplos

1 Sejam { }1,2,3A = , 0,5B = e { }( , ) ;R x y A B x y = < . Determine os grficos de R e de1R .

1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

x

y

1 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

x

y

Grfico da relao R . Grfico da relao inversa 1R .

Note que:Dada uma relao R o grfico de 1R o simtrico do grfico de R em relao 1.

bissetriz, isto , ( , )x y e ( , )y x so pontos simtricos em relao 1. bissetriz.


57/69


11

2 Determine o grfico de 1R sabendo que o grfico de R dado na figura abaixo.

Funo.Sejam A e Bconjuntos no vazios e f uma relao de A em B . Dizemos que f uma

funo de A em Bse e somente se para todo x A , existe um nico y B tal que ( , )x y f .

Isto ,

f A B uma funo ; ; ( , )x A y B x y f .

Exemplos

a) { }1 ( , ) ;f x y y x= =

b) { }2 ( , ) ;f x y y x+= =

c) { }3 ( , ) ;f x y x y=

Observaes.Se f uma funo de A em Bento

( )A D f= o domnio de f ;

( )B CD f = chamado de contra-domnio de f ;

{ }Im( ) ; , ( , )f y B x A x y f= ;

Se x A ento o nico elemento y B tal que ( , )x y f denotado por ( )y f x= e

chamado de imagem de xpela funo f .

Notao:Existem vrias formas de indicarmos que f uma funo de A em B.

a) :f A B

b)A f B

c):

( )

f A B

x y f x

=

d) { }( , ) ; ( )f x y A B y f x= =


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12

Os smbolos , ( ),x f x f so distintos, pois

x A ( )f x B f A B

Quando simplificamos a notao e dizemos simplesmente considere a funo ( )f x

, ficasubentendido que f deve ser considerada no domnio e contra-domnio os mais amplos

possveis.

Uma funo deve ser identificada pelo seu domnio, contra-domnio e a lei de formao.

Assim,

:

( )

f A B

x f x

Exemplos

{ }a) : 11

1

f

xx

)b) : 2,1

1

g

xx

+

Algumas definies.Uma funo :f A B tal que:

i)

A dita uma funo de uma varivel real.

ii) B dita uma funo real.

iii)A e B dita uma funo real de uma varivel real.

Exemplos

(a) : ,2 2

f

x x

uma funo real de uma varivel real.

2b) :

( , )

f

x y xy

uma funo real de duas variveis reais.

c) :

100

J

citcit

+ + +


59/69


13

2d) :

( , 1)

g

x x x

+

e) :

h

x x ix

+

Determinao do domnio.aaa

Exemplos Determine o domnioD

das seguintes funes:

a) :f D , ( ) 2f x x x= + .

b) :g D ,1

( )g tt t

=

.

c) 2:h D , 2 2( , ) 1h x y x y = .

Grfico de uma funo.Considere uma funo :f A B onde A e B . O grfico de f

uma curva no plano definido por { }2graf( ) ( , ) ; ( )f x y y f x= = .

Igualdade de funes.Dadas as funes :f A B e :g C D , dizemos que f g= se e somente

se A C= , B D= e ( ) ( ),f x g x x A= .

Exemplos

a):

f

x x

2

:

g

x x

b):

1

f

x x

+

{ }2

: 1

1

1

g

x

x x


60/69


14a) { }: 1

1

f

x x

+

{ }

2

: 1

1

1

g

xx

x

Prolongamento de funes. Sejam :f A B e :g C D duas funes. Dizemos que g

prolongamento de f se e somente se A C , B D e ( ) ( ),f x g x x A= .

Exemplos

1

: 0,1

f

x x

e

:

g

x x

2 Considere : 1,1 , 1f x x . Quais das seguintes funes so prolongamentos de f ?

a) : , 1g x x

b) { }2 1

: 1 ,

1

xh x

x

+

c) : 0,2 , 1y x x

Restrio de funes.Seja :f A B , definimos a restrio de f parte X A como a funo

:

( )

g X B

x f x

. Assim, ( )D g X= e ( ) ( ),g x f x x X = .

Notaes: Xf ou Xf .

Exemplos

1 Seja : ,f x x e 1,2X = . Ento : 1,2 ,Xf x x

.

2 Seja 2: ,f x x e )0,X = + . Ento ) 2: 0, ,Xf x x + .


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15

Comentrio importante

Praticamente todos os textos escolares em uso no nosso pas definem uma funo :f A B como

um subconjunto do produto artesiano A B com as propriedades G1 e G2 acima enunciadas.

Essa definio apresenta e o inconveniente de ser formal, esttica e no transmitir a idia

intuitiva de funo como correspondncia, transformao, dependncia (uma grandeza funo de

outra) ou resultado de um movimento. Quem pensaria numa rotao como um conjunto de pares

ordenados? Os matemticos e (principalmente) os usurios da Matemtica olham para uma

funo como uma correspondncia, no como um conjunto de pares ordenados. Poder-se-ia talvez

abrir uma exceo para os lgicos, quando querem mostrar que todas as noes matemticas se

reduzem, em ltima anlise, idia pura de conjunto.

EXERCCIOS DE APRENDIZAGEM E FIXAO RELAES E A DEFINIO DE FUNO

1 Construa o diagrama cartesiano dos seguintes produtos:

a) ( )1,4 2,3 b) { } )1,4 2,3

c) ( )1,4 4, + d) ( { }1,4 2,3

e) { } { }1,4 2,3 f) ( ) ( ), 3 4, +

2 Mostre que:

a) ( ) ( ) ( )A B C A B A C =

b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C =

c) ( ) ( ) ( )A B C A B A C =

d) ( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C B D =

e) ( ) ( )A B A C B C

3 Construa o diagrama cartesiano das seguintes relaes. Determine 1( ), Im( ),D R R R .


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16

a) { }2( , ) ; 4 e 2, 4R x y x y = =

b) { }2 2 2( , ) ; 25 e 0R x y x y y = + =

c) { }2( , ) ; 5 ou 2 4R x y x y x y = + = =

d) { }2( , ) ; 5 e 2 4R x y x y x y = + = =

e) { }2( , ) ; 3 e 2R x y x y =

f) { }2( , ) ; 4R x y x y = + =

g) { }2( , ) ;R x y y x x = > +

h) { }2( , ) ; 4R x y x y = =

i) { }2( , ) ; 3R x y x y = + =

j) { }2( , ) ; 3R x y x y = + >

4 Considere as seguintes relaes em :

{ }2 2( , ) ;S x y y x = > { }2( , ) ; 2T x y y x = +

{ }2 2 2( , ) ; 25U x y x y = + 2 24( , ) ;9

V x y y x =

Construa o diagrama cartesiano e determine domnio e imagem das seguintes relaes:

a) S T b) U V

c) S U d) S V

e) T V f) S T

g) T V h) U V


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17

5 Verifique se as relaes abaixo so reflexivas, simtricas, anti-simtricas, transitivas, de

ordem, de equivalncia.

a) Relaes em

i) divisvel por 5.xRy x y

ii) mltiplo de .xRy x y

iii) 2 ( ) 1.xRy x y >

iv) xRy x y

b) Relaes em { }1,2,3,4A =

i) { }1 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)R =

ii) { }2 (1,2),(2, 3)R =

iii) 3R A A=

iv) { }4 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2)R =

v) { }5 (1,1),(2,2),(4,4),(1,2)R =

c) 2 2( , ) ( , ) ex y R z t x z y t R .

d) 2 2( , ) ( , )x y R z t x z R = .

6 Seja E . Dados , ( )X Y P E , mostre que as seguintes relaes so de equivalncia em

( )P E . Onde A subconjunto fixo de E .

a) XRY X A Y A =

b) XSY X A Y A =


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187 Sejam 1R e 2R relaes reflexivas, simtricas e transitivas num conjunto A . Mostre que:

a) 1 2R R reflexiva, simtrica e transitiva.

b) 1 2R R reflexiva e simtrica.

c) D exemplo para mostrar que 1 2R R no transitiva.

8 Determine o domnio das funes reais definidas pelas seguintes sentenas:

a)2

( ) 4f x x= b)2

( ) ( 3)f x x=

c) 3( )f x x x= d) ( ) 1 3f x x x= + +

e)1

( )f xx x

=

f)1

( )f xx x

=+

9 Dada a funo :f +

definida por ( )f x x= , verifique quais das seguintes funes soum prolongamento de f :

a) )1 : 2,g + definida por 1( )g x x= .

b) 2 : 1,1g

definida por2( )g x x= .

c) 3 :g definida por 3( )g x x= .

d) 4 :g definida por 4( ) 2

x x

g x

+

= .

10 Sejam as funes :f B A e :g C A tais queB C B C

f g

= . Mostre que se h f g=

ento:

a) h uma funo de B C A ;

b) Bf h= e Cg h= .


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1911 Esboce o grfico das funes reais definidas pelas sentenas abaixo determinando domnio,

imagem.

a) ( )2

x xf x

+= b) ( ) 1

xf x

x= +

c) ( ) ( 1)( 2)f x x x= + d)4

2

1( )

1

xf x

x

=

e) 2( ) 2 3f x x x= + f) 2( ) 1f x x x= +

g) 2( ) ( 1)f x x x x= + h) 3( ) ( 2) 1f x x= + +

i) 2( )f x x x= j)1

( ) x

f xx

=

k) ( )f x x x = l) ( )f x x =

m)1

( )f xx

= n) ( ) 1 4f x x= +

o)3 22

( )2

x xf x

x

=

p)

3 2 13 3( )

3

x x xf x

x

=

+

q) 2

3 2 se 1( )

se 1

x xf x

x x


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APENDICERESPOSTASDOSEXERCCIOSEREFERENCIAS

1

REFERNCIAS

Parte I Lgica Matemtica

[1]ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciao Lgica Matemtica. Editora Nobel, 1984.

[2]

DAGHLIAN, Jacob. Lgica e lgebra de Boole, 3. edio. So Paulo, Atlas, 1990.

[3]IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemtica Elementar conjuntos e funes, vol 1.

Atual, 2005.

[4]MACHADO, Nilson Jos. Lgica? Lgico! Coleo Vivendo a Matemtica.

Scipinoe, 2000.

[5]LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos Coleo Schaum. McGrawHill,

1972.

[6]MACHADO, Nilson Jos & CUNHA, Marisa Ortega. Lgica e linguagem cotidiana

Coleo Tendncias em Educao Matemtica. Autntica Editora, 2005.

[7]CRUZ, Angela & MOURA, Jos Eduardo. A Lgica na Construo dos Argumentos

Notas em de Matemtica Aplicada 14. SBMAC, 2004.

[8]CARNIELLI, Walter A. & EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, funes

computveis, lgica e os fundamentos da Matemtica.So Paulo Editora UNESP,

2006.

[9]FOSSA, John. Introduo s Tcnicas de Demonstrao em Matemtica. Editora

Livraria da Fsica, 2009.

[10] CARAA, Bento. Conceitos Fundamentais da Matemtica, 4. edio. Editora

Gradiva, Lisboa, 2002.

[11] COURANT, R e ROBBINS, H. O que a Matemtica?Editora Cincia Moderna,

Rio de Janeiro, 2000 (traduo do original What is Mathematics? 1969).

[12] STEWART, Ian. Mania de Matemtica: diverso e jogos de Lgica matemtica. Rio

de Janeiro, Jorge Zahar editora, 2005.

Parte II e IV Conjuntos e Relaes


67/69


2

[1]LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos Coleo Schaum. McGrawHill,

1972.

[2]LIMA, Elon L. A Matemtica do Ensino Mdio, volume 1. SBM, 2000.

[3]IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemtica Elementar conjuntos e funes, vol 1.

Atual, 2005.

[4]HALMOS, Paul. Teoria Ingnua dos Conjuntos Coleo Clssicos da Matemtica.

Livro de 1960 reeditado pela Cincia Moderna, 2001.

[5]LIMA, Elon L. Meu professor de matemtica e outras histrias. Coleo do professor

de matemtica. SBM, 1991.

[6]CARAA, Bento. Conceitos Fundamentais da Matemtica. 4a edio, Gradiva,

Lisboa, 2002.

[7]CARNIELLI, Walter A. & EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, funes

computveis, lgica e os fundamentos da Matemtica.So Paulo Editora UNESP,

2006.

[8]COURANT, R e ROBBINS, H. O que a Matemtica?.Ed. Cincia Moderna, Rio

de Janeiro, 2000 (traduo do original What is Mathematics? 1969).

Parte III Conjunto dos Nmeros Reais (ou Nmeros e Conjuntos Numricos)

[1]LIMA, Elon Lages. A Matemtica do Ensino Mdio, volume 1. SBM, 2000.

[2]RIPOLL, Jaime B., RIPOLL, Cydara C. e SILVEIRA, Jos Francisco P. Nmeros

Racionais, Reais e Complexos. Editora UFRGS, 2006.

[3]LIMA, Elon L. Anlise Real, vol 1 Coleo Matemtica Universitria. Rio de

Janeiro, IMPA, 1997.

[4]AVILA, Geraldo. Anlise Matemtica para Licenciatura. Edgard Blcher, 2006.

[5]MILIES, Cesar P. & COELHO, Sonia P. Nmeros: uma introduo Matemtica.

EdUSP, 2001.

[6]

DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmtica. Atual Editora, 1991.


68/69


3

[7]FERNANDES, ngela Maria V. [et al.]. Fundamentos de lgebra.Editora UFMG,

2005.

[8]NIVEN, Ivan. Nmeros Racionais e Irracionais. SBM, 1984.

[9]FIGUEIREDO, Djairo G. Nmeros irracionais e transcendentes. Coleo iniciao

cientifica. SBM, 2002.

[10] MENDES, Iran Abreu. Nmeros: o simblico e o racional na histria. So Paulo,

Editora Livraria da Fsica, 2006.

[11] CARAA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemtica, 4a edio,

Gradiva, Lisboa, 2002.

[12] COURANT, R e ROBBINS, H. O que a Matemtica?.Ed. Cincia Moderna, Rio

de Janeiro, 2000 (traduo do original What is Mathematics? 1969).

Artigos e revistas

[1]Geraldo vila. Cantor e a Teoria dos Conjuntos.RPM, nmero 43, pginas 614,

2000.

[2]

Christian Q. Pinedo. Histria da Teoria dos conjuntos.Monografias em Ensino daMatemtica vol. 1(2002), No. 01, pp. 139-150. IFBA (Pato Branco, PR).

[3]Irineu Bicudo. Peri apodeixeos/de demonstratione. In Educao Matemtica:

pesquisa e movimento, Maria Aparecida V. Bicudo e Marcelo C. Borba

(organizadores). So Paulo, Cortez editora, 2004.

[4]Ana Catarina P. Hellmeister. Lgica atravs de exemplos: vamos usar a RPM?.

RPM, nmero 47, pginas 3237, 2001.[5]Iaci Malta. Linguagem, leitura e Matemtica in Disciplinas Matemticas em cursos

superiores: reflexes, relatos, propostas. Helena Noronha Cury (organizadora).

EDPUCRS, Porto Alegre, 2004.

[6]As diferentes faces do infinito Edio especial, Cientific American Brasil, n 15.

[7]RPM Revista do Professor de Matemtica, diversos nmeros, SBM.

[8]

Desvendando os nmeros reais. Cristina Cerri, USP.


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[9]A construo dos nmeros reais nos ensinos fundamental e mdio. Cydara C. Ripoll,

UFRGS.

[10] Joo Carlos Sampaio e Pedro Luiz Malagutti. Mgicas, Matemticas e outros

Mistrios III Bienal da Sociedade Brasileira de Matemtica - UFGO

Divulgao e Histria da Matemtica

[1]EVES, Howard. Introduo Histria da Matemtica. Unicamp, 2002.

[2]IFRAH, Georges. Os nmeros a histria de uma grande inveno, 2 edio. Globo,

1989.

[3]BOYER, Carl B. Histria da matemtica, 2. Edio. Edgard Blcher, 1998.

[4]GUNDLACH, Bernard H. Tpicos de histria da matemtica para uso em sala de

aula: Nmeros e numerais e Computao.Atual editora, 1998.

[5]MAOR, Eli. e: a histria de um nmero.Record, 2003.

[6]AABOE, Asger. Episdios da histria antiga da matemtica. SBM, 2002.

[7]KAPLAN, Robert. O nada que existe uma histria natural do zero.Editora Rocco,

2001.

[8]ACZEL, Amir O. O Mistrio de Aleph A Matemtica, a cabala e a procura pelo

infinito. Rio de Janeiro, Editora Globo, 2003.

[9]GARBI, Gilberto G. A Rainha das Cincias um passeio histrico pelo maravilhoso

mundo da Matemtica.So Paulo, Editora Livraria da Fsica, 2006.

[10]

NETZ, Reviel & NOEL, William. Cdex Arquimedes como um livro de oraes

revelou a genialidade de um dos maiores cientistas da antiguidade.Rio de Janeiro,

Record, 2009.

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