Erotiseis Theorias Elegxos Gnoseon Synexeia Bolzano New

ÌáèçìáôéêÜ Ã! Ëõêåßïõ

ÈåùñßáÌÝèïäïé

ËõìÝíåò áóêÞóåéò¢ëõôåò áóêÞóåéòÖýëëá åñãáóßáò

ÅðéëåãìÝíá èÝìáôá

ÈùìÜò Ñáúêüöôóáëçò

ÓõíÝ÷åéá óå êëåéóôü äéÜóôçìá

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÌÅÓÇÓ ÅÊÐÁÉÄÅÕÓÇÓ

Ì Å È Ï Ä Ï Ó

1ï:Êýðñïõ 32 êáé ÓðÜñôçò 24 - ¢íù ÊáëáìÜêéÔçë: 210 9921765 - 210 9931201

2ï:ÈåïìÞôïñïò 62 - ¢ëéìïòÔçë: 210 9956147

Έλεγχος Γνώσεων στη Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστηµα

1

Θέµα 1

Απάντηση

Θεώρηµα Bolzano β) Έστω µια συνάρτηση f, ορισµένη στο διάστηµα [α, β]. Αν: ♦ η f είναι συνεχής στο [α, β] και επιπλέον ισχύει ♦ f(α)f(β)<0 τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον (((( ))))0x ,∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β τέτοιο, ώστε 0f (x ) 0==== .

Έλεγχος αν ισχύει το θεώρηµα του Bolzano – Προϋποθέσεις

Μέθ.Α

Σχόλιο

Ασκήσεις για εκµάθηση

Άσκηση 1

Λύση


2

Άσκηση 2

Λύση

Άσκηση 3

Λύση

Ασκήσεις για εξάσκηση

1η κατηγορία

1.

2.


3

3.

4.


1.

2.

3.


1.

2.

3.

Θεώρηµα Bolzano και ύπαρξη ρίζας (Μέθοδοι)

Μεθ.Β

ύπαρξη ρίζας σε ανοικτό

διάστηµα

Α. Για να αποδείξουµε ότι µια εξίσωση έχει, µία τουλάχιστον ρίζα σε ένα διάστηµα (α, β), ακολουθούµε τα εξής βήµατα: ♦ Φέρνουµε όλους τους όρους στο πρώτο µέλος. ♦ Θεωρούµε το πρώτο µέλος ως µια συνάρτηση f. ♦ Εξασφαλίζουµε για την f τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Bolzano στο διάστηµα [α, β]. Β. Αν το διάστηµα [α, β] δεν δίνεται, τότε το εντοπίζουµε µε κατάλληλες δοκιµές. Γ. Αν θέλουµε να αποδείξουµε ότι η εξίσωση έχει περισσότερες ρίζες, τότε εφαρ-µόζουµε την παραπάνω διαδικασία σε περισσότερα διαστήµατα, είτε χωρίζοντας το αρχικό διάστηµα είτε εντοπίζοντας (µε δοκιµές) νέα διαστήµατα. Τονίζουµε ότι τα διαστήµατα αυτά δεν πρέπει να έχουν κοινά εσωτερικά σηµεία. ∆. Αν η f, όπως έχει οριστεί, δεν ορίζεται σε κάποιο άκρο, τότε µετασχηµατίζουµε την αρχική εξίσωση απαλείφοντας πρώτα τους ανεπιθύµητους παρονοµαστές.

Σχόλιο


4

Μεθ.Γ

ύπαρξη ρίζας σε κλειστό

διάστηµα

Έστω ότι θέλουµε να αποδείξουµε ότι υπάρχει [[[[ ]]]]0x ,∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β , ώστε 0f (x ) 0==== .

Εξασφαλίζουµε πρώτα ότι η f είναι συνεχής στο [α, β] και στη συνέχεια ότι ισχύει: f(α)f(β)≤0. ∆ιακρίνουµε έτσι τις εξής περιπτώσεις: ♦ Αν f(α)f(β)=0 , τότε θεωρούµε xο = α ή xο = β.

♦ Αν f(α)f(β)<0, τότε από το θεώρηµα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον

(((( ))))0x ,∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β τέτοιο, ώστε 0f (x ) 0==== .

Εποµένως, υπάρχει τελικά [[[[ ]]]]0x ,∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β τέτοιο, ώστε 0f (x ) 0==== .

Γενικά λοιπόν, αν ζητείται [[[[ ]]]]0x ,∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β , τότε αρκεί να βρούµε ότι f(α)f(β)≤0

και να διακρίνουµε τις παραπάνω δύο περιπτώσεις.

Μεθ.∆

ύπαρξη ρίζας µε

βοηθητική συνάρτηση

Για να αποδείξουµε ότι υπάρχει (((( ))))0x ,∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β , ώστε να ισχύει µια ιδιότητα Q,

ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: ♦ Θέτουµε x στη θέση του xο και φέρνουµε όλους τις όρους τις δοσµένης σχέσης στο πρώτο µέλος.

♦ Θεωρούµε το πρώτο µέλος ως µια συνάρτηση f (ή h ή g) του x και εξετάζουµε αν αυτή ορίζεται στο [α, β].

Αν όχι, τότε απαλείφουµε πρώτα τις παρονοµαστές που µηδενίζονται στα α ή β και ύστερα θεωρούµε τη συνάρτηση. ♦ Εξασφαλίζουµε για την f τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Bolzano στο [α, β] και το εφαρµόζουµε.


Άσκηση 1

Λύση


5

Άσκηση 2

Λύση

Άσκηση 3

Λύση


6

Άσκηση 4

Λύση

Άσκηση 5

Λύση

Άσκηση 6

Λύση


7

Άσκηση 7

Λύση

Άσκηση 8

Λύση

Άσκηση 9

Λύση


8

Άσκηση 10

Λύση

Άσκηση 11

Λύση

Άσκηση 12

Λύση

Άσκηση 13

Λύση


9

Φύλλο εργασίας 1



1.

2.

3.

4.

Α.

Β.

Γ.


10

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.


1.

2.

3.

4.


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.


1.

2.

3.

4.


Ύπαρξη ρίζας µε βοηθητική συνάρτηση


11

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.


12

14.

15.

16.

Μεθ.Ε Ύπαρξη κοινού σηµείου καµπύλων


Άσκηση 1

Λύση

Άσκηση 2

Λύση


13

Άσκηση 3

Λύση


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.


14

9.

10.

Μεθ.ΣΤ Εύρεση προσήµου συνάρτησης

Λέγοντας εύρεση πρόσηµου µιας συνάρτησης f εννοούµε να βρούµε τα διαστήµατα, στα οποία αυτή είναι θετική ή αρνητική.

Ισχύει όµως ότι: Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και δεν µηδενίζεται στο διάστηµα αυτό, τότε η f διατηρεί (σταθερό) πρόσηµο στο διάστηµα αυτό, δηλαδή

ή f(x) είναι θετικό για κάθε ∈∈∈∈x ∆∆∆∆ ή f(x) είναι αρνητικό για κάθε ∈∈∈∈x ∆∆∆∆ .

Εποµένως µια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστήµατα, στα οποία χωρίζουν το πεδίο ορισµού οι διαδοχικές ρίζες της f. Έτσι, η εύρεση του πρόσηµου µιας συνεχούς συνάρτησης f γίνεται ως εξής:

♦ Λύνουµε την εξίσωση f(x)=0, fx D∈∈∈∈ .

♦ Σε έναν πίνακα χωρίζουµε το Df σε διαστήµατα, τοποθετώντας σε αυτόν τις ρίζες της f και τα ανοικτά άκρα των διαστηµάτων του Df.

♦ Σε καθένα από τα υποδιαστήµατα που δηµιουργούνται επιλέγουµε ένα κατάλληλο αριθµό και βρίσκουµε το πρόσηµο της f στον αριθµό αυτό. Το πρόσηµο αυτό είναι και το πρόσηµο της f στο αντίστοιχο διάστηµα.

Τονίζουµε ότι: ♦ µπορούµε να επιλέξουµε ως κατάλληλο αριθµό και κάποιο άκρο, αν η f δεν µηδενίζεται σε αυτό, ♦ µπορούµε αντί της τιµής του άκρου να βρούµε το αντίστοιχο πλευρικό όριο στο άκρο αυτό, αρκεί να µην είναι µηδέν.

Την παραπάνω διαδικασία προτιµάµε µόνο αν είναι πολύ δύσκολη η εύρεση κατάλληλου αριθµού στο εσωτερικό του διαστήµατος.

Σχόλια

��

��

��


15


Άσκηση 1

Λύση

Άσκηση 2

Λύση

Άσκηση 3


16

Λύση

x

f(x)

+

-

+

Επιλέγουµε µια τιµή από το κάθε διάστηµα και βρίσκουµε το πρόσηµο της f στη θέση αυτή. Μπορούµε να διαλέξουµε και άκρο του διαστήµατος, µε την προϋπόθεση ότι η f δεν µηδενίζεται σε αυτό.


1.

2.

2ππππ

−−−− 4ππππ

−−−−

6ππππ

2ππππ

0 0


17

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Μεθ.Ζ

Εύρεση του τύπου συνεχούς συνάρτησης

Όταν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και δεν µηδενίζεται σε αυτό, τότε η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο σε αυτό, δηλαδή ή είναι παντού θετική ή παντού αρνητική.

Η διαπίστωση αυτή µας επιτρέπει ορισµένες φορές να βρούµε, µε κατάλληλες ενέργειες, τον τύπο µιας συνεχούς συνάρτησης που ικανοποιεί µια σχέση.


Άσκηση 1

Λύση


18

Άσκηση 2

Λύση


19

Άσκηση 3

Λύση

Άσκηση 4

Λύση


1.


20

2.

3.

4.

5.

6.

Θέµα 2 α) Να διατυπωθεί και στη συνέχεια να αποδειχθεί το θεώρηµα των ενδιαµέσων τιµών. β) Να διατυπωθεί το θεώρηµα µέγιστης και ελάχιστης τιµής


21

Απάντηση α) Θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν: ♦ η f είναι συνεχής στο [α, β] και ♦ f ( ) f ( )α ≠ βα ≠ βα ≠ βα ≠ β τότε για κάθε αριθµό η ανάµεσα στα f(α) και f(β), υπάρχει ένας τουλάχιστον (((( ))))0x ,∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β

τέτοιος, ώστε 0f (x ) = η= η= η= η .

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Ας υποθέσουµε ότι <f ( ) f ( )α β . Τότε θα

ισχύει < <f ( ) f ( )α η β . Αν θεωρήσουµε τη

συνάρτηση = −g( x ) f ( x ) η , ∈x [ , ]α β ,

παρατηρούµε ότι: • η g είναι συνεχής στο [ , ]α β και

• <g( )g( ) 0α β ,

′x0 x0 ′′x0

y

B(β, f(β))

f (a)

f(β)

O β

y=η η

a x

Α(α , f(α))

αφού = − <g( ) f ( ) 0α α η και = − >g( ) f ( ) 0β β η .

Εποµένως, σύµφωνα µε το θεώρηµα του Bolzano, υπάρχει ∈0x ( , )α β τέτοιο,

ώστε = − =0 0g( x ) f ( x ) 0η , οπότε =0f ( x ) η .

β) Θεώρηµα µεγίστης και ελαχίστης τιµής Αν f συνεχής συνάρτηση ορισµένη στο κλειστό διάστηµα [α, β], τότε η f παίρνει στο [α,β] µια µέγιστη τιµή Μ και µια ελάχιστη τιµή µ. Υπάρχουν δηλαδή [[[[ ]]]]1 2x ,x ,∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β τέτοιοι ώστε:

1 2f (x ) m f (x) M f (x )= ≤ ≤ == ≤ ≤ == ≤ ≤ == ≤ ≤ = για κάθε [[[[ ]]]]x ,∈ α β∈ α β∈ α β∈ α β .

♦ Όταν µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστηµα ∆ και παίρνει δύο τιµές διαφορετικές µεταξύ τους, τότε η f παίρνει και όλες τις ενδιάµεσες (Θ.Ε.Τ.). Εποµένως, αν η f δεν είναι σταθερή, τότε το f(∆) είναι επίσης διάστηµα.


22

♦ Ένα θεωρητικό συµπέρασµα που προκύπτει από τα παραπάνω θεωρήµατα είναι και το εξής: «Αν η f είναι συνεχής και «1 - 1» σε ένα διάστηµα ∆, τότε είναι γνησίως µονότονη στο ∆». Μελέτησε την απόδειξη της πρότασης.

Μια σηµαντική πρόταση

Κάθε συνεχής

και «1-1» συνάρτηση

είναι γνήσια

µονότονη

Αν η συνάρτηση f : A →→→→ ℝℝℝℝ είναι συνεχής και «1-1» στο διάστηµα Α, τότε η f είναι γνήσια µονότονη στο Α. Απόδειξη

Μεθ.Η

Θεώρηµα ενδιαµέσων

τιµών

Στις ακόλουθες ασκήσεις ακολουθούµε τα εξής:


Άσκηση 1

Λύση

Άσκηση 2

Λύση


23


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Μεθ.Θ

Μέγιστο – Ελάχιστο

και Θεώρηµα ενδιαµέσων

τιµών

Στις ακόλουθες ασκήσεις ακολουθούµε τα εξής:


24


Άσκηση 1

Λύση

Άσκηση 2

Λύση

Άσκηση 3


25

Λύση

Άσκηση 4

Λύση

Άσκηση 5

Λύση


26


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Οι λύσεις των ασκήσεων 6,7,8

6. 7.

8.


27

Φύλλο εργασίας 2

Α.

Β.

Γ.


28

Στ

Ζ.

Η.

Μεθ.Ι

Σύνολο τιµών

Α. Για να βρούµε το σύνολο τιµών f(∆) µιας συνάρτησης f σε ένα διάστηµα (((( )))),∆ = α β∆ = α β∆ = α β∆ = α β ακολουθούµε τα εξής βήµατα:

♦ ∆ιαπιστώνουµε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως µονότονη στο διάστηµα (((( )))),∆ = α β∆ = α β∆ = α β∆ = α β .

♦ Βρίσκουµε τα όρια: xim f (x)

++++→α→α→α→αΑ =Α =Α =Α = ℓℓℓℓ και

xB imf(x)

−−−−→β→β→β→β==== ℓℓℓℓ .

Είναι τότε: (A,B), f ί ί ύ

f ( )(B, A), f ί ί ί

αν η ε ναι γνησ ως α ξουσααν η ε ναι γνησ ως α ξουσααν η ε ναι γνησ ως α ξουσααν η ε ναι γνησ ως α ξουσα∆ =∆ =∆ =∆ =

αν η ε ναι γνησ ως ϕθ νουσααν η ε ναι γνησ ως ϕθ νουσααν η ε ναι γνησ ως ϕθ νουσααν η ε ναι γνησ ως ϕθ νουσα.

Αν κάποιο από τα άκρα του διαστήµατος ∆ είναι κλειστό, τότε το

∆.

Ε.


29

αντίστοιχο άκρο του f(∆) είναι επίσης κλειστό. Β. Αν γενικά θέλουµε να βρούµε το σύνολο τιµών f(Α) της συνεχούς συνάρτησης f : A →→→→ ℝℝℝℝ , τότε: ♦ βρίσκουµε τα διαστήµατα ∆1, ∆2, ..., ∆κ στα οποία η f είναι γνησίως µονότονη, ♦ βρίσκουµε τα f(∆1), f(∆2), ..., f(∆κ) σύµφωνα µε τα αυτά που περιγράψαµε παραπάνω. Το σύνολο τιµών της f είναι τότε το

1 2f (A) f ( ) f ( ) ... f ( )κκκκ= ∆ ∪ ∆ ∪ ∪ ∆= ∆ ∪ ∆ ∪ ∪ ∆= ∆ ∪ ∆ ∪ ∪ ∆= ∆ ∪ ∆ ∪ ∪ ∆ .

Τονίζουµε ότι αν (((( ))))( , ) ,Α Β = −∞ +∞Α Β = −∞ +∞Α Β = −∞ +∞Α Β = −∞ +∞ ή (((( ))))( , ) ,Β Α = −∞ +∞Β Α = −∞ +∞Β Α = −∞ +∞Β Α = −∞ +∞ , τότε η

µονοτονία της f στο A δεν είναι απαραίτητη.

Συνοπτικά έχουµε τα ακόλουθα

Σχόλιο


Άσκηση 1

Λύση


30

Άσκηση 2

Λύση


31

Άσκηση 3

Λύση

Άσκηση 4

Λύση


1.

2.

3.

4.

5.


32

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

ÓõíïðôéêÞ ðáñïõóßáóç óôç

óõíÝ÷åéá óå êëåéóôü äéÜóôçìá

- áóêÞóåéò ìå õðüäåéîç- áóêÞóåéò ãéá ëýóç- åðéëåãìÝíá èÝìáôá

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ∆ΙΑΣΤΗΜΑ

Θεωρήµατα: Bolzano, ενδιαµέσων τιµών, µέγιστου και ελάχιστου - 33 -

Μέθοδος Α

Αν µας ζητείτε να αοδείξουµε ότι ισχύει ένα αό τα εξής: Α1. Η εξίσωση f(x) 0= έχει µια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β)∈ ,

Α2. Υάρχει ξ (α,β)∈ έτσι ώστε f(ξ) 0= ,

Α3. Η γραφική αράσταση της f τέµνει τον άξονα των x x′ σε ένα σηµείο µε τετµηµένη ξ (α,β)∈ ,

τότε:

� Εξασφαλίζουµε ότι η f είναι συνεχής στο [α,β].

� ∆είχνουµε ότι f(α) f(β) 0⋅ < .

� Εφαρµόζουµε το θεώρηµα Bolzano στο [α,β].

Μέθοδος Β

Αν µας ζητείτε να αοδείξουµε ότι ισχύει ένα αό τα εξής: Β1. Η εξίσωση f(x) 0= έχει µια τουλάχιστον ρίζα ξ [α,β]∈ ,

Β2. Υάρχει ξ [α,β]∈ έτσι ώστε f(ξ) 0= ,

Β3. Η γραφική αράσταση της f τέµνει τον άξονα των x x′ σε ένα σηµείο µε τετµηµένη ξ [α,β]∈ ,

τότε:

� Εξασφαλίζουµε ότι η f είναι συνεχής στο [α,β].

� ∆είχνουµε ότι f(α) f(β) 0⋅ ≤ .

� ∆ιακρίνουµε εριτώσεις, εργαζόµενοι ως εξής: • Αν f(α) 0= , τότε ξ α= ,

• Αν f(β) 0= , τότε ξ β= ,

• Αν f(α) f(β) 0⋅ < , τότε εφαρµόζουµε το θεώρηµα Bolzano στο [α,β], οότε ξ (α,β)∈ .

Τελικά ξ [α,β]∈ .

Μέθοδος Γ

Αν µας ζητείτε να αοδείξουµε ότι : Γ1. Η εξίσωση f(x) g(x)= έχει µια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β)∈ ή ξ [α,β]∈ ,

Γ2. Υάρχει ξ (α,β)∈ έτσι ώστε να ισχύει f(ξ) g(ξ)= ή ξ [α,β]∈ ,

Γ3. Οι γραφικές αραστάσεις των f και g τέµνονται σε τουλάχιστον ένα σηµείο µε τετµηµένη ξ (α,β)∈ ή ξ [α,β]∈ ,

τότε:

� Θέτουµε h(x) f(x) g(x)= − ,

� Εργαζόµαστε για την συνάρτηση h όως υοδεικνύουµε για την f στο Α ή στο Β.


- 34 - Θεωρήµατα: Bolzano, ενδιαµέσων τιµών, µέγιστου και ελάχιστου

Μέθοδος ∆

Αν µας ζητείτε να αοδείξουµε εί λέον η ζητούµενη ρίζα ξ (α,β)∈ ή ξ [α,β]∈ είναι µοναδική,

τότε: � Αρκεί (όχι και ρέει) να δείξουµε ότι η συνάρτηση είναι είτε γνησίως µονότονη είτε «1-1» στο

[α,β].

� Αν δεν είναι 1-1 ή γνήσια µονότονη στο [α,β],

τότε:

• ή δείχνουµε ότι, είτε υάρχει 0x [α, β]∈ µε 0 minf(x ) y 0= = και f(x) 0> για κάθε 0x x≠ , είτε ότι

υάρχει 0x [α, β]∈ µε 0 maxf(x ) y 0= = και f(x) 0< για κάθε 0x x≠ ,

• ή δείχνουµε ότι ισχύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήµατος Rolle για µια αρχική συνάρτηση της f (θα το διδαχθούµε στο κεφάλαιο των αραγώγων),

• ή κάνουµε µελέτη της συνάρτησης f στο [α, β] .

Μέθοδος Ε

Σε ολλές εριτώσεις δεν µας καθορίζεται το διάστηµα στο οοίο ζητάµε τη ρίζα µιας εξίσωσης της µορφής f(x) 0= , (f συνεχής), οότε το θεώρηµα του Βolzano δεν µορεί να εφαρµοστεί άµεσα.

� Στην ερίτωση αυτή ροσαθούµε µε δοκιµές να βρούµε τους αριθµούς α, β∈— , για να

εφαρµόσουµε το θεώρηµα του Βolzano στο [α, β] .

� Αν αυτό δεν είναι δυνατόν, εργαζόµαστε ως εξής:

• Βρίσκουµε το σύνολο τιµών ( )f [α,β] της f (αν είναι εφικτό), δείχνουµε ότι το ( )0 f [α,β]∈ και

εφαρµόζουµε το θεώρηµα των ενδιαµέσων τιµών.

• Αν δεν µορούµε να βρούµε το σύνολο τιµών, τότε: βρίσκουµε τα όρια στα άκρα του εδίου ορισµού της, τα οοία θα είναι ετερόσηµα, οότε µιας και η συνάρτηση είναι συνεχής συµεραίνουµε ότι το 0 f(A)∈ και εφαρµόζουµε το θεώρηµα

των ενδιαµέσων τιµών ή εφαρµόζουµε το θεώρηµα του Bolzano, σε κατάλληλο διάστηµα. (Μελέτησε το εόµενο)

Μέθοδος ΣΤ

Αν µας ζητείται να αοδείξουµε ότι η εξίσωση f(x) g(x)= έχει µια ρίζα ξ (α,β)∈ , όου f, g συνεχείς

συναρτήσεις οι οοίες ορίζονται στο (α,β) , τότε:

� ή θα µετασχηµατίζουµε την εξίσωση σε άλλη µορφή, οότε θα ροκύψει µια νέα συνάρτηση h για την οοία θα εφαρµόζονται οι ροϋοθέσεις του θεωρήµατος του Bolzano στο [α,β].

� ή θα βρίσκουµε τα όρια στα άκρα του εδίου ορισµού της, τα οοία θα είναι ετερόσηµα και θα ισχύει ένα αό τα εξής:



• είτε x αLim f(x) 0

+→< ή

x αLim f(x)

+→= −∞ και

x βLim f(x) 0

−→> ή

x βLim f(x)

−→= +∞ , οότε θα υάρχουν

1 2x , x (α, β)∈ µε 1x α> ολύ κοντά στο α, και 2x β< ολύ κοντά στο β, τέτοια ώστε 1f(x ) 0<

και 2f(x ) 0> , οότε στο διάστηµα 1 2[x , x ] εξασφαλίζουµε τις ροϋοθέσεις του θεωρήµατος του

Bolzano, οότε και την ύαρξη ρίζας στο 1 2ξ (x , x ) (α,β)∈ ⊆ .

• είτε x αLimf(x) 0

+→> ή

x αLim f(x)

+→= +∞ και

x βLim f(x) 0

−→< ή

x βLim f(x)

−→= −∞ , οότε θα υάρχουν

1 2x , x (α, β)∈ µε 1x α> ολύ κοντά στο α, και 2x β< ολύ κοντά στο β, τέτοια ώστε 1f(x ) 0>

και 2f(x ) 0< , οότε στο διάστηµα 1 2[x , x ] εξασφαλίζουµε τις ροϋοθέσεις του θεωρήµατος του

Bolzano, οότε και την ύαρξη ρίζας στο 1 2ξ (x , x ) (α,β)∈ ⊆ .

Σχόλιο: Η εξίσωση 2 3

0x 1 x 2

+ =− −

, έχει µια ρίζα ξ (1,2)∈ ή ύαρξη της οοίας δεν µας

εξασφαλίζεται µε θεώρηµα Bolzano στο [1,2] αό τη συνάρτηση f µε 2 3

f(x)x 1 x 2

= +− −

, διότι δεν

ορίζεται για x 1= και x 2= . Αν όµως κάνουµε ααλοιφή αρονοµαστών και εφαρµόσουµε το θεώρηµα Bolzano στο [1,2] για τη συνάρτηση h(x) 2(x 1) 3(x 2)= − + − , µας εξασφαλίζεται η ρίζα

ξ (1,2)∈ , για την h, άρα και για την f.

Μέθοδος Ζ

Αν ζητείται η ύαρξη ερισσότερων σηµείων 1 2 νξ ,ξ ,...,ξ ου εαληθεύουν κάοια ιδιότητα ή είναι

ρίζες κάοιας εξίσωσης τότε εφαρµόζουµε ν φορές το Θ.Βolzano για κατάλληλη συνεχή συνάρτηση σε ν διαστήµατα ου δεν έχουν κοινά εσωτερικά σηµεία. Τα ν αυτά διαστήµατα είτε δίνονται, είτε ροσδιορίζονται µετά αό ροσεκτική εξέταση των δεδοµένων και των ζητούµενων του ροβλήµατος.

Μέθοδος Η

Αν για µια ολυωνυµική συνάρτηση ν-ιοστού βαθµού µας ζητείτε να αοδείξουµε ότι έχει ακριβώς ν ρίζες, 1 2 νξ ,ξ ,...,ξ , τότε αφού δείξουµε ότι έχει τουλάχιστον ν ρίζες, και γνωρίζοντας ότι µια

ολυωνυµική εξίσωση έχει τόσες το ολύ ρίζες όσες και ο βαθµός της, συµεραίνουµε τελικά ότι έχει ακριβώς ν ρίζες.

Μέθοδος Θ

Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και ισχύει f(x) 0≠ για κάθε x (α,β)∈ , τότε οι τιµές τις f

έχουν σταθερό ρόσηµο στο (α,β) , δηλαδή είναι: ή f(x) 0> για κάθε x (α,β)∈ ή f(x) 0< για κάθε

x (α,β)∈ .



Μέθοδος Ι

Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] και 1 2ρ , ρ δυο διαδοχικές ρίζες της, µε 1 2ρ ρ< , τότε η f

διατηρεί σταθερό ρόσηµο στο ( )1 2ρ , ρ , δηλαδή είναι: ή f(x) 0> για κάθε ( )1 2x ρ , ρ∈ ή f(x) 0< για

κάθε ( )1 2x ρ , ρ∈ .

Μέθοδος Ια

Αν µας ζητείται το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης η οοία είναι συνεχής στο εδίο ορισµού της και η οοία ταυτόχρονα είναι γνήσια µονότονη στο ∆, αρκεί να βρούµε τα όρια στα άκρα του εδίου ορισµού της, οότε: � Aν ∆ (α, β)= , τότε:

i. αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα θα έχουµε x α x β

f(∆) Lim f(x), Lim f(x)+ −→ →

=

,

ii. αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα θα έχουµε ή x β x α

f(∆) Lim f(x), Lim f(x)− +→ →

=

.

� Αν ∆ ( , + )= = −∞ ∞— , τότε:

iii. αν η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα θα έχουµε ( )x x

f(∆) Lim f(x), Lim f(x)→−∞ →+∞

= ,

iv. αν η συνάρτηση f είναι γνήσια φθίνουσα θα έχουµε ( )x x

f(∆) Lim f(x), Lim f(x)→+∞ →−∞

= .

Σχόλιο 1:

Αν µας ζητείται το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης η οοία είναι συνεχής στο εδίο ορισµού της, το οοίο είναι ένα ανοικτό διάστηµα έστω ∆ (α, β)= , και είναι:

x αLim f(x)

+→= −∞ και

x βLim f(x)

−→= +∞ ή

x αLim f(x)

+→= +∞ και

x βLim f(x)

−→= −∞ , τότε ανεξάρτητα αό τη

µονοτονία της, το σύνολο τιµών της είναι το ( )f(∆) , += −∞ ∞ .

Σχόλιο 2:

Γνωρίζουµε ότι το σύνολο τιµών µιας συνάρτησης η οοία είναι συνεχής στο εδίο ορισµού της, το οοίο είναι το κλειστό διάστηµα ∆ [α, β]= , είναι το f(∆) [m, M]= , όου minm y= και maxM y= ,

καθόσον άντα υάρχουν 1 2x , x [α, β]∈ , τέτοια ώστε 1 minf(x ) m y= = και 2 maxf(x ) M y= = .



Ασκήσεις

Α! Οµάδα

Θέµα 1ον

Έστω η εξίσωση 2xln x x ln x 2+ = . Να δείξετε ότι έχει µια τουλάχιστον

ρίζα στο (1,e) .

Θέµα 2ον

Έστω η εξίσωση 3 24x 3x 8x 6 0− − + = . Να δείξετε ότι έχει δυο τουλάχιστον ρίζες στο (0, 2) .

Θέµα 3ον

Έστω η συνάρτηση 2

2

x 2x 1 , 1 x 1f(x)

3x 6x 1 , 1 x 2

− − − ≤ ≤=

− + < ≤. Να δείξετε ότι έχει

ακριβώς δυο ρίζες στο ( 1, 2)− .

Θέµα 4ον

Έστω η εξίσωση ηµγηµα ηµβ

0x 1 x x 1

+ + =+ −

, µε α, β, γ (0, )∈ . Να δείξετε ότι

έχει δυο ακριβώς ρίζες στο ( 1, 1)− .

Θέµα 5ον

Έστω η συνάρτηση f η οοία είναι συνεχής στο [α, β] και ισχύει

α f(x) β≤ ≤ για κάθε x [α, β]∈ . Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) x= έχει µια

τουλάχιστον ρίζα στο [α, β] .

Θέµα 6ον

Έστω η συνεχής συνάρτηση f η οοία ορίζεται στο [α, β] και για την

οοία ισχύει ότι 2 2f(α) f(β) α β+ = + . Να δείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον

ένα 0x [α, β]∈ τέτοιο ώστε 20 of(x ) x= .

Θέµα 7ον

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f , g οι οοίες ορίζονται στο [α , β] και

για τις οοίες ισχύει ότι f(α) f(β) g(α) g(β)+ = + . Να δείξετε ότι η εξίσωση

f(x) g(x)= έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο [α , β] .

Θέµα 8ον

Έστω η συνάρτηση f η οοία είναι συνεχής στο [α , β] µε α 0> , και

ισχύει 2 2f (α) f (β) α β+ = − για κάθε x [α, β]∈ . Να δείξετε ότι υάρχει

0x [α, β]∈ τέτοιο ώστε να ισχύει 0 0

0 0

αf(x ) x

x β f(x )=

−.

Bolzano στο [1,e] για την

2f(x) x ln x x ln x 2= + −

Bolzano στα [0,1] και [1, 2] για την

3 2f(x) 4x 3x 8x 6 0= − − + = .

∆είξτε τη συνέχεια στο 0x 1= και

Bolzano στα [ 1,1]− και [1, 2] και

µονοτονία. Κάντε ααλοιφή αρονοµαστών και για τη συνάρτηση ου θα ροκύψει

εφαρµόστε Bolzano στα [ 1,0]− και

[0,1] και µέθοδος ΣΤ καθώς και το

σχόλιο της µεθόδου Ζ.

Bolzano στο [α,β] για την

h(x) f(x) x= − και µέθοδος Γ.


2h(x) f(x) x= − και µέθοδος Γ.


h(x) f(x) g(x)= − και µέθοδος Γ. Κάντε ααλοιφή αρονοµαστών και για τη συνάρτηση ου θα ροκύψει

εφαρµόστε Bolzano στο [α,β] και

µέθοδος Γ.



Θέµα 9ον

Έστω η συνάρτηση f η οοία είναι συνεχής στο [α , β] και ισχύει

f(α) f(β) α β+ = + για κάθε x [α, β]∈ . Να δείξετε ότι υάρχει 0x (α, β)∈

τέτοιο ώστε να ισχύει 0 0

0 0

f(x ) β f(x ) α

x α x β

− −=

− −.

Θέµα 10ον

Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις f , g οι οοίες ορίζονται στο [α , β] και

για τις οοίες ισχύει ότι f(α) α= , f(β) β= και α g(x) β< < για κάθε

x (α, β)∈ . Να δείξετε ότι οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων

f , g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σηµείο.

Θέµα 11ον Έστω η συνεχής συνάρτηση f µε εδίο ορισµού το [α , β] για την οοία

ισχύει ότι f(α) f(β) 0+ = . Να δείξετε ότι υάρχει τουλάχιστον ένα

0x [α, β]∈ τέτοιο ώστε 0f(x ) 0= .

Θέµα 12ον

Έστω η συνάρτηση f συνεχής σε διάστηµα ∆ [α, β]= . Αν

1, 2, 3 (α, β)∈ και ισχύει ότι f(1) f(2) f(3) 0+ + = , να δείξετε ότι υάρχει

τουλάχιστον ένα ξ (α, β)∈ ώστε να ισχύει f(ξ) 0= .

Θέµα 13ον

Έστω η συνάρτηση f µε 2f(x) x 3x 1 x 3x 1= + − + + . Εξετάστε αν

υάρχουν 1 2x , x [1, 8]∈ ώστε 2 21 2 1 2f (x ) f (x ) 4f(x ) 6f(x ) 13 0+ − − + =

Θέµα 14ον

Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] . Να δείξετε ότι για κάθε

1 2 3x ,x ,x [α,β]∈ , υάρχει τουλάχιστον ένα ξ [α, β]∈ ώστε να ισχύει

1 2 39f(ξ) 2f(x ) 3f(x ) 4f(x )= + + .

Θέµα 15ον

Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [α , β] . Να δείξετε ότι για κάθε

1 2 νx ,x ,...,x [α ,β]∈ , υάρχει τουλάχιστον ένα ξ [α, β]∈ ώστε να ισχύει

1 2 νf(x ) f(x ) ... f(x )f(ξ)

ν

+ + += .

Θέµα 16ον

∆είξτε ότι κάθε ολυωνυµική συνάρτηση εριττού βαθµού έχει τουλάχιστον µια ραγµατική ρίζα.

Κάντε ααλοιφή αρονοµαστών και για τη συνάρτηση ου θα ροκύψει

εφαρµόστε Bolzano στο [α,β] . ∆ιαβάστε τη Μέθοδο Γ

Είναι f(α) f(β)= − και Bolzano στο

[α, β] . Εφαρµόστε µέθοδο Γ.

Αν για κάθε x (α,β)∈ είναι f(x) 0≠

,τότε θα καταλήξετε σε άτοο, οότε …. Η σχέση µετασχηµατίζεται στη

( ) ( )2 2

1 2f(x ) 2 f(x ) 3 0− + − = ⇔

1 2f(x ) 2 και f(x ) 3= = , οότε δείξτε ότι

οι αριθµοί 2,3 είναι τιµές της συνάρτησης

Ισχύει ότι m f(x) M≤ ≤ , οότε και

12m 2f(x ) 2M≤ ≤

23m 3f(x ) 3M≤ ≤

34m 4f(x ) 4M≤ ≤

Όως το θέµα 14 Έστω η ολυωνυµική συνάρτηση

ν ν 1ν ν 1 1 0f(x) α x α x ... α x α−

−= + + + + .

Βρείτε τα xLim f(x)→−∞

και xLim f(x)→+∞

και

εφαρµόστε µέθοδο ΣΤ.



Θέµα 17ον

∆ίνεται η συνάρτηση xf(x) (ln x 1) (e 1) (x 1)= − ⋅ − ⋅ − . Να βρεθεί το

ρόσηµο των τιµών της συνάρτησης. Θέµα 18ον

∆ίνεται η συνάρτηση f(x) (x 3)ln x x 2= − − + . Να εξετασθεί αν οι αριθµοί

1

2 και

2

5− είναι τιµές της συνάρτησης.

Θέµα 19ον

∆ίνεται η συνάρτηση f µε τύο

(α 1)x β 2 , 2 x 1

f(x) 2β α , x 1

x 1, 1 x 2

x 2 1

− + + − ≤ < −

= − = − + − < ≤ + −

.

Να ροσδιορισθούν οι αράµετροι α, β∈— ώστε να εφαρµόζεται το

θεώρηµα Bolzano στο διάστηµα [ 2, 2]− .

Θέµα 20ον

∆είξτε ότι η εξίσωση 2x συνx 5ηµx 0− − = έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο

,

2

−

.

Θέµα 21ον

∆είξτε ότι η εξίσωση 2 ln x ex 0+ = έχει ακριβώς µια ρίζα στο * +— .

Θέµα 22ον

Να βρεθεί το σύνολο τιµών της συνάρτησης f(x) 1 x ln x= − − .

Θέµα 23ον Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής και «1-1» σε ένα διάστηµα ∆ [α,β]= ,

να αοδειχθεί ότι είναι γνησίως µονότονη στο ∆. Θέµα 24ον Να εξετάσετε οιοι αό τους αρακάτω ισχυρισµούς είναι σωστοί (Σ) και οιοι λάθος (Λ) και να δώσετε µια σύντοµη εξήγηση της όοιας αάντησή σας: Α. Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α,β], τότε η

συνάρτηση g µε f(x)g(x) e= έχει ολικό µέγιστο και ολικό ελάχιστο στο

[α,β]. Σ– Λ

Β. Αν για µια συνεχή συνάρτηση f µε εδίο ορισµού το —, είναι

xLim f(x) 10→−∞

= − και xLim f(x) 10→+∞

= , τότε υάρχει τουλάχιστον ένα

0x ∈— τέτοιο ώστε 0f(x ) 5= . Σ– Λ

Γ. Αν f µια συνεχής συνάρτηση µε εδίο ορισµού το διάστηµα ∆ ⊆ — ,

τότε για κάθε 0x ∈— έχουµε 0

0x xLim f(x) f(x )→

= . Σ – Λ

∆. Αν για µια συνάρτηση f µε εδίο ορισµού το — ισχύει για κάθε ∈x —

η σχέση 2f (x) 1= , τότε η f είναι συνεχής. Σ – Λ

Μέθοδος Θ Θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών. Μέθοδος Ζ Μέθοδος Ε Μέθοδος Ια



Β! Οµάδα

Θέµα 25ον

Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [α, β] και για την οοία ισχύει για κάθε x [α, β]∈ ότι f(x) 0≥ . Να

δείξετε ότι για κάθε 1 2 νx ,x ,...,x [α,β]∈ , υάρχει τουλάχιστον ένα ξ [α, β]∈ ώστε να ισχύει

ν1 2 νf(ξ) f(x ) f(x ) ... f(x )= ⋅ ⋅ ⋅ .

Θέµα 26ον

Βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f µε εδίο ορισµού το — για τις οοίες ισχύει 2f (x) 1 2xf(x)= + ,

για κάθε x∈— . Θέµα 27ον

Βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f µε εδίο ορισµού το — για τις οοίες ισχύει

( ) ( )2 2f(x) x f(x) x 0− ⋅ + = , για κάθε x∈— .

Θέµα 28ον

Βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f µε εδίο ορισµού το — για τις οοίες ισχύει 2 2f (x) x= , για

κάθε x∈— . Θέµα 29ον (*)

∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οοία ισχύει ότι x 1

f(x)Lim 2

x 1→−=

+ και

22ηµ(x 1) (x 1)f(x) (x 1)− ≤ − ≤ − για κάθε x∈— .

i. Να βρεθούν οι τιµές f( 1)− και f(1) .

ii. Να αοδείξετε ότι η ευθεία y 3x 2= + τέµνει τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f σε ένα

τουλάχιστον σηµείο 0x ( 1, 1)∈ − .

Θέµα 30ον (*)

∆ίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οοία ισχύει ότι 2 4 2x f(x) 2xηµx x x+ = + για κάθε x∈— .

i. Να βρεθεί ο τύος της f. ii. Να βρεθεί το

x +Lim f(x)→ ∞

.

iii. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0= έχει τουλάχιστον µια θετική ρίζα.

Θέµα 31ον (*) ∆ίνεται η γνήσια αύξουσα (αοδεικνύεται µε αραγώγους) συνάρτηση f µε f(x) 2 ln x ln(x ηµx)= + − .

i. Να βρεθεί το εδίο ορισµού της συνάρτησης f. ii. Να βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f. iii. Να αοδείξετε ότι: α. Η εξίσωση f(x) 0= έχει µόνο µια θετική λύση 0x .

β. Το 0x είναι λύση της εξίσωσης 3 2x x ηµx 1− = .

Σχόλιο: Θεωρήστε γνωστό ότι ηµx x εφx≤ ≤

Θέµα 32ον ∆ίνεται η συνάρτηση g µε g(x) ln x 2x 2= + − , µε x 0> .

i. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση g(x) 0= έχει µοναδική ρίζα η οοία και να βρεθεί.

ii. Αν η συνάρτηση f µε τύο 3 2

2

x 2(q 1)x 1 , x 1f(x)

x (ln q)x 1 , x 1

+ − − <=

− − ≥ είναι συνεχής, να βρεθεί ο q∈— .

Θέµα 33ον

∆ίνεται η συνάρτηση f µε ( )f(x) ln 1 ln x= − .



Α. Βρείτε το εδίο ορισµού της, µελετήστε την f ως ρος τη µονοτονία και βρείτε το σύνολο τιµών της.

Β. ∆είξτε ότι η εξίσωση ( )ln 1 ln x 2005− = έχει µοναδική ρίζα στο — .

Θέµα 34ον (*)

Έστω η συνάρτηση

2 2

2

2

ηµ (αx) ηµ (5x), x 0

f(x) xα 25 , x 0

+≠

= + =

µε α +∈— .

Α. Να βρεθούν τα xLimf(x)→+∞

και xLimf(x)→−∞

.

Β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο —. Γ. Αν εί λέον για κάθε x∈— , ισχύει f(x) 10α≤ , τότε:

i. Αοδείξετε ότι α 5= . ii. Βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής αράστασης της f µε τον άξονα x x′ . iii. Βρείτε το σύνολο τιµών της συνάρτησης f και αοδείξτε ότι η εξίσωση f(x) 49= έχει

τουλάχιστον µια ρίζα στο

(0, )2

.

Θέµα 35ον (**) Α. Να αοδείξετε ότι κάθε συνάρτηση f η οοία είναι «1-1» και συνεχής σε ένα διάστηµα ∆, είναι

γνήσια µονότονη στο ∆. Β. Έστω α,β∈— µε α β< καθώς και οι συνεχείς συναρτήσεις f , g οι οοίες έχουν κοινό εδίο

ορισµού το ∆ [α, β]= και σύνολα τιµών, η µεν f το f(∆) [ 2005, 2005]= − ή δε g το

g(∆) [ ν, ν]= − , *ν∈Õ .

Β1. ∆είξτε ότι η εξίσωση f(x) 0= , έχει τουλάχιστον µια ρίζα 0x (α, β)∈ .

Β2. ∆είξτε ότι υάρχουν δυο τουλάχιστον αριθµοί 1 2x , x ∆∈ µε 1 2x x≠ , οι οοίοι εαληθεύουν

την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( )f(x) 2006 f(x) 1 f(x) 1 f(x) 2006 0− ⋅ − ⋅ + ⋅ + = .

Β3. ∆είξτε ότι η εξίσωση νf(x) g(x)= , έχει τουλάχιστον µια ρίζα ξ [α, β]∈ .

Β4. Αν η συνάρτηση f είναι ειλέον «1- 1» να βρεθούν εκείνα τα x [α, β]∈ , για τα οοία ισχύει

( ) ( ) 02005)x(f2005)x(f =+⋅− .

Θέµα 36ον (**) Έστω η συνάρτηση f η οοία είναι συνεχής στο [2, 3] και έχει σύνολο τιµών το [ 1, 4]− . ∆είξτε ότι

υάρχει τουλάχιστον ένα 0x [2, 3]∈ τέτοιο ώστε να ισχύει 0 0f(x ) xe e= .

Θέµα 37ον (**) Έστω η συνάρτηση f η οοία είναι συνεχής και γνήσια φθίνουσα στο —. Α. Να αοδείξετε ότι υάρχει 1x ∈— τέτοιο ώστε 1 1f(x ) x≤ .

Β. Να αοδείξετε ότι υάρχει 2x ∈— τέτοιο ώστε 1 2f(x ) x≥ .

Γ. Να αοδείξετε ότι υάρχει x∈— τέτοιο ώστε f(x) x= .

Θέµα 38ον (**)

Έστω ο µιγαδικός z α βi= + , α,β∈— και η συνάρτηση f(x) z xi= − , x∈— της οοίας η γραφική

αράσταση της f διέρχεται αό το σηµείο A(1, 2) .

Α. Να αοδείξετε ότι 1 z 3≤ ≤ . Για οιες τιµές του z ισχύουν οι ισότητες;

Β. Να αοδείξετε ότι Η εξίσωση f(x) 2 z x= ⋅ , έχει τουλάχιστον µια ρίζα στο διάστηµα ( 1, 1)− .



(ειλεγµένα Θέµατα) Γ! Οµάδα

Θέµα 39ον (Βασικό θέµα) Να αποδείξετε ότι κάθε πολυωνυµική εξίσωση περιττού βαθµού, έχει µία τουλάχιστον πραγµατική ρίζα. Λύση Στο πρόβληµα αυτό, δεν µπορούµε να βρούµε ετερόσηµες τιµές για τη συνάρτηση f, για το λόγο αυτό βρίσκουµε τα όρια της f στα άκρα -∞ και +∞ του πεδίου ορισµού της. Με τη βοήθεια του πρόσηµου των ορίων και των σχετικών θεωρηµάτων των ορίων προσδιορίζουµε αριθµούς κ, λ ώστε f(κ)>0, f(λ)<0 και εφαρµόζουµε το θ. Bolzano στο [κ, λ] χρησιµοποιώντας κατάλληλα το ακόλουθο θεώρηµα: Θεώρηµα: Αν

xim f ( x ) 0

α→>ℓ υπάρχει περιοχή του α έτσι ώστε f(x)>0 για κάθε τιµή του x που ανήκει στην παραπάνω

περιοχή (α πραγµατικός αριθµός ή ±∞). Ανάλογα, αν xim f ( x ) 0

α→>ℓ .

Έστω λοιπόν η πολυωνυµική εξίσωση περιττού βαθµού 2 1 2 2 1

2 2 1 1 0x x x ... x 0ν+ ν ν−ν+ ν ν−ν+ ν ν−ν+ ν ν−ν ν−ν ν−ν ν−ν ν−+ α + α + + α + α =+ α + α + + α + α =+ α + α + + α + α =+ α + α + + α + α = , νŒÕ

(1). Θεωρούµε τη συνάρτηση 2 1 2 2 1

2 2 1 1 0f (x) x x x ... xν+ ν ν−ν+ ν ν−ν+ ν ν−ν+ ν ν−ν ν−ν ν−ν ν−ν ν−= + α + α + + α + α= + α + α + + α + α= + α + α + + α + α= + α + α + + α + α .

Είναι 2 1

x xim f(x) im x ν+ν+ν+ν+

→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞→−∞ →−∞= = −∞= = −∞= = −∞= = −∞ℓ ℓℓ ℓℓ ℓℓ ℓ και 2 1

x xim f(x) im x ν+ν+ν+ν+

→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞= = +∞= = +∞= = +∞= = +∞ℓ ℓℓ ℓℓ ℓℓ ℓ , οπότε υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί κ, λ

στις περιοχές του -∞ και +∞ αντίστοιχα, τέτοιοι ώστε f(κ)<0 και f(λ)>0. Εποµένως, αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [κ, λ] ως πολυωνυµική, και f(κ)f(λ)<0, τότε σύµφωνα µε το θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένας ξŒ(κ, λ) τέτοιος ώστε f(ξ)=0. Άρα η εξίσωση (1) έχει µία τουλάχιστον πραγµατική ρίζα. Σχόλιο: Αν δε δίνεται το διάστηµα στο οποίο θα εφαρµόσουµε το θ. Bolzano, βρίσκουµε µόνοι µας το διάστηµα αυτό, έχοντας ως στόχο να βρούµε δύο ετερόσηµες τιµές της συνάρτησης. Για παράδειγµα, η εξίσωση Χ4+5Χ3

+ 3 = 0

έχει πραγµατική ρίζα, γιατί αν f(x)=x4+5x3 + 3, η συνάρτηση f είναι συνεχής στο — και f(-1)·f(0) = (-1)·3 = -3<0, εποµένως η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θ. Bolzano στο διάστηµα [-1, 0], άρα υπάρχει τουλάχιστον ένας ξ Œ(-1,0) µε f(ξ) = 0. Θέµα 40ον(***)

Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα [0,1] µε f(0)=f(1). Να αοδείξετε ότι η εξίσωση

1f (x) f x

3

= += += += +

έχει τουλάχιστον ρίζα στο [0,1].

Λύση





Θέµα 41ον(***)

Λύση

Άλλος τρόπος λύσης: (ας θυµηθούµε την ανισότητα του Bernoulli : (1 ) 1 , 1νννν+ α − α ≥ + να α > −+ α − α ≥ + να α > −+ α − α ≥ + να α > −+ α − α ≥ + να α > − ) • Είναι f (0) 0= −α <= −α <= −α <= −α < και f ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) 0ννννα + = α + − α ≥ + να − α = + ν − α >α + = α + − α ≥ + να − α = + ν − α >α + = α + − α ≥ + να − α = + ν − α >α + = α + − α ≥ + να − α = + ν − α > (χρησιµοποιήσαµε την

ανισότητα Bernoulli : (1 ) 1 , 1νννν+ α − α ≥ + να α > −+ α − α ≥ + να α > −+ α − α ≥ + να α > −+ α − α ≥ + να α > − )), οπότε ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θ.Bolzano για τη συνάρτηση f µε f (x) x , x 0νννν= − α >= − α >= − α >= − α > στο διάστηµα [[[[ ]]]]0, 1α +α +α +α + , άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα (((( ))))1 0, 1ρ ∈ α +ρ ∈ α +ρ ∈ α +ρ ∈ α + µε 1f ( ) 0ρ =ρ =ρ =ρ = , εποµένως η εξίσωση

xνννν = α= α= α= α έχει τουλάχιστον µια θετική ρίζα. • Η συνάρτηση f µε f (x) x , x 0νννν= − α >= − α >= − α >= − α > , είναι γνησίως αύξουσα στο [0, )+∞+∞+∞+∞ διότι:

(λόγος µεταβολής): (((( )))) (((( ))))2 1 1 2 12 1

2 2 1 12 1 2 1

x xf (x ) f (x )x x x ... x 0

x x x x

ν νν νν νν ν

ν− ν− ν−ν− ν− ν−ν− ν− ν−ν− ν− ν−− α − − α− α − − α− α − − α− α − − α−−−−

λ = = = + ⋅ + + >λ = = = + ⋅ + + >λ = = = + ⋅ + + >λ = = = + ⋅ + + >− −− −− −− −

, άρα η ρίζα αυτή

είναι µοναδική. Θέµα 42ον

Λύση



Θέµα 43ον(να ροσεχθεί)

Λύση


Λύση




Λύση

Σηµείωση



Θέµα 46ον(***)(να ροσεχθεί)

Λύση

Θέµα 47ον(***)(ειδικό θέµα)



Λύση

Θέµα 48ον

Θέµα 49ον

Θέµα 50ον

Θέµα 51ον

Documents

Erotiseis Theorias Elegxos Gnoseon Synexeia Bolzano New