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Erro de Medição Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

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Page 1: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Erro de MediçãoErro de Medição

mensurandosistema de medição

indicação valor verdadeiro

erro de medição

Page 2: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Um exemplo de erros...Um exemplo de erros...

Teste de precisão de tiro de Teste de precisão de tiro de canhões:canhões: Canhão situado a 500 m de alvo fixo;Canhão situado a 500 m de alvo fixo; Mirar apenas uma vez;Mirar apenas uma vez; Disparar 20 tiros sem nova chance Disparar 20 tiros sem nova chance

para refazer a mira;para refazer a mira; Distribuição dos tiros no alvo é Distribuição dos tiros no alvo é

usada para qualificar canhões.usada para qualificar canhões. Quatro concorrentes:Quatro concorrentes:

ALPHONSE CHAPANIS (1951)

“The Father of Ergonomics”

“O Homem do Rifle”

Page 3: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 3)

A B

CD

Page 4: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 4)

A B

CD

Ea

Es

Ea

Es

Ea

Es

Ea

Es

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Metrologia (slide 5)

Tipos de errosTipos de erros

Erro sistemáticoErro sistemático: : é a parcela é a parcela previsível do erro. Corresponde ao previsível do erro. Corresponde ao erro médio.erro médio.

Erro aleatórioErro aleatório: é a parcela : é a parcela imprevisível do erro. É o agente que imprevisível do erro. É o agente que faz com que medições repetidas faz com que medições repetidas levem a distintas indicações.levem a distintas indicações.

Page 6: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 6)

Precisão e ExatidãoPrecisão e Exatidão

São parâmetros São parâmetros qualitativosqualitativos associados ao desempenho de um associados ao desempenho de um sistema.sistema.

Um sistema com ótima Um sistema com ótima precisãoprecisão

repete bem, com repete bem, com pequena dispersãopequena dispersão. .

Um sistema com excelente Um sistema com excelente exatidãoexatidão praticamente praticamente não apresenta errosnão apresenta erros..

Page 7: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia

Caracterização e Caracterização e componentes do erro de componentes do erro de

mediçãomedição

Page 8: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 8)

Exemplo de erro de mediçãoExemplo de erro de medição

1014g

0 g1014 g

11

(1000,00 ± 0,01) g

E = I - VVC

E = 1014 - 1000

E = + 14 g

Indica a mais do que deveria!

Page 9: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 9)

Erros em medições repetidasErros em medições repetidas

0 g1014 g

11

(1000,00 ± 0,01) g

11

(1000,00 ± 0,01) g

11

(1000,00 ± 0,01) g

1014 g

1000

1010

1020

1012 g1015 g1018 g1014 g1015 g1016 g1013 g1016 g1015 g

1015 g

1015 g

1017 g

1017 g

erro

méd

io

disp

ersã

o

Page 10: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 10)

Cálculo do erro sistemáticoCálculo do erro sistemático

média de infinitas indicações

valor verdadeiro conhecido exatamentecondições:

Page 11: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 11)

Estimativa do erro sistemáticoEstimativa do erro sistemático

tendênciaVVC

Page 12: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 12)

Algumas definiçõesAlgumas definições

Tendência (Td)Tendência (Td) é uma estimativa do Erro Sistemáticoé uma estimativa do Erro Sistemático

Valor Verdadeiro Convencional (VVC) Valor Verdadeiro Convencional (VVC) é uma estimativa do valor verdadeiroé uma estimativa do valor verdadeiro

Correção (C)Correção (C) é a constante que, ao ser adicionada à é a constante que, ao ser adicionada à

indicação, compensa os erros indicação, compensa os erros sistemáticossistemáticos

é igual à tendência com sinal trocadoé igual à tendência com sinal trocado

Page 13: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 13)

Correção dos erros sistemáticosCorreção dos erros sistemáticos

Td C = -Td

Page 14: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 14)

Indicação corrigidaIndicação corrigida

101410151017101210151018101410151016101310161015

I

121110987654321Nº

1015média

-15-15-15-15-15-15-15-15-15-15-15-15

C

-15

99910001002997

10001003999

10001001998

10011000

Ic

1000

-102-303-101-210

Ea

0

995 1000 1005

C = -Td

C = 1000 - 1015

C = -15 g

Page 15: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 15)

Erro aleatório e repetitividadeErro aleatório e repetitividade

-5 0 5

O valor do erro aleatório é imprevisível.

A repetitividade define a faixa dentro da qual espera-se que o erro aleatório esteja contido.

Page 16: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 16)

O resultado das 15 medições do diâmetro D de um eixo de seção circular, medido com um micrômetro, é dado na tabela a seguir. E sabendo que o VVC é de 25,400 mm. Determine a indicação média, a estimativa do erro sistemático (tendência), a correção do erro sistemático, a indicação corrigida de cada medição e o erro aleatório para cada medição.

Exemplo:

25,400

25,405

25,404

25,408

25,405

25,403

25,407

25,409

25,410

25,406

25,404

25,404

25,405

25,403

25,402

Se fosse realizada uma 16º medição o que se poderia esperar do valor ?

valores em mm

Page 17: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 17)

Distribuição de probabilidade Distribuição de probabilidade uniforme ou retangularuniforme ou retangular

1 2 3 4 5 6

probabilidade

1/6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

Valores

Pro

ba

bil

ida

de

(1/

6)

Lançamento de um dado

Page 18: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 18)

Distribuição de probabilidade Distribuição de probabilidade triangulartriangular

1,51,0 2,52,0 3,53,0 4,54,0 5,55,0 6,0

probabilidade (1/36)

2

4

6

Média de dois dados

Page 19: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 19)

Distribuição de probabilidade Distribuição de probabilidade triangulartriangular

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

Média de 2 dados

Pro

ba

bil

ida

de

(1/

36)

Page 20: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 20)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

Valores

Pro

ba

bil

ida

de

(1/

6)Lançamento de um dadoLançamento de um dado

Page 21: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 21)

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

M édi a d e 2 d ado s

Pro

ba

bil

ida

de

(1

/36

)Média de dois dadosMédia de dois dados

Page 22: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 22)

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

0 1 2 3 4 5 6 7

M édi a d e 3 d ado s

Pro

ba

bil

ida

de

(1

/21

6)

Média de três dadosMédia de três dados

Page 23: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 23)

0

2 0

4 0

6 0

8 0

10 0

12 0

14 0

16 0

0 1 2 3 4 5 6 7

M édi a d e 4 d ado s

Pro

ba

bil

ida

de

(1

/12

96

)Média de quatro dadosMédia de quatro dados

Page 24: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 24)

0

50 0

100 0

150 0

200 0

250 0

300 0

350 0

400 0

450 0

500 0

0 1 2 3 4 5 6 7

M édi a d e 6 d ado s

Pro

ba

bil

ida

de

(1/

466

56

)Média de seis dadosMédia de seis dados

Page 25: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

0 1 2 3 4 5 6 7

Média de 8 dados

Pro

bab

ilid

ade

(1

/16

796

16

)

Média de oito dadosMédia de oito dados

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Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 26/67)

““Teorema do sopão”Teorema do sopão”

Quanto mais Quanto mais ingredientes ingredientes diferentes forem diferentes forem misturados à mesma misturados à mesma sopa, mais e mais o sopa, mais e mais o seu gosto se seu gosto se aproximará do gosto aproximará do gosto único, típico e único, típico e inconfundível do inconfundível do "sopão"."sopão".

Page 27: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 27)

Teorema central do limiteTeorema central do limite

Quanto mais variáveis aleatórias Quanto mais variáveis aleatórias forem combinadas, tanto mais o forem combinadas, tanto mais o comportamento da combinação se comportamento da combinação se aproximará do comportamento de aproximará do comportamento de uma distribuição normal (ou uma distribuição normal (ou gaussiana).gaussiana).

Page 28: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 28)

Curva normalCurva normal

pontos de inflexão

assíntotaassíntota

média

desvio padrão

Page 29: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 29)

Efeito do desvio padrãoEfeito do desvio padrão

> >

Page 30: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 30)

Cálculo e estimativa do Cálculo e estimativa do desvio padrãodesvio padrão

n

IIn

ii

n

1

2)(lim

cálculo exato:(da população)

1

)(1

2

n

IIs

n

ii

estimativa:(da amostra)

Ii i-ésima indicaçãomédia das "n" indicações

n número de medições repetitivas efetuadasI

Page 31: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 31)

Incerteza padrão (u)Incerteza padrão (u)

medida da intensidade da componente medida da intensidade da componente aleatória do erro de medição.aleatória do erro de medição.

corresponde à estimativa do desvio corresponde à estimativa do desvio padrão da distribuição dos erros de padrão da distribuição dos erros de medição.medição.

u = su = s Graus de liberdade (Graus de liberdade ():):

corresponde ao número de medições corresponde ao número de medições repetidas menos um.repetidas menos um.

= n - 1= n - 1

Page 32: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 32)

Área sobre a curva normalÁrea sobre a curva normal

95,45%

Page 33: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 33)

Estimativa da repetitividadeEstimativa da repetitividade(para 95,45 % de probabildiade)

Para amostras infinitas:

Re = 2 .

Para amostras finitas:

Re = t . u

Sendo “t” o coeficiente de Student para = n - 1 graus de liberdade.

A repetitividade define a faixa dentro da qual, para uma dada probabilidade, o erro aleatório é esperado.

Page 34: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 34)

Coeficiente “t” de StudentCoeficiente “t” de Student

t t t t1 13.968 10 2.284 19 2.140 80 2.0322 4.527 11 2.255 20 2.133 90 2.0283 3.307 12 2.231 25 2.105 100 2.0254 2.869 13 2.212 30 2.087 150 2.0175 2.649 14 2.195 35 2.074 200 2.0136 2.517 15 2.181 40 2.064 1000 2.0037 2.429 16 2.169 50 2.051 10000 2.0008 2.366 17 2.158 60 2.043 100000 2.0009 2.320 18 2.149 70 2.036 2.000

Page 35: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 35)

ExemploExemplo de estimativa da de estimativa da repetitividaderepetitividade

1014g

0 g1014 g

11

(1000,00 ± 0,01) g

1014 g

1012 g1015 g1018 g1014 g1015 g1016 g1013 g1016 g1015 g

1015 g1017 g

média: 1015 g

Calcule a Re !

Page 36: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 36)

Exemplo de estimativa da Exemplo de estimativa da repetitividaderepetitividade

1015 10201010

+3,72-3,72 1015

Page 37: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 37)

Efeitos da média de medições Efeitos da média de medições repetidas sobre o erro de mediçãorepetidas sobre o erro de medição

Efeito sobre os erros sistemáticos:Efeito sobre os erros sistemáticos: Como o erro sistemático já é o erro Como o erro sistemático já é o erro

médio, médio, nenhumnenhum efeito é observado. efeito é observado.

Page 38: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 38)

Efeitos da média de medições Efeitos da média de medições repetidas sobre o erro de mediçãorepetidas sobre o erro de medição

Efeitos sobre os erros aleatóriosEfeitos sobre os erros aleatórios A média A média reduzreduz a intensidade dos erros a intensidade dos erros

aleatórios, a aleatórios, a repetitividaderepetitividade e a e a incerteza incerteza padrãopadrão na seguinte proporção: na seguinte proporção:

n

ReRe I

I

n

uu II

sendo:

n o número de medições utilizadas para calcular a média

Page 39: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 39)

ExemploExemplo

No problema anterior, a repetitividade No problema anterior, a repetitividade da balança foi calculada:da balança foi calculada:

Se várias séries de 12 medições fossem Se várias séries de 12 medições fossem efetuadas, as médias obtidas devem efetuadas, as médias obtidas devem apresentar repetitividade da ordem de:apresentar repetitividade da ordem de:

ReI = 3,72 g

gI 07,112

72,3Re

1 2

Page 40: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 40)

Curva de errosCurva de erros

indicação

erro

1015

15

Td

Td + Re

Td - ReEmáx

Page 41: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 41)

Algumas definiçõesAlgumas definições

Curva de erros:Curva de erros: É o gráfico que representa a distribuição É o gráfico que representa a distribuição

dos erros sistemáticos e aleatórios ao dos erros sistemáticos e aleatórios ao longo da faixa de medição.longo da faixa de medição.

Erro Erro máximo:: É o maior valor em módulo do erro que É o maior valor em módulo do erro que

pode ser cometido pelo sistema de pode ser cometido pelo sistema de medição nas condições em que foi medição nas condições em que foi avaliado.avaliado.

Page 42: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia

Representação gráfica dos Representação gráfica dos erros de mediçãoerros de medição

Page 43: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 43)

Sistema de medição “perfeito” Sistema de medição “perfeito” (indicação = VV)(indicação = VV)

1000 1020 1040960 980

mensurando

1000 1020 1040960 980indicação

Page 44: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 44)

Sistema de medição com erro Sistema de medição com erro sistemático apenassistemático apenas

1000 1020 1040960 980

mensurando

1000 1020 1040960 980indicação

+Es

Page 45: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 45)

Sistema de medição com erros Sistema de medição com erros aleatórios apenasaleatórios apenas

1000 1020 1040960 980

mensurando

1000 1020 1040960 980indicação Re

Page 46: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 46)

Sistema de medição com erros Sistema de medição com erros sistemático e aleatóriosistemático e aleatório

1000 1020 1040960 980

mensurando

1000 1020 1040960 980indicação

+Es

Re

Page 47: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 47)

Erro ou incerteza?Erro ou incerteza?

Erro de medição:Erro de medição: é o é o númeronúmero que resulta da diferença que resulta da diferença

entre a indicação de um sistema de entre a indicação de um sistema de medição e o valor verdadeiro do medição e o valor verdadeiro do mensurando.mensurando.

Incerteza de medição:Incerteza de medição: é o parâmetro, associado ao resultado de é o parâmetro, associado ao resultado de

uma medição, que caracteriza a uma medição, que caracteriza a faixafaixa dos dos valores que podem razoavelmente ser valores que podem razoavelmente ser atribuídos ao mensurando.atribuídos ao mensurando.

Page 48: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

sistema de medição

Fontes de erros:Fontes de erros:

sinal de medição indicação

fatores internos

fatores externos

fatores externos

retroaçãoretroação

operador

mensurando

Page 49: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Erros provocados por fatores Erros provocados por fatores internosinternos

Imperfeições dos componentes e Imperfeições dos componentes e conjuntos (mecânicos, elétricos, etc).conjuntos (mecânicos, elétricos, etc).

Não idealidades dos princípios Não idealidades dos princípios físicos.físicos.

força

alongamento

região linear região não linear

Page 50: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Erros provocados por fatores Erros provocados por fatores externosexternos

Condições ambientaisCondições ambientais temperaturatemperatura pressão atmosféricapressão atmosférica umidadeumidade

Tensão e freqüência da rede elétricaTensão e freqüência da rede elétrica ContaminaçõesContaminações

Page 51: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Erros provocados por retroaçãoErros provocados por retroação

A presença do sistema de A presença do sistema de medição modifica o medição modifica o mensurando.mensurando.

65 °C

65 °C70 °C

20 °C

Page 52: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Erros induzidos pelo operadorErros induzidos pelo operador

HabilidadeHabilidade Acuidade visualAcuidade visual Técnica de mediçãoTécnica de medição Cuidados em geralCuidados em geral Força de mediçãoForça de medição

Page 53: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Dilatação térmicaDilatação térmica

Propriedade dos materiais modificarem Propriedade dos materiais modificarem suas dimensões em função da variação suas dimensões em função da variação da temperatura. da temperatura.

b b'

c'

c

b = b' - b

c = c' - c

b = . T . b

c = . T . c

T

Page 54: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 54)

b

c

40,000mm

Quais as variações nas dimensões de b e c quando a temperatura atingir 30ºC ?

Quais as dimensões de b e c, a 30ºC ?

10,000mm

Temperatura inicial = 20º C

Exemplo

Page 55: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 55)

Temperatura de referênciaTemperatura de referência

Por convenção, 20 °C é a Por convenção, 20 °C é a temperatura de referência para a temperatura de referência para a metrologia dimensional. metrologia dimensional.

Os desenhos e especificações Os desenhos e especificações sempre se referem às características sempre se referem às características que as peças apresentariam a 20 °C. que as peças apresentariam a 20 °C.

Page 56: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 56)

Dilatação térmica:Dilatação térmica:mesmos coeficientes de expansão térmica

20°C 40°C 10°C

I = 40,0 I = 40,0

I = 40,0

=

Page 57: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 57)

Dilatação térmica:Dilatação térmica:distintos coeficientes de expansão térmica

20°C 40°C 10°C

I = 40,0I = 44,0

I = 38,0

>

Page 58: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 58)

Dilatação térmica:Dilatação térmica:

Ci

Ce

Sabendo que a 20C

Ci = Ce

Qual a resposta certa a 40C?

(a) Ci < Ce

(b) Ci = Ce

(c) Ci > Ce

(d) NRA

α = α

Page 59: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 59)

Dilatação térmica:Dilatação térmica:

(a) Ci < Ce

(b) Ci = Ce

(c) Ci > Ce

(d) NRA

Page 60: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 60)

MicrômetroMicrômetro

Page 61: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 61)

Correção devido àCorreção devido àdilatação térmicadilatação térmica

SM Peça a medir Correção devido à temperaturaMat Temp. Mat Temp.A 20 °C A 20 °C C = 0A TSM 20 °C A TP = TSM C = 0A TSM A TSM TP C = A . L . (TSM - TP)A 20 °C B 20 °C C = 0A TSM 20 °C B TSM = TP C = (A - B). (TSM - 20°C) . LA TSM B TSM TP C = [A . (TSM - 20°C) - B . (TP - 20°C)] . L

Page 62: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Metrologia (slide 62)

Exemplo 2Exemplo 2

O diâmetro de um eixo de alumínio foi medido por um O diâmetro de um eixo de alumínio foi medido por um micrometro em um ambiente com temperatura de 32ºC. micrometro em um ambiente com temperatura de 32ºC.

Foi encontrado a indicação de 21,427mm.Foi encontrado a indicação de 21,427mm.Determine a correção a ser aplicada no valor do Determine a correção a ser aplicada no valor do

diâmetro do eixo para compensar o efeito da diâmetro do eixo para compensar o efeito da temperatura.temperatura.

ααaçoaço = 11,5 . 10 = 11,5 . 10-6-6 / K / K ααalumínioalumínio = 23,0 . 10 = 23,0 . 10-6-6 / K / K

Page 63: Erro de Medição mensurando sistema de medição indicação valor verdadeiro erro de medição

Bibliografia Bibliografia

Albertazzi, A., Souza, A. R. “FUNDAMENTOS METROLOGIA CIENTIFICA Albertazzi, A., Souza, A. R. “FUNDAMENTOS METROLOGIA CIENTIFICA E INDUSTRIAL”. 407p., Editora Manole, 2008.E INDUSTRIAL”. 407p., Editora Manole, 2008.

Guia para Expressão da Incerteza de Medição (Guide to the Guia para Expressão da Incerteza de Medição (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement - ISO GUM) – Inmetro, Expression of Uncertainty in Measurement - ISO GUM) – Inmetro, 20032003

SI - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADESSI - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADEShttp://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf

VIM 2008 - VOCABULÁRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIAVIM 2008 - VOCABULÁRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIAhttp://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/VIM_2310.pdf