Embed Size (px)
Citation preview
1
Érettségi, M2, I-es feladatsor, természettudomány
1.
1. Számítsd ki a 23 3!C összeget!
2. Határozd meg a 5log 3 4 2 x egyenlet valós megoldásait!
3. Számítsd ki az 1 2
1 1
x x összeg értékét, ha 1x
és 2x az 2 2 0 x x egyenlet megoldásai!
4. Adott az : 0,1f , 2f x x függvény. Határozd meg az f függvény értékeinek halmazát!
5. Adottak az 2, 1A és 1,3B pontok. Határozd meg az a és b valós számokat úgy, hogy AB ai b j .
6. Az ABC háromszögben 4, 7AB AC és 3.BC Számítsd ki a B szög mértékét!
2.
1. Adott az :f , 3f x x függvény. Számítsd ki az 4 3 3 4f f f f szorzat értékét!
2. Határozd meg a 2 2log 2 log 3x x egyenlet valós megoldásait!
3. Oldd meg az 2 5 5 1x x egyenlőtlenséget az egész számok halmazán!
4. Igazold, hogy bármely xˇ esetén a 13 1, 3x x és 5 3 1x számok egy számtani haladvány egymás után
következő tagjai!
5. Az xOy koordináta rendszerben adottak az 4, 8A şi 6,3B
pontok. Határozd meg az OA OB vektor
koordinátáit!
6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 2, 30AC m BAC és 4.AB
3.
1. Határozd meg az 1, 7, 13, 19, ... sorozat tizedik tagját!
2. Tekintsük az összes olyan háromjegyű természetes számot, amelyet az 1,2 halmaz elemeiből képezhetünk.
Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy egy ilyen szám osztható legyen 3-mal!
3. Számítsd ki a 2 x x egyenlet valós megoldásait!
4. Adott az :f , 2 1f x x függvény. Számítsd ki az 2 1 0 1f f f f összeg értékét!
5. Határozd meg az 2, 1A és 1, 2B pontokon átmenő egyenes egyenletét!
6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 2AB AC és 30 .m A
4.
1. Határozd meg az 2
1 7 0x x egyenlőtlenség egész megoldásait!
2. Számítsd ki az 1n n
a
számtani haladvány első 5 tagjának összegét, ha 1 1a és 2 3.a
3. Adott az : ,f 2 8 3f x mx x
függvény, ahol m egy zérótól különböző valós szám. Számítsd ki az
m értékét úgy, hogy az f függvény maximális értéke 5 legyen!
4. Számítsd ki a 2 2log 2 log 5 3x x egyenlet valós megoldásait!
5. Határozd meg az a valós számot, ha az 2u i a j és 3 2v i a j vektorok kollineárisak!
6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarát, ha AB = 3 és 30 .m C
5.
1. Határozd meg az 1 2A x x halmaz elemeinek számát!
2. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a 3 3 3 31, 2, 3,..., 30 halmaz valamely eleme racionális szám
legyen!
3. Adottak az : , 3f f x x és : , 2 1g g x x függvények. Számítsd ki a 2 ( ) 3 ( ) 5f x g x
egyenlet valós megoldását!
4. 20 % -os árcsökkentés után egy termék 320 lejbe kerül. Határozd meg a termék eredeti árát!
2
5. Az , ,O i j derékszögű koordináta rendszerben adottak az 3 2u i j és 5v i j vektorok. Számítsd ki az
5 3u v vektor koordinátáit!
6. Az ABC derékszögű háromszögben D a BC átfogó felezőpontja. Számítsd ki az AB oldal hosszát, ha AC =
6 és AD = 5.
6.
1. Számítsd ki az 2 2a b összeget, ha az a és b számok összege 4 és szorzata 3.
2. Adottak az , :f g 2 1f x x x és 4g x x függvények. Határozd meg az f és g függvények
grafikonjai metszéspontjainak koordinátáit!
3. Számítsd ki az x pozitív, valós értékeit, ha 3
lg ,2
x és lg x egy számtani haladvány egymásutáni tagjai!
4. Számítsd ki annak valószínűségét, hogy az 2, 3, 4,..., 10A halmazból kiválasztott valamely elem
racionális szám legyen!
5. Határozd meg az a valós számot, ha a 2 3 0x y és az 2 5 0ax y egyenesek párhuzamosak
egymással!
6. Adott az ABC háromszög, amelyben 1AB , 2AC és 5BC . Számítsd ki cosB értékét!
7.
1. Számítsd ki 1 2 1 2x x x x értékét, ha 1x és 2x az 2 2 2 0x x egyenlet megoldásai!
2. Adott az :f , 3 4f x x függvény. Határozd meg az 1 4f x x egyenlőtlenség valós
megoldásait!
3. Határozd meg a 2 1
33
xx
egyenlet valós megoldásait!
4. Számítsd ki 3 2log 27 log 8 értékét!
5. Adottak az 1, , 2, 1 , 3,2A a B C és 1, 2D pontok. Határozd meg az a valós szám értékét, ha az AB és
CD egyenesek párhuzamosak!
6. Az ABC háromszögben 5AB , 6AC és 7BC . Számítsd ki cos A értékét!
8.
1. Határozd meg az 1,3,5,...,13A halmaz elemeinek összegét!
2.Adott az :f , 2 1f x x függvény. Határozd meg a függvény grafikonján azt a pontot, amelynek
abszcisszája és ordinátája egyenlő!
3. Határozd meg a 32 2 36xx egyenlet valós megoldásait!
4. Számítsd ki 4 44 4V C értékét!
5. Határozd meg az 1,1A ponton átmenő és a 4 2 5 0x y egyenessel párhuzamos egyenes egyenletét!
6. Számítsd ki 2 2sin 130 cos 50o o
értékét!
9.
1. Igazold a következő egyenlőséget: 3 2 4
1log 9 log 8 log
4 .
2. Határozd meg az m azon értékeit, amelyekre az 2 2 4 0x mx m egyenlet gyökei valósak!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 2 3 1x x egyenletet!
4. Egy 1000 lejes bankbetét éves kamatja 80 lej. Számítsd ki a kamatlábat!
5. Határozd meg a B pont koordinátáit, ha 3,4A és AB i j .
6. Számítsd ki az ABCD paralelogramma területét, ha 3, 3AB AD és 120m BAD .
3
10.
1. Határozd meg azon mértani haladvány negyedik tagját, amelynek állandó hányadosa 1
3 és első tagja 27.
2. Adott az :f , 2 1f x x függvény. Határozd meg az 2 2 3 0 f x f x egyenlet valós
megoldásait!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 4 3 2 2 0x x egyenletet!
4. Hasonlítsd össze az 1 34 4a C C és 0 1 2 3
3 3 3 3b C C C C számokat!
5. Határozd meg a 2 3w v u vektor koordinátáit, ha 3 4v i j és 2 3u i j .
6. Az ABC háromszög területe 15. Számítsd ki sin A értékét, ha AB = 6 és AC = 10.
11.
1. Számítsd ki 4 45 5C V értékét!
2. Számítsd ki az 2 3 4
1 1 1 11
3 3 3 3
összeget!
3. Adott az :f , f x ax b függvény. Határozd meg az a és b valós számokat úgy, hogy teljesüljön a
3 2 3 5f x x egyenlőség bármely x esetén!
4. Határozd meg a 23 3log 2 log 2 3x x x egyenlet valós megoldásait!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az 1,2A , 1,1B , 3,5C és 5,D a , a pontok.
Határozd meg az a értékét, ha AB CD .
6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarát, ha BC = 8 és 0( ) 45m A .
12.
1. Adott az :f , 2 25f x x függvény. Számítsd ki az 5 4 ... 0 ... 4 5f f f f f szorzat
értékét!
2. Oldd meg az 2 28, , 2nC n n egyenletet!
3. Ha 3log 2 a , igazold a következő egyenlőséget: 3 3 3log 8 log 100 log 25 5a .
4. Határozd meg az 2
2 31
1
x
x x
egyenlőtlenség valós megoldásait!
5. Határozd meg az 2,3A és 3, 2B
pontokon átmenő egyenes egyenletét!
6. Az ABC háromszögben AB = 3, BC = 8 és a háromszög területe 6. Számítsd ki sinB értékét!
13.
1. Határozd meg az 1,2,3,4,5 halmaz összes kételemű részhalmazainak számát!
2. Adottak az , :f g , 23 3 1f x x x és 1g x x függvények. Határozd meg az ( ) ( )f x g x
egyenlet valós megoldásait!
3. Határozd meg a 23log 4 4 2x x
egyenlet valós megoldásait!
4. Határozd meg az mˇ értékét, ha az :f , 2 1f x x mx m függvény grafikus képe érinti az
Ox tengelyt!
5. Számítsd ki az ABC egyenlő oldalú háromszög területét, ha 1,1A és 3, 2 .B
6. Számítsd ki cosx értékét, ha 4
sin5
x és x egy hegyesszög mértékét jelöli!
14.
1. Ha a , igazold, hogy az 2 2 1 1 0ax a x a egyenletnek két különböző valós gyöke van!
2. Adott az :f , 2 11 30f x x x függvény. Számítsd ki az 0 1 ... 6f f f szorzat értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 32 2 28x x egyenletet!
4
4. Számítsd ki 2 46 62V C értékét!
5. Számítsd ki az AB szakasz hosszát az xOy derékszögű koordináta-rendszerben, ha A(2,3) és B(5,−1).
6. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét, ha AB = 2, BC = 4 és 0( ) 60 .m B
15.
1. Számítsd ki az 1,2,3,4 halmaz kételemű részhalmazainak számát!
2. Határozd meg a 1
1255
x egyenlet valós megoldásait!
3. Adott az :f , 2 5 6f x x x m függvény. Határozd meg m azon valós értékeit, amelyekre
0f x , bármely x esetén!
4. Határozd meg az x valós számot, ha 2 1, 4x x és 12 3x egy számtani haladvány három egymás utáni tagja!
5. Számítsd ki az AB BC CA összeget, ha A, B és C egy háromszög csúcsai!
6. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét, ha AB = 5, AC = 4 és 0( ) 60m A .
16.
1. Számítsd ki 3 58 8C C értékét!
2. Határozd meg a 2log 5 3x egyenlet valós megoldásait!
3. Határozz meg egy olyan másodfokú egyenletet, melynek 1x és 2x gyökei egyidejűleg teljesítik az 1 2 1x x és
1 2 2x x összefüggéseket!
4. Adott az :f , 2 3 2f x x x függvény. Számítsd ki az 0 2f f f értéket!
5. Határozd meg a C pont koordinátáit, ha C az 5,4A pontnak a 2,1B pont szerinti szimmetrikusa!
6. Számítsd ki az ABC háromszög A csúcsából húzott magasságának hosszát, ha 3, 4AB AC és 5BC .
17.
1. Számítsd ki 3 32log 4 4log 2 értékét!
2. Határozd meg a 12 2 12x x egyenlet valós megoldásait!
3. Határozd meg az n, 1n természetes számot, ha 1 1 10. n nV C 4. Adott az : 0,2f , 4 3f x x függvény. Határozd meg a függvény értékeinek halmazát!
5. Adott az O középpontú körbe írt, egyenlő oldalú ABC háromszög. Igazold, hogy OA OB OC O .
6. Számítsd ki sin135 értékét!
18.
1. Számítsd ki 2 2
1log 3 log
3
értékét!
2. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a 0,1,2,3,4,5 halmaz valamely eleme teljesítse az ! 50n
egyenlőtlenséget!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 14 2 5x x
egyenletet!
4. Igazold, hogy bármely valós a értékre az 2 22sin 1 cos 0x a x a másodfokú egyenletnek egyenlő valós
megoldásai vannak!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az 2, 3OA és 1, 2OB vektorok. Határozd meg azon
és valós számokat, amelyekre a 3 5OA OB vektor koordinátái , .
6. Az ABC háromszög köré írt kör sugara 3
2 és 3BC . Számítsd ki sin A értékét!
19.
1. Számítsd ki 6 6log 24 log 4
értékét!
5
2. Adott az :f , 2 3 2f x x x függvény. Számítsd ki az 0 1 2009f f f
szorzat értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 5 2 x egyenletet!
4. Határozd meg az ,n 5n természetes számot, ha
3 !6.
5 !
n
n
5. Határozd meg az a valós szám azon értékeit, amelyekre az 1,2A és 4 ,4B a a pontok által
meghatározott szakasz hossza 5.
6. Számítsd ki 2 2cos 45 sin 135 értékét!
20.
1. Számítsd ki 3 3 3log 6 log 2 log 4 értékét!
2. Határozd meg a 2 2 2 x x egyenlet valós megoldásait!
3. Határozz meg egy olyan másodfokú egyenletet, amelynek 1x és 2x gyökei egyidejűleg teljesítik az 1 2 2x x és 1 2 3 x x összefüggéseket!
4. Határozd meg az \ 1m értékét, ha az :f , 21 2 1f x m x m x függvény grafikus képe
minimumpontjának abszcisszája 2.
5. Számítsd ki az 3, 1A és 1,2B pontok közötti távolságot!
6. Határozd meg azt az x valós számot, amelyre , 7x x és 8x egy derékszögű háromszög oldalai!
21.
1. Határozd meg a 1 5x x egyenlet valós megoldásait!
2. Adott az :f , 2 3f x x függvény. Számítsd ki az (0) (1) (5)f f f szorzat értékét!
3. Határozd meg az x szám azon valós értékeit, amelyekre 4 3 2 4x .
4. Számítsd ki az 2: , 2 8f f x x x függvény grafikus képének az Ox tengellyel való metszéspontjai
közötti távolságot!
5. Ha 2 0AB CB , határozd meg az AB
BC arány értékét!
6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AB = 6 , AC = 8 és 10BC .
22.
1. Határozd meg x valós értékeit, ha 3, 4, 3x x egy számtani haladvány három egymás utáni tagja!
2. Adott az :f , 2 8 7f x x x függvény. Számítsd ki az f függvény grafikus képének az Ox
tengellyel való metszéspontjai közötti távolságot!
3. Igazold, hogy 1 3 5 21E egy természetes szám!
4. Hány olyan háromjegyű természetes szám képezhető a 1,2,3,4 halmaz elemeiből, amelyek számjegyei
különbözőek?
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az 2,1A és 1,2B
pontok. Határozd meg a C AB
pont koordinátáit, ha 2CA
CB .
6. Az ABC háromszögben AB = 4, BC = 2 és a C szög mértéke 60 . Számítsd ki sin A értékét!
23.
1. Határozd meg az x egész számot, amelyre 2 1
3 42
x .
2. Adott az :f , 2 6 5f x x x függvény és az 4y egyenletű egyenes. Határozd meg az f
függvény grafikus képe és az egyenes metszéspontjának koordinátáit!
3. Határozd meg a 2log 3 0x egyenlet valós megoldásait!
4. Hány darab kétjegyű számot képezhetünk az 1,2,3,4 halmaz elemeivel?
5. Az xOy derékszögű koordinátarendszerben adottak az 2, 1OA és 1,2OB
vektorok. Határozd meg az
6
OM vektor koordinátáit, ha M az AB szakasz felezőpontja!
6. Számítsd ki sin120 értékét!
24.
1. Számítsd ki az 1 3 5 ... 19 összeget!
2. Igazold, hogy az 2 22 1 0x x a egyenletnek nincs valós megoldása, tetszőleges a esetén!
3. Határozd meg a m valós értékeit, ha tudjuk, hogy az :f , 2 1f x x mx m függvény minimuma
1
4 .
4. Helyezd növekvő sorrendbe az
21
, 644
és 3 8 számokat!
5. Adott az O középpontú körbe írt ABC egyenlő oldalú háromszög. Számítsd ki az 3AB AC AO vektort!
6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha AB = 3 , AC = 3 és az A szög mértéke 120 .
25.
1. Számítsd ki lg 20 lg3 lg6 értékét!
2. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy valamely kétjegyű szám teljes négyzet legyen!
3. Határozd meg a 7 1x egyenlet valós megoldásait!
4. Határozd meg az mˇ értékét ha az 2 2 1 3 0x m x m egyenlet 1 2,x x gyökei teljesítik az
1 2 1 2 11x x x x összefüggést!
5. Igazold, hogy bármely ABC derékszögű háromszögben, melynek területe S és átfogója ,a teljesül az
2 sin sin 2a B C S azonosság!
6. Számítsd ki sin170 cos10 értékét!
26.
1. Adott az 1( )n na számtani haladvány, amelyben 3 5a és 6 11.a Számítsd ki 9a
értékét!
2. Adott az :f , ( ) 2f x x függvény. Számítsd ki (1) (2) ... (20)f f f értékét!
3. Oldd meg a 22 54 2x x egyenletet az halmazon!
4. Oldd meg a 12 2,n
nC n
egyenletet!
5. Határozd meg azt az m valós számot, amelyre a 2 3v i j és w i m j vektorok kollineárisak!
6. Számítsd ki cos30 cos60 cos120 cos150 értékét!
27.
1. Határozd meg az 2 1 1A x x halmaz elemeit!
2. Adott az 2 3 5 0x x egyenlet, amelynek megoldásai 1x és 2x . Számítsd ki 2 21 2x x értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 25 12x egyenletet!
4. Számítsd ki 0 1 2 3 44 4 4 4 4C C C C C értékét!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(1,2), B(5,6) és C( 1 ,1) pontok. Határozd meg az
ABC háromszög C pontjából húzott oldalfelező egyenletét!
6. Számítsd ki az MNP háromszög területét, ha 6, 4MN NP és ( ) 30m MNP .
28.
1. Határozd meg az : 2,1f , 3 1f x x függvény legkisebb értékét!
2. Adott az :f , 2 1f x x függvény. Számítsd ki az 1 2 ... 6f f f összeg értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 22 2log (2 5) log ( 3 3)x x x
egyenletet!
7
4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a 2 24 5,C C és 3
4C számok valamelyike osztható legyen 3-mal.
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(2,3), B(1,5) és C(4,2) pontok. Számítsd ki az A
pont és a BC szakasz felezőpontja közötti távolságot!
6. Számítsd ki sin60 cos30 értékét!
29.
1. Számítsd ki 2 25 4 6C V értékét!
2. Adott az :f , 3f x x függvény. Számítsd ki az ( 6) (0) (6) (12)f f f f összeg értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 23log ( 1) 1x egyenletet!
4. Oldd meg a 2
2 3
2 7
x y
x x y
egyenletrendszert, ahol ,x y .
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(3, 1 ) és B(1,1) pontok. Határozd meg az m és n
valós számokat, amelyekre az A és B pontok az 0x my n egyenesen vannak!
6. Számítsd ki cos150 cos30 sin120 sin60 értékét!
30.
1. Számítsd ki az 2 3 71 2 2 2 ... 2 összeget!
2. Igazold, hogy 1 2 3x x x , bármely x esetén!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 3x x egyenletet!
4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az {1,2,3,4,5} halmazból kiválasztott valamely n elem teljesítse az
2 2nn egyenlőtlenséget!
5. Határozd meg az m valós számot, amelyre a 1 : 2 3 0d x my és 2 : 5 0d mx y egyenletű egyenesek
párhuzamosak!
6. Számítsd ki sin30 cos45 sin60 értékét!
31.
1. Adott az 1( )n na számtani haladvány, amelyben 1 1a
és 5 13a . Számítsd ki 2009a értékét!
2. Adott az 2 2 0x mx egyenlet, amelynek gyökei 1x és 2x . Számítsd ki az m valós értékeit, amelyekre
2
1 2 1 22 5.x x x x
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2
2 4x x egyenletet!
4. Adott az :f , 2 1 1f x m x m függvény. Igazold, hogy
11
4f , bármely m esetén!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A( 1 , 1 ), B(2,3) és C(3,1) pontok. Határozd meg a
D pont koordinátáit úgy, hogy az ABCD paralelogramma legyen!
6. Számítsd ki cos80 cos100 értékét!
32.
1. Határozd meg az 1n n
a
számtani haladvány különbségét, ha 10 2 16a a .
2. Adott az :f , 3f x x függvény. Számítsd ki az 2 72 2 ... 2f f f összeg értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 1 1x x egyenletet!
4. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy az 1,2,3,4 halmazból kiválasztott valamely n elem teljesítse az
8
2!n n egyenlőtlenséget!
5. Határozd meg a 1 : 2 2 0d x y és 2 : 3 8 0d x y egyenletű egyenesek metszéspontja és az O(0,0) pont
közötti távolságot!
6. Igazold, hogy egy BC átfogojú ABC derékszögű háromszögben teljesül a 2 2sin sin 1B C összefüggés!
33.
1. Adott az 1n n
a
számtani haladvány, amelyben 1 2a és 2 4a . Számítsd ki a számtani haladvány első tíz
tagjának az összegét!
2. Határozd meg azt a másodfokú :f , 2 2 1 3,f x x m x m függvényt, amelynél a grafikus
kép csúcsának abszcisszája 7
2.
3.Oldd meg a valós számok halmazán a 2 1 53 3x x egyenletet!
4. Számítsd ki 25 3V P
értékét!
5. Adott az A(2,3) pont. Határozd meg az m valós számot, ha az A pont rajta van a : 2 0d x y m
egyenesen!
6. Számítsd ki az MNP háromszög területét, ha 4MN , 6NP és ( ) 45 .m MNP
34.
1. Oldd meg a valós számok halmazában a 2
2 1 9x egyenlőtlenséget!
2. Adott az :f , 1f x x függvény. Számítsd ki az (0) 1 2 ... 10f f f f összeg értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 22 2log ( 4) log ( 4)x x
egyenletet!
4. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy a 3P , 13V és 3
4C számok valamelyike osztható legyen 3-mal.
5. Határozd meg az 2, 3 és 3,2 A B pontokon átmenő egyenes egyenletét!
6. Számítsd ki annak az ABC háromszögnek a területét, amelyben 5, 6AB AC és 60m BAC .
35. 1. Számítsd ki 5 5 5log 10 log 3 log 6 értékét!
2. Adott az :f ,
2 1f x x függvény. Számítsd ki az 1 2 ... 6f f f összeg értékét!
3. Oldd meg valós számok halmazában az 2 5 55 5x x x egyenletet!
4. Két egymás utáni , előbb 10%-os, majd 20%-os drágulás után egy termék ára 660 lej. Számítsd ki a termék
eredeti árát!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az 2, 1A és 2,2B pontok. Számítsd ki az A és B
pontok közötti távolságot!
6. Az MNP háromszögben MN = 3, MP = 5 és ( ) 60m M . Számítsd ki az NP oldal hosszát!
36.
1. Határozd meg azon a és b valós számokat, amelyekre 2 2
3 2 0a b .
2. Adott az :f , 5f x x függvény. Számítsd ki az (0) (1) (2) ... (5)f f f f szorzat értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 3 3log (3 1) log (2 1)x x egyenletet!
4. Igazold, hogy az :f , 2 22 1f x x mx m függvényhez tartozó parabola az Ox tengely felett van,
tetszőleges m esetén!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (1,1)A , (2,3)B és (3, )C m pontok. Határozd meg az m
valós értékét, amelyre az A, B és C pontok kollineárisak!
9
6. Az ABC háromszög köré írt kör sugara 3 és 6AC . Számítsd ki sinB értékét!
37.
1. Határozd meg az 2
2 16x egyenlet valós megoldásait!
2. Adott az :f , 2f x x függvény . Számítsd ki az (1) (2) (10)f f f szorzat értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 2 2x x x egyenletet!
4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a 3,4,5,6 halmazból kiválasztott valamely elemre teljesüljön az
1 20n n egyenlőtlenség !
5. Határozd meg az 2, 4A pontnak a 1, 2B pontra vonatkozó szimmetrikusát!
6. Számítsd ki 2 2sin 80 sin 10 értékét!
38.
1. Adott a 1n n
b
mértani haladvány, amelyben 1 2b és 2 6b . Számítsd ki 5b értékét!
2. Adott az :f , 2 2f x x mx függvény. Határozd meg azon m valós számokat, amelyekre a
függvény minimuma 1
4 .
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 22 5 83 3x x egyenletet!
4. Oldd meg a 2 21, , 2nC n n egyenletet!
5. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az 1,1A ponton, és iránytényezője egyenlő 1-
gyel!
6. Az ABC háromszögben 6AB AC és 6 3BC . Számítsd ki cosB értékét!
39.
1. Számítsd ki
13
2
1log 4 8
2
értékét!
2. Adott az : ,f 3 2f x x függvény.
Számítsd ki az (0) 1 2 ... 6f f f f összeg értékét!
3.Oldd meg a valós számok halmazában a 2169 12x egyenletet!
4. Adott az 1,2,3,4A halmaz. Hány olyan háromjegyű szám képezhető az A halmaz elemeiből, amelynek
számjegyei különbözőek?
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(2,4), B(1,1), C(3, 1 ) pontok. Számítsd ki az ABC
háromszög A csúcsából húzott oldalfelezőjének hosszát!
6. Számítsd ki annak a derékszögű háromszögnek a területét, amelyben az egyik szög mértéke 60 és átfogójának
hossza 8.
40.
1. Határozz meg egy olyan másodfokú egyenletet, amelynek gyökei az 1 2x és az 2 3x számok!
2. Oldd meg az 2
2 0
2 0
x y
x x y
egyenletrendszert, ahol , .x y
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 25log (9 ) 1x egyenletet!
4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az 1,2,3,4A halmazból kiválasztott valamely n elem teljesítse az
! 5n egyenlőtlenséget!
10
5. Számítsd ki sin135
cos 45 értékét!
6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 8, 4AB AC és ( ) 45 .m A
41.
1. Határozd meg az 2 9 0x egyenlőtlenség valós megoldásait!
2. Adott az :f , 2009 2008f x x függvény. Igazold, hogy az 2010
,22009
A
pont rajta van a függvény
grafikus képén!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 9 4 3 3 0x x egyenletet!
4. Határozd meg az x valós számot, ha az 1, 2 1, 9,13,x sorozat egy számtani haladvány!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az M(1,2) és N(2,1) pontok. Határozd meg az MN
egyenes egyenletét!
6. Számítsd ki 2 230 45tg ctg értékét!
42.
1. Adott az 1( )n na számtani haladvány, amelyben 1 6a és 2 5a . Számítsd ki 7a értékét!
2. Adott az :f , 2 3f x x függvény. Oldd meg az ( ) 12f x egyenlőtlenséget!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 4 6 2 8 0x x egyenletet!
4. Adott az 1,2,3,4,5A halmaz. Hány olyan 4 jegyű szám képezhető az A halmaz elemeiből, amelyek
számjegyei különbözőek?
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A( 1 , 1 ), B(1,1) és C(0, 2 ) pontok. Igazold, hogy az
ABC háromszög A-ban derékszögű!
6. Számítsd ki cos10 cos20 cos160 cos170 értékét!
43.
1. Határozd meg az 3
1
x y
x y
egyenletrendszer valós megoldásait!
2. Adott az :f , 5f x x függvény. Számítsd ki 2 52 2 ... 2f f f értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 22 3 22 8x x egyenletet!
4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a {2,3,4,5} halmazból kiválasztott n elem valamelyike teljesítse az
2 !n n n egyenlőtlenséget!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(2, 1 ) és ( 2, ),B a a pontok. Határozd meg az
a valós számot úgy, hogy az AB egyenes tartalmazza az O(0,0) pontot!
6. Számítsd ki cosx értékét, ha 3
sin5
x és x egy hegyesszög mértéke!
44.
1. Adott az 1n n
a
számtani haladvány, amelyben 2 5a és 3r . Számítsd ki 8a értékét!
2. Adott az :f , ( ) 2f x x függvény. Számítsd ki az 2 53 3 3f f f összeget!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 5log (2 1) 1x egyenletet!
4. Számítsd ki egy 6 elemű halmaz kételemű részhalmazainak a számát!
5. Határozd meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit, ha 5, 4A és 3,6B .
11
6. Számítsd ki 2 2sin 150 cos 30 értékét!
45.
1. Határozd meg az 2: , ( ) 4 5f f x x x függvényhez tartozó parabola csúcsának koordinátáit!
2. Adott az :f , ( ) 3 4f x x függvény. Számítsd ki az 1 2 ... 10f f f összeg értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 3log (10 ) 2x egyenletet!
4. Oldd meg a 2 12, , 2nV n n egyenletet!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(1,2), B(5,2) és C(3, 1 ) pontok. Számítsd ki az
ABC háromszög kerületét!
6. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az 0 0 0sin30 , sin 45 , sin60A halmaz valamely eleme racionális szám
legyen?
46.
1. Adott a 1n n
b
mértani haladvány, amelyben 1 1b és 2 3b . Számítsd ki 4b értékét!
2. Adott az 2 0x x m egyenlet, amelynek megoldásai 1x és 2x . Határozd meg az m valós számot úgy, hogy
teljesüljön az 1 2
1 1 3
1 1 4x x
egyenlőség!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 4 2 0x x egyenletet!
4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az 1,2,3,4 halmazból kiválasztott n elem valamelyike teljesítse a
33n n egyenlőtlenséget!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A(5, 1 ) és B(3,1) pontok. Határozd meg az A
pontnak a B pont szerinti szimmetrikusának koordinátáit!
6. Számítsd ki az MNP háromszög területét, ha MN = 10, NP = 4 és ( ) 60m MNP .
47.
1. Adott az 1( )n na számtani haladvány, amelyben 1 7a és 7 37a . Számítsd ki a haladvány első tíz tagjának
összegét!
2. Adott az :f , 7f x x függvény. Számítsd ki az 1 2 7f f f szorzat értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 12 4x egyenletet!
4. Számítsd ki 5 5 47 6 6C C C
értékét!
5. Határozd meg azt a pozitív valós a számot, amelyre az 2, 1A és 1,B a pontok közötti távolság egyenlő
5-tel!
6. Számítsd ki annak az egyenlő oldalú háromszögnek a területét, amelynek magassága 3 3 .
48.
1. Adott az 1n n
a
számtani haladvány, amelyben 1 3a és 3 7a . Számítsd ki a haladvány első 10 tagjának
összegét!
2. Adott az :f , 2 3 1f x x x függvény. Határozd meg azon m valós számokat, amelyekre az
( , 1)A m pont rajta van az f függvény grafikus képén!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 5log (2 3) 2x egyenletet!
4. Számítsd ki egy 5 elemű halmaz 3 elemű részhalmazainak számát!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az A( 1 , 2 ), B(1,2) és C(2, 1 pontok. Számítsd ki a
12
C pont és az AB szakasz felezőpontja közötti távolságot!
6. Az ABC háromszögben 8, 8AB AC és ( ) 30m A . Számítsd ki az ABC háromszög területét!
49.
1. Számítsd ki az 1 11 21 31 ... 111 összeg értékét!
2. Adott az :f , 2 2 4f x x x függvény. Határozd meg az m valós szám azon értékeit, amelyekre az
( ,4)A m pont rajta van az f függvény grafikus képén!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 12 8x x egyenletet!
4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az {1,2,3,4} halmazból kiválasztott n elem valamelyike teljesítse a
2 !n n egyenlőtlenséget!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adott az 2( , )A m m pont és a : 0d x y m egyenletű egyenes.
Határozd meg az m azon valós értékeit, amelyekre az A pont rajta van a d egyenesen!
6. Számítsd ki az MNP háromszög területét, ha 6MN NP és ( ) 120m MNP .
50.
1. Határozd meg az 3 2 4 1A x x x halmaz elemeit!
2. Határozd meg azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyekben az :f , 2 3f x x függvény
grafikonja metszi a koordinátatengelyeket!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 4 2x egyenletet!
4. Egy 500 lejes összeget letétbe helyeztek 8% -os kamatlábbal. Számítsd ki az egy éves kamat értékét!
5. Határozd meg a v OA OB vektor koordinátáit, ha 2,3A és 1,5B .
6. Számítsd ki annak az egyenlő oldalú háromszögnek a területét, amelynek kerülete egyenlő 6-tal!
51.
1. Határozd meg az x valós számot, ha az x + 1, 2x – 3 és x – 3 számok egy számtani haladvány egymás utáni
tagjai!
2. Egy termék 10%-os árcsökkentés után 99 lej. Határozd meg a termék eredeti árát!
3. Számítsd ki 2 20072009 2009C C értékét!
4. Határozd meg azt a másodfokú függvényt, amelynek grafikus képe tartalmazza az 1;3A , 0;5B és 1;11C
pontokat!
5. Az ABC háromszögben jelölje rendre M, N, P az AB, BC, illetve AC oldalak felezőpontját. Igazold, hogy
AM AP AN .
6. Az ABC háromszögben 3AB BC és 3 2AC . Határozd meg cos A értékét!
52.
1. Számítsd ki 2 2
3log 3 log
2
értékét!
2. Határozd meg a 2 4 0x y és az 3 0x y egyenletű egyenesek metszéspontjának koordinátáit!
3. Határozd meg azon m valós számokat, amelyekre 5x megoldása az 2 1 3 2m x x m egyenletnek!
4. Oldd meg a valós számok halmazában a 24 6 3 2x x x egyenletet!
5. Számítsd ki az ABC háromszög kerületét, ha csúcsai az 1;3 , 2;0A B és 0;3C pontok!
6. Ha a 2BC , 30m BAC és 45m ABC , számítsd ki az ABC háromszög AC oldalának hosszát!
13
53.
1. Igazold a 1 2 9
lg lg ... lg 12 3 10 egyenlőséget!
2. Számítsd ki 2 9981000 1000C C értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 10
3 33
x x egyenletet!
4. Határozd meg az m számot úgy, hogy teljesüljön az 2 3 3 0x m x m egyenlőtlenség bármely x
valós szám esetén!
5. Számítsd ki az A szög koszinuszát az ABC háromszögben, ha 3AB , 5AC és 6BC .
6. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az 0;A a , 1;2B és 4;5C pontok, ahol a valós
szám. Határozd meg a azon értékeit, amelyekre az ABC háromszög A-ban derékszögű!
54.
1. Számítsd ki 3 3 3log 5 log 6 log 10 értékét!
2. Határozd meg az : 1,1f , 2 3f x x függvény legnagyobb értékét!
3. Határozd meg m valós paraméter értékeit úgy, hogy az 2 1 3 0x m x egyenlet 1x és 2x megoldásaira
teljesüljön az 1 23x x egyenlőség!
4. Számítsd ki 11 1
nn nC C , n értékét!
5. Számítsd ki sin10 cos80 értékét!
6. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az 2,2A és 4,4B pontok. Határozd meg az AB
szakasz felezőpontjának koordinátáit!
55.
1. Hasonlítsd össze a 22 és 2log 32 számokat!
2. Határozd meg m értékét úgy, hogy az 2,3A pont legyen rajta az :f , 2 1f x mx x
függvény grafikus képén!
3. Határozd meg azon x valós számokat, amelyekre teljesül a 2 1 2x egyenlőség!
4. Oldd meg a 2 1 2, , 2n nC C n n egyenletet!
5. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarának hosszát, ha 10BC és 60m BAC .
6. Számítsd ki sin60 cos150 értékét!
56.
1. Bizonyítsd be, hogy 2log 83 2 természetes szám!
2. Határozd meg a 4 6 2 0x y és a 2 3 7 0x y
egyenletű egyenesek metszéspontjának koordinátáit!
3. Határozd meg az m valós paraméter értékeit, ha az 2 2 3 3 0x m x egyenlet 1x és 2x megoldásai
teljesítik az 1 2 1 2 7x x x x egyenlőséget!
4. Oldd meg az 2 !
56, !
nn
n
egyenletet!
5. Igazold, hogy egy A –ban derékszögű ABC háromszögben igaz a 2 2cos cos 1B C egyenlőség!
6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 4AB AC és 60m A .
14
57.
1. Határozd meg az 1n n
a
számtani haladvány első 6 tagjának összegét, ha 1 2a és 2 5a .
2. Határozd meg az m valós paraméter értékeit úgy, hogy az 2 9 0x mx egyenletnek egyenlő valós gyökei
legyenek!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 22log 3 10 3x x egyenletet!
4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az 7,11,15,19,...,35A halmaz valamely elemét kiválasztva, az
osztható legyen 5-tel!
5. Határozd meg az 4;0A és 0;2B pontokon átmenő egyenes egyenletét!
6. Számítsd ki cosB értékét, ha az ABC háromszögben 6AB , 8AC és
10BC .
58.
1. Számítsd ki 5 3log 25 log 9 értékét!
2. Határozd meg azt az : ,f f x ax b függvényt, amelynek grafikus képe átmegy az 2;7A és
1; 2B pontokon!
3. Igazold, hogy az 2 1 0x x egyenlet 1x és 2x megoldásai teljesítik az 2 2
1 2 1 2 2x x x x összefüggést!
4. Határozd meg azon n természetes számokat, amelyekre az 10 3E n n kifejezés értelmezett!
5. Határozd meg az ABC háromszög A-ból húzott oldalfelezőjének hosszát, ha a háromszög csúcsai az 0;4A ,
2;0B és 8;0C pontok!
6. Számítsd ki az ABC háromszög BC oldalának hosszát, ha 90m A , 30m B és 4 3AB .
59.
1. Határozd meg x szám valós érékeit, ha az 5 x ; 7x és 3 11x számok egy mértani haladvány egymás utáni
tagjai!
2. Számítsd ki egy termék ÁFA - ját, ha az eladási ár 238 lej ( az ÁFA 19% -os).
3. Igazold, hogy 2 3log 4 log 9 36 .
4. Adott az : , 3 4f f x x függvény. Határozd meg azokat az x értékeket, amelyekre 1 1f x f .
5. Határozd meg egy derékszögű háromszög befogóinak hosszát, ha ezeknek összege 23 és a háromszög területe
60.
6. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét amely átmegy az 1, 2A ponton és iránytényezője 2.
60.
1. Oldd meg a valós számok halmazában a 2
3 9x x egyenletet!
2. Határozd meg az :f D
lg 2 3f x x függvény D maximális értelmezési tartományát!
3. Határozd meg az m valós szám értékeit, ha az :f , 2 2 3f x x mx m függvény minimuma egyenlő
2-vel!
4. Számítsd ki 2 2 12009 2008 2008C C C
értékét!
5. Számítsd ki az ABC háromszög AC oldalának hosszát, ha az 10AB , 15BC és 60m B .
6. Határozd meg annak az M pontnak a koordinátáit, amely rajta van az AB egyenesen és egyenlő távolságra
található az 1; 1A és 5; 3B pontoktól!
61.
1. Számítsd ki 6 6 6log 3 log 10 log 5 értékét!
15
2. Határozd meg azokat a nullától különböző m valós értékeket, amelyekre az :f ,
2 1 1f x mx m x függvény grafikonja érinti az Ox tengelyt!
3. Oldd meg a valós számok halmazában az 2 1 3 1x x x egyenlőtlenséget!
4. Igazold, hogy 8! 9!
3! 5! 2! 7!
természetes szám!
5. Igazold, hogy bármely x mértékű hegyesszög esetén teljesül a 2sin cos 90 cos 180 1x x x
összefüggés!
6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 10AB AC és 30m A .
62.
1. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 3x egyenletet!
2. Határozd meg az m értékét úgy, hogy az :f , 2 2 3f x x x m függvény maximuma 10
legyen!
3. Határozd meg a 7log 2 1 2x
egyenlet valós megoldásait!
4. Oldd meg a következő egyenlőtlenséget:
22 8, ahol , 2nC n n n .
5. Határozd meg az a valós számot, ha az 2;1A és 7;B a pontok közötti távolság 13.
6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarának hosszát, ha 20BC és 30m A .
63.
1. Határozd meg egy számtani haladvány első tagját, ha az állandó különbség 4, és az első két tag összege 10.
2. Határozd meg az m szám valós értékeit, ha az 2 2 0x mx m egyenlet 1x és 2x megoldásai teljesítik a
1 2 1 22x x x x egyenlőtlenséget!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 2log 2 log 1 1x x egyenletet!
4. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy a 11,12, ,20 halmaz egy elemét kiválasztva, az prímszám
legyen!
5. Határozd meg az A pontnak a BC szakasz M felezőpontjára vonatkozó szimmetrikusát, ha 3;0A , 0;2B és
3;2C .
6. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 10AC , 16BC és 60m C .
64.
1. Határozd meg egy mértani haladvány első tagját, ha az első és negyedik tag aránya 1
8 és 2 3b .
2. Számítsd ki 1 2
1 1
x x értékét, ha 1x és 2x az 2 2008 1 0x x egyenlet megoldásai!
3. Határozd meg a 22log ( 2) 2x x egyenlet valós megoldásait!
4. Oldd meg a 217 17 , , 2, 17n nC C n n n
egyenlőtlenséget!
5. Határozd meg az 3 1 0x y és 3 2 4 0x y egyenletű egyenesek metszéspontjának koordinátáit!
6. Számítsd ki az ABC háromszög AB oldalának hosszát, ha 6BC , 3 2AC és 45m C .
65.
1. Igazold, hogy 3 27 12 2 3 természetes szám!
16
2. Oldd meg a valós számok halmazában a 2 4 1
28
x x egyenletet!
3. Határozd meg azon m valós értékeket, amelyekre az 2 6 0x mx m egyenlet 1x és 2x gyökei teljesítik a
1 2 1 24 0x x x x összefüggést!
4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy egy kétjegyű természetes számot kiválasztva, az egy természetes szám
köbe legyen!
5. Számítsd ki az :f , 3 5f x x függvény grafikus képe és a koordinátatengelyek által meghatározott
háromszög területét!
6. Számítsd ki 2 2sin 120 cos 60 értékét!
66.
1. Igazold, hogy 2log 2 , 13C és 5 egy számtani haladvány egymásutáni tagjai!
2. Határozd meg az :f , 13 1xf x függvény grafikus képének a koordinátatengelyekkel való
metszéspontjait!
3. Határozd meg az m számot úgy, hogy az 2 2 6 1 0x x m egyenlet 1x és 2x megoldásai teljesítsék az
1 2 1 2x x x x összefüggést!
4. Számítsd ki 0! 1! 2! 3! értékét!
5. Számítsd ki az ABC háromszög befogóinak hosszát ha 90m A , 60m B és az átfogó hossza egyenlő
8-cal!
6. Számítsd ki az 2;0A , 0;4B és 1;6C pontok által meghatározott háromszög területét!
67.
1. Igazold a 15 31C P egyenlőséget!
2. Határozd meg az :f , 2 1f x x függvény grafikus képének a koordinátatengelyekkel való
metszéspontjait!
3. Igazold, hogy bármely m értékre az 2 2 1 0x mx m egyenletnek két különböző valós gyöke van!
4. Határozd meg egy mértani haladvány első három tagjának összegét, ha az első két tag összege 8, a második és
első tag különbsége pedig 4.
5. Számítsd ki az ABC háromszög AC oldalát, ha 45m B , 30m C és AB=10.
6. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az 5, 4A és 0,8B pontok. Számítsd ki AM szakasz
hosszát, ahol M az AB szakasz felezőpontja!
68.
1. Határozd meg az x valós értékeinek halmazát, amelyekre teljesül: 4 3 2 4x .
2. Oldd meg a valós számok halmazában a 3 4 2x x egyenletet!
3. Oldd meg a valós számok halmazában a 13 2 3 7x x egyenletet!
4. Határozd meg , hogy a b számnak hány százaléka az a szám, ha az a a b-nek 25%-a..
5. Számítsd ki egy derékszögű háromszög befogóinak hosszát, ha területe 18 és egyik szögének mértéke 45 .
6. Igazold, hogy a 2
sin cos 2sin cosx x x x kifejezés állandó, bármely x valós szám esetén!
69.
1. Számítsd ki a 2 46 6C C
értékét!
2. Határozd meg az x szám azon valós értékeit, amelyekre teljesül az 1 15x x x egyenlőtlenség!
17
3. Határozd meg az m szám valós értékeit úgy, hogy az :f , 2 1f x x m x m függvény grafikus
képe érintse az Ox tengelyt!
4. Igazold, hogy az 3 3 3 3
2 3 4 9log log log log
1 2 3 8A természetes szám!
5. Számítsd ki sin10 cos80 értékét!
6. Igazold, hogy az az MNPQ négyszög, amelynek csúcsai az 2;0M , 6;4N , 4;6P és 0;2Q pontok, egy
téglalap!
70.
1. Határozd meg az 2 5 6 0x x egyenlőtlenség valós megoldásait!
2. Határozd meg az m értékét úgy, hogy az 2: ,f f x x mx m függvény minimuma 1 legyen!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 22log 2x egyenletet!
4. Számítsd ki 2 34 4C C értékét!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az 1;1A , 1;0B és 3; 4C pontok. Számítsd ki az
AM szakasz hosszát, ha M a BC felezőpontja!
6. Számítsd ki cos 180 x értékét tudva, hogy x egy hegyesszög mértéke és 1
cos2
x .
71.
1. Igazold a 1 3 5 45 5 5 2C C C egyenlőséget!
2. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 3 36x x egyenletet!
3. Igazold, hogy az 2 22 1 0x mx m egyenlet 1x és 2x gyökei teljesítik az 1 2 1 2 2 0x x x x
összefüggést, bármely m esetén!
4. Oldd meg a valós számok halmazán a 25log 2 3 1x x egyenletet!
5. Legyen G az ABC háromszög súlypontja és M a BC szakasz felezőpontja. Határozd meg az a valós szám
értékét úgy, hogy AG a MA legyen!
6. Számítsd ki az ABCD paralelogramma területét, ha 8, 10AB AC és 150m BCD .
72. 1. Számítsd ki
3
5
1log 25
2
értékét!
2. Adott az :f , 2 2 2f x x x függvény. Igazold, hogy a függvényhez tartozó parabola csúcsának
koordinátái egyenlőek!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 3 1x x x egyenletet!
4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az 1,2,3,4,...,91A halmaz valamely elemét kiválasztva, az
osztható legyen 13-mal!
5. Számítsd ki az ABCD téglalap átlói által alkotott hegyesszög koszinuszát, ha 16AB és 12BC .
6. Számítsd ki 2 2sin 30 cos 60 értékét!
73.
1. Számítsd ki egy számtani haladvány ötödik tagját, ha a haladvány első tagja 7 és a második tagja 9.
2. Oldd meg a 2 6, , 2nC n n
egyenletet!
18
3. Igazold, hogy az 2 22 1 0x x m x m m halmaznak két eleme van, bármely m esetén.
4. Oldd meg a valós számok halmazán a lg 4 lg 2 3 lg 1 2x x x egyenletet!
5. Igazold, hogy ha 2AB AC , akkor a C pont az AB szakasz felezőpontja!
6. Határozd meg ABC derékszögű háromszög AB és AC befogóinak a hosszát, ha 3
sin5
B és 15BC .
74.
1. Számítsd ki 5 38 8C C értékét!
2. Határozd meg a 1n n
b
mértani haladvány hányadosát, ha 1 3b és 2 1 3b b .
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2log 1 1x egyenletet!
4. Írd fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek 1x és 2x gyökei teljesítik a következő összefüggéseket:
1 2
1 2
11
1 1 11
30
x x
x x
.
5. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az 2;5A ponton és párhuzamos az
2 0x y egyenletű egyenessel!
6. Számítsd ki az ABCD téglalap területét, ha 10AC és 30 .m BAC
75.
1. Határozd meg az x valós szám értékét, ha az 1, , 2, 7,...x x sorozat egy számtani haladvány!
2. Határozd meg az , : ,f g 2 3 1f x x x és 4g x x függvények grafikus képei
metszéspontjainak koordinátáit!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 3 3 2 2x x x x egyenletet!
4. Egy személy 1500 lejt letétbe helyezett. Mennyi pénzt kapott egy év múlva, ha a kamatláb 8 %?
5. Legyen O az MNP egyenlő oldalú háromszög köré írt kör középpontja. Igazold, hogy: 0OM ON OP .
6. Számítsd ki az ABCD paralelogramma területét, ha 6 3AB , 4AD és 150m DAB .
76.
1. Igazold, hogy az 31, log 9 és 3 64 számok egy mértani haladvány egymást követő tagjai!
2. Adott az : , 2f f x x függvény. Számítsd ki az 1 2 6f f f szorzat értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2 2 3 2 3x x egyenletet!
4. Oldd meg a valós számok halmazán a 5
2 22
x x egyenletet!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (3,0)A
és (5, 2)B
pontok. Határozd meg az AB
szakasz felezőpontjának koordinátáit!
6. Számítsd ki 2 2sin 135 cos 45 értékét!
77.
1. Igazold a 2 2 2log 5 log 12 log 30 1 egyenlőséget!
2. Igazold, hogy tetszőleges m szám esetén az 2 2: , ( ) 1f f x x mx m függvényhez tartozó
parabola az Ox tengely fölött helyezkedik el!
19
3. Határozd meg az a valós számot, ha a 2 , 4 1a a és 22a egy számtani haladvány egymást követő tagjai!
4. Oldd meg a természetes számok halmazán a 1 21 1nC n egyenletet!
5. Bizonyítsd be, hogy az MNPQ négyszögben teljesül az MN PQ MQ PN összefüggés!
6. Igazold, hogy bármely x hegyesszög esetén teljesül a 2sin cos 90 cos 180 1x x x egyenlőség!
78.
1.. Számítsd ki 14
13
2 C
V
értékét!
2. Határozd meg x értékét, ha az 1, 1x x és 2 1x egy számtani haladvány egymás utáni tagjai!
3. Adott az 1
: , ( )2
x
f f x
függvény. Számítsd ki az 0 1 4f f f szorzat értékét!
4. Határozd meg az m valós paraméter értékét, ha az 2 1 0x m x m egyenlet 1x és 2x gyökei teljesítik az
1 2 1 22 4x x x x összefüggést!
5. Határozd meg az 2,1A és 1, 2B pontokon átmenő egyenes egyenletét!
6. Az ABC derékszögű háromszögben ( ) 90 .m A Igazold, hogy teljesül az 2 sin sinAD AB AC B C
összefüggés, ahol D az A -ból húzott magasság talppontja!
79.
1. Számítsd ki 5 5
5
log 18 log 2
log 3
értékét!
2. Adottak az , , : ,f g h ( ) 1, ( ) 2 2, ( ) 3 3f x x g x x h x x függvények. Határozd meg az a valós
szám értékét úgy, hogy teljesüljön az a f x h x g x egyenlőség, bármely x esetén!
3. Oldd meg a valós számok halmazán az 1 4
82
x
x egyenletet!
4. Hány olyan négyjegyű természetes szám képezhető az {1,2,3,4} halmaz elemeiből, amelyeknek számjegyei
különbözőek?
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (2,0)A és 2( 1,0)B m pontok, ahol m . Határozd
meg m valós értékeit úgy, hogy a (5,0)C pont az AB szakasz felezőpontja legyen!
6. Adott az ABCD négyszög, amelyben DC BC AC . Igazold, hogy ABCD paralelogramma!
80.
1. Számítsd ki 18
2! 3!
C
értékét!
2. Adott az :f , ( ) 2 3f x x függvény. Igazold, hogy (1), 0f f és 3f egy mértani haladvány
egymás utáni tagjai!
3. Oldd meg az 2
3x y
x x y
egyenletrendszert, ahol ,x y .
4. Határozd meg a 5 5log 3 1 1 log 1x x egyenlet valós megoldásait!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben legyen N az ( 2,3)M pont O szerinti szimmetrikusa. Számítsd ki
az MN szakasz hosszát!
6. Határozd meg az ABC hegyesszögű háromszög A szögének mértékét, ha 6BC és a háromszög köré írt kör
20
sugarának hossza 2 3 .
81.
1. Számítsd ki 32
1log 8
4 értékét!
2. Oldd meg a valós számok halmazán az 2 1 1 11x x x egyenlőtlenséget!
3. Adott az 2: , 4 6f f x x x függvény. Igazold, hogy 2f x f , bármely x esetén!
4. Egy termék árát egymásután kétszer csökkentették, először 10%-kal, majd 25%-kal. Most 540 lejbe kerül.
Számítsd ki a termék eredeti árát!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adott az (2, )M m pont, ahol m egy valós szám. Határozd meg az
m azon valós értékeit, amelyekre 5OM .
6. Határozd meg az ABC háromszög BC oldalának hosszát, ha 6, 4AC AB és 60m BAC .
82.
1. Számítsd ki 3
3
39
3 .
2. Legyenek 1 2 és x x az 2 1 0x ax a , a egyenlet gyökei.
Igazold, hogy az 1 2 1 2x x x x összefüggés
független az a számtól!
3. Oldd meg a valós számok halmazán az 2 3
23
x
x egyenletet!
4. Ha az AB vektor hossza 12 és 2AC CB , számítsd ki a CB vektor hossszát!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az 1 1 0 1 11A , ,B , ,C , és 2 3D , pontok. Igazold.,
hogy az AB és CD egyenesek párhuzamosak!
6. Ha sin80 cos80 a , számítsd ki sin100 cos100 a értékét!
83.
1. Számítsd ki 1 23 32C V értékét!
2. Igazold a 2 2 2 2log 14 log 3 log 6 log 7 egyenlőséget!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 21 2x x x egyenletet!
4. Igazold, hogy az 2 1 0x m x m , m egyenlet 1x és 2x gyökei teljesítik az 1 2 1 2 1x x x x
összefüggést!
5. Számítsd ki az ABC háromszög területét, ha 4, 6AB AC és 45m BAC .
6. Számítsd ki sin135 tg45 cos45 értékét!
84.
1. Hasonlítsd össze az 2a és 1
3 2b
számokat!
2. Igazold, hogy az 2: , ( ) 4 4f f x x x függvényhez tartozó parabola érinti az Ox tengelyt!
3. Oldd meg a valós számok halmazán az 3 5 15x x egyenletet!
4. Számítsd ki egy termék ÁFA-ját ha az eladási ár 357 lej. (az ÁFA 19 %-os).
5. Számítsd ki az ABCD téglalap átlói által meghatározott hegyesszög koszinuszát, ha 8AB és 6BC .
6. Legyen O az ABCD négyzet középpontja. Számítsd ki az OA OB OC OD összeg értékét!
21
85.
1.Határozd meg egy mértani haladvány negyedik tagját, ha az első tag 16 és a hányados 1
2.
2. Oldd meg az 6
8
x y
xy
egyenletrendszert, ahol ,x y .
3. Oldd meg a valós számok halmazán az 1
42x
egyenletet!
4. Adott az 1,2,3A halmaz. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy az A halmaz elemeivel képezett
kétjegyű számok közül kiválasztva egyet, annak számjegyei egyenlőek legyenek!
5. Igazold, hogy az ABCD paralelogrammában teljesül az 2AC BD AD egyenlőség!
6. Számítsd ki sin 180 x értékét, ha 4
sin5
x .
86.
1. Oldd meg az 5
6
x y
xy
egyenletrendszert, ahol ,x y .
2. Adott az : (0 ) ( ) 5 xf , , f x függvény. Számítsd ki 1 0 5 1f f f értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a
2(3 2 2) (1 2)x
egyenletet!
4. Hány darab két elemű részhalmaza van az 1,2,3,4,5,6A halmaznak ?
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az 2,1A és 4, 3B pontok. Határozd meg az AB
szakasz M felezőpontjának koordinátáit!
6. Számítsd ki cos 180 x értékét, ha 1
cos3
x .
87.
1. Határozd meg egy számtani haladvány negyedik tagját, ha az első tag 2 és az állandó különbség 3.
2. Határozd meg az m értékét úgy, hogy az 2 0x x m egyenletnek ellentétes előjelű gyökei legyenek!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 22 2log 2 log (2 4) 1x x x
egyenletet!
4. Oldd meg a 1 2 4, , 2n nC V n n egyenletet!
5. Határozd meg az ABC háromszög területét ha 2AB AC és 30m A .
6. Számítsd ki 22sin 135 értékét!
88.
1. Határozd meg egy számtani haladvány állandó különbségét, ha első tagja 10 és negyedik tagja 19.
2. Határozd meg az : 2,1 , 1f f x x függvény legkisebb értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2lg 3lg 2 0x x egyenletet!
4. Határozd meg egy termék eredeti árát, ha az egy 15 %-os drágítás után 460 lejbe kerül!
5. Határozd meg az AB szakasz M felezőpontjának koordinátáit, ha 3 4OA i j és 7 2OB i j .
6. Számítsd ki sin100 cos100 sin80 cos80 értékét!
89.
1. Számítsd ki az 2 61 2 2 2 összeget!
2. Oldd meg a valós számok halmazán az 2( 1)( 1) 0x x egyenlőtlenséget!
22
3. Igazold, hogy az 2 2008 0mx x m egyenlet valós gyökeinek szorzata állandó, bármely m esetén!
4. Oldd meg a 0 1 8,n nC C n egyenletet!
5. Legyen O az ABCD paralelogramma átlóinak metszéspontja. Igazold, hogy AO DO DC .
6. Számítsd ki lg tg40 lg tg41 … lg tg45 o o o értékét!
90.
1. Számítsd ki az 1 5 9 ... 25S összeget!
2. Határozd meg az 2 2 0A x x x halmazt!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 13 2 108x x egyenletet!
4. Hány háromjegyű természetes szám képezhető az {1,2} halmaz elemeivel?
5. Adottak az , , ,A B C D különböző, nem mind kollineáris pontok. Ha 0AB CD , igazold, hogy az ABCD
négyszög paralelogramma!
6. Számítsd ki sin A értékét az ABC háromszögben, ha 10BC és a háromszög köré írt kör sugara 10.
91.
1. Határozd meg az {1,4,7, ,40}A halmaz elemeinek számát!
2. Adott az :f , ( ) 2xf x
függvény. Számítsd ki az ( 3) ( 2) ... (3)f f f szorzat értékét!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 32log 1x egyenletet!
4. Hány darab, különböző számjegyekből álló háromjegyű természetes szám képezhető a {1,2,3} halmaz
elemeivel?
5. Határozd meg az ,a b számokat, ha az ( , )A a b és ( 1,4)B a pontok az 5 0x y egyenletű egyenesen
vannak! 6. Számítsd ki a 0 0 0 0 0 0(cos1 cos9 ) (cos2 cos8 ) ... (cos9 cos1 ) szorzat értékét!
92.
1.Számítsd ki egy mértani haladvány első három tagjának szorzatát, ha első tagja 2 és állandó hányadosa 2 .
2. Adottak az 2, : , ( ) 4 4 1, ( ) 2 1f g f x x x g x x függvények. Oldd meg a valós számok halmazán az
( ) 2 ( ) 1f x g x egyenletet!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 23 2 3 3 0x x egyenletet!
4. Számítsd ki 243! C értékét!
5. Számítsd ki az 6,8A pont távolságát az xOy derékszögű koordináta-rendszer kezdőpontjától!
6. Ha az ABC háromszög A-ban derékszögű, igazold, hogy teljesül a sin cosAB AC
B BBC
összefüggés!
93.
1. Adott az 2: , ( ) 3 2f f x x x függvény. Számítsd ki az ( 2) ( 1) (0) (1) (2)f f f f f
szorzat
értékét!
2. Határozd meg az m értékét úgy, hogy az 2: , ( ) 2f f x x mx függvény minimuma 2
legyen!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2log2 4x egyenletet!
4. Oldd meg a
1 22
2 !5,
1 !n
nC n n
n
egyenletet!
23
5. Számítsd ki a BC szakasz hosszát, ha a B és C pontok az (2,3)A pontnak az Ox valamint az Oy tengelyek
szerinti szimmetrikusai!
6. Számítsd ki az ABC háromszög BC oldalának hosszát, ha 1
sin2
A és a háromszög köré írt kör sugarának
hossza 4.
94.
1. Adott az 2log 3a szám. Igazold, hogy 2log 18 2 1.a
2. Határozd meg az : , ( )f f x ax b függvényt, ahol a és b valós számok, amelyekre
(1) (2) (3) 6 2f f f a b és 4 8f .
3. Határozd meg az 3: , ( ) 2 2xf f x függvény grafikus képének a koordinátatengelyekkel való
metszéspontjainak koordinátáit!
4. Egy termék ára 5400 lej. Hány százalékkal kell csökkenteni az árát ahhoz, hogy 4860 lejbe kerüljön?
5. Adottak a 1 : 2 2d ax y és 2 :8 4d x ay egyenletű különböző egyenesek. Határozd meg az a valós
paraméter értékeit úgy, hogy a 1d és 2d egyenesek párhuzamosak legyenek!
6. Számítsd ki az ABC háromszög A csúcsából húzott oldalfelezőjének hosszát, ha a háromszög csúcsai
2,3 , 2,0A B és 0,2C .
95.
1. Igazold, hogy 2 2(1 2) (1 2) természetes szám!
2. Adott az 2: , ( ) 4 3f f x x x függvény. Igazold, hogy 1,f x bármely x valós szám esetén!
3. Oldd meg a 2 2 16
12
x y
xy
egyenletrendszert, ahol , .x y .
4. Oldd meg az !
( 2)!, , 212
nn n n
egyenletet!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (1, 1)A és (3,5)B pontok. Határozd meg azon síkbeli
C pont koordinátáit, amelyre OA OB OC .
6. Számítsd ki cos A értékét az ABC háromszögben, ha 2, 3 és 4AB BC AC .
96.
1. Határozd meg az x valós számot, ha 1, 2 2x x és 3x egy számtani haladvány egymás utáni tagjai!
2. Határozd meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy az 2 1 0x mx egyenlet gyökei ellentétes valós
számok legyenek!
3. Oldd meg a valós számok halmazán az 212
2
xx
egyenletet!
4. Számítsd ki 9 810 9C C értékét!
5. Határozd meg az m valós szám azon értékét, amelyre az 2,4 , 3,3A B és ,5C m pontok kollineárisak!
6. Az ABC derékszögű háromszögben ( ) 90m A és 3
cos5
B . Számítsd ki sinC értékét!
97.
1. Határozd meg az x valós szám értékét, ha az 1, 1x x és 2 5x számok egy számtani haladvány egymás
utáni tagjai!
24
2. Határozd meg az m valós paraméter értékét úgy, hogy az 2 3 0x x m egyenlet gyökei egymás inverzei
legyenek!
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 2lg 4lg 3 0x x egyenletet!
4. Egy 15 % -os árcsökkentés után egy termék 680 lejbe kerül. Számítsd ki a termék eredeti árát!
5. Határozd meg m azon értékét, amelyre az 2,A m és , 2B m pontok közötti távolság 4 2 .
6. Ha az ABC háromszögben 10 5BC ,AC és 5 3AB , számítsd ki cos A értékét!
98.
1. Igazold, hogy 3log 24 1 3a , ahol 3log 2a .
2. Adottak az , :f g , ( ) , ( )f x ax b g x bx a függvények, ahol a és b valós számok. Ha
( 1) ( 1)f g , igazold, hogy f g .
3. Oldd meg a valós számok halmazán a 1 1
44
x egyenletet!
4. Határozd meg az n zérótól különböző természetes számot úgy, hogy az n elemű halmaz összes 2 elemű
részhalmazainak a száma 6-tal legyen egyenlő!
5. Határozd meg az (3,0)A ponton átmenő egyenes egyenletét, amely az Oy tengelyt 4 ordinátájú pontban metszi!
6. Határozd meg az MON háromszög O csúcsából húzott magasságának hosszát, ha 4,0 , 0,3M N és 0,0O .
99.
1. Határozd meg az | 2 1 3 1A x x x halmazt!
2. Adott az 2: (0, ) , ( ) logf f x x függvény. Számítsd ki 1 (4) (2)f f f értékét!
3. Határozd meg m
értékét úgy, hogy az 2 3 0x x m egyenlet gyökei ellentétes előjelűek legyenek!
4. Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy egy n elemet kiválasztva a 2,3,4,5 halmazból, az teljesítse a
22n n egyenlőséget!
5. Határozd meg az m valós értékeit úgy, hogy az (1,3), (2,5)A B és (3, )C m pontok kollineárisak legyenek!
6. Számítsd ki a B pont koordinátáit tudva, hogy 3,5C az AB szakasz felezőpontja és 2,4A .
100.
1. Határozd meg egy mértani haladvány első három tagjának szorzatát, ha a haladvány első tagja 1 és hányadosa
2.
2. Adott az : 0, ,f 3( ) 2 logxf x x függvény. Számítsd ki 1 3f f értékét!
3. Határozd meg az 2: , 4 12 9f f x x x függvényhez tartozó parabola csúcsának koordinátáit!
4. Számítsd ki 0 1 15 5 52C C V értékét!
5. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (3,2)A , (2,3)B pontok, és M az AB szakasz
felezőpontja. Határozd meg az OM szakasz hosszát!
6. Számítsd ki az ABC háromszög köré írt kör sugarának hosszát, ha BC = 4 és az A szög mértéke 30 .
![Medina Es[1]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/55c0aad7bb61eb30078b45d3/medina-es1.jpg)
![No es verano es sequia [1]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/54b94e494a7959ce3d8b4636/no-es-verano-es-sequia-1.jpg)
![Es -agua[1]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/55a920c01a28ab795a8b46ed/es-agua1.jpg)
![s7400 Module Data Es Es-ES[1]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5571fe8849795991699b9727/s7400-module-data-es-es-es1.jpg)