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Es. Punti
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Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2011/2012. Prof. M. BramantiTema n°1
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
1. Funzione inversa. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente
funzione, precisando il dominio della funzione inversa.
0 B œ Þ" � #/
$ � /a b �B
�B
2. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono:
Œ �D � 3
D � 3œ "'Þ%
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°1_________________________________________________________________________________
2
3. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
0 B œ # � Ba b a bk klog
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°1_________________________________________________________________________________
3
4. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e
corretto:
limB�_ % #
/ � "
B � $B � B
B�"B �%#
%È
5. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per0 Ba bB Ä B 0 B B œ B! !, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di .a bClassificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di
flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto
verticale ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto inábase alla sola stima asintotica.
0 B œ à B œ !ÞB � " B
$ � "a b ˆ ‰ˆ ‰Ècos arctan$
�B !
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°1_________________________________________________________________________________
4
6. Studio di funzione. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente
funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando
opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta
la stima asintotica nei punti in cui si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione.0Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi,
di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni
raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo.
0 B œ B � " B � "a b È ¸ ¸$log # .
1
Es. Punti
1
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5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2011/2012. Prof. M. BramantiTema n°2
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
1. Funzione inversa. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente
funzione, precisando il dominio della funzione inversa.
0 B œ Þ& � # B
$ � Ba b ÈÈ
$
$
2. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica, e dicendo esplicitamente quante sono:
3D œ $D Þ% #
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°2_________________________________________________________________________________
2
3. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
0 B œ B � " �%
a b a b¹ ¹arctan1
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°2_________________________________________________________________________________
3
4. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o
irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi
utilizzati.
limlog
8�_
8� �88 " � #
8x
"8 a b
5. Stima all'infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di per0 Ba bB Ä �_ 0; stabilire quindi se possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo
determinandolo.
0 B œ B Þ#! � $B � B � %B
B � &a b � �È
log#
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°2_________________________________________________________________________________
4
6. Studio di funzione. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente
funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando
opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta
la stima asintotica nei punti in cui si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione.0Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi,
di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni
raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo.
0 B œ B B � " /a b È È$ & "B† † .
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Es. Punti
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Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2011/2012. Prof. M. BramantiTema n°3
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
1. Funzione inversa. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente
funzione, precisando il dominio della funzione inversa.
0 B œ # B � " � &Þa b c da barccos$
2. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica, e dicendo esplicitamente quante sono:
D � 3 D � œ !Þ"
)# Re
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°3_________________________________________________________________________________
2
3. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
0 B œ " � /a b k kB�"
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°3_________________________________________________________________________________
3
4. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e
corretto:
lim sin logB�_
$$
$B
# B � "
B B � %B � "Œ � Œ �
5. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per0 Ba bB Ä B 0 B B œ B! !, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di .a bClassificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di
flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto
verticale ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto inábase alla sola stima asintotica.
0 B œ à B œ !ÞB � "
# B Ba b a b
a b k kÉ ÈCh
B
!
arcsin sin
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°3_________________________________________________________________________________
4
6. Studio di funzione. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente
funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando
opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta
la stima asintotica nei punti in cui si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione.0Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi,
di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni
raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo.
0 B œ/ � "
B � #a b k kk k
B
log.
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Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2011/2012. Prof. M. BramantiTema n°4
Cognome e nome (in stampatello)______________________________________________
n° di matricola___________________________________________________________
n° d'ordine (v. elenco)____________________________________________________
Con riferimento al D.Lgs. 196/2003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso apubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente:
Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare)ú ú Dò il mio consenso Nego il mio consenso. Firma dello studente_______________________________________
1. Funzione inversa. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente
funzione, precisando il dominio della funzione inversa.
0 B œ $ � B � # BÞa b a blog log
2. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni in forma algebrica, e dicendo esplicitamente quante sono:
D � #3D � " � 3# $ œ !Þ# È
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°4_________________________________________________________________________________
2
3. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
0 B œ B � " � "a b a b¹ ¹#Î$
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°4_________________________________________________________________________________
3
4. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o
irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi
utilizzati.
limcos sin
8�_
"8
÷ ‘ˆ ‰È È#Î$
% %
� " 8
8 � " � 8
5. Stima all'infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di per0 Ba bB Ä �_ 0; stabilire quindi se possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo
determinandolo.
0 B œ B/a b Š ‹$B �B �&# $Î#
B �"#
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. Ing. Elettronica. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. a Tema n°4_________________________________________________________________________________
4
6. Studio di funzione. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente
funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando
opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta
la stima asintotica nei punti in cui si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione.0Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi,
di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni
raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo.
0 B œ B � " B � B"
Ba b a b ˆ ‰ È#Î$ # arctan
$.
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5
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Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2011/2012. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n°1
1. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente funzione, precisando il
dominio della funzione inversa.
0 B œ Þ" � #/
$ � /a b �B
�B
C œ à $C � C/ œ " � #/ à" � #/
$ � /
�B
�B�B �B
/ C � # œ " � $Cà / œ à" � $C
C � #�B �Ba b
�B œ à B œ � œ ßC � #
" � $Clog log logŒ � Œ � Œ �" � $C " � $C
C � # C � #
definita per C�#"�$C $
"ā ! �# � C �, cioè .
2. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono:
Œ �D � 3
D � 3œ "'Þ%
Sia . A œ A œ "' Ê A œ "' œ #ß ÞD�3D�3
% È e f% �#ß #3ß �#3
A œ Ê D œ 3ÞD � 3 A � "
D � 3 A � "
Le soluzioni sono 4:
A œ # Ê D œ 3 œ $3# � "
# � "" "
A œ # Ê D œ 3 œ 3# � " "
# � " $# #�
�
�
A œ #3 Ê D œ 3 œ œ � 3#3 � " 3 � # % $
#3 � " & & &$ $
a ba b�" � #3
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°1_________________________________________________________________________________
2
A œ #3 Ê D œ 3 œ œ#3 � " 3 � #
#3 � " &% %� � � 3
� �" � #3 % $
� & &
a ba b
3. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
0 B œ # � Ba b a bk klog
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-4
-3
-2
-1
1
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1
-4
-3
-2
-1
1
2
log logB # � B a b
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-4
-3
-2
-1
1
2
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
log loga b a bk k# � B # � B
4. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e
corretto:
limB�_ % #
/ � "
B � $B � B
B�"B �%#
%È0 B
B " � � "a b Š ‹Éµ µ œ Þ
" %
B † $
B�"B �%
$B
#
%#
# " $% B
ˆ ‰#
Il limite cercato è .%Î$
5. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per0 Ba bB Ä B 0 B B œ B! !, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di .a bClassificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di
flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°1_________________________________________________________________________________
3
verticale ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto inábase alla sola stima asintotica.
0 B œ à B œ !ÞB � " B
$ � "a b ˆ ‰ˆ ‰Ècos arctan$
�B !
0 B œ B ÞB B
B $ $a b ˆ ‰µ�
� #
""##Î$
#Î$
log log
Punto di cuspide, verso il basso, e punto di minimo relativo. Grafico locale:
-4 -2 2 4
0.5
1
1.5
2
2.5
6. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla
conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e
stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei
punti in cui si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione.0 Evidenziare nel grafico
eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e
l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni raccolte, si devono
trovare punti di massimo o minimo.
0 B œ B � " B � "a b È ¸ ¸$log # .
0 B è definita per Á „"ÞPer con crescita sottolineare (quindi senza asintotoB Ä „_ß 0 B µ # Ä „_a b È k k$ B Blog
obliquo).
Per Quindi B Ä "ß 0 B µ µ Ä �_Þ B œ "a b È Èa b k kk k$ $# B � " � # # B � "log log log
asintoto verticale.
Per , con tangente verticale. Quindi B Ä �" ß 0 B µ Ä ! B œ �"„ …a b È k k$ B � " B � "log
è punto di flesso a tangente verticale, discendente.
Notiamo anche che: per . Per , quindi0 B œ ! B œ !ß B œ „ # B Ä !ß 0 B µ �Ba b a bÈ #
B œ ! è punto di massimo relativo.
Per B Ä #ß 0 B µ # µ #È È Èa b Œ �É Éa b È ÈŠ ‹$ $� " B � # � " # # B � ## , quindi il
grafico attraversa linearmente l'asse . Analogamente:B
per B Ä � #ß 0 B µ � # µ # �È È Èa b Œ �É Éa b È ÈŠ ‹$ $� " B � # " # # B � ## , quindi il
grafico attraversa linearmente l'asse .BGrafico qualitativo:
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°1_________________________________________________________________________________
4
-3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
In particolare, avrà concavità sottolineare all'infinito, avrà un punto di minimo0 0
relativo in ! "− �"ß ! − � #ß�" Þa b Š ‹È e un punto di massimo relativo in
1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2011/2012. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n°2
1. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente funzione, precisando il
dominio della funzione inversa.
0 B œ Þ& � # B
$ � Ba b ÈÈ
$
$
C œ à $C � C B œ & � # Bà& � # B
$ � B
ÈÈ È È$
$
$ $
È Èa b$ $B # � C œ $C � &à B œ à$C � &
# � C
B œ C$C � &
# � CŒ �$ per Á �#Þ
2. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica, e dicendo esplicitamente quante sono:
3D œ $D Þ% #
Sia D œ 3 * *a bcos sin� 3
3D œ% 3 * *1 1%Š ‹Š ‹ Š ‹cos sin% � � 3 % �# #
$D œ $# 3 * *#a ba b a bcos sin�# � 3 �#
œ œ È3 3
* * 13 3
*
% #
# "# $
œ $% � œ �# � #5
œ !ß œ $œ � � 5 ß 5 œ !ß "ß #ß $ß %ß &Þ1 1 1
Le soluzioni sono:
D œ !à D œ $ � � 5 � 3 � � 5 ß 5 œ !ß "ß #ß $ß %ß &"# $ "# $
È Š ‹Š ‹ Š ‹cos sin1 1 1 1
e sono 7 in tutto.
3. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°2_________________________________________________________________________________
2
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
0 B œ B � " �%
a b a b¹ ¹arctan1
-4 -2 2 4
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-4 -2 2 4
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
arctan arctanB B � " a b-4 -2 2 4
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
-4 -2 2 4
0.5
1
1.5
2
arctan arctana b a b¸ ¸B � " � B � " �1 1% %
4. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o
irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi
utilizzati.
limlog
8�_
8� �88 " � #
8x
"8 a b
+ œ ´ ,8 " � # 8
8x 8x # 8x
8 8 #8 8
8� �8 88 �8
8
"8
8loga b ˆ ‰Èµ µ .
La successione ha termini positivi, quindi per il criterio del confronto asintotico ha lo+8stesso limite della successione . Studiamo il comportamento di col criterio del rapporto., ,8 8
, 8 � " # 8x 8 � " " " "
, # 8 � " x 8 # 8 # 8œ œ œ " �
8�"
8
8�" 8
8�" 8 8
8 8a b a ba b Œ �† † Ä ā "ß/
#
perciò ,8 Ä �_ + Ä �_Þ, e di conseguenza 8
5. Dare una stima asintotica di per 0 B Ba b Ä �_ 0; stabilire quindi se possiede un
asintoto obliquo, in caso affermativo determinandolo.
0 B œ B Þ#! � $B � B � %B
B � &a b � �È
log#
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°2_________________________________________________________________________________
3
Poiché per B Ä �_#! � $B � B � %B
B � &� �È #
µ œ %ß%B
B
0 Ba b µ B %Þlog
Quindi ha crescita lineare all'infinito, potrebbe avere un asintoto 0 C œ B % � ;Þlog
Calcoliamo:
lim logB�_
c da b0 B � B % Þ
0 B � B % œa b log B � % œ B#! � $B � B � %B #! � $B � B � %B
B � & %B � #!– — � �� �È Èlog log log
# #
e poiché l'argomento del logaritmo tende a ,"
0 B � B % µ µa b log B � " œ B#! � $B � B � %B B � %B � B
%B � #! %B � #!– — – —È È# #
µ µ œ ÞB " � � "
%B % #
B † "# %
B" %# B
Š ‹É ˆ ‰Quindi c'è asintoto obliquo .C œ B % �log "
#
6. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla
conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e
stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei
punti in cui si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione.0 Evidenziare nel grafico
eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e
l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni raccolte, si devono
trovare punti di massimo o minimo.
0 B œ B B � " /a b È È$ & "B† † .
0 B è definita per Á !Þ
Per con crescita sottolineare (quindi senza asintotoB Ä „_ß 0 B µ B œ B Ä �_a b " " )$ & "&�
obliquo).
Per B Ä ! ß„
0 B µ † Ä�_!
a b œÈ$ "BB / � con tangente orizzontale.
Quindi asintoto verticale da destra, punto a tangente orizzontale da sinistra.B œ !0 �" œ !à B Ä �"ßa b per
0 B µ �"
/a b È& B � ",
quindi punto di flesso a tangente verticale, discendente.B œ �"
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°2_________________________________________________________________________________
4
Grafico qualitativo:
-4 -2 2 4 6
-1
1
2
3
4
5
In particolare, deve avere un punto di minimo relativo in 0 ! ā ! e un punto di minimo
relativo in ." − �"ß !a b
1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2011/2012. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n°3
1. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente funzione, precisando il
dominio della funzione inversa.
0 B œ # B � " � &Þa b c da barccos$
C œ # B � " � &à œ B � " àC � &
#c d c da b a barccos arccos
$ $
Œ � Œ �a b – —C � & C � &
# #œ B � " à B � " œ à
"Î$ "Î$
arccos cos
B œ " �C � &
#cos– —Œ �"Î$
poiché dev'essere ˆ ‰ ˆ ‰a bC�& C�&# #
"Î$ "Î$œ B � " ! Ÿ Ÿarccos 1, quindi
! Ÿ C � & Ÿ # à�& Ÿ C Ÿ �& � # Þ1 1$ $
La funzione inversa è definita per .�& Ÿ C Ÿ �& � #1$
2. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica, e dicendo esplicitamente quante sono:
D � 3 D � œ !Þ"
)# Re
Sia l'equazione diventaD œ B � 3Cß
B � C � #3BC � 3B � œ !"
)# #
œ a bB � C � œ !
#BC � B œ !B #C � " œ ! Ê B œ ! C œ
# # ") o �
"
#
B œ ! Ê C œ C œ„ à � Ê B œ ß B œ „ Þ" " " "
# # # ## )È È#
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°3_________________________________________________________________________________
2
Le soluzioni sono:
D œ „ 3à D œ „ � 3" " "
# # # # #È È e sono 4.
3. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
0 B œ " � /a b k kB�"
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
10
/ /B Bk k
-4 -3 -2 -1 1 2
2
4
6
8
10
-4 -3 -2 -1 1 2
-10
-8
-6
-4
-2
/ /k k k kB�" B�"�-4 -3 -2 -1 1 2
-10
-8
-6
-4
-2
" � /k kB�"
4. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e
corretto:
lim sin logB�_
$$
$B
# B � "
B B � %B � "Œ � Œ �
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°3_________________________________________________________________________________
3
Poiché per B Ä �_ Ä ! Ä " e , si ha# B �"B B �%B�"
$
$
0 B µ † † µ œ �)Þ�)B
Ba b B � " œ #B
# B � " # � %B
B B � %B � " B � %B � "$ #
$
$ $Œ � Œ � $
$
5. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione per0 Ba bB Ä B 0 B B œ B! !, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di in un intorno di .a bClassificare questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di
flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto
verticale ). Nota: l'esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto inábase alla sola stima asintotica.
0 B œ à B œ !ÞB � "
# B Ba b a b
a b k kÉ ÈCh
B
!
arcsin sin
0 Ba b µ œ œ B BB
B † B # B
B "
#
"##
"Î% "Î%
$Î%k k k k k k a bsgn .
Punto di flesso a tangente verticale, ascendente. Grafico locale:
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
6. Studio di funzione. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente
funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando
opportunamente limiti e stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta
la stima asintotica nei punti in cui si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione.0Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi,
di asintoto, ecc.), e l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni
raccolte, si devono trovare punti di massimo o minimo.
0 B œ/ � "
B � #a b k kk k
B
log.
0 B B � # è definita per Á �#ß Á " B Á �"ß B Á �$Þk k , quindi
Per asintoto verticale.B Ä �$ ß 0 B µ µ � Ä …_ßB œ �$„�a b "�/ "�/B�# B�$
�$ �$
loga bPer asintoto verticale.B Ä �" ß 0 B µ µ Ä „_ßB œ �"„ a b k ka b/ �"
B�# B�"
"��"
log
"/
Per , quindi è punto di discontinuità eliminabile eB Ä �#ß 0 B µ Ä ! B œ �#a b "�/B�#
�#
logk k �
di massimo relativo.
Volendoci chiedere con quale pendenza il grafico di tende a zero, osserviamo che il0comportamento sarà lo stesso che ha
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°3_________________________________________________________________________________
4
"
BB Ä !Þ
logk k per
Poiché per , sarà punto di cuspide rivolta verso l'alto."B B
„logk k Ä …_ B Ä ! B œ �#
Per con crescita sopralineare (in particlolare, senzaB Ä �_ß 0 B µ Ä �_a b /B
B
log
asintoto obliquo).
Per quindi è asintoto orizzontale per B Ä �_ß 0 B µ Ä ! C œ ! B Ä �_Þa b 1logk kB �
0 B œ ! B œ !Þ B Ä !ß 0 B µ B œ !a b a b per Per , quindi è punto angoloso e punto dik kB#log
minimo relativo.
Grafico qualitativo:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1Ingegneria ElettronicaPolitecnico di Milano
A.A. 2011/2012. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n°4
1. Funzione inversa. Scrivere esplicitamente la funzione inversa della seguente
funzione, precisando il dominio della funzione inversa.
0 B œ $ � B � # BÞa b a blog log
La funzione è definita per e sotto tale ipotesi si può riscrivere comeB ā !
C œ à / œ à$ � B $ � B
B BlogŒ �# #
C
B / � B � $ œ !à B œ"# C „ " � "#/
#/
È C
C.
Dobbiamo scartare la soluzione col segno perché . Quindi si ha:� B ā !
B œ" � " � "#/
#/ß
È C
C
definita per ogni .C
2. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo
tutte le soluzioni in forma algebrica, e dicendo esplicitamente quante sono:
D � #3D � " � 3# $ œ !Þ# ÈEquazione algebrica di 2° grado, ha due soluzioni
D œ �3 � �" � " � 3# $ œ �3 � �# � 3# $ÞÊ Š ‹È ÈÉDobbiamo ora calcolare É È È Š ‹�# � 3# $ A œ �# � 3# $ œ % � � 3 Þ. Sia "
# #$È
Poiché e arg , si avràk k a bA œ % A œ %$1
É È È Œ �Œ � Œ ��# � 3# $ œ % � 5 � 3 � 5 œ# #
$ $cos sin
1 11 1
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°4_________________________________________________________________________________
2
œ „# � 3 œ „# � � 3 œ „ �" � 3 $# # " $
$ $ # #Œ �Œ � Œ � � �È Š ‹Ècos sin
1 1
e D œ �3„ �" � 3 $ œ�" � 3 $ � "
" � 3 $ � " ÞŠ ‹È Ú
ÛÜŠ ‹È
Š ‹È3. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a partire dai
grafici noti delle funzioni elementari, applicando esclusivamente successive operazioni sul
grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici "di
passaggio" utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di . Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad0 Ba besempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
0 B œ B � " � "a b a b¹ ¹#Î$
-4 -2 2 4
0.5
1
1.5
2
2.5
-4 -2 2
0.5
1
1.5
2
2.5
B B � "#Î$ #Î$ a b
-4 -2 2
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-4 -2 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
a b a b¹ ¹B � " � " B � " � "#Î$ #Î$
4. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o
irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giustificare i passaggi citando i teoremi
utilizzati.
limcos sin
8�_
"8
÷ ‘ˆ ‰È È#Î$
% %
� " 8
8 � " � 8
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°4_________________________________________________________________________________
3
” •Œ �cos" "
8 #8� " à
#Î$ %Î$µ �
È È È È� �Ê% % % %%8 � " � 8 œ 8 " � � " 8
"
8µ † œ à
" "
%8 %8$Î%
k ksin8 Ÿ ", perciò
k k ¸ ¸ˆ ‰È È+ Ÿ œ
� "
8 � " � 8
# #
8 88
" "8 #8
%Î$ (Î"#
cos #Î$ %Î$
% %µ œ Ä !
8"%8
$Î%
$Î%
.
Per il criterio del confronto, anche +8 Ä !Þ
5. Stima all'infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di per0 Ba bB Ä �_ 0; stabilire quindi se possiede un asintoto obliquo, in caso affermativo
determinandolo.
0 B œ B/a b Š ‹$B �B �&# $Î#
B �"#
0 Ba b µ B/$,quindi ha crescita lineare e potrebbe avere asintoto obliquo 0 C œ B/ � ;$ . Calcoliamo
limB�_
$÷ ‘a b0 B � B/
0 B � B/ œ µa b $ B / � / œ B/ / � "” • ” •Š ‹ Š ‹$B �B �& $B �B �&# $Î# # $Î#
B �" B �"# #$ $ �$
µ µ Ä �_ßB/ � $ œ B/ B/ œ B/$B � B � & B � # B
B � " B � " B$ $ $ $
# $Î# $Î# $Î#
# # #� � � � � � Èquindi la funzione non ha asintoto obliquo.
6. Tracciare rapidamente il grafico qualitativo della seguente funzione, in base alla
conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e
stime asintotiche, (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei
punti in cui si annulla e alla frontiera dell'insieme di definizione.0 Evidenziare nel grafico
eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e
l'andamento all'infinito. Segnalare anche dove, in base alle informazioni raccolte, si devono
trovare punti di massimo o minimo.
0 B œ B � " B � B"
Ba b a b ˆ ‰ È#Î$ # arctan
$.
0 B è definita per Á !Þ
1 prova in itinere di Analisi Matematica 1. A.A. 2011/12. Prof. M. Bramanti. Svolgimento a Tema n°4_________________________________________________________________________________
4
Per Quindi (è un punto diB Ä ! ß 0 B µ �B µ … B Ä ! Þ B œ !„ …#a b arctan "
BÈ$ 1
discontinuità eliminabile, ed eliminandolo) è un punto angoloso e di massimo relativo.
Per con crescita sopralineare (inB Ä „_ß 0 B µ B † B † Ä „_a b #Î$ # "B
(Î$È$ œ Bparticolare senza asintoto obliquo).
0 B œ ! B œ �"ß B œ !ß B œ "Þa b per
Per . punto di cuspideB Ä �"ß 0 B µ † # † � œ � B � " B œ �"a b a bˆ ‰a bB � " #Î$ 1 1% #
#Î$
verso l'alto, punto di massimo relativo.
Per , attraversa linearmente l'asse (nonB Ä "ß 0 B µ % † B � " † œ B � " Ba b a b a bÈ$ $1% %
%È1
è un punto particolare).
Grafico qualitativo:
-2 -1 1 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
In particolare, deve avere un punto di minimo relativo in e un punto di0 − �"ß !! a bminimo relativo in " − !ß " Þa b