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M. Macchioro - La prova di fisica per la maturità scientifica 126

Esame di stato di liceo scientifico maxisperimentazione Brocca Tema di fisica, anno 2006

Il candidato svolga una relazione su uno solo dei seguenti due temi, a sua scelta, prestando particolare attenzione al corretto uso della terminologia scientifica e delle cifre significative nella presentazione dei risultati numerici.

Primo tema L'effetto fotoelettrico, che presenta oggi tante applicazioni tecnologiche, si basa su una fondamentale interpretazione teorica che ha contribuito in modo essenziale allo sviluppo della Fisica contemporanea. Il candidato risponda ai seguenti quesiti e, dove è necessario effettuare calcoli, descriva i passaggi intermedi e commenti le conclusioni.

1. Relazionare sulla spiegazione teorica dell'effetto fotoelettrico proposta da Albert Einstein, confrontandola con i falliti tentativi d'interpretazione basati sulla Fisica classica.

2. Dopo avere scritto e commentato le leggi che governano l'effetto fotoelettrico, proporre un esempio pratico descrivendo un'applicazione tecnologica e spiegandone il funzionamento.

3. Calcolare la lunghezza d'onda corrispondente alla frequenza di soglia per l'estrazione di fotoelettroni dal potassio, sapendo che il suo lavoro di estrazione è 2,21 eV.

4. Calcolare, in J e in eV, la massima energia cinetica e la corrispondente quantità di moto degli elettroni estratti da una superficie ricoperta di potassio irradiata con raggi ultravioletti di lunghezza d'onda λ = 248,2 nm e calcolare la corrispondente lunghezza d'onda di de Broglie.

Si ricordano i seguenti valori approssimati: e = 1,6 ∙ 10-19 C; me = 9,11 · 10-31 kg; h = 6,6 ∙ 10-34 J · s; c = 3 ∙ 10-8 m/s Secondo tema L'effetto Joule ha tantissime applicazioni pratiche, anche all'interno delle nostre case. Il candidato risponda ai seguenti quesiti e, dove è necessario effettuare calcoli, descriva i passaggi intermedi e commenti le conclusioni.

1. Descrivere e spiegare l'effetto Joule con una breve relazione scientifica. 2. Spiegare perché la resistenza di un conduttore aumenta con l'aumento della temperatura. Cosa

succede, invece, nel caso di un semiconduttore? 3. Rappresentare graficamente e commentare l'andamento dell'intensità di corrente nel filamento di

una lampada, in funzione del tempo, da quando è freddo a quando è diventato incandescente (si supponga costante la ddp applicata al filamento).

4. Spiegare il significato dell'espressione “corto circuito" che si sente qualche volta come causa d'incendio in un appartamento.

5. Spiegare il concetto di “potenza elettrica" e ricavare le formule che permettono di calcolare sia l'energia e sia la potenza in corrente continua e alternata. Ricavare anche le rispettive unità di misura come grandezze derivate del Sistema SI.

6. Uno scaldabagno elettrico, con una potenza di 1,2kW, contiene 80 litri d'acqua alla temperatura di 18 °C. Ammettendo che vi sia una dispersione di energia del 5%, calcolare:

a) l'intensità di corrente che attraversa la resistenza, sapendo che la tensione di rete è 220V; b) quanto tempo è necessario, approssimando al minuto, perché il termostato interrompa

l'alimentazione elettrica sapendo che esso è predisposto per interromperla quando l'acqua ha raggiunto la temperatura di 40 °C;

c) la spesa da sostenere per portare l'acqua da 18 °C a 40 °C, sapendo che il costo del servizio è di 0,13 Euro/kWh;

d) la spesa sostenuta inutilmente a causa della dispersione di energia nello scaldabagno.


Svolgimento tema 1 1. Relazionare sulla spiegazione teorica dell'effetto fotoelettrico proposta da Albert Einstein, confrontandola con i falliti tentativi d'interpretazione basati sulla Fisica classica. L’effetto fotoelettrico consiste nell’emissione di elettroni da parte di un metallo, quando viene investito da radiazione elettromagnetica di opportuna frequenza. Gli elettroni liberi del metallo prossimi alla sua superficie, in condizioni normali, non hanno l’energia sufficiente per superare la piccola barriera di potenziale che ne impedisce l’emissione. Tuttavia se essi assorbono una piccola quantità di energia, in genere di pochi eV, pari al cosiddetto lavoro di estrazione, essi abbandonano la superficie del metallo. Questa energia può essere fornita mediante riscaldamento (effetto termoelettronico) o mediante radiazione elettromagnetica (effetto fotoelettrico). Sperimentalmente, l’effetto fotoelettrico può essere studiato ponendo in un tubo a vuoto due elettrodi, di cui uno ricoperto del metallo che si vuole studiare. Si collegano gli elettrodi a una sorgente di f.e.m. variabile, in modo da variare la d.d.p. tra gli elettrodi, e a un microamperometro per misurare la corrente.

Illuminando la placca metallica, si possono notare due fatti inspiegabili per la Fisica classica:

il primo è la presenza di una frequenza minima della radiazione, detta frequenza di soglia, al di sotto della quale non vengono emessi elettroni neanche per fasci molto intensi. Secondo la concezione classica, l’energia trasportata da un’onda elettromagnetica è legata al modulo quadro del campo elettrico (o magnetico) secondo le relazioni:

oppure

è la densità media di energia, notiamo che nelle formule compaiono i valori efficaci dei campi. E’ noto inoltre che, per definizione, la grandezza intensità di un’onda è proporzionale all’energia, essendo data dalla relazione:

quindi, immaginando la radiazione racchiusa in un volume di forma cilindrica

l’intensità media di un’onda è, pertanto, direttamente proporzionale alla densità di energia media. Per la Fisica classica, quindi, l’energia che la radiazione trasporta dipende unicamente dall’intensità e non dalla frequenza, quindi non trova alcuna spiegazione la presenza di una frequenza minima, al di sotto della quale neanche fasci molto intensi riescono ad estrarre elettroni.

Il secondo può essere evidenziato, una volta ottenuta l’emissione di elettroni con radiazione di frequenza superiore a quella di soglia, studiando la relazione tra tensione e corrente, e ripetendo la prova con fasci di diversa intensità. Si ottiene il seguente grafico:


Ponendo la placca metallica a un potenziale minore dell’altro elettrodo (ΔV > 0), gli elettroni vengono accelerati provocando un aumento della corrente, fino ad arrivare a un valore di saturazione, corrispondente al fatto che tutti gli elettroni emessi nell’unità di tempo raggiungono l’elettrodo positivo. La corrente di saturazione aumenta all’aumentare dell’intensità, e ciò è spiegabile ammettendo che fasci più intensi determinino l’emissione di un maggior numero di elettroni nell’unità di tempo. Invertendo le polarità degli elettrodi (ΔV < 0), gli elettroni vengono invece respinti fino ad annullare la corrente. La d.d.p. per la quale la corrente si annulla è detta potenziale d’arresto. In questa situazione, anche gli elettroni dotati di maggior energia cinetica non riescono a raggiungere l’elettrodo negativo, per cui è facile ottenere la relazione tra energia cinetica massima degli elettroni e potenziale d’arresto:

Dal grafico tensione-corrente appare evidente il fatto non spiegabile classicamente: fissato il metallo e la frequenza della radiazione, il potenziale d’arresto dovrebbe aumentare, in valore assoluto, col crescere dell’intensità del fascio, ciò perché a maggior intensità dovrebbe corrispondere una maggiore energia ceduta agli elettroni, e quindi, per la relazione precedente, un maggior potenziale d’arresto. Il grafico, invece, evidenzia un potenziale d’arresto sempre uguale a qualunque intensità. Questi fatti non spiegabili classicamente furono brillantemente spiegati da Einstein nel 1905 con il modello a fotoni della radiazione elettromagnetica, in base al quale la radiazione viene pensata come quantizzata. Einstein immaginò la radiazione composta da un numero grandissimo di particelle, dette appunto fotoni, ciascuna delle quali trasporta una quantità di energia proporzionale alle frequenza dell’onda, secondo la relazione:

E = hf dove h = 6,63 ∙ 10-34 J∙s è la costante introdotta pochi anni prima da Planck nella soluzione del problema del corpo nero. Secondo la spiegazione di Einstein, l’estrazione di elettroni avviene grazie all’interazione tra i singoli fotoni e gli elettroni. Un fotone riesce a strappare un elettrone dalla superficie del metallo se la sua energia hf è almeno uguale al lavoro di estrazione W0:

avendo indicato con f0 la frequenza di soglia. Quindi, in accordo con le evidenze sperimentali, se la radiazione elettromagnetica non possiede una frequenza almeno uguale a quella di soglia, neanche fasci di grande intensità possono generare l’emissione di elettroni. I valori di f0 corrispondono alla radiazione visibile per alcuni metalli, ultravioletta per altri. L’indipendenza dell’energia cinetica massima degli elettroni dall’intensità del fascio fu spiegata da Einstein imponendo che essa fosse uguale alla differenza tra l’energia del fotone e il lavoro di estrazione:


l’energia cinetica massima cresce linearmente al crescere della frequenza della radiazione ( è una costante) ed è indipendente dall’intensità. Un fascio più intenso, pertanto, è costituito da un maggior numero di fotoni ed è in grado di estrarre un maggior numero di elettroni (viene confermato, quindi, il crescere della corrente di saturazione al crescere dell’intensità), ma non influisce sull’energia degli stessi. Introducendo il potenziale d’arresto, la relazione precedente diventa:

Graficamente, questa legge, che ha significato solo per f ≥ f0, è rappresentata da una semiretta di

coefficiente angolare , mentre il termine noto

rappresenta il potenziale di estrazione. Si nota che

per metalli differenti le semirette che rappresentano il potenziale d’arresto in funzione della frequenza della radiazione hanno tutte la stessa pendenza e, pertanto, saranno parallele tra loro; ciò in quanto il coefficiente angolare dipende unicamente da due costanti, cioè la costante di Planck e la carica dell’elettrone. La conferma sperimentale a questa previsione del modello a fotoni di Einstein avvenne nel 1916 per opera di Millikan, che eseguendo misure per diversi metalli ottenne una serie di semirette parallele.

2. Dopo avere scritto e commentato le leggi che governano l'effetto fotoelettrico, proporre un esempio pratico descrivendo un'applicazione tecnologica e spiegandone il funzionamento. In sintesi, l’effetto fotoelettrico nell’interpretazione quantistica di Einstein può essere ricondotto alla legge:

Questa legge, infatti, non solo lega l’energia massima degli elettroni alla frequenza della radiazione, in accordo con le evidenze sperimentali, ma contiene anche la frequenza di soglia. Notiamo infatti che, per f < f0 l’equazione perde significato non potendo essere negativa l’energia cinetica, e quindi è impossibile avere emissione di elettroni. Nel caso particolare in cui f = f0 l’energia del fascio è uguale a quella di estrazione, pertanto gli elettroni vengono emessi fermi. La legge ricavata precedentemente:

è perfettamente equivalente alla precedente, ma ha il vantaggio di contenere il potenziale d’arresto, che è facilmente misurabile sperimentalmente con l’apparato descritto nel punto 1. Tra le applicazioni tecnologiche dell’effetto fotoelettrico, la più importante è la cellula fotoelettrica. Essa è costituita da un involucro sotto vuoto nel quale sono disposti 2 elettrodi collegati a una batteria: il catodo, collegato al polo negativo, rivestito di una sostanza fotosensibile, e l’anodo, collegato al polo positivo. Illuminando il catodo, esso emette elettroni per effetto fotoelettrico e si genera così una corrente nel circuito. Se però un oggetto si interpone tra la sorgente luminosa e il catodo, quest’ultimo non emette più elettroni e la corrente si interrompe. Questo semplice dispositivo è usato, per esempio, nei cancelli ad

f0A f0B frequenza

metallo A metallo B

potenziale d’arresto


apertura automatizzata, nei quali il passaggio di una persona ne blocca la chiusura, e negli impianti d’allarme, nei quali l’interruzione del raggio luminoso provoca un segnale acustico. 3. Calcolare la lunghezza d'onda corrispondente alla frequenza di soglia per l'estrazione di fotoelettroni dal potassio, sapendo che il suo lavoro di estrazione è 2,21 eV. Trasformiamo innanzitutto il lavoro di estrazione in joule, ricordando che 1 eV = 1,60 ∙ 10-19 J

Dalla relazione

possiamo ricavare, per formula inversa, la lunghezza d’onda di soglia:

Nello svolgimento dell’esercizio abbiamo considerato tutti i dati con tre cifre significative, per una maggiore precisione dei risultati. 4. Calcolare, in J e in eV, la massima energia cinetica e la corrispondente quantità di moto degli elettroni estratti da una superficie ricoperta di potassio irradiata con raggi ultravioletti di lunghezza d'onda λ = 248,2 nm e calcolare la corrispondente lunghezza d'onda di de Broglie. Trasformiamo la lunghezza d’onda della radiazione in metri:

λ = 248,2 nm = 248,2 ∙ 10-9 m = 2,482 · 10-7 m e ricordiamo la lunghezza d’onda di soglia del potassio ricavata nel punto precedente:

λ0 = 5,62 ∙ 10-7 m L’energia cinetica massima degli elettroni può essere ricavata con la legge dell’effetto fotoelettrico:

Notiamo che l’energia a riposo di un elettrone è

essendo l’energia dei fotoelettroni molto minore di essa, il problema può essere trattato con le formule della meccanica newtoniana. Sfruttando la relazione

ricaviamo la corrispondente quantità di moto:

Per finire, possiamo ricavare la lunghezza d’onda di de Broglie degli elettroni emessi, ricordando che essa esprime la caratteristica ondulatoria di essi:

Anche nello svolgimento di questo esercizio si è preferito considerare tutte le grandezze con tre cifre significative.


Secondo tema L'effetto Joule ha tantissime applicazioni pratiche, anche all'interno delle nostre case. Il candidato risponda ai seguenti quesiti e, dove è necessario effettuare calcoli, descriva i passaggi intermedi e commenti le conclusioni.

1. Descrivere e spiegare l'effetto Joule con una breve relazione scientifica. 2. Spiegare perché la resistenza di un conduttore aumenta con l'aumento della temperatura. Cosa

succede, invece, nel caso di un semiconduttore? 3. Rappresentare graficamente e commentare l'andamento dell'intensità di corrente nel filamento di

una lampada, in funzione del tempo, da quando è freddo a quando è diventato incandescente (si supponga costante la ddp applicata al filamento).

4. Spiegare il significato dell'espressione “corto circuito" che si sente qualche volta come causa d'incendio in un appartamento.

5. Spiegare il concetto di “potenza elettrica" e ricavare le formule che permettono di calcolare sia l'energia e sia la potenza in corrente continua e alternata. Ricavare anche le rispettive unità di misura come grandezze derivate del Sistema SI.

6. Uno scaldabagno elettrico, con una potenza di 1,2kW, contiene 80 litri d'acqua alla temperatura di 18 °C. Ammettendo che vi sia una dispersione di energia del 5%, calcolare:

a) l'intensità di corrente che attraversa la resistenza, sapendo che la tensione di rete è 220V; b) quanto tempo è necessario, approssimando al minuto, perché il termostato interrompa

l'alimentazione elettrica sapendo che esso è predisposto per interromperla quando l'acqua ha raggiunto la temperatura di 40 °C;

c) la spesa da sostenere per portare l'acqua da 18 °C a 40 °C, sapendo che il costo del servizio è di 0,13 Euro/kWh;

d) la spesa sostenuta inutilmente a causa della dispersione di energia nello scaldabagno. 1. Descrivere e spiegare l'effetto Joule con una breve relazione scientifica. Con il termine “effetto Joule” si intende il riscaldamento subito da un conduttore quando viene attraversato da corrente. E’ noto che per corrente elettrica si intende un moto ordinato di cariche causato dall’applicazione di una differenza di potenziale ai capi di un conduttore. Nel caso dei metalli, le cariche mobili sono elettroni, quindi cariche negative, che in assenza di d.d.p. sono animati da un movimento casuale dovuto all’agitazione termica. Applicando una certa d.d.p., la forza elettrica tende ad accelerare gli elettroni in verso opposto al campo. Nel loro cammino, però, essi urteranno continuamente gli ioni positivi del reticolo cristallino, sicché il loro moto d’assieme può essere considerato uniforme. In termini energetici, l’energia conferita dal campo elettrico agli elettroni, non potendo variare l’energia cinetica degli stessi se non nel breve tratto tra un urto e l’altro, viene ceduta durante gli urti proprio agli ioni del reticolo, che iniziano a vibrare più intensamente causando a livello globale un aumento della temperatura del conduttore. In un tempo generalmente abbastanza breve, la temperatura del conduttore si stabilizza su un valore costante. Questo effetto è largamente sfruttato nella pratica ogni volta che si desidera generare energia termica per gli scopi più disparati (stufa elettrica, ferro da stiro, asciugacapelli, ecc.); il conduttore attraversato da corrente raggiunge una temperatura di funzionamento e cede calore all’ambiente circostante essenzialmente per irraggiamento. 2. Spiegare perché la resistenza di un conduttore aumenta con l'aumento della temperatura. Cosa succede, invece, nel caso di un semiconduttore? Ricordiamo che per resistenza elettrica si intende l’opposizione che un corpo offre al passaggio di corrente elettrica. Nei conduttori ohmici (metalli, semiconduttori) la resistenza è definita dalle due leggi di Ohm:

prima legge di Ohm

seconda legge di Ohm

La seconda legge, in particolare, lega la resistenza ai parametri geometrici lunghezza e sezione di un conduttore e alla grandezza resistività (ρ), che è legata al materiale di cui è costituito il conduttore.


E’ proprio quest’ultima grandezza che possiede la proprietà di variare al variare della temperatura. Nel caso dei conduttori metallici, l’aumento della resistività con la temperatura può essere attribuito classicamente a due cause, suggeriteci dal modello microscopico illustrato nel punto 1. La prima è che, al crescere della temperatura, la maggior intensità con cui vibra il reticolo cristallino rende più difficoltoso il movimento degli elettroni, con conseguente aumento della resistività. La seconda può essere attribuita all’aumento con la temperatura della velocità di agitazione termica degli elettroni, con conseguente aumento della frequenza degli urti col reticolo cristallino e dell’ostacolo al loro movimento. In realtà, nessuna delle due spiegazioni appare del tutto convincente: per la prima, infatti, si nota che l’aumento del moto oscillatorio degli ioni del reticolo cristallino è di entità troppo piccola per giustificare l’aumento della resistività; la seconda, invece, non è in accordo con molte verifiche sperimentali, che dimostrano che l’energia degli elettroni di conduzione non varia apprezzabilmente con la temperatura. Una più corretta spiegazione del fenomeno è data solo dalla teoria quantistica dei solidi. La legge con cui varia la resistività è di tipo lineare:

in questa legge è la resistività misurata a una temperatura di riferimento generalmente posta uguale a 20 °C, T - T0 è la differenza tra la temperatura T e quella di riferimento T0, α è un coefficiente di temperatura caratteristico di ogni metallo. Al contrario di quanto accade nei metalli, si osserva che nei semiconduttori la resistività diminuisce all’aumentare delle temperatura. Il motivo va ricercato nella struttura microscopica di un semiconduttore come, per esempio, il germanio o il silicio. A basse temperature, i semiconduttori non hanno cariche mobili a causa del legame covalente tra i loro atomi. L’aumento di temperatura, però, provoca, a causa dell’agitazione termica, il distacco di alcuni elettroni che, diventando liberi, aumentano la conducibilità del materiale. La diminuzione della resistività in un semiconduttore è descritta dalla stessa legge precedente, però con valori del coefficiente α negativi. 3. Rappresentare graficamente e commentare l'andamento dell'intensità di corrente nel filamento di una lampada, in funzione del tempo, da quando è freddo a quando è diventato incandescente (si supponga costante la ddp applicata al filamento). Possiamo dare al quesito una risposta qualitativa. La corrente ha un valore che, a causa dell’aumento della resistenza con la temperatura, diminuisce rispetto al valore iniziale. Notiamo che, a causa dell’irraggiamento verso l’esterno, la temperatura del filamento si stabilizza in brevissimo tempo su un valore che rimarrà costante, e altrettanto avverrà per la resistenza e per la corrente. Pertanto, mantenendo costante la d.d.p. , si può ipotizzare un grafico nel quale, partendo da un valore massimo all’istante iniziale, la corrente decresca per poi assumere un valore costante.

i

i0

if

t tf


All’istante tf , si raggiunge un equilibrio dinamico tra l’energia elettrica fornita al filamento dal generatore e l’energia termica ceduta per irraggiamento all’ambiente esterno, per cui la temperatura, la resistenza e la corrente non varieranno più. 4. Spiegare il significato dell'espressione “corto circuito" che si sente qualche volta come causa d'incendio in un appartamento. Dato un circuito, con l’espressione “corto circuito” si intende un collegamento mediante un conduttore di resistenza trascurabile (in genere un filo metallico) di due punti a diverso potenziale.

I punti A e B sono a diverso potenziale, essendo il primo a monte e il secondo a valle di R2. Se li colleghiamo con un filo di resistenza trascurabile, la corrente entrante nel nodo A viene interamente convogliata nel filo, escludendo di fatto R2 dal circuito. Il corto circuito, pertanto, è una tecnica di laboratorio molto comune e viene utilizzata per escludere una o più resistenze dal circuito. Nell’applicare questa tecnica, però, bisogna fare attenzione a verificare che la resistenza della maglia nella quale la corrente circola sia adeguata, altrimenti il valore della corrente può diventare molto alto e provocare danni al sistema. Questo è quello che avviene, per esempio, in un normale circuito domestico quando, per cause accidentali, vengono a contatto tra loro due punti a potenziale diverso: l’elevata corrente provoca la fusione del filo e la conseguente combustione del rivestimento di plastica, e, se la cosa avviene nelle vicinanze di materiale infiammabile, c’è rischio di un incendio. 5. Spiegare il concetto di “potenza elettrica" e ricavare le formule che permettono di calcolare sia l'energia e sia la potenza in corrente continua e alternata. Ricavare anche le rispettive unità di misura come grandezze derivate del Sistema SI. In Meccanica, la potenza è definita come la rapidità con cui una forza compie un certo lavoro:

o, in maniera analoga, come la rapidità con la quale varia l’energia di un sistema fisico:

Nel caso elettrico, la potenza è legata al lavoro compiuto dal generatore per far circolare corrente, e alla sua successiva dissipazione nelle resistenze per effetto Joule. Quando in un circuito circola corrente, il generatore compie un lavoro sulle cariche

dove è la quantità di carica spostata nel tempo Δt e la differenza di potenziale ai capi del conduttore. Ricordando che

ε

R1

R2

i = 0

A

B

i


si ottiene per il lavoro l’espressione:

Ricordando che, per definizione, la potenza è data dal rapporto tra il lavoro e il tempo:

si ottiene per la potenza elettrica la relazione

Questa formula può essere utilizzata sia per calcolare la potenza fornita dal generatore, utilizzando la f.e.m. come differenza di potenziale:

sia per calcolare la potenza dissipata in un conduttore per effetto Joule:

dove per intendiamo la d.d.p. ai capi del conduttore. In entrambi i casi notiamo che la potenza elettrica può essere calcolata semplicemente moltiplicando la tensione per la corrente. Se il conduttore è ohmico, sfruttando la prima legge di Ohm:

si ottengono, per la potenza dissipata, le seguenti relazioni:

Dalla prima di queste 2 relazioni, in particolare, si nota che la potenza dissipata è direttamente proporzionale al quadrato della corrente. Moltiplicando per il tempo, si ottengono le corrispondenti formule per l’energia.

energia erogata dal generatore

energia dissipata per effetto Joule.

In corrente alternata, per calcolare la potenza media si ricorre ai valori efficaci della tensione e della corrente:

con e abbiamo indicato i valori massimi della tensione e della corrente. Le formule precedenti, pertanto, diventano le seguenti:

per la potenza media erogata

per la potenza media dissipata

Per giustificare l’introduzione dei valori efficaci, è bene ricordare l’espressione della tensione e della corrente alternata in un circuito puramente resistivo:

La potenza istantanea può essere ricavata in questo modo:

Passando alla potenza media, si considera che il valore medio di vale ½:

introducendo i valori efficaci si ottengono le relazione precedenti. Per ciò che riguarda le unità di misura, è noto dalla Meccanica che l’energia si misura in joule (1J = 1N∙1m) e la potenza in watt (1W = 1J/1s). possiamo comunque ricavare le unità di misura partendo dalla formula della potenza elettrica:


riottenendo così la definizione data in meccanica. 6. Uno scaldabagno elettrico, con una potenza di 1,2kW, contiene 80 litri d'acqua alla temperatura di 18 °C. Ammettendo che vi sia una dispersione di energia del 5%, calcolare:

a) l'intensità di corrente che attraversa la resistenza, sapendo che la tensione di rete è 220V; b) quanto tempo è necessario, approssimando al minuto, perché il termostato interrompa l'alimentazione elettrica sapendo che esso è predisposto per interromperla quando l'acqua ha raggiunto la temperatura di 40 °C; c) la spesa da sostenere per portare l'acqua da 18 °C a 40 °C, sapendo che il costo del servizio è di 0,13 Euro/kWh; d) la spesa sostenuta inutilmente a causa della dispersione di energia nello scaldabagno.

Per rispondere al quesito a), consideriamo la relazione:

e ricaviamo l’intensità di corrente:

Per ricavare il tempo richiesto nel punto b) dobbiamo considerare la legge fondamentale della termologia:

e ricordare che

Nel nostro caso dobbiamo tenere conto della dispersione del 5%, per cui la potenza da utilizzare nella formula è:

Combinando le formule precedenti si ha:

Notiamo che il risultato, per le regole sulle cifre significative, andrebbe arrotondato a 110 min, ma seguiamo l’indicazione del testo che chiede di arrotondarlo al minuto. Per risolvere il punto c), calcoliamo innanzitutto l’energia dissipata in 108 min:

considerando che

si può convertire l’energia in kWh:

Per calcolare la spesa sostenuta per riscaldare l’acqua, consideriamo che:

per cui avremo

Il punto d) chiede la spesa sostenuta inutilmente a causa della dispersione; per calcolarla è sufficiente calcolare il 5% della spesa totale:

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