ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL: CONCEPTO ?· l escalamiento multidimensional, en su formula-ción más…

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  • l escalamiento multidimensional, en su formula-cin ms bsica, pretende representar un conjun-to de objetos en un espacio de baja

    dimensionalidad. La palabra objeto es muy genrica yse refiere, en realidad, a cualquier entidad que desee-mos escalar. Otro trmino equivalente utilizado en Psico-loga es est mulo. El nmero de dimensiones,habitualmente reducido (dos, tres, cuatro), las decide elinvestigador por razones sustantivas, aunque tambinpuede hacerse por criterios estadsticos. Los modelos ymtodos de construccin de escalas unidimensionales,que fueron desarrollados en la primera mitad del sigloXX, entre los que cabe citar a Thurstone, Likert, Guttmano Coombs, constituyen los antecedentes de los modelos ymtodos ms modernos de escalamiento multidimensio-nal y, en muchas ocasiones, pueden stos ltimos consi-derarse como generalizaciones de aquellos.El primer autor en desarrollar un modelo y un mtodo

    de escalamiento multidimensional ha sido Torgerson(1958). A su modelo se le conoce, hoy en da, con elnombre de modelo mtrico clsico. La denominacin demtrico tiene que ver con la escala de medida que se re-

    quiere, o asume, para los datos que es de intervalos, enla jerarqua de Stevens. Pocos aos despus Shepard(1962) y Kruskal (1964a, 1964b) han propuesto un mo-delo que permite un descenso en la escala de medidahasta el nivel ordinal. A este modelo se le denomina no-mtrico clsico. Carroll y Chang (1970) lograron unavance significativo con la propuesta de un modelo quepermite derivar, adems del espacio de objetos, un es-pacio de sujetos sobre el que se representa el peso oponderacin que cada sujeto concede a cada una de lasdimensiones del espacio de objetos. El modelo de Ca-rroll y Chang, que se conoce con el nombre de modeloINDSCAL, tiene gran inters psicolgico dado que per-mite o tiene en cuenta las diferencias individuales en lapercepcin del espacio de objetos. Existe un espacio deobjetos comn, compartido por todos los sujetos, peropermite las diferencias entre unos individuos y otros enla percepcin de dicha configuracin.Existen programas informticos especficos para cada

    uno de los modelos sealados anteriormente pero hoy enda es posible resolver problemas mltiples de escala-miento multidimensional con un nico programa de or-denador como, por ejemplo PROXSCAL O ALSCAL, quetienen implementados numerosos modelos y forman am-bos parte del paquete estadstico SPSS de uso universal.Uno de los rasgos que ms diferencia al escalamiento

    ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL: CONCEPTO Y APLICACIONES

    MULTIDIMENSIONAL SCALING: CONCEPT AND APPLICATIONS

    Constantino Arce, Cristina de Francisco e Iria ArceUniversidad de Santiago de Compostela

    A travs del presente artculo se ofrece una visin conceptual, a la vez que operativa, del concepto de escalamiento multidimen-sional. En la forma de presentacin se busca, en primer lugar, que los psiclogos interesados comprendan lo que es el modelode escalamiento multidimensional a travs de varios ejemplos muy sencillos e intuitivos y, en segundo lugar, adquieran compe-tencias que le permitan resolver distintos problemas de escalamiento multidimensional con el uso de software especfico. Se pre-tende igualmente descargar la presentacin de frmulas y mtodos matemticos sin renunciar por ello al rigor metodolgico queel tema requiere.Palabras clave: Escalamiento de objetos, Escalamiento de sujetos, Datos de proximidad, Datos de preferencia, Reduccin de la di-mensionalidad.

    The present article offers a conceptual, and at the same time operative, vision of the concept of multidimensional scaling. In the mannerit is presented, the aim is, firstly, to help interested psychologists understand what the multidimensional scaling model is, using a numberof simple, intuitive examples; and, secondly, for them to acquire the competence required to resolved different problems inmultidimensional scaling through the use of specific software. The aim is also to download the presentation of mathematical formulaeand method, without renouncing the methodological rigour that the subject demands.Key words: Scaling, Proximity data, Preference data, Dimensionality reduction.

    Correspondencia: Constantino Arce, Facultad de Psicologa,Universidad de Santiago de Compostela, 15.782 Santiago deCompostela. Espaa. E-mail: constantino.arce @usc.es

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    Papeles del Psiclogo, 2010. Vol. 31(1), pp. 46-56http://www.cop.es/papeles

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    multidimensional de otros modelos estadsticos de anli-sis de datos es la matriz de entrada. En Psicologa, esta-mos habituados a uti l izar una matriz de datosrectangular X con n sujetos en las filas y p variables enlas columnas, donde un elemento xij representa la medi-da obtenida para un sujeto i en una variable j. En su for-ma ms t pica, la matriz de entrada para elescalamiento multidimensional es una matriz de datoscuadrada de orden p con una misma entidad represen-tada en las filas y en las columnas: los objetos que inten-tamos representar en el espacio multidimensional. Unelemento en esta matriz representa la distancia o de-semejanza entre dos objetos i y j. Lo que tenemos en lamatriz es, en realidad, una matriz de distancias o dese-mejanzas entre todos los pares de objetos.La diferencia entre distancia (concepto geomtrico) y

    desemejanza (concepto psicolgico) est en que el pri-mero, al ser un concepto matemtico, no contiene error;mientras el segundo, al ser un concepto psicolgico, per-ceptivo o subjetivo, s contiene error. Las desemejanzasson, en realidad, distancias que contienen error o distan-cias distorsionadas por los mecanismos perceptivos delos seres humanos. Los modelos y mtodos de escala-miento multidimensional pueden resolver ambos tipos deproblemas, con error y sin error en los datos de entrada.En Psicologa es ms habitual trabajar con datos quecontienen error y los modelos de escalamiento multidi-mensional pueden tratar este problema.

    DERIVACIN DE UNA CONFIGURACIN DE PUNTOSA PARTIR DE UNA MATRIZ DE DISTANCIASEn la Tabla 1 se ofrece la matriz de distancias quilom-tricas entre 7 ciudades espaolas: A Corua, Bilbao,Barcelona, Cceres, Madrid, Sevilla y Valencia.Nos proponemos elaborar, a partir de dicha matriz, un

    mapa de Espaa; es decir, obtener una representacinespacial de las 7 ciudades sobre un plano, donde unode los ejes ser la direccin norte-sur y otro eje ser ladireccin este-oeste. Utilizamos, para ello, el procedi-miento PROXSCAL, implementado en SPSS.El resultado que nos ofrece es el que se puede observar

    en la Figura 1.Dado que el mapa de Espaa es conocido, podemos

    valorar subjetivamente el grado en que el mapa deriva-do por el programa se ajusta al mapa real. Podemos de-cir que el mapa conseguido es bastante bueno, aunqueno perfecto. En la investigacin en Psicologa, es habi-tual trabajar con configuraciones que no tienen una con-

    traparte objetiva conocida de antemano. Por eso, cuan-do el programa nos deriva una solucin se vuelve muyimportante tener un indicador o, incluso, varios--cuntosms mejor--, del grado en que la configuracin derivadapor el programa se ajusta a la ideal (desconocida). To-dos los programas de escalamiento multidimensionalofrecen al usuario indicadores de ajuste para que puedavalorar lo buena que es la solucin obtenida por elprograma para su problema.Los indicadores de bondad de ajuste ofrecidos por

    PROXSCAL para el mapa de Espaa se ofrecen en la Ta-bla 2.Hay dos tipos de indicadores. Aquellos para los que el

    cero representa un ajuste perfecto. De este primer tiposeran los indicadores Stress bruto normalizado, Stress-I,Stress-II y S-Stress. Y aquellos para los que el ajuste per-fecto est representado por el 1. De este segundo tiposeran los dos ltimos de la Tabla: Dispersin explicada

    CONSTANTINO ARCE, CRISTINA DE FRANCISCO E IRIA ARCE

    TABLA 1DISTANCIAS QUILOMTRICAS ENTRE 7 CIUDADES ESPAOLAS

    A Corua Barcelona Bilbao Cceres Madrid Sevilla Valencia

    A Corua 0Barcelona 1050 0Bilbao 542 567 0Cceres 617 895 591 0Madrid 586 600 379 294 0Sevilla 857 971 847 256 507 0Valencia 937 341 569 615 352 637 0

    FIGURA 1MAPA DE ESPAA DERIVADO POR PROXSCAL

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    (D.A.F.) y Coeficiente de congruencia de Tucker. Obser-vando los valores de unos y otros siempre se llega a lamisma conclusin: que el ajuste del modelo es bueno omuy bueno en este caso. Esto es as porque el grado deerror en los datos (distancias) era muy pequeo. Las dis-tancias utilizadas como entrada eran las distancias porcarretera. Si utilizramos las distancias lineales el ajustesera perfecto. Los cuatro primeros ndices de ajuste de-beran ser iguales a 0 y los dos ltimos iguales a 1.

    PERCEPCIN DE LOS MEDIOS DE TRANSPORTEPBLICOArce (1993) se propuso obtener un mapa perceptivo delos medios de transporte utilizados por los ciudadanosde Santiago de Compostela. Para ello, elabor una listade todos los medios de transporte (pblicos y privados)que podran estar a su disposicin en la ciudad, formcon ellos todos los pares posibles y pidi a una muestra

    de ciudadanos que juzgaran la desemejanza para cadapar de medios de transporte.Los medios de transporte estudiados fueron nueve:

    avin, tren, autobs interurbano, autobs urbano, taxi,coche particular, moto, ciclomotor y bicicleta. Con nueveobjetos o estmulos (aqu, medios de transporte) se pue-den formar 36 pares. Para averiguar el nmero de paresse utiliza la frmula n(n-1)/2, donde n es el nmero deobjetos o estmulos. Sustituyendo, en este caso, donde n= 9, nos queda 9(9-1)/2 = 36. En la Tabla 3 se ofrecenlos 36 pares formados en el estudio, siguiendo un mto-do, denominado rotacin estndar, muy til porque losdatos (desemejanzas) ya quedan ordenados en la formaen que luego se van a introducir en la matriz de entrada.El mtodo sigue la secuencia (1,2), (1,3) (1,9), (2,3),