Escoamento Couette Laminar e Incompressível - Autenticação · Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer ) • As equações deixam de exibir carácter elíptico na direcção

Aerodinâmica

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Escoamento Couette Laminar e Incompressível

h

U

x

0=∂

∂

t

0=∂

∂

z

0=∂

∂

x

vr

• Escoamento permamente,

• Escoamento independente da direcção z,(bi-dimensional)

• Escoamento completamente desenvolvido,

y

Aerodinâmica


Escoamento Couette Laminar e Incompressívely

h

U

• Condições de Fronteira

- Impermeabilidade das paredes:

- Não escorregamento:

x

000 =⇒==⇒= vhyvy

Uuhyuy ˆ00 =⇒==⇒=

Aerodinâmica



• Equação da continuidade

• Condição de fronteira

0=v

.0 constvy

v=⇔=

∂

∂

Aerodinâmica



• Balanço de quantidade de movimento,


• A pressão só pode variar com

tem de ser indepedente de

y

2

21

0y

u

x

p

∂

∂+

∂

∂−= ν

ρ

y

p

∂

∂−=

ρ

10

x

x

=

∂

∂0

x

vx

r

dx

dp

Aerodinâmica




• Condições de fronteira

y

u

ydx

dp

y

u

yx

yx

∂

∂=

∂

∂==

∂

∂

µτ

τ

ρρν

112

2

x

Uuhy

uy

ˆ

00

=⇒=

=⇒=

Aerodinâmica



• Solução

• Comprimento e velocidade de referência

( )

−+=

−−=

2

ˆ

2

1ˆ

hy

dx

dp

h

U

yhydx

dpU

h

yu

yx µτ

µ

UU

hL

ref

ref

ˆ=

=

Aerodinâmica



• Solução com variáveis adimensionais

• Números adimensionais

−Λ−=

−Λ−=

h

y

U

h

y

h

y

U

u

yx

2

121

Re

2

ˆ21

11ˆ

2ρ

τ

dx

dp

U

h

hURe

µ

ν

2

ˆ

2

=Λ

= Número de Reynolds

Parâmetro do gradiente de pressão

Aerodinâmica



• Números adimensionais

Número de Reynolds

Parâmetro do gradiente de pressão

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

h

U

dx

dp

h

U

h

U

Re

µ

µ

ρ

=Λ

∝

Aerodinâmica



-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Λ=-2

Λ=-1

Λ=0

Λ=1

Λ=2

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Λ=-2

Λ=-1

Λ=0

Λ=1

Λ=2

h

y

h

y

UU ˆ 2UR yxe ρτ

Aerodinâmica


Escoamento Incompressível Bi-dimensional em regime permanente

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

y

v

yx

v

y

u

xy

p

y

vv

x

vu

x

v

y

u

yx

u

xx

p

y

uv

x

uu

y

v

x

u

ννρ

ννρ

21

21

0

Aerodinâmica



Viscosidade constante, ν=constante

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

0

y

v

x

v

y

p

y

vv

x

vu

y

u

x

u

x

p

y

uv

x

uu

y

v

x

u

νρ

νρ

Aerodinâmica



Adimensionalização das equações

Valores de referência

VelocidadeComprimentoPressão *22

**

**

,

,

pUpU

LyyLxxL

vUvuUuU

ee

eee

ρρ =→

==→

==→

Aerodinâmica


Escoamento Incompressível Bi-dimensionalem regime permanente

( ) ( )

( ) ( )

====

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

2

2*

*2

2*

*2

*

*

*

*

*

*

*

*

2*

*2

2*

*2

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

1

1

0

L

UL

UU

LULUR

y

v

x

v

Ry

p

y

vv

x

vu

y

u

x

u

Rx

p

y

uv

x

uu

y

v

x

u

e

ee

eee

e

e

µ

ρ

νµ

ρ efeitos convectivosefeitos difusivosO[ ]

Aerodinâmica



• Aplicações práticas são normalmente escoamentos a números de Reynolds, Re, elevados

y

u

∂

∂= µτ (tensão de corte em uni-dimensional)

Ar µ � 1,8×10-5kgm-1s-1 ν �1,1×10-5m2s-1

Água µ � 1,0×10-3kgm-1s-1 ν �1,0×10-6m2s-1

Aerodinâmica



• Efeito das tensões de corte restritos a pequenas regiões em que existem grandesvariações de velocidade em pequenasdistâncias

• Camadas de corte delgadas (thin shear layers)- Espessura da camada de corte delgada, δ,é muito inferior a L, δ/L≪1

Aerodinâmica



Camada Limite(Boundary-layer)

Esteira(Wake)

Camada de Mistura(Mixing layer)

Jacto(Jet)

Aerodinâmica



Camadas de corte espessas (corpos não fuselados)(Bluff body)

Aerodinâmica


Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)

Simplificações de Prandtl(1904)

Análise da ordem de grandeza dos termos das equações da continuidade e de balanço de quantidade de movimento

Hipótese de partida Re≫1. (δ/L≪1)ν

xUR e

e =

Aerodinâmica



Simplificações de Prandtl(1904)

Ordem de grandeza da variável ξ, O[ξ], é dadapelo limite superior de variação de ξ

Ordens de grandeza conhecidas

O[x]→ L

O[y] → δ O[u]→ Ue

Aerodinâmica



Equação da continuidade

[ ]

[ ]L

Uv

v

L

U

y

v

x

u

e

e

δ

δ

=

=+

=∂

∂+

∂

∂

0

0

O

O

Aerodinâmica



Equação de Bernouilli aplicada ao escoamentoexterior (fluido perfeito)

L

U

L

p

dx

dp

dx

dUU

dx

dp

constUp

ee

ee

e

e

2

2

11

0

.2

1

==

=+

=+

ρρ

ρ

ρ

O

Aerodinâmica



Balanço de quantidade de movimento na direcção x

++=+

++=+

++=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

2

22222

22

222

2

2

2

2

11

111

1

1

δ

δ

ν

δν

νρ

L

R

L

LUL

U

L

U

L

U

L

U

U

L

U

L

U

L

U

L

U

y

u

x

u

x

p

y

uv

x

uu

e

e

eeee

eeeee

Aerodinâmica



Balanço de quantidade de movimento na direcção x

Análise do termo difusivo

+

2

11

δ

L

Re

111

01

2

2

2

2

2

ee

e

RL

L

Rx

u

Rx

u

=⇒

=

∂

∂

≅=

∂

∂

δ

δν

ν

O

O

≪

Aerodinâmica



Balanço de quantidade de movimento na direcção y

O

O

++

∂

∂−=+

++

∂

∂−=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂

2

2

2

2

2

2

2

2

2

32

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

δ

δδν

ρ

δδ

δ

δν

ρ

δδ

νρ

L

L

U

L

U

LUy

p

L

U

L

U

L

U

L

U

y

p

L

U

L

U

y

v

x

v

y

p

y

vv

x

vu

ee

e

ee

eeee

Aerodinâmica


2

2

2

2

1

111

11

L

U

y

p

Ry

p

U

L

e

ee

δ

ρ

ρδ

=

∂

∂−

++

∂

∂−=+



Como eR

L=

2

δ

O

O

Aerodinâmica


0

2

11 222

20

≅∂

∂

=

=

∂

∂∫

y

p

UUR

UL

dyy

pee

e

e ρρρδδ



Através da camada limite

pelo que

O ≪

Aerodinâmica


∂

∂+−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

2

21

0

y

u

dx

dp

y

uv

x

uu

y

v

x

u

νρ


• O sistema de coordenadas tem de respeitar asseguintes condições:

1. A coordenada x tem de estar alinhada com oescoamento exterior

2. A coordenada y é normal à superfície

Aerodinâmica


∂

∂+−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

2

21

0

y

u

dx

dp

y

uv

x

uu

y

v

x

u

νρ


• A pressão estática é independente da coordenada y.A variação de pressão com x (dp/dx) pode ser obtidaa partir do escoamento exterior, p(x)≃pe(x), pelo quea pressão não faz parte das incógnitas.

A pressão é um dado do problema

Aerodinâmica



• As equações deixam de exibir carácter elíptico nadirecção x. Para um valor de x qualquer, o escoamento depende apenas do que se passa a montante. Nestas condições, é possível obter a solução através de um processo de marcha na direcção x (problema de valor inicial).

∂

∂+−=

∂

∂+

∂

∂

=∂

∂+

∂

∂

2

21

0

y

u

dx

dp

y

uv

x

uu

y

v

x

u

νρ

Aerodinâmica


Formas simplificadas das equações de Navier-Stokes

• Equações de camada limite ou camadas de corte delgadas(Boundary layer, thin shear layer equations)

― Pressão determinada pelo escoamento exterior à regiãoviscosa,

― Difusão na direcção principal do escoamento desprezada,

0≅∂

∂

y

p

02

2

≅

∂

∂

x

uν

Aerodinâmica



• Equações de Navier-Stokes parabolizadas(Parabolized Navier-Stokes equations)

― Pressão na direcção principal do escoamento imposta apartir das condições exteriores à região viscosa,


x

p

x

p e

∂

∂≅

∂

∂

02

2

≅

∂

∂

x

uν

Aerodinâmica



• Equações de Navier-Stokes reduzidas(Reduced Navier-Stokes equations)


02

2

≅

∂

∂

x

uν

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