Escoamento em riosModelo Muskingum

Criado na década de 1930 por McCarthy para representar a propagação de vazão ao longo do rio Muskingum.

),( QIfS

QIdt

dS

Supõe que S (armazenamento) estárelacionado a I (vazão de entrada) e Q (vazão de saída)

2

Escoamento em rios: Muskingum

Continuidade

Relação

tttt QCICICQ 32111

2

t)X1(K

2

t)X1(K

C ;

2

t)X1(K

2

tKX

C ;

2

t)X1(K

2

tKX

C 321

QIdt

dS

S = K [X I +(1-X) Q]

C1+C2+C3=1

K é o tempo médio de deslocamento da onda

X é um ponderador entre as vazões de entrada e saída

A vazão (Q) na seção de jusante é dada por:

3

Intervalo de tempo

Para que os coeficientes da equação sejam positivos

t 2KX e 0

2t

)X1(K

2t

KXC1

t X)-2K(1 e 0

2t

)X1(K

2t

)X1(KC3

)X1(K2tKX2 )X1(2K

tX2

5,0X0

0 0,5 X

2K/t

1

0

R egião v ál id a

é o intervalo de tempo para simulação da propagaçãot

K e X

O método Muskingum tem dois parâmetros de cálculo (K e X) que devem ser definidos antes dos cálculos.

Definir valor de X

O parâmetro X é um ponderador adimensional cujo valor deve estar entre 0 e 0,5, mas na maior parte dos rios e canais naturais seu valor é próximo a 0,3.

Dependendo do valor de X ocorre mais ou menos amortecimento da onda de cheia.

Para um valor de X igual a 0,5 não ocorre amortecimento.

Quando X é igual a zero o amortecimento é máximo.

Efeito de X

Efeito de K

Definir K

O parâmetro K têm unidades de tempo e deve ser expresso nas mesmas unidades de Dt.

O valor de K pode ser estimado pelo tempo de viagem do pico da cheia do início ao final do trecho de rio, ou seja, a distância dividida pela celeridade.

Quanto maior o valor de K, mais afastados no tempo ficam os picos de vazão na entrada e saída do trecho de canal.

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Métodos para estimativa dos parâmetros

Mínimos quadrados

Sc

So

Di

2)SOiSCi(D

])QI(QI[K

IQQSoISoQX

)IQ(QI

QSoISoQ)ISoQSo(QIK

222

2

222

22

Estimativa de K e XTradicional método da laçada

S/∆t

QI

X=X1 X= XnVariar o valor de X até que se crie uma laçada, com forma mais próxima possível de uma reta

Ajustar uma linha de tendência linear

K será igual ao coeficiente angular da reta

S/∆t = a. QI + b

K = a

 𝑆𝑡+1∆𝑡 = 0,5ሾሺ𝐼𝑡+1 +𝐼𝑡ሻ−ሺ𝑄𝑡+1 +𝑄𝑡ሻሿ+ 𝑆𝑡∆𝑡

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Método da laçada - Exemplo

A tabela abaixo apresenta os hidrogramas de vazões medidos nas seções de entrada e saída de um trecho de rio. Determine os valores dos parâmetros K e X

Tempo (h)

Entrada (m3/s)

Saída (m3/s)

0 30 306 120 39

12 286 4518 412 9324 373 18130 306 23736 246 26442 198 26148 165 24654 141 22560 123 20266 108 18472 93 17478 81 15384 72 13590 63 117

Muskingum-Cunge

)1(5,0xcSb

QX

ooo

o

oc

xK

6,04,0

4,00

3,00

.3

5

nb

QSc

o

o

Adaptado para estimativa com base em parâmetros físicos do trecho

2,08,00

000

0 ..8,0..

xtccSb

Qx

0

1/2

0 02

0 0

.1 1 1,5.

2 . . .

c t Qx

b S t c

Ou:

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Roteiro de Ajuste

1) Fixar ∆t = tp/5 ou outro valor para ∆t ≤ tp/5

2) Adotar valor de Qo = 2/3 da vazão máxima do hidrograma de entrada

3) Calcular co

4) Calcular ∆x por processo iterativo

5) A primeira estimativa de ∆x pode ser obtida por

6) Calcular K e X e verifique se está dentro da faixa de validade

7) Caso contrário modifique ∆x

ooo

oo cSb

Qx

5,2

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Exemplo

Determine o hidrograma 18 km a jusante de uma seção de um rio. As características do trecho são: largura=30m, declividade=0,0007 m/m; rugosidade de Manning n=0,045.

o tempo tp = 240 min e =240/5=48 min, ∆t=40min. A vazão máxima de montante é 130 m3/s, Qo=87m3/s

smbon

QoSoco /86,1

3

54,06,0

4,03,0

mxx

x 568.586,10007,030

87.5,2

mx 6018Por convergência

tK = 1,34

X=0,31

Tempo(40min)

vazão de entrada

m s3 /vazão de saída

m s3 /1 20 202 30 203 60 204 90 205 100 21,16 130 27,07 115 42,28 95 63,99 80 85,910 60 103,011 40 102,412 20 92,413 20 77,214 20 59,415 20 41,9

mx 6000 adotado

Muskingum Cunge não linear

A celeridade não é constante Os parâmetros do método de

Muskingum Cunge deveriam variar Celeridade varia com o nível da

água ou com a vazão

Celeridade aumenta

Celeridade diminui

Muskingum Cunge não linear

Substituir K e X (C1, C2 e C3) constantes por variáveis

A cada passo de tempo é necessário recalcular o valor de K e X (C1, C2 e C3)

Só o que não muda é o Dx

Muskingum Cunge não linear

Qual vazão usar como referência? Criar tabela Q x C a partir de tabela h x A x Q

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Solução não-linear

Cálculo de X e K em cada célula de cálculo

t

xi i+1

t

t+1 It+1

It

Qt+1

Qt

Calcular K e X com base em:

(1) Qt

(2) Qt, It e It+1

(3) todos.

31

tttt

IQIQo

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Exemplo Jacuí

Linear x Não-linear

Evento Linear Não-Linear1 0,91 0,972 0,83 0,943 0,92 0,964 0,88 0,98