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QUESTÕES DE CÁLCULO DA ESCOLA NAVAL DE 2002 A 2005
QUESTÃO 1 EN 2005
RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO:
3x 3x
2 2
3x3x
2
1 1 1 1y x y ' x dx e dx e dx dx dx
1 3x 1 3xx 2x 2 x 2x 2
1 1 1 e 1e dx d x 1 d 1 3x arctg x 1 ln 1 3x C
3 1 3x 3 31 x 1
3 0e 1 1 4
y 0 arctg 0 1 ln 1 3 0 C C C 13 3 3 4 4 3
3 1 3 3e 1 e 1 3 2ln 2 e
y 1 arctg 1 1 ln 1 3 1 1 ln 4 13 3 3 3 3
QUESTÃO 2 EN 2005
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RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO:
222 2 2 2
2
2
1 1 14x y 4x 4y 0 4 x 2 x y 4y 4 1 4 4 x y 2 5
2 4 2
1x
y 2 12 1 C , 25 5 2
4
2
1 1 1 1 1f x arcsen x f ' x f ' 1
22 x 2 x 1 x 1 11 x 2 1
2 2
O coeficiente angular da tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1
x2
é 1, então o
coeficiente angular da reta normal é 1 .
Supondo que a reta pedida passe pelo ponto 1
C , 22
e possua coeficiente angular 1 , ou seja,
que seja paralela à reta normal ao gráfico de f no ponto de abscissa 1
x2
, temos:
y 2 11 y 2 x 2y 2x 3 0
1 2x
2
QUESTÃO 3 EN 2005
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RESPOSTA: C
RESOLUÇÃO:
Devemos estudar a continuidade e a derivabilidade em x 1 .
x 1 x 1
3
x 1 x 1
x 1 x 1
lim g x lim ax b a b
lim g x lim ax x 2b a 1 2b
g 1 a b
lim g x lim g x g 1 a b a 1 2b b 1
'
x 1 x 1 x 1
'3 2
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
lim g ' x lim ax b lim a a
lim g ' x lim ax x 2b lim 3ax 1 3a 1
1lim g ' x lim g ' x a 3a 1 a
2
QUESTÃO 4 EN 2004
Seja g(x) uma função real, derivável até a 3ª ordem para todo x real, tal que g 0 g´ 0 0 e
g´́ 0 16 . Se f(x) é uma função real definida por g x
se x 0f x 2x
0 se x 0
, então f’(0) é igual a:
(A) 16
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(B) 12
(C) 8
(D) 4
(E) 0
RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO:
2h 0 h 0 h 0 h 0 h 0 h 0
g hf 0 h f 0 f h g h g ' h g '' h 162hf ' 0 lim lim lim lim lim lim 4
h 0 h h 4h 4 42h
O limite acima era do tipo 0
0, tendo sido calculado pela aplicação do teorema de L’Hôpital duas
vezes.
QUESTÃO 5 EN 2004
O 3x 1
1 1lim
2 1 x 3 1 x
é igual a:
(A) 0
(B) 1/16
(C) 1/12
(D) 1/2
(E) 1
RESPOSTA: C
RESOLUÇÃO:
2 36 3
3 23x 1 y 1
2
2 2y 1 y 1
2
2y 1 y 1
x y x y e x y
1 1 1 1lim lim
2 1 y 3 1 y2 1 x 3 1 x
3 1 y 2 1 y y1 1lim lim
3 1 y 1 y2 1 y 1 y y 6 1 y 1 y 1 y y
1 y1 y 2ylim lim
6 1 y 1 y 1 y y
1 2y
6 1 y
2
2y 1
1 y 1 y y
1 2y 3 1lim
6 2 3 126 1 y 1 y y
QUESTÃO 6 EN 2004
A função real f x satisfaz a seguinte equação x x
sen f x x f x2 2
. Considere a função
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g, definida por f x
g x kx
com r 0 e k . Sabendo que f 2 1 , podemos afirmar que
o valor da constante real k para g ' 2 f ' 2 é:
(A) 1
2
(B) 3
4
(C) 4
3
(D) 8
5
(E) 2
RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO;
x x x 1 1sen f x x f x cos f x f ' x 1 f x x f ' x
2 2 2 2 2
2 1 1x 2 cos f 2 f ' 2 f 2 2 f ' 2
2 2 2
1 1cos 1 1 f ' 2 1 2 f ' 2 f ' 2 2
2 2
2
2
f x f ' x x f x 1g x k g ' x k
x x
f ' 2 2 f 2 2 2 1 5g ' 2 k k k
4 42
5 8
g ' 2 f ' 2 k 2 k4 5
QUESTÃO 7 EN 2004
Seja p uma constante real positiva. A integral
1n 2px
2e dx é igual a:
(A) 3
22
2px c3
(B) 1
2p 2px c
(C) 3
21
2px c3
(D) 1
22
2px c3
(E) 1
21
x 2px c3
RESPOSTA: B
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RESOLUÇÃO:
1n 2px 1 1
ln 2px2 2 21
e dx e dx 2pxdx 2px 2p C p 2px C2
QUESTÃO 8 EN 2003
Se
1
ln x
x 0lim cotg x p
, então:
(A) 1
0 p3
(B) 1 1
p3 2
(C) 1
p 12
(D) 1 p 2
(E) 2 p 3
RESPOSTA: B
RESOLUÇÃO:
1 1
ln x ln x
x 0 x 0 x 0 x 0
2
2x 0 x 0
ln cotg x1lim cotg x p ln p lim ln cotg x lim ln cotg x lim
ln x ln x
1cossec x
x tg x 1cotg xlim lim 1 ln p 1 p
1 esen x
x
1 1e 2,7 p
3 2
O último limite foi calculado considerando que x , sen x e tg x são infinitesimais equivalentes.
QUESTÃO 9 EN 2003
De um ponto P do cais, João observa um barco AB ancorado. Para um sistema de eixos ortogonais
os pontos A e B têm coordenadas respectivamente iguais a (0, 20) e (0, 40), enquanto P encontra-se
no semi-eixo positivo das abscissa. Se o ângulo APB de observação é máximo, então a abscissa de
P é igual a:
(A) 20 2
(B) 20 3
(C) 20
(D) 15
(E) 10
RESPOSTA: A
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RESOLUÇÃO:
2
2
20tg
20 tg tg 40 40pP p,0 tg , tg
20p 1 tg tg p p1 tg
p
20 p tg 40 20p20p p tg 40p 800 tg tg
p 20 tg p p 800
O ângulo é máximo quando tg é máximo, ou seja, quando 2
20p
p 800 assume seu valor máximo.
' 22
2 22
20 p 800 20p 2p20p0 p 800 p 20 2
p 800 p 800
Observe que essa abscissa refere-se a um ponto de máximo, pois a derivada é positiva antes e
negativa depois do ponto.
QUESTÃO 10 EN 2003
Consideramos n uma função real, bijetora, derivável tal que 2h´ x sen cos x 1 e h 0 3 .
Calcule:
a) A equação da reta normal ao gráfico da função 1h no ponto 13, h 3 , onde 1h é a função
inversa de h.
b) '
1g 3 onde g é a função real definida por 2x 1g x h e 1 e 1g é a função inversa de g.
RESPOSTA: a) 2 2y sen cos1 x 3sen cos1 ; b) 2
1
sen cos1
RESOLUÇÃO:
a) 1h 0 3 h 3 0
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' '1 1
21 1
1 1 1 1h x h 3
h ' 0 sen cos1h ' h x h ' h 3
2 2h´ x sen cos x 1 h´ 0 sen cos1
O coeficiente angular da reta normal ao gráfico de 1h no ponto 13, h 3 é
2
'1
1sen cos1
h 3 .
2 2 2y 0sen cos1 y sen cos1 x 3sen cos1
x 3
b) 1 2k 1 2k 1 1g 3 k g k 3 h e 1 3 e 1 0 k
2
' '1 1
21 1
1 1 1 1g x g 3
1 sen cos1g ' g x g ' g 3 g '2
2x 1 2x 1 2x 1
12 1
22
g x h e 1 g ' x h ' e 1 e 2
1g ' h ' e 1 h ' 0 sen cos1
2
QUESTÃO 11 EN 2003
Seja x 3xe a e , se x 0
f xb 2senx cos 2x, se 0 x 2
.
I) Sabendo-se que f é uma função contínua em x 0 e que x ln3 é um ponto crítico desta,
calcule as constantes reais a e b.
II) Substituindo-se na função f os valores de a e b encontrados em I), determine:
a) Todos os pontos críticos de f.
b) Os pontos de máximo e mínimo relativos da função f.
RESPOSTA: I) a 3 e b 3 , II) a) 3 5
ln 3,0, , , ,2 2 6 6
, b)
5ln 3, , ,
2 6 6
são pontos de
máximo local e 3
0,2
são pontos de mínimo local
RESOLUÇÃO:
I)
x 3x
x 0 x 0
x 0 x 0
lim f x lim e a e 1 a
lim f x lim b 2sen x cos 2x b 1
Se f é contínua em x 0 , então x 0lim f x
existe e x 0lim f x f 0
.
x 0x 0 x 0
lim f x lim f x lim f x 1 a b 1 b a
Encontrando a expressão de f ' para valores negativos de x.
x 3x x 3x x 3xx 0 f x e a e f ' x e a e 3 e 3a e
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Se x ln3 é um ponto crítico de f, então f ' ln3 0 .
1 3ln3 3 ln3 ln3 ln3 1 3f ' ln3 e 3a e e 3a e 3 3a 3 0 a 3 b 3
II)
a)
x 3x x 3xe 3 e , se x 0 e 9 e , se x 0
f x f ' x3 2senx cos 2x, se 0 x 2 2cos x 2sen 2x, se x 0
x 3x x 3x 2x 1x 0 f x e 3 e f ' x e 9 e 0 e x ln3
9
x 0 f x 3 2sen x cos 2x f ' x 2cos x 2sen 2x 0 sen 2x cos x
1 3 52sen x cos x cos x cos x 0 ou sen x x , , ,
2 2 2 6 6
Como x 3x
x 0
lim f ' x e 9 e 8
e x 0
lim f ' x 2cos x 2sen 2x 2
, então f não é derivável em
x 0 .
b)
1 3x 3x ln3 ln3 1 1 2
x 0 f '' x e 27 e f '' ln3 e 27 e 27 03 27 3
x ln3 é um ponto de máximo local
x 0 f '' x 2sen x 4cos 2x
3 5f '' 2, f '' 2, f '' f '' 3
2 2 6 6
5, ,
2 6 6
são pontos de máximo local e
3
2
é ponto de mínimo local.
x 0
lim f ' x 8
e x 0
lim f ' x 2
0 é um ponto de mínimo
QUESTÃO 12 EN 2002
Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) na lacuna de cada afirmativa dada abaixo, assinalando a
alternativa correta.
( ) Se f é uma função real derivável no intervalo aberto I , 0x I e 0f ' x 0 então 0x
é a abscissa de um ponto de mínimo local ou máximo local de f.
( ) Se A é uma matriz quadrada de ordem n e det A 0 , então A é inversível.
( ) Se h e g são funções reais deriváveis no intervalo aberto I , a I , x alim h x 0
e
x alim g x 0
, então
x a
h xlim
g x não existe.
( ) O vetor u 3,2,1 é perpendicular aos vetores v 1,2, 1 e w 0,2, 4 .
( ) 3 3
2 2dx 1
x 1 x 1 c3x 1 x 1
(A) F – V – V – V – F
(B) V – V – F – F – F
(C) V – F – V – V – F
(D) F – V – F – V – V
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RESPOSTA: D
RESOLUÇÃO:
(F) Contra-exemplo: 0 0 0f ' x f '' x 0 e f ''' x 0 então 0x é ponto de inflexão.
(V)
(F) Contra-exemplo: Pelo teorema de L’Hôpital, se x alim h x 0
, x alim g x 0
e
x a
h ' xlim
g ' x existe,
então
x a
h xlim
g x também existe e
x a x a
h x h ' xlim lim
g x g ' x .
(V) u v 0 u v e u w 0 u w
(V)
3 32 2 3 3
2 2
dx x 1 x 1 dx 1x 1dx x 1dx
x 1 x 1 2x 1 x 1
1 x 1 x 1 1c x 1 x 1 c
3 32 32 2
QUESTÃO 13 EN 2002
Sejam f e g funções definidas em e deriváveis em x 0 , tais que f 0 3 , f ' 0 4 , g 0 1
e g ' 0 1 . Então '
2f g0
f g
é igual a:
(A) 21
6
(B) 7
5
(C) 21
4
(D) 21
2
RESPOSTA: C
RESOLUÇÃO:
'
2
2f x g x ' f x g x 2f x g x f x g x '2f gx
f g f x g x
'
2
2f ' x g ' x f x g x 2f x g x f ' x g ' x2f gx
f g f x g x
'
2
2
2f ' 0 g ' 0 f 0 g 0 2f 0 g 0 f ' 0 g ' 02f g0
f g f 0 g 0
2 4 1 3 1 2 3 1 4 1 21
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QUESTÃO 14 EN 2002
Qual o valor do
1
ln x
x 0
lim cotg x
?
(A) e
(B) 1
e
(C) 0
(D) 1
RESPOSTA: B
RESOLUÇÃO:
1 1
ln x ln x
x 0 x 0 x 0 x 0
2
2x 0 x 0
ln cotg x1lim cotg x y ln y lim ln cotg x lim ln cotg x lim
ln x ln x
1cossec x
x tg x 1cotg xlim lim 1 ln y 1 y
1 esen x
x