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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Escola Politécnica
Engenharia Naval e Oceânica
Projeto de Graduação
RAFAEL TORRES DE SANTIS
INVESTIGAÇÃO E ANÁLISE DA PARCELA DE VÓRTICE DO COEFICIENTE DE
AMORTECIMENTO DE ROLL EM FPSOs
Rio de Janeiro
Março de 2018
1
RAFAEL TORRES DE SANTIS
INVESTIGAÇÃO E ANÁLISE DA PARCELA DE VÓRTICE DO COEFICIENTE DE
AMORTECIMENTO DE ROLL EM FPSOs
Projeto de Graduação apresentado ao
Curso de Engenharia Naval e Oceânica, da
Escola Politécnica, Universidade Federal
do Rio de Janeiro, como parte dos
requisitos necessários à obtenção do título
de Engenheiro Naval.
Área de Concentração: Hidrodinâmica de
Sistemas Flutuantes
Orientador:
Claudio Alexis Rodríguez Castillo,
D.Sc. – COPPE/UFRJ
Rio de Janeiro
Março de 2018
2
De Santis, Rafael Torres
Investigação e Análise da parcela de Vórtice do
Coeficiente de amortecimento de Roll em FPSOs/ Rafael
Torres de Santis. – Rio de Janeiro:UFRJ/Escola
Politécnica,2018.
X,57 p.:il.; 29,7 cm
Orientador: Claudio Alexis Rodríguez Castillo
Projeto de Graduação – UFRJ/Escola
Politécnica/Curso de Engenharia Naval e Oceânica, 2018
Referências Bibliográficas: p.73-73
1.Amortecimento Roll 2. Hidrodinâmica 3. FPSO
I. Alexis Rodríguez Castillo, Claudio II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politénica,
Curso de Engenharia Naval. III. Título
3
INVESTIGAÇÃO E ANÁLISE DA PARCELA DE VÓRTICE DO COEFICIENTE DE
AMORTECIMENTO DE ROLL EM FPSOs
Rafael Torres de Santis
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DE GRAU DE ENGENHEIRO NAVAL.
Examinado por:
Prof. Claudio Alexis Rodríguez Castillo, D.Sc.
(Orientador)
Prof. Paulo de Tarso Themistocles Esperança, D.Sc.
(Examinador)
Prof. Marcelo de Almeida Santos Neves, D.Sc.
(Examinador)
Mauro Costa de Oliveira, D.Sc.
(Examinador)
Rio de Janeiro, RJ - Brasil
Março de 2018
4
Dedico esse trabalho a Deus e a
minha família, que me guiaram e
apoiaram em todas as decisões
desde o início da minha vida. Sem
eles nada disso seria possível.
5
Agradecimentos
Agradeço à Deus em primeiro lugar por ter me iluminado e abençoado nessa jornada
durante a minha vida acadêmica.
Aos meus pais, Rita e José Fernando, agradeço pelo amor, por me proteger e dar carinho
em todos os momentos, transmitindo felicidade e os valores que levo hoje comigo. À minha
irmã, Julia Maria, pelo amor, amizade e conselhos. À toda minha família, especialmente minha
avó Angelina que me ama e representa todo amor que existe nessa família. A distância durante
esses anos foi difícil, mas o carinho e amor por vocês é o mesmo.
Agradeço à Manuela Meneghelli pela companhia, alegria, amor e carinho.
Agradeço aos meus amigos de São Carlos e aos amigos que fiz no Rio de Janeiro durante
esses anos.
Agradeço ao meu orientador, Claudio Castillo, pelo ensinamento transmitido ao longo
desses anos, que mesmo estando em Portugal não mediu esforços para me auxiliar, aconselhar
e corrigir.
Agradeço ao Diretor Executivo do LabOceano, Paulo de Tarso, que junto com o Claudio
me deu a oportunidade de usufruir da estrutura do laboratório, além de transmitir ensinamentos
ao longo das disciplinas no curso de Engenharia Naval.
Agradeço ao Mauro Costa, que transmitiu conhecimentos ao longo de nossas reuniões
do grupo de estabilidade.
Ao Professor Marcelo Neves agradeço pelos conhecimentos transmitidos ao longo do
curso e das reuniões.
Também integrantes do grupo de estabilidade, agradeço ao Bruno Kassar e Luis Coelho,
que desenvolveram os programas utilizados nesse trabalho e me auxiliaram com todas as
dúvidas em relação ao uso dos programas. À Flávia Monteiro que também faz parte desse
projeto.
Por fim agradeço à Universidade Federal do Rio de Janeiro e ao LabOceano.
6
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos
requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval.
Investigação e Análise da parcela de Vórtice do Coeficiente de Amortecimento de Roll em
FPSOs
Rafael Torres de Santis
Março/2018
Orientador: Prof. Claudio Alexis Rodríguez Castillo, D.Sc.
Curso: Engenharia Naval e Oceânica
Embarcações do tipo FPSO – Floating Production, Storage and Offloading – são
utilizadas de maneira muito frequente no Brasil para exploração do pré-sal. O comportamento
deste tipo de embarcação no mar é muito importante para que a unidade possa operar com
segurança e conforto para seus tripulantes. Para capturar esses movimentos e otimizar projetos,
alguns coeficientes hidrodinâmicos precisam ser obtidos. Métodos de predição de
amortecimento de roll tem sido muito estudados para embarcações convencionais, porém, sua
predição é difícil de ser feita devido aos efeitos viscosos que atuam durante esse movimento.
Esse trabalho tem como objetivo verificar se os métodos de análise experimental conseguem
capturar de maneira correta os coeficientes de amortecimento. Além disso, o método proposto
por Ikeda será testado quanto a sua aplicabilidade em alguns tipos de FPSO. A partir de uma
combinação dos resultados experimentais e do método de predição, a parcela de vórtice do
amortecimento de roll será analisada separadamente.
Palavras – chave: Amortecimento de Roll, Hidrodinâmica, Efeitos Viscosos, Vórtices, FPSO.
7
Sumário
1 Introdução ........................................................................................................................... 8
1.1 Motivação .................................................................................................................... 8
1.2 Objetivo ....................................................................................................................... 9
2 Revisão Bibliográfica ....................................................................................................... 10
2.1 Equação do Movimento ............................................................................................. 10
2.1.1 Equação Movimento de Roll Desacoplada ......................................................... 12
2.1.2 Normalização e Solução da Equação de Decaimento de Roll Desacoplada ...... 13
2.2 Modelos de Amortecimento ....................................................................................... 15
2.2.1 Modelo de Amortecimento Linear ..................................................................... 16
2.2.2 Modelo de Amortecimento Não-Linear ............................................................. 16
2.3 Análise Experimental do Amortecimento de Roll ..................................................... 18
2.3.1 Decremento Logarítmico .................................................................................... 19
2.3.2 Método da Energia (Froude²) ............................................................................. 23
2.4 Predição do Amortecimento de Roll .......................................................................... 26
2.4.1 Amortecimento Friccional .................................................................................. 28
2.4.2 Amortecimento de Vórtices ................................................................................ 30
2.4.3 Amortecimento de Lift ........................................................................................ 33
2.4.4 Amortecimento de Ondas ................................................................................... 35
2.4.5 Amortecimento de Bolinas ................................................................................. 37
2.4.6 Amortecimento total ........................................................................................... 40
3 Proposta de Trabalho ........................................................................................................ 41
4 Resultados ......................................................................................................................... 41
4.1 Casco A ...................................................................................................................... 43
4.2 Casco B ...................................................................................................................... 61
5 Conclusão ......................................................................................................................... 73
6 Bibliografia ....................................................................................................................... 74
8
1 Introdução
Os modelos reduzidos são fundamentais para transmissão de informações. Para o escopo
deste trabalho estamos interessados principalmente em modelos de medição, que são usados
para obtenção de dados de projeto e/ou operação de sistemas reais, seguindo leis de semelhança
para suas propriedades e condições ambientais.
Os principais objetivos de um teste com modelos em escala reduzida são:
Obter dados relevantes de projeto para verificação do desempenho da unidade
flutuante;
Validar e calibrar métodos numéricos;
Obter melhor entendimento dos problemas físicos.
No Brasil podemos citar o Laboratório de Tecnologia Oceânica –LabOceano, que está
capacitado para prestar serviços em Hidrodinâmica Experimental e que em convênio com a
Petrobras já realizou diversos projetos para análise hidrodinâmica de FPSOs.
1.1 Motivação
Este trabalho está inserido no contexto de busca por métodos de predição do
amortecimento de roll para embarcações do tipo FPSO para que análises hidrodinâmicas
possam ser realizadas e assim o projeto deste tipo de unidade possa ser otimizado. Com um
vasto leque de ensaios realizados no LabOceano com plataformas deste tipo, será possível
verificar a aplicação de um dos métodos de predição mais tradicional.
Este trabalho é de grande importância tendo em vista a segunda geração da análise de
estabilidade em navios, proposta pela IMO, onde os coeficientes de amortecimento de roll são
utilizados.
Em fase inicial de um projeto realizar ensaios com modelos reduzidos não é ideal tendo
em vista que muitas mudanças poderão ocorrer ao longo do projeto, portanto uma maneira
adequada para computar o amortecimento de roll deve ser utilizada, recorrendo assim aos
métodos de predição.
9
1.2 Objetivo
O teste de decaimento de roll é o principal objetivo deste trabalho, pois a partir dele
podemos obter os valores do amortecimento de roll para os modelos ensaiados. O teste consiste
em aplicar um ângulo de roll na unidade flutuante e em seguida liberar a unidade para que ela
oscile livremente. A partir dos ensaios de decaimento e com um método de predição do
amortecimento de roll, vamos propor uma análise da parcela de vórtice que compõe o
amortecimento afim de validar o método de predição proposto por Ikeda [1].
A partir de agora precisamos entender a física que rege os movimentos de uma unidade
flutuante e identificar modelos matemáticos que se ajustam a essa dinâmica.
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
0,00 100,00 200,00 300,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Teste de Decaimento em Roll
Figura 1 – Série temporal decaimento de Roll com ângulo inicial de 20°.
10
2 Revisão Bibliográfica
Neste capitulo serão abordados temas como a Equação do movimento em unidades
flutuantes, Modelos de amortecimento de roll e Análise experimental em ensaios de
decaimento.
2.1 Equação do Movimento
Para definir completamente o movimento de um navio é necessário considerar-se seis
graus de liberdade, sendo três movimentos translacionais e três movimentos rotacionais, como
pode ser observado na Figura 2:
Figura 2 - Movimentos de um navio nos seis graus de liberdade.
Os movimentos podem ser divididos em dois tipos:
Não – Restaurativos: movimentos de translação nos eixos x, y e rotação em torno do
eixo z, ou seja, movimentos de Surge, Sway e Yaw respectivamente, que não produzem
nenhuma força ou momento de origem hidrostática. Para que esses movimentos sejam
restaurados é necessário que uma força ou momento externo seja aplicado, como linhas
de ancoragem, amarração ou posicionamento dinâmico.
Restaurativos: movimentos de translação em torno do eixo z e rotações em torno dos
eixos x, y, ou seja, os movimentos de Heave, Roll e Pitch respectivamente, que
produzem uma força ou momento de origem hidrostática.
11
Portanto a análise dos movimentos de um navio é semelhante a um sistema massa-mola-
amortecedor, ou seja, a embarcação oscila livremente sobre a ação das forças de inércia,
amortecimento, restauração e em alguns casos de forças externas. As forças externas podem ser
nulas, como no caso de um teste de decaimento (escopo deste trabalho) ou não-nulas, sofrendo
excitação de ondas, correntes, ventos, etc.
Abaixo temos a equação do movimento para os seis graus de liberdade em um navio:
(𝑚𝑖𝑗 + 𝐴𝑖𝑗)�̈�𝑗 + 𝐵𝑖𝑗�̇�𝑗 + 𝐶𝑖𝑗𝜂𝑗 = 𝐹𝑗(𝑡); 𝑖, 𝑗 = 1… ,6 (1)
A partir da equação acima é possível notar um conjunto de equações diferenciais
acopladas de um sistema massa mola com seis graus de liberdade e identifica-se fisicamente
cada elemento da equação.
Para os movimentos translacionais os termos �̈�𝑗 , �̇�𝑗 𝑒 𝜂𝑗 representam a aceleração linear,
velocidade linear e deslocamento linear respectivamente, já para os movimentos rotacionais os
termos são aceleração angular, velocidade angular e deslocamento angular respectivamente.
O termo 𝑚𝑖𝑗�̈�𝑗 representa a força inercial que temos a partir da primeira Lei de Newton,
onde para os movimentos translacionais temos a massa multiplicando a aceleração linear e para
os movimentos rotacionais temos a inércia de massa multiplicando a aceleração angular.
De maneira análoga, o termo 𝐴𝑖𝑗�̈�𝑗 representa também uma força inercial (inércia do
fluído), no entanto essa força tem origem hidrodinâmica. Esse termo tem origem quando um
navio se movimenta aceleradamente na água, ao contrário disso, essa força é nula. Sendo assim
o termo 𝐴𝑖𝑗 é conhecido como massa adicional e depende da frequência de oscilação do corpo.
Para o termo 𝐵𝑖𝑗�̇�𝑗 nota-se que semelhante ao sistema massa-mola-amortecedor, o termo
𝐵𝑖𝑗 multiplica uma velocidade, representando assim uma força de amortecimento. Em um navio
esse termo de amortecimento pode ter origem a partir da dissipação de energia pelas ondas
geradas pelo seu movimento oscilatório e também por uma parcela de origem viscosa, que
influencia principalmente no movimento de roll.
Os termos 𝐶𝑖𝑗𝜂𝑗 representam a restauração dos movimentos e estão diretamente
associados aos deslocamentos aplicados. Temos que relembrar que alguns dos termos de
restauração são nulos para os casos de Surge, Sway e Yaw como discutidos anteriormente.
Os termos 𝐹𝑗(𝑡) representam as forças de excitação externas que são aplicadas em cada
grau de liberdade.
12
2.1.1 Equação Movimento de Roll Desacoplada
Como observado no capítulo anterior os movimentos de um navio podem ser muito
complexos quando trabalhados nos seis graus de liberdade, portanto neste trabalho utilizaremos
a equação desacoplada do movimento de roll, ou seja, estamos assumindo que os outros graus
de liberdade não estão influenciando de maneira significativa o movimento de roll.
Como o movimento de roll é um movimento angular, será feito o somatório dos
momentos que atuam no flutuante quando aplicado um ângulo θ:
∑𝑀𝑥 = 𝐼𝑥�̈� (2)
Relembrando o que foi apresentado, temos um momento de origem hidrodinâmica
proporcional a aceleração angular (𝐴44 ∗ �̈�), um momento de amortecimento proporcional a
velocidade angular (𝐵44 ∗ �̇�), um momento de restauração hidrostática proporcional ao
deslocamento angular (𝐶44 ∗ 𝜃) e ainda um momento de excitação (M44).
O momento de restauração hidrostática é obtido quando a unidade flutuante é inclinada,
deslocando o centro de carena (ponto geométrico onde o empuxo é aplicado) e com isso temos
um binário de forças com um braço de endireitamento que irá gerar um momento para que a
embarcação retorne a sua posição original.
Figura 3 - Momento de restauração.
13
Na Figura 3 é possível observar o momento de restauração gerado pela inclinação, que
será dado pela multiplicação do deslocamento (Δ) e do braço de endireitamento (GZ):
𝑀𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜 = Δ ∗ 𝐺𝑍̅̅ ̅̅ (3)
O braço de endireitamento GZ pode ser obtido através da identidade trigonométrica
observada na Figura 3 e para o caso de pequenos ângulos de inclinação o valor de sen (θ) pode
ser aproximado por θ:
𝑀𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜 = Δ ∗ 𝐺𝑀̅̅̅̅̅ ∗ 𝑠𝑒𝑛(θ) = Δ ∗ 𝐺𝑀̅̅ ̅̅̅ ∗ 𝜃 = 𝐶44 ∗ 𝜃 (4)
Portanto o coeficiente de restauração hidrostática é dado por 𝐶44 = Δ ∗ 𝐺𝑀. O
coeficiente de amortecimento de roll (B44) será abordado mais à frente, e o coeficiente de massa
adicional será obtido através do software WAMIT (Teoria dos Painéis).
Sendo assim, de forma genérica, o somatório dos momentos que atuam durante uma
oscilação em torno do eixo x, será dado por:
𝑀44 − 𝐴44�̈� − 𝐵44�̇� − 𝐶44𝜃 = 𝐼44�̈� (5)
Agora com equação do movimento de roll desacoplada, é possível adaptá-la ao ensaio
de decaimento de roll, onde temos um momento de excitação nulo e o valor do coeficiente de
restauração hidrostática é conhecido:
(𝐼44 + 𝐴44)�̈� + 𝐵44�̇� + Δ𝐺𝑀̅̅̅̅̅𝜃 = 0 (6)
2.1.2 Normalização e Solução da Equação de Decaimento de Roll Desacoplada
Costumeiramente quando o amortecimento em embarcações é analisado, utiliza-se a
forma normalizada da equação do movimento, e para isso é necessário dividir a Equação (6)
pelo termo (𝐼44 + 𝐴44):
�̈� +
𝐵44(𝐼44 + 𝐴44)
�̇� +Δ𝐺𝑀̅̅̅̅̅
(𝐼44 + 𝐴44)𝜃 = 0
(7)
14
Da analogia com o sistema massa-mola-amortecedor, podemos obter a frequência
natural do sistema (ωn) e o amortecimento critico (Bc) e assim simplificar ainda mais a Equação
(7):
𝜔𝑛 = √Δ𝐺𝑀̅̅̅̅̅
(𝐼44 + 𝐴44)
(8)
𝐵𝑐 = 2(𝐼44 + 𝐴44)𝜔𝑛 (9)
𝜁 =
𝐵
𝐵𝑐
(10)
Com isso, a equação do movimento de roll de forma normalizada é dada por:
�̈� + 2𝜁𝜔𝑛�̇� + 𝜔𝑛2𝜃 = 0 (11)
Ou ainda:
�̈� + 𝑝�̇� + 𝜔𝑛2𝜃 = 0 (12)
Onde ‘p’ representa o amortecimento de forma normalizada: 𝑝 = 2𝜁𝜔𝑛 =𝐵44
(𝐼44+𝐴44)
Para a solução da equação de roll será utilizada a seguinte resposta:
𝜃(𝑡) = 𝐶𝑒𝜆𝑡 (13)
Derivando a resposta acima:
�̇�(𝑡) = 𝐶𝜆𝑒𝜆𝑡 (14)
�̈�(𝑡) = 𝐶𝜆2𝑒𝜆𝑡 (15)
Substituindo (13),(14) e (15) na Equação (12), temos a seguinte equação característica:
𝜆2 + 𝑝𝜆 + 𝜔𝑛2 = 0 (16)
15
Resolvendo a Equação (16), e assumindo que estamos no regime subcrítico (0< ζ <1),
as duas soluções possíveis são:
𝜆1 = −𝑝
2+ 𝑖√𝜔𝑛2 − (
𝑝
2)2
(17)
𝜆2 = −𝑝
2− 𝑖√𝜔𝑛
2 − (𝑝
2)2
(18)
A solução final será dada pela soma das duas soluções possíveis:
𝜃(𝑡) = 𝐶1𝑒𝜆1𝑡 + 𝐶2𝑒
𝜆2𝑡 = 𝐶1𝑒(−𝑝2+𝑖√𝜔𝑛
2−(𝑝2)2)𝑡+ 𝐶2𝑒
(−𝑝2−𝑖√𝜔𝑛
2−(𝑝2)2)𝑡
(19)
𝜃(𝑡) = 𝐶𝑒−𝑝2𝑡 [𝑐𝑜𝑠 (√𝜔𝑛2 − (
𝑝
2)2
𝑡 + 𝛽)]
(20)
Agora com a solução para a Equação de decaimento de roll, é necessário obter o valor
da constate C e do ângulo de fase β, que serão determinados a partir das condições iniciais do
teste de decaimento, que são dadas pelo ângulo de roll inicial [𝜃(0) = 𝜃0] e velocidade angular
inicial [�̇�(0) = 0].
Portanto a solução final para a Equação do movimento de roll em um teste de
decaimento é dada por:
𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑒−𝑝2𝑡 [𝑐𝑜𝑠 (√𝜔𝑛2 − (
𝑝
2)2
𝑡)]
(21)
2.2 Modelos de Amortecimento
Até o momento foi desenvolvida uma análise matemática para a equação do movimento
de roll sem uma abordagem das características do amortecimento, ou seja, do termo B44 ou ‘p’
na sua forma normalizada.
Portanto neste capítulo será feito um detalhamento do termo de amortecimento da
equação do movimento de roll, que de maneira geral poderá ser escrita como:
16
�̈� + 𝑝(𝜃)̇ + 𝜔𝑛2𝜃 = 𝑀(𝑡) (22)
É possível notar que o termo normalizado do amortecimento (p) não foi escrito como na
Equação (12). Agora o amortecimento é tratado como um termo dependente da velocidade
angular do movimento de roll. Em termos gerais o amortecimento pode ser escrito como:
𝑝(𝜃)̇ = 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�| + 𝑝3�̇�3 (23)
2.2.1 Modelo de Amortecimento Linear
É o caso abordado desde o início deste trabalho e que foi utilizado para desenvolver as
soluções para o decaimento de roll, onde o amortecimento depende apenas da velocidade
angular do movimento, ou seja, o termo p1 é não nulo e os termos p2 e p3 são nulos, com isso a
Equação (23) se reduz a:
𝑝(𝜃)̇ = 𝑝1�̇� = 𝑝�̇� (24)
O modelo linear de amortecimento não será utilizado neste trabalho, mas a sua
contribuição é muito importante para o entendimento da solução da equação do decaimento e
posteriormente será utilizada de maneira análoga para a solução do modelo não-linear.
2.2.2 Modelo de Amortecimento Não-Linear
O caso não-linear de amortecimento é utilizado para o amortecimento de roll
principalmente para capturar os efeitos viscosos que governam o movimento. A diferença de
pressão que ocorre no casco devido a forma da embarcação (desprendimento de vórtices) ou a
presença de bolinas são alguns dos exemplos que contribuem para um amortecimento não-
linear, sendo assim, se faz necessário um modelo de amortecimento adequado. Nos capítulos
posteriores uma análise mais detalhada da contribuição de cada parcela do amortecimento será
demonstrada.
Portanto, o modelo de amortecimento não-linear pode ser utilizado de forma completa,
com os termos p1, p2 e p3 não nulos, ou apenas com uma combinação dos termos. Para este
trabalho será utilizada uma formulação de amortecimento com os termos linear (p1) e quadrático
(p2), ou seja, apenas o termo cúbico (p3) será considerado nulo. Spouge [6] comprovou através
de experimentos que nos casos em que foram utilizados apenas p1 e p2, a reprodução do
decaimento ficou melhor do que em casos onde o termo cúbico foi utilizado. Com isso o
amortecimento será descrito da seguinte maneira:
17
𝑝(𝜃)̇ = 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�| (25)
Substituindo a formulação do amortecimento não-linear (25), na Equação (22):
�̈� + 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�| + 𝜔𝑛2𝜃 = 𝑀(𝑡) (26)
Amortecimento Equivalente
Devido as dificuldades de análise da equação do movimento com o amortecimento não-
linear, é necessário linearizar o amortecimento, e para isso utilizamos um amortecimento linear
equivalente:
𝑝(𝜃)̇ = 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�| = 𝑝𝑒�̇� (27)
Portanto a maneira mais utilizada é assumir que a energia dissipada pelo amortecimento
em um meio ciclo do movimento de roll é semelhante quando se utiliza o amortecimento linear
e não-linear, como pode ser observado em (27). Assumindo ainda que a excitação e o
movimento de resposta da embarcação são funções harmônicas com frequência angular ω, a
solução será:
𝜃(𝑡) = 𝜃0cos (𝜔𝑡) (28)
Com isso:
�̇�(𝑡)|�̇�(𝑡)| = −𝜃0𝜔𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)|−𝜃0𝜔𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)| = −𝜃02𝜔2𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)| (29)
É possível ainda escrever a função 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)|, como uma série de Fourier:
𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)| =
8
3𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + ∑
8
𝜋(𝑛 + 2)𝑛(𝑛 − 2)
∞
3,5,…
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔𝑡)
(30)
A expressão acima pode ser aproximada utilizando apenas o primeiro termo da série de
Fourier, e substituindo-o na Equação (29):
18
�̇�(𝑡)|�̇�(𝑡)| ≈ −𝜃0
2𝜔28
3𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) =
8
3𝜋𝜃0𝜔�̇�(𝑡)
(31)
Substituindo (31) na Equação (26), a equação do movimento de roll pode ser
aproximada por:
�̈� + [𝑝1 + 𝑝2
8𝜃0𝜔
3𝜋]�̇� + 𝜔𝑛
2𝜃 = 𝑀(𝑡) (32)
Sendo assim, o termo normalizado do amortecimento equivalente é dado por:
𝑝𝑒 = 𝑝1 + 𝑝2
8𝜃0𝜔
3𝜋= 𝑝1 + 𝑝2
16
3𝑇𝜃0
(33)
Essa linearização do amortecimento de roll será muito importante para as análises
experimentais deste trabalho e que serão descritas no próximo tópico.
2.3 Análise Experimental do Amortecimento de Roll
A análise experimental do amortecimento de roll tem se tornado uma importante
ferramenta para equipes de projeto, tentando otimizar formas, reduzir custos de construção e
operação, reduzir movimentos indesejáveis dentro de um flutuante, etc. Mesmo com o avanço
nos estudos sobre este tema, os ensaios experimentais ainda são utilizados com muita
frequência, apesar dos altos custos.
Assim sendo, para capturar os coeficientes de amortecimento de uma embarcação, é
preciso criar um modelo, ter sistemas de medição de posicionamento, um tanque adequado para
realização dos testes e além disso é necessário saber lidar com os dados fornecidos pelos
sistemas de medição.
Esse tópico tem como objetivo apresentar a maneira como os dados fornecidos pelos
sistemas de medição serão utilizados. Nesse trabalho dois métodos serão utilizados para a
captura dos coeficientes de amortecimento de roll, que são: Método do Decremento
Logarítmico e Método da Energia.
É importante deixar claro que dentro de cada método existem diferentes algoritmos (meio
ciclo, ciclo inteiro, ângulo inicial, ângulo médio, etc.), ou seja, a física utilizada para um método
é a mesma sempre, mas o algoritmo utilizado pode ser diferente. Isso ficará mais claro ao longo
do desenvolvimento de cada método, onde serão abordados os diferentes algoritmos que podem
ser utilizados e qual se adapta melhor aos ensaios deste trabalho.
19
2.3.1 Decremento Logarítmico
O método do decremento logarítmico será um dos métodos utilizados para a obtenção
dos coeficientes de amortecimento não-linear p1 e p2. Para isso será analisada a parte
exponencial da solução do caso linear obtida em (21). Definindo θk como o ângulo de roll no
instante tk e θk+2 como o ângulo de roll no instante tk +Tk, onde Tk é o período de roll amortecido,
então:
𝜃𝑘 = 𝜃(𝑡𝑘) = 𝜃0𝑒−𝑝2𝑡𝑘
(34)
𝜃𝑘+2 = 𝜃(𝑡𝑘+2) = 𝜃0𝑒−𝑝2(𝑡𝑘+𝑇𝑘)
(35)
Dividindo θk por θk+2:
𝜃𝑘𝜃𝑘+2
=𝜃0𝑒
−𝑝2𝑡𝑘
𝜃0𝑒−𝑝2(𝑡𝑘+𝑇𝑘)
= 𝑒𝑝2𝑇𝑘
(36)
Assim é possível definir o decremento logarítmico em cada ciclo como:
𝛿𝑘 = ln (
𝜃𝑘𝜃𝑘+2
) = 𝑙𝑛 (𝑒𝑝2𝑇𝑘) =
𝑝
2𝑇𝑘
(37)
-15
-7,5
0
7,5
15
0 100 200 300 400
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll𝜃0
𝜃2𝜃4 𝜃6 𝜃8
𝜃1𝜃3
𝜃5𝜃7
Tk
𝑇𝑘2
Gráfico 1 - Exemplo decaimento de roll, capturando os valores de θ para o método do decremento logarítmico.
20
Com isso, a partir de um ciclo de uma série experimental, podemos definir o
amortecimento da oscilação a partir do decremento logarítmico. Vale ressaltar que a solução
encontrada para se obter o amortecimento em cada ciclo (37) foi feita através de uma análise
de um amortecimento linear, ou seja, como para este trabalho o amortecimento é considerado
não-linear, o termo ‘p’ deve ser substituído pelo amortecimento equivalente ‘pe’:
𝑝𝑒 =
2𝛿𝑘𝑇𝑘 =
2
Tkln (
𝜃𝑘𝜃𝑘+2
) (38)
E assim o valor de p1 e p2 pode ser obtido utilizando-se as Equações (33) e (38):
𝑝𝑒 =
2𝛿𝑘𝑇𝑘 =
2
Tkln (
𝜃𝑘𝜃𝑘+2
) = 𝑝1 + 𝑝216
3𝑇𝑘𝜃𝑘
(39)
Na Equação (39) é possível notar que o termo θ0 (oriundo da Equação (33)) foi
substituído pelo termo θk, isso ocorre pois agora em cada ciclo do ensaio é como se houvesse
novas condições de contorno, ou seja, a cada novo ciclo o termo do decremento logarítmico e
o ângulo inicial são recalculados. Com isso é possível reescrever a equação do movimento de
roll para o teste de decaimento:
�̈� + [𝑝𝑒(𝜃𝑘)]�̇� + 𝜔𝑛2𝜃 = 0 (40)
Ou ainda:
�̈� + [𝑝1 + 𝑝2
16
3𝑇𝜃𝑘]�̇� + 𝜔𝑛
2𝜃 = 0 (41)
Desse modo, para encontrar os coeficientes p1 e p2 por este método, basta plotar um
gráfico 𝑝𝑒 =2𝛿𝑘
𝑇𝑘 𝑥
16
3𝑇𝜃𝑘 , e ajustar um polinômio de grau 1 (uma reta). O coeficiente angular
da reta ajustada (inclinação) fornecerá o valor do amortecimento quadrático p2 e o coeficiente
linear da reta ajustada (ponto onde a reta corta o eixo das ordenadas) fornecerá o valor do
amortecimento linear p1.
No Gráfico 1 é possível notar uma série de decaimento de roll teórica que foi gerada a
partir de valores de p1 e p2 conhecidos, sendo eles 0.001 e 0.005 respectivamente.
Já no Gráfico 2 o método do decremento logarítmico foi aplicado, plotando os pontos
(2𝛿𝑘
𝑇𝑘 ,16
3𝑇𝜃𝑘) oriundos da série de decaimento teórico do Gráfico 1.
21
É possível notar que os valores obtidos, pelo método do decremento logarítmico, para
os coeficientes de amortecimento p1 e p2 foram 0.001 e 0.005 respectivamente.
Este exemplo mostra que o método do decremento logarítmico é capaz de recuperar os
valores dos coeficientes de amortecimento quando uma série de roll teórica é gerada, no entanto
este método tem um problema intrínseco. Quando o ensaio parte de ângulos pequenos ou chega
no final das oscilações, quantidades pequenas são divididas 𝜃𝑘
𝜃𝑘+2 , estas divisões de pequenos
valores associadas a erros de medição geram dispersão dos pontos do Gráfico 2, e isso acarreta
em dificuldade para se obter de maneira adequada os valores dos coeficientes de
amortecimento.
Agora serão apresentados diferentes algoritmos para o método do decremento
logarítmico. Lembrando que o método é o mesmo, e tem o mesmo objetivo de se obter os
valores de p1 e p2, a diferença ocorre em como os dados são utilizados dentro do método.
Para este método uma diferença importante está relacionada a utilização de um ciclo
inteiro (Tk) para fazer a análise, ou apenas meio ciclo (Tk/2). A utilização de métodos de meio
ciclo é adequada para casos com um grande amortecimento (geralmente cascos com bolina)
e/ou ensaios com pequena aquisição de dados. Para o caso com amortecimentos pequenos
(cascos sem bolinas) as diferenças entre os ângulos extremos (crista e vale) são pequenas e isso
gera incertezas na medição do amortecimento equivalente, sendo assim, para os casos com
amortecimentos pequenos é mais adequado que se utilize um algoritmo de ciclo inteiro para
que a diferença entre os extremos (duas cristas) possa ser capturada e o amortecimento
equivalente seja obtido de maneira mais precisa.
y = 0,0050x + 0,0010R² = 1,0000
0,000
0,004
0,008
0,012
0,016
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
Método do Decremento Logarítimico
𝟏𝟔
𝟑𝑻𝜽𝒌 [grau/s]
Gráfico 2 - Exemplo para obtenção dos valores de p1 e p2 a partir do decremento logarítmico.
22
Para o caso de ciclo inteiro é possível ainda utilizar somente cristas (θ0, θ2, θ4, θ6...),
somente vales (θ1, θ3, θ5, θ7...) ou ainda uma combinação de cristas e vales (θ0, θ2, θ1, θ3, θ4,
θ6...).
É importante deixar claro que a mudança de algoritmo pode acarretar em diferentes
valores de p1 e p2. Apesar do método ser o mesmo, os diferentes algoritmos utilizam pontos
experimentais diferentes e assim o ajuste pode ser diferente.
Para casos teóricos como o exemplo apresentado no Gráfico 2, as diferenças entre os
algoritmos são insignificantes. No entanto, para casos experimentais reais, como pode ser
observado no Gráfico 3 e Gráfico 4, essas diferenças podem ser grandes e isso pode ocorrer
devido as incertezas na medição. Nota-se que no exemplo anterior existe uma grande dispersão
dos pontos quando estamos trabalhando com meio ciclo com ajuste R² muito menor.
Sendo assim, é essencial que o algoritmo seja escolhido a partir do tipo de ensaio e dos
dados obtidos pelo sistema de aquisição, verificando qual deles se adapta melhor aos dados.
-5
-2,5
0
2,5
5
0 100 200 300 400 500
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll - Experimento real
Gráfico 3 - Série de decaimento de roll em experimentos reais.
23
2.3.2 Método da Energia (Froude²)
Uma segunda abordagem para determinar os coeficientes de amortecimento é feita a
partir do balanço energético. Existem diversas propostas baseadas no balanço de energia, mas
nesse trabalho será utilizado o método desenvolvido por Froude em 1872, que diz que a energia
dissipada pelo termo do amortecimento em um ciclo é igual a diferença de energia potencial
nos extremos de um ciclo, uma vez que nestas posições a energia cinética é nula.
Utilizando então o método de Froude, e considerando que o amortecimento é composto
por um termo linear e um termo quadrático, então a equação do movimento para um teste de
decaimento de roll pode ser escrita por:
�̈� + 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�| + 𝜔𝑛2𝜃 = 0 (42)
Realizando o balanço energético, considerando os extremos em um ciclo completo:
∫ [�̈� + 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�| + 𝜔𝑛
2𝜃]𝑑𝜃𝑇
0
= 0 (43)
y = 0,0058x + 0,0005R² = 0,8011
y = 0,0050x + 0,0009R² = 0,2375
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
Método do Decremento Logarítimico
Ciclo inteiro (+)
Meio Ciclo
𝟏𝟔
𝟑𝑻𝜽𝒌 [grau/s]
Gráfico 4 – Exemplo método decremento logarítmico para diferentes algoritmos.
24
Como 𝑑𝜃 = �̇�𝑑𝑡:
∫ [�̈� + 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�|]𝑇
0
�̇�𝑑𝑡 + ∫ 𝜔𝑛2𝜃𝑑𝜃
𝜃𝑘+2
𝜃𝑘
= 0 (44)
Integrando a Equação (44):
∫ �̈��̇�𝑑𝑡𝑇
0
= 0 (45)
∫ 𝑝1�̇��̇�𝑑𝑡𝑇
0
=2𝑝1𝜋
2
𝑇𝜃02
(46)
∫ 𝑝2�̇�|�̇�|�̇�𝑑𝑡𝑇
0
=𝑝232𝜋
2
3𝑇2𝜃03
(47)
∫ 𝜔𝑛
2𝜃𝑑𝜃𝜃𝑘+2
𝜃𝑘
= 𝜔𝑛2 [𝜃𝑘+22
2−𝜃𝑘2
2 ] = 𝜔𝑛
2(𝜃𝑘+2 − 𝜃𝑘)(𝜃𝑘+2 + 𝜃𝑘)
2
(48)
Substituindo as integrais na Equação (44) e rearranjando tem-se:
𝑝12𝜋2
𝑇𝜃02 +
𝑝232𝜋2
3𝑇2𝜃03 = 𝜔𝑛
2(𝜃𝑘+2 − 𝜃𝑘)(𝜃𝑘+2 + 𝜃𝑘)
2
(49)
Assumindo que 𝜔𝑛 =2𝜋
𝑇 , onde T é o período natural, e que a diferença entre duas cristas
é dada por 𝛿𝜃𝑘, então:
𝑝1𝑇
2𝜃02 +
𝑝28
3𝜃03 = 𝛿𝜃𝑘
(𝜃𝑘+2 + 𝜃𝑘)
2
(50)
25
Como observado anteriormente, o valor das condições inicias vão se atualizando a cada
ciclo, sendo assim é possível generalizar a Equação (50) fazendo 𝜃0 =(𝜃𝑘+2+𝜃𝑘)
2= 𝜃𝑚 :
𝛿𝜃𝑘 =
𝑝1𝑇
2𝜃𝑚 +
𝑝28
3𝜃𝑚2
(51)
Com isso uma maneira para se obter os valores de p1 e p2 é plotando um gráfico com os
pontos (𝜃𝑚 , 𝛿𝜃𝑘), onde θm é dado pela média de dois extremos consecutivos em um ciclo e δθk
é dado pela diferença de dois extremos consecutivos em um ciclo. Feito isso, um polinômio de
segundo grau, do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥, deve ser ajustado e os valores dos coeficientes de
amortecimento podem ser obtidos da seguinte maneira:
𝑝1 =
2𝑎
𝑇 ; 𝑝2 =
3𝑏
8
(52)
Retornando para o Gráfico 1, e utilizando o método da energia, vamos tentar recuperar
os valores teóricos de p1 e p2 que foram utilizados para se obter a série de roll. No Gráfico 5 um
polinômio de segundo grau foi ajustado a partir dos extremos da série de decaimento de roll
teórica, obtendo o valor de a = 0.0132 e b = 0.0153. Substituindo os valores de ‘a’ e ‘b’ em (52)
encontra-se o valor de p1 = 0.001 e p2 = 0.005.
Sendo assim, o método da energia também se mostra muito eficaz quando utilizado para
se obter o valor dos coeficientes de amortecimento de uma série de roll. Ao contrário do método
y = 0,0132x2 + 0,0153xR² = 1,0000
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
0,00 4,00 8,00 12,00 16,00
Método a Energia (Froude²)
𝜽𝒎 [grau]
Gráfico 5 - Exemplo para obtenção dos valores de p1 e p2 a partir do Método da Energia (Froude²).
26
do decremento logarítmico, o método da energia é capaz de capturar o valor dos coeficientes
de amortecimento quando o ensaio parte de um ângulo pequeno de roll ou chega nas suas
oscilações finais com ângulos pequenos.
De maneira semelhante ao método do decremento, é possível trabalhar com o método
da energia utilizando um algoritmo de meio ciclo. No entanto os mesmos cuidados devem ser
tomados para não gerar muita dispersão ao analisar um decaimento real.
A análise a partir dos diferentes algoritmos é semelhante ao caso do decremento
logaritmo. Para casos reais e com pequenos amortecimentos (cascos sem bolina), como o
exemplo apresentado no Gráfico 6, o método de ciclo inteiro se torna mais adequado. As
pequenas diferenças que ocorrem entre meio ciclo podem gerar 𝛿𝜃𝑘muito pequenos, fazendo
com que o ajuste fique ruim devido as dispersões que podem ocorrer. Nota-se no ajuste de meio
ciclo do Gráfico 6 que existem pontos muito próximos de zero, indicando que a diferença entre
os ângulos de uma crista e um vale são muito pequenas.
Para casos reais onde o amortecimento é mais acentuado (cascos com bolinas) ou em
ensaios de pequena aquisição de dados, o algoritmo de meio ciclo pode ser utilizado.
2.4 Predição do Amortecimento de Roll
A teoria da predição dos movimentos de uma embarcação é um dos avanços nas pesquisas
relacionadas a hidrodinâmica. Movimentos de heave e pitch podem ser previstos com uma
acurácia razoável sem a necessidade de se realizar testes em modelos.
No entanto, a predição dos movimentos de roll não são tão simples como nos casos
anteriores. Os movimentos de roll são extremamente sensíveis aos efeitos viscosos, que
y = 0,0173x2 + 0,0135xR² = 0,9684
y = 0,0075x2 + 0,0101xR² = 0,7000
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0,350
0,400
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00
Método da Energia (Froude²)
Ciclo Inteiro (+)
Meio Ciclo
𝜽𝒎 [grau]
Gráfico 6 - Exemplo método energia (Froude²) para diferentes algoritmos.
27
induzem separação do escoamento, e além disso é um movimento muito afetado pela presença
de bolinas.
No início dos estudos do movimento de roll sabia-se apenas que o amortecimento de roll
era causado pelos fenômenos do escoamento do fluido, que eram descritos como amortecimento
friccional no casco, desprendimento de vórtices, formação de ondas na superfície, etc. E como
mencionado anteriormente o amortecimento era muito influenciado pela presença de bolinas,
leme e apêndices no casco.
Neste capitulo será apresentado um método de predição do amortecimento de roll que foi
desenvolvido por Ikeda [1]. Para esse método de predição, foi utilizado uma grande variedade
de cascos de embarcações para que a predição pudesse ser comparada e validada.
Inicialmente assumiu-se que o coeficiente de amortecimento de roll para cascos comuns
pode ser dividido em sete componentes, que são elas: Friccional, Vórtices, Lift, Ondas, Força
normal na bolina, Pressão no casco devido a bolina e Ondas devido a bolina. Em termos do
coeficiente equivalente pode ser escrito como:
𝐵𝑒 = 𝐵𝐹 + 𝐵𝐸 + 𝐵𝐿 + 𝐵𝑊 + 𝐵𝐵𝐾𝑁 + 𝐵𝐵𝐾𝐻 + 𝐵𝐵𝐾𝑊 (53)
Os termos devido a bolina podem ser agrupados e a Equação (53) pode ser reescrita como:
𝐵𝑒 = 𝐵𝐹 + 𝐵𝐸 + 𝐵𝐿 + 𝐵𝑊 + 𝐵𝐵𝐾 (54)
Embora os coeficientes sejam aparentemente lineares, os valores podem variar com a
amplitude do movimento de roll (θ) e a frequência (ω). Para esse estudo, os efeitos dos
apêndices não serão considerados, exceto para o caso do leme e das bolinas. Para o caso do
leme, a sua contribuição está incluída na parcela de amortecimento do casco.
No método proposto por Ikeda [1], as interações que ocorrem entre as componentes foram
desprezadas em alguns casos e em outros mensuradas e incluídas dentro de uma das
componentes. Por exemplo:
O amortecimento friccional BF é causado pela interação do casco com o fluido durante o
movimento de roll, e pode ser influenciado pela presença de ondas ou das bolinas.
O amortecimento de vórtices BE é basicamente não-linear, causado pela variação de
pressão no casco nu, excluindo os efeitos das ondas e das bolinas.
Para o amortecimento de ondas BW, que é causado pela formação de ondas na superfície
livre, existe interação com vórtices e com a arrasto, no entanto essas interações são muito
pequenas, permitindo que o amortecimento de ondas seja considerado linear.
Como foi observado anteriormente a parcela de bolinas BBK tem interação com a parcela
de ondas e com o casco que são representadas por BBKW e BBKH respectivamente.
28
Cada uma das componentes tem sua parcela de contribuição no amortecimento de roll,
sendo quase todas da mesma ordem de grandeza (exceto para BF e BBKW), dificultando assim a
predição. Como será detalhado adiante, os termos BL, BW e BBKW são tratados como
amortecimento não viscoso, enquanto que os outros termos têm contribuição viscosa no
amortecimento.
Para a análise das componentes individualmente, o subscrito 0 será utilizado para casos
com velocidade de avanço nula. O sobrescrito ‘ será utilizado para indicar valores no plano
transversal. Além disso, o eixo de rotação (eixo de roll) passa pelo centro de gravidade. A seguir
será feita uma breve descrição das componentes do amortecimento, baseado no método Ikeda
[1].
2.4.1 Amortecimento Friccional (BF)
Para a predição do amortecimento friccional, o efeito das ondas é ignorado e
consideramos o navio com é considerado uma forma equivalente a um corpo simétrico. Em
seguida as leis de escoamento permanente em uma placa foram aplicadas para o movimento de
roll do corpo.
Para a velocidade de avanço nula, foi utilizada a formulação de Blasius para um
escoamento laminar e a formulação de Hughes para escoamento turbulento em um cilindro
circular. Com isso o amortecimento equivalente ficou dado por:
𝐵𝐹0 = 0.787𝜌𝑆𝑟𝑠2√𝜔𝜈⏟
1
{1 + 0.00814 (𝑟𝑠2𝜃2𝜔
𝜈)
0.386
⏟ 2
}
(55)
Onde ρ e ω representam a massa especifica e viscosidade cinemática do fluido. O
primeiro termo da Equação (55) fornece o resultado para o caso de escoamento laminar, que
deve ser usado para o casco nu (sem bolinas) e números de Reynolds correspondentes ao regime
laminar (casco na escala do modelo, por exemplo). A segunda parcela da Equação (55) fornece
a modificação para o caso de escoamento turbulento, e pode ser aplicada para cascos na escala
real, ou bolinas (também na escala real).
29
Os valores de S e rs são adaptados para cascos de navio do tipo convencional e
representam a área molhada e raio de roll respectivamente, e foram definidos como:
𝑆 = 𝐿(1.7𝑑 + 𝐶𝐵𝐵) (56)
𝑟𝑠 =
1
𝜋{(0.887 + 0.145𝐶𝐵)
𝑆
𝐿− 2𝑂𝐺 }
(57)
Os símbolos L, d, B e CB representam o comprimento, calado, boca e coeficiente de bloco
respectivamente. A distância vertical da origem até o centro de gravidade, OG, é medida
considerando o valor positivo para baixo.
Os resultados obtidos pela Equação (55) foram comparados com os resultados obtidos
através da solução da Equação de Stokes para o caso laminar e os resultados ficaram muito
parecidos. Em seguida, Ikeda confirmou a aplicação prática da formulação, fazendo testes em
cilindros bidimensionais com seções semelhantes à de navios.
Na presença de velocidade de avanço, a mesma análise foi utilizada, mas dessa vez com
uma análise mais rigorosa sobre os efeitos tridimensionais no cilindro.
Figura 4 - Componente Friccional do amortecimento de roll. (Fonte: Adaptado de [1])
30
𝐵𝐹 = 𝐵𝐹0 (1 + 4.1
𝑈
𝜔𝐿)
(58)
Onde U representa a velocidade de avanço da embarcação e a constante 4.1 foi obtida
experimentalmente em testes de oscilação de roll com esferoides alongados. O coeficiente BF0
representa o amortecimento friccional com velocidade de avanço nula, que foi obtido
anteriormente. Vale ressaltar que para o caso com velocidade de avanço quando a frequência
tende a zero, a formulação tende a valores infinitos de BF, gerando uma inconsistência nesse
ponto de análise.
Contudo, esse método de previsão do amortecimento friccional pode ser aplicado de
maneira segura a navios reais pois a proporção entre o amortecimento friccional e o
amortecimento total, geralmente é muito pequena. Devido aos efeitos de escala, os valores
observados são inversamente proporcionais a λ0.75, onde λ representa o fator de escala. Com
isso, os valores do amortecimento friccional em um casco real são aproximadamente 20~30
vezes menor que no modelo.
2.4.2 Amortecimento de Vórtices (BE)
O amortecimento por vórtices é escopo principal desse trabalho, tendo em vista que todo
trabalho será desenvolvido para obter resultados desta parcela para navios do tipo FPSO
(Floating Production, Storage and Offloading).
Na ausência de velocidade de avanço, essa componente existe devido a separação do
escoamento no fundo da embarcação, principalmente na região de popa, proa e no raio de bojo
próximo a seção de meia nau. A queda de pressão na região de separação do escoamento dá
origem a esse amortecimento.
Como inicialmente esta parcela de amortecimento era tratada de maneira similar ao
coeficiente de arrasto, e este varia com a amplitude de oscilação, Ikeda investigou se o
coeficiente de amortecimento por vórtices também variava com a amplitude de oscilação. Para
isso, experimentos com cilindros bidimensionais e com seções semelhantes a de navios foram
realizados. Nos testes, o amortecimento por vórtices era medido subtraindo o amortecimento
de ondas e o amortecimento friccional do amortecimento total. Esta mesma abordagem será
usada para tentar caracterizar o amortecimento de vórtices a partir de resultados experimentais
com cascos de FPSOs (velocidade de avanço nula) para condições sem bolina.
Com isso ficou comprovado que o amortecimento por vórtices tem coeficiente constante
no caso de oscilações de roll, conforme observado na Figura 5.
31
Após a realização dos testes experimentais, Ikeda propôs uma formulação para fazer a
predição da parcela de vórtice, essa formulação é escrita em termos de um coeficiente
bidimensional de uma seção do navio, dada por:
𝐵′𝐸0 =
4
3𝜋𝜌𝑑4𝜔𝜃 (
𝑟𝑚𝑎𝑥𝑑)2
. 𝐹 (𝑅
𝑑, 𝐻0, 𝜎,
𝑂𝐺
𝑑) . 𝐶𝑝
(59)
Onde d, rmax, R, H0, σ e OG são respectivamente: calado, máxima distância do ponto G
até a superfície do casco, raio de bojo, metade da razão entre a boca e o calado, coeficiente de
área da seção e distância do ponto O até o ponto G. A função F pode ser determinada pelas
características do casco e o coeficiente Cp pode ser obtido pela máxima taxa relativa de
velocidade no casco. A função F e o coeficiente Cp são obtidos da seguinte maneira:
𝐶𝑝 = 0.5[0.87𝑒−𝛾 − 4𝑒−0.187𝛾 + 3] (60)
𝑓1 = 0.5[1 + 𝑡𝑎𝑛ℎ{20(𝜎 − 0.7)}] (61)
𝑓1 = 0.5[1 − 𝑐𝑜𝑠𝜋𝜎] + 1.5[1 − 𝑒{−5(1−𝜎)}]𝑠𝑒𝑛2𝜋𝜎 (62)
Figura 5 - Parcela de Vórtice do amortecimento de roll para a seção de meia nau CM=0,997. (Fonte: Adaptado de [1])
32
A razão de incremento de velocidade γ pode ser escrita como:
𝛾 =
√𝜋𝑓3
2𝑑 (1 −𝑂𝐺𝑑)√𝐻0
′𝜎′(𝑟𝑚𝑎𝑥 +
2𝑀
𝐻√𝐴2 + 𝐵2)
(63)
Os valores de M, H, H0’, σ’ A, B e rmax são obtidos por:
𝑀 =𝐵
2(1 + 𝑎1 + 𝑎3, 𝐻0
′ =𝐻0
1 −𝑂𝐺𝑑
, 𝜎′ =𝜎 −
𝑂𝐺𝑑
1 −𝑂𝐺𝑑
(64)
𝐻 = 1 + 𝑎12 + 9𝑎3
2 + 2𝑎1(1 − 3𝑎3)cos2ψ − 6a3𝑐𝑜𝑠4𝜓 (65)
𝐴 = −2𝑎3𝑐𝑜𝑠5𝜓 + 𝑎1(1 − 𝑎3)𝑐𝑜𝑠3𝜓 + {(6 − 3𝑎1)𝑎32 + (3𝑎1 + 𝑎1
2)𝑎2 + 𝑎12}𝑐𝑜𝑠𝜓 (66)
𝐵 = −2𝑎3𝑠𝑒𝑛5𝜓 + 𝑎1(1 − 𝑎3)𝑠𝑒𝑛3𝜓 + {(6 − 3𝑎1)𝑎32 + (3𝑎1 + 𝑎1
2)𝑎2 + 𝑎12}𝑠𝑒𝑛𝜓 (67)
𝑟𝑚𝑎𝑥 = 𝑀[{(1 + 𝑎1)𝑠𝑒𝑛𝜓 − 𝑎3𝑠𝑒𝑛3𝜓}
2 + {(1 − 𝑎1)𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑎3𝑐𝑜𝑠3𝜓}2]12
(68)
𝜓 = {
0 = 𝜓1, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑚𝑎𝑥(𝜓1) ≥ 𝑟𝑚𝑎𝑥(𝜓2)
1
2cos−1
𝑎1(1 + 𝑎3)
4𝑎3= 𝜓2, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑚𝑎𝑥(𝜓1) < 𝑟𝑚𝑎𝑥(𝜓2)
(69)
𝑓3 = 1 + 4𝑒{−1.65𝑥105(1−𝜎)2} (70)
Após obter o coeficiente de amortecimento de vórtice bidimensional é necessário integrar
esse coeficiente ao longo do comprimento do navio e assim obter o valor total do coeficiente
de amortecimento de vórtice.
Na presença de velocidade de avanço, os vórtices se afastam do navio ao longo do
escoamento e isso resulta em diminuição do amortecimento não linear. Ikeda realizou testes
para verificar o comportamento desta parcela quando o navio tem velocidade de avanço não
nula e notou que existe uma dependência com a forma do casco, mais precisamente com a razão
de aspecto do casco.
Nos experimentos realizados foi possível observar que o valor de BE tende a um valor
constante para o caso da placa plana, mas que isso depende da razão de aspecto, como
mencionado anteriormente. Para corpos com razão de aspecto semelhantes a de um navio, o
valor de BE tende a zero. O comportamento desta parcela na presença de velocidade de avanço,
para uma placa plana e para um navio, pode ser observado na Figura 6.
33
A partir disso Ikeda propôs a seguinte formulação para a parcela de vórtice na presença
de velocidade de avanço:
𝐵𝐸 = 𝐵𝐸0
0.04𝜔2𝐿2
𝑈2 + 0.04𝜔2𝐿2
(71)
Logo, a parcela de vórtice para um casco sem bolina só prevalece quando a velocidade
de avanço é nula. Na presença de velocidade de avanço essa parcela de amortecimento decresce
rapidamente, podendo até ser desconsiderada para velocidades de avanço elevadas.
2.4.3 Amortecimento de Lift (BL)
Esta parcela do amortecimento só aparece quando o navio tem velocidade de avanço e
com isso uma força lateral age no casco gerando um amortecimento de roll. Para formular o
amortecimento por lift foi utilizado uma abordagem semelhante a utilizada para
Figura 6 - Efeito da velocidade na parcela de vórtice. (Fonte: Adaptado de [1])
34
manobrabilidade de navios, onde o momento de amortecimento causado pelo efeito de lift pode
ser expresso da seguinte maneira:
𝑀𝐿 =
1
2𝜌𝐿𝑑𝑈𝑘𝑁𝑙0𝑙𝑅�̇�
(72)
Onde kN, l0 e lR representam respectivamente, a derivada do coeficiente de lift quando o
casco é rebocado obliquamente, ângulo de incidência no casco e distância do ponto O até o
centro de aplicação da força de lift. O valor de kN pode ser obtido da seguinte maneira:
𝑘𝑁 =
2𝜋𝑑
𝐿+ 𝑘(
4.1𝐵
𝐿− 0.045)
(73)
𝑘 = {0, 𝐶𝑀 ≤ 0.920.1, 0.92 ≤ 𝐶𝑀 ≤ 0.97 0.1, 0.97 ≤ 𝐶𝑀 ≤ 0.99
(74)
Ikeda modificou os valores originais, propondo uma formulação que pudesse se adequar
a casos onde o centro de roll não passe pelo ponto O:
𝐵𝐿 =
1
2𝜌𝐿𝑑𝑈𝑘𝑁𝑙0𝑙𝑅 [1 − 1.4
𝑂𝐺
𝑙𝑅+ 0.7
𝑂𝐺
𝑙0𝑙𝑅]
(75)
Figura 7 - Soma do amortecimento de Vórtice e amortecimento de Lift. (Fonte: Adaptado de [1])
35
Para se obter os valores do amortecimento de lift experimentalmente, modelos foram
rebocados com uma baixa frequência, desprezando assim o amortecimento de ondas como pode
ser observado na Figura 7. Com o amortecimento total em baixas frequências, a parcela
friccional foi subtraída do valor total, restando apenas o amortecimento de lift e de vórtices.
Como observado anteriormente para altas velocidades o valor do amortecimento de vórtices se
torna nulo.
Ikeda concluiu que a componente de lift é linear, independente da frequência e
proporcional a velocidade de avanço, sendo a principal parcela quando em velocidades altas.
Essa proposta não é adequada para casos onde a razão entre o calado e a boca é muito pequena
e condições de lastro.
2.4.4 Amortecimento de Ondas (BW)
Para o caso com velocidade de avanço nula, essa componente pode ser obtida
facilmente, utilizando a teoria das faixas ou resolvendo numericamente o problema de onda
para um casco tridimensional. Pela teoria das faixas, o amortecimento de onda para uma seção
do navio pode ser calculado pela solução do problema de onda bidimensional:
𝐵𝑊0′ = 𝜌𝑁𝑆(𝑙𝑊 − 𝑂𝐺)
2 (77)
𝑙0 = 0.3𝑑 , 𝑙𝑅 = 0.5𝑑 (76)
Figura 8 – Parcela do amortecimento de ondas medida pelo problema da radiação de ondas. (Fonte: Adaptado de [1])
36
Onde NS e lW representam o coeficiente de amortecimento de sway e o braço de alavanca
medido do ponto O até o ponto de aplicação da força de amortecimento de sway
respectivamente.
Embora seja impossível medir o amortecimento de ondas experimentalmente, é possível
relacionar o amortecimento em ondas com a razão onda-amplitude oriundos da radiação. Como
observado na Figura 8, o resultado da formulação proposta se ajusta muito bem ao experimento
realizado. Portanto em casos de velocidade de avanço nula a predição do amortecimento em
ondas pode ser calculada com boa acurácia.
Ao contrário do caso anterior, em presença de velocidade de avanço, grandes
dificuldades são encontradas para tratar do amortecimento de ondas. Ikeda calculou a energia
perdida devido a um dipolo horizontal e comparou com resultados experimentais para placas
planas. A partir dessas análises uma formulação empírica foi feita para se obter o
amortecimento de ondas com velocidade de avanço:
𝐵𝑊𝐵𝑊0
= 0.5[{(𝐴2 + 1) + (𝐴2 − 1) tanh(20𝜏 − 𝑏)} + (2𝐴1 − 𝐴2 − 1)𝑒{−150(𝜏−0.25)^2}] (78)
Onde
𝐴1 = 1 + 𝜉𝑑−1.2𝑒−2𝜉𝑑
𝐴2 = 0.5 + 𝜉𝑑−1𝑒−2𝜉𝑑
𝜉𝑑 =𝜔2𝑑
𝑔 , 𝜏 =
𝑈𝜔
𝑔 }
(79)
Figura 9 - Efeito da velocidade de avanço na componente de ondas. (Fonte: Adaptado de [1])
37
Apesar da boa aderência da predição ao experimento apresentado na Figura 9, essa
proposta tem uma limitação na sua aplicação, não sendo adequada para casos com pequena
razão entre o calado e a boca da embarcação.
2.4.5 Amortecimento de Bolinas (BBK)
Esta parcela do amortecimento aparece apenas em navios que possuem bolinas
instaladas em seu casco e geralmente é a parcela dominante do amortecimento total. Não está
relacionada apenas ao amortecimento que as bolinas geram, mas também com os efeitos da
interação entre bolinas, casco e ondas. Além disso é dependente da amplitude e frequência do
movimento.
Como observado anteriormente o amortecimento de bolinas pode ser divido em três
diferentes partes:
2.4.5.1 Amortecimento Normal na Bolina (BBKN)
Para o cálculo desta parcela de amortecimento, novamente foi utilizada uma analogia
com o coeficiente de arrasto. Dessa maneira, Ikeda incialmente utilizou placas planas para
realizar os experimentos e em seguida ampliou esta análise para cilindros com seção transversal
semelhante à de navios e com a presença de bolinas.
A formulação proposta por Ikeda é dada por:
𝐵𝐵𝐾𝑁0′ =
8
3𝜋𝜌𝑟2𝑏𝐵𝐾
2 𝜔𝑓²{22.5
𝜋𝑓⏟1
+ 2.4𝑟𝜃
𝑏𝐵𝐾⏟ 2
}
(80)
𝑓 = 1 + 0.3𝑒{−160(1−𝜎)} (81)
Onde bBK, r, σ, representam respectivamente a área da bolina, a distância média do ponto
G (centro de gravidade) até a bolina e o coeficiente de área da seção do navio. O termo ‘f’
representa um coeficiente de incremento de velocidade que foi obtido empiricamente.
É possível notar que o primeiro termo da Equação (80) é independente da amplitude do
movimento, apresentando aparentemente um termo linear. De maneira simplificada, uma
parcela do termo não linear é transferida para o termo linear.
Para o caso com velocidade de avanço Yuasa realizou experimentos e propôs a seguinte
formulação:
𝐵𝐵𝐾𝑁 = 𝐵𝐵𝐾𝑁0 +𝜋
2𝜌𝑏𝐵𝐾
2 𝑟²𝑈 (82)
38
Para o caso com velocidade de avanço, nota-se um leve aumento desta parcela em casos
com altas velocidades e uma pequena diminuição quando em velocidades baixas. Com isso,
devido às dificuldades para mensurar a real influência da velocidade nesta parcela, os efeitos
com velocidade de avanço são desprezados.
Na Figura 10 é possível notar que a formulação proposta por Ikeda se ajustou muito bem
aos ensaios realizados em diferentes amplitudes de movimento, comprovando a dependência
desta parcela com a amplitude do movimento, como mencionado anteriormente.
2.4.5.2 Amortecimento de Pressão no Casco devido a Bolina (BBKH)
Essa é uma parcela que corresponde a uma parte do amortecimento de vórtices, devido
a interação entre o casco e a bolina, no entanto Ikeda propôs calcular esses efeitos
separadamente. Essa parcela tem grande importância pois ela altera a distribuição de pressão
no casco na região próximo a bolina.
Ikeda inicialmente realizou experimentos na ausência de velocidade de avanço para
verificar a distribuição de pressão no casco devido a presença da bolina, e assim propôs a
seguinte formulação:
Figura 10 - Componente de amortecimento devido a força normal na bolina. (Fonte: Adaptado de [1])
39
𝐵𝐵𝐾𝐻0 =
4
3𝜋𝜌𝑟²𝑑²𝜔𝜃𝑓²𝐼
(83)
𝐼 =
1
𝑑²∫𝐶𝑝𝑙0𝑑𝑆
(84)
Onde Cp representa o coeficiente de pressão, l0 o braço de alavanca em relação ao centro
de rotação. O valor da integral na Equação (84) é determinada em função do formato do casco
e do parâmetro de período de movimento. Essa integral pode incluir não somente os termos não
lineares de segunda ordem, mas também termos de ordens maiores, que podem contribuir, mas
de maneira muito pequena.
Devido as dificuldades de medir a influência desta parcela separadamente, esse
amortecimento foi obtido retirando-se a parcela de ondas, e assim o resultado obtido é composto
pela parcela BBKH e BBKN juntas e que foram comparadas com os resultados experimentais como
pode ser observado na Figura 11.
Estudos com velocidade de avanço para essa parcela não foram realizados, mas por
analogia ao caso da força normal, assume-se que o amortecimento irá reduzir um pouco.
Figura 11 - Efeito da bolina no amortecimento de roll. (Fonte: Adaptado de [1])
40
2.4.5.3 Amortecimento de Ondas devido a Bolina (BBKW)
Essa parcela do amortecimento é causada pela geração de ondas devido a presença da
bolina. Takaki realizou experimentos em busca de resultados para essa componente, e
encontrou que os valores para a teoria linear se adequam aos experimentos em casos de
pequenas oscilações. Para experimentos realizados com grandes amplitudes de movimento os
resultados experimentais não são bem representados, e isso ocorre devido aos efeitos não
lineares.
Portanto para casos com bolina 60 a 80 vezes menor que a boca da embarcação, o efeito
de ondas devido a presença de bolina pode ser desprezado, pois as contribuições são muito
inferiores aos efeitos de amortecimento viscoso gerado pela bolina.
Logo, concluímos que a parcela de amortecimento correspondente a bolina é composta
apenas pelas duas parcelas mencionadas anteriormente.
2.4.6 Amortecimento total
Com isso para se obter o amortecimento total basta somar todas as parcelas de
amortecimento explicitadas anteriormente como na Equação (54).
41
3 Proposta de Trabalho
Como este trabalho tem o objetivo principal de verificar a parcela de vórtices do
amortecimento de roll em um FPSO, o mesmo processo adotado por Ikeda [1] será utilizado.
A partir dos ensaios realizados no Laboratório de Tecnologia Oceânica – LabOceano, com
modelos sem velocidade de avanço e sem bolinas, os coeficientes de amortecimento total serão
obtidos a partir do método da energia e do método do decremento logarítmico, como
apresentado em 2.3.
Após isso, a parcelas friccional será calculada como apresentado no capítulo 2.4.1. Já a
parcela de ondas será calculada pela teoria potencial, usando o método dos painéis (WAMIT),
a partir dos modelos computacionais dos respectivos cascos.
Com o amortecimento total estimado a partir dos experimentos (testes de decaimento), as
parcelas friccional e de ondas serão descontadas, restando apenas a parcela de vórtices. Com a
parcela de vórtices ‘empírica’ iremos comparar com a parcela de vórtice calculada de acordo
com a metodologia descrita na seção 2.4.2, verificando assim se existe uma boa predição do
método Ikeda para um casco do tipo FPSO. Ou seja:
𝐵𝑉ó𝑟𝑡 𝐸𝑚𝑝í𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝐵𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙⏟ 𝑂𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
−𝐵𝐹𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙⏞ 𝑃𝑟𝑒𝑑𝑖çã𝑜 𝐼𝑘𝑒𝑑𝑎
−𝐵𝑂𝑛𝑑𝑎𝑠⏞ 𝑊𝐴𝑀𝐼𝑇
(85)
O amortecimento total experimental é obtido através da linearização dos coeficientes p1
e p2 obtidos através dos métodos experimentais. A linearização é feita a partir da Equação (33),
que foi obtida para o amortecimento.
42
4 Resultados
Neste capitulo as características e resultados dos modelos serão explicitadas. Os modelos
utilizados foram devidamente calibrados no LabOceano e testes de decaimento foram
realizados para que os movimentos angulares de roll pudessem ser capturados e analisados.
Dois cascos distintos de FPSO serão analisados nesse trabalho. O casco A representa os
novos modelos de FPSO, que são projetados para a exploração de petróleo no mar. O casco B
representa os modelos antigos de FPSO, que foram convertidos a partir de navios tanques e,
portanto, tem forma completamente diferente dos cascos ‘nova construção’.
Neste ponto é importante ressaltar as ferramentas utilizadas para este trabalho. Alguns
códigos foram desenvolvidos em parceria entre LabOceano (COPPE-UFRJ), CENPES e
TecGraf para:
Análise dos experimentos de decaimento (DampFit);
Análise da predição Ikeda (WMG – Ikeda).
Além disso, programas já consolidados para geração de malha (MG) e cálculo de
estabilidade (SSTAB) foram utilizados neste trabalho.
43
4.1 Casco A
Representa os novos modelos de FPSO’s, que são projetados, por exemplo, para operar
no pré-sal.
As dimensões principais são dadas por:
Casco A
Loa [m] 322.0
Lpp [m] 320.0
B [m] 54.3
T [m] 21.6
Deslocamento [ton] 327936.0
GM [m] 2.8
KG [m] 20.3
KM [m] 23.1
Cb 0.85
Cm 0.99
Área molhada 28051.8
A44 [ton.m²] 33906048.1
Ixx [ton.m²] 157584129.2
Período Natural [s] 29.1
Figura 12 - Modelo FPSO nova construção. (Fonte: LabOceano-Cenpes)
Tabela 1 - Dados Casco A. (Fonte: LabOceano –Cenpes)
44
Este modelo foi preparado no LabOceano e ensaios de decaimento para três diferentes
ângulos iniciais foram realizados:
Ângulo Inicial 5°:
A partir do ensaio de decaimento apresentado na Figura 13, o Método do Decremento
Logarítmico e Método da Energia foram utilizados para calcular o valor de p1 e p2:
-5,00
-2,50
0,00
2,50
5,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Figura 13 - Decaimento de Roll com ângulo inicial de 5°. (Fonte:LabOceano – Cenpes).
y = 0,3283x + 0,0005R² = 0,7491
0,0000
0,0030
0,0060
0,0000 0,0075 0,0150
Decremento Logarítimico
𝟏𝟔
𝟑𝑻𝜽𝒌 [°/s]
Figura 14 - Método decremento logarítmico ensaio 5°.
45
Ângulo Inicial 10°:
-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
y = 0,9731x2 + 0,0017xR² = 0,9572
0,0000
0,0030
0,0060
0,0000 0,0400 0,0800
Método Energia (Froude²)
𝜽𝒎 [°]
Figura 15 - Método energia (Froude²) ensaio 5°.
Figura 16 - Decaimento de Roll com ângulo inicial de 10°. (Fonte:LabOceano – Cenpes).
46
A partir do ensaio de decaimento apresentado na Figura 16, o Método do Decremento
Logarítmico e Método da Energia foram utilizados para calcular o valor de p1 e p2:
Figura 18 - Método energia (Froude²) ensaio 10°.
y = 0,3368x + 0,0004R² = 0,7764
0,0000
0,0040
0,0080
0,0000 0,0100 0,0200
Decremento Logarítmico
𝟏𝟔
𝟑𝑻𝜽𝒌 [°/s]
Figura 17 - Método decremento logarítmico ensaio 10°.
y = 0,9707x2 + 0,0017xR² = 0,9699
0,0000
0,0050
0,0100
0,0000 0,0600 0,1200
Método Energia (Froude²)
𝜽𝒎 [°]
47
Ângulo Inicial 15°:
A partir do ensaio de decaimento apresentado na Figura 19, o Método do Decremento
Logarítmico e Método da Energia Foram utilizados para calcular o valor de p1 e p2:
-15,00
-7,50
0,00
7,50
15,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Figura 19 - Decaimento de Roll com ângulo inicial de 15°. (Fonte:LabOceano – Cenpes).
y = 0,3338x + 0,0004R² = 0,7702
0,0000
0,0045
0,0090
0,0000 0,0125 0,0250
Decremento Logarítmico
𝟏𝟔
𝟑𝑻𝜽𝒌 [°/s]
Figura 20 - Método decremento logarítmico ensaio 15°.
48
Com os ajustes realizados pelos algoritmos experimentais citados acima, os coeficientes
de amortecimento total para o ensaio são:
Tabela 2 - Resumo Coeficientes de Amortecimento e Ajuste R².
5° 10° 15°
Decremento Logarítmico
Energia (Froude²)
Decremento Logarítmico
Energia (Froude²)
Decremento Logarítmico
Energia (Froude²)
p1 [1/s] 0.0005 0.00051 0.0004 0.0001 0.0004 0.0001
p2 [1/rad] 0.3283 0.3649 0.3368 0.3640 0.3338 0.3518
B1 [ton.m²/s 22907.2 88468.5 81191.8 22485.8 71617.3 25999.6
B2 [ton.m²/rad²] 62872161.4 69874358.8 64489870.4 69707475.1 63913868.0 67360547.5
R² 0.7491 0.9572 0.7764 0.9699 0.7702 0.9781
Como pode ser observado na Tabela 2, os valores obtidos pelo método do decremento
logarítmico não possuem um bom ajuste aos pontos experimentais (R² inferior a 0.8). Isso
ocorre devido a dispersão dos pontos experimentais que principalmente no final das oscilações
e pode ser observado na Figura 14, Figura 17 e Figura 20.
Para os valores obtidos pelo método da energia, é possível notar um bom ajuste aos
pontos experimentais, com valores R² bem próximos a 1. Mais à frente vamos verificar os
valores do amortecimento em relação a serie temporal.
y = 0,9381x2 + 0,0019xR² = 0,9781
0,0000
0,0080
0,0160
0,0000 0,0700 0,1400
Método Energia (Froude²)
𝜽𝒎 [°]
Figura 21 - Método energia (Froude²) ensaio 15°.
49
Com o amortecimento total capturado experimentalmente, o próximo passo é realizar a
predição a partir do método apresentado na seção 2.4. Para o cálculo das parcelas do método de
predição, o programa desenvolvido pela TecGraf foi utilizado.
Como o método de predição não depende do ângulo inicial, o mesmo resultado foi
obtido para os três ângulos iniciais utilizados no Casco A.
No Gráfico 7 é possível notar que as componentes friccional e de ondas obtidas são
praticamente invariáveis com a amplitude de movimento e que seus valores são muito inferiores
a parcela de vórtice.
A partir da predição das componentes do amortecimento de roll é possível obter o valor
do amortecimento total e em seguida ajustar uma reta para se obter o valor do coeficiente de
amortecimento linear (B1) e do coeficiente de amortecimento não linear (B2). O valor total do
amortecimento pode ser observado no Gráfico 7.
Predição Amortecimento
p1 [1/s] 0.00004
p2 [1/rad] 0.14492
B1 [ton.m²/s 7951.4
B2 [ton.m²/rad²] 27749932.2
0,0
1,0
2,0
0 5 10 15 20 25
B [
ton
.m²/
s]
10⁶
Angulo [°]
Predição Amortecimento de Roll
B Friccional
B Ondas
B Vórtices
B Total
Gráfico 7 - Componentes obtidas através da predição do amortecimento de roll.
Tabela 3 - Coeficientes de Amortecimento Predição Ikeda.
50
Com o valor dos coeficientes de amortecimento para o método do decremento, da
energia e pela predição, vamos agora substituir os valores obtidos na Equação do Movimento e
verificar se a série temporal gerada por esses coeficientes estão compatíveis com o valor obtido
no ensaio para cada ângulo inicial.
Ângulo Inicial 5°:
-5,00
-2,50
0,00
2,50
5,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Decremento Logarítmico
-5,00
-2,50
0,00
2,50
5,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Método Energia (Froude²)
Figura 22 - Experimento vs. Decremento Logaritimico.
Figura 23 - Experimento vs. Método da Energia (Froude²).
51
Ângulo Inicial 10°:
-5,00
-2,50
0,00
2,50
5,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Predição Ikeda
Figura 24 - Experimento vs. Predição Ikeda.
-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Decremento Logarítmico
Figura 25 - Experimento vs. Decremento Logarítmico.
52
Figura 26 - Experimento vs. Método Energia (Froude²).
Figura 27 - Experimento vs. Predição Ikeda.
-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Método da Energia (Froude²)
-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Predição Ikeda
53
Ângulo Inicial 15°:
-15,00
-7,50
0,00
7,50
15,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Decremento Logarítmico
Figura 28 - Experimento vs. Método Decremento Logarítmico.
-15,00
-7,50
0,00
7,50
15,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Método da Energia (Froude²)
Figura 29 - Experimento vs. Método da Energia (Froude²).
54
-15,00
-7,50
0,00
7,50
15,00
0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Predição Ikeda
Figura 30 - Experimento vs. Predição Ikeda.
55
Tabela 4 - Resumo dos erros nas séries temporais de decaimento de roll.
5° 10° 15°
Decremento Logarítmico
Energia (Froude²)
Predição Ikeda
Decremento Logarítmico
Energia (Froude²)
Predição Ikeda
Decremento Logarítmico
Energia (Froude²)
Predição Ikeda
Erro 0.1274 0.1268 0.6215 0.1525 0.1344 1.3182 0.3401 0.3176 1.8501
Erro % 3% 3% 12% 2% 1% 13% 2% 2% 12%
Como é possível observar na Tabela 4 os coeficientes capturados pelos métodos
experimentais estão reproduzindo adequadamente os decaimentos, com erros inferiores a 3%.
Ao contrário dos métodos experimentais, os coeficientes obtidos pela predição não estão
reproduzindo os ensaios de decaimento adequadamente, gerando erros de até 13%.
Analisando o amortecimento total em função da amplitude do movimento, é possível
notar que a predição realizada está subestimando os valores do amortecimento, principalmente
para amplitudes de movimento maiores. Esse comportamento independe do ângulo inicial do
decaimento e pode ser observado na Figura 31, Figura 32 e Figura 33.
0,0
0,6
1,2
0 1 2 3 4 5 6 7
B T
ota
l [t
on
.m²/
s]
10⁶
Angulo [°]
Amortecimento Total - Ângulo Inicial 5°
Predição Ikeda Método Decremento - Experimental Método Energia - Experimental
Figura 31 - Amortecimento total em função da amplitude de movimento.
56
Como observado nos gráficos e tabelas apresentados anteriormente, apesar dos valores
de B1 e B2 capturados pelos métodos do decremento e da energia terem valores absolutos
diferentes, ambos reproduzem o amortecimento total de maneira similar. O método da energia
se mostrou um pouco mais eficiente em relação ao método do decremento logarítmico, para os
experimentos desse casco, com diferenças em torno de 0,2% entre os métodos experimentais.
Tendo a certeza de que os valores do amortecimento obtidos através dos experimentos
estão corretos, vamos agora investigar a parcela de vórtice. Esta parcela será calculada
0,0
1,3
2,5
0 2 4 6 8 10 12
B T
ota
l [t
on
.m²/
s]
10⁶
Angulo [°]
Amortecimento Total - Ângulo Inicial 10°
Predição Ikeda Método Decremento - Experimental Método da Energia - Experimental
Figura 32 – Amortecimento total em função da amplitude de movimento.
0,0
2,5
5,0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
B T
ota
l [t
on
.m²/
s]
10⁶
Angulo [°]
Amortecimento Total - Ângulo Inicial 15°
Predição Ikeda Método Decremento - Experimental Método Energia - Experimental
Figura 33 - Amortecimento total em função da amplitude de movimento.
57
subtraindo as parcelas friccional e de ondas para cada ângulo de roll, como apresentado na
Equação (85).
A seguir o procedimento para se obter a parcela de vórtice empiricamente será
demonstrado através da Tabela 5 para o caso com amplitude inicial igual a 5° e extrapolando
os resultados até uma amplitude de 20° e utilizando o amortecimento total obtido através do
método do decremento logarítmico.
Para os casos com amplitude inicial de 10° e 15° o mesmo procedimento foi adotado,
portanto apenas os gráficos serão apresentados.
58
Angle [°] B Total B waves (Predição) B Fric (Predição) B eddy (Empirico)
2 490584.1 356.6 7594.7 482632.7
2.5 591113.0 356.6 7594.7 583161.6
3 691641.9 356.6 7594.7 683690.5
3.5 792170.8 356.6 7594.7 784219.4
4 892699.7 356.6 7594.7 884748.3
4.5 993228.6 356.6 7594.7 985277.2
5 1093757.5 356.6 7594.7 1085806.1
5.5 1194286.4 356.6 7594.7 1186335.0
6 1294815.3 356.6 7594.7 1286863.9
6.5 1395344.2 356.6 7594.7 1387392.8
7 1495873.1 356.6 7594.7 1487921.8
7.5 1596402.0 356.6 7594.7 1588450.7
8 1696930.9 356.6 7594.7 1688979.6
8.5 1797459.9 356.6 7594.7 1789508.5
9 1897988.8 356.6 7594.7 1890037.4
9.5 1998517.7 356.6 7594.7 1990566.3
10 2099046.6 356.6 7594.7 2091095.2
10.5 2199575.5 356.6 7594.7 2191624.1
11 2300104.4 356.6 7594.7 2292153.0
11.5 2400633.3 356.6 7594.7 2392681.9
12 2501162.2 356.6 7594.7 2493210.8
12.5 2601691.1 356.6 7594.7 2593739.7
13 2702220.0 356.6 7594.7 2694268.6
13.5 2802748.9 356.6 7594.7 2794797.5
14 2903277.8 356.6 7594.7 2895326.4
14.5 3003806.7 356.6 7594.7 2995855.3
15 3104335.6 356.6 7594.7 3096384.2
15.5 3204864.5 356.6 7594.7 3196913.1
16 3305393.4 356.6 7594.7 3297442.1
16.5 3405922.3 356.6 7594.7 3397971.0
17 3506451.2 356.6 7594.7 3498499.9
17.5 3606980.2 356.6 7594.7 3599028.8
18 3707509.1 356.6 7594.7 3699557.7
18.5 3808038.0 356.6 7594.7 3800086.6
19 3908566.9 356.6 7594.7 3900615.5
19.5 4009095.8 356.6 7594.7 4001144.4
20 4109624.7 356.6 7594.7 4101673.3
B Total obtido pelo Decremento Logarítmico [ton.m²/s]
Tabela 5 - Cálculo da Parcela de Vórtice Empírica.
59
Comparando os valores obtidos, temos:
Figura 35 - Parcela de Vórtice - Empírico vs. Predição Ikeda - Amplitude Inicial 10°.
0,0
2,5
5,0
0 5 10 15 20
B V
órt
ice
s[t
on
.m²/
s]
10⁶
Angulo [°]
Parcela de Vórtice Empírico - MétodoDecremento (FaixaExperimental)
Empírico - MétodoDecremento (FaixaExtrapolada)
Empírico - MétodoEnergia (FaixaExperimental)
Empírico - MétodoEnergia (FaixaExtrapolada)
Predição Ikeda
Figura 34 - Parcela de Vórtice - Empírico vs. Predição Ikeda - Amplitude Inicial 5°.
0,0
2,5
5,0
0 5 10 15 20
B V
órt
ice
s[t
on
.m²/
s]
10⁶
Angulo [°]
Parcela de Vórtice Empírico - MétodoDecremento (FaixaExperimental)
Empírico - MétodoDecremento (FaixaExtrapolada)
Empírico - MétodoEnergia (FaixaExperimental)
Empírico - MétodoEnergia (FaixaExtrapolada)
Predição Ikeda
60
Como é possível observar na Tabela 5, as parcelas friccional e de ondas tem uma
contribuição muito pequena em relação ao amortecimento total, fazendo com que o
amortecimento total seja composto quase que inteiramente pelo amortecimento de vórtices.
Com o aumento da amplitude de movimento a parcela de vórtice tende a aumentar ainda mais,
prejudicando a predição pelos métodos citados no capítulo 2.4.
Com os resultados obtidos e analisando a série temporal de roll é possível observar que
os coeficientes obtidos pela predição não estavam sendo capazes de amortecer o decaimento
comparando com a série de decaimento experimental. Isso ocorreu pois a parcela de vórtices
está com sua predição comprometida através do método Ikeda, como é possível observar nas
figuras Figura 34, Figura 35 e Figura 36. Esses resultados estão de acordo com os resultados
obtidos por Chakrabarti [2], onde foi comprovado que barcaças que possuem entradas na popa
e na proa e com grande coeficiente de seção de meia nau, não se adequam ao método de predição
proposto originalmente por Ikeda. Isso ocorre, pois, esse tipo de casco tem uma liberação de
vórtices muito acentuada nas regiões de popa e proa, o que não foi previsto no método Ikeda
pois cascos do tipo barcaça não foram utilizados na formulação original do método.
Recentemente em 2002, Ikeda [8] propôs também uma alteração na predição da parcela
de vórtices para barcaças, tendo em vista que a interação entre a parcela de vórtices e a
superfície livre estava sendo negligenciada e com isso o método estava subestimando os valores
da parcela de vórtices.
0,0
2,5
5,0
0 5 10 15 20
B V
órt
ice
s[t
on
.m²/
s]
10⁶
Angulo [°]
Parcela de VórticeEmpírico - MétodoDecremento (FaixaExperimental)
Empírico - MétodoDecremento (FaixaExtrapolada)
Empírico - MétodoEnergia (FaixaExperimental)
Empírico - MétodoEnergia (FaixaExtrapolada)
Predição Ikeda
Figura 36 - Parcela de Vórtice - Empírico vs. Predição Ikeda - Amplitude Inicial 15°.
61
4.2 Casco B
Representa os modelos convencionais de FPSO’s, que foram convertidos a partir de
navios tanques.
As dimensões principais são:
Tabela 6 - Dados Casco B. (Fonte: LabOceano –Cenpes)
Casco B
Loa [m] 337.1
Lpp [m] 320.0
B [m] 54.5
T [m] 18.4
Deslocamento [ton] 266501.2
GM [m] 8.7
KG [m] 13.8
KM [m] 22.5
Cb 0.79
Cm 0.99
Área molhada 26037.9
A44 [ton.m²] 25570181.3
Ixx [ton.m²] 97319904.0
Período Natural [s] 14.6
Figura 37 - Modelo FPSO convencional. (Fonte: LabOceano-Cenpes)
62
Este modelo foi preparado no LabOceano e ensaios de decaimento para três diferentes
ângulos iniciais foram realizados:
Ângulo Inicial 10°:
A partir do ensaio de decaimento apresentado na Figura 38, iremos aplicar o Método da
Energia para calcularmos o valor de p1 e p2. Como os métodos recuperam de maneira adequada
os valores dos coeficientes de amortecimento no exemplo apresentado no capítulo anterior, para
o caso do casco B iremos utilizar apenas o Método da Energia, que apresentou resultados
levemente melhores:
-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,00
0,00 100,00 200,00 300,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Figura 38 - - Decaimento de Roll com ângulo inicial de 10°. (Fonte:LabOceano – Cenpes).
y = 0,7080x2 + 0,0437xR² = 0,9726
0,0000
0,0125
0,0250
0,0000 0,0800 0,1600
Método da Energia (Froude²)
𝜽𝒎 [°]
Figura 39 - Método energia (Froude²) ensaio 10°.
63
Ângulo inicial 20°:
A partir do ensaio de decaimento apresentado na Figura 40, iremos aplicar o Método da
Energia para calcularmos o valor de p1 e p2:
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
0,00 100,00 200,00 300,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Figura 40 - Decaimento de Roll com ângulo inicial de 20°. (Fonte:LabOceano – Cenpes).
y = 0,8871x2 + 0,0246xR² = 0,9835
0,0000
0,0225
0,0450
0,0000 0,1250 0,2500
Método da Energia (Froude²)
𝜽𝒎 [°]
Figura 41 - Método energia (Froude²) ensaio 20°.
64
Com o ajuste realizado pelo método da energia, os coeficientes de amortecimento total
para o ensaio são:
Tabela 7 - Resumo Coeficientes de Amortecimento e Ajuste R².
10° 20°
Energia (Froude²)
p1 [1/s] 0.0060 0.0034
p2 [1/rad] 0.2655 0.3326
B1 [ton.m²/s 733815.5 417274.0
B2 [ton.m²/rad²] 32625243.9 40878711.0
R² 0.9726 0.9835
Como é possível observar na Tabela 7, novamente o método da energia se adaptou muito
bem aos valores experimentais, com ajuste R² próximo a 1. Seguindo a mesma tendência do
Casco A, constata-se que o valor do ajuste R² melhora com o aumento da amplitude inicial de
movimento.
Com o amortecimento total capturado experimentalmente, o próximo passo é realizar a
predição a partir do método apresentado na seção 2.4.
65
Para o cálculo das parcelas do método de predição, o programa desenvolvido pela
TecGraf foi utilizado novamente. Como o método de predição não depende do ângulo inicial,
o mesmo resultado foi obtido para os dois ângulos iniciais utilizados no Casco B.
No Gráfico 8 é possível notar que as componentes friccional e de ondas obtidas são
invariáveis com a amplitude de movimento e que ao contrário do casco anterior, a parcela de
ondas é muito grande, sendo neste caso a maior contribuição para o amortecimento total. Tal
diferença pode ser explicada pelos diferentes períodos naturais de oscilação e forma do casco.
A partir da predição das componentes do amortecimento de roll é possível obter o valor
do amortecimento total e em seguida ajustar uma reta para se obter o valor do coeficiente de
amortecimento linear (B1) e do coeficiente de amortecimento não linear (B2). O valor total do
amortecimento pode ser observado no Gráfico 8.
Tabela 8 - Coeficientes de Amortecimento Predição Ikeda.
Predição Amortecimento
p1 [1/s] 0.01559
p2 [1/rad] 0.08491
B1 [ton.m²/s 1916345.1
B2 [ton.m²/rad²] 10435154.9
Com o valor dos coeficientes de amortecimento para o Método da energia e pela
predição, vamos agora substituir os valores obtidos na Equação do Movimento e verificar se a
série temporal gerada por esses coeficientes estão compatíveis com o valor obtido no ensaio
para cada ângulo inicial.
0,0
2,0
4,0
0 5 10 15 20 25
B [
ton
.m²/
s]
10⁶
Angulo [°]
Predição Amortecimento de Roll
B Friccional
B Ondas
B Vórtices
B Total
Gráfico 8 - Componentes obtidas através da predição do amortecimento de roll.
66
Ângulo Inicial 10°:
-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,00
0,00 100,00 200,00 300,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Método da Energia (Froude²)
Figura 42 – Experimento vs. Método da Energia (Froude²).
-10,00
-5,00
0,00
5,00
10,00
0,00 100,00 200,00 300,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Predição Ikeda
Figura 43 – Experimento vs. Predição Ikeda.
67
Ângulo Inicial 20°:
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
0,00 100,00 200,00 300,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Método Energia (Froude²)
Figura 44 – Experimento vs. Método da Energia.
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
0,00 100,00 200,00 300,00
Ân
gulo
de
RO
LL [
°]
Tempo [s]
Decaimento de Roll
Experimento Predição Ikeda
Figura 45 – Experimento vs. Predição Ikeda.
68
Tabela 9 - Resumo dos erros nas séries temporais de decaimento de roll.
10° 20°
Energia (Froude²)
Predição Ikeda
Energia (Froude²)
Predição Ikeda
Erro 0.1976 0.4757 0.3118 0.7010 Erro
% 2.0% 4.8% 1.6% 3.5%
Como observado na Tabela 9, novamente o algoritmo de análise experimental consegue
capturar os coeficientes de amortecimento de maneira eficiente para os dois valores de ângulo
inicial.
Ao contrário do casco anterior, esse casco tem uma predição do amortecimento total
mais compatível com o ensaio, gerando menores erros. No entanto, para o experimento
realizado com ângulo inicial de 10° a predição tem uma boa aderência ao ensaio para os ângulos
iniciais, mas ao longo do decaimento a predição começa a amortecer mais do que o ensaio. Para
o experimento realizado com ângulo inicial de 20° o comportamento é contrário, com uma
aderência não muito boa no início do decaimento, mas ao longo do ensaio a série temporal se
ajusta melhor a amplitude de movimento.
Na Figura 46 o comportamento do amortecimento total em função da amplitude de
movimento é apresentado, e nota-se que para pequenas amplitudes o amortecimento total obtido
pela predição está superestimado e quando se aproxima do ângulo inicial de 10° os valores do
amortecimento se igualam, tal fato pode ser observado também na série temporal da Figura 43.
0,0
1,5
3,0
0 2 4 6 8 10 12
BTo
tal [
ton
.m²/
s]
10⁶
Angulo [°]
Amortecimento Total - Ângulo Inicial 10°
Predição Ikeda Método Energia - Experimental
Figura 46 - Amortecimento total em função da amplitude de movimento.
69
Para o experimento com ângulo inicial de 20° é possível observar a mesma tendência
para os ângulos menores (amortecimento superestimado), mas o contrário é observado para
ângulos maiores. Nesse caso o valor do amortecimento é subestimado para ângulos maiores,
como pode ser observado na Figura 47 e na série temporal da Figura 45.
Vamos agora analisar a parcela de vórtice deste caso, aplicando assim a mesma
metodologia utilizada anteriormente. A partir do amortecimento total experimental (obtido pelo
método da energia), vamos subtrair a parcela friccional e a parcela de ondas, que foram
calculadas pela predição do método Ikeda.
Como o comportamento para os ângulos iniciais de 10° e 20° são semelhantes, apenas
o cálculo para o ângulo de 20° será apresentado na Tabela 10.
0,0
3,0
6,0
0 5 10 15 20 25
B T
ota
l[t
on
.m²/
s]
10⁶
Angulo [°]
Amortecimento Total - Ângulo Inicial 20°
Predição Ikeda Método Energia - Experimental
Figura 47 - Amortecimento total em função da amplitude de movimento.
70
Ângulo [°] B Total (Empírico) B Ondas (Predição) B Fric (Predição) B eddy (Empirico)
2 1079922.5 1909872.7 6472.4 -836422.6
2.5 1215061.9 1909872.7 6472.4 -701283.2
3 1350201.4 1909872.7 6472.4 -566143.7
3.5 1485340.9 1909872.7 6472.4 -431004.2
4 1620480.4 1909872.7 6472.4 -295864.7
4.5 1755619.8 1909872.7 6472.4 -160725.3
5 1890759.3 1909872.7 6472.4 -25585.8
5.5 2025898.8 1909872.7 6472.4 109553.7
6 2161038.2 1909872.7 6472.4 244693.1
6.5 2296177.7 1909872.7 6472.4 379832.6
7 2431317.2 1909872.7 6472.4 514972.1
7.5 2566456.7 1909872.7 6472.4 650111.6
8 2701596.1 1909872.7 6472.4 785251.0
8.5 2836735.6 1909872.7 6472.4 920390.5
9 2971875.1 1909872.7 6472.4 1055530.0
9.5 3107014.5 1909872.7 6472.4 1190669.4
10 3242154.0 1909872.7 6472.4 1325808.9
10.5 3377293.5 1909872.7 6472.4 1460948.4
11 3512432.9 1909872.7 6472.4 1596087.9
11.5 3647572.4 1909872.7 6472.4 1731227.3
12 3782711.9 1909872.7 6472.4 1866366.8
12.5 3917851.4 1909872.7 6472.4 2001506.3
13 4052990.8 1909872.7 6472.4 2136645.7
13.5 4188130.3 1909872.7 6472.4 2271785.2
14 4323269.8 1909872.7 6472.4 2406924.7
14.5 4458409.2 1909872.7 6472.4 2542064.2
15 4593548.7 1909872.7 6472.4 2677203.6
15.5 4728688.2 1909872.7 6472.4 2812343.1
16 4863827.7 1909872.7 6472.4 2947482.6
16.5 4998967.1 1909872.7 6472.4 3082622.0
17 5134106.6 1909872.7 6472.4 3217761.5
17.5 5269246.1 1909872.7 6472.4 3352901.0
18 5404385.5 1909872.7 6472.4 3488040.5
18.5 5539525.0 1909872.7 6472.4 3623179.9
19 5674664.5 1909872.7 6472.4 3758319.4
19.5 5809804.0 1909872.7 6472.4 3893458.9
20 5944943.4 1909872.7 6472.4 4028598.3
RESULTADOS ENSAIO
Tabela 10 - Cálculo da parcela de vórtices empírica.
71
Na Tabela 10 e Figura 48 observa-se que a parcela de vórtice empírico tem valores
negativos para amplitudes de até 5°. Este não é um fato físico, pois uma parcela de
amortecimento não pode ser negativa. Tal fato ocorre, pois, a parcela de ondas estimada
numericamente tem valores muito elevados, sendo maior que o amortecimento total obtido
experimentalmente. A partir de 5° o amortecimento total passa a ter valores superiores ao valor
da parcela de ondas e assim o valor da parcela de vórtice empírica passa a apresentar valores
positivos.
O que pode ocorrer neste tipo de caso é que no método de predição proposto por Ikeda
a expressão para a componente de amortecimento de ondas foi desenvolvida tendo como base
os cálculos feitos com a teoria das faixas (calculando coeficientes de amortecimento
bidimensionais e posteriormente, integrando-os ao longo do comprimento do navio), como
apresentado na Equação (77). Neste trabalho a parcela de ondas foi obtida usando o método dos
painéis (tridimensional), que em teoria fornece valores mais aprimorados do que a teoria das
faixas. Portanto, o método bidimensional pode ter subestimado o cálculo da parcela de ondas,
‘transferindo’ esse erro para a parcela de vórtices. Como a parcela de ondas para esse casco
analisado tem grande influência no amortecimento, a análise da parcela de vórtice ficou
comprometida.
Por fim, apesar da verificação da parcela de vórtices estar comprometida para este caso,
é possível que uma compensação nos coeficientes esteja ocorrendo ao longo da predição e com
isso verificamos resultados razoavelmente bons para esse tipo de casco. Os erros a partir da
predição foram inferiores a 5% quando comparados com a série temporal.
-2,5
0,0
2,5
5,0
0 5 10 15 20B V
órt
ice
s[t
on
.m²/
s]
10⁶
Angulo [°]
Parcela de Vórtice
Empírico - MétodoEnergia (FaixaExperimental)
Predição Ikeda
Figura 48 - Parcela de Vórtice - Empírico vs. Predição Ikeda - Amplitude Inicial 20°.
72
Por fim uma análise entre a razão do parcela de vórtice e o amortecimento total foi
realizada afim de analisar se a proporção entres essas parcela é igual na predição e no
experimento.
Na Figura 50 e Figura 51 é possivel observar que a razão entre a parcela de vórtice e o
amortecimento total ficam próximas para oscilações de roll maiores, tanto para a predição como
para o experimento.
Como a parcela de ondas do casco B é muito alta, temos uma menor proporção para este
caso, com máxima de 44% para o experimental e 41% para a predição. Já para o casco A que
possui um parcela de ondas baixa, a contribuição de vórtices é muito maior, tendo portanto uma
proporção de até 99.8 % para o caso experimental e 99.6% para a predição.
-2,5
0,0
2,5
5,0
0 5 10 15 20B V
órt
ice
s[t
on
.m²/
s]
10⁶
Angulo [°]
Parcela de Vórtice
Empírico - MétodoEnergia (FaixaExperimental)
Empírico - MétodoEnergia (FaixaExtrapolada)
Predição Ikeda
Figura 49 - Parcela de Vórtice - Empírico vs. Predição Ikeda - Amplitude Inicial 10°.
94%
96%
98%
100%
0 10 20 30ângulo de roll [°]
Razão B VÓRTICES / B TOTAL
Predição Ikeda Experimental
-40%
-20%
0%
20%
40%
60%
0 10 20 30
Ângulo de roll [°]
Razão B VÓRTICES / B TOTAL
Predição Ikeda Experimental
Figura 50 - Casco A. (FPSO nova construção) Figura 51 - Casco B. (FPSO convencional)
73
5 Conclusão
Conclui-se que o objetivo de analisar a parcela de vórtice para um casco de um FPSO
foi alcançado. Os métodos de análise das medições experimentais utilizados comprovaram
a eficiência em recuperar os valores do amortecimento de roll a partir de um experimento
realizado em modelos de escala reduzida. Foi possível concluir que o ângulo inicial de roll
não interfere na busca pelos coeficientes de amortecimento, podendo recuperar de maneira
correta para qualquer ângulo inicial.
A partir dos bons resultados dos métodos de análise das séries temporais de decaimento,
foi possível estabelecer uma metodologia para recuperar a parcela de vórtice do
amortecimento de roll para os cascos analisados neste trabalho e assim verificar a qualidade
da predição do método de Ikeda para esta parcela.
O método de predição proposto por Ikeda não se mostrou adequado para o casco A.
Ficou comprovado que este tipo de casco tem um amortecimento puramente não linear,
sendo a parcela de vórtice muito mais relevante que as parcelas friccional e de ondas.
Para o casco B foi possível encontrar uma melhora nos resultados na predição da série
temporal do decaimento, no entanto a análise individual da parcela de vórtice ficou
comprometida, tendo em vista que a parcela de ondas obtida via método dos painéis
(WAMIT) ficou muito elevada. Como Ikeda propôs um cálculo bidimensional do
amortecimento de ondas, efeitos tridimensionais não foram computados, subestimando
este cálculo. Como a parcela de vórtices é obtida (tanto na expressão do Ikeda como na
proposta do presente trabalho) fazendo a diferença do amortecimento total das parcelas
friccionais e de onda, a predição do amortecimento de vórtices pode ter sido comprometida
para cascos com essa característica. Nesse sentido recomenda-se como trabalho futuro,
verificar e comparar as predições do amortecimento potencial pelo método das faixas e o
3D (WAMIT). Assim, poderíamos confirmar a hipótese levantada aqui.
Para cascos com bolinas é necessário verificar se o método de predição proposto é
adequado. Como nesses casos o amortecimento gerado pela bolina é responsável pela
maior parcela do amortecimento, essa diferença encontrada para a parcela de vórtice pode
ser irrelevante e não afetar na predição.
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6 Bibliografia
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