1. Dada la función 4 2( ) 2 4f x x x

a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f.

3 2

3 32 2.

3 3: .

1 3

3 9 3 3

3 3

'( ) 8 8 8 ( 1) 8 ( 1) ( 1) 0 1 0 1.

''( ) 24 8 0

1, 0, 1. : ,

f x x x x x x x x x x x

f x x x x x

Puntos críticos x x x Posibles puntos de inflexión x x

b)Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es decreciente, así como

los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f. Nota: los números críticos dividen la recta numérica en intervalos, tomaremos valores que se encuentren dentro del intervalo y los evaluaremos en la primera derivada para determinar si la función es creciente o decreciente en el intervalo.

Numeros Criticos

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Crecimiento o

decrecimiento de

Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos

los puntos extremos relativos de la gráfica de la

función.

' xf

, , ,

x x x x

xf

PRUEBA DE 'f x PUNTOS MAXIMOS Y/O MINIMOS

c)Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos dónde f es cóncava

hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la gráfica de f.

Numeros donde

(x) = 0

o donde (x) = no

existe

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Concavidad hacia

arriba o Concavidad

hacia abajo

Escriba, en la casilla que está a la

derecha, todos los puntos de inflexion de

la gráfica de la función.

''f''f

, , ,

x x x

PRUEBA DE ''f x PUNTOS DE INFLEXION

d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a

continuación).

2. Dada la función

534

35( )

xf x x

a) Determine los números críticos y posibles puntos de inflexión de f.

b) Encuentre los intervalos dónde f es creciente y los intervalos dónde f es decreciente, así

como los puntos máximos y mínimos de la gráfica de f.

Numeros Criticos

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Crecimiento o

decrecimiento de

Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos

los puntos extremos relativos de la gráfica de la

función.

' xf

, , ,

x x x x

xf

PRUEBA DE 'f x PUNTOS MAXIMOS Y/O MINIMOS

c) Encuentre los intervalos dónde f es cóncava hacia abajo y los intervalos dónde f es cóncava

hacia arriba, así como los puntos de inflexión de la gráfica de f.

Numeros

donde

o donde no

existe

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Concavidad hacia arriba o

Concavidad hacia abajo

Escriba, en la casilla que está a la derecha, todos

los puntos de inflexion de la gráfica de la función.

'' 0x f '' xf

x x x x

PRUEBA DE ''f x PUNTOS DE INFLEXION

d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f (Utilice el sistema de coordenadas dado a

continuación).

3. Dada la función y sus derivadas:

23 3

2 2 3 32 2 2

16 2 2 16 128 2 2

4 4 4 4

8( ) ( )( ) , '( ) , ''( ) .

( )( ) ( )x x x x xx x xf x f x f x

x x x x

a) Halle los números críticos, los posibles puntos extremos relativos y los posibles puntos de inflexión de la gráfica de f.

b) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos de crecimiento y

decrecimiento de la función ,f así como los máximos y mínimos relativos.

Numeros Criticos

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Crecimiento o

decrecimiento de f

Escriba, en la casilla que está a la derecha,

todos los puntos extremos relativos de la

gráfica de la función.

'f

PRUEBA DE 'f x PUNTOS MAXIMOS Y/O MINIMOS

c) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos dónde la función f es

cóncava hacia arriba y dónde la función f es cóncava hacia abajo, así como los puntos

de inflexión.

Numeros donde

(x) = 0

o donde (x) = no

existe

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Concavidad hacia

arriba o Concavidad

hacia abajo

Escriba, en la casilla que está a la derecha,

todos los puntos de inflexion de la gráfica de

la función.

''f''f

PRUEBA DE ''f x PUNTOS DE INFLEXION

d) Verifique que y = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f y haga un

bosquejo de la gráfica de f (Utilice el sistema de coordenadas dado en la página

siguiente).

4. Dada la función 3 2

4 6 1( )f x x x

a) Halle los números críticos y posibles puntos de inflexión de la gráfica de f.

b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función :f

Numeros Criticos

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Crecimiento o

decrecimiento de f

Escriba, en la casilla que está a la

derecha, todos los puntos extremos

relativos de la gráfica de la función.

' xf

, , ,

x x x

PRUEBA DE 'f x PUNTOS MAXIMOS Y/O MINIMOS

c) Determine los intervalos donde la función f es cóncava hacia arriba y los intervalos

donde la función f es cóncava hacia abajo.

Numeros donde

(x) = 0

o donde (x) = no

existe

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Concavidad hacia

arriba o Concavidad

hacia abajo

Escriba, en la casilla que está a la derecha,

todos los puntos de inflexion de la gráfica de

la función.

''f''f

, ,

x x

'' xf

PRUEBA DE ''f x PUNTOS DE INFLEXION

d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función f(Utilice el sistema de coordenadas dado a

continuación)

5. Dada la función

4 1

3 3( ) 4 ,f x x x donde2 5

3 3

1 24( ) 4( )'( ) , ''( )

3 9

x xf x f x

x x

a) Encuentre los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión.

b) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos de crecimiento y

decrecimiento de la función ,f así como los máximos y mínimos

relativos.

Numeros Criticos

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Crecimiento o

decrecimiento de f

Escriba, en la casilla que está a la derecha,

todos los puntos extremos relativos de la

gráfica de la función.

'f

PRUEBA DE 'f x PUNTOS MAXIMOS Y/O MINIMOS

c) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos dónde la función

f es cóncava hacia arriba y dónde la función f es cóncava hacia abajo, así

como los puntos de inflexión.

Numeros donde

(x) = 0

o donde (x) = no

existe

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Concavidad hacia

arriba o Concavidad

hacia abajo

Escriba, en la casilla que está a la derecha,

todos los puntos de inflexion de la gráfica de

la función.

''f''f

PRUEBA DE ''f x PUNTOS DE INFLEXION

d) Haga un bosquejo de la gráfica de f (Utilice el sistema de coordenadas dado

a continuación).

6. Dada la función2 2

1 2/

( ) .x

f x e

Donde 1y es una asíntota horizontal y

además2 2

2/

( )' xf x xe

y 2 2

2 1 1/

( ) .'' ( )( )xf x x xe

a) Encuentre los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión.

b) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos de crecimiento y

decrecimiento de la función ,f así como los máximos y mínimos relativos

Numeros Criticos

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Crecimiento o

decrecimiento de f

Escriba, en la casilla que está a la derecha,

todos los puntos extremos relativos de la

gráfica de la función.

'f

PRUEBA DE 'f x PUNTOS MAXIMOS Y/O MINIMOS

c) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos dónde la función f

es cóncava hacia arriba y dónde la función f es cóncava hacia abajo, así como

los puntos de inflexión.

Numeros donde

(x) = 0

o donde (x) = no

existe

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Crecimiento o

decrecimiento de f

Escriba, en la casilla que está a la derecha,

todos los puntos de inflexion de la gráfica de

la función.

''f''f

PRUEBA DE ''f x PUNTOS DE INFLEXION

d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función.

7. Dada la función2 43

21 3( ) .f x x x

a) Encuentre los puntos críticos y los posibles puntos de inflexión.

b) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos de crecimiento y

decrecimiento de la función ,f así como los máximos y mínimos relativos

Numeros Criticos

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Crecimiento o

decrecimiento de f

Escriba, en la casilla que está a la derecha,

todos los puntos extremos relativos de la

gráfica de la función.

'f

PRUEBA DE 'f x PUNTOS MAXIMOS Y/O MINIMOS

c) Complete la tabla siguiente para determinar los intervalos dónde la función f

es cóncava hacia arriba y dónde la función f es cóncava hacia abajo, así como

los puntos de inflexión.

Numeros donde

(x) = 0

o donde (x) = no

existe

Intervalos

Valor de prueba

Signo de

Crecimiento o

decrecimiento de f

Escriba, en la casilla que está a la derecha,

todos los puntos de inflexion de la gráfica de

la función.

''f''f

PRUEBA DE ''f x PUNTOS DE INFLEXION

d) Haga un bosquejo de la gráfica de la función.