ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALbibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/16707/1/CD-7303.pdf · haberme ayudado con el prototipado rápido de mi brazo manipulador. Agradezco también a

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

DISEÑO Y PROTOTIPADO RÁPIDO DE UN ROBOT STANFORD

CON 6 GRADOS DE LIBERTAD

PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO

MECÁNICO

DANIEL HUMBERTO ORDÓÑEZ OVIEDO

[email protected]

DIRECTOR: ING. MARIO GRANJA

[email protected]

Quito, Agosto 2016

i

DECLARACIÓN

Yo, Daniel Humberto Ordóñez Oviedo, declaro que el trabajo aquí descrito es de

mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o calificación

profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en

este documento.

La Escuela Politécnica Nacional, puede hacer uso de los derechos correspondientes

a este trabajo, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su

Reglamento y por la normatividad institucional vigente.

DANIEL HUMBERTO ORDÓÑEZ OVIEDO

ii

CERTIFICACIÓN

Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Daniel Humberto Ordóñez

Oviedo bajo mi supervisión.

ING. MARIO GRANJA MSc.

DIRECTOR DEL PROYECTO

iii

AGRADECIMIENTOS

Agradezco primeramente a Dios por haberme permitido culminar este trabajo

que refleja varios años de estudio y esfuerzo. Agradezco también a mi familia por-

que para ellos todo el camino de mi formación profesional y personal les ha sig-

nificado también mucho esfuerzo y dedicación, mi madre Gladys, que siempre ha

estado atrás mío en todo, apoyándome, corrigiendo mis pasos, a veces presionan-

do también pero sobre todo con mucho amor lo cual ha hecho de mi una persona

agradecida de la vida, mi padre Ramiro, siempre ha estado en los momentos difí-

ciles con consejos precisos que me han ayudado a salir adelante y en los buenos

momentos ha compartido conmigo los triunfos y alegrías que he obtenido, mi her-

mano Martín, que siempre ha estado pendiente de mí en todos los ámbitos de mi

vida y ha sido mi confidente en muchas etapas de mi vida.

Agradezco especialmente a Raquel, mi enamorada, quien ha sido un apoyo total

durante casi toda mi carrera dentro de la EPN, ella ha compartido conmigo triunfos

y fracasos, alegría y tristeza, diversión, estudios y se convirtió en una persona fun-

damental en mi vida, agradezco su fiel compañía durante estos casi 6 años a su

lado.

Agradezco también a Níkolas, quien me ha ayudado mucho en la realización del

presente trabajo de titulación, me ha dado valiosos consejos y ha estado pendiente

de la realización de mi trabajo, también, agradezco al Ing. Oscar Sotomayor por

haberme ayudado con el prototipado rápido de mi brazo manipulador.

Agradezco también a mis amigos, los que compartieron las aulas conmigo y

sobre todo a aquellos con los que la amistad trascendió mas allá de un salón de

clases, a todos los muchachos del voleibol con quienes he tenido muchas alegrías

y que también siempre han estado pendientes de mi graduación les digo muchas

gracias y espero seguir viéndolos siempre.

Daniel Humberto Ordóñez Oviedo

iv

DEDICATORIA

Dedico este trabajo a Dios por darme la vida y la salud para cumplir mis metas, a

mi familia que han sido quienes han forjado la persona que soy y que han estado

presentes toda mi vida para respaldarme en todo sentido, a Raquel, quien me ha

dado su apoyo y ayuda incondicional en mi vida y en mi carrera universitaria.

Dedico especialmente este trabajo a mis dos abuelitas, Elvita, quien ya partió de

nuestro lado pero siempre estuvo al pendiente de mi formación personal y profesio-

nal, le dedico este trabajo y espero que se sienta orgullosa de mi allá en el cielo. Y

como no dedicarle a mi abuelita Enma esta meta, ella siempre ha estado junto a mi

desde pequeñito dándome cariño y apoyándome en todo lo que he querido hacer,

a ellas dos les dedico mi trabajo y les agradezco infinitamente.

Daniel Humberto Ordóñez Oviedo

v

CONTENIDOS

Resumen 1

Introducción 2

Objetivo General 3

Objetivos Específicos 3

Alcance 3

Justificación 4

1. GENERALIDADES 5

1.1. Generalidades de la robótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Historia de la robótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2. Robot Victoriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3. Desde el siglo XX hasta el presente . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Las leyes de la robótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Clasificación de los robots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1. Clasificación por la configuración del robot . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2. Clasificación por el controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3. Clasificación por la fuente de poder . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Robot Stanford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5. Prototipado rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Técnicas de prototipado rápido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.1. Estereolitografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.2. Sinterización selectiva por láser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6.3. Modelado por deposición fundida . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7. fabricación de juntas mediante diferentes métodos . . . . . . . . . . . . 19

1.7.1. Fabricación de juntas mediante el método (SL) . . . . . . . . . . 19

1.7.2. Fabricación de juntas mediante el método (SLS) . . . . . . . . . 21

1.7.3. Fabricación de juntas mediante el método (FDM) . . . . . . . . . 23

1.8. Ensamblaje rígido de partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

vi

1.9. Ejemplos de mecanismos usando FDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9.1. Mecanismos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9.2. Mecanismo esférico de tres grados de libertad . . . . . . . . . . 25

2. MARCO TEÓRICO 26

2.1. Movimientos de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1. Traslación en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.2. Traslación en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Movimientos de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1. Rotación en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2. Rotación en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. Movimientos compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1. Premultiplicación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2. Postmultiplicación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4. Dinámica del robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.1. Formulación de Newton-Euler (Dinámica inversa) . . . . . . . . 38

2.4.2. Sistema de coordenadas en movimiento . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.3. Cinemática para los eslabones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.4. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. MODELO MATEMÁTICO DEL ROBOT 44

3.1. Análisis cinemático del robot stanford de 6 grados de libertad . . . . . . . 44

3.1.1. Método Denavit-Hartenberg Standard (DHs) . . . . . . . . . . . 45

3.2. Análisis dinámico de las ecuaciones del robot . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. Jacobianos de velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.1. Jacobiano de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.2. Jacobiano de aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4. DISEÑO DEL ROBOT STANFORD 66

4.1. Casa de la calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.1. Voz del usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.1.2. Voz del ingeniero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. Especificaciones técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

vii

4.2.1. Gráfico de la casa de la calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3. Diseño modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.1. Nivel 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3.2. Nivel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3.3. Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4. Soluciones para cada módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4.1. Módulo 1: Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.4.2. Alternativas módulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.3. Evaluación y selección de las alternativas . . . . . . . . . . . . . 81

4.4.4. Módulo 2: Junta prismática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84


4.4.6. Evaluación y selección de las alternativas . . . . . . . . . . . . . . 91

4.4.7. Módulo 3: Actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


4.4.9. Evaluación y selección de las alternativas . . . . . . . . . . . . . . 99

4.5. Cálculo de los elementos del robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.5.1. Cálculo del eslabón 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


4.5.3. Cálculo del pasador 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108


4.5.5. Cálculo del eje de unión 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113


4.5.7. Cálculo de los ejes de la junta prismática . . . . . . . . . . . . . 118



5. PROTOTIPADO RÁPIDO DEL ROBOT STANFORD 127

5.1. Pototipado de los eslabones del brazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.1.1. Protipado del eslabón 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.1.2. Protitpado del eslabón 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.1.3. Prototipado del eslabón 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.1.4. Prototipado del eslabón 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

viii

5.2. Prototipado de las juntas y la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2.1. Prototipado de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2.2. Prototipado de la junta 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.2.3. Prototipado de la junta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.2.4. Prototipado de los ejes de la junta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.3. Ensamblaje de los eslabones y juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.3.1. Ensamblaje eslabones 2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.3.2. Ensamblaje eslabones 2, 3 y 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.3.3. Eensamblaje eslabones y juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.3.4. Robot Stanford de 6 grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . 134

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 135

6.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

REFERENCIAS 137

ix

Índice de figuras

1.1. Robot en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Robot en coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Robot en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Robot SCARA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Brazo Articulado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6. Robot Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7. Robot Neumático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8. Robot Hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9. Robot Stanford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.10.Equipo y estructura SL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11.Esquema del proceso SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.12.Ejemplo de Modelado por deposición fundida . . . . . . . . . . . . . . 19

1.13.Junta prismática fabricada mediante SL . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.14.Junta universal fabricada mediante SL . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.15.Junta de revolución fabricada mediante SLS . . . . . . . . . . . . . . 22

1.16.Junta esférica fabricada mediante SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.17.Junta Cilíndrica mediante método FDM . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.18.Twist Binder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.19.Mecanismo de Bennett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.20.Mecanismo Ojo Ágil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1. Traslación en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Traslación en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Rotación en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4. Sistema de coordenadas móvil en función del fijo . . . . . . . . . . . 31

2.5. Sistemas de coordenadas traslapados en el espacio . . . . . . . . . . 33

2.6. Rotación del sistema móvil alrededor de x(α), y(φ), z(Θ). . . . . . . . 34

2.7. Sistema de coordenadas en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.8. Relaciones vectoriales entre eslabones . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.9. Fuerzas y momentos sobre un eslabón . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1. Representación mediante símbolos del robot Stanford. . . . . . . . . 45

x

3.2. Sistemas de coordenadas para los métodos Denavit-Hartenberg . . . 47

3.3. Ubicación de los sistemas de coordenadas para el método Denavit-

Hartenberg Standard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1. Casa de la Calidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2. Nivel 0 Robot Stanford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3. Nivel 1 Robot Stanford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4. Módulos Stanford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5. Base semi-esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6. Base cilíndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.7. Base con tubo redondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.8. Rodamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.9. Eje con estrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.10.Eje cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.11.Eje redondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.12.Alternativas Módulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.13.Alternativa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.14.Alternativa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.15.Alternativa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.16.Acople para junta rotatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.17.Acople cerrado para junta rotatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.18.Eje con estrías y cambio de sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.19.Eje con dos cambios de sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.20.Junta prismática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.21.Eslabón vaciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.22.Eslabón macizo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


4.24.Alternativa 1 Módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90



4.27.Eje cuadrado Módulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.28.Brazos rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.29.Eje rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

xi

4.30.Eslabón C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.31.Pinza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.32.Eje cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97




4.36.Alternativa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.37.Robot Standford 6 GDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.38.Elementos a diseñarse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.39.DCL eslabón 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.40.DCL eslabón 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.41.DCL pasador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.42.DCL eslabón 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.43.DCL eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.44.DCL eslabón 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.45.DCL ejes junta prismática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.46.DCL eslabón 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.47.DCL eslabón 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.1. Especificaciones Ultimaker Original+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.2. Prototipado eslabón 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128


5.4. Prototipado eslabón 3, frontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128



5.7. Prototipado de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.8. Prototipado de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.9. Prototipado de la junta 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.10.Prototipado de la junta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.11.Prototipado de la junta 2, lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.12.Prototipado de la junta 2, superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.13.Ejes junta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.14.Ensamblaje eslabón 2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

xii

5.15.Ensamblaje eslabón 2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.16.Ensamblaje eslabón 2, 3 y 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.17.Ensamblaje eslabón 2, 3 y 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.18.Ensamblaje eslabones y juntas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.19.Robot Stanford de 6 grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

xiii

Índice de tablas

3.1. Tabla de parámetros Denavit-Hartenberg Standard. . . . . . . . . . . 49

4.1. Especificaciones técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2. Simbología modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3. Evaluación de criterios módulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4. Evaluación del criterio de montaje módulo 1 . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5. Evaluación del criterio de material módulo 1 . . . . . . . . . . . . . . 82

4.6. Evaluación del criterio de precio módulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.7. Evaluación del criterio de geometría módulo 1 . . . . . . . . . . . . . 83

4.8. Conclusión de la evaluación de criterios módulo 1 . . . . . . . . . . . 83

4.9. Evaluación de criterios módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.10.Evaluación del criterio de montaje módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . 92

4.11.Evaluación del criterio de material módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . 92

4.12.Evaluación del criterio de peso módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.13.Evaluación del criterio de construcción módulo 2 . . . . . . . . . . . . 92

4.14.Conclusión de la evaluación de criterios módulo 2 . . . . . . . . . . . 93

4.15.Evaluación de criterios módulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.16.Evaluación del criterio de montaje módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . 100

4.17.Evaluación del criterio de material módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . 100

4.18.Evaluación del criterio de peso módulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.19.Evaluación del criterio de construcción módulo 2 . . . . . . . . . . . . 101

4.20.Conclusión de la evaluación de criterios módulo 2 . . . . . . . . . . . 101

4.21.Dimensiones de los eslabones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

1

RESUMEN

El presente trabajo muestra el diseño de un robot Stanford con 6 grados de li-

bertad basado en la ingeniería concurrente y su respectivo prototipado rápido. Se

empieza el proyecto mediante una reseña histórica de la robótica y del manipula-

dor Stanford y seguido de esto se realiza el marco teórico, donde se encuentran

las ecuaciones y las herramientas matemáticas que se usan posteriormente para

la caracterización matemática del manipulador de manera cinemática y dinámica.

Una vez que se plantea la parte teórica, se realiza el modelo matemático del robot

y se encuentran las ecuaciones cinemáticas, es decir, las ecuaciones de posición

del robot, a estas se las deriva y se hallan las ecuaciones dinámicas de velocidad y

aceleración, mediante la primera y segunda derivada respectivamente, y, finalmen-

te cuando se tienen todas las ecuaciones para cada uno de los ejes en el espacio

se ordena las mismas mediante los jacobianos de velocidad y aceleración. Luego

de esto se diseña el robot y se dimensionan todos los elementos del manipulador,

resultado de esto, se tiene un primer modelo de este brazo, se muestran los planos

de conjunto y de cada pieza del mismo y se realiza el prototipo de este manipulador.

Finalmente, se dedica un capítulo al prototipado rápido del robot Stanford, este ca-

pítulo incluye imágenes de las piezas obtenidas mediante el método de modelado

por deposición fundida (FDM) y además se presenta una explicación del proceso

de montaje de las piezas para obtener el prototipo final. Cabe mencionar que por

ser un diseño experimental, este manipulador no tiene una función específica, el

objetivo primordial es presentar un diseño funcional que cumpla con los 6 grados

de libertad y la configuración específica de este manipulador.

Palabras clave: Robot, Standford, Manipulador, Diseño.

2

INTRODUCCIÓN

Se empieza el presente proyecto mediante una reseña histórica de la robótica y

del manipulador Stanford y seguido de esto se realiza el marco teórico, donde se

encuentran las ecuaciones y las herramientas matemáticas que se usan posterior-

mente para la caracterización matemática del manipulador de manera cinemática y

dinámica.

Una vez que se plantea la parte teórica, se realiza el modelo matemático del

robot y se encuentran las ecuaciones cinemáticas, es decir, las ecuaciones de po-

sición del robot, a estas se las deriva y se hallan las ecuaciones dinámicas de

velocidad y aceleración, mediante la primera y segunda derivada respectivamente,

y, finalmente cuando se tienen todas las ecuaciones para cada uno de los ejes en el

espacio se ordena las mismas mediante los jacobianos de velocidad y aceleración.

Seguido del modelo matemático del robot se realiza el diseño del manipulador

Stanford de 6 GDL mediante el método del diseño concurrente de Carles Riba, se

presenta la casa de la calidad, las especificaciones técnicas, y este proyecto se lo

realiza también bajo diseño modular, en esta fase se presentan 3 módulos que se

pueden trabajar por separado y se presentan 3 soluciones para cada módulo que

posteriormente se seleccionarán mediante el método ordinal corregido de criterios

ponderados y dará como resultado el bosquejo del robot Standford de 6 GDL, des-

pués de esto se realizan los cálculos de los elementos del robot, se considera a

cada elemento como elemento aislado y se trasladan las cargas de elemento a ele-

mento de manera progresiva y así realizar el respectivo dimensionamiento de los

eslabones de la máquina.

Después de realizar el dimensionamiento de los elementos del robot se procede

a dibujar los planos de los elementos del brazo robótico, el primer plano es el de

conjunto del robot, donde se muestra el brazo ensamblado y todas sus piezas en

un aposición conveniente donde se puedan apreciar todos los detalles del robot.

Luego, se presentan los planos de taller de cada una de las piezas que conforman

3

el robot a excepción de las piezas normalizadas que en es este caso son los roda-

mientos usados para las juntas de rotación.

Finalmente, se dedica un capítulo al prototipado rápido del robot Standford, este

capítulo incluye imágenes de las piezas obtenidas mediante el método de modelado

por deposición fundida (FDM) y además se presenta una explicación del proceso

de montaje de las piezas para obtener el prototipo final. Cabe mencionar que por

ser un diseño experimental, este manipulador no tiene una función específica, el

objetivo primordial es presentar un diseño funcional que cumpla con los 6 grados

de libertad y la configuración específica de este manipulador.

OBJETIVO GENERAL

Diseñar y construir el prototipo de un robot Stanford con 6 grados de libertad

para la Facultad de Ingeniería Mecánica.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Encontrar las ecuaciones dinámicas a partir del análisis cinemático de este

manipulador.

Diseñar un sistema funcional de un robot Stanford con 6 grados de Libertad,

mediante el diseño concurrente de Carles Riba.

Construir el prototipo rápido del robot Stanford mediante el uso de la manu-

factura aditiva con el método del modelado por deposición fundida (FDM).

ALCANCE

Se recopilará información acerca de los robots Stanford existentes en la robó-

tica actual.

Se seleccionarán los mecanismos necesarios para el correcto funcionamiento

del robot Stanford con 6 grados de libertad.

4

Se construirá el prototipo del robot Stanford mediante manufactura aditiva.

JUSTIFICACIÓN

El tema propuesto, nace de la necesidad actual de migrar de los sistemas con-

vencionales a sistemas de control automático, que gracias a las bases científicas de

la mecánica y a los avances tecnológicos de la robótica y mecatrónica han hecho

que los procesos productivos sean más eficientes y eficaces.

Para alcanzar esta migración en el campo productivo, es necesario la implemen-

tación de sistemas de control automático y la robotización de los mismos, para esto,

una de las alternativas de robotización es la implementación de robots tipo Stanford

con seis grados de libertad.

En nuestro país, con la propuesta de cambio de la matriz productiva, se hace

imperiosa la necesidad de aplicar la automatización de procesos en el sector indus-

trial, desarrollando así el control computarizado de los sistemas mecánicos para

tales procesos.

5

1. GENERALIDADES

1.1. Generalidades de la robótica

A lo largo de la historia de la robótica, gracias a sus teorías y a las investigacio-

nes de siglos pasados se ha logrado un gran desarrollo en este campo, logrando

establecerse las bases de la robótica así como aplicaciones que han aportado al

desarrollo científico y tecnológico de la humanidad.

De forma general se puede describir a la robótica como el conjunto de teorías

y conocimientos prácticos que permiten automatizar sistemas mecánicos basados

en estructuras articuladas que poseen un determinado grado de libertad y que su

finalidad es cumplir una tarea asignada por el ser humano.

A un sistema robótico se lo puede definir como aquel sistema que es capaz de

recibir una señal, procesarla de acuerdo a un entorno establecido, ejecutar una or-

den y controlar la acción que se está realizando.

1.1.1. Historia de la robótica

La historia de la robótica y de los robots es bastante larga, viene desde los tiem-

pos antiguos pero el real avance e innovación viene desde el siglo XX, la historia

de la automatización tiene un pasado muy largo y data desde la antigua Grecia con

el ingeniero Hero de Alejandría quien produjo dos textos llamados Pneumatica y

Automata(Rapp, 2015) las cuales testifican de la existencia de cientos de diferentes

tipos de máquinas capaces de realizar movimientos automáticos, por supuesto que

la robótica ha avanzado de manera increíble en los siglos XX y XXI donde se incluye

robots que son capaces de ensamblar otros robots y hasta realizar movimientos de

lo seres humanos.

La palabra robótica fue introducida inadvertidamente por el productor de pelícu-

las de ciencia ficción Isaac Asimov en su historia "Liar!"lanzada en 1941, así varios

6

autores de ciencia de ficción han querido representar máquinas que fueran capaces

de reproducir los movimientos de los seres humanos, desde el mito de la antigua

Grecia de Pygmalion hasta Frankenstein y Arthur C. Clarke’s HAL 9000.

Varias fuentes testifican de la popularidad de la automatización en la edad anti-

gua y media. Los antiguos romanos y griegos desarrollaron simples autómatas para

herramientas, juguetes y actos ceremoniales religiosos.

En la edad media, en Europa y el Medio Este, los autómatas fueron populares

en relojes y artefactos religiosos. El matemático árabe Al-Jazari (1136-1206) dejó

varios textos que describen e ilustran sus dispositivos mecánicos creados, incluye

un reloj de elefante que se movía y sonaba cada hora, además, un robot musical

y un robot mesero que servía bebidas. En Europa data de un monje autómata que

besaba las muñeca de sus manos.

Varios otros autómatas fueron creados donde sus movimientos simulaban a cier-

tos animales o eran humanoides que eran operados por sistemas CAM simples,

pero en el siglo XVIII los autómatas fueron mucho mejor comprendidos y desarro-

llados hasta el punto que se pudieron construir mejores y complejas piezas para

estos.

El ingeniero francés Jacques de Vauncanson fue acreditado como la primera

persona en crear satisfactoriamente un autómata el cual era una figura humana

que tocaba la flauta, fue tan popular que viajó por Europa para el deleite de los

jefes de estado como Frederick y Napoleón Bonaparte.

1.1.2. Robot Victoriano

La revolución industrial y el creciente enfoque en las matemáticas, ingeniería y

ciencia en la era Victoriana de Inglaterra, añadió el impulso hacia la robótica actual.

Charles Babbage (1791-1871) trabajó en el desarrollo de la ciencia de las compu-

7

tadoras en el principio y mediados del siglo XIX, sus mejores proyectos fueron el

estudio del motor analítico y diferencial. Otros como Ada Lovelace reconocieron

que en el futuro se podrían hacer sistemas computacionales que procesen imáge-

nes o que reproduzcan música.

Los autómatas continuaron su desarrollo en el campo del entretenimiento duran-

te el siglo XIX, pero limítrofe a este periodo está el desarrollo de las máquinas de

vapor que ayudaron a hacer la industria de la manufactura mucho más eficiente y

rápida. Las fábricas empezaron a obtener máquinas que les ayudaban en el movi-

miento de grandes cargas y ciertas operaciones de manufactura.

1.1.3. Desde el siglo XX hasta el presente

En 1920, Karel Kapec desarrolló su obra R.U.R. (Rossum’s Universal Robots)

el cual introdujo la palabra Robot. Esta fue tomada de una antigua palabra Eslava

que significa algo parecido a "Labor monótona o forzada", Sin embargo, esto fue 30

años antes de que el primer robot industrial sea construido.

En los años 50 George Devol diseñó el Ultimate, un brazo robótico que trans-

portaba partes de fundición en una fábrica de General Motors, el cual empezó a

trabajar en 1961. Unimation, la compañía que Devol fundó con el interprete robótico

Joseph Engelberger, fue la primera fábrica de robots en el mundo. Los robots em-

pezaron como algo curioso, incluso aparecieron en The Night Show en 1966 pero

pronto se constituyeron en otra herramienta industrial.

La robótica se convirtió en una ciencia floreciente y se decidió invertir mucho

más dinero en ella. Los robots se esparcieron hasta Japón, Corea del Sur y muchas

partes de Europa sobre la última mitad de siglo. Esencialmente, como la tecnología

y la programación van en rápido crecimiento, los robots encuentran muchos más

espacios en los cuales hace muchos años no se entraba ya que eran muy peligrosos

o inalcanzables para los seres humanos.

8

1.2. Las leyes de la robótica

Las tres leyes de la robótica aparecen en el año 1942 en el relato El círculo vi-

cioso de Asimov escrito por Isaac Asimov.

Asimov busca en su relato ciertas condiciones contradictorias de las leyes de la

robótica que puedan poner en duda la aplicación de estas.

Leyes de la robótica

Ley Cero: En 1985 Isaac Asimov publica un libro en el cual uno de sus robots

se ve obligado a herir a un ser humano pero por salvar al resto de la humani-

dad, de esta manera surge una nueva y definitiva ley que precede a las tres

leyes de 1942. Esta ley dice Un robot no debe dañar a un ser humano o, por

falta de acción, permitir que la humanidad sufra daños quedando así modifi-

cada la primera ley Un robot no debe dañar a un ser humano, o permitir, por

inacción, que un ser humano sufra daño, a menos que tal acción viole la ley

cero

Primera Ley: Un robot no puede causar daño a un ser humano ni por omisión

permitir que sufra daños.

Segunda Ley: Un robot debe obedecer las órdenes de los seres humanos,

excepto aquellas órdenes que vayan en contra de la primera ley.

Tercera Ley: Un robot debe proteger su existencia, siempre y cuando esta

protección no entre en conflicto con la primera y segunda ley.

1.3. Clasificación de los robots

Existen varios métodos de clasificación de los robots, aquí se hace una lista de

los métodos de agrupación más conocidos y posterior a esto se detallarán algunos

de estos métodos. (Rapp, 2015)

La lista de métodos de clasificación es la siguiente:

9

1. Configuración de los brazos

2. Forma o espacio de trabajo

3. Método de operación

4. Tipo de control

5. Fuente de poder

6. Tamaño

7. Tipo y número de juntas

8. Tipo de tecnología

9. Tarea que cumple

10. Generación de diseño

11. Tipo de movimiento

1.3.1. Clasificación por la configuración del robot

Según la configuración del brazo se clasifican en: Coordenadas rectangulares,

coordenadas cilíndricas, coordenadas polares, SCARA, brazo articulado.

Coordenadas rectangulares: Estos robots se mueven a lo largo de los ejes X,

Y, Z en líneas rectas (Fig. 1.1).

Figura 1.1. Robot en coordenadas cartesianas (Rapp, 2015).

10

Coordenadas cilíndricas: Este robot manipulador puede rotar sobre su base y

puede moverse linealmente en planos horizontal y vertical (Fig. 1.2).

Figura 1.2. Robot en coordenadas cilíndricas (Rapp, 2015).

Coordenadas Polares: Este manipulador puede rotar sobre su cabeza como

sobre su base y puede moverse hacia adentro o afuera (Fig. 1.3).

Figura 1.3. Robot en coordenadas polares (Rapp, 2015).

SCARA: Es un brazo robótico de cumplimiento selectivo, este se parece al robot

cilíndrico pero este a diferencia cumple movimientos de rotación en los otros ejes

(Fig. 1.4).

11

Figura 1.4. Robot SCARA (Parra, 2012).

Brazo Articulado: Estos robots imitan el movimiento del brazo humano, estos

usan la célula de trabajo más extensa y requiere de bastante espacio (Fig. 1.5).

Figura 1.5. Brazo Articulado (Parra, 2012).

1.3.2. Clasificación por el controlador

Secuencia limitada: Usa actuadores mecánicos para limitar el movimiento, un

temporizador puede ser usado para activar un eje.

Punto a punto: Tiene sensores de retro-alimentación y usa memorias para man-

tener las coordenadas de los ejes.

12

Patrón continuo: Usa memorias más grandes que las de punto a punto porque

puede memorizar varias coordenadas por segundo.

1.3.3. Clasificación por la fuente de poder

Eléctricos: Su fuente de energía es electricidad de corriente alterna o directa

(Fig. 1.6).

Figura 1.6. Robot Eléctrico (García, 2013).

Neumáticos: Se mueven gracias a actuadores neumáticos (Fig. 1.7).

Figura 1.7. Robot Neumático (Fischer, 2013).

13

Hidráulicos: Su movimiento se da gracias a la fuerza que ejerce un fluido sobre

sus articulaciones (Fig. 1.8.).

Figura 1.8. Robot Hidráulico (Espinoza, 2013).

1.4. Robot Stanford

Este brazo robótico fue creado en el año 1969 por el estudiante de ingeniería

mecánica Victor Scheinman en el laboratorio de inteligencia artificial de Stanford

(SAIL) (Gast, 2003). Este manipulador de 6 grados de libertad y completamente

eléctrico mecánico fue uno de los primeros robots en ser diseñado exclusivamente

por control de computadora.

Siguiendo la experiencia con un par de manipuladores más tempranos, el Ro-

bot Stanford-Rancho (un brazo protésico modificado) y el brazo hidráulico Stanford

(Un manipulador de alta velocidad pero peligroso y difícil de manejar), este brazo

fue diseñado para ser controlado fácilmente y que sea compatible con el sistema

computacional existente en la época (PDP-6) y la infraestructura SAIL. Este brazo

robótico fue completamente construido en el campus de Stanford, principalmente

14

usando las facilidades de compra del departamento de Química de la universidad.

La configuración cinemática del brazo es no antropomórfica, es decir no huma-

noide, con 6 juntas (5 de revolución y 1 prismática) y enlaces configurados de tal

manera que los cálculos matemáticos fueran simplificados para mayor velocidad

en el procesamiento de las computadoras. Se usaron frenos en todas las juntas

para mantener el brazo en posición mientras el computador calcula la siguiente

trayectoria o realiza otra actividad compartida en el tiempo. Los controladores son

motores eléctricos de corriente directa DC, unidad armónica y engranajes rectos co-

mo reductores de velocidad, potenciómetros para retroalimentación de la posición,

tacómetros análogos para información de velocidad y frenos electromecánicos para

asegurar las juntas. Se usaron embragues para prevenir daños ante una eventual

colisión. Otros implementos incluyen servo motores, pinza eléctrica con sensores

táctiles en los dedos, y un sensor de 6 ejes en la muñeca.

Este brazo de robot como se ve en la siguiente figura (Fig. 1.9) fue uno de los

dos que se montaron en una gran mesa con interfaz de cámaras de video (vidicon)

y otras herramientas especiales. Estas facilidades fueron usadas por profesores e

investigadores a lo largo de 20 años para proyectos y con fines educativos gracias

a que este sistema fue muy bien caracterizado, confiable y gozaba de buen man-

tenimiento. Eventualmente el robot Stanford fue aumentado con robots eléctricos y

diseños nuevos de la universidad, pero el robot azul, que es casi idéntico al Stanford

todavía es usado ocasionalmente en el laboratorio de Robótica de la universidad.

(Scheinman, 1969)

Figura 1.9. Robot Stanford (Gast, 2003).

15

1.5. Prototipado rápido

El diseño de mecanismos robóticos es un proceso complejo que envuelve el

análisis geométrico, cinemático, dinámico, de esfuerzos y tolerancias. En el diseño

de un sistema real, es frecuente la construcción de un prototipo físico. Ciertamente,

el prototipo físico ayuda al diseñador a comprender ciertas características del mo-

delo y a identificar ciertas dificultades en el diseño creado. Sin embargo, el diseño

y la fabricación de un prototipo usando las técnicas tradicionales es bastante largo,

tedioso y costoso. En este contexto la aplicabilidad de un protipado rápido se ha-

ce justificable para los diseñadores de sistemas robóticos o cualquier otro sistema,

gracias al bajo costo y el menor tiempo que demanda el diseño y construcción de

un prototipo rápido (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte, 2005).

El prototipado rápido de partes y herramientas es una tecnología en crecimiento

acelerado y que presenta muchas ventajas como: Ahorro de tiempo y dinero, valo-

ración rápida del sistema, mejoras en el diseño instantáneo, eliminación rápida de

errores de diseño, aumento de la comercialización del producto y rápida fabricación.

EL prototipado rápido se ha convertido rápidamente en una técnica valiosa para la

eficiencia y la ingeniería concurrente. A través de las diferentes técnicas de prototi-

pado rápido, los ingenieros y diseñadores se encuentran capacitados para entregar

nuevos productos desarrollados desde el modelado conceptual hasta el ensayo de

partes en tan solo pocas semanas o meses. En algunas instancias, la producción

de partes se la puede hacer en periodos muy cortos de tiempo. El protipado rápido

ha simplificado la tarea de describir un concepto a los grupos de diseño, median-

te la ilustración de detalles a los equipos de ingeniería, con la especificación de las

partes a los departamentos de adquisiciones y la venta de productos al consumidor.

1.6. Técnicas de prototipado rápido

Actualmente existen más de 40 técnicas de prototipado rápido. Algunas de es-

tas técnicas sí son comercialmente viables mientras que otras están en proceso de

investigación en laboratorios todavía. A lo largo de los años se han hecho mayores

16

avances en la calidad de las partes prototipadas, esto se ha logrado a través de

mejoras en la exactitud de las técnicas usadas, el material usado y su durabilidad,

el acabado superficial y técnicas alternativas de prototipado rápido.

Estas mejoras han llevado a la evolución de la funcionalidad de los prototipos rá-

pidos (PR). La evolución de las técnicas y las aplicaciones de PR es un campo en

continuo desarrollo y expansión actualmente. En la actualidad, la reciente investiga-

ción ha llevado a que las partes de los prototipos sean más funcionales y que sus

aplicaciones sean mayores. En este capítulo se van a explicar tres procesos de pro-

totipado rápido que son actualmente bastante utilizados, Estereolitografía (SL), la

Sinterización selectiva por Laser (SLS) y Modelado por deposición fundida (FDM).

1.6.1. Estereolitografía

La estereolitografía (SL) es un proceso de construcción en 3 dimensiones que

produce un modelo plástico sólido. En este proceso, una luz láser ultravioleta traza

la sección transversal en dos dimensiones en la superficie de un plástico líquido fo-

tosensible (resina). El láser cura parcialmente la resina a través de la baja absorción

de energía de la luz láser produciendo así un sólido. El primer corte de la sección

transversal es hecho en una plataforma controlada, la cual es totalmente sumergida

bajo la primera capa delgada de resina, la plataforma desciende a una profundidad

igual al espesor del corte de la cara. Sucesivamente los cortes de dos dimensiones

son curados directamente sobre la capa previa como una parte construida desde el

fondo hasta la superficie.

Es necesario que las estructuras de soporte mantengan la integridad estructural

de la parte como también que den el punto de partida y soporte para los voladizos

y las capas que se construirán encima de estas. estos apoyos son construidos en

finas estructuras de malla de resina curada. Después que la parte ha sido totalmen-

te construida, el soporte es removido y la pieza es bañada en solvente y secada.

Las piezas preparadas pasan a un proceso de post-curado en el cual se les pasa

por una luz UV en su totalidad y así finaliza el proceso.

17

En la siguiente figura se muestra un esquema de cómo trabaja este proceso

(Fig. 1.10).

Figura 1.10. Equipo de SLA 250 con esquema del proceso SL (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte,

2005).

1.6.2. Sinterización selectiva por láser

La sinterización selectiva por láser (SLS) es un proceso de construcción en tres

dimensiones basado en la sinterización de polvos metálicos o no metálicos median-

te un láser. El proceso SLS involucra el calentamiento de los polvos mediante el uso

de un rayo láser de CO2 localizado. Este calentamiento localizado eleva la tempe-

ratura del polvo lo suficiente como para causar la solidificación por fusión sin que

este se derrita. El modelo es producido dentro de una plataforma situada en una

placa horizontal. La plataforma, la cual está inicialmente nivelada con la placa, es

bajada hasta una profundidad igual a la del espesor de la porción. El polvo luego

es rolado, raspado o ranurado sobre la plataforma y luego el láser dibuja la sección

transversal en dos dimensiones, así se repite todo el proceso hasta obtener la pieza

final.

En este proceso no son necesarias las estructuras de soporte gracias a que la

pieza se apoya en el polvo no sinterizado. Un proceso de post curado no es necesa-

rio a excepción de las piezas cerámicas. materiales comúnmente usados para este

proceso son los policarbonatos, nailon, elastómeros, poliamidas, arenas de fundi-

18

ción y aceros. (Won y Mavroidis, 2000)

En la figura a continuación (Fig. 1.11) se muestra un esquema del proceso SLS.

Figura 1.11. Esquema del proceso SLS (UNDO, 2015).

1.6.3. Modelado por deposición fundida

Otro de los procesos usados para el prototipado rápido de partes y piezas es

el Modelado por deposición fundida (FDM). En la tecnología FDM un hilo fino de

material es depositado capa por capa. El material que comúnmente se usa es el

polímero ABS. Un material de soporte es necesario en aquellas nuevas porciones

en las cuales no existe ningún soporte de las capas anteriores. Una vez que la

parte se terminó completamente, se remueven los materiales de aporte y se da un

acabado si es necesario. Las principales ventajas de este proceso es la simplicidad

de uso y su relativo bajo costo, también existen ciertas limitaciones en el acabado

superficial y en la precisión de las medidas finales. Desde la sección de la parte ya

construida no es extraño que cuando el nuevo material es depositado, los límites

entre las capas y los hilos no esté completo. Por esta razón, las piezas son aniso-

trópicas y el material es más débil en la dirección de fabricación.

Para la tecnología FDM, la parte es primero movida en una orientación ade-

cuada. Luego se realiza las porciones en capas horizontales. El material de so-

porte necesario se crea luego para sostener aquellas partes que no se sostie-

nen en capas más bajas y finalmente, los caminos son creados por cada porción.

19

Este proceso puede ser hecho automáticamente, sin embargo, dependiendo de

las propiedades que se deseen obtener, los parámetros pueden ser modificados

manualmente.(Imme Ebert-Uphoff y Laliberte, 2005)

En la siguiente figura (Fig. 1.12) se muestra un ejemplo del procesado mediante

software de una pieza para prototipado FDM.

Figura 1.12. Ejemplo del proceso de software STL: a) Parte en formato STL con la orientación

original, b) Parte orientada correctamente, c) Material de soporte añadido, d) Caminos en una de las

porciones (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte, 2005).

1.7. fabricación de juntas mediante diferentes métodos

1.7.1. Fabricación de juntas mediante el método (SL)

El primer paso en la construcción de un prototipo rápido de un robot es tener la

capacidad para fabricar juntas de manera exitosa. Para el método SL se ha usado

en ciertos estudios la máquina SLA del Departamento de Ingeniería Mecánica y

aeroespacial de la Universidad de New Jersey para la fabricación de juntas como

las prismáticas, de revolución, esféricas y universales, estas juntas se produjeron

sin necesidad de ensamblaje. (Won y Mavroidis, 2000)

20

Mediante el método de prueba y error, algunas características como la holgura,

el tamaño de la pieza y el de las estructuras de soporte han sido optimizadas para

la producción de juntas mecánicas.

De las características mencionadas, la determinación de holguras y aprietes ha

sido una parte fundamental para en la fabricación de partes. La holgura óptima para

superficies planas fue determinada en 0.3 mm y 0.5 mm para las superficies circu-

lares. Además, el tamaño de estas partes está en el orden de pocos centímetros.

En esta sección se van a describir rápidamente la junta prismática y la junta

universal. Inicialmente, la junta prismática o deslizante fue caracterizada como una

parte de un ensamblaje pistón-cilindro.

El pobre deslizamiento que presentó esta junta era debido a la resina atrapada

en en la cámara y a su vez presentaba dificultades en su remoción hasta el último

curado con luz UV. También, era evidente que al momento de ensamblar la junta

aparecían más grados de libertad de los deseados.

Por tanto la junta fue rediseñada varias veces siendo su diseño final el mostra-

do en la figura (Fig. 1.13), esta junta de un solo grado de libertad no presentaba

ninguna cavidad de resina encerrada, y, su fabricación toma alrededor de 6 horas.

Figura 1.13. Ejemplo de junta prismática SL (Won y Mavroidis, 2000).

La junta universal fue un diseño típico el cual consiste en dos componentes dife-

rentes, las dos horquillas y el eje de conexión. Una de los diseños de junta universal

21

se muestra en la siguiente figura (Fig. 1.14).

Se usa el diseño de la junta de revolución, esta junta se fabrica con una hol-

gura entre caras circulares de 0.5 mm. Completar la fabricación de esta junta lleva

aproximadamente 5 horas.

Figura 1.14. Ejemplo de junta universal SL (Shapeways, 2015).

1.7.2. Fabricación de juntas mediante el método (SLS)

Las juntas también pueden ser fabricadas mediante el método SLS. Para este

ejemplo el material base escogido fue la poliamida, las holguras fueron las mismas

que las escogidas en el proceso SL, pero las piezas obtenidas mediante este pro-

ceso tuvieron una mejor precisión que el proceso SL.

En esta sección se van a explicar las juntas de revolución y las esféricas. La

junta de revolución termina en dos uniones y fue restringida a un movimiento de

100 grados de revolución, esta limitación de movimiento se debe a las partes de la

junta, las dos horquillas pueden moverse alrededor del eje de unión solo el ángulo

deseado.

22

En la (Fig. 1.15) se presenta un modelo de junta realizada por el método SLS.

Figura 1.15. Ejemplo de junta de revolución SLS (Maplesoft, 2015).

La junta esférica (Fig. 1.16) está diseñada para tener un giro de aproximada-

mente 90 grados y alrededor de +− 15 grados de libertad de movimiento de lado

a lado, cuando está totalmente extendida y no tiene libertad de movimiento cuando

está contraída.

Otra restricción fue minimizar el ángulo de torsión, esto se logró con la remoción

de material de los hemisferios diametrales de la esfera interior y se añade material a

la ranura interior, esto resulta en la junta esférica modificada mostrada en la Figura

1.16.

Figura 1.16. Ejemplo de junta esférica SLS (Alan, 2011).

23

1.7.3. Fabricación de juntas mediante el método (FDM)

Mediante el método FDM se pueden fabricar las juntas cilíndricas (Fig. 1.17). Las

juntas cilíndricas están fabricadas básicamente por una varilla dentro de un tubo.

De manera similar a la junta prismática se debe construir esta junta en dirección

horizontal para obtener la resistencia apropiada de la junta. Para el tubo, se usa un

puenteo para suprimir el uso de material de aporte. Como la parte superior del tubo

no es plana, la forma del tubo se modifica para permitir el puenteo sin afectar las

propiedades deseadas. Para detener el desplazamiento de la junta y permitir una

rotación suave, se añade una manga de ajuste a presión en la varilla y un capuchón

de ajuste a presión en el tubo.(Imme Ebert-Uphoff y Laliberte, 2005)

Figura 1.17. a) Junta cilíndrica con partes de junta universal al final. b)Sección transversal de la junta

cilíndrica, donde se muestra la geometría que permite el puenteo. (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte,

2005).

1.8. Ensamblaje rígido de partes

En la fabricación de mecanismos, algunas partes deben ser ensambladas rígida-

mente, otras partes son demasiado grandes como para ser fabricadas en una sola

pieza y otras piezas para obtener las características deseadas deben ser acomoda-

das en diferentes direcciones para que se acomode la anisotropía del material (Fig.

1.18). Sin embargo, algunos ensamblajes no deberían ser montados permanente-

mente, con la intención de permitir que varias versiones de una parte de un ensam-

blaje puedan ser cambiadas. Para el ensamblaje permanente de partes, la goma

o ajustes de presión fuertes han demostrado ser satisfactorios para este fin. Algu-

nos ensambles no permanentes también han sido desarrollados, como los ajustes

24

a presión suaves. otro ejemplo es el aglutinante de giro, representado en la figura

1.18, es usada para montar y desmontar partes donde las fuerzas de traslación son

importantes pero el torque en al menos una dirección es despreciable o cero.

Figura 1.18. Aglutinante de giro (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte, 2005).

1.9. Ejemplos de mecanismos usando FDM

Para la creación de mecanismos completos es necesario haber construido co-

rrectamente las juntas y los eslabones previamente presentados. Esto se debe a

que por la naturaleza del prototipado rápido, los eslabones pueden tener casi cual-

quier forma, aquí, la anisotropía del material es la principal característica a tener en

consideración para que la resistencia de la pieza sea buena. En esta parte se van a

presentar algunos mecanismos que se han construido en en el Laboratorio de robó-

tica de la universidad de Laval, usando las juntas antes descritas. Se presentarán

dos ejemplos de mecanismos, el mecanismo simple de Bennett y un mecanismo

esférico de 3 GDL.

1.9.1. Mecanismos simples

Algunos mecanismos simples (Fig. 1.19) han sido construidos. El mecanismo de

Bennett es un buen ejemplo. El prototipado de un mecanismo de Bennett (Phillips,

1990) ha sido construido con el propósito de hacer demostraciones en las clases

de la universidad.

25

Figura 1.19. Mecanismo de Bennett a) Modelo CAD. b) Prototipo (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte,

2005).

1.9.2. Mecanismo esférico de tres grados de libertad

Conocido como el ojo ágil (Gosselin y Hamel, 1994), es un ejemplo de meca-

nismo que conlleva geometrías complejas que mediante el prototipado rápido se

pueden construir fácilmente (Fig. 1.20). Cada uno de los tres brazos tiene tres jun-

tas de revolución. Nótese que el eslabón de la base está hecho en dos partes con

el objetivo de alinear las capas con la orientación general de los brazos.

Figura 1.20. Mecanismo Ojo Ágil a) Modelo CAD. b) Prototipo (Imme Ebert-Uphoff y Laliberte, 2005).

26

2. MARCO TEÓRICO

En este capítulo se van a presentar las ecuaciones de movimiento generales

para un robot, se va a hacer el análisis del movimiento para el plano y espacio

en el caso de la rotación y traslación de los ejes de coordenadas, el estudio de

estos movimientos es de mucha importancia para conocer cuál será el movimiento

espacial de los eslabones de un robot.

2.1. Movimientos de traslación

2.1.1. Traslación en el plano

En un par de orden inferior, como el par prismático, existen dos eslabones, un

fijo y un móvil, a los cuales se les va a asignar un sistema de coordenadas corres-

pondiente a su movimiento de la siguiente manera (Fig. 2.1). Al eslabón fijo se le

asigna la notación de sistema de coordenadas fijo O0X0Y0 y al eslabón móvil se le

asigna la notación del sistema de coordenadas móvil O1X1Y1. Al inicio los sistemas

de coordenadas coinciden en su origen y se quiere determinar las ecuaciones que

relacionan las coordenadas del punto P en el sistema fijo y móvil de coordenadas

P (x0, y0) con P (x1, y1) después de que se traslada el sistema móvil una distancia

∆x por el eje X1 y ∆y por el eje Y1, este movimiento físico de traslación puede ser

representado mediante una matriz de traslación en el mundo virtual.

Figura 2.1. Traslación en el plano Fuente: Propia.

27

De la figura (Fig. 2.1) se pueden obtener las ecuaciones que relacionan a los

dos sistemas de coordenadas.

x0 = x1 +∆x (2.1)

y0 = y1 +∆y (2.2)

Estas ecuaciones se pueden escribir de forma matricial, para esto es necesario un

artificio matemático el cual consiste en añadir la ecuación 1=1 al sistema, con esto

se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones matriciales.

x0

y0

1

=

1 0 ∆x

0 1 ∆y

0 0 1

x1

y1

1

(2.3)

De esto se tiene:

x0

y0

1

= T

x1

y1

1

(2.4)

Por lo tanto la matriz de traslación en un plano es:

T =

1 0 ∆x

0 1 ∆y

0 0 1

(2.5)

2.1.2. Traslación en el espacio

En la siguiente figura (Fig. 2.2) se puede observar el sistema de coordenadas

móvil o, u, v, w el cual ha sido trasladado con respecto al sistema fijo un valor de

(∆x,∆y,∆z) a lo largo de los ejes x, y, z, el punto P tiene coordenadas conocidas

en el sistema móvil y además se traslada conjuntamente con este sistema, es ne-

cesario determinar las ecuaciones que relacionan los dos sistemas de coordenadas

después de la traslación.

Nótese los tres vectores que se representan a la traslación del sistema móvil y

la posición del punto P.

28

Figura 2.2. Traslación en el espacio Fuente: Propia.

EL punto P y sus coordenadas asociadas a los sistemas de referencia son:

Px,y,z(px, py, pz) (2.6)

Pu,v,w(pu, pv, pw) (2.7)

La traslación del sistema móvil está representada por:

dx,y,z(∆x,∆y,∆z) (2.8)

Mediante álgebra vectorial se pude usar la siguiente ecuación:

~Pxyz = ~Puvw + ~dxyz (2.9)

Si se representa los vectores mediante la multiplicación de su módulo por su unita-

rio. resulta:

px~ix + py ~jy + pz ~kz = (pu~iu + pv ~jv + pw ~kw) + (∆x~ix +∆y

~jy +∆z~kz) (2.10)

Cuando se traslada un sistema de coordenadas no se cambia la rotación u orienta-

ción de los vectores unitarios, por eso se afirma que:

~ix = ~iu

~jy = ~jv

29

~kz = ~kw

Por lo tanto se puede escribir a la ecuación (2.10) de forma escalar:

px = pu +∆x

py = pv +∆y (2.11)

pz = pw +∆z

Es necesario escribir esta ecuación de forma matricial, para lo cual se vuelve a usar

el complemento matemático al añadir la ecuación 1=1 al sistema.

px

py

pz

1

=

1 0 0 ∆x

0 1 0 ∆y

0 0 1 ∆z

0 0 0 1

pu

pv

pw

1

(2.12)

Para encontrar la matriz de transformación de coordenadas de traslación en el

espacio se sigue el mismo procedimiento que las coordenadas en el plano y se

llega a la siguiente matriz:

T =

1 0 0 ∆x

0 1 0 ∆y

0 0 1 ∆z

0 0 0 1

(2.13)

2.2. Movimientos de rotación

2.2.1. Rotación en el plano

Cuando los sistemas de coordenadas coinciden en el origen pero uno de ellos ha

rotado respecto al otro, como se vio en el capítulo anterior, un ejemplo es el par de

rotación, siguiendo la notación anterior, al sistema de coordenadas fijo se le asigna

00x0y0 y al sistema de coordenadas móvil 01x1y1, en esta sección se desea encontrar

las ecuaciones que relacionan las coordenadas de los dos sistemas después que

han rotado un cierto ángulo. La rotación en el mundo físico puede ser representada

mediante una matriz de rotación.

30

Figura 2.3. Rotación en el plano Fuente: Propia.

La figura anterior (Fig. 2.3) nos será de utilidad para escribir las ecuaciones de

transformación de coordenadas, recordando que el todo es igual a la suma de las

partes.

x0 = x1CosΘ1 − y1SenΘ1 (2.14)

y0 = x1SenΘ1 + y1CosΘ1 (2.15)

Usando el artificio ya mencionado en las anteriores secciones se añade la ecua-

ción 1=1 para tener una matriz de 3x3 que nos facilitará los cálculos posteriores

entre matrices de traslación.

El sistema de ecuaciones anterior se puede escribir de la siguiente manera con

el uso la notación matricial:

x0

y0

1

=

CosΘ1 −SenΘ1 0

SenΘ1 CosΘ1 0

0 0 1

x1

y1

1

(2.16)

Se puede representar un giro del sistema de coordenadas alrededor del eje z

un ángulo Θ1, donde la matriz de rotación es Rz,Θ1 y su representación se la puede

hacer como sigue:

31

x0

y0

1

= Rz,Θ1

x1

y1

1

(2.17)

Rz,Θ1 =

CosΘ1 −SenΘ1 0

SenΘ1 CosΘ1 0

0 0 1

(2.18)

En la siguiente figura (Fig. 2.4), se ha rotado el sistema de coordenadas móvil

un ángulo Θ, nótese que el punto P se mueve con el sistema móvil, ahora se desea

escribir las ecuaciones que relacionan el sistema de coordenadas móvil en función

del sistema de coordenadas fijo.

Figura 2.4. Sistema de coordenadas móvil en función del fijo. (Granja, 2014)

De la Figura 2.4 se obtienen las siguientes ecuaciones de transformación de

coordenadas:

x1 = x0CosΘ1 + y0SenΘ1 (2.19)

y1 = −x0SenΘ1 + y0CosΘ1 (2.20)

A estas ecuaciones se les añade la ecuación 1=1 para tener una matriz homogénea.

Matricialmente las ecuaciones quedan de la siguiente forma:

32

x1

y1

1

=

CosΘ1 SenΘ1 0

−SenΘ1 CosΘ1 0

0 0 1

x0

y0

1

(2.21)

De la ecuación (2.17) se pueden despejar las coordenadas del punto P respecto

al sistema de coordenadas móvil.

x1

y1

1

= Rz,Θ1−1

x0

y0

1

(2.22)

De manera obligatoria, la ecuación (2.19) y la (2.20) son iguales, por lo tanto se

cumple que:

Rz,Θ1−1 =

CosΘ1 SenΘ1 0

−SenΘ1 CosΘ1 0

0 0 1

(2.23)

Si se compara la ecuación (2.21) con la ecuación (2.28) se obtiene que la ecua-

ción (2.18) es igual a la matriz inversa de la ecuación (2.21).

Rz,Θ1 =

CosΘ1 −SenΘ1 0

SenΘ1 CosΘ1 0

0 0 1

Rz,Θ1T =

CosΘ1 SenΘ1 0

−SenΘ1 CosΘ1 0

0 0 1

En conclusión:

Rz,Θ1T = Rz,Θ1

−1

2.2.2. Rotación en el espacio

En la figura siguiente (Fig. 2.5) se observan dos sistemas de coordenadas trasla-

pados, el sistema fijo está representado por o, x, y, z y el sistema móvil se representa

33

por o, u, v, w, se asume un punto P el cual se encuentra ligado al sistema de coor-

denadas móvil, esto implica que la posición del punto P puede ser representado por

un vector posición de los dos sistemas coordenados.

Figura 2.5. Sistemas de coordenadas traslapados en el espacio Fuente: Propia.

Los vectores unitarios para el sistema de coordenadas será el siguiente:

Para el sistema x, y, z: ~ix, ~jy, ~kz.

Para el sistema u, v, w: ~iu, ~jv, ~kw.

Por lo tanto las ecuaciones que definen al punto P tanto en el sistema fijo como

en el sistema móvil son:

~Px,y,z = Px~ix + Py

~jy + Pz~kz.

~Pu,v,w = Pu~iu + Pv

~jv + Pw~kw.

Las coordenadas de P se pueden encontrar mediante una multiplicación de vec-

tores, dependiendo de la coordenada que se quiera encontrar se multiplica el unita-

rio correspondiente con el vector ~Pu,v,w. De esta manera se presentan las ecuacio-

nes para encontrar las coordenadas de un sistema a otro.

px = ~Pu,v,w~ix = (Pu

~iu + Pv~jv + Pw

~kw)~ix

py = ~Pu,v,w~jy = (Pu

~iu + Pv~jv + Pw

~kw)~jy (2.24)

pz = ~Pu,v,w~kz = (Pu

~iu + Pv~jv + Pw

~kw)~kz

34

El sistema de ecuaciones (2.24) se puede escribir de forma matricial de la si-

guiente manera:

px

py

pz

=

~iu · ~ix ~jv · ~ix ~kw · ~ix

~iu · ~jy ~jv · ~jy ~kw · ~jy

~iu · ~kz ~jv · ~kz ~kw · ~kz

pu

pv

pw

(2.25)

De la ecuación (2.25) se desprende la matriz ortonormal de rotación R que con-

tiene los vectores unitarios de los dos sistemas de coordenadas.

R =

~iu · ~ix ~jv · ~ix ~kw · ~ix

~iu · ~jy ~jv · ~jy ~kw · ~jy

~iu · ~kz ~jv · ~kz ~kw · ~kz

(2.26)

Mediante la ecuación matricial (2.26) y la Figura 2.6 se pueden determinar las ma-

trices de rotación pura alrededor de los ejes del sistema fijo.

Figura 2.6. Rotación del sistema móvil alrededor de x(α), y(φ), z(Θ). (Atacama, 2012)

Las matrices de rotación puras son las siguientes:

Rx,α =

1 0 0

0 Cosα −senα

0 senα cosα

(2.27)

Ry,φ =

Cosφ 0 senφ

0 1 0

−senφ 0 cosφ

(2.28)

Rz,Θ =

CosΘ −senΘ 0

senΘ CosΘ 0

0 0 1

(2.29)

35

Para facilitar la operación con las matrices de traslación (4x4) se debe hacer el

siguiente arreglo matemático:

Rx,α =

1 0 0 0

0 Cosα −senα 0

0 senα cosα 0

0 0 0 1

(2.30)

Ry,φ =

Cosφ 0 senφ 0

0 1 0 0

−senφ 0 cosφ 0

0 0 0 1

(2.31)

Rz,Θ =

CosΘ −senΘ 0 0

senΘ CosΘ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(2.32)

Cuando al sistema móvil se le han realizado movimientos de rotación desde el

último sistema de coordenadas, en este caso se puede multiplicar las matrices en la

secuencia en la que se realizaron los movimientos, este proceso es conocido como

la postmultiplicación matricial.

Al contrario si los movimientos se realizan con referencia al sistema de coorde-

nadas fijo, la multiplicación debe ser contraria a los movimientos realizados, este

proceso se conoce como premultiplicación matricial.

2.3. Movimientos compuestos

Generalmente en la robótica los movimientos no son de traslación o rotación

puros, sino son una composición entre estos dos tipos de movimientos. En esta

parte se describirán dos de los métodos conocidos para encontrar las ecuaciones

de transformación de coordenadas que relacionan al actuador con el eslabón fijo

del brazo manipulador.

36

2.3.1. Premultiplicación matricial

Cuando se mueve el sistema de coordenadas móvil respecto al fijo, para encon-

trar las ecuaciones de transformación se multiplican las matrices de transformación

en forma inversa a los movimientos realizados, este proceso es conocido como pre-

multiplicación matricial, esta metodología no es muy aplicada en robótica mas si lo

es en marina y aeronáutica. Una aplicación de este proceso es la matriz de Ba-

lanceo, Inclinación y Orientación o conocida por sus siglas en inglés RPY.(Granja,

2014)

La secuencia que siguen los movimientos es la siguiente:

Balanceo: Giro alrededor del eje x0 un ángulo γ.

Inclinación: Giro alrededor del eje y0 un ángulo β

Orientación: Rotación alrededor del eje z0 un ángulo α

RRPY (γ,β,α) = R(z0,α)R(y0,β)R(x0,γ) (2.33)

RRPY (γ,β,α) =

Cosα −Senα 0

Senα Cosα 0

0 0 1

Cosβ 0 Senβ

0 1 0

−Senβ 0 Cosβ

1 0 0

0 Cosγ −Senγ

0 Senγ Cosγ

(2.34)

Para mayor facilidad se presenta la ecuación final con la sustitución del Seno

con la letra (s) y del Coseno con la letra (c).

RRPY (γ,β,α) =

cαcβ cαsβsγ − sαcγ cαsβcγ + sαsγ

sαcβ sαsβsγ + cαcγ sαsβcγ − cαsγ

−sβ cβsγ cβcγ

(2.35)

37

2.3.2. Postmultiplicación matricial

Cuando se realizan los movimientos del sistema de coordenadas respecto a los

ejes del último sistema de coordenadas móvil, es posible obtener las ecuaciones

de transformación de coordenadas entre los sistemas de coordenadas final y el fijo,

por esta razón la multiplicación matricial se debe realizar en el mismo orden de los

movimientos realizados, esta operación es muy común en robótica y se le llama

postmultiplicación matricial.

Con esta operación también se tiene la matriz de ángulos de Euler, donde se

presenta tres rotaciones referentes al último sistema de coordenadas móvil, una

después de la otra, de la siguiente manera:

Rotación de α alrededor del eje z

Rotación de β alrededor del eje y

Rotación de γ alrededor del eje x

R(α,β,γ) = R(z1,α)R(y2,β)R(x3,γ) (2.36)

R(α,β,γ) =

Cosα −Senα 0

Senα Cosα 0

0 0 1

Cosβ 0 Senβ

0 1 0

−Senβ 0 Cosβ

1 0 0

0 Cosγ −Senγ

0 Senγ Cosγ

(2.37)

Para mayor facilidad se presenta la ecuación final con la sustitución del Seno

con la letra (s) y del Coseno con la letra (c).

R(α,β,γ) =

cαcβ cαsβsγ − sαcγ cαsβcγ + sαsγ

sαcβ sαsβsγ + cαcγ sαsβcγ − cαsγ

−sβ cβsγ cβcγ

(2.38)

38

2.4. Dinámica del robot

Al hablar de la dinámica de un robot automáticamente se entra al estudio de

los movimientos y fuerzas que intervienen en el funcionamiento de un robot. Para

establecer un modelo dinámico es necesario presentar las ecuaciones matemáticas

de las coordenadas de posición del extremo del brazo y sus derivadas para hallar

las velocidades y aceleraciones, además se deben presentar las ecuaciones de las

fuerzas y pares aplicados al robot y por último los parámetros que lo definen como

la masa y la inercia.

2.4.1. Formulación de Newton-Euler (Dinámica inversa)

De este modelo se pueden obtener ecuaciones hacia delante de la velocidad

y la aceleración angular y lineal, las cuales se refieren a cada sistema de coor-

denadas auxiliar de cada articulación. Cada elemento tiene su propia velocidad y

aceleración las cuales se difunden hacia adelante desde el sistema de referencia

de la base hasta el eslabón final. Cuando se formulan las ecuaciones hacia atrás se

encuentran los pares y fuerzas necesarios para cada articulación del brazo.(NBIO,

2015)

2.4.2. Sistema de coordenadas en movimiento

El método Newton Euler se basa en los sistemas de coordenadas en movimien-

to, como se ve en el siguiente gráfico (Fig. 2.7).

Figura 2.7. Sistema de coordenadas en movimiento. Fuente: Propia

39

En la figura se muestra que el sistema de coordenadas O* se desplaza y rota

en el espacio respecto al sistema fijo, el vector que sigue el origen del sistema en

movimiento es el h y el vector r* describe la posición del punto P desde el origen

del sistema en movimiento. Según esto, las coordenadas del punto P respecto al

sistema fijo es:

r = r ∗+h (2.39)

Derivando esta ecuación se obtiene:

dr

dt=

dr∗

dt+

dh

dt= v ∗+vh (2.40)

Donde v* es la velocidad de P respecto del sistema de coordenadas en movi-

miento y vh es la velocidad del sistema de coordenadas móvil respecto al fijo.

Si el punto P se desplaza y rota respecto al sistema en movimiento la ecuación

(2.40) se escribe de la siguiente manera:

v =dr∗

dt+

dh

dt= (

d ∗ r∗

dt+ wxr∗) +

dh

dt(2.41)

Donded ∗ r∗

dtes la velocidad lineal de P respecto al sistema de coordenadas

móvil y w x r* es la velocidad angular de P respecto al sistema fijo.(NBIO, 2015).

De esto se deduce la aceleración general del sistema como:

a =dv

dt=

d2r∗

dt2+

d2h

dt2= a ∗+ah (2.42)

Escribiendo la ecuación en función de la posición y velocidad se tiene:

a =d2r∗

dt2+ 2w + (

d ∗ r∗

dt+ wx(wxr) +

dw

dtxr ∗+

d2h

dt2(2.43)

2.4.3. Cinemática para los eslabones

A partir de las ecuaciones (2.39) y (2.43) se muestra a continuación la forma

general de las ecuaciones para la cinemática de los eslabones del brazo robótico.

Según la figura anterior (Fig. 2.8), las ecuaciones para los eslabones de un robot

se pueden escribir así:

40

vi =d ∗ pi∗

dt+ wi−1xpi ∗+vi−1 (2.44)

wi = wi−1 + wi∗

Figura 2.8. Relaciones vectoriales entre entre los sistemas de referencia de los eslabones.(NBIO,

2015)

Nótese que la velocidad angular del sistema fijo o de referencia wi es igual a

la suma de la velocidad angular absoluta de todo el sistema i-1 más la velocidad

angular relativa wi∗ del eslabón.

La aceleración lineal del sistema para la articulación i es:

vi =d ∗2 pi∗

dt2+ ˙wi−1x

d ∗ pi∗

dt+ wi−1x(wi−1xpi∗) + ˙vi−1 (2.45)

wi = ˙wi−1 + ˙wi∗ (2.46)

La aceleración angular del sistema referencial i, respecto del sistema i-1 se con-

sigue con la ecuación (2.51) de la siguiente manera:

˙wi∗ =d ∗ wi∗

dt+ wi−1xwi∗ (2.47)

Por lo que la ecuación 2.56 queda como:

wi = ˙wi−1 +d ∗ wi∗

dt+ wi−1xwi∗ (2.48)

41

Normalmente en los brazos están unidos los sistemas i-1 e i a esos mismo

eslabones. La velocidad del elemento i respecto al sistema de coordenadas i-1 es

˙qi∗. Si el eslabón es prismático, la velocidad será de traslación relativa a i-1 y si es

rotacional corresponderá a una velocidad relativa rotacional del elemento i respecto

del sistema i-1.

2.4.4. Ecuaciones de movimiento

Si se aplica el principio de D’Alembert, el cual establece que las fuerzas exter-

nas actuantes sobre el robot y las fuerzas de inercia hacen un sistema en equilibrio

conocido como equilibrio dinámico (NBIO, 2015) y con las ecuaciones halladas an-

teriormente se obtienen las ecuaciones de Newton Euler recursivas.

Se usa la notación de la figura anterior (Fig. 2.8) para la siguiente figura (Fig.

2.9):

Figura 2.9. Fuerzas y momentos sobre el eslabón i (NBIO, 2015)

Donde:

~r1 Posición del centro de masa del eslabón i desde el origen del sistema de refe-

rencia base.

mi Masa total del eslabón

pi∗ Posición del origen de coordenadas i-ésimo respecto al sistema i-1

42

~si Posición del centro de masa del eslabón i desde el sistema de coordenadas i

~vi =d~ridt

Velocidad lineal del centro de masa del eslabón i

~ai =d~vidt

Aceleración lineal del centro de masa del eslabón i

Ii Matriz de inercia del eslabón i respecto de su centro de masa con respecto al

sistema de coordenadas O

Ni Momento total externo ejercido sobre el eslabón i en el centro de masa

Fi Fuerza total externa ejercida sobre el eslabón i en el centro de masa.

fi Fuerza que ejerce el elemento i-1 al eslabón i en el sistema i-1 para soportar al

elemento i y a los elementos que se encuentran encima

ni Momento ejercido sobre el elemento i por el elemento i-1 en el sistema i-1

Mediante el principio de D’Alambert y con la omisión de los efectos del roza-

miento viscoso en las juntas, se obtienen las siguientes ecuaciones:

Fi =d(mi~vi)

dt= mi~ai (2.49)

Ni =d(Iiwi)

dt= Iiwi + wix(Iiwi) (2.50)

Se hace un balance de fuerzas y pares en la figura 2.9:

Fi = fi − fi−1 (2.51)

Ni = ni − ni−1 + (pi−1 − ~ri)xfi − (pi − ~ri)xfi+1 (2.52)

= ni − ni−1 + (pi−1 − ~ri)xFi − pi ∗ xfi+1

Con el uso de la geometría se llega a la siguiente relación:

ri − pi−1 = pi ∗+~si (2.53)

De esto se obtienen las ecuaciones recursivas:

fi = Fi + fi+1 = mi~ai + fi+1 (2.54)

43

ni = ni+1 + pi ∗ xfi+1 + (pi ∗+~si)xFi +Ni (2.55)

Se ve que las ecuaciones son recursivas y permiten obtener los momento y

fuerzas en los elementos de un robot, fi+1 y Fi representan la fuerza y momento

ejercidos por el robot sobre un objeto externo.

44

3. MODELO MATEMÁTICO DEL ROBOT

En este capítulo se van a revisar las ecuaciones cinemáticas del robot Stanford

de 6 grados de libertad, así como también se va a realizar el desarrollo de las ecua-

ciones dinámicas que servirán para determinar todos los parámetros del robot, este

capítulo determinará el desarrollo del diseño y del prototipado rápido del presente

proyecto.

3.1. Análisis cinemático del robot stanford de 6 grados de libertad

En esta sección se va a realizar una revisión de las ecuaciones cinématicas pre-

sentadas en anteriores trabajos sobre el brazo robótico en cuestión.(Granja, 2014)

Los resultados que se mostrarán a continuación fueron comprobados mediante

la cinemática directa e inversa, además de comprobar el resultado mediante el soft-

ware de Toolbox Robotics de MatLab.

El problema que la cinemática desea resolver es encontrar la ecuación que rige

el movimiento del robot (posición), esta ecuación permite conocer la posición del

actuador del brazo dependiendo a los valores conocidos de coordenadas articula-

res.

En la figura a continuación (Fig. 3.1) se muestra una representación simbólica

del robot Stanford donde se representan los eslabones mediante líneas, los pares

prismáticos mediante un cubo y los pares cilíndricos mediante un cilindro, este es-

quema permite observar fácilmente los grados de libertad el robot, las variables

a controlar y permite resolver de mejor manera la cinemática mediante el modelo

Denavit-Hartenberg.

45

Figura 3.1. Representación mediante símbolos del robot Stanford. (Granja, 2014)

En este trabajo solo se va a representar el análisis por el método de Denavit-

Hartenberg Standard para comprobar los resultados de otros proyectos.

3.1.1. Método Denavit-Hartenberg Standard (DHs)

Para el método de Denavit-Hartenberg es necesario usar un gráfico en el cual

consten los movimientos o grados de libertad del robot, así como los sistemas de

coordenadas auxiliares de cada articulación. Se debe representar en este gráfico

las rotaciones y traslaciones del sistema de coordenadas desde sistema de la base

hasta el actuador final del brazo, para esto se usa la notación Θi para las rotaciones

de una junta giratoria y para los movimientos lineales de una junta prismática se

usa di.

Para comprobar que el mecanismo usado es de seis grados de libertad se usa la

fórmula de Kutzbach, la cual permite identificar el número de variables a controlar o

grados de libertad de un mecanismo siempre y cuando su análisis sea en el espacio.

GDL = 6(n− 1)− 5J1 − 4J2 − 3J3 − 2J4 − J5 (3.1)

Donde:

GDL Grados de Libertad

n Número de eslabones

46

Ji Número de pares superiores de i grado

GDL = 6(7− 1)− 5 ∗ 6− 0− 0− 0− 0 = 6 (3.2)

GDL = 6

Los pasos a seguir después vienen dados según el método DHs, que se enu-

meran de la siguiente manera(Granja, 2014).

1. Establecer e identificar los ejes de cada junta z0, ..., zn−1

2. Se establece el sistema de coordenadas fijo, se ubica en la base del robot y

se ubican los ejes X0, Y0 y Z0 de manera conveniente para formar un sistema

dextrógiro.

3. Ubicar el origen Oi de tal forma que la normal común a zi y zi−1 interseque a

zi. Para el caso en el que zi intersecta con zi−1 se debe colocar el el origen en

esta intersección. Cuando zi y zi−1 son paralelos, ubicar el origen en cualquier

parte a lo largo de zi.

4. Ubicar Xi a lo largo de la normal común de zi y zi−1, o en la dirección normal

al plano zi - zi−1 si zi y zi−1 se cruzan.

5. Ubicar Yi para completar el sistema de coordenadas.

6. Ubicar el sistema de coordenadas del actuador final (o0x0y0z0 y se asume que

el último par es de rotación, colocar n = a a lo largo de la dirección zi−1.

Colocar el origen On convenientemente a lo largo de Zn de preferencia en

el centro del sujetador o al extremo de objeto que el brazo va a manipular.

Establecer Yn = s en la dirección en la que el sujetador se cierra y ubicar

Xn = n como sxa. Si el sujetador no es una pinza simple se debe colocar a

estos ejes convenientemente para formar un sistema dextrógiro.

7. Se debe hacer una tabla de parámetros del robot, los parámetros son ai, di, αi,Θi.

Donde:

ai Distancia a lo largo del eje Xi desde el centro Oi a la intersección de los

ejes Xi y zi−1

47

di Distancia a lo largo de zi−1 hasta Oi hasta donde los ejes se intersecan.

αi Ángulo entre zi−1 y zi medido alrededor de Xi como se ve en la siguiente

figura (Fig. 3.2).

Figura 3.2. Sistemas de coordenadas para los métodos Denavit-Hartenberg.(Vinogadrov, 2000)

Θi Ángulo entre Xi−1 y Xi medido sobre zi−1.

8. A partir de esta tabla seguir con la construcción de las matrices de transfor-

mación de coordenadas homogéneas Ai con los parámetros dados.

9. Hallar la matriz de transformación final T 0n = A1...A0 la cual nos dará la posi-

ción y orientación final del brazo en orden al sistema de coordenadas de la

48

base.

En la siguiente figura (Fig. 3.3) se ve cómo se asignan los sistemas de coordena-

das de cada junta según el arreglo Denavit-Hartenberg estándar, para este método

se deben usar cuatro movimientos para pasar de un sistema de coordenadas al

próximo, la secuencia debe ser Rotación y Traslación a lo largo del eje Z y después

Rotación y Traslación a lo largo del eje X, después se puede notar que el orden

entre la rotación y traslación pueden variar mas no el orden de los ejes, es decir se

puede trasladar y luego rotar pero no se puede hacerlo primero en el eje X y luego

en el eje Z.

Figura 3.3. Ubicación de los sistemas de coordenadas para el método Denavit-Hartenberg

Standard.(Granja, 2014)

Luego de colocar los sistemas de coordenadas en el gráfico se debe seguir

con el siguiente paso que es crear una tabla que resuma los movimientos que se

realizaron, la tabla siguiente (Tabla 3.1) en robótica se la conoce como la tabla de

parámetros DHs, se recuerda que los movimientos son primero de rosca en Z y

luego rosca en X.

49

Tabla 3.1. Tabla de parámetros Denavit-Hartenberg Standard.

Eslabón Θi di ai αi

1 Θ∗

1 + 90◦ d1 0 −90◦

2 Θ∗

2 + 90◦ d2 0 90◦

3 0 d∗3 0 0

4 Θ∗

4 0 0 −90◦

5 Θ∗

5 0 0 90◦

6 Θ∗

6 d6 0 0

Nota: Cuando se representa a alguna variable con el símbolo ’*’ quiere decir que

es una variable de articulación o junta.

Luego de tener esta tabla, se procede a escribir la matriz que permitirá la trans-

formación de coordenadas entre un sistema de coordenadas con uno próximo por

el método Denavit-Hartenberg Standard.

Nota: Al final del capítulo 4 se presentará una tabla (Tabla 4.21) con las longitu-

des de los eslabones di.

Ai = Rz,ΘiTz,diTx,aiRx,αi

Ai =

CosΘi SenΘi 0 0

SenΘi CosΘi 0 0

0 1 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 di

0 0 0 1

1 0 0 ai

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 Cosαi −Senαi 0

0 Senαi Cosαi 0

0 0 0 1

Desde esta parte se va a usar una nueva notación para facilitar la escritura de

las ecuaciones que vienen a continuación, se representará con la inicial en ma-

yúscula de la función trigonométrica empleada y con un subíndice numérico que

representará la variable articular que se desea representar, teniendo como resulta-

50

do lo siguiente Sen(Θ1) = S1 de igual manera se procede para el resto de términos

que contienen a la función Seno o Coseno.

Ai =

cΘi −sΘicαi sΘisαi aicΘi

sΘi cΘicαi −cΘisαi aisΘi

0 sαi cαi di

0 0 0 1

(3.3)

Una vez obtenida esta matriz se procede a escribir cada una de las matrices de

transformación de coordenadas que vienen a partir de la tabla de parámetros DHs

(Tabla 3.1). Cada una de las filas de esta tabla nos da una matriz de transformación,

por lo tanto se tendrán 6 matrices a partir de esta tabla.

A1 =

c1+90 0 −s1+90 0

s1+90 0 c1+90 0

0 −1 0 d1

0 0 0 1

=

−s1 0 −c1 0

c1 0 −s1 0

0 −1 0 d1

0 0 0 1

(3.4)

A2 =

c2+90 0 s2+90 0

s2+90 0 c2+90 0

0 −1 0 d2

0 0 0 1

=

−s2 0 −c2 0

c2 0 −s2 0

0 −1 0 d2

0 0 0 1

(3.5)

A3 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 d3

0 0 0 1

(3.6)

A4 =

c4 0 −s4 0

s4 0 c4 0

0 −1 0 0

0 0 0 1

(3.7)

51

A5 =

c5 0 s5 0

s5 0 −c5 0

0 1 0 0

0 0 0 1

(3.8)

A6 =

c6 −s6 0 0

s6 c6 0 0

0 0 1 d6

0 0 0 1

(3.9)

Para hallar la matriz de transformación de coordenadas total del sistema, desde

la base hasta el actuador final, se debe multiplicar todas las matrices anteriores

según la siguiente ecuación.

T 06 = A1 ∗ A2 ∗ A3 ∗ A4 ∗ A5 ∗ A6 (3.10)

T 06 =

r11 r12 r13 dx

r21 r22 r23 dy

r31 r32 r33 dz

0 0 0 1

(3.11)

Donde:

r11 = −C6(C5(C1S4 − C4S1S2)− C2S1S5)− S6(C1C4 + S1S2S4)

r21 = −C6(C5(S1S4 + C1C4S2) + C1C2S5)− S6(S1C4 − C1S2S4)

r31 = C6(S2S5 − C2C4C5) + C2S4S6

r12 = S6(C5(C1S4 − C4S1S2)− C2S1S5)− C6(C1C4 + S1S2S4)

r22 = S6(C5(S1S4 + C1C4S2) + C1C2S5)− C6(S1C4 − C1S2S4)

r32 = C2C6S4 − S6(S2S5 − C2C4C5)

52

r13 = −S5(C1S4 − C4S1S2)− C2C5S1

r23 = C1C2C5 − S5(S1S4 + C1C4S2)

r33 = −C5S2 − C2C4S5

dx = −D2C1 −D6(S5(C1S4 − C4S1S2) + C2C5S1)−D3C2S1

dy = −D3C1C2 −D6(S5(S1S4 + C1C4S2)− C1C2C5)−D2S1

dz = D1 −D6(C5S2 + C2C4S5)−D3S2

Estos resultados se obtuvieron mediante la multiplicación de las 6 matrices de

transformación de coordenadas, de esta manera queda comprobado que los resul-

tados anteriores son válidos (Granja, 2014), cabe mencionar que los resultados del

trabajo mencionado fueron realizados mediante el software MatLab, y comprobados

mediante el método DHs, DHm y por el método de Movimiento General Continuo.

3.2. Análisis dinámico de las ecuaciones del robot

Ahora, se va a realizar la derivación de las ecuaciones que nos permiten tener la

posición, es decir los elementos dx, dy y dz de la ecuación (3.11). Con la primera de-

rivada se van a obtener las ecuaciones de velocidad en cada una de las direcciones

del espacio, se usan las siguientes ecuaciones para hallar las derivadas respecto al

tiempo de la posición.

Vi =d(di)

dt=

d(di)

dΘ∗dΘ

dt(3.12)

Lo que en sentido físico resulta:

Vi =d(di)

dΘ∗ Θ (3.13)

Donde:

53

Vi Es la velocidad en una determinada dirección en el espacio.

di Es la posición en una determinada dirección en el espacio.

Θ Es la posición angular de un elemento del brazo

Θ Es la velocidad angular del brazo.

Como se puede notar en la ecuación (3.11) los términos dx, dy y dz están en

función de varios ángulos como son: Θ1, Θ2, Θ4 y Θ5, por lo tanto, se debe realizar

la resolución de la derivada por medio de derivadas parciales como se ve en la

siguiente ecuación.

Vi =∂(di)

∂Θ1

∗ Θ1 +∂(di)

∂Θ2

∗ Θ2 +∂(di)

∂Θ4

∗ Θ4 +∂(di)

∂Θ5

∗ Θ5 (3.14)

Ahora se procede a hallar la ecuación para la velocidad en la dirección x.

Vx =∂(dx)

∂Θ1

∗ Θ1 +∂(dx)

∂Θ2

∗ Θ2 +∂(dx)

∂Θ4

∗ Θ4 +∂(dx)

∂Θ5

∗ Θ5 (3.15)

Derivada parcial para Θ1

V x1 =∂(dx)

∂Θ1

∗Θ1 = −d3C1C2Θ1+d2S1Θ1−d6(C2C5C1Θ1+S5(−C4S2C1Θ1−S4S1Θ1))

(3.16)


V x2 =∂(dx)

∂Θ2

∗ Θ2 = d3S1S2Θ2 − d6(−C2C4S5S1Θ2 − C5S1S2Θ2) (3.17)


V x4 =∂(dx)

∂Θ4

∗ Θ4 = −d6S5(C1C4Θ4 + S1S2S4Θ4) (3.18)


V x5 =∂(dx)

∂Θ5

∗ Θ5 = −d6(−C2S1S5Θ5 + C5Θ5(−C4S1S2 + C1S4)) (3.19)

54

Se reemplazan estas ecuaciones en la ecuación (3.15) y con la simplificación de

términos resulta:

Vx = −C1(Θ1(d3 + d6C5)C2 + d6C4S5(Θ4 − Θ1S2) + d6Θ5C5S4)

+S1(d2Θ1+ d6C2(Θ5+Θ2C4)S5)+ (d3Θ2+ d6C5(Θ2+Θ5C4))S2+ d6S5(Θ1− Θ4S2)S4)

(3.20)

Se procede a hallar la ecuación de la velocidad en la dirección y.

Vy =∂(dy)

∂Θ1

∗ Θ1 +∂(dy)

∂Θ2

∗ Θ2 +∂(dy)

∂Θ4

∗ Θ4 +∂(dy)

∂Θ5

∗ Θ5 (3.21)


V y1 =∂(dy)

∂Θ1

∗ Θ1 = d3S1C2Θ1 − d2C1Θ1 − d6(C2C5S1Θ1 + S5(C4S2S1Θ1 + S4C1Θ1))

(3.22)


V y2 =∂(dy)

∂Θ2

∗ Θ2 = d3C1S2Θ2 − d6(−C2C4S5C1Θ2 + C5C1S2Θ2) (3.23)


V y4=∂(dy)

∂Θ4

∗ Θ4 = −d6S5(S1C4Θ4 + C1S2S4Θ4) (3.24)


V y5 =∂(dy)

∂Θ5

∗ Θ5 = −d6(C2C1S5Θ5 + C5Θ5(−C4C1S2 + S1S4)) (3.25)

Una vez halladas las derivadas parciales se procede a reemplazarlas en la ecua-

ción (3.21) para hallar la velocidad en y.

Vy = −C1(d2Θ1 + d6C2(Θ5 − Θ2C4)S5 − (d3Θ2 + d6C5(−Θ2 + Θ5C4))S2

+d6S5(Θ1+Θ4S2)S4)+S1(Θ1(d3−d6C5)C2−d6(C4Sw(Θ4+Θ1S2)+Θ5C5S4)) (3.26)

Ahora se procede a hallar la ecuación para la velocidad en la dirección z.

55

Vz =∂(dz)

∂Θ1

∗ Θ1 +∂(dz)

∂Θ2

∗ Θ2 +∂(dz)

∂Θ4

∗ Θ4 +∂(dz)

∂Θ5

∗ Θ5 (3.27)


V z1 =∂(dz)

∂Θ1

∗ Θ1 = 0 (3.28)


V z2 =∂(dz)

∂Θ2

∗ Θ2 = −d3C2Θ2 − d6(C5C2Θ2 − C4S5S2Θ2) (3.29)


V z4 =∂(dz)

∂Θ4

∗ Θ4 = d6C2S5S4Θ4 (3.30)


V z5 =∂(dz)

∂Θ5

∗ Θ5 = −d6(C5C2C4Θ5 − S5S2Θ5) (3.31)

Una vez halladas las derivadas parciales se procede a reemplazarlas en la ecua-

ción (3.27) para hallar la velocidad en z.

Vz = d6(Θ5 + Θ2C4)S5S2 − C2(d3Θ2 + d6C5(Θ2 + Θ5C4)− d6Θ4S5S4) (3.32)

Una vez que se encuentran las ecuaciones de la velocidad se procede a hallar

las ecuaciones de la aceleración, así mismo en las tres direcciones x, y y z. Para

esto se deriva la ecuación (3.13).

ai =d

dΘ(d(di)

dΘ∗ Θ) (3.33)

ai =d(di)

dΘ∗ Θ +

d2(di)

dΘ2∗ Θ (3.34)

Donde:

ai Es la velocidad en una determinada dirección en el espacio.

di Es la posición en una determinada dirección en el espacio.

56

Θ Es la velocidad angular del brazo.

Θ Es la aceleración angular del brazo.

Esta ecuación al igual que en la velocidad se debe resolver mediante derivadas

parciales para los ángulos Θ1, Θ2, Θ4 y Θ5.

ai =d(di)

dΘ1

∗ Θ1 +d2(di)

dΘ21

∗ Θ1 +d(di)

dΘ2

∗ Θ2 +d2(di)

dΘ22

∗ Θ2 +d(di)

dΘ4

∗ Θ4 +d2(di)

dΘ24

∗ Θ4

+d(di)

dΘ5

∗ Θ5 +d2(di)

dΘ25

∗ Θ5 (3.35)

Para hallar la aceleración en x se sigue la ecuación:

ax =d(dx)

dΘ1

∗ Θ1 +d2(dx)

dΘ21

∗ Θ1 +d(dx)

dΘ2

∗ Θ2 +d2(dx)

dΘ22

∗ Θ2 +d(dx)

dΘ4

∗ Θ4 +d2(dx)

dΘ24

∗ Θ4

+d(dx)

dΘ5

∗ Θ5 +d2(dx)

dΘ25

∗ Θ5 (3.36)

Se comienza por hallar las derivadas de los términos que contienen Θ1

Ax1 =d(dx)

dΘ1

∗ Θ1 +d2(dx)

dΘ21

∗ Θ1 = −d3C1C2Θ1 + d2S1Θ1−

d6(C2C5C1Θ1 + S5(−C4S2C1Θ1 − S4S1Θ1))

+d2C1Θ1 + d3C2S1Θ1 − d6(−C5C2S1Θ1 + S5(C4S1S2Θ1 − C1S4Θ1)) (3.37)

Derivadas parciales para los términos que contienen Θ2

Ax2 =d(dx)

dΘ2

∗ Θ2 +d2(dx)

dΘ22

∗ Θ2 = d3S1S2Θ2 − d6(−C2C4S5S1Θ2 − C5S1S2Θ2)

d3C2S1Θ2 − d6(−C5C2S1Θ2 + C4S5S1S2Θ2) (3.38)


Ax4 =d(dx)

dΘ4

∗Θ4+d2(dx)

dΘ24

∗Θ4 = −d6S5(C1C4Θ4+S1S2S4Θ4)−d6S5(C4S1S2Θ4−C1S4Θ4)

(3.39)


57

Ax5 =d(dx)

dΘ5

∗ Θ5 +d2(dx)

dΘ25

∗ Θ5 = −d6(−C2S1S5Θ5 + C5Θ5(−C4S1S2 + C1S4))

−d6C5Θ5(C1C4 + S1S2S4) (3.40)

Se reemplazan estos valores en la ecuación (3.36) y se obtiene:

ax = −C1(Θ1(d3 + d6C5)C2 + d6C4S5(Θ4 − Θ1S2) + d6Θ5C5S4) + S1(d2Θ1

+d6C2(Θ5 + Θ2C4)S5 + (d3Θ2 + d6C5(Θ2 + Θ5C4))S2 + d6S5(Θ1 − Θ4S2)S4)

C1(d2Θ1 − d6Θ5C4C5 + d6(Θ1 + Θ4)S4S5) + S1((Θ1 + Θ2)(d2 + d6C5)

−d6S2((Θ1 + Θ2 + Θ4)C4S5 + Θ5C5S4)) (3.41)

Ahora se procede a hallar la ecuación de la aceleración en la dirección y. Para

esto seguimos la ecuación:

ay =d(dy)

dΘ1

∗ Θ1 +d2(dy)

dΘ21

∗ Θ1 +d(dy)

dΘ2

∗ Θ2 +d2(dy)

dΘ22

∗ Θ2 +d(dy)

dΘ4

∗ Θ4 +d2(dy)

dΘ24

∗ Θ4

+d(dy)

dΘ5

∗ Θ5 +d2(dy)

dΘ25

∗ Θ5 (3.42)

Se empieza por hallar la derivada parcial para el término Θ1

Ay1 =d(dy)

dΘ1

∗ Θ1 +d2(dy)

dΘ21

∗ Θ1 = d3S1C2Θ1 − d2C1Θ1−

d6(C2C5S1Θ1 + S5(C4S2S1Θ1 + S4C1Θ1))

+d3C1C2Θ1 + d2S1Θ1 − d6(C5C1C2Θ1 + S5(C1C4S2Θ1 − S1S4Θ1)) (3.43)

Se halla la derivada parcial para el término Θ2

Ay2 =d(dy)

dΘ2

∗ Θ2 +d2(dy)

dΘ22

∗ Θ2 = d3C1S2Θ2 − d6(−C2C4S5C1Θ2 + C5C1S2Θ2)

+d3C1C2Θ2 − d6(C5C1C2Θ2 + C1C4S5S2Θ2) (3.44)


58

Ay4 =d(dy)

dΘ4

∗Θ4+d2(dy)

dΘ24

∗Θ4 = −d6S5(S1C4Θ4+C1S2S4Θ4)−d6S5(C1C4S2Θ4S1S4Θ4)

(3.45)


Ay5 =d(dy)

dΘ5

∗ Θ5 +d2(dy)

dΘ25

∗ Θ5 = −d6(C2C1S5Θ5 + C5Θ5(−C4C1S2 + S1S4))

−d6(C5C1C2Θ5 − S5Θ5(−C1C4S2 + S1S4)) (3.46)

Se reemplaza estos resultados en la ecuación (3.42) y se tiene la expresión para

la aceleración en la dirección y.

ay = −C1(d2Θ1 + d6C2(Θ5 − Θ2C4)S5 − (d3Θ2 + d6C5(−Θ2 + Θ5C4))S2

+d6S5(Θ1 + Θ4S2)S4) + S1(Θ1(d3 − d6C5)C2 − d6(C4Sw(Θ4 + Θ1S2) + Θ5C5S4))

+C1((d3(Θ1 + Θ2)− d6(Θ1 + Θ2 + Θ5C5)C2 − d6(Θ1 + Θ2 + Θ4 + Θ5)∗

∗C4S5S2) + S1(d2Θ1 + d6(Θ1 + Θ4 + Θ5)S4S5) (3.47)

Por último debemos encontrar la ecuación que describa la aceleración en la

dirección z. Para esto seguimos la ecuación que viene:

az =d(dz)

dΘ1

∗ Θ1 +d2(dz)

dΘ21

∗ Θ1 +d(dy)

dΘ2

∗ Θ2 +d2(dz)

dΘ22

∗ Θ2 +d(dz)

dΘ4

∗ Θ4 +d2(dz)

dΘ24

∗ Θ4

+d(dz)

dΘ5

∗ Θ5 +d2(dz)

dΘ25

∗ Θ5 (3.48)

Se empieza por encontrar la derivada parcial de los términos que contienen Θ1

Az1 =d(dz)

dΘ1

∗ Θ1 +d2(dz)

dΘ21

∗ Θ1 = 0 (3.49)

Se encuentra la derivada parcial para los términos que contienen Θ2

Az2 =d(dz)

dΘ2

∗ Θ2 +d2(dz)

dΘ22

∗ Θ2 = −d3C2Θ2 − d6(C5C2Θ2 − C4S5S2Θ2) + d3S2Θ2

59

−d6(−C2C4S5Θ2 − C5S2) (3.50)


Az4 =d(dz)

dΘ4

∗ Θ4 +d2(dz)

dΘ24

∗ Θ4 = d6C2S5S4Θ4 + d6C2C4S5Θ4 (3.51)


Az5 =d(dz)

dΘ5

∗Θ5+d2(dz)

dΘ25

∗Θ5 = −d6(C5C2C4Θ5−S5S2Θ5)−d6(−C2C4S5Θ5−C5S2Θ5)

(3.52)

Una vez que obtenemos todas las derivadas parciales se reemplazan en la ecua-

ción (3.38) para obtener la expresión de la aceleración en z.

az = d6(Θ5 + Θ2C4)S5S2 − C2(d3Θ2 + d6C5(Θ2 + Θ5C4)− d6Θ4S5S4)

+d6(Θ2 + Θ4 + Θ5)C2C4S5 + (d3Θ2 + d6(Θ2 + Θ4)C5)S2 (3.53)

Con la presentación de estas ecuaciones se tiene completo el modelo matemá-

tico que es el objetivo del presente capítulo, con estas ecuaciones y con la masa de

cada eslabón del robot se pueden obtener todos los parámetros del robot, sin em-

bargo, la masa, las dimensiones, las velocidades y aceleraciones angulares recién

se obtendrán en el capítulo 4 donde se realizará el diseño del robot.

3.3. Jacobianos de velocidad y aceleración

Después de haber obtenido las ecuaciones que gobiernan la dinámica del robot,

es necesario presentarlas de una manera más ordenada y que permita usar estas

ecuaciones de mejor manera.

Con el objetivo de tener estas ecuaciones más ordenadas, se procede a arreglar

los términos en una matriz determinada, esta matriz se la conoce como el Jacobiano

de velocidad o aceleración, dependiendo el caso, en esta parte se va a presentar

los Jacobianos resultantes para el Robot Stanford de 6 grados de libertad.

60

Un Jacobiano sirve para pasar de un sistema de coordenadas a otro, en este

caso para pasar de coordenadas polares a cartesianas, si se aplica la inversa de la

matriz del Jacobiano se puede tener la transformación de coordenadas cartesianas

a polares, lo cual es lo que se va a necesitar en la realidad cuando se trate de dar

funciones específicas al brazo robótico.

3.3.1. Jacobiano de velocidad

Se va a representar la matriz del Jacobiano para la velocidad del manipulador.

V = JΘ (3.54)

Donde:

V Vector velocidad en x, y, z

J Es la matriz del Jacobiano.

Θ Vector de las velocidades angulares de los eslabones.

V x

V y

V z

=

V x1 V x2 V x4 V x5

V y1 V y2 V y4 V y5

V z1 V z2 V z4 V z5

Θ1

Θ2

Θ4

Θ5

(3.55)

Nota: En el jacobiano de velocidades no aparece la variable Θ6 debido a que

esta no afecta a la velocidad en las coordenadas x, y, z y el término d3 que es una

variable articular y si afecta en la velocidad en las coordenadas cartesianas aparece

en los términos V x1, V x2, V y1, V y2yV z2.

Además, si las entradas del robot en cuanto a la velocidad son las componentes

en x, y, z y lo que se desea encontrar son las respectivas velocidades angulares,

entonces se debe escribir la ecuación de la siguiente forma:

Θ = J−1V (3.56)

61

Θ1

Θ2

Θ4

Θ5

= L

J11 J12 J13 J14

J21 J22 J23 J24

J31 J32 J33 J34

0 0 01

L

V x

V y

V z

1

(3.57)

Cada elemento de la inversa del Jacobiano viene dado por las siguientes expre-

siones:

L =1

−V x4V y2V z1 + V x2V y4V z1 + V x4V y1V z2 − V x1V y4V z2 − V x2V y1V z4 + V x1V y2V z4

J11 = −V y4V z2 + V y2V z4

J12 = V x4V z2 − V x2V z4

J13 = −V x4V y2 + V x2V y4

J14 = V x5V y4V z2−V x4V y5V z2−V x5V y2V z4+V x2V y5V z4+V x4V y2V z5−V x2V y4V z5

J21 = V y4V z1 − V y1V z4

J22 = −V x4V z1 + V x1V z4

J23 = V x4V y1 − V x1V y4

J24 = −V x5V y4V z1+V x4V y5V z1+V x5V y1V z4−V x1V y5V z4−V x4V y1V z5+V x1V y4V z5

J31 = −V y2V z1 + V y1V z2

J32 = V x2V z1 − V x1V z2

J33 = −V x2V y1 + V x1V y2

J34 = V x5V y2V z1−V x2V y5V z1−V x5V y1V z2+V x1V y5V z2+V x2V y1V z5−V x1V y2V z5

Cada elemento del Jacobiano de velocidades viene dado por:

Vx Es la velocidad en la dirección x Ec(3.20)

Vy Es la velocidad en la dirección y Ec(3.26)

Vz Es la velocidad en la dirección z Ec(3.32)

62

V x1 Es la componente de la velocidad en x para Θ1 correspondiente a la ecuación

(3.16)


(3.17)


(3.18)


(3.19)

V y1 Es la componente de la velocidad en y para Θ1 correspondiente a la ecuación

(3.22)


(3.23)


(3.24)


(3.25)

V z1 Es la componente de la velocidad en z para Θ1 correspondiente a la ecuación

(3.28)


(3.29)


(3.30)


(3.31)

63

3.3.2. Jacobiano de aceleración

Se va a representar la matriz del Jacobiano para la aceleración del manipulador.

A = JΘ (3.58)

Donde:

A Vector aceleración en x, y, z

J Es la matriz del Jacobiano.

Θ Vector de las aceleraciones angulares de los eslabones.

ax

ay

az

=

Ax1 Ax2 Ax4 Ax5

Ay1 Ay2 Ay4 Ay5

Az1 Az2 Az4 Az5

Θ1

Θ2

Θ4

Θ5

(3.59)

Nota: En el jacobiano de velocidades no aparece la variable Θ6 debido a que

esta no afecta a la velocidad en las coordenadas x, y, z y el término d3 que es una

variable articular y si afecta en la velocidad en las coordenadas cartesianas aparece

en los términos Ax1, Xx2, Ay1, Ay2yAz2.

Ahora, si las entradas del robot en cuanto a la aceleración son las componentes

en x, y, z y lo que se desea encontrar son las respectivas aceleraciones angulares,

entonces se debe escribir la ecuación de la siguiente forma:

Θ = J−1A (3.60)

Θ1

Θ2

Θ4

Θ5

= K

I11 I12 I13 I14

I21 I22 I23 I24

I31 I32 I33 I34

0 0 01

K

ax

ay

az

1

(3.61)

Cada elemento de la inversa del Jacobiano viene dado por las siguientes expre-

siones:

64

K =1

−Ax4Ay2Az1 + Ax2Ay4Az1 + Ax4Ay1Az2 − Ax1Ay4Az2 − Ax2Ay1Az4 + Ax1Ay2Az4

I11 = −Ay4Az2 + Ay2Az4

I12 = Ax4Az2 − Ax2Az4

I13 = −Ax4Ay2 + Ax2Ay4

I14 = Ax5Ay4Az2−Ax4Ay5Az2−Ax5Ay2Az4+Ax2Ay5Az4+Ax4Ay2Az5−Ax2Ay4Az5

I21 = Ay4Az1 − Ay1Az4

I22 = −Ax4Az1 + Ax1Az4

I23 = Ax4Ay1 − Ax1Ay4

I24 = −Ax5Ay4Az1+Ax4Ay5Az1+Ax5Ay1Az4−Ax1Ay5Az4−Ax4Ay1Az5+Ax1Ay4Az5

I31 = −Ay2Az1 + Ay1Az2

I32 = Ax2Az1 − Ax1Az2

I33 = −Ax2Ay1 + Ax1Ay2

I34 = Ax5Ay2Az1−Ax2Ay5Az1−Ax5Ay1Az2+Ax1Ay5Az2+Ax2Ay1Az5−Ax1Ay2Az5

Cada elemento del Jacobiano de aceleración viene dado por las siguientes ecua-

ciones:

ax Es la aceleración en la dirección x Ec(3.41)

ay Es la aceleración en la dirección y Ec(3.47)

az Es la aceleración en la dirección z Ec(3.53)

Ax1 Es la componente de la aceleración en x para Θ1 correspondiente a la ecuación

(3.37)


(3.38)

65


(3.39)


(3.40)

Ay1 Es la componente de la aceleración en y para Θ1 correspondiente a la ecuación

(3.43)


(3.44)


(3.45)


(3.46)

Az1 Es la componente de la aceleración en z para Θ1 correspondiente a la ecuación

(3.49)


(3.50)


(3.51)


(3.52)

66

4. DISEÑO DEL ROBOT STANFORD

En este capítulo se desarrollará el diseño del robot Stanford basados en el Di-

seño concurrente de Carles Riba i Romeva, luego de esta sección se procederá a

realizar el prototipado del modelo que de aquí resulte.

4.1. Casa de la calidad

La casa de la calidad (Fig. 4.1) es una herramienta de gran ayuda para el diseño

de cualquier máquina, debido a que esta integra la voz del usuario, que representa

a los requerimientos del cliente sobre el producto, e integra la voz del ingeniero, que

hace referencia a los requerimientos del profesional sobre el producto a diseñarse.

4.1.1. Voz del usuario

Se va a detallar la lista de los requerimientos del consumidor para el brazo ro-

bótico a diseñarse.

Forma

El usuario pide que la forma del brazo robótico sea adecuada para facilitar su

uso y movimiento.

Movimientos

Se requiere que el brazo pueda realizar todos los movimientos que el usuario

desee, es decir, que no exista posiciones únicas para el movimiento del robot.

Precio

Una de las peticiones de los usuarios que siempre se debe tomar en cuenta

es el costo del producto, por tanto, el usuario pide que el costo sea el más

bajo posible.

Ligero

Es necesario que el brazo sea ligero según los usuarios, ya que esto les per-

mitirá transportar el robot sin problemas.

67

Estética

Es muy importante para el cliente que el robot tenga una buena apariencia,

esto es una parte fundamental para que el usuario adquiera el brazo robótico.

Durable

Los usuarios manifiestan su deseo de tener un robot que dure mucho tiempo

y que su mantenimiento sea económico.

Fácil de Usar

Se desea un brazo robótico que sea fácil de operar, que no implique compli-

cadas programaciones o conocimientos específicos para poder usar el brazo.

Riesgos

Que el producto no presente ningún riesgo a la persona que lo manipula.

Funciones

El usuario desea que el brazo pueda usarse para varias funciones, es decir

que su uso no se limite a una sola acción.

Tamaño

Al usuario le importa que el objeto tenga un tamaño adecuado para realizar

varias funciones y que pueda usarse en cualquier espacio.

4.1.2. Voz del ingeniero

Se va a dar la lista de la voz del ingeniero de los requerimientos que este tiene

para el diseño del robot.

Geometría

La geometría que el profesional le va a dar al diseño es muy importante para

cumplir las metas de diseño.

Montaje

Es necesario dar una facilidad de montaje al aparato ya que esto determinará

la facilidad de su ensamblaje y de su posterior mantenimiento.

68

Grados de Libertad

Es fundamental definir los grados de libertad del manipulador ya que estos

van a hacer posible los movimientos del mismo.

Seguridad

Se debe plantear un diseño que represente seguridad en todo momento de la

funcionalidad del brazo articular.

Calidad

El ingeniero debe asegurar un diseño robusto para obtener la calidad deseada

para el producto final.

Mantenimiento

El profesional debe asegurar que el diseño del brazo permita un fácil mante-

nimiento del mismo.

Materiales

Es necesario hacer una excelente selección de materiales para cumplir con

varias de las propuestas del diseño del producto

Operación.

Se debe considerar todos los modos de operación del brazo y elegir el más

óptimo para que el brazo funcione correctamente.

4.2. Especificaciones técnicas

Las especificaciones del brazo articulado, son todas aquellas manifestaciones

claras del conjunto de características, prestaciones o determinaciones que guían el

diseño del robot. Existen dos tipos de especificaciones: (Riba et Al, 2002)

Requerimiento (R, o especificación necesaria)

Son aquellos requerimientos sin los cuales el robot no cumpliría su objetivo.

69

4.2.1. Gráfico de la casa de la calidad

Figura 4.1. Casa de la Calidad Fuente: Propia

Deseo (D, o especificación conveniente)

Es toda aquella determinación que, sin ser vitales para el brazo articulado, hace

que muchos de sus aspectos mejoren.

Como elemento inicial del diseño, conviene ordenar las especificaciones del ro-

bot en un documento rápido al cual se le denomina Especificaciones Técnicas el

70

cual contenga el máximo posible de información útil.

A continuación se presenta la tabla de especificaciones técnicas para el robot

Stanford de 6 GDL (Tabla 4.1).

Tabla 4.1. Especificaciones técnicas

EPN Robot Standford Inicio: 22/02/2016

de 6 GDL Revisión:

ESPECIFICACIONES

Concepto Fecha Propone R/D Descripción

22/02/16 D R Tener 6 grados de libertad.

Función 22/02/16 D D Mover objetos pequeños

22/02/16 D D Función con señal eléctrica.

Dimensiones 23/02/16 D M+R Dimensiones en posición inicial

no mayor a 500x500x500 mm3

23/02/16 D R Peso máximo 2Kg.

Energía 25/02/16 D R Energía mecánica a partir

de pequeños motores eléctricos.

Costos 25/02/16 D D El prototipado no debe

exceder de los 300 dólares.

Vida útil 25/02/16 C R Vida útil de al menos 2 años

como equipo de laboratorio.

Impacto 25/02/16 P D Uso de materiales que se puedan

Ambiental reciclar al final de su vida útil.

Propone: D = Diseño, C = Cliente, P = Producción

R/D: R = Requerimiento, D = Deseo, M+R = Modificación de requerimiento.

71

4.3. Diseño modular

El diseño de máquinas con estructura modular, añade algo de complejidad al

proceso normal de diseño, debido a que se debe considerar cómo afecta la división

de la producción de los módulos en la fabricación del producto. Los productos mo-

dulares son aquellos que están construidos en una serie de bloques constructivos,

que se orienta a ordenar y poner las distintas funciones del producto y que esto

ayude a su fabricación, estos bloques toman el nombre de módulos y la forma en

que se los organiza es la estructura modular.

Para el presente proyecto se van a definir los módulos que se necesitan para la

construcción del robot y además se organizará por niveles la modularidad, es decir,

el nivel 0 será el más básico, en este se representará la función global del brazo

robótico y en el siguiente nivel se descompondrán los módulos necesarios para su

fabricación.

Siguiendo el método de Carles Riba (Riba et Al, 2002) la simbología utilizada es

la siguiente (Tabla 4.2):

Tabla 4.2. Simbología modular

ELEMENTO SÍMBOLO

Función Rectángulo de línea continua

Material Flecha de doble línea continua

Energía Flecha de línea continua

Señal Flecha de línea entrecortada

Sistema, subsistema, módulo Polígono de línea entrecortada

Ahora se va a representar los niveles del Robot Stanford de 6 GDL, debido a

que el diseño de este brazo no representa una complejidad demasiado alta, se

divide tan solo en dos niveles su modularidad, donde probablemente se tendrán

3 módulos, en los cuales se agrupará de tal manera que cada módulo desarrolle

juntas y eslabones a la vez.

72

4.3.1. Nivel 0

Este es el nivel más básico donde representa la función global del brazo robótico

(Fig. 4.2), sus entradas, el tipo de energía que usa y la señal necesaria, así mismo

muestra el resultado final.

Figura 4.2. Nivel 0 Robot Stanford Fuente: Propia

4.3.2. Nivel 1

Este es el nivel más desarrollado para el Robot Stanford (Fig.4.3), tiene 6 accio-

nes las cuales podrían formar 6 módulos o se puede llegar a un arreglo conveniente

para los módulos de fabricación del producto, en la siguiente figura se puede apre-

ciar la distribución del nivel 1.

4.3.3. Módulos

Ahora se va a representar la agrupación de cada módulo como viene en la si-

guiente figura (Fig. 4.4).

4.4. Soluciones para cada módulo

4.4.1. Módulo 1: Base

Este es el primer módulo del robot, aquí se van a presentar las alternativas para

la base, junta y eslabón 1 del manipulador.

Base

Para la base se encuentran las siguientes alternativas:

73

Semi-Esférica

Este modelo de base es de forma semi-esférica con alojamientos para la junta

rotatoria y para el eslabón número 1 (Fig. 4.5)

Figura 4.3. Nivel 1 Robot Stanford Fuente: Propia

74

Figura 4.4. Módulos Stanford Fuente: Propia

Figura 4.5. Base semi-esférica Fuente: Propia

75

Ventajas

Es una alternativa sencilla de construir

Tiene un área grande de base

Desventajas

Utiliza mucho material en su construcción

No permite un anclaje seguro al piso

No se consigue una gran altura para el eslabón 1

Base Cilíndrica

Este modelo tiene como referencia que tiene las dos caras paralelas circulares,

de poca altura y buena fijación. (Fig. 4.6)

Figura 4.6. Base cilíndrica Fuente: Propia

Ventajas

Es una alternativa sencilla de construir.

Es más fácil anclar al piso.

Menor material que la solución anterior.

Desventajas

Si se quiere elevar más al eslabón 1 se gasta mucho material

76

Poco espacio para ubicar al servomotor

Base con tubo redondo

Esta alternativa tiene una base de área grande junto a un tubo redondo vertical.

(Fig. 4.7)

Figura 4.7. Base con tubo redondo Fuente: Propia

Ventajas

Permite mayor versatilidad del diseño.

Es más fácil anclar al piso.

Menor cantidad de material.

Se gana altura y hay espacio para el servomotor.

Desventajas

La construcción es un poco más dificultosa.

Junta 1

Para la junta rotatoria número 1, se decide ubicar un rodamiento de bolas, es la

opción más sencilla, ya que es un elemento normalizado, no hace falta diseñarlo y

cumple de manera satisfactoria la función que va a desempeñar.(Fig. 4.8)

77

Figura 4.8. Rodamiento Fuente: Propia

Eslabón1

Para el primer eslabón se presentan las siguientes alternativas

Eje con estrías

Se presenta una alternativa con un eje redondo y cambio de sección, radio de

acuerdo y dos estrías que servirán de guía para el siguiente módulo. (Fig. 4.9)

Figura 4.9. Eje con estrías Fuente: Propia

Ventajas

Permite mayor versatilidad del diseño.

Permite una buena unión al segundo módulo.

78


Desventajas

La construcción es un poco más dificultosa.

Más detalles en el diseño.

Eje Cuadrado

Esta solución se hace mediante eje cuadrado, presenta un cambio de sección y

forma. (Fig. 4.10)

Figura 4.10. Eje cuadrado Fuente: Propia

Ventajas

No necesita añadir elementos para el acople.

Poca cantidad de material.

Desventajas

La construcción es dificultosa.

Cambio muy brusco de sección.

79

Eje Redondo

Esta solución se hace mediante eje redondo, puede tener o no un cambio de

sección. (Fig. 4.11)

Figura 4.11. Eje redondo Fuente: Propia

Ventajas

Muy sencillo de construir.

Poca cantidad de material.

Desventajas

Necesita elementos extras para el acople.

4.4.2. Alternativas módulo 1

Se va a realizar la combinación entre las soluciones de cada elemento antes

presentado para obtener las alternativas para el módulo 1. (Fig. 4.12)

Resultado de esta combinación se obtienen 3 alternativas de diseño para el mó-

dulo 1.

ALTERNATIVA 1

Como se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.13) el boceto de la alternativa

número 1 para el módulo 1.

80

Figura 4.12. Alternativas Módulo 1 Fuente: Propia

Figura 4.13. Alternativa 1 Fuente: Propia

ALTERNATIVA 2

Se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.14) el boceto de la alternativa número 2

para el módulo 1.

81


ALTERNATIVA 3


para el módulo 1.


4.4.3. Evaluación y selección de las alternativas

Los criterios con los cuales se va a escoger la alternativa adecuada para este

módulo son los siguientes:

Montaje, El mecanismo debe presentar facilidad de montaje.

Material, Se refiere a la cantidad de material que se usa en la construcción del

brazo.

Peso, El peso final de los mecanismos debe ser bajo.

82

Geometría, Se hace mención en cuanto a la forma que presente el elemento

y que esta permita ser construida de manera rápida y fácil.

En la siguiente tabla consta la evaluación de cada criterio para el módulo 1 (Tabla

4.3)

Tabla 4.3. Evaluación de criterios módulo 1

CRITERIO Montaje Material Precio Geometría Σ + 1 Ponderado

Montaje - 0.5 0.5 1.0 3.0 0.30

Material 0.5 - 0.5 0.5 2.5 0.25

Precio 0.5 0.5 - 0 2.0 0.20

Geometría 0 0.5 1.0 - 2.5 0.25

MONTAJE > MATERIAL = GEOMETRÍA > PRECIO

Evaluación de las alternativas respecto al Montaje (Tabla 4.4).

Tabla 4.4. Evaluación del criterio de montaje

MONTAJE Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado

Alternativa 1 - 1.0 1.0 3.0 0.50

Alternativa 2 0 - 0.5 1.5 0.25

Alternativa 3 0 0.5 - 1.5 0.25

ALTERNATIVA 1 > ALTERNATIVA 2 = ALTERNATIVA 3

Evaluación de las alternativas respecto al Material (Tabla 4.5).

Tabla 4.5. Evaluación del criterio de material

MATERIAL Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado

Alternativa 1 - 1 1 3 0.500

Alternativa 2 0 - 1 2 0.333

Alternativa 3 0 0 - 1 0.167

ALTERNATIVA 1 > ALTERNATIVA 2 > ALTERNATIVA 3

83

Evaluación de las alternativas respecto al Precio (Tabla 4.6).

Tabla 4.6. Evaluación del criterio de precio

PRECIO Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado

Alternativa 1 - 0 0 1.0 0.166

Alternativa 2 1.0 - 0.5 2.5 0.416

Alternativa 3 1.0 0.5 - 2.5 0.417

ALTERNATIVA 2 = ALTERNATIVA 3 > ALTERNATIVA 1

Evaluación de las alternativas respecto a la Geometría (Tabla 4.7).

Tabla 4.7. Evaluación del criterio de geometría

GEOMETRÍA Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado





En la siguiente tabla se presenta la conclusión de la evaluación de las alter-

nativas para el módulo 1, esto nos permitirá escoger una de las tres soluciones

planteadas. (Tabla 4.8)

Tabla 4.8. Conclusión evaluación de criterios módulo 1

CONCLUSIÓN Montaje Material Precio Geometría Σ Orden

Alternativa 1 0.150 0.125 0.033 0.125 0.4330 1

Alternativa 2 0.075 0.083 0.083 0.041 0.2833 2=3

Alternativa 3 0.075 0.041 0.083 0.083 0.2833 2=3

ALTERNATIVA 1 > ALTERNATIVA 2 = ALTERNATIVA 3

Por lo tanto la solución aceptada para este módulo es la ALTERNATIVA 1

84

4.4.4. Módulo 2: Junta prismática

Este es el segundo módulo del robot, aquí se van a presentar las alternativas

para junta rotatoria , junta prismática y los eslabones 2 y 3 del manipulador.

Junta rotatoria

Para la junta rotatoria se encuentran las siguientes alternativas:

Acople 1

Este modelo indica una junta abierta con alojamientos para rodamientos de igual

tamaño como se indica en la figura. (Fig. 4.16)

Figura 4.16. Acople para junta rotatoria Fuente: Propia

Ventajas

Es una alternativa sencilla de construir.

Usa menor cantidad de material.

Usa Rodamientos de igual tamaño.

Fácil montaje.

Desventajas

85

Se debe usar tolerancias adecuadas para el montaje.

Es abierto y no protege al servomotor.

Acople 2

Este modelo indica una junta cerrada con alojamientos para rodamientos de

distinto tamaño como se indica en la figura. (Fig. 4.17)

Figura 4.17. Acople cerrado para junta rotatoria Fuente: Propia

Ventajas

Protege a los elementos dentro de la junta.

Desventajas

Usa rodamientos de diferentes tamaños.

Utiliza mayor cantidad de material.

Montaje más complicado

Eslabón 2

Para el eslabón 2 se encuentran las siguientes alternativas:

Eje con estrías y cambio de sección

Este eje presenta un cambio de sección y dos estrías en su lado más delgado

para el posterior acople como se observa en la siguiente figura. (Fig. 4.18)

86

Figura 4.18. Eje con estrías y cambio de sección Fuente: Propia

Ventajas

Facilidad de montaje.

Se acopla a rodamientos de igual tamaño.

Desventajas

Mayor Cantidad de material.

Se debe calcular bien las tolerancias.

Eje con dos cambios de sección

Este eje presenta dos cambios de sección y dos estrías para el posterior acople

como se observa en la siguiente figura. (Fig. 4.19)

Figura 4.19. Eje con dos cambios de sección Fuente: Propia

Ventajas

Se puede desmontar más fácilmente.

Usa menor cantidad de material.

Más ligero.

87

Desventajas

Usa rodamientos de diferentes tamaños.

Se debe controlar mejor los cambios de sección.

Junta prismática

Para la junta prismática se desarrolló una única solución, que consta de una

guía para el eslabón mediante rodillos que limita los grados de libertad a uno solo.

Junta Prismática

Esta junta permite el movimiento únicamente lineal del eslabón número 3 y se

asegura el movimiento lineal mediante rodillos. (Fig. 4.20)

Figura 4.20. Junta prismática Fuente: Propia

Ventajas

Asegura el movimiento lineal.

Se acopla fácilmente al eslabón 2.

Desventajas

Usa bastante Material.

Usa muchos rodamientos.

88

Eslabón 3

A continuación se presentan dos soluciones para el tercer eslabón.

Eslabón vaciado

Se usa un eslabón vaciado de sección rectangular con alojamiento para la junta

precedente como se muestra en la figura (Fig. 4.21)

Figura 4.21. Eslabón vaciado Fuente: Propia

Ventajas

Usa menor cantidad de material

Es más ligero.

Protege al servomotor

Posee guías a los extremos

Desventajas

Dificultad de construcción.

Eslabón macizo

Se usa un eslabón macizo de sección rectangular con alojamiento para la junta

precedente como se muestra en la figura (Fig. 4.22)

Figura 4.22. Eslabón macizo Fuente: Propia

89

Ventajas

Más fácil de construir

Desventajas

No posee guías.

Utiliza mayor cantidad de material

Más pesado.





90

Resultado de esta combinación se tienen 3 alternativas de diseño para el módulo

2.

ALTERNATIVA 1




ALTERNATIVA 2


para el módulo 2.


ALTERNATIVA 3


para el módulo 2.

91







brazo.


Construcción, Se hace mención en cuanto a la dificultad constructiva de cada

elemento

En la siguiente tabla consta la evaluación de cada criterio para el módulo 2.

(Tabla 4.9)


CRITERIO Montaje Material Peso Construcción Σ + 1 Pond.

Montaje - 0 1.0 1.0 3.0 0.30

Material 1.0 - 0.5 0.5 3.0 0.30

Peso 0 0.5 - 0 1.5 0.15

Construcción 0 0.5 1.0 - 2.5 0.25

MATERIAL > CONSTRUCCIÓN > MONTAJE > PESO


92










Alternativa 1 - 0.5 1.0 2.5 0.416

Alternativa 2 0.5 - 1.0 2.5 0.416

Alternativa 3 0 0 - 1.0 0.167


Evaluación de las alternativas respecto al Peso (Tabla 4.12).

Tabla 4.12. Evaluación del criterio de peso

PESO Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado

Alternativa 1 - 0 0.5 1.5 0.250

Alternativa 2 1.0 - 0.5 2.5 0.416

Alternativa 3 0.5 0.5 - 2.0 0.334


Evaluación de las alternativas respecto a la Construcción (Tabla 4.13).

Tabla 4.13. Evaluación del criterio de construcción.

CONSTRUCCIÓN Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado




93







Alternativa 1 0.1000 0.1250 0.0375 0.0416 0.3040 3

Alternativa 2 0.1500 0.1250 0.0625 0.1250 0.4625 1

Alternativa 3 0.0500 0.0500 0.0500 0.0833 0.2330 3



4.4.7. Módulo 3: Actuador

Este es el último módulo en el que se va separar la construcción del robot, este

contiene los eslabones finales y las juntas de rotación finales.

Eslabón 4

Para el eslabón 4 se encuentran las siguientes alternativas:

Eje cuadrado

Este modelo de eje es de forma cuadrada con cambio de sección orificio, para

la junta de rotación tal como se ve en la siguiente figura. (Fig. 4.27)

Figura 4.27. Eje Cuadrado Fuente: Propia

94

Ventajas

Es una alternativa sencilla de construir

El cálculo del elemento es más sencillo

Desventajas

Utiliza mucho material en su construcción

No es muy estético

Brazos

Esta alternativa consta de dos brazos rectangulares equidistantes del eje central.

(Fig. 4.28)

Figura 4.28. Brazos rectangulares Fuente: Propia

Ventajas

Utiliza muy poco material.

Es estético.

Reduce el peso.

Desventajas

Más compleja su construcción.

95

Juntas de rotación

Rodamientos

Para este módulo como en en los anteriores se escoge como alternativa única

el uso de rodamientos de bolas para las juntas de rotación. (Fig. 4.8)

Eslabón 5

Eje rectangular

Como alternativa se presenta un eslabón rectangular con alojamientos para el

rodamiento y un pasador como se ve en la siguiente figura. (Fig. 4.29)

Figura 4.29. Eje rectangular Fuente: Propia

Ventajas

Facilidad de construcción.

Fácil montaje.

Desventajas

Se usa mucho material.

Muy pesado.

Forma C

Esta alternativa se presenta un eslabón con forma de C como se ve en la si-

guiente figura. (Fig. 4.30)

96

Figura 4.30. Eslabón C. Fuente: Propia

Ventajas

Utiliza muy poco material.

Permite alojar al servomotor.

Reduce el peso.

Facilidad de movimiento.

Desventajas

Más compleja su construcción.

Se deben calcular bien las tolerancias.

Eslabón 6

Pinza

Se presenta la alternativa de una pinza para el eslabón final. (Fig. 4.31)

Figura 4.31. Pinza Fuente: Propia

97

Ventajas


Fácil montaje.

Desventajas

Utiliza mayor cantidad de material.

Eje Cilíndrico

Se presenta la alternativa de eje cilíndrico para el eslabón 6. (Fig. 4.32)

Figura 4.32. Eje cilíndrico Fuente: Propia

Ventajas


Fácil montaje.


Desventajas

No da muchas opciones de agarre.




98


Resultado de esta combinación se tienen 3 alternativas de diseño para el módulo

3.

ALTERNATIVA 1




ALTERNATIVA 2


para el módulo 3.

99


ALTERNATIVA 3


para el módulo 3.







brazo.


Construcción, Se hace mención en cuanto a la dificultad constructiva de cada

elemento

100

En la siguiente tabla consta la evaluación de cada criterio para el módulo 3.

(Tabla 4.15)


CRITERIO Montaje Material Peso Construcción Σ + 1 Pond.

Montaje - 0 0 1.0 2.0 0.20

Material 1.0 - 0.5 1.0 3.5 0.35

Peso 1.0 0.5 - 0 2.5 0.25

Construcción 0 0 1.0 - 2.0 0.20

MATERIAL > PESO > MONTAJE = CONSTRUCCIÓN











Alternativa 1 - 0.5 1.0 2.5 0.416

Alternativa 2 0.5 - 1.0 2.5 0.416

Alternativa 3 0 0 - 1.0 0.167


Evaluación de las alternativas respecto al Peso (Tabla 4.18).

101

Tabla 4.18. Evaluación del criterio de peso

PESO Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado




ALTERNATIVA 1 = ALTERNATIVA 2 = ALTERNATIVA 3

Evaluación de las alternativas respecto a la Construcción (Tabla 4.19).

Tabla 4.19. Evaluación del criterio de construcción.

CONSTRUCCIÓN Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Σ + 1 Ponderado










Alternativa 1 0.1000 0.1458 0.0830 0.1000 0.4291 1

Alternativa 2 0.0666 0.1458 0.0830 0.0660 0.3625 3

Alternativa 3 0.0330 0.0583 0.0830 0.0330 0.2038 2



Después de haber escogido la selección adecuada para cada módulo e inte-

grando cada uno de ellos en una única solución para el Robot Stanford de 6 grados

102

de libertad se tiene la siguiente solución para la máquina.

ROBOT STANFORD

Se muestra en la siguiente figura (Fig. 4.37) el boceto de la máquina a ser dise-

ñada.

Figura 4.37. Robot Standford 6 GDL Fuente: Propia

Para facilitar la comprensión y la búsqueda de los elementos que se van a dise-

ñar posteriormente se presenta un gráfico (Fig. 4.38) con los elementos a diseñarse

y la ubicación de los mismos en el brazo manipulador.

4.5. Cálculo de los elementos del robot

Para el cálculo de los elementos del robot se va a hacer uso de dos fuen-

tes principales de bibliografía, el libro de Diseño de elementos de Máquinas de

Shigley(Budynas G., 2012) y el libro de Mecánica de Materiales de Gere(Gere,

2010), además se van a mantener constantes los siguientes valores a lo largo de

todo el proceso de cálculo de los elementos(MakerBot, 2012).

Material: PLA

Densidad en peso del PLA (γ): 12,5(kN/m3)

Esfuerzo de flexión del PLA (Sy): 60(MPa)

103

Factor de seguridad (FS): 3 en los elementos sin combinación de cargas.

Figura 4.38. Elementos a diseñarse Fuente: Propia

4.5.1. Cálculo del eslabón 6

Figura 4.39. DCL eslabón 6 Fuente: Propia

Este es el eslabón final del robot y el que va a estar en contacto con la carga, en

la siguiente figura (Fig. 4.38) se aprecia el Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) para el

104

eslabón número 6.

El peso propio del elemento se calcula mediante la siguiente ecuación. (Ec. 4.1)

q = γA (4.1)

q = γ(πd2

4)

Donde:

q Carga distribuida del peso propio del elemento.

γ Densidad en peso del PLA.

A Área de la sección (circular).

El momento máximo se da en el lugar del empotramiento y se calcula de la

siguiente manera (Ec. 4.2):

ΣM = 0

M = PL+ qL2

2(4.2)

Mmax = PL+ γ(π ∗ d2

4)L2

2

Donde

P Es la carga que soportará el manipulador e igual a 1kg

L Es la longitud del claro del elemento con un valor de 40mm

d Es el diámetro mínimo de la sección circular del elemento y que será calculado

posteriormente.

Cálculo de la fuerza cortante en el extremo empotrado.

ΣFy = 0

105

V = P + qL (4.3)

Módulo de sección circular(Gere, 2010).

S =πd3

32(4.4)

Igualando momentos(Gere, 2010)

Mmax = σadm ∗ S (4.5)

Donde

σadm =Sy

FS= 20MPa (4.6)

Igualando ecuaciones (Ec. 4.4)(Ec. 4.5) y agrupando datos, tenemos lo siguien-

te:

σadmd3− 4γL2d2 −

32PL

π= 0 (4.7)

Asignando una longitud L = 40mm y resolviendo la ecuación anterior (Ec. 4.7)

se obtiene el diámetro mínimo para el eslabón número 6.

d = 0,005849m

d = 6mm

Para el cambio de sección de la pieza se debe calcular el diámetro mayor de

la sección. Los datos se hacen mediante la figura A-15-9 del libro de Shigley en la

página 1028(Budynas G., 2012).

Se escoge un radio de acuerdo de 1mm, el diámetro menor es d = 6mm y se

escoge un factor de corrección de sección muy bueno de Kt = 1,3

r

d=

1

6= 0,16 (4.8)

106

Con este último valor y la figura del libro de Shigley A-15-9 (Budynas G., 2012)

se halla la siguiente relación

D

d= 1,5 (4.9)

D = 1,5d = 9mm


Para este eslabón se considera el siguiente DCL (Fig. 4.39), donde se van pa-

sando en cadena las cargas a cada elemento y poder calcular cada elemento como

si fuera un elemento individual. El peso del rodamiento es despreciable.


Donde:

q1 Peso propio del eslabón 5.

W Peso del servomotor, equivalente a 50g

P1 Cargas resultantes del elemento anterior (eslabón 6).

M1 Momento debido al empotramiento.

V1 Fuerza cortante debido al empotramiento.

M Momento máximo que se transfiere desde el eslabón 6 a este elemento.

L Longitud del elemento y equivalente a 45mm

107

Se calcula la carga P1 (Ec. 4.10) que viene de la fuerza cortante del elemento

anterior mediante la siguiente ecuación.

P1 = P + qL = 9,82N (4.10)


siguiente manera:

ΣM = 0

M1 = P1L+ q1bhL2

2+WL+M = Mmax (4.11)

Donde:

b Es la longitud de la base rectangular de la sección, su valor es de 25mm debido

al ancho que puede ocupar el servomotor.

h Es la longitud de la altura del rectángulo de la sección y la cual será calculada

posteriormente.

Módulo de sección rectangular(Gere, 2010)

S =bh2

6(4.12)

Se igualan las ecuaciones (Ec. 4.11) (Ec. 4.12) y agrupando datos se tiene:

Mmax = σadmS (4.13)

P1L+ q1bhL2

2+WL+M = σadm

bh2

6(4.14)

Se reemplaza valores y resolviendo la ecuación (Ec. 4.14) se obtiene el siguiente

resultado:

h = 0,00556m

h = 6mm

108

Se calcula la fuerza cortante V1 que se usará para el cálculo del siguiente ele-

mento mediante la ecuación que sigue:

V1 = τAL+W + P1 (4.15)

V1 = 10,84N

4.5.3. Cálculo del pasador 40

Ahora se va a realizar el cálculo del pasador que une al eslabón 5 con el eslabón

4, este elemento va a estar sometido a una combinación de cargas como se ve en

el DCL (Fig. 4.40). Por lo tanto se van a usar teorías de falla a carga estática para

el cálculo de las dimensiones de este elemento.

Figura 4.41. DCL pasador Fuente: Propia

Donde:

Ra Reacción en en el apoyo A.

Rb Reacción en en el apoyo B.

V1 Es la fuerza que se aplica del elemento anterior.

T Es el torque aplicado debido al momento del eslabón 5.

L Longitud del claro del elemento igual a 40mm.

109

Cálculo de las reacciones en los apoyos.

ΣFy = 0

V1 = Ra +Rb (4.16)

ΣMa = 0

V1L

2−RbL = 0 (4.17)

Se resuelve la ecuación (Ec. 4.17) y se tiene el resultado de la reacción Rb luego

se reemplaza en la ecuación anterior (Ec. 4.16) y se tiene el resultado de la reacción

Ra.

Ra = 5,42N

Rb = 5,42N

Para el cálculo del momento máximo en el elemento se usa la Tabla A-9 del

apéndice A del libro de Shigley(Budynas G., 2012), con lo cual se obtiene la si-

guiente fórmula.

Mmax = V1L

4(4.18)

Mmax = 0,06775Nm

El torque T es igual a al momento M1 del eslabón 5 y si se reemplazan valores

en la ecuación (Ec. 4.11) se tiene:

T = M1 = 2,717Nm

Ahora se hallan los esfuerzos normal y cortante(Budynas G., 2012) como sigue:

110

σx =32Mmax

πd3(4.19)

τxy =16T

πd3(4.20)

Se reemplazan valores en estas dos ecuaciones y se tiene:

σx =0,69

d3

τxy =13,8376

d3

Ahora se hallan los esfuerzos principales mediante las siguientes ecuaciones

(Budynas G., 2012).

σ1,2 =σx + σy

2±

√

(σxσy

2)2 + τ 2xy (4.21)

Si se reemplazan valores en estas ecuaciones (Ec. 4.19) (Ec. 4.20) se tiene los

dos esfuerzos principales como sigue:

σ1 =0,345

d3+ 13,8419

√

1

d6

σ2 =0,345

d3− 13,8419

√

1

d6

Se aplica la teoría de falla del esfuerzo cortante máximo para materiales dúctiles

y se tiene lo siguiente.

σ′ = σ1 − σ2 (4.22)

Finalmente se aplica la fórmula del factor de seguridad(Budynas G., 2012), que

en este caso va a ser igual a 2, se tiene la siguiente ecuación.

σ′ =Sy

FS(4.23)

FS =Sy

σ1 − σ2

(4.24)

111

Se reemplazan valores en esta ecuación (Ec. 4.21) y se resuelve para el diáme-

tro mínimo d se obtiene lo siguiente:

d = 0,0097m

d = 10mm


Para este eslabón se considera el siguiente DCL (Fig. 4.41), donde se van pa-

sando en cadena las cargas a cada elemento y poder así calcular cada eslabón

como si fuera un elemento individual. El peso del pasador es despreciable, además

se va a hacer el cálculo para uno de los brazos ya que para el otro será idéntica su

forma de calcular.


Donde:


W1 Peso del servomotor equivalente a 50g.

P2 Cargas resultantes del elemento anterior (pasador 1) equivalente a 10,84N .


V3 Fuerza cortante debido al empotramiento.

112

M1 Momento máximo que se transfiere desde el pasador 1 a este elemento.

L Longitud del claro del elemento igual a 60mm


siguiente manera, cabe mencionar que las fuerzas se distribuyen en los dos brazos

de igual manera y por esa razón se ponen la mitad de las cargas en el cálculo:

ΣM = 0

M3 =P2

2L+ q2bh

L2

2+

W1

2L+

M1

2= Mmax (4.25)

Donde:

b Es la longitud de la base rectangular de la sección, su valor es de 6mm.

h Es la longitud de la altura del rectángulo de la sección debido a la altura de los

rodamientos y su valor es de 25mm.

Módulo de sección rectangular(Gere, 2010)

S =bh2

6(4.26)

Se iguala ecuaciones (Ec. 4.25) (Ec. 4.26) y se agrupa los datos para obtener lo

siguiente:

Mmax = σadmS (4.27)

P2

2L+ q2bh

L2

2+

W1

2L+

M1

2= σadm

bh2

6(4.28)

Se reemplazan valores y se resuelve la ecuación (Ec. 4.28) para obtener el si-

guiente resultado:

Mmax = M3 = 1,7Nm

Con este valor y la ecuación siguiente podemos hallar el factor de seguridad con

el que estamos trabajando.

113

FS =Sy

Mmax

FS = 9

Ahora se van a calcular las reacciones en el apoyo, M4 y V4.

M4 = M3 + γAL2

2(4.29)

M4 = 3,2301Nm

V4 = P3 + γAL (4.30)

V4 = 11,8266N

4.5.5. Cálculo del eje de unión 1

Ahora se presenta el cálculo del eje circular que une al eslabón 4 con el eslabón

3 y su DCL (Fig. 4.42).

Figura 4.43. DCL eje Fuente: Propia

Donde:

q3 Carga distribuida del peso propio del elemento.

γ Densidad en peso del PLA.

A Área de la sección (circular).

114

P3 Es la sumatoria de las cargas que vienen del elemento anterior (eslabón 4) y el

peso del servomotor W2


Se calcula la fuerza P4

P3 = V3 +W2 + q3L (4.31)

P3 = 11,8266N

El peso propio del elemento se calcula mediante la siguiente ecuación (Ec. 4.32).

q3 = γA (4.32)

q3 = γ(πd2

4)


siguiente manera:

ΣM = 0

Mmax = P4L+ γ(π ∗ d2

4)L2

2+M3 (4.33)

Donde


d Es el diámetro mínimo de la sección circular del elemento y que será calculado

posteriormente.

Módulo de sección circular(Gere, 2010).

S =πd3

32(4.34)

Se iguala momentos(Gere, 2010)

115


Donde

σadm =Sy

FS= 20MPa (4.36)

Se igualan las ecuaciones (Ec. 4.33) (Ec. 4.36) y se agrupan datos para obtener

lo siguiente:

P3L+ γ(π ∗ d2

4)L2

2+M3 = σadm ∗ S (4.37)

Se asigna una longitud L = 10mm y se resuelve la ecuación anterior. Se obtiene

el diámetro mínimo para el eje de unión 1.

d = 0,012m

d = 12mm

Se hallan las reacciones V4 y M4, el momento viene de la ecuación (Ec. 4.33),

por lo tanto los valores de estas dos reacciones será:

V4 = 11,83N

M4 = 3,23Nm


Este eslabón tendrá una configuración de tubo cuadrado y su DCL se verá en la

figura siguiente (Fig. 4.43)

116


Donde:



P4 Carga resultante del elemento anterior (eje de unión) el cual fue posteriormente

calculado.

M4 Carga resultante del elemento anterior (eje de unión) el cual fue posteriormente

calculado.


v5 Fuerza cortante debido al empotramiento.


siguiente manera (Ec. 4.38):

ΣM = 0

Mmax = P4L+ γAL2

2+M4 +W3

L

2(4.38)

Donde


A Área de la sección de tubo rectangular.

117

El área de esta sección se calcula de la siguiente manera (Cándido, 2009) :

A = BH − bh

Donde:

B Medida de la base 25mm del rectángulo exterior.

H Dimensión de la altura 40mm del rectángulo exterior.

b Es la medida de la base del rectángulo interior y debe guardar la siguiente relación

con su altura:h

b=

5

8.

h Es la dimensión de la altura del rectángulo interior.

Módulo de sección de tubo rectangular (Cándido, 2009).

S =BH3

− bh3

6H(4.39)

Se usa la relación entre el momento máximo y el módulo de sección y se tiene

lo siguiente:


Donde

σadm =Sy

FS= 20MPa (4.41)

El factor de seguridad tiene un valor de FS = 3.

Se reemplazan valores en la ecuación anterior (Ec. 4.40) y se tiene:

P4L+ γAL2

2+M4 +W3

L

2= σadm ∗ S (4.42)

Se resuelve la ecuación (Ec. 4.42) para la variable h y se tiene:

h = 0,023m

118

h = 23mm

b = 0,038m

b = 38mm

Cálculo de las cargas M5 y V5, siendo Mmax = M5.

M5 = 4,447Nm

V5 = P4 + γAL+W3 (4.43)

V5 = 12,5N

4.5.7. Cálculo de los ejes de la junta prismática

Se va a proceder a calcular los ejes que soportarán al eslabón 3 en la junta

prismática, se va hacer el cálculo para la posición más crítica que es los dos ejes

inferiores que se ubican de forma horizontal y se tomará esas dimensiones para

todo el resto de ejes de la junta, en la siguiente figura (Fig. 4.44) se observa el DCL

de uno de los ejes.

Figura 4.45. DCL ejes junta prismática Fuente: Propia

Donde:

119



V5 Es la fuerza que se aplica del elemento anterior.

L Longitud del elemento equivalente a 60mm.

Para el cálculo de las reacciones se sabe que por simetría de las fuerzas el valor

de cada una de ellas será:

Ra = Rb = V5/4 (4.44)

Ra = Rb = 3,125N

El cálculo del momento máximo para esta configuración de viga viene dado en

la Tabla A-9 del libro de Shigley (Budynas G., 2012)

Mmax =V5

2

L

4(4.45)

Mmax = 0,0625Nm

Se usa la relación con el módulo de sección:


V5

2

L

4= σadm ∗ S (4.47)

Se resuelve esta ecuación (Ec. 4.47) y se encuentra el diámetro mínimo del eje.

d = 0,00392m

d = 4mm

120


Ahora se presenta el cálculo para el eslabón 2, se va a calcular el elemento

para el punto crítico B tal como se ve en el DCL siguiente (Fig. 4.45), además, se

calculará el cambio de sección en el elemento.


Donde:



P5 Es la fuerza que se aplica del elemento anterior.

T2 Es el torque aplicado debido al momento del eslabón 3.

L1 Longitud del claro del elemento desde el punto A hacia el B, igual a 50mm.

L2 Longitud del voladizo del elemento, igual a 30mm.

Cálculo de las reacciones:

ΣFy = 0

P5 = Ra +Rb (4.48)

P5 = V5 +Wp (4.49)

121

Donde Wp es el peso de la junta prismática, en este caso la consideramos des-

preciable pero si se trabajan con materiales más pesados es necesario tomarlo en

cuenta.

ΣMB = 0

RaL1 = P5(L1 + L2) (4.50)

P5 −Ra = Rb (4.51)

Se resuelve este sistema de ecuaciones (Ec. 4.50) (Ec. 4.51) y se tiene:

Ra = 20N

Rb = −7,5N

El signo negativo indica que se tomó mal el sentido de la fuerza Rb y el mismo

se ve en el DCL de la figura (Fig. 4.45).

Se realiza el análisis del punto crítico A, es decir del voladizo del elemento.

Se hallan los esfuerzos cortantes y normales del elemento:

σx =32Mmax

πd3(4.52)

τxy =16T2

πd3(4.53)

Ahora hallamos Mmax:

Mmax = P5L2 (4.54)

Ahora se debe modificar estos esfuerzos debido al cambio de sección del ele-

mento y después de un cálculo de prueba y error, se halla el Kt para este elemento y

este es igual a 1.4, la modificación a los esfuerzos se realiza de la siguiente manera.

122

σx = Kt(32Mmax

πd3) (4.55)

τxy = Kt(16T2

πd3) (4.56)

Luego de esto se hallan los esfuerzos principales con las ecuaciones siguientes:

σ1,2 =σx + σy

2±

√

(σxσy

2)2 + τ 2xy (4.57)

Se reemplazan valores en estas ecuaciones (Ec. 4.57) y se tienen los dos es-

fuerzos principales como sigue:

σ1 =5,34

d3+ 32,1466

√

1

d6

σ2 =5,34

d3− 32,1466

√

1

d6

Se aplica la teoría de falla del esfuerzo cortante máximo para materiales dúctiles

y se tiene lo siguiente.

σ′ = σ1 − σ2 (4.58)

Se aplica la fórmula del factor de seguridad(Budynas G., 2012), que en este

caso va a ser igual a 2 y se tiene la siguiente ecuación.

σ′ =Sy

FS(4.59)

FS =Sy

σ1 − σ2

(4.60)

Se remplaza valores en esta ecuación (Ec. 4.60) y si se resuelve para el diámetro

mínimo d se tiene lo siguiente:

d = 0,0147m

d = 15mm

123

Ahora mediante la Figura A-15-9 del Libro de Shigley(Budynas G., 2012) se

puede obtener el diámetro de la sección mayor del eje.

r

d=

1

15= 0,06 (4.61)

Kt = 1,4 (4.62)

D

d= 1,15 (4.63)

D = 1,5d = 17mm


Este es el último elemento a calcularse del robot, aunque es el primer eslabón

en la cadena, a continuación se presenta su DCL (Fig. 4.46).


124

Donde

P5 Es la fuerza que se aplica del elemento anterior.

M5 Es la momento que se aplica del elemento anterior.

V6 Es la fuerza que se aplica en el apoyo del elemento

M6 Es la momento que se aplica en el apoyo del elemento

L Longitud del claro del elemento, igual a 100mm.

Se calcula la fuerza P6 de la siguiente manera.

P6 = P5 +Wr +WE2 (4.64)

Siendo Wr el peso de la junta de rotación y WE2 el peso del eslabón 2 se tiene

que:

P5 = 13,5N

Ahora se halla el momento máximo que es el momento M6

M6 = M5 + P5L (4.65)

Se usa la fórmula del módulo de sección:

S =πd3

32(4.66)

Se igualan momentos(Gere, 2010)

Mmax = M5 + P5L (4.67)

Se llega a la siguiente ecuación.

M5 + P5L = σadmS (4.68)

Se reemplazan valores en esta ecuación (Ec. 4.68) y se tiene el valor del diáme-

tro mínimo d.

125

d = 0,014m

d = 14mm

Ahora se va a calcular el cambio de sección de este elemento con un factor de

cambio de sección Kt = 1,5

Mediante la Figura A-15-9 del Libro de Shigley(Budynas G., 2012) se puede obtener

el diámetro de la sección mayor del eje.

r

d=

1,2

14= 0,06 (4.69)

Kt = 1,5 (4.70)

D

d= 1,15 (4.71)

d = 12mm

Con esto se llega al final de los cálculos de los elementos del robot, no se pre-

senta un cálculo de las juntas 1, 2 y de la base debido a que estas fueron sobre-

dimensionadas en base a los resultados de los eslabones precedentes a las mis-

mas.

Ahora se presenta una tabla con las dimensiones de cada uno de los eslabones,

la misma puede ser usada en la sección 3 para las ecuaciones halladas en la mis-

ma.

En esta tabla (Tabla 4.21) por efectos de la notación de la sección 3, se denomi-

na di a la longitud de los eslabones, φi al diámetro de los eslabones y con las letras

B, b a las bases y H, h a las alturas de los rectángulos.

126

Tabla 4.21. Dimensiones de los eslabones.

Eslaboni di φi

1 100mm 14mm

2 80mm 15mm

3 100mm B = 25mm,H = 40mm

4 60mm b = 6mm,h = 21mm

5 45mm b = 25mm,h = 6mm

6 40mm 6mm

Se presentan un plano de conjunto del robot y todos los planos de taller de los

elementos no normalizados en la sección de ANEXOS del presente trabajo.

127

5. PROTOTIPADO RÁPIDO DEL ROBOT STANFORD

En este capítulo se van a encontrar las imágenes del prototipado rápido del bra-

zo manipulador, el cual fue hecho mediante el proceso de modelado por deposición

fundida (FDM) descrito en el capítulo 1 del presente trabajo.

Además cabe mencionar que el proceso de manufactura aditiva fue realizado

en la impresora Ultimaker Original+, y sus especificaciones son las siguientes (Fig.

5.1):

Figura 5.1. Especificaciones Ultimaker Original+ (Ultimaker, 2016)

5.1. Pototipado de los eslabones del brazo

5.1.1. Protipado del eslabón 6

Se presenta en la siguiente figura (Fig. 5.2) el resultado del prototipado del esla-

bón 6.

128

Figura 5.2. Prototipado eslabón 6 Fuente: Propia

5.1.2. Protitpado del eslabón 3

Se presenta en las siguientes figuras (Fig. 5.3, 5.4) el resultado del prototipado

del eslabón 3.


Figura 5.4. Prototipado eslabón 3, frontal Fuente: Propia

5.1.3. Prototipado del eslabón 2


bón 2.

129


5.1.4. Prototipado del eslabón 1


bón 1.


Las figuras de las eslabones 4 y 5 se presentan en las figuras de los ensambla-

jes.

5.2. Prototipado de las juntas y la base

5.2.1. Prototipado de la base

Se presenta en las siguientes figuras (Fig. 5.7, Fig 5.8) el resultado del prototi-

pado de la Base.

130

Figura 5.7. Prototipado de la base Fuente: Propia

Figura 5.8. Prototipado de la base Fuente: Propia

5.2.2. Prototipado de la junta 1

Se presenta en la siguiente figura (Fig. 5.9) el resultado del prototipado de la

junta 1.

131

Figura 5.9. Prototipado de la junta 1 Fuente: Propia

5.2.3. Prototipado de la junta 2

Se presenta en las siguientes figuras (Fig. 5.10, 5.11, 5.12) el resultado del pro-

totipado de la junta 2.

Figura 5.10. Prototipado de la junta 2 Fuente: Propia

132

Figura 5.11. Prototipado de la junta 2, lateral Fuente: Propia

Figura 5.12. Prototipado de la junta 2, superior Fuente: Propia

5.2.4. Prototipado de los ejes de la junta 2

Se presenta en la siguiente figura (Fig. 5.13) el resultado del prototipado de los

ejes de la junta 2.

133

Figura 5.13. Ejes junta 2 Fuente: Propia

5.3. Ensamblaje de los eslabones y juntas

5.3.1. Ensamblaje eslabones 2 y 3

Se presenta en las siguientes figuras (Fig. 5.14, Fig. 5.15) el resultado del en-

samblaje de los eslabones 2 y 3.

Figura 5.14. Ensamblaje eslabón 2 y 3 Fuente: Propia

Figura 5.15. Ensamblaje eslabón 2 y 3 Fuente: Propia

5.3.2. Ensamblaje eslabones 2, 3 y 4

Se presenta en las siguientes figuras (Fig. 5.16, Fig. 5.17) el resultado del en-

samblaje de los eslabones 2, 3 y 4.

Figura 5.16. Ensamblaje eslabón 2, 3 y 4. Fuente: Propia

134

Figura 5.17. Ensamblaje eslabón 2, 3 y 4 Fuente: Propia

5.3.3. Eensamblaje eslabones y juntas

En la figura (Fig. 5.18) se presenta el ensamblaje de las juntas normalizadas y

las diseñadas, están todos los elementos a excepción de la base y el eslabón 6.

Figura 5.18. Ensamblaje eslabones y juntas Fuente: Propia

5.3.4. Robot Stanford de 6 grados de libertad

En la figura (Fig. 5.19) se presenta el robot Stanford de 6 grados de libertad con

todas sus partes y piezas ya ensambladas.

Figura 5.19. Robot Stanford de 6 grados de libertad Fuente: Propia

135

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1. Conclusiones

Se presentan las ecuaciones dinámicas mediante el jacobiano de velocidad

y aceleración, además, se halló su inverso para tener como entradas a las

componentes en coordenadas rectangulares y polares. De esta manera se

puede transformar de un sistema a otro sin problemas.

Se concluye que la ingeniería concurrente permite un diseño integrado del

producto y su proceso de fabricación o prototipado. Con la ingeniería concu-

rrente se pueden hacer varias correcciones del modelo incluso antes de tener

el primer prototipo de la máquina a ser construida.

Se finalizó el diseño del Robot Stanford con la obtención de las dimensiones

de todos los eslabones que corresponden a: eslabón 1 (L = 100mm;φ =

14mm), eslabón 2 (L = 80mm;φ = 15mm), eslabón 3 (L = 100mm;B =

25mm;H = 40mm), eslabón 4 (L = 60mm; b = 6mm;h = 21mm), eslabón 5

(L = 45mm; b = 25mm;h = 6mm), eslabón 6 (L = 40mm;φ = 6mm) y las

juntas fueron sobre-dimensionadas debido a que soportan iguales cargas que

los elementos predecesores junta 1 (B = 34mm;H = 72mm; e = 60mm), junta

2 (B = 70mm;H = 47mm; e = 70mm), base (H = 100mm;φb = 100mm;φ =

22mm.

Se presenta un plano de conjunto del robot ubicado en una posición conve-

niente, que muestra el montaje de todos los elementos del robot y las respec-

tivas posiciones para ubicar los servomotores que permitirán el movimiento

automatizado en un posterior trabajo de investigación, además, se presentan

los planos de taller de todas las piezas con el uso de las normas del dibujo

mecánico.

En conclusión, los procesos de manufactura aditiva no permiten obtener di-

mensiones muy precisas de los elementos fabricados, por lo que se hace ne-

cesario recurrir a un post-maquinado para realizar el ensamble de las partes.

136

Sin embargo, si se realiza la fabricación de las piezas mediante maquinado de

precisión no se requiere un post-tratamiento de las piezas para su ensamblaje.

Se concluye que el prototipado rápido de las máquinas es un método fácil,

rápido y económico que permite comprobar que el diseño realizado sea fun-

cional, tal es el caso del manipulador que en este proyecto fue diseñado.

El presente proyecto entrega las ecuaciones de diseño del robot, las ecua-

ciones cinemáticas, dinámicas y un primer prototipo que puede ser usado

posteriormente para implementar un modelo definitivo e incluso con control

automático para este tipo de robot.

6.2. Recomendaciones

Sería de gran interés que se continúe con la investigación del presente pro-

yecto hasta llegar a un modelo definitivo y una función específica que pueda

ser también automatizada.

Es recomendable probar otras técnicas de prototipado rápido para analizar

cuál es la más conveniente en este tipo de proyectos.

Se recomienda trabajar en equipos multidisciplinarios para el desarrollo del

modelo final del presente trabajo.

Una recomendación importante es usar los catálogos de los elementos norma-

lizados para realizar correctamente los ajustes y montajes de estos elementos.

Se puede usar este prototipo sumado a anteriores proyectos de titulación para

empezar la implementación de un laboratorio de robótica en la Facultad de

Ingeniería Mecánica de la Escuela Politécnica Nacional.

El trabajo aquí realizado servirá a los alumnos de la Facultad de Ingeniería

Mecánica como guía en las materias de diseño y robótica ya que contiene

gran parte de los aspectos que se muestran en estas asignaturas.

137

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Documents

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALbibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/16707/1/CD-7303.pdf · haberme ayudado con el prototipado rápido de mi brazo manipulador. Agradezco también a