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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
ESCUELA DE INGENIERÍA
ANÁLISIS DE UN SISTEMA DE EVENTOS DISCRETOS MEDIANTE REDES PETRI
PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO EN ELECTRÓNICA Y CONTROL
CARLOS PAÚL FLORES RODRÍGUEZ
DIRECTOR: Ing. Oscar Cerón
QUITO, NOVIEMBRE 2006
i
DECLARACIÓN
Yo, Carlos Paúl Flores Rodríguez, declaro bajo juramento que el trabajo aquí
descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún
grado o calificación personal; y, que he consultado las referencias bibliográficas
que se incluyen en este documento.
A través e la presente declaración, cedo mis derechos de propiedad intelectual
correspondientes a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo
establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la
normatividad institucional vigente.
_______________
Carlos P. Flores R.
ii
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Carlos Paúl Flores
Rodríguez, bajo mi supervisión.
Ing. Oscar Cerón
DIRECTOR DEL PROYECTO
iii
AGRADECIMIENTOS
En primera instancia quiero agradecer a los profesores que, con paciencia y
entusiasmo, han puesto en las conciencias de sus pupilos el compromiso de
superación, transformado su mente en terreno fértil para la creación.
Agradezco al espíritu colaborador de la comunidad universitaria, que sin egoísmo
abre sus conocimientos al mundo, muy particularmente a la Universidad Técnica
"Gh. Asachi", de Iasi – Rumania, por las facilidades puestas en el uso de su
creación “Petri Nets Toolbox”.
CARLOS
iv
DEDICATORIA
A quienes amo… a mi padre, cuyo ejemplo inspira cada segundo de mi
existencia; a mi madre y mis hermanos, por su sincera compañía y apoyo
incondicional; y muy en especial a la compañera de mi vida, Anitabel, quien con
su inagotable amor y plena confianza, me impulsa a mejorar cada día.
CARLOS
v
CONTENIDO RESUMEN PRESENTACION
viii
ix CAPÍTULO 1
1. DESCRIPCIÓN DE SISTEMAS DE EVENTOS DISCRETOS 1
1.1. TÉRMINOS GENERALES: 1
1.2. SISTEMAS DE EVENTOS DISCRETOS 2
1.3. GRAFO DE EVENTOS 3 1.3.1. ESTRUCTURA BÁSICA DE UN GE 3 1.3.2. MATRICES ASOCIADAS A DIGRAFOS 6
CAPÍTULO 2
2. DEFINICIÓN DE FUNDAMENTOS DE REDES PETRI 9
2.1. GENERALIDADES 9
2.2. DESCRIPCIÓN BÁSICA 14 2.2.1. COMPONENTES FUNDAMENTALES 14 2.2.2. EJECUCIÓN DE UNA RED PETRI 17
2.2.2.1. Reglas de Ejecución Fundamentales 17 2.2.2.2. Definiciones relacionadas. 19 2.2.2.3. Problemas asociados a las reglas de ejecución fundamentales 21
2.3. EXTENSIONES DE LAS REDES PETRI 24
2.4. PRINCIPALES TIPOS DE REDES PETRI 28
2.5. PROPIEDADES DE LAS REDES PETRI 35 2.5.1. PROPIEDADES DE COMPORTAMIENTO 35 2.5.2. PROPIEDADES ESTRUCTURALES. 41
2.6. MODELOS DE REDES PETRI 43 CAPÍTULO 3
3. ANÁLISIS DE REDES PETRI REGULARES, TEMPORALIZADA S Y ESTOCÁSTICAS 44
3.1. GENERALIDADES 44
vi
3.2. TÉCNICAS DE REDUCCIÓN Y DESCOMPOSICIÓN 46
3.3. GRÁFICO DE ALCANZABILIDAD Y ÁRBOL DE COBERTURA 51 3.3.1. ELABORACIÓN DEL ÁRBOL DE COBERTURA 51 3.3.2. PROPIEDADES A TRAVÉS DEL GRÁFICO DE ALCANZABILIDAD Y EL ÁRBOL DE COBERTURA. 55
3.4. ANÁLISIS DE REDES PETRI REGULARES 59 3.4.1. MATRIZ DE INCIDENCIA Y ECUACION DE ESTADO 59 3.4.2. PROPIEDADES A TRAVÉS DE LA ECUACION DE ESTADO. 61
3.4.2.2. Propiedades estructurales 63 3.4.2.3. Propiedades de Comportamiento. 64
3.4.3. APLICACIONES DEL ANÁLISIS DE PROPIEDADES, DESARROLLO DE REDES POR REQUERIMIENTOS 73
3.5. ANÁLISIS DE PN CON TIEMPO DETERMINÍSTA. 82 3.5.1. ESTRUCTURA Y FUNCIONAMIENTO DE UNA TPN 82
3.5.1.1. Adición de tiempos a una PN 82 3.5.1.2. Extensión a las reglas de habilitación y disparo 83
3.5.2. Redes MG con tiempo 84 3.5.3. ÁLGEBRA ESPECIALIZADA PARA EL ANÁLISIS DE GRAFOS DE EVENTOS TEMPORALIZADOS. 85 3.5.4. ECUACIONES PARA TMG Y SU RESOLUCIÓN 86
3.5.4.1. Punto de vista del “dater”. 86 3.5.4.2. Punto de vista del “counter”. 94
3.5.4.3. Punto de vista combinado, aplicación del álgebra [ ]δγ ,ax
inΜ. 95
3.5.5. COMPOSICIÓN DE SISTEMAS 100 3.5.5.1. Serie y Paralelo 100 3.5.5.2. Feedback y Sistemas autónomos 100
3.6. ANÁLISIS DE REDES CON TIEMPO ESTOCÁSTICO 105 3.6.1. GENERALIDADES 105 3.6.2. ESTRUCTURA DE LAS REDES PETRI CON EXTENSIÓN ESTOCÁSTICA 105 3.6.3. ANÁLISIS DE SPN Y GSPN 110
CAPÍTULO 4
4. RESULTADOS 114
4.1. SIMULACIÓN A TRAVÉS DEL MATLAB PETRI NETS TOOL BOX. 116
4.2. APLICACIÓN EN EL DESARROLLO Y ANÁLISIS DEL MOD ELO DE UN SEMÁFORO EN UN CRUCE PEATONAL 118
4.3. APLICACIÓN EN REPRESENTACION Y DE UN SISTEMA C ON RECURSOS COMPARTIDOS 124
4.4. APLICACIONES EN EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE UN SISTEMA DE PRODUCCIÓN. 129 2.2.1. ANÁLISIS DE LA ETAPA APILADO DE ROTORES 133
4.4.1.2. Modelado en base a las características del sistema 134 4.4.1.3. Optimización de recursos en función ritmo de producción 136 4.4.1.4. Modelación matemática y Reducción del sistema 142 4.4.1.5. Equivalencia en GSPN e introducción de conflictos 148
4.4.2. COLOCACION DE FIBRAS, PAPEL AISLANTE Y CONMUTADOR. 151 4.4.3. BOBINADO AUTOMÁTICO DE ROTORES 152
4.4.3.1. Modelado en base a las características y restricciones del sistema 153
vii
4.4.3.2. Control del Ingreso de Recursos. 157 4.4.3.3. Equivalencia en GSPN 161
4.4.4. ETAPAS PREVIAS AL BARNIZADO 162 4.4.5. ANÁLISIS GLOBAL DE ETAPAS PREVIAS AL BARNIZADO. 163 4.4.6. VISTA GENERAL DE LA FÁBRICA 169
4.4.6.1. Características Generales 169 4.4.6.2. Diseño del modelo y obtención de condiciones óptimas para el funcionamiento 170
CAPÍTULO 5
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 175
5.1. CONCLUSIONES 175
5.2. RECOMENDACIONES 178 CAPÍTULO 6
6. ANEXOS 180
6.1. ANEXO A 181 6.1.1. SEMIANILLOS 181 6.1.2. ÁLGEBRA MAX - PLUS maxR 183
6.1.2.2. Función Afín y Ecuación Afín 184 6.1.2.3. GE y Ecuaciones en MAX – PLUS 185
6.2. ANEXO B 191 6.2.1. PROCESOS ESTOCÁSTICOS 191 6.2.2. PROCESOS DE MARKOV 191 6.2.3. CADENAS DE MARKOV 193
6.2.3.1. Generalidades 193 6.2.3.2. Descripción matemática de una MC 194
6.3. ANEXO C 197 6.3.1. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL 197
CAPÍTULO 7
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 200
viii
RESÚMEN
El presente proyecto de titulación es un compendio de investigaciones realizadas
acerca de teoría referente a Redes Petri, de tipos Regular, Temporalizada y
Estocástica.
En primera instancia, se definen los Sistemas de Eventos Discretos, con su
amplio campo de descripción; y los Grafos de Eventos, como herramienta para
modelación y análisis, destacando de entre estos las Redes Petri. Se describe a
las Redes Petri en su forma fundamental, con sus reglas de funcionamiento
básicas, sus elementos y las clasificaciones debidas a estos, sus complementos,
extensiones y aplicaciones típicas.
Luego se desarrolla la teoría relacionada a las Redes Petri, concluyendo en
formas útiles de análisis; tanto desde el punto de vista de la teoría de sistemas,
como el del tipo exacto enumerativo, respectivamente para el estudio del
comportamiento dinámico y el cálculo de índices que evalúen el comportamiento
estable de un sistema.
Para el buen entendimiento de los tipos de análisis, se incluyen los fundamentos
matemáticos que los sustentan; como son la descripción y uso de semianillos y la
resolución de sistemas estocásticos. Además, se presentan opciones de cálculo
computacional que permiten la resolución de problemas de programación lineal
relacionados a las Redes Petri.
Presenta algunos casos de estudio, planteados de forma teórica, en cuyo
desarrollo se puede apreciar la utilización de herramientas de software
especializadas en el área, como es el caso del Petri Nets Toolbox del Matlab. La
aplicación de software tiene como objetivos comprobar la teoría y facilitar el
análisis de modelos complejos.
ix
PRESENTACIÓN
El proyecto consta de siete capítulos. En el primer capítulo se describe a los
Sistemas de Eventos Discretos y a los Grafos de Eventos, teniendo como idea
principal mostrar que son, respectivamente, el tipo de sistemas en los que
conviene aplicar las Redes Petri y los fundamentos en los que las Redes Petri se
sustentan.
El segundo capítulo describe a las Redes Petri en su forma esencial, tomando en
cuenta sus elementos y la funcionalidad de estos. Se describen tanto los tipos de
Redes Petri como combinaciones de elementos, como las propiedades que
acompañan a cada uno de estos tipos. Además, indica algunas de las
extensiones más usadas para complementar las Redes Petri, destacando las que
serán estudiadas posteriormente.
El tercer capítulo abarca la forma de modelar Sistemas de Eventos Discretos, a
través de Redes Petri. Además se indican los métodos que, a través de tales
modelos, permiten llegar a un análisis satisfactorio de los estados dinámico y
estable de un Sistema de Eventos Discretos.
El cuarto capítulo ofrece una breve descripción de la herramienta computacional
Petri nets Toolbox del Matlab; y un conjunto de casos de estudio, desarrollados
en base a los fundamentos teóricos descritos en los capítulos anteriores y gracias
a la versatilidad de dicho software.
El quinto capítulo trata sobre las conclusiones y recomendaciones, resultantes del
trabajo.
El sexto capítulo se refiere a teoría adicional, misma que es indispensable, pues
permite entender y desarrollar los conceptos expuestos a lo largo de la tesis.
Cabe recalcar la importancia de esta parte de la investigación, pues sin esta, gran
parte del trabajo no habría sido posible.
1
1. DESCRIPCIÓN DE SISTEMAS DE EVENTOS DISCRETOS
Previo a la descripción, análisis y uso de las Redes Petri, es importante
esclarecer cuestiones como ¿a qué tipo de sistemas se aplican? o ¿en qué
formalismo se sustentan?, para definir los límites de su empleo y estudio.
En este capítulo se definen términos y conceptos comúnmente usados a lo largo
del documento, como son los Sistemas de Eventos Discretos, que son el campo
de aplicación de las Redes Petri; y los Grafos de Eventos, en base a los cuales
se desarrolla la estructura de las Redes Petri.
1.1. TÉRMINOS GENERALES:
Antes de describir las Redes Petri (Petri Nets PN) es necesario tomar en
cuenta algunos términos que serán muy usados a lo largo de este trabajo,
como son:
- Sistema: porción del universo respecto de un observador, compuesto por
un conjunto de elementos y las relaciones existentes entre estos.
- Modelo: cuerpo de información relativa a un sistema que reúne los datos
necesarios para un estudio requerido. Un sistema puede tener más de un
modelo, atendiendo al tipo de información que se necesita reproducir. Los
modelos según su constitución pueden ser: Físicos (materiales) o
Matemáticos (abstractos). Cada uno de éstos se puede dividir en modelos
Estáticos o Dinámicos si presentan, respectivamente, un estado de
funcionamiento estable o dependiente del cambio.
2
- Simulación: consiste en la exploración del posible comportamiento de un
sistema, mediante la reproducción de sus características a través de los
modelos. Es útil cuando se requiere prever resultados de un experimento,
para el cual las prácticas reales sean inapropiadas o incluso imposibles por
los costos o los riesgos inherentes. Esta capacidad de predicción se hace
indispensable en las etapas de diseño y planificación de un proyecto.
- Evento Discreto: es la representación de un cambio instantáneo en alguna
parte del sistema.
1.2. SISTEMAS DE EVENTOS DISCRETOS
Los Sistemas de Eventos Discretos (Discret Event Sistem DES) son aquellos
cuyo comportamiento entrada - salida puede ser descrito por secuencias de
eventos.
Por esta razón los DES pueden definir un conjunto de procesos
interconectados, dentro del cual la actividad fluye de un proceso a otro.
Gracias a esto, resultan ideales para representar sistemas industriales, tales
como líneas de producción; sistemas de comunicaciones, como los protocolos;
sistemas basados en computadoras y lógica de programación; problemas como
calendarios de ejecución de proyectos, etc.
Pero el concepto formal DES es tan amplio que puede ser ocupado desde otros
puntos de vista. Este es el caso de estudios como [1] y [10] en los cuales se
los aplica, conjuntamente con el desarrollo de métodos numéricos, para la
simulación y control de sistemas continuos. Para esto se realiza una
discretización relacionada con la magnitud de las variables, en lugar de la
clásica que es aplicada al tiempo, logrando modelos con mayor sencillez y
mejor estabilidad que los tradicionales.
3
1.3. GRAFO DE EVENTOS
La utilidad de un Grafo de Eventos (Graph of Events GE) radica en su
configuración gráfica de gran adaptabilidad a formalismos matemáticos, que
permite especificar tanto la lógica como la dinámica implícitas en un DES.
Los GE están diseñados para representar estados, sea en forma compacta o
distribuida, y cualquier tipo de relación existente entre estos.
Ejemplo 1.1 Grafo de eventos
Figura 1.1 Grafo de eventos
La Figura 1.1 indica un GE, en el cual el evento B ocurre después de un tiempo
t posterior a la finalización del evento A, si la condición i se cumple.
1.3.1. ESTRUCTURA BÁSICA DE UN GE
Un Grafo G se define por la terna ( )ϕEV , donde:
- V es un conjunto de elementos llamados Vértices o Nodos. Los Vértices,
sea individualmente o en conjunto, representan estados que resultan
cuando un evento particular ocurre. Se simbolizan de forma variada de
acuerdo a la aplicación
- E es un conjunto de elementos denominados Lados. Estos indican
conexiones entre vértices y por tanto las relaciones entre cambios de
Vértice
Lado (arco)
Vértice
4
estado. Normalmente son representados como segmentos o flechas que
interconectan vértices.
- φ es una función que asigna a cada elemento de E un par de elementos
{vi,vj} de V, indicando condiciones. Las Etiquetas en los lados especifican
características, condiciones, o funciones necesarias para la elección y
ejecución de un vértice.
Estos elementos se pueden distinguir fácilmente en las Figuras 1.1 y 1.2.
De acuerdo al propósito de este trabajo, resulta conveniente tomar en
cuenta las siguientes definiciones:
� GE dirigidos o Digrafos
Un GE se denomina Dirigido o Digrafo cuando todos sus pares {vi,vj}
están ordenados, es decir cuando el orden de sus elementos es
relevante. A sus lados se les denomina Arcos y se simbolizan con
flechas.
Si el orden de elementos no es relevante, o sea si todos estos pares {vi,vj}
no están ordenados, se dice que el grafo es no dirigido y sus lados se
llaman Aristas. El símbolo de las aristas son segmentos.
� GE bipartito
Un Grafo bipartito es un grafo ( )ϕEVG = cuyo conjunto de nodos V
puede particionarse en dos subconjuntos 1V y 2V , de forma que los
vértices pertenecientes a un mismo subconjunto iV sean dos a dos no -
adyacentes. Se denota en ocasiones ( )ϕEVVG 21= .
5
El presente trabajo está encaminado a la resolución de problemas y
ejemplos que toman en cuenta un caso de GE dirigido bipartito,
denominado Redes Petri.
� Caminos, Circuitos y Lazos
Se considera un camino al conjunto de vértices que, conjuntamente con
sus lados, indican una ruta a través de la cual se interconectan 2 vértices.
Un circuito es un camino cerrado, es decir, en éste el vértice inicial y el
final coinciden. Un lazo es un circuito con un solo vértice.
� Grafo fuertemente conexo
Si para 2 nodos cualesquiera 1v y 2v , existe al menos un camino de 1v a
2v , y de 2v a 1v .
Ejemplo 1.2 Sistema de procesamiento de lotes
Figura 1.2 Sistema de procesamiento de lotes
La Figura 1.2 es un GE dirigido, que representa un sistema de
procesamiento de lotes con R fuentes paralelas idénticas, donde Q es el
largo de la cola, B es el tamaño del lote y S son los recursos no utilizados.
6
Inicialmente la cola se asume vacía con todas las fuentes sin utilizar,
entonces el valor inicial del largo de la cola es 0 y el valor inicial de los
recursos no utilizados S es R. El único evento inicialmente programado es
el primer arribo al tiempo 0. Los trabajadores llegan en busca de un recurso
sin usar, cada tiempo at . Si completan un lote empezarán inmediatamente a
dar servicio. Se finalizará de procesar un lote en tiempo st después de
empezarlo. Finalizado un lote, se espera que haya trabajadores suficientes,
para empezar a procesar otro lote.
1.3.2. MATRICES ASOCIADAS A DIGRAFOS
Dentro de una matriz es posible distribuir cantidades acorde a la
configuración de un GE dirigido. Por esta razón la representación matricial
se la utiliza con mucha frecuencia para describir matemáticamente a GE
dirigidos.
Las formas mas usadas de relacionar grafos y matrices son las siguientes:
� Grafo de transición :
Al digrafo bipartito asociado a una matriz A se le denomina Grafo de
Transición.
Para un GE dirigido bipartito ( )ϕEVVG 21= con cantidades de n y p
vértices respectivamente para 1V y 2V , en el cual ϕ corresponde a pesos
ligados a cada arco ordenados según E , es posible asociar una matriz A
de dimensiones pn× , cuyos elementos ija tienen como valor el peso del
arco que va de { }pj ,...2,1∈ hasta { }ni ,...2,1∈ , si este arco existe, y si no,
posee un valor nulo.
7
� Grafo de Precedencia
Al digrafo asociado a una matriz cuadrada A se denomina Grafo de
Precedencia.
Para un GE dirigido ( )ϕEVG = con n vértices interconectados por
arcos ordenados según E , cuyos pesos están indicados en ϕ , es posible
asociar una matriz cuadrada A de orden n , cuyos elementos ija tienen
como valor el peso del arco que va del vértice { }nj ,...2,1∈ al { }ni ,...2,1∈ , si
este arco existe, y si no, posee un valor nulo.
Esta interpretación permite representar la estructura interna de un GE en
la siguiente ecuación:
Resulta obvio que A puede llevarse a una forma triangular inferior si no
existe dependencia entre los vértices, es decir si el grafo de precedencia
no posee lazos en su interior.
Ejemplo 1.3 Grafos de Transición y Precedencia
Los siguientes son los grafos de transición y precedencia asociados a la
matriz A .
=007
015
203
A
=
nnnn
n
n v
v
aa
aa
v
v
M
L
MOM
L
M
1
1
1111
(1.1)
8
Figura 1.3 Grafo de transición de A
=
3
2
1
3
2
1
007
015
203
v
v
v
v
v
v
13
212
311
7
15
23
vv
vvv
vvv
=+=+=
Figura 1.4 Grafo de precedencia de A
El caso de la Figura 1.4 está bajo álgebra convencional, pero indica la forma de
relacionar el grafo de precedencia con la matriz A para cualquier tipo de
concepción. Nótese que la falta de conexión se representa a través del 0, que en
este caso es un valor nulo. Bajo otra concepción el 0 puede aportar información,
sin indicar falta de conexión [Anexo A].
3
2
5
1
v1 v2 v3
7
Va
5 7
1
2
Vb 3
9
2. DEFINICIÓN DE FUNDAMENTOS DE REDES PETRI
Este capítulo indica, en primer lugar, algunas de las aplicaciones más importantes
de las Redes Petri en las últimas décadas; posteriormente describe los
fundamentos de su estructura y funcionamiento, para luego tratar, en forma
básica, sus adecuaciones o extensiones, y finalmente presentar sus tipos y
propiedades.
2.1. GENERALIDADES
Las Redes Petri (Petri Nets PN) son un formalismo muy utilizado en la
modelación y el análisis de DES. Esta popularidad se debe a que combinan,
con un sólido fundamento matemático, la representación gráfica y la capacidad
de modelar procesos paralelos y distribuidos.
Se considera a las PN como herramientas gráficas y matemáticas que proveen
un ambiente uniforme para el modelado, análisis formal y diseño de DES. Sus
modelos pueden ser usados para el análisis del comportamiento, evaluación de
acciones, simulación y construcción de controladores.
Matemáticamente, una PN puede ser descrita por un conjunto de ecuaciones
que reflejen el comportamiento del sistema. Esto permite realizar un análisis
formal del sistema, el cual consiste en examinar dichas ecuaciones y sus
propiedades, relacionándolas con eventos tangibles, como son: operaciones
concurrentes, liberaciones de bloqueo, apropiada sincronización, actividades
repetitivas, exclusiones mutuas, operaciones con recursos compartidos, etc.
Gráficamente, las PN ofrecen un excelente medio de comunicación entre
clientes y usuarios. Esto se debe a que su interpretación es sencilla, lo que la
10
diferencia de descripciones textuales, eventualmente ambiguas; y notaciones
matemáticas, que no son fáciles de entender.
La versatilidad gráfica y matemática de las PN, combinada con la ayuda de
sistemas computacionales, permite una simulación gráfica. Tal ventaja pone
en manos de los ingenieros desarrolladores, una poderosa herramienta de
apoyo en el diseño y control de sistemas complejos.
El objetivo de facilitar tareas como diseño, planificación, análisis y control de un
sistema, es garantizar en sus resultados seguridad, buen desempeño y
optimización de recursos. En ambientes industriales, el cumplimiento de tal
objetivo refleja en el mejoramiento de la producción y la reducción costos, lo
cual es necesario para cumplir las exigencias de un medio competitivo.
A continuación se hará una breve reseña histórica, indicando los eventos de
mayor trascendencia, que marcaron el origen y desarrollo de las PN:
En 1962, Carl A. Petri de la universidad U. Darmstadt en Alemania
Occidental, diseñó las PN como una herramienta matemática para el estudio
de comunicaciones con autómatas.
En 1970 y 1975, el Massachussets Institute of Technology (MIT) presentó
respectivamente los eventos “Project MAC Conference on Concurrent
Systems and Parallel Computation” y “Conference on Petri Nets and related
Methods”.
En 1979 se presentó el “Course on General Net Theory of Processes and
Systems” en Hamburgo, Alemania Occidental.
Estos acontecimientos difundieron a gran escala el uso de PN,
especialmente en áreas relacionadas a la computación y al modelado,
análisis y manejo de protocolos de comunicación; por lo que desde los 70’s,
tales áreas han sido las de aplicación más exitosas de PN.
11
En1980 se realiza el “First European Workshop on Applications and Theory
of Petri Nets” en Strasbourg, Francia; y en 1985 se da el “First International
Workshop on Timed Petri Nets” en Torino, Italia.
El desarrollo y la difusión de las PN, hasta ese entonces, permiten su
introducción en el campo industrial. Hitachi Ltd. las aplicó en controladores
de secuencias; al compararse con los métodos tradicionales, el uso de las
PN redujo sustancialmente el tiempo empleado. Tal éxito impulsó su empleo
en operaciones como el control de sistemas de ensamblaje y el manejo de
sistemas de carga/descarga automática para bodegas, como indican las
referencias de [12].
Hasta la actualidad ha existido un mejoramiento progresivo de las PN, que las
ha hecho adecuadas para la aplicación en muchos campos. El siguiente
resumen presenta ejemplos de tal desarrollo. De necesitarse profundizar sobre
estos temas, se recomienda seguir las referencias de [12].
Se han propuesto métodos, con PN, para transformar y mejorar confiabilidad
de lenguajes de especificación de protocolos como Lotos, y de
implementación de protocolos como SDL y Estelle. Información básica
sobre estos lenguajes y el uso de las PN sobre los mismos, se puede hallar
en la referencia [26]
Los PLC son comúnmente usados para control de secuencias. Sus
programas normalmente se diseñan utilizando diagramas en escalera lógica
o ladder, por lo que son poco flexibles, presentan relativa dificultad de
decodificación; y, si son complejos, su interpretación visual es muy pobre. Al
contrario de tales desventajas, los modelos de PN tienen menor dificultad de
diseño, son fáciles de modificar, entender visualmente y ejecutar; por lo que
su aplicación en el modelado y manejo de controladores de secuencias, es
otra historia exitosa. Como ejemplo de esto se tiene los artículos [17], [18],
[19] y [20]. Actualmente se puede aplicar PN en el modelado de sistemas
12
industriales complejos, así como en su supervisión y control (SCADA), como
muestra la tesis [3].
Son aplicables en la modelación y evaluación de Redes de Comunicación.
Esto resulta importante para la automatización industrial, como en trabajos
referentes a Fieldbuses FIP e ISA-SP50; el desarrollo de redes de alta
velocidad aplicadas a sistemas multimediay en LAN’s con trabajo bajo fibra
óptica, como redes Expressnet, Fastnet, Dnet, Unet, token ring, referidos en
[12].
Se ha demostrado que las PN de tipo ‘Coloreadas’ (Coloured Petri Nets
CPN) sirven como un lenguaje útil para el diseño, especificación, simulación,
validación e implementación de grandes sistemas de software, razón por la
cual se las usa extensamente en el desarrollo de software. Como ejemplos
de esto se tiene trabajos referidos en [12], sobre diseño y análisis de
sistemas ADA, y otros que describen la implementación de una metodología
integral de desarrollo de software, la cual permite la traducción automática
de diagramas SADT en CPN jerárquicas, para su análisis formal, además de
convertir dichas redes en código ejecutable.
La flexibilidad de las PN permite evaluar los sistemas modelados,
incorporando funciones de tiempo determinístas o probabilísticas, según la
medida a evaluar, y usando técnicas analíticas o la simulación del mismo.
Así se obtienen índices de riesgo, producción, procesamiento, desempeño,
retardos, capacidad, etc.
Como ejemplos de evaluación en el campo industrial, se tiene los trabajos
[9], [15]-[16], y otros referidos en [12], que analizan sistemas de manufactura
y producción automática, como ‘kanban’ y ‘justo a tiempo’, con problemas de
ocupación relacionados a maquinaria, recursos compartidos, líneas de
producción y ensamblaje, etc.
13
La evaluación también es extensamente usada para analizar sistemas con
multiprocesadores [9], la utilización de buses en tales sistemas, canales de
comunicación en DSP, arquitecturas de computación paralelas y algoritmos
distribuidos paralelos.
La evaluación es de especial importancia para prever errores y examinar la
tolerancia a fallas en sistemas de seguridad crítica y tiempo real, por lo que
se han usado en sistemas de control de tráfico aéreo, tráfico férreo,
reactores nucleares, como refiere [12].
14
2.2. DESCRIPCIÓN BÁSICA
2.2.1. COMPONENTES FUNDAMENTALES
Una PN puede ser identificada como un tipo particular de grafo dirigido
bipartito. Por esto posee 2 tipos de nodos, denominados lugares y
transiciones; conjuntamente con arcos dirigidos, que los vinculan sin
conectar 2 nodos adyacentes del mismo tipo.
Gráficamente se denota a los lugares como círculos, las transiciones como
barras o rectángulos y a los arcos dirigidos como flechas
La Figura 2.1 muestra una red con 5 lugares y 4 transiciones conectados a
través de sus arcos dirigidos correspondientes.
Figura 2.1 Red Petri
���� Lugares y transiciones. Representan eventos concatenados, donde los
lugares indican pre y post condiciones en la ejecución de una transición.
Se tiene que:
Un nodo entrada o salida de otro nodo, se establece a partir de la
posición con respecto del arco dirigido que lo conecta a éste. En La
15
Figura 2.1 el lugar p1 es una entrada de la transición t1. Los lugares p2
y p3 son lugares de salida de la transición t1.
El Preset de un nodo es el conjunto formado por todos sus nodos de
entrada. Se denominan •p o •t respectivamente. Para la Figura 2.1:
{ } { } { } { } { }{ } { } { } { }342354211
4534131221
, ptptpptpt
tptptptptp
=•=•=•=•=•=•=•=•=•
El Postset de un nodo es el conjunto formado por todos sus nodos de
salida. Se denominan p • o t • respectivamente. Para la Figura 2.1:
{ } { } { } { } { }{ } { } { } { }544312321
2524433211
, ptptptppt
tptptptptp
=•=•=•=•=•=•=•=•=•
Si un nodo no posee entradas entonces se denomina nodo de entrada
de la PN, o fuente. De igual forma, si no posee salidas este se
denomina nodo de salida de la PN, o sumidero. Un nodo que no es de
entrada o salida se denomina nodo interno.
���� Arcos . Indican la dirección de la secuencia de eventos. k arcos
igualmente dirigidos, se pueden representar como una flecha simple
etiquetada con el número k, que indica su multiplicidad o peso. El número
total de arcos que llegan a un nodo se denotan por |•p| y |•t|
respectivamente, mientras los que salen se denotan por |p•| y |t•|.
���� Tokens. Son números enteros no negativos contenidos en los lugares y
distribuidos por las transiciones a través de los arcos. Gráficamente los
tokens se pueden representar con puntos, o con un número, como se
muestra en la Figura 2.1.
���� Marca de la PN. Considera la distribución de tokens en los lugares para
cada evento de una secuencia dada. Para el evento i en una PN de m
lugares p, se la define como un conjunto iM con m elementos )( pM i .
16
La marca inicial de una PN tiene especial importancia puesto que al
relacionarse con el estado original de la red, determina su evolución.
Existen varias representaciones de iM . Por ejemplo, dentro del álgebra,
se representa como un vector ( )Tmiii pMpMM )(...)( 1= ; o, como en el
caso de PN seguras (que poseen 1)( ≤pM i ), se lo representa como una
suma lógica de lugares marcados mi pppM ...21 ++= .
Estos elementos dan versatilidad a las PN para representar muchos tipos de
DES. Por ejemplo, en un sistema que manufactura, los lugares de entrada
pueden representar la disponibilidad de recursos, la transición su uso y los
lugares de salida la descarga de resultados.
Considerando todos estos elementos, una PN se define formalmente por:
Donde:
- { }mppP ...1= que es un conjunto de m lugares
- { }nttT ...1= que es un conjunto de n transiciones, con φ≠∪TP y
φ=∩TP
- ( ) NTPI →×: es una función de entrada que define los arcos dirigidos
desde los lugares a las transiciones, donde N es un conjunto de enteros
no negativos
- ( ) NTPO →×: es una función de salida la cual define los arcos dirigidos
desde las transiciones a los lugares, y
- NPMo →: que es la marca inicial.
( )0MOITPPN = (2.1)
17
Estos componentes elementales se encuentran siempre en la
representación de una PN, aunque su forma varia dependiendo de la
concepción utilizada.
2.2.2. EJECUCIÓN DE UNA RED PETRI
Una PN cambia su marca M al ocurrir el disparo de una transición t, ya que
esto da lugar a un flujo de tokens entre los lugares. Para que esto suceda
es necesario que se cumplan las siguientes reglas de ejecución, definidas a
continuación en su forma fundamental.
2.2.2.1. Reglas de Ejecución Fundamentales
���� Regla de habilitación , Una transición t es habilitada si cada entrada p
de t contiene por lo menos el número de tokens igual al peso del arco
dirigido conectado de p a t. Considerando esto, se expresa el conjunto
de todas las transiciones habilitadas en una iM como:
���� Regla de disparo . Un disparo en una transición t habilitada remueve
de cada lugar de entrada pi un número de tokens igual al peso del arco
dirigido conectado de pi a t, y a su vez deposita en cada lugar de salida
po tantos tokens como el peso del arco dirigido conectado de t a po.
Ejemplo 2.1 Ejecución de una PN:
Este ejemplo ilustra a través de la figura 2.2, las reglas de habilitación y
disparo, pues muestra cada paso de ejecución de una PN con
funcionamiento repetitivo.
( ){ }tpIpMtpTtME ii ,)(:|)( ≥•∈∀∈= (2.2)
18
a.
- Marca inicial M0 = p1 - Están habiles t1 y t2
b.
- Dispara t1 - Resta I(p1,t1)=1 token a p1 - Suma O(p2,t1)=O(p4,t1)=1 token a p2
y p4
c.
- Marca M1 = p2 + p4 - Está hábil t3
d.
- Dispara t3 - Resta I(p2,t3)=1 token a p2 - Suma O(p1,t3))=1 token a p1
e.
- Marca inicial M0 = p1 - Están habiles t1 y t2
f.
- Dispara t2 - Resta I(p1,t2)=1 token a p1 - Suma O(p3,t2)=O(p4,t1)=1 token a p3
y p4
19
g.
- Marca M3 = p3 + p4 - Está hábil t4
h.
- Dispara t3 - Resta I(p2,t3)=1 token a p2 - Suma O(p1,t3))=1 token a p1
i.
- Marca inicial M0 = p1 - Están habiles t1 y t2
j. La red puede continuar ejecutándose indefinidamente
Figura 2.2 Ejecución de una PN
2.2.2.2. Definiciones relacionadas.
Las reglas de ejecución implican la capacidad de representar situaciones
de bloqueo y sincronización, relacionadas directamente con aplicaciones
reales, que proporcionan una gran ventaja a las PN sobre otros
formalismos. Tales términos se definen a continuación:
���� Bloqueo. Es un impedimento de ejecución, representado por el
incumplimiento de la regla de habilitación.
20
Los bloqueos pueden ser utilizados para representar características del
sistema y para comprobar la validez de la PN.
Las reglas de ejecución fundamentales indican que la PN se mantiene
activa mientras, al menos, una transición pueda ser disparada. A esto
y al estado de inhabilitación de todas las transiciones, se considera
como propiedades, respectivamente denominadas Vitalidad e Inter
Bloqueo. Éstas propiedades se relacionan con el estudio de bloqueos
y serán descritas en páginas siguientes.
Ejemplo 2.2 Proceso de un recurso
La Figura 2.3 representa el proceso de un recurso. Nótese que la
presencia del lugar Disponibilidad condiciona el ingreso de recursos al
proceso, bloqueando la transición Inicio mientras existe una marca en el
lugar Procesando, es decir, mientras no se finalice la actividad en
cuestión. La falta de recursos produce el bloqueo total de la transición
Inicio y por ende del sistema.
a).
b).
21
c).
Figura 2.3 Bloqueos
���� Sincronización . Es una obligación de simultaneidad. Resulta de
gran utilidad en PN que representan actividades con tiempo.
La sincronizaron puede ser de provisión o de consumo, como se indica
en las figuras siguientes.
a). Sincronización en provisión
b). Sincronización al consumo
Figura 2.4 Sincronización
La Figura 2.4.a indica sincronización al proveer, pues las actividades
representadas por sus lugares p1, p2 y p3 inician a la vez; mientras que la
Figura 2.4.b indica sincronización al consumo, porque solo si las 3
actividades representadas por p1, p2 y p3 terminan, se puede continuar
con la habilitación de t1.
2.2.2.3. Problemas asociados a las reglas de ejecución fundamentales
22
Es necesario tomar en cuenta que, las reglas de ejecución fundamentales
llevan asociadas la posibilidad de que dos o más transiciones compitan
por consumir un token, o por dispararse a la vez. Éstas condiciones,
dependiendo de la interpretación que se de, pueden considerarse como
no deseables.
A continuación se describe éstas situaciones:
���� Conflictos. Es la condición de competencia por habilitación de 2 o más
transiciones, la cual solo es posible si estas poseen entradas comunes.
Se dice que 2 o más transiciones están en conflicto estructural si
comparten al menos 1 lugar de entrada. Si la regla de habilitación es
válida para estas, entonces el conflicto se denomina efectivo.
Un conflicto estructural puede verse como el siguiente par:
El conjunto de todas las transiciones en conflicto estructural tiene la
siguiente forma:
El conjunto de todas las transiciones en conflicto efectivo ),( iMTEC
para una marca iM , corresponde a la intersección del conjunto (2.4)
con el de todas las transiciones habilitadas, es decir con el de la
definición (2.2)
En la parte (a) del ejemplo 2.1, existe conflicto estructural entre t1 y t2,
que a su vez es conflicto efectivo.
{ }jijik ttpTttc •∧•∈∃∈= |, (2.3)
{ }L∪∪= 21)( ccTC (2.4)
)()(),( ii METCMTEC ∩= (2.5)
23
���� Concurrencia o paralelismo . Dos o más transiciones están en
concurrencia estructural si no poseen lugares de entrada comunes, y si
la regla de habilitación es válida para éstas, entonces están en
concurrencia efectiva.
En la Figura 2.2 existe concurrencia estructural y efectiva entre t3 y t4
���� Confusiones . Si existen a la vez las dos anteriores. La PN de la
Figura 2.2 es confusa, puesto que existe a la vez conflicto y
concurrencia efectivos entre t1 y t2
Figura 2.5 Red confusa
En general, se utilizan métodos que eviten tales problemas, como son
diseñar una red estructuralmente libre de dichas condiciones, o añadir
criterios de habilitación que los solucionen, que pueden ser de tiempo o
preferencia, extendiendo la PN.
La lógica de las PN sin extensión, pierde claridad con la presencia de
conflictos y concurrencia, pues se debe seleccionar al azar una
transición hábil. Las PN Temporalizadas admiten concurrencia y, por
su estructura, carecen de conflictos. Las PN Estocásticas
Generalizadas pueden solucionar conflictos y concurrencia.
24
2.3. EXTENSIONES DE LAS REDES PETRI
Las PN básicas no resultan suficientes para modelar muchos sistemas
complejos, por lo que se han propuesto una gran cantidad de extensiones que
complementan al formalismo clásico, entre las cuales se anota: conducta,
prioridad y decidibilidad, complejidad, color y tiempos, etc.
���� Conducta.
Permite representar procesos, en los cuales ocurren tanto conductas ideales
como sub ideales. La Red Petri así extendida debe poseer obligaciones,
permisos y prohibiciones adicionales. Tiene la siguiente estructura:
Donde:
- S, R ⊆ T, son dos conjuntos disjuntos que representan conductas sub
ideales y de compensación respectivamente,
- w: es la función de penalidad de T→ Z , definida como:
- t ∈ T / {S ∪ R}: w(t)=0
- t ∈ S: w(t) ≥ 0
- t ∈ R: w(t) ≤ 0
���� Decidibilidad y Prioridad
Estas extensiones son necesarias si clásicamente no existe un mecanismo
determinista, completo y efectivo que permita encontrar la respuesta para un
problema de decisión (un conjunto de cuestiones con varias respuestas).
( )oMOIwRSTPEPN = (2.6)
25
Este tipo de extensión se aplica a modelos que requieran resolución de
conflictos. Para esto adiciona prioridades e incluso probabilidades a sus
componentes.
En el presente trabajo se tomarán en cuenta las PN Estocásticas Simples y
Generalizadas, que abarcan situaciones de decisión y prioridad, con un
fuerte sustento matemático, y permiten la evaluación de un modelo. El texto
[9] profundiza estos temas, proveyendo información detallada sobre su
soporte teórico, con casos de aplicación e incluso ejemplos numéricos.
En ciertas clasificaciones, como en [4], se incluye dentro de este tipo de
extensión, elementos que reducen la complejidad del modelo para evitar
problemas de decisión.
���� Complejidad
Cuando el manejo de un modelo es muy complicado, se hace necesaria la
intervención de ampliaciones como las de Arcos Extendidos. El tipo de arco
extendido mas usado es el de los arcos inhibidores.
Arcos inhibidores: Se representa gráficamente como un arco
orientado con un pequeño círculo de punta y siempre se dirige de un
estado a una transición.
Un arco inhibidor da paso a la habilitación de una transición, si la marca
del lugar es inferior al peso del arco. Si el peso del arco es 1, permite
comprobar que el lugar en cuestión no esté marcado, es decir con
marca 0 (sin tokens).
La PN que usa arcos inhibidores posee la siguiente estructura:
( )AMOITPIPN 0= (2.7)
26
Donde A: T → R, es una función que hace corresponder a cada
transición un conjunto de lugares que indican precondiciones
inhibitorias.
Otros tipos de arcos extendidos son: Arcos reset, Arcos transferencia, Arcos
dobles, cuyos nombres llevan implícitos la descripción de sus funciones.
Detalles sobre éstos se puede obtener en [9]
���� Redes Petri Coloreadas (CPN)
La extensión del color permite diferenciar el tipo de datos asociados a un
lugar. Incluye una tipología en los lugares gracias a marcas distinguibles. Al
cambiar de estado, las transiciones se ejecutan selectivamente de acuerdo
al tipo o “color” de tokens que retiran y colocan. Esto da como resultado el
disparo de las transiciones en distintos modos dependientes del color.
Tiene la estructura:
Donde Σ es un conjunto finito de tipos, llamados conjuntos de colores, y C es
una función de color definida como C ∈ P → Σ.
Existen amplios estudios sobre este campo debido a sus innumerables
aplicaciones, pero no será tomado en cuenta para el desarrollo de este
trabajo.
���� Extensión Temporal (TPN)
Para la buena representación de muchos sistemas reales, es necesaria una
descripción temporal de su comportamiento, que por ejemplo defina la
duración de actividades, el momento en el cual éstas se deban realizar. Se
han adicionado diferentes interpretaciones de tiempo, siendo las más útiles:
( )0MOICTPCPN Σ= (2.8)
27
CPN, como Redes TER (Time Environment Relationship) [24], las
cuales poseen un marcaje que, entre otros datos, lleva una variable
que determina información temporal.
PN Temporizadas, con retardos asociados a sus nodos, que pueden
ser fijos, aproximados o con ambos a la vez, lo cual se aprecia
respectivamente en PN deterministas (Timed Petri Nets TPN), en [5]-
[8]; estocásticas (Stochastic Petri Nets SPN) en [7],[9] o estocásticas
determinísticas (Deterministic Stochastic Petri Nets DSPN).
Una descripción más detallada de TPN y SPN se dará en páginas
siguientes.
���� PN Continuas e Híbridas
Las PN Continuas poseen transiciones y lugares modificados, de tal manera
que es posible el flujo decimal y fraccionario de tokens. La habilitación y el
disparo dependen de una cantidad relacionada a la marca de la red,
denominada habilitabilidad. Las PN Híbridas combinan características de PN
Continuas con las regulares.
Son usadas para modelar sistemas ligados a variables que solamente se les
puede dar el trato de continuas, como es el caso de modelos de tráfico
vehicular en [21] y de líquidos en una planta embotelladora [22]
���� PN Automodificantes
En este tipo de extensión las relaciones de flujo de tokens no son
constantes, sino que dependen del marcado actual, que varía con la
evolución del sistema. Este tipo de redes se toma en cuenta en el
documento [4].
28
2.4. PRINCIPALES TIPOS DE REDES PETRI
El estudio de sistemas modelados con PN, necesita una pauta de realización.
Para esto es necesario definir estructuras simples, con características
especiales que mantengan propiedades de análisis sencillo, pues el análisis de
tales estructuras sirve de base para el estudio de modelos complejos, que
reflejen la totalidad del sistema.
La siguiente clasificación se refiere al tipo de estructuras formadas por distintas
combinaciones de nodos y arcos. En páginas siguientes se definirán
propiedades y se las relacionará con los tipos de PN expuestos.
Figura 2.6 Principales tipos de PN
���� PN Pura (PPN ), si no posee arcos bidireccionales (bucles)
���� PN Ordinaria (OPN), si todos sus arcos tienen multiplicidad 1
���� PN Simple o de Elección Asimétrica (Asymmetric Choice - AC) , es una
OPN cuyos lugares al menos tienen una transición común. Esto es:
En este tipo pueden existir problemas de ejecución tales como confusiones.
( ) ( )•⊆•∨•⊆•⇒≠•∩• 122121 0 pppppp (2.9)
29
���� PN Libre Elección (Free Choice FC) y Libre Elección Extendida
(Extended Free Choice - EFC). El término libre elección indica que sus
transiciones solo tienen un tipo de condicionamiento a la vez, sea
relacionado con una situación de conflicto o con una de concurrencia.
Se considera FC a una OPN en la cual un arco desde un lugar o es el único
saliente o el único entrante a una transición, es decir:
Se considera EFC a la OPN cuyas transiciones comparten todos sus lugares
de entrada o todos sus lugares de salida. Esto es:
���� Máquina de Estado (State Machine - SM) , es una FC tal que todas sus
transiciones poseen solo un arco de entrada y uno de salida, es decir:
Esta característica implica que un SM puede tener conflictos, pero no
concurrencias, ni procesos de sincronización. Indica también que un SM se
termina en lugares, es decir, si la PN tiene nodos de entrada y salida, estos
son lugares.
La característica 2.11 permite interpretar a cada conjunto arco – transición –
arco como un solo arco, y por tanto reducir la PN a un grafo con un solo tipo
de nodos. Si el número total de marcas es 1 este grafo indica cual es el
estado del sistema, por lo que a este tipo de PN denominan “Máquina de
Estados”. Un SM se llama determinista si no posee conflictos, es decir si los
lugares solo poseen un lugar de entrada y uno de salida.
{ } { }ijjijij pttptpTt =•∨=••∈∈∀ :/ (2.10)
( ) ( ) ( ) ( )•=•∨•=••∧•∨•∧•∈∈∀ ijijijijiji ttttttttpTtt :/, (2.11)
11: ≥•∨≥•∈∀ ttTt (2.12)
30
a).
b).
Figura 2.7 Máquina de estado
Tienen principal uso en la lógica de funcionamiento de la PN, es decir en la
búsqueda de marcas alcanzables, eliminaciones de bloqueo, etc. La adición
de retardos carece de sentido, puesto que no existe sincronización.
���� Grafo Marcado (Marked Graphs - MG ), es una FC en la que todos sus
lugares poseen solo un arco de entrada y uno de salida. Esto es:
Su estructura implica que puede haber concurrencia y sincronizaciones, pero
no conflictos. Otra implicación es que un MG puede ser terminado en
transiciones, es decir, si la PN tiene nodos de entrada y salida, éstos son
transiciones.
Además, la característica (2.12) permite interpretar a cada conjunto arco –
lugar – arco como solo un arco, con peso relacionado a las características
del lugar (marca y tiempo) y por tanto reducir la PN a un GE con un solo tipo
11: ≥•∨≥•∈∀ ppPp (2.13)
M4 t3
M2
M3
M1
t1 t2 t4
t5
31
de nodos, las transiciones, a las cuales puede tratarse como variables de
estado.
a).
b).
Figura 2.8 Grafo Marcado
Todas estas características hacen a los MG ideales para representar
sistemas con retardos. Muchos textos (como son [5], [6], [7], [8] y [14]),
denominan a los MG con tiempo como GE Temporalizados (GET) tal de
relacionarlos con estudios afines.
���� Red cerrada (Workflow WF) , una red n es cerrada si al menos posee 2
nodos, inicial i y final f, interconectados por una transición t. Los WF se
asocian con autómatas en SM y sistemas autónomos en MG.
El estudio de propiedades como vitalidad, seguridad y alcanzabilidad, requiere
una clasificación de PN enfocada en el desenvolvimiento de su estructura.
Para esto se ha requerido desarrollar los siguientes conceptos:
U x1 x2
0
0
3
1
0
Y1
32
���� Sifón. Es el conjunto de lugares S, en el cual al menos una transición de
salida coincide como entrada, es decir •⊆• SS . Tiene la propiedad que si
en alguna marca no posee tokens, entonces se conservará así en marcas
venideras
{ }{ }
•⊆•=•=•
SS
ttS
tS
21
1
,
Figura 2.9 Sifón
���� Trampa , es el conjunto de lugares Q cuyas transiciones de salida coincidan
con las de entrada, es decir QQ •⊆• . Tiene la propiedad de que si en
alguna Marca posee al menos 1 token, entonces permanecerá marcada.
{ }{ }
tQ
ttQ
•⊆•=•=•
1
21,
Figura 2.10 Trampa
���� S y Q Básicos y Minimales. Un sifón, o trampa, se denomina: básico, si
no puede ser expresado como unión de otros sifones, o trampas; o minimal,
si no contiene a otros sifones, o trampas.
La identificación de grupos S y Q , se la puede realizar por inspección, pero
resulta práctico, especialmente para el análisis de propiedades de
comportamiento, utilizar métodos computacionales que definan una
33
búsqueda heurística de estos conjuntos, o que apliquen la resolución
matemática de (1,0) - inecuaciones, propuesta en [25], para obtener
directamente los grupos básicos y minimales.
La resolución de (1,0)-inecuaciones es considerado un Problema de
Programación Lineal (PPL), por lo que con este objetivo, normalmente se
utilizan procesos matemáticos iterativos de forma computacional, sobre los
cuales se puede encontrar suficiente información y respaldo de software en
[29].
Puesto que la finalidad de este trabajo es analizar sistemas mediante PN, y
no el desarrollo matemático de expresiones relacionadas a PPL; se
considera suficiente el uso PNTOOL del Matlab, descrito en [28] y los casos
de estudio de páginas siguientes, para la búsqueda de características del
tipo trampas y sifones.
A continuación se clasificará a las PN en base a sifones, trampas y estructuras
que permiten determinar su comportamiento.
Figura 2.11 Tipos de PN acorde a criterios de alcanzabilidad
���� PN Acíclica , si no posee circuitos.
34
���� Circuitos Trampa y Sifón (Trap (Syphon) Circuit, TC (SC)), si el conjunto
de lugares en cada circuito es, respectivamente, una trampa o un sifón.
���� Circuitos Trampa y Sifón Contenidos (TCC (SC)), si el conjunto de
lugares en cada circuito contiene, respectivamente, una trampa o un sifón.
���� Circuitos sin Conflictos Posteriores o Anteriores ( Forward (backward)
conflict free net FCF (BCF)), cada lugar tiene, a lo mas, un arco de salida o
entrada respectivamente.
���� Circuitos no decrecientes y no crecientes (nondecreasing
(nonincreasing) circuit NDC(NIC)) , si sus transiciones nunca reducen o
incrementan el número de tokens.
Ejemplo 2.3 Trampas y Sifones
Figura 2.12 Trampas y sifones
El análisis computacional a través del PNTOOL del Matlab, indica que los
siguientes grupos son a la vez Sifones y Trampas básicos.
{ }431 ,, ppp , { }41, pp , { }32, pp , { }4321 ,,, pppp , { }421 ,, ppp
35
2.5. PROPIEDADES DE LAS REDES PETRI
Una propiedad es la facultad que posee un sistema, gracias a sus
características, de reproducir un comportamiento, siempre que las
circunstancias se repitan.
Las PN poseen 2 tipos de propiedades: las de comportamiento, relacionadas
con los estados; y las estructurales, que como su nombre lo dice dependen de
la estructura de la red únicamente.
Las propiedades de una PN se asocian a los nodos que se consideran
variables de estado, sean lugares o transiciones, dependiendo del punto de
vista ocupado.
La forma más extendida de interpretación de propiedades es a través de
lugares y marcas, por lo que serán tomadas en cuenta a continuación.
2.5.1. PROPIEDADES DE COMPORTAMIENTO
Estas dependen de la marca inicial M0. Dentro de las propiedades de
comportamiento se tienen: Alcanzabilidad, Acotabilidad, Seguridad,
Conservatividad, Vitalidad, Reversibilidad, Estado Inicial, Cobertura,
Persistencia y Distancia Sincrónica. Una descripción detallada de estas
propiedades se encuentra en [23]
���� Alcanzabilidad. Un problema importante en el diseño de sistemas
distribuidos es lograr que tal sistema, alcance un estado específico o
exhiba un comportamiento particular, evitando toda acción de
consecuencias indeseadas. Para un DES, el estudio de alcanzabilidad
determina si su modelo refleja exactamente su dinámica o estructura, y
permite descubrir la presencia de facetas de comportamiento no
previstas.
36
La alcanzabilidad permite averiguar como un sistema modelado con PN
puede alcanzar un estado específico mediante un comportamiento
funcional requerido. La alcanzabilidad consiste en encontrar al menos
una secuencia de disparos que transformen un estado inicial M0 en un
estado específico Mi, siendo cada una de estas secuencias de disparos
un patrón permisible de comportamiento funcional.
- Mi se considera Marca Alcanzable de M0 , si existe una secuencia de
disparos de transiciones que transforman M0 a Mi. Una marca Mi se
conoce como Marca Inmediatamente Alcanzable de M0, si un disparo
de una transición habilitada de M0 resulta en Mi.
- R(M0) o Alcanzabilidad de M0 es el conjunto de todas las marcas a las
que se puede llegar a partir de M0. L(M0) es el conjunto de todas las
secuencias de disparos posibles desde M0.
���� Acotabilidad y Seguridad. En sistemas de comunicación, manufactura,
etc., se necesita plantear estrategias para evitar la sobre saturación de
áreas de almacenamiento, ya que esto puede provocar corrupción de
datos o daños de equipos. Los lugares y sus tokens pueden ser usados
para representar respectivamente áreas de almacenamiento y sus
unidades, y el estudio de estas propiedades consigue definir tales
estrategias.
La acotabilidad está relacionada con el número máximo de tokens que
puede poseer un lugar. Tal propiedad ayuda a identificar la existencia de
sobre flujos de tokens.
- Una PN se dice que es k-acotada si el número de tokens en todo lugar
p, donde Pp∈ , es siempre menor o igual que k ( +∈ Zk ) para cualquier
marca M, siendo )R(MM 0∈ .
37
- Una PN se dice segura si es 1- acotada, como muestra la figura:
Figura 2.13 PN segura
La figura 2.14 indica una red ilimitada, porque el funcionamiento de la
misma obliga a p3 guardar un número arbitrario de tokens.
Figura 2.14 PN Ilimitada
���� Conservatividad
Figura 2.15 PN Conservativa
38
Una PN es conservativa si su número total de tokens se conserva, es
decir, si la suma ponderada de tokens es constante para toda M
alcanzable desde la M0. Para comprender esto es necesario definir el
término “suma ponderada”.
Suma ponderada (Weighted Sum WS). Esta operación se resume en
la siguiente fórmula:
Donde ( )jpW es una cantidad asociada a jp , llamada ponderación y
)( ji pm es la marca del mismo lugar en el estado i .
En otras palabras, una PN no es conservativa si no existe un conjunto de
ponderaciones que mantenga constante WS en cualquier marca.
Un análisis superficial sugiere afirmar que una PN es conservativa si: el
número de arcos de entrada a cada transición es igual al número de arcos
de salida, pues así, el total de tokens se mantiene. Tal aseveración es
correcta, pero en ocasiones lleva a interpretar como falta de
conservatividad que, posterior al disparo de una transición, varios tokens
se combinen en uno, o que uno se divida en varios.
Para evitar esta mala interpretación es necesario ponderar la suma de
tokens, como se muestra en la Figura 2.12, o acomodar el peso de los
arcos para mantener la conservatividad.
( )∑=
==m
jjijii pMpWMWWS
1
)(. (2.14)
39
Ejemplo 2.4 Suma ponderada.
Resulta útil aplicar, cuando se desea representar recursos a través de tokens, ya
que los recursos no se crean ni se destruyen, a menos de que haya previsión
para esto (como al remover de la manufactura una herramienta dañada).
M0:
M1:
M2:
p1 = carga p2 = vehículo p3 = transporte p4 = carga p5 = vehiculo w1 = 1 w2 = 1 w3 = 2 w4 = 1 w5 = 1 t1 = el vehículo se carga t2 = descarga del vehiculo
Total Tokens: WS0 = (1x1)+(1x1)+0+0+0=2 WS1 = 0+0+(1x2)+0+0=2 WS2 = 0+0+0+(1x1)+(1x1)=2
Figura 2.16 PN Conservativa
���� Vitalidad e Ínter bloqueo . El ínter bloqueo se da cuando la ejecución de
la PN lleva a una marca en la cual ninguna transición puede ser
disparada.
La vitalidad de una PN garantiza la ausencia de ínter bloqueos en la
ejecución de la red.
Se dice que una PN es viva si para toda M alcanzable desde M0 existe al
menos una secuencia que permita disparar una transición.
40
La vitalidad de una transición es la medida de cuanto se dispara ésta, la
misma que se clasifica dentro de 5 niveles, que son:
- L0 (muerta) si no posee secuencia de disparo en L(M0).
- L1 (potencialmente disparable), si t puede ser disparada al menos una
vez en alguna secuencia de disparos L(M0).
- L2, si t puede ser disparada al menos k veces en alguna secuencia de
disparos L(M0).
- L3 si t siempre puede ser disparada en alguna secuencia L(M0).
- L4 (viva), si es L1 en todas las marcas de R(M0).
Muchas definiciones y aplicaciones se asocian con estas medidas, algunos
de las cuales se presentan en el trabajo [3].
���� Reversibilidad y Estado Inicial. Se dice que una PN de marca inicial M0
es Reversible si para cada marca M de R(M0), M0 es alcanzable desde M.
Mi es un Estado Inicial si para toda marca M de R(M0), Mi es alcanzable
desde M, de aquí que la propiedad de Estado Inicial es menos restrictiva y
más práctica que la propiedad de Reversibilidad.
Esta propiedad tiene aplicación en la operación de sistemas reales
(manufactura, control de procesos, etc.), pues estos requieren conocer si
tal sistema puede recuperarse de un error, es decir, pasar de estados de
falla a sus estados previos de funcionamiento correcto.
���� Cobertura. Se dice que una marca M’ cubre a M, si M’ es alcanzable
desde M0 y si cumple:
)()(': pMpMPp ≥∈∀ (2.15)
41
Información detallada sobre esta propiedad se la puede encontrar en la
referencia [9].
���� Persistencia. Una PN es persistente si para 2 transiciones cualesquiera,
el disparo de la una no deshabilita a la otra (una transición no se
deshabilita hasta que es disparada).
Se tiene que toda red MG es persistente, por lo cual, toda PN persistente
y segura puede ser transformada en un MG.
���� Distancia sincrónica. Es la diferencia máxima de las veces que son
disparadas 2 transiciones en una secuencia de disparo.
Matemáticamente:
En [23] se usa esta propiedad para deducir estructuras de redes MG, a
partir de condicionamientos relacionados a secuencias de disparo.
2.5.2. PROPIEDADES ESTRUCTURALES.
Dependen de la estructura de la red y no de su M0, es decir que se cumplen
para cualquier M0. A continuación se definirán textualmente algunas de
estas propiedades, como son: Vitalidad Estructural, Acotabilidad Estructural,
Controlabilidad, Conservatividad, Repetitividad y Consistencia.
���� Vitalidad Estructural. Una PN es viva estructuralmente si existe al
menos una M0 para la cual sea viva. Todas las redes MG tienen vitalidad
estructural.
���� Controlabilidad . Una red es controlable si cualquier marca es alcanzable
desde cualquier otra marca. La controlabilidad y la observabilidad son
( ))()(max 2112 ttd σσ −= (2.16)
42
conceptos muy generales que no solo se pueden asociar con marcados y
lugares. Se definen como la capacidad de un sistema de llegar a un
estado cualquiera desde las entradas o las salidas, respectivamente.
Como se muestra en [6] y en páginas siguientes, para el estudio de PN
Temporalizadas se contempla a las transiciones como variables de
estado, por lo que estos conceptos van ligados a las mismas.
���� Acotabilidad Estructural. Una PN está acotada estructuralmente si es
acotada para cualquier marca inicial finita.
���� Conservatividad Estructural. Se da si la suma ponderada de tokens es
constante; si esto se cumple para todo lugar de la PN es total y si no
parcial.
���� Repetitividad . La PN tiene esta propiedad si existe un marcado finito M0
y una secuencia de disparo s, en la que sus transiciones se disparan un
número infinito. Si esto se cumple para toda transición, la repetitividad es
total, y si no, se denomina parcial.
���� Consistencia. Se da si existe un M0 finito con una secuencia s cíclica
(que lleva de M0 a M0) en el cual sus transiciones se disparan al menos
una vez. Si esto se cumple para todas sus transiciones entonces la
consistencia se denomina total; si no, parcial
43
2.6. MODELOS DE REDES PETRI
La construcción de un modelo de PN normalmente se la realiza a través del
análisis, partiendo de una especificación de requerimientos. El análisis de una
PN permite desarrollar el modelo y verificar si éste se encuentra bajo las
especificaciones requeridas, por lo que es de suma importancia su estudio.
En primera instancia, el modelado con PN, depende de una interpretación del
funcionamiento lógico del sistema, que por lo general provee un conjunto de
especificaciones de naturaleza informal.
En base a esto se desarrolla un bosquejo, que gradualmente se debe
complementar, adicionando características, hasta hacerlo reflejar de manera
adecuada el sistema en cuestión.
Complementar un modelo implica anexar estructuras, incluir extensiones, o
realizar ambas cosas. Estas tareas se desarrollan gracias a las herramientas
de análisis.
El análisis, como una herramienta de desarrollo, permite encontrar pautas de
modificación que a la vez verifican la validez del sistema y sus requerimientos.
El análisis aplicado a un modelo completo permite evaluar su comportamiento
frente a circunstancias diversas, también puede plantear estrategias básicas de
control, etc.
En páginas siguientes se irá detallando con ejemplos la manera de modelar
DES a través de PN y su análisis, teniendo como objetivo principal el desarrollo
y evaluación de un modelo correspondiente a línea de producción.
44
3. ANÁLISIS DE REDES PETRI REGULARES, TEMPORALIZADAS Y ESTOCÁSTICAS
3.1. GENERALIDADES
El análisis examina las características y propiedades de un modelo, lo que
permite verificar si las relaciones, en estas implícitas, reflejan los objetivos del
sistema. De no ser así, el análisis sugiere modificación e indica una pauta de
cómo realizarla, por lo cual es indispensable al desarrollar modelos, clarificar su
percepción y obtener una proyección de sus resultados.
El análisis se basa en una fuente de información, que contiene las
características y objetivos de un sistema, que se resumen en una
especificación de requerimientos. Por tanto, es necesario que los
requerimientos se especifiquen en su totalidad y con una correcta percepción
de la funcionalidad del sistema, ya que de no ser así el modelo relacionado
puede no responder apropiadamente.
En definitiva, el análisis busca:
- Lograr correspondencia funcional entre el modelo y el sistema, es decir que
cada uno de los requerimientos especificados se cumplan.
- Verificar que la especificación de requerimientos sea consistente, en otras
palabras comprobar que éstos puedan cumplirse.
Dependiendo de la complejidad del modelo, los métodos de análisis pueden ser
iterativos o analíticos. En cualquier caso, el software es una herramienta
indispensable puesto que agilita los procedimientos.
45
El tipo de análisis depende de la característica o propiedad que se desea
evaluar; así se tiene que el análisis puede ser de alcanzabilidad, seguridad,
controlabilidad, etc.
Los métodos más importantes se los clasifican de la siguiente manera:
- Técnicas de Reducción y Descomposición.
- Gráfico de alcanzabilidad y árbol de cobertura.
- Acercamiento Matemático.
En los documentos [4] y [16]-[18], se describe el método “Técnicas de
Reducción y Descomposición” con mas detalle. Éste se justifica en la
formación de las redes FC, donde de manera lógica y por simple inspección se
puede transformar un modelo en otro más sencillo, o mas detallado según sea
la necesidad. A continuación una breve descripción de éste.
El método de Gráfico de Alcanzabilidad y Árbol de cobertura es muy difundido y
tomado en cuenta en casi toda la bibliografía. Estos son métodos
computacionales y netamente iterativos; ejecutan la PN tantas veces como
sean necesarias, para generar un gráfico de estados del que se puedan extraer
conclusiones valiosas.
El tipo de ecuaciones, generalmente matriciales, se establecen dependiendo de
la complejidad de la PN y sus extensiones. En este documento se ocuparán
ecuaciones matemáticas para realizar el análisis de PN sin tiempo, PN con
tiempo determinista y estocástico. Los textos [4], [5] y [9] profundizan
respectivamente estos temas, aplicándolos en diversos casos.
46
3.2. TÉCNICAS DE REDUCCIÓN Y DESCOMPOSICIÓN
Reducir un modelo complejo es llevarlo estructuralmente a una descripción
más simple (de FC a redes SM, MG), manteniendo sus propiedades originales
(vitalidad, seguridad y acotabilidad), pues así el análisis de propiedades es
menos complicado. La descomposición, o procedimiento inverso de la
reducción, permite la transformación de un modelo abstracto en otro
jerárquicamente mas refinado.
Se denomina subred a la parte de la red que se desea reducir o sintetizar. Las
técnicas de reducción tratan de generalizar una subred, ocultando sus partes
menos preponderantes tras un reemplazo que posee las características
dominantes.
Las técnicas más comunes son:
a. Lugares serie:
b. Transiciones serie:
47
c. Lugares paralelo:
d. Transiciones paralelo:
e. Lugares ciclo:
f. Transiciones ciclo:
Figura 3.1 Técnicas de Descomposición y Reducción
Para evitar errores estructurales inducidos por las técnicas mencionadas, se
debe asegurar que a cada paso de reducción no se de alguna de las siguientes
situaciones (tomados de [17]):
- Existe una transición con solo un lugar de entrada y uno de salida, y el
conjunto de transiciones de entrada asociadas al lugar de entrada no están
separadas del conjunto de transiciones de entrada asociadas al lugar de
salida, en este caso la red es no segura.
48
Figura 3.2
- Cuando se realiza la fusión de lugares series, si ambos lugares poseen
marcas, la red es no segura.
- Existe una transición con solo un lugar de entrada y uno de salida, y el
conjunto de transiciones de salida asociadas al lugar de entrada no están
separadas del conjunto de transiciones de salida asociadas al lugar de
salida, en este caso la red no es viva.
Figura 3.3
- Existe una subred sin transiciones de entrada y salida, y existe al menos otro
lugar o subred en la red.
En este trabajo se aplicará las técnicas mencionadas únicamente sobre PN
regulares. En los textos [2] y [3] se definen técnicas de reducción más
avanzadas aplicadas sobre PN con tiempo y coloreadas, igualmente basadas
en la inspección de la estructura de la red.
Ejemplo 3.1 Semáforo.
Hay tres luces, Roja (R1), Ámbar (A1) y Verde (V1). Su secuencia de uso está
definida por el siguiente diagrama.
49
Figura 3.4 Semáforo
Al descomponer este diagrama, se considera a cada cambio de estado como una
transición, y a cada estado como un lugar.
Figura 3.5 Semáforo PN
Ejemplo 3.2 Planificación y ejecución de un proceso .
Sea un proceso cuya ejecución está dada por el diagrama de la figura.
Figura 3.6 Proceso
Llevando este diagrama a su forma en PN se tiene una descripción un tanto mas
detallada, así:
Recursos Prod A Bodega Tiendas
Prod B
A
C
E
B
D
Ganancia F
G
A y B Procesos elaboración C y D Embasado E Distribución F Venta G Compra recursos
Verde Ámbar Rojo
50
Figura 3.7 Proceso PN
Desde aquí es posible descomponer las etapas de mayor jerarquía en sub etapas
y viceversa. Por ejemplo:
Figura 3.8 Reducción y Descomposición de subprocesos
51
3.3. GRÁFICO DE ALCANZABILIDAD Y ÁRBOL DE
COBERTURA
Expresan de manera gráfica el cambio de estados en un sistema, enlazando
nodos a través de arcos dirigidos. Aquí, cada nodo representa un estado y
cada arco representa la transición necesaria para un cambio de estado
inmediato. Por esto se etiqueta a los nodos con la Marca o los nombres de sus
marcas y a los arcos con el nombre de las transiciones correspondientes.
De esta manera es posible enumerar todas las M, )R(MM 0∈ (todas las
posibles marcas alcanzables desde una marca inicial M0) e incluso encontrar
el conjunto de transiciones a dispararse para llegar a un estado deseado Mi.
3.3.1. ELABORACIÓN DEL ÁRBOL DE COBERTURA
El gráfico de alcanzabilidad crece indefinidamente si la PN es ilimitada, ya
que en ésta, la existencia de al menos un conjunto repetitivo de eventos
implica secuencias de incremento infinitas (Dixon’s lemma), produciendo un
número infinito de marcas y nodos.
El árbol de cobertura (Coverability Tree CT) , para evitar trabajar con
infinita cantidad de nodos, usa el símbolo ω en la marca cuyos lugares
posean un número de tokens que puede crecer indefinidamente. A ω se lo
interpreta como infinito, por lo que para todo entero n se cumple que:
El árbol de cobertura se construye bajo un algoritmo, cuyo pseudocódigo se
presenta a continuación:
ωω =+ n , ωω n - = , ω n < (3.1)
52
- Etiquetar la marca raíz M0 como “nueva".
- Mientras existan marcas “nuevas" hacer:
- Seleccionar una marca “nueva" M
- Si no hay transiciones habilitadas en M, entonces etiquetar M “muerto";
- Si M es idéntico a algún marcado en el camino desde la raíz a M,
etiquetar M como “vieja” e ir a otro marcado nuevo.
- Para todas las transiciones habilitadas en M hacer:
- Obtener el marcado M’ resultado del disparo de una transición;
- Si desde la raíz a M existe un M’’ tal que )(p'M')(pM' ii ≥ para todo i =
1,..., n, y 'M'M'≠ , entonces:
- Reemplazar )(pM' i por ω siempre que )(p'M')(pM' ii ≥
- Añadir M' al árbol etiquetando el arco con la transición apropiada;
- Etiquetar M' como “nueva";
Puesto que éste es un método netamente computacional, es aplicable en PN
sin tiempo, PN con extensiones de Complejidad, Prioridad y Probabilidad
sin tener mayor complicación que la gráfica (por su extensión) para sistemas
complejos.
Se denomina árbol de cobertura reducido al que esconde los estados no
representativos. En éste los arcos representan una secuencia de
transiciones a dispararse hasta llegar a la próxima marca presentada.
Ejemplo 3.3 Tanques acoplados.
En este ejemplo se puede analizar las ventajas y desventajas del árbol de
cobertura.
La PN siguiente simboliza el funcionamiento de un sistema de 2 tanques
acoplados. Los lugares, por su capacidad de almacenamiento, son tomados
como los tanques. Las transiciones, por permitir el flujo de tokens, representan el
53
movimiento de un volumen entre los tanques. Los tokens son unidades de
volumen, cuya cantidad indica el nivel de cada tanque.
Para que la PN de este ejemplo trabaje, sin tener mas consideraciones que las
debidas a su propia estructura, es necesario un escalamiento 2x de sus unidades;
el auxilio de estructuras adicionales, como los lugares 2x(NA-NB) y 2x(NB-NA), y
las transiciones FA’ y FB’ ; así como el apoyo de la extensión Arcos Inhibidores.
Figura 3.9 Tanques Acoplados
La dinámica de esta PN se parece a la real, ya que en cada ejecución de los FBA
y FAB se trata de equilibrar los niveles NA y NB. El estado final es la
descomposición del total de marcas iniciales, 2x(NoA) y 2x(NoB), en 2 cantidades
semejantes, o iguales si la suma es par (lo cual es el motivo del escalamiento), en
los lugares 2x(NA) y 2x(NB)
Queda claro que esta clase de PN y extensiones, no son las más adecuadas para
modelar sistemas de este tipo, sin embargo es un buen ejemplo para analizarlo a
través del Árbol de Cobertura, ver sus ventajas y falencias.
NoA
NoB
FAB FBA
FA FB
NA NB
54
Figura 3.10 Árbol de cobertura tanques acoplados
Tabla 3.1. Estados o marcas
M[2x(NA),2x(N1-N2),2x(N2-N1),2x(NB),2x(NoA),2x(NoB)]
M0 = [0,0,0,0,2,2] M1 = [1,1,0,0,1,2] M2 = [0,0,1,1,2,1]
M3 = [2,2,0,0,0,2] M4 = [1,0,0,1,1,1] M5 = [0,0,2,2,2,0]
M6 = [2,1,0,1,0,1] M7 = [1,0,0,1,0,2] M8 = [1,0,1,2,1,0]
M9 = [1,0,0,1,2,0] M10 = [2,0,0,2,0,0] M11 = [1,0,1,2,0,1]
M12 = [2,1,0,1,1,0] M13 = [1,0,2,3,0,0] M14 = [3,2,0,1,0,0]
Resulta obvia la dificultad gráfica de este método, pues presenta los 14 estados
para una marca inicial de apenas 2, es decir NoA=NoB=1, en los lugares
correspondientes. El mismo ejemplo efectuado para condiciones iniciales NoA=6
y NoB=3 tiene un árbol de cobertura que presenta 457 estados.
Por otro lado, puede resultar conveniente ver todas las posibles combinaciones de
eventos y las secuencias de disparos que llevan a un estado particular de estudio.
En el ejemplo se nota cuales son todas las posibles secuencias que llevan al
estado final equilibrio M10.
Cuando el gráfico resultante es demasiado extenso y confuso, resulta práctico
trabajar con una tabla equivalente. Para este ejemplo se tiene la tabla 3.2:
55
Tabla 3.2. Tabla de Cobertura
Árbol de Cobertura
De Disp A De Disp A De Disp A De Disp A De Disp A De Disp A
M0 F1' M1 M0 F2 M2 M1 F1' M3 M1 F2' M4 M2 F1 M4 M2 F2 M5
M3 F2' M6 M3 F12 M7 M4 F1' M6 M4 F2 M8 M5 F1 M8 M5 F21 M9
M6 F2' M10 M7 F2 M11 M8 F1 M10 M9 F1' M12 M11 F2 M13 M12 F1' M14
M13 F21 M10 M14 F12 M10
3.3.2. PROPIEDADES A TRAVÉS DEL GRÁFICO DE ALCANZABILIDAD
Y EL ÁRBOL DE COBERTURA.
Algunas propiedades que se pueden analizar a través de éstos son:
���� Acotabilidad. Una PN es acotable si no aparece el símbolo w en ningún
nodo.
���� Seguridad. Una PN es segura si en cada nodo del árbol de cobertura
solo hay 0 y 1
���� Alcanzabilidad. S i un estado es alcanzable desde otro existe una
trayectoria dirigida entre estos.
���� Vitalidad. Una PN que no es viva posee un árbol con al menos un nodo
etiquetado como muerto.
���� Conservatividad. Una PN es conservativa si la suma ponderada de los
tokens para cada marca es constante.
Ejemplo 3.4 Propiedades a través de CT en una PN in distinta.
Las figuras 3.11 y 3.12 son respectivamente una PN y su árbol de cobertura:
56
Figura 3.11 PN indistinta
M[p1,p2,p3,p4]
M0 = [0,1,0,1]
M1 = [1,0,0,1]
M2 = [0,1,ω,1]
M3 = [1,0,ω,1]
M4 = [0,0,ω,1]
Figura 3.12 Árbol de Cobertura y Estados, PN indistinta
Es posible ver que:
- La red no es Viva por tener un estado final M4.
- Existe un conflicto efectivo entre t1 y t3,
- Existe una secuencia repetitiva a través de las transiciones t2 y t1, esto sin dar
importancia a la marca del lugar p3 que se incrementa indefinidamente. La
presencia de ω indica que la red no es conservativa, ni segura.
Ejemplo 3.5 Propiedades a través de CT en una PN pa ra Semáforos de cruce
peatonal.
La PN que describe el comportamiento de este pequeño sistema, es la siguiente.
57
Figura 3.13 Semáforos en cruce peatonal
El semáforo para vehículos es similar al del Ejemplo 3.1 y el semáforo de
peatones está determinado por la PN cuyos nodos tienen nombre con la letra final
P.
El árbol de cobertura y los posibles estados para esta red son los siguientes:
M[Amarillo, Verde, Rojo, Verde P, Rojo P, p6]
M0 = [0,1,0,0,1,0]
M1 = [1,0,0,0,1,0]
M2 = [0,0,1,0,1,1]
M3 = [0,0,1,1,0,0]
Figura 3.14 Árbol de cobertura y estados, Semáforos en cruce peatonal
Este gráfico indica que la red tiene un comportamiento repetitivo, que es L4 viva,
que es segura y, entre otras cosas, que existe un conflicto efectivo entre la
transición Rojo Verde y Verde Rojo P.
58
La estructura de este modelo será desarrollada a través de las características y
obligaciones del sistema, mas adelante. Se tomará en cuenta nuevamente este
ejercicio, aprovechando su conflicto efectivo, para el análisis probabilístico de PN
estocásticas en los casos de estudio.
59
3.4. ANÁLISIS DE REDES PETRI REGULARES
3.4.1. MATRIZ DE INCIDENCIA Y ECUACION DE ESTADO
En la representación clásica de una PN se toma como estado del sistema a
su marca, puesto que es un conjunto cuyos elementos guardan la
información correspondiente al número de tokens de cada lugar.
���� Ecuación de estado. Representa un cambio de marca, es decir un
cambio en la distribución de tokens de los lugares, como resultado del
disparo de una transición. Esta ecuación se define como:
Donde:
- ,...2,1=k , indica el estado k representado
- kM es un vector columna m x 1 que representa una marca
directamente alcanzable desde 1−kM después del disparo de ti.
- ku es un vector columna n x 1, que representa el k - ésimo vector de
disparo. Este tiene un solo elemento diferente de 0 e igual a 1 en
posición i correspondiente al disparo k de ti en alguna secuencia de
disparos L(M0)
- A es la matriz de incidencia, la misma que es una matriz entera mnA ×
donde n es el número de transiciones y m es el número de lugares.
���� Matriz de Incidencia A. Define todas las posibles conexiones entre
lugares y transiciones de la PN. Se establece como
kT
kk uAMM += −1 (3.2)
),(),( TPITPOA −= (3.3)
60
Donde:
- A , ),( TPO , ),( TPI son matrices de dimensión mn× .
- ),( TPO es la transpuesta de la matriz asociada al grafo de transición
que considera la relación de arcos existente de T a P, es decir ijo es el
peso del arco que va de it a jp .
- ),( TPI es la matriz asociada al grafo de transición que considera la
relación de arcos existente de P a T, es decir iji es el peso del arco que
va de jp a it .
Esto puede verse de la siguiente manera:
−
−
−
=
−
=
nmnm
ijij
nm
ij
nm
ij
n
m
io
io
io
i
i
i
o
o
o
t
t
A
pp
....
..
..
..
....
....
..
..
..
....
....
..
..
..
....
.
.
.
...
111111111
1
Matriz de Incidencia (3.4)
Para asegurarse que cada elemento de A refleje apropiadamente la
estructura de una PN, ésta debe ser pura y de no ser así, ésta debe
hacerse pura introduciendo pares lugar - transición adicionales, como se
muestra en la Figura 3.15.
Tal consideración es necesaria para evitar una mala interpretación de la
regla de habilitación y disparo, ya que ésta puede verse como:
)(aij jpM≤− (3.5)
61
a).
Arco bidireccional donde
debería cumplirse a11= 1
b).
a11= 1 no representa a). ya
que p1 no es entrada de t1
c).
Transformación equivalente
donde M(p’1)=M(p1)+M(p2)
Figura 3.15 Reemplazo de arcos bi direccionales
3.4.2. PROPIEDADES A TRAVÉS DE LA ECUACION DE ESTADO.
Del análisis matemático de estas ecuaciones se desprenden algunos
conceptos importantes, relacionados con las propiedades estructurales de la
PN (es decir que no dependen de su marca inicial), como son:
���� Invariante. Es una consideración que se mantiene para cualquier estado
alcanzable. Una combinación lineal de invariantes del mismo tipo, con
números no negativos, también es un invariante. Los invariantes pueden
ser de lugar o de transiciones, denominados P o T respectivamente, como
se verá a continuación. Se denomina minimal si no es combinación lineal
de otros invariantes.
���� Invariante P. Es el conjunto de lugares en los cuales el conteo
ponderado de marcas es constante durante los disparos de transiciones.
Esto quiere decir que se cumple:
0wMwM = (3.6)
62
El vector w debe ser de dimensión m×1 . Para hallarlo, se desarrolla la
expresión (3.2) haciéndola cumplir la condición (3.6).
uwAwMwM T+= 0
0=uwAT
Los lugares asociados con las posiciones del vector w , de valores
distintos de 0, poseen conservatividad. Un sistema tiene a lo más un
número de m-Rango(A) Invariantes P.
���� Invariante T. Estas muestran el número de veces que cada transición
debe dispararse para, partiendo desde M0, llegar nuevamente a M0. Tal
condición desarrollada en términos matemáticos es:
101 uAMM T+= , 212 uAMM T+= , ... uAMMM Tod +==
( ) vAMuuuAMM Td
T +=++++= 01200 ...
De aquí que un Invariante T es un vector columna v de dimensión n ,
solución del sistema homogéneo (3.8), que hace cumplir la condición
(3.7).
Se debe tomar en cuenta que v puede representar cuantos disparos
deben darse en cada transición para retornar a 0M , pero no indica una
secuencia lógica de disparos a seguir.
La existencia de invariantes T indica que el sistema tiene comportamiento
cíclico. Un sistema tiene a lo más n – rango(A) Invariantes T.
0=TwA (3.7)
0MM d = (3.8)
0=vAT (3.9)
63
���� Soporte de un invariante x . Es el conjunto de nodos, cuyas posiciones
en el vector invariante, contienen valores diferentes de 0. Se utiliza ||x||
para denotarlo.
���� Cluster del nodo x. Se denota por [x] y es el mínimo conjunto de lugares
y transiciones, y sus arcos p• y •t correspondientes, que contiene a x.
3.4.2.2. Propiedades estructurales
Dado que la matriz de incidencia engloba toda la información referente a
la estructura de la red, es necesario que aparezca en las ecuaciones que
definen a las propiedades estructurales. El estudio de estos términos y
propiedades es de gran importancia, son tomados en cuenta con mayor
profundidad en [2], [4], [9] y [13]
Las propiedades estructurales, a través de este tipo de representación
matricial, se pueden ver en la tabla 3.3:
Tabla 3.3. Propiedades Estructurales
Condiciones Propiedades
Estructurales Necesarias Suficientes Ref.
Controlabilidad mArango =)( mArangoMGA =∧∈ )( (3.10)
0MMGA ∃∧∈ (3.11) Vitalidad
estructural ∧∃∧∈ 0MFCA cada sifón tiene una trampa (3.12)
Acotabilidad
estructural 0,0 ≤>∃ Aww (3.13)
Conservatividad
Total 0,0 =>∃ Aww (3.14)
Conservatividad
Parcial 0,0 =≥∃ Aww (3.15)
64
Repetitividad
Total 0,0 ≥>∃ vAv T (3.16)
Repetitividad
Parcial 0,0 ≥≥∃ vAv T (3.17)
Consistencia
Total 0,0 =>∃ vAv T (3.18)
Consistencia
Parcial 0,0 =≥∃ vAv T (3.19)
3.4.2.3. Propiedades de Comportamiento.
Las propiedades de comportamiento mas importantes que se pueden
estudiar a través de esta forma son:
���� Vitalidad y Seguridad . Si una PN conectada es viva y segura,
entonces ésta es fuertemente conexa y no posee nodos fuente o
sumidero.
Un SM es vivo si es fuertemente conexo y su 00 ≠M . Un SM es seguro
si a lo más posee un token.
Un MG es vivo si en su 0M existe al menos un token para circuito. Un
MG vivo es seguro si cada circuito posee exactamente un token en
0M . Si el MG es fuertemente conexo, entonces existe un 0M capaz de
hacerlo vivo y seguro.
Una FC es viva si, y solo si, cada sifón contiene una trampa marcada
en 0M . Una FC es viva si está conformada por SM fuertemente
conexas con exactamente un token en 0M . Una FC viva y segura si
está cubierta por MG fuertemente conexos.
65
Una AC es viva si, pero no solamente si, cada sifón contiene una
trampa marcada en 0M .
���� Alcanzabilidad. Para comprobar la alcanzabilidad de una marca dM
es necesario cumplir con una serie de pasos, como son resolver de la
ecuación de estado, descartar su no alcanzabilidad y finalmente aplicar
criterios estructurales.
Resolución de la ecuación de estado.
Desarrollando la ecuación (3.2) se tiene que:
101 uAMM T+= , 212 uAMM T+= ,... 121 −−− += dT
dd uAMM , dT
dd uAMM += −1
dT
dTTT
d uAuAuAuAMM ++++= −1210 ...
Reemplazando, MMM d ∆=− 0 y ∑=
=d
kku
1
σ , (3.20) puede verse:
De donde se aprecia que, un cambio de marca M∆ existe si hay una
secuencia de disparos factibles σ , denominada vector de Parikh.
La ecuación (3.21) puede considerarse un problema de Programación
Lineal del tipo bAx = , por lo que generalmente sus soluciones se
obtienen a través de métodos matemáticos iterativos. En la referencia
[29] se presenta teoría y software para desarrollo exclusivo de
problemas de este tipo.
∑=
+=d
kk
Td uAMM
10
(3.20)
σTAM =∆ (3.21)
66
En casos muy especiales, en los que el producto TAA sea invertible, es
decir ( ) mnArango mn ≤=× ; tiene sentido buscar una solución a través de
la siguiente expresión.
Se debe tomar en cuenta que, dada la naturaleza de ku , la solución de
(3.21) debe ser un vector de enteros no negativos; y que σ existe si y
solo si M∆ es ortogonal a cada solución y del sistema homogéneo
0=Ay (que es (3.7) con Twy = ). Para comprobar esto se construye
una matriz Tf yB = , que cumple con estas 2 condiciones, de la
siguiente manera:
- Dividir A en 4 matrices en medida de )(ARangor = y rmu −= , de
tal manera que ( )rA12 sea una matriz cuadrada y además no singular.
Esto se muestra a continuación:
- Formar la matriz fB con uI (identidad de orden u), )(11 uA y ( )rA12 , de
la siguiente forma.
-
- Verificar si existe ortogonalidad al vector variación, con la siguiente
ecuación:
( ) MAAAT ∆= −.
1σ (3.22)
( )mn
ru
xAA
AAA
=
↔↔
2221
1211 (3.23)
( )[ ]1
1211
−−= TT
uf AAIB M (3.24)
67
Descartar no alcanzabilidad.
Una solución no negativa de (3.21) y el cumplimiento de (3.25), indican
que σ existe, pero, no demuestra que dM es alcanzable. Esto se
debe a que matemáticamente σ representa el número de veces que
deberían dispararse las transiciones para cumplir la alcanzabilidad,
mas no determina si cada uno de esos disparos es válido, ni tampoco
el orden en que se deben dar. Por lo tanto, una solución entera no
negativa es necesaria pero no suficiente.
Por esta razón resulta conveniente pensar en una condición suficiente
para la No Alcanzabilidad, basada en el no cumplimiento de (3.25).
Así, se puede definir como no alcanzable a una dM , si existe un z
diferente de cero que cumple con:
Una forma de verificar la condición (3.26), a través de (3.25) es
comprobando que toda de solución de (3.27) es 0:
0=∆MBf
Debe tomarse en cuenta que las expresiones con Anxm, de la forma
bAx = , bAx≤ y bAx≥ , como son (3.13), (3.14), (3.21), (3.25), (3.26)
resultan ser Problemas de Programación Lineal PPL, y normalmente
0. =∆MBf (3.25)
zBM Tf=∆. (3.26)
( ) 0=zBB Tff (3.27)
68
son resueltos por procedimientos matemáticos iterativos, como en el
Anexo C
El Anexo C hace una demostración de uso del paquete computacional
demostrativo GAMS, especializado en la resolución de PPL y hecho
referencia en [29].
Ejemplo 3.6 No Alcanzabilidad
Figura 3.16
Para el sistema de la Figura 3.16, comprobar si las siguientes marcas
no son alcanzables.
=
1
0
3
2
1M
−
=
1
1
2
4
2M
Solución:
La matriz de incidencia de esta PN es:
−−−
−=
1120
0112
1012
A
De donde se construye:
69
Hallando 0MMM i −=∆ y aplicando (3.27) se obtiene:
( )
=
−
−
=∆=
−
0
0
1
0
1
2
1110
2201
3/10
09/1.
1
1 MBBBz fT
ff
( )
=
−
−
=∆=
−
3/2
0
1
1
2
4
1110
2201
3/10
09/1.
1
2 MBBBz fT
ff
Por tanto M2 no es una marca alcanzable desde Mo. No se puede
definir si M1 es una marca alcanzable desde Mo mediante este método.
El árbol de cobertura indica que M1 si es una marca alcanzable.
Aplicación de criterios estructurales.
La resolución de la ecuación de estado permite comprobar
alcanzabilidad en las redes que no poseen circuitos, denominadas
acíclicas, por lo que se debe relacionar las PN en general con éstas.
La siguiente clasificación, adiciona criterios sobre la estructura de la
red, lo cual permite lograr dicha relación.
A la sub red formada por las transiciones disparadas al menos una vez
en σ , es decir 0)( ≠tσ , conjuntamente con sus lugares y arcos
adyacentes, se le denomina σN . Al sub vector de 0M que contiene la
marca inicial de σN , se le denomina 0σM . La red σN tiene asociado
los conjuntos σS y σQ , que son sus sifones y trampas
respectivamente.
−=
1110
2201Bf
70
La PN definida por ( )0, σσ MN es de suma importancia pues es acíclica,
y permite comprobar la alcanzabilidad, según los criterios resumidos en
la siguiente tabla:
Tabla 3.4. Alcanzabilidad en PN
PN Alcanzabilidad de dM desde 0M
Acíclica 0≥∃σ (3.28)
TC ( ) 00 ≠∧≥∃ σσ SM o (3.29)
SC ( ) 00 ≠∧≥∃ σσ QM o (3.30)
TCC ( )( )0|0 ≠∃∀∧≥∃ σσσσ QMQS o (3.31)
SCC ( ) 00 ≠∧≥∃ σσ QM d (3.32)
NDC ( ) 0|0 minmin ≠∧∈≤≥∃ σσσσσ SM oi (3.33)
NIC ( ) 0|0 minmin ≠∧∈≤≥∃ σσσσσ QM oi (3.34)
Por la extensión de este tema, y puesto que este trabajo se enfoca en
cumplir otros objetivos, se presenta en la tabla 3.4 un resumen de las
reglas más generales sobre el estudio de la alcanzabilidad a través de
la ecuación de estado. De necesitarse profundizar en el tema, se
recomienda en estudiar la referencia [23] y sus complementos.
71
Ejemplo 3.7 Alcanzabilidad
Para PN de la figura 3.17, verificar si la marca M2d es alcanzable.
=0
1
0
2dM
Figura 3.17
El PNTOOL describe a la PN de la figura 3.17 como una red ordinaria,
con las siguientes trampas y sifones:
{ }{ }3,2,1
2,1
2
1
pppQ
ppQ
==
{ }{ }3,2,1
3
2
1
pppS
pS
==
Puede apreciarse que cada conjunto de lugares en cualquier circuito
dirigido es una trampa, por lo que esta red es una TC.
Además indica que la matriz de incidencia es:
−−−
−−
=
111
110
111
101
A
Resolviendo la ecuación (3.21) se tiene:
72
−=
−
=∆1
1
0
1
0
0
0
1
0
2M
Creando una rutina de resolución en el paquete GAMS (Anexo C), se
resuelve el sistema de ecuaciones:
2
22
.
1111
1110
1011
1
1
0
.
σ
σ
−−−−−
=
−
=∆ TAM
Mismo que concreta una solución minimal minσ , es decir iσσ ≤min .
=
1
0
0
0
min2σ
Lo que indica que la red σN tiene la forma:
Figura 3.18
Puesto que el conjunto { }32 pS =σ { }3,22 ppS =σ , no tiene una marca
inicial nula ( ) 00 ≠σSM , la M2d planteada si es alcanzable.
73
3.4.3. APLICACIONES DEL ANÁLISIS DE PROPIEDADES, DESARROLL O DE REDES POR REQUERIMIENTOS
Estos criterios determinan grandes ventajas para el diseño de una red,
puesto que todo diseño requiere cumplir un conjunto de requerimientos,
tanto de índole estructural como de comportamiento.
El análisis de la estructura de la PN permite comprobar si el modelo
corresponde fielmente al sistema que se modela. A través de éste también
es posible desarrollar una estructura que dependa totalmente de las
condiciones y requerimientos del sistema.
A continuación se utilizarán los invariantes P para ajustar una idea inicial a
los requerimientos de un sistema, de acuerdo al método sugerido en [13].
• Para requerimientos menor o igual que :
Las contraindicaciones o requerimientos del sistema se pueden ser
traducidas a relaciones que necesitan ser satisfechas. Por ejemplo, si el
sistema no puede tener al mismo tiempo marcados dos lugares i y j, esto
se puede ver como:
1)()( ≤+ ji pMpM (3.35)
El método consiste en adicionar un lugar c para evitar que no se cumpla el
requerimiento, compensando la inecuación y transformándola en una
igualdad, así:
1)()()( =++ cji pMpMpM (3.36)
Generalizando estas ecuaciones, puede verse en forma matricial el
conjunto de requerimientos como:
74
bML p ≤. (3.37)
Donde L indica que marcas sumadas deben ser menores que una
cantidad b. Llevando la ecuación matricial a la forma del (3.36), se tiene:
bMML cp =+. (3.38)
La compensación obliga a que en el modelo final exista invarianza de
lugares, de aquí que:
[ ] 0. =
=
T
TT
Ac
ApILAw
0. =+ TT AcApL
TT ApLAc .−= (3.39)
Esto es una matriz adicional que indica el posicionamiento y los pesos de
los arcos conectados a los lugares de compensación. La marca inicial de
estos compensadores está dada por la ecuación (3.38), ya que ésta
cumple:
bMoMoL cp =+. (3.40)
De igual forma se puede aplicar, si se requiere que transiciones no se
activen estando lugares marcados. Este requerimiento explícito en la
forma de la ecuación (3.37) es:
1)( ≤+ ji TpM
j
c
jji cpMpM
j
≤+∑=1
)()( (3.41)
75
Donde jc es el número de entradas de tj y pj son los lugares de entrada
de tj.
Si se requiere que 2 o más transiciones no se disparen a la vez, entonces
la ecuación corresponderá a la sumatoria de marcas de los lugares de
entrada correspondientes a cada una de éstas.
• Para requerimientos Mayor o igual que:
En ocasiones es necesario cumplir requerimientos como mantener al
menos cierto número de tokens. Esto puede verse como:
kpMpM ji ≥+ )()( (3.42)
Se introduce un lugar compensador
kpMpMpM cji =−+ )()()( (3.43)
Llevando a la forma matricial, análogamente al desarrollo del
requerimiento anterior, se tiene:
[ ] 0. =
−=
T
TT
Ac
ApILAw
TT AcApL =. (3.44)
Despejando el sistema para las condiciones iniciales:
bMML cp =−.
bMoLMo pc −= . (3.45)
76
Ejemplo 3.8 Inclusión de Restricciones
La interpretación de un sistema lleva a plantear la PN siguiente.
Figura 3.19
Se necesita modificar el modelo para que cumpla con los requerimientos de
mantener el total de tokens en los lugares p1 y p2 en un rango entre 2 y 5.
Solución:
La PN original tiene estructura y marca inicial:
−−−
=1011
0111TAp
=
2
2pMo
- El requerimiento dice 2)()( 21 ≥+ pMpM , de donde se obtiene:
( )11=L
2=b
Desarrollando las ecuaciones para el requerimiento mayor o igual que, se tiene:
( ) ( )11001011
011111. −=
−−−
== TT ApLAc
( ) 222
211. =−
=−= bMoLMo pc
77
Figura 3.20
Hasta aquí la matriz del modelo resultante tiene adicionada la fila TAc . Ésta,
con su marca inicial es:
−−−
−=
1100
1011
0111TAp
=2
2
2
pMo
- El otro requerimiento es 5)()( 21 ≤+ pMpM , de donde se obtiene:
( )011=L
5=b
Desarrollando las ecuaciones:
( ) ( )1100
1100
1011
0111
011. −=
−−−
−=−= TT ApLAc
( ) 15
2
2
2
011. =+
=+−= bMoLMo pc
El modelo final es:
78
−−−−
−
=
1100
1100
1011
0111
TA
=
1
2
2
2
Mo
Figura 3.21
Ejemplo 3.9 Banda transportadora
Se considera a la banda transportadora como un conjunto de etapas en
secuencia. La división de etapas depende de la resolución que se le quiera dar al
modelo. Considerando 3 etapas.
Figura 3.22
Cada etapa por su geometría no puede abarcar más de n productos y el conjunto
total no puede transportar más de t < 3n productos por razones de peso.
Llevándolo a su forma en PN se tiene:
Figura 3.23
−−
−=
1100
0110
0011TAp
=0
0
0
pMo
Etapa1
Etapa2
Etapa3
79
La matriz de incidencia es de rango 3 y no posee invariantes P.
Las contraindicaciones del sistema, en forma de ecuación, son las siguientes:
npM
npM
npM
tpMpMpM
≤≤≤
≤++
)(
)(
)(
)()()(
3
2
1
321
De aquí se obtiene:
=
100
010
001
111
L
=
n
n
n
t
b
Aplicando las ecuaciones:
=−=
−−
−−
=
−−
−
−=−=
n
n
n
t
LMobMo
LApAc
pc
TT
1100
0110
0011
1001
1100
0110
0011
100
010
001
111
De esta forma el modelo lógico de una banda transportadora es:
Figura 3.24
80
Puede concluirse que la capacidad de una etapa se asegura con un lazo de
realimentación, desde su salida a su entrada, que tenga un lugar con marca inicial
igual a al capacidad de la etapa.
Ejemplo 3.10 Semáforos en cruce peatonal.
El modelo para el siguiente sistema puede ser:
Figura 3.25
Atendiendo a la independencia de cada semáforo, se plantea las siguientes PN
que demuestran las secuencias individuales a seguir.
P={R, A, V, RP, VP}
T={RV, RVP, VRP, AR, VA}
Figura 3.26
Considerando ambos semáforos dentro de un mismo sistema se define la matriz:
−−
−−
−
=
00110
00110
10001
11000
01001
TAp
V, A Vp R
Rp
Rp
81
Se escoge una marca inicial que esté dentro de las limitaciones del sistema.
=
0
1
1
0
0
pMo
El sistema requiere que solo se habilite el paso en un solo sentido, es decir que
1≤++ AVVp . De aquí que ( )10110=L y 1=b .
Desarrollando las ecuaciones
( ) ( )11101
11000
11000
00110
00011
00101
10110 −−=
−−
−−
−
−=TAc
( ) 0
0
1
1
0
0
101101 =
−=−= pc LMobMo
El modelo resultante es:
−−−
−−
−−
=
11101
11000
11000
00110
00011
00101
TA
=
0
0
1
1
0
0
Mo
Figura 3.27
82
3.5. ANÁLISIS DE PN CON TIEMPO DETERMINÍSTA.
Para el estudio del desenvolvimiento de un sistema es necesario que su
modelo pueda ser descrito en el tiempo. El objetivo de este análisis es
encontrar respuestas satisfactorias a preguntas como ¿cuándo se produce un
evento?, ¿cuánto dura un proceso?, ¿cuán rápido puede producir una red? ,
etc.
Para el análisis de desarrollo se utilizará las TPN, puesto que no solo
considera al sistema estudiado como una cadena de eventos restringida por
condiciones lógicas (como las OPN), sino también por condiciones temporales.
Si se preestablecen condiciones de estructuración de las PN, el modelo podrá
ser evaluado mediante técnicas analíticas.
3.5.1. ESTRUCTURA Y FUNCIONAMIENTO DE UNA TPN
3.5.1.1. Adición de tiempos a una PN
Las TPN asocian retardos a sus nodos, siendo la forma más usual la
siguiente:
• Retardos para lugares o tiempos de espera : indican cuanto debe
permanecer una marca en un lugar antes de permitir la habilitación de
una transición.
• Retardos para transiciones o tiempos de disparo y h abilitación :
definen respectivamente la duración del disparo (es decir cuanto se
debe esperar desde el consumo de tokens en sus t• hasta la
producción de tokens en •t ) y el tiempo a transcurrir hasta que ésta
pueda ser hábil (si se cumplen las condiciones de marca).
83
En base a los tiempos de espera e incluyendo lugares adicionales, es
posible expresar cualquier tipo de retardo. Éste es el caso de tiempos
de habilitación de una transición, el de disparo o el reemplazo de una
transición con ambos tipos de retardo como se muestra en las figuras
3.28 y 3.29.
=
Figura 3.28 Tiempo de habilitación de 3
=
Figura 3.29 Tiempo de habilitación de 2 Tiempo de disparo 3
3.5.1.2. Extensión a las reglas de habilitación y disparo
Esto implica condiciones adicionales a las reglas de habilitación y disparo,
únicamente relacionadas con la marca de la PN. Se tiene que:
- Una transición se habilita al tiempo en que todas las condiciones se
cumplen, sean éstas de disposición o total de tokens
- El disparo de una transición lleva consigo un número total de tokens
igual al necesario para que su estado de habilitación cambie. Esto
puede interpretarse como que, en un determinado instante, se dieron
lugar todos los disparos instantáneos posibles.
84
- Pueden darse disparos simultáneos en transiciones distintas, siempre y
cuando dichas transiciones no posean un conflicto efectivo.
Para poder evaluar el modelo, es necesario que exista algún
mecanismo que solucione o evite conflictos. Este puede ser un
conjunto de Reglas de Prioridad (indican que transición se disparará en
un conflicto) o de plano llevar el modelo a una forma en MG (PN libres
de conflictos).
Ejemplo 3.11 Flujo de tokens
La interpretación de esta extensión a las reglas de habilitación y disparo
permite definir un control de flujo de tokens de la siguiente manera.
Supóngase que una máquina que demora 5 unidades de tiempo (ut) en
realizar máximo 3 tareas, entonces el siguiente sistema representa fielmente
este flujo, siendo x1 la máquina.
Figura 3.30
3.5.2. REDES MG CON TIEMPO
El uso de PN del tipo MG (Marked Graphs) es muy difundido para la
utilización de retardos temporales; ya que por su estructura resuelve el
problema de conflictos, pues no existe la posibilidad de competencia entre 2
transiciones.
85
En un MG se tiene que:
- Existe un Invariante P, lo que determina conservación de marcas, además
de que si existe al menos un token en cada circuito, el sistema es vivo.
- Existe un Invariante T con sus elementos 1, que indica la posibilidad de
regresar a la marca inicial, si todas las transiciones se disparan una vez.
Además, al desarrollar los modelos solamente con tiempos asociados a
lugares, los MG pueden ser relacionados directamente con grafos de
eventos temporalizados (haciendo los lugares arcos y las transiciones nodos
del grafo), los mismos que han sido estudiados a profundidad y poseen
herramientas de descripción muy completas.
El álgebra de semianillos presenta un caso que lleva implícito las reglas de
funcionamiento de las MG temporalizados (Timed Marked Graphs TMG) y
permite obtener modelos, que pueden ser considerados como lineales.
Dado que las variables de estado, entrada y salida no deben tener
restricciones en sentido práctico, bajo este tipo de concepción se utiliza las
transiciones para representarlas; por lo cual es muy adecuado el uso de MG.
3.5.3. ÁLGEBRA ESPECIALIZADA PARA EL ANÁLISIS DE GRAFOS DE EVENTOS TEMPORALIZADOS.
Las referencias bibliográficas hacen un desarrollo extensivo de las
estructuras mencionadas [5]-[8] y [14]. Un resumen de estos fundamentos
se establecen en el Anexo A
86
3.5.4. ECUACIONES PARA TMG Y SU RESOLUCIÓN
3.5.4.1. Punto de vista del “dater”.
El dater de una transición xi es su variable xi(k), que interpreta el tiempo
transcurrido hasta que ocurra su k disparo. La figura 3.31 representa la
expresión más simple de un MG, aquí las reglas de habilitación y disparo
se pueden expresar según la ecuación (3.46)
Figura 3.31 Estructura básica de un MG
( )ijijjij
i tMkxkx +−=•∈
)(max)( (3.46)
Indica que el disparo k de la transición xi se da inmediatamente cuando
ésta se encuentre hábil, es decir cuando ha transcurrido el mayor
tiempo tij (retardo del lugar Pij) conjuntamente con el necesitado por la
transición xj para dispararse k-Mij veces (Mij es la marca inicial de Pij) y
depositar su último token.
En términos de álgebra Max-Plus, la ecuación (3.46) puede escribirse
como:
( ) ( )i j ij ijx k x k M tj i
= − ⊗ ∈•⊕ (3.47)
A partir de ésta, se deduce que un TMG completo puede definirse con
las siguientes ecuaciones matriciales, que se presentan en la forma
general de una ecuación de estado:
87
[ ]
[ ]
0 1 0 1
0
0 1 0 1
0
( ) ( ) ( 1) .... ( ) ( 1) ....
( ) ( )
( ) ( ) ( 1) .... ( ) ( 1) ....
( ) ( )
M
i ii
M
i ii
x k A x k A x k B u k B u k
A x k i B u k i
y k C x k C x k D u k D u k
C x k i D u k i
=
=
= ⊕ − ⊕ ⊕ ⊕ − ⊕
= ⊗ − ⊕ ⊗ −
= ⊕ − ⊕ ⊕ ⊕ − ⊕
= ⊗ − ⊕ ⊗ −
⊕
⊕
Ecuación Matricial de Daters (3.48)
Donde:
- k=1,2,3 y x(k), u(k) y y(k) son vectores columna, respectivamente de
dimensiones n, m y p.
- Ai, Bi, Ci, Di son matrices respectivamente de dimensiones nxn, nxm,
pxn, pxm, cuyos elementos dependen de la correspondencia entre la
marca inicial, los tiempos de retardo y las transiciones en cuestión.
Este sistema puede expresarse en la forma canónica con una adecuada
manipulación de sus variables. Esto consiste en eliminar la parte
implícita para luego incluir un nuevo vector x(k) de estados con
suficientes versiones de xi y de uj, tal que x(k-1) contenga la información
necesaria para calcular x(k).
)()()(
)()1()(
kuDkxCky
kuBkxAkx
⊗⊕⊗=⊗⊕−⊗=
Forma Canónica (3.49)
88
Ejemplo 3.12 Punto de vista daters
)(3)1()(
)1(2)()(1)(
)(3)1()(
)1(1)(1)(
311
3213
212
121
kxkxeky
kxkxekxkx
kukxekx
kukxkx
⊗⊕−⊗=−⊗⊕⊗⊕⊗=
⊗⊕−⊗=−⊗⊕⊗=
Abreviando el sistema:
)(3)1()(
)1(2)()(1)(
)(3)1()(
)1(1)(1)(
311
3213
212
121
kxkxky
kxkxkxkx
kukxkx
kukxkx
⊕−=−⊕⊕=
⊕−=−⊕=
Que expresado en forma matricial se tiene:
( ) ( ) )1()(3)(
)1(
1
)(3)1(
2
)(
1
1
)(
−⊗⊕⊗=
−⊗
⊕⊗
⊕−⊗
⊕⊗
=
kxekxky
kukukxekx
e
kx
εεεεεεεεε
εεε
εε
εεεεεεε
εεεεεε
Ejemplo 3.13 Forma canónica equivalente
Para llevar el ejercicio 3.12 a una forma canónica equivalente es
necesaria la eliminación de la parte implícita, lo que se consigue
resolviendo la ecuación matricial aplicando la estrella de Kleene o
despejando el sistema de la siguiente manera:
89
)(3)1()(
)1(2)()(1)(
)(3)1()(
)1(1)(1)(
311
3213
212
121
kxkxky
kxkxkxkx
kukxkx
kukxkx
⊕−=−⊕⊕=
⊕−=−⊕=
( )
( )( ))(3)1()(
)1(2)(3)1()1(1)(3)1(11)(
)(3)1()(
)1(1)(3)1(1)(
311
3211213
212
1211
kxkxky
kxkukxkukukxkx
kukxkx
kukukxkx
⊕−=−⊕⊕−⊕−⊕⊕−=
⊕−=−⊕⊕−=
)(3)1()(
)(5)1(2)1(2)1(2)(
)(3)1()(
)(4)1(1)1(1)(
311
21313
212
2111
kxkxky
kukukxkxkx
kukxkx
kukukxkx
⊕−=⊕−⊕−⊕−=
⊕−=⊕−⊕−=
Dado que ningún estado depende de x2(k), es posible eliminarlo de x(k)
y mas bien renombrarlo como y2(k), suponiendo que represente una
acción importante. Para evitar la presencia de u1(k-1) en la ecuación de
x1(k), se define un x4(k) = u1(k). De la misma forma se crea un nuevo
x2(k) = x1(k-1), para evitar la presencia de x1(k-1) en la ecuación de y1(k).
)(3)()(
)(3)()(
)()(
)(5)1(2)1(2)1(2)(
)1()(
)(4)1(1)1(1)(
221
321
14
24313
12
2411
kukxky
kxkxky
kukx
kukxkxkxkx
kxkx
kukxkxkx
⊕=⊕=
=⊕−⊕−⊕−=
−=⊕−⊕−=
Así, se tiene en la forma canónica:
)(3
)(3
)(
)(5
4
)1(222
11
)(
kukxe
eky
ku
e
kxe
kx
⊗
⊕⊗
=
⊗
⊕−⊗
=
εεε
εεεεε
ωε
εεε
εεεεε
εεεεε
90
• Matriz de transferencia . Otra manera de ver (3.49), útil para
encontrar la matriz de transferencia, se obtiene aplicando
repetidamente ésta sobre si misma, de la siguiente forma:
( )( )( ))()()(
)()1()2(....)(
kuDkxCky
kuBkuBkuBAAAkx
⊗⊕⊗=⊗⊕−⊗⊕−⊗⊕⊗⊗⊗=
)()()(
)()1()2()....()()( 21
kDukCxky
kBukABukBuAnkBuAnkxAkx nn
⊕=⊕−⊕−⊕−⊕−= +
)()()(
)()()(0
1
kDukCxky
ikBuAnkxAkx in
i
n
⊕=
−⊕−==
+ ⊕
Considerando condiciones iniciales canónicas, es decir ε )x(- =1 y
ε ) u(- =1 , con kn- =1 se tiene:
0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
k
i
i
k
i
i
x k A B u k i
y k C A B u k i D u k
=
=
= ⊗ ⊗ −
= ⊗ ⊗ ⊗ − ⊕ ⊗
⊕
⊕
Forma Canónica (3.50)
De la cual se puede identificar la respuesta impulso como:
0( )
k
i
ih i C A B
== ⊗ ⊗⊕ (3.51)
• La transformada γ . Con el objetivo de simplificar la tarea de
componer sistemas serie, paralelo y feedback se establece la
transformada γ . La transformada γ de una señal u(k) se define como
una serie formal de potencias resultantes de la sup - convolución:
91
k
ZkkuU γγ ⊗=
∈⊕ )()( (3.52)
γ indica un desplazamiento en el dominio de los eventos, puesto que :
k
Zk
k
ZkkukuU γγγγ ⊗−=⊗=⊗
∈
+
∈⊕⊕ )1()()( 1
Por tal razón se usa la siguiente representación simbólica:
)1()( −= kukuγ (3.53)
Tómese en cuenta que en las ecuaciones a establecer, los tiempos de
espera y el marcado inicial corresponderán respectivamente a los
coeficientes y los exponentes de γ .
• Matriz de transferencia a través de la transformada γ . Aplicado a
las ecuaciones de estado se tiene:
)()()(
)()()(
γγγγγγγ
DuCxy
BuAxx
⊕=⊕=
Resolviendo la ecuación implícita (ver Anexo A) y reemplazando, se
tiene:
( ) )()()(
)()()(*
*
γγγγγγ
uDBACy
BuAx
⊕==
Siendo denominada la matriz de transferencia como:
BACh
DBACDhH*
*
)()(
)()()(
γγγγγ
=⊕=⊕=
Matriz de Transferencia (3.54)
92
Nótese que tomando en cuenta la definición de la estrella de Kleene al
expandir a *)( Aγ , la parte BAC *)(γ coincide con la transformada γ de la
respuesta impulso.
En simulación se utiliza la matriz de transferencia para calcular incluso
los estados, añadiendo al vector y(k) transiciones de salida conectadas
a cada xi(k) deseado.
Ejemplo 3.14 Matriz de transferencia, transformada γ
Para el ejemplo 3.12, sus ecuaciones a través de la transformada γ son:
)(3)()(
)(2)()(1)(
)(3)()(
)(1)(1)(
311
3213
212
121
kxkxy
kxkxkxx
kukxx
kukxx
⊕=⊕⊕=
⊕=⊕=
γγγγ
γγγγ
( )
( ) ( ))(4)(11
)(4)(1)(1
)(1)(3)(1)(
21*
211
1211
kuku
kukukx
kukukxkx
⊕=
⊕⊕=⊕⊕=
γγγγ
γγ
( ) ( )( )( ) ( ) )(3)(4)(11
)(3)(4)(11)(
221*
221*
2
kukuku
kukukukx
⊕⊕=
⊕⊕=
γγγγγγ
Reemplazando las ecuaciones, aplicando la identidad ( )*** baba ⊕= y
tomando en cuenta que a suma ⊕ es el máximo término a término, se
tiene:
93
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ))(5)(22
)(32)(5)(212
)(2)(3)(4)(1)(5)(21
)(2)(3)(4)(11)(4)(111)(
21*
2*
21**
32212
21*
3221*
21*
3
kuku
kukuku
kxkukukukuku
kxkukukukukukx
⊕=
⊕⊕=
⊕⊕⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕⊕⊕=
γγγγγγ
γγγγγ
γγγγγγ
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )
=
⊕=
⊕=
⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕=
)(
)(325
)(3)(.25
)(82)(52
)(8241)(5211
)(8)(52)(4)(11
)(5)(223)(4)(11)(
2
1*
21*
2*
1*
2**
1*2*
21*
212*
21*
21*
1
ku
ku
kuku
kuku
kuku
kukukuku
kukukukuky
γγ
γγγγγ
γγγγγγγγγγγγγγγγγ
Lo cual indica que equivale a un sistema reducido de la siguiente forma:
Figura 3.32
Para llevar la función de transferencia al álgebra convencional, es
necesario expandir la expresión, de la siguiente forma:
( )( )( ) ( )
−+−+−+−++−+−+−+−+−+
=
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕⊕⊕=
),....4(16),3(14),2(12),1(10),(8
)....5(13),4(11),3(9),2(7),1(5max)(
)(....161412108)(.....1311975)(
)(8)(.5....8642)(
11111
111111
2432
15432
1
21432
1
kukukukuku
kukukukukuky
kukuky
kukueky
γγγγγγγγγγγγγγ
Tomando en cuenta consideraciones sobre la estrella de Kleene
expuestas en el Anexo A, se puede descartar términos no influyentes
(para un grafo con pesos negativos con una matriz asociada de orden n,
94
los términos de a sumatoria Kleene elevados a una potencia que sea
superior a n-1, son irrelevantes) y la función de transferencia finalmente
puede expresarse como:
−+−+−++−+−+−+−+
=)3(14),2(12),1(10),(8
),4(11),3(9),2(7),1(5max)(
1111
11111 kukukuku
kukukukuky
3.5.4.2. Punto de vista del “counter”.
El counter de una transición xi es su variable )(txi , que interpreta el
número de disparos realizado por ésta, hasta que haya transcurrido el
tiempo t.
Las ecuaciones de counters se pueden establecer por analogía al
razonamiento de los daters, o aplicando la teoría de la Residuación a las
ecuaciones de daters, método muy detallado en las referencias [6] y [7].
Para el TMG de la figura 344
Figura 3.33 Estructura básica de un MG
( )ijijjij
i Mttxtx +−=•∈
)(min)( (3.55)
Que expresado en términos de álgebra MIN-PLUS se tiene:
[ ]ijijjij
i Mttxtx ⊗−=•∈
⊕ )()( (3.56)
95
De manera análoga a los daters, se puede construir la ecuación de estado
canónica y matriz de transferencia. Además es posible definir un
operador δ que indique desplazamiento en el dominio temporal, tal que:
)1()( −= tctcδ (3.57)
Para lo cual es necesario ocupar la siguiente inf – convolución, como
transformada:
t
ZctcC δδ ⊗=
∈⊕ )()( (3.58)
Como resultado, en las ecuaciones de counters los tiempos de espera y el
marcado inicial corresponderán respectivamente a los exponentes y los
coeficientes de δ .
3.5.4.3. Punto de vista combinado, aplicación del álgebra [ ]δγ ,axinΜ .
Bajo el álgebra [ ]δγ ,axinΜ se puede obtener un enfoque más satisfactorio,
que une las ventajas de los dos anteriores. Una descripción extensiva de
cómo se desarrollo esta álgebra se la tiene en [5]-[8] y [14].
Dado que el evento k no ocurre sino en el tiempo t, se puede pensar en
“píxeles” que contengan la información de dichas variables. Por cada
evento las transiciones recolectan un desplazamiento en los dominios de
eventos y temporal. De esta manera, cada transición posee una
colección de píxeles y la ejecución de un TMG implica flujo de estos
píxeles.
Una transición se dispara únicamente si se cumplen todas las condiciones
necesarias, lo que se traduce como que no todos los píxeles circulantes
aportan información suficiente y son absorbidos por otros más relevantes.
96
Una cadena de eventos S se representa como la colección de píxeles o
pares ( )ii tk implícitos en la serie:
( )tiKi
IsiSp δγ
∈⊕=)( (3.59)
Las operaciones bajo álgebra [ ]δγ ,axinΜ permiten esta compresión de
información, como se indica en la figura 3.34, dando a las salidas la
secuencia de eventos mas temprana compatible.
Figura 3.34
• Ecuación de estados. Esta transformación al ser aplicada a las
funciones de entrada y salida permite obtener por simple inspección las
matrices parámetro de la ecuación de estado en su forma canónica.
DUCXY
BUAXX
⊕=⊕=
Forma canónica en [ ]γ,δΜ axin (3.60)
El desarrollo de las operaciones permite encontrar una solución
simplificada del sistema
( )UDBCAY
BUAX
⊕==
*
*
Reducción de sistemas en [ ]γ,δΜ axin (3.61)
97
Ejemplo 3.15 Banda transportadora
Adicionando tiempos y especificando una entrada y una salida a la banda
transportadora del ejemplo 3.9, se tiene el modelo:
Figura 3.35
Donde:
- m es el número máximo de piezas por etapa
- n es el número máximo de en la banda
- t es el tiempo que las piezas se demoran en recorrer la distancia de una
etapa.
Para encontrar el bloque de función de este sistema en su forma mas reducida,
aplicamos el punto de vista combinado. En este se tiene:
DUCXY
BUAXX
⊕=⊕=
( )XeY
U
e
XX
t
mt
mt
nm
εεεεεε
εδεεγεδεεγεδγεγε
=
⊕
=
98
Este sistema de ecuaciones resulta menos complicado de resolver si se trata las
variables de forma independiente y no en conjunto, es decir evitando la resolución
matricial. Para esto:
34
423
312
421
xx
xxx
xxx
uxxx
t
mt
mt
nm
δγδγδγγ
=
⊕=
⊕=
⊕⊕=
Reemplazando 4x en todas las ecuaciones y despejando la parte implícita de 3x :
( ) 2
*
323
312
321
xxxx
xxx
uxxx
ttmtmt
mt
tnm
δδγδγδ
γδδγγ
=⊕=
⊕=
⊕⊕=
Reemplazando 3x en todas las ecuaciones y usando las identidades *aae =⊕ + ,
+= aaa )( * , *** aaa = y ( )*** )( baaeab ⊕+= para despejar la parte implícita de 2x ,
se tiene:
( )( ) ( ) 1
*
2
*
12
22*
21
xxxx
uxxx
ttmmttmt
tntmm
δδγγδδγδ
δγδγγ
=⊕=
⊕⊕=
( )( )( ) ( ) ( )( ) 1
*
2
13*
1
*2*
1
xx
uxuxx
ttm
tntmtmttmtntmm
δδγ
δγδγδγδδγδγδγγ
=
⊕⊕=⊕⊕=
( ) ux tntm *31 δγδγ ⊕=
Reemplazando 1x en las ecuaciones obtenidas, la solución es:
( ) ux tntm *31 δγδγ ⊕=
( ) ux ttntm δδγδγ *32 ⊕=
99
( ) ux ttntm 2*33 δδγδγ ⊕=
( ) uyx ttntm 3*34 δδγδγ ⊕==
Tal solución indica el siguiente sistema reducido, que contiene las mismas
características, y la siguiente forma de bloque, que permite reducir la complejidad
al hacer composición con otros sistemas:
Figura 3.36
Este sistema contiene las características dinámicas y estables del original, pero,
gracias a la simplificación, su simulación requiere menos recursos.
Si se desarrolla la expresión de la función de transferencia:
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )
........
....
....
123926635243
123639252643
333233
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕=⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕=
tntntntmtmtmt
tntmtntmtntmt
ttntmtntmtntm
H
H
eH
δγδγδγδγδγδγδδγδγδγδγδγδγδ
δδγδγδγδγδγδγ
Al descartar los términos no influyentes, tomado las consideraciones del Anexo A
(para un grafo con pesos negativos con una matriz asociada de orden n, los
términos de a sumatoria Kleene elevados a una potencia superior a n-1, son
irrelevantes), y llevar al álgebra convencional, se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
−+−+−+−+−+−+
+=
nkutnkutnkut
mkutmkutmkut
kut
ky
312,29,6
,36,25,4
),(3
max
H= ( ) ttntm 3*3 δδγδγ ⊕ U Y
100
3.5.5. COMPOSICIÓN DE SISTEMAS
3.5.5.1. Serie y Paralelo
( )ba
ba
bb
HHH
UHHY
UHYYHY
=⊗=
== 11
Figura 3.37 Composición Serie
( )ba
ba
ba
HHH
UHHY
UHUHY
⊕=⊕=⊕=
Figura 3.38 Composición Paralelo
Gracias a esto, una simple inspección de las ecuaciones relacionadas a
un sistema, puede ser usada para su construcción en forma de PN.
3.5.5.2. Feedback y Sistemas autónomos
Feedback: La composición feedback implica:
( )
( ) UHKHY
UHKYHY
HKYUY
1*
1
11
1
=
⊕=⊕=
De donde:
( ) 1*
1 HKHH =
Figura 3.39 Composición Feedback
Y1H
U
K
Ha Hb Y U
Ha
Hb
Y U
101
• Sistema autónomo. Es un sistema en lazo cerrado en el cual las
entradas están definidas por sus salidas (feedback). El resultado es
aplicable a problemas en el área de manufactura, siendo útil para el
diseño de plantas y la optimización de recursos.
Figura 3.40 Sistemas autónomos
En [6] se establece que, desde el punto de vista de daters esto puede
expresarse:
....)1()()( 10 ⊕−⊕= kyKkyKku
Introduciendo en la ecuación de estado:
( ) ( )0 1 0 1
0 0 0 0 1 1 1 1
( ) ( ) ( 1) .... ( ) ( 1) ....
( ) ( ) ( 1) ....
x k A x k A x k B u k B u k
x k A B K C x k A B K C x k
= ⊕ − ⊕ ⊕ ⊕ − ⊕= ⊕ ⊕ ⊕ − ⊕
Al aplicar la transformada γ y nombrar i i i i iA B K C= ⊕A :
( )
20 1 2
i0
( ) ( ) ( ) ( ) ....
( ) ( )
( ) ( )
ni
i
x k x k x k x k
x k x k
x k x k
γ γ
γ
γ=
= ⊕ ⊕ ⊕
=
=
⊕
A A A
A
A
Desde el punto de vista combinado esta función puede expresarse.
( ),X Xδ γ= A
• Autovalores en un sistema autónomo . Por definición, el valor propio
de una función A es un número ε≠Λ tal que existe un vector X , que
cumple:
YBCAH *=
U
K
102
AXX =Λ (3.62)
Es decir, para una función de estado de un sistema autónomo e=Λ y
( , )A δ γ= A . Desarrollando la ecuación (3.62) se tiene:
XXa
aa
aaa
ba
baba
acabaa
Λ=
M
O
.....
MMM
L
L
bbabbabaaa
ababbabaaa
xxaxaxa
xxaxaxa
Λ=⊕⊕⊕Λ=⊕⊕⊕
Como la operación ⊕ implica la unión o el máximo de todos sus
elementos, sólo existe uno que cumple la igualdad y es el máximo.
MM
bjbj
aiai
xxa
xxa
Λ=Λ=
Realizando la multiplicación ⊗ de todos los resultados, se tiene:
( )( ) ( )LLL ban
jibiai xxxxaa Λ=
Los conjuntos de x de cada lado de la ecuación se simplifican si éstos
son iguales, lo cual solo puede darse si se refieren a un circuito cerrado
c. Esto es aplicable a sistemas autónomos únicamente, puesto que
éste es un conjunto C de circuitos c.
Llevando al álgebra convencional y tomando en cuenta que la suma ⊕
busca el máximo, se tiene:
103
( ) ( ) ( )( )LL ++++=+++Λ∈ jbiiai
Cbaba xaxaxxn
...,max
( ) ( ) ( )LLL +++++=+++Λ jibjaiba xxaaxxn max
=Λ ∑∈∈ .
max1
Ccnna
n (3.63)
Desde el punto de vista de los daters kta γ= , por lo que interpretando el
valor propio como una cantidad λ , recíproca al γ , y llevando tal
expresión al álgebra convencional, se tiene:
λγ ktkta −=+=
De donde:
( )∑∈ ∈
−=ΛCn
nnakt
ktn n
λ,
max1
Si, 0==Λ e , entonces:
n
n
Ccn k
t∈∈
= maxλ (3.64)
Puede resumirse y generalizarse (3.64), de la siguiente manera:
- El tiempo total de retardo en un lazo n, denominado nt , es la suma
de los retardos introducidos por todas las transiciones y lugares
comprometidos.
- El número total de tokens en un lazo n, denominado nk , es la suma
de los tokens presente en los lugares dentro del lazo.
- El auto valor es el tiempo mínimo de ciclo o la inversa de la tasa de
producción en un MG autónomo.
104
Ejemplo 3.16 Composición serie y paralelo de sistem as
Supóngase que se dispone de 2 máquinas M1 y M2 que producen galletas de
diferentes formas a un ritmo de 10 y 25 cada 20 segundos respectivamente.
Ambos tipos de galleta pasan por un horno de banda a un ritmo máximo de 100
por minuto. Se desea encontrar la función de transferencia del sistema total.
Las máquinas pueden modelarse a través de:
( ) 11
*
1
111
yux
uxx
nt
nt
==
⊕=
γδ
γδ
de donde:
( )( )*2520
2
*10201
γδ
γδ
=
=
H
H
El horno con su capacidad máxima se modela con:
( ) ( ) 11
*1006012
100602
1
yuuxx
ue
XXt
n
==⊕=
⊕
=
γδγδ
εεδγε
De donde:
( )*100603 γδ=H
Al componer el sistema y simplificar con la identidad ( )*** baba ⊕= , se tiene:
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )*102010060
*10060*1020
*10060*2520*1020
321
γδγδ
γδγδ
γδγδγδ
⊕=
=
⊕=
⊕=
H
H
H
HHHH
H1
H2
U H3
Y
105
3.6. ANÁLISIS DE REDES CON TIEMPO ESTOCÁSTICO
3.6.1. GENERALIDADES
La extensión estocástica provee a las PN de una interpretación temporal con
política de resolución de conflictos, que reduce a la vez el determinismo de
sus modelos. Por tales razones, las PN Estocásticas son un método
adecuado para representar DES sujetos a la influencia de factores no
previstos.
Las PN Estocásticas se desarrollaron en base a la necesidad de mejorar la
abstracción de ciertos formalismos matemáticos, como las Cadenas de
Markov (Markov Chain MC), presentadas en el Anexo B. Al combinar las
características de simplicidad, generalidad y adecuación, propias de las PN,
con la capacidad de análisis de las MC, se establece una herramienta
poderosa para el modelado y la descripción de DES.
Por tal razón, a pesar de que se puedan ocupar distribuciones de
probabilidad estocásticas del tipo Weibull, Lognormal, Beta, Gamma, etc., el
término PN estocástica normalmente se relaciona con la función de
distribución de probabilidad de Markov. Fundamentos y una descripción
básica, además de las aplicaciones de estas distribuciones se los puede
hallar en [30].
Las referencias bibliográficas [9], [15]-[16] topan una gran variedad de temas
y fundamentos relacionados al estudio de PN Estocásticas.
3.6.2. ESTRUCTURA DE LAS REDES PETRI CON EXTENSIÓN ESTOCÁSTICA
Se ha convenido asociar las características estocásticas exclusivamente a
las transiciones, puesto que a estas se relacionan los cambios de marca
(estado) y los problemas debidos a concurrencia o conflicto.
106
Figura 3.41 PN con extensión Estocástica
La figura 3.41 se hace notar que el símbolo de las transiciones instantáneas
es un segmento, mientras que el de una transición con tiempo es un
rectángulo al que va asociado la variable temporal.
Es necesario recalcar que, adicionar tiempo estocástico y distribuciones
probabilísticas a las transiciones, permite el estudio analítico del
comportamiento de PNs con problemas de concurrencia y conflictos, sin
necesidad de cambios en su estructura.
De acuerdo a la complejidad de su estructura se ha clasificado a la PNs con
extensión estocástica en: Simples y Generalizadas.
� Redes Petri Estocásticas Simples.
Se denomina Estocásticas Simples a las PNs en las cuales todas sus
transiciones llevan asociado un retardo o frecuencia estocástica.
Comúnmente se nombra como Redes Petri Estocásticas (Stochastic Petri
Nets SPN) a este tipo de redes, por lo que de aquí en adelante se utiliza
tal terminología.
� Redes Petri Estocásticas Generalizadas
Se denomina así (Generalized Stochastic Petri Nets GSPN) a las redes
que poseen transiciones instantáneas y con retardo estocástico.
107
Las transiciones instantáneas se incluyen cuando se desea modelar una
decisión. Los conflictos efectivos implícitos se solucionan asociando
pesos o probabilidades a tales transiciones.
Una PN se dice Markoviana si lleva asociado un proceso con características
de Markov o semi – Markov. Como se anotó anteriormente, el estudio
analítico de las PN con extensión estocástica se relaciona directamente con
los procesos de Markov; por lo que, a pesar de que sea posible abarcar
otras concepciones estocásticas, los términos SPN y GSPN se aplican a PN
Markovianas.
Las SPN y GSPN pueden incluir extensiones de prioridad, arcos inhibidores,
etc. ya que éstas no impiden una representación equivalente de Markov.
A continuación se describirá algunos elementos relacionados a las SPN y
GSPN:
� Retardo Estocástico. Para representar retardos, frecuencias de
actividades, solucionar problemas de concurrencia y conflictos, se utiliza
una variable temporal aleatoria X , como tiempo de habilitación en
transiciones.
Puesto que se trata procesos de Markov, X lleva asociado una
distribución probabilística que determina su tiempo medio de servicio,
según indica el anexo B.
Relacionando esta ecuación y resumiendo las características de las PN
expuestas anteriormente, se tiene que:
- El lapso que debe transcurrir antes de que una transición hábil se
dispare, corresponde al retardo X .
108
- X es una variable aleatoria, cuyo valor medio es igual al reciproco de
λ . Esto implica que X puede tener cualquier valor inferior a x con
probabilidad ( )[ ]tMF .
- Las transiciones de este tipo, se disparan una sola vez cada que haya
transcurrido X .
� Pesos en transiciones. En algunos casos, las SPN resultan
insuficientes para representar fielmente ciertas características, como es el
caso de cuando se desea modelar decisiones. Por esto que se requiere
la presencia de transiciones instantáneas, o inclusive con retardos fijos,
haciéndose presente nuevamente los problemas de concurrencia y
conflictos.
En este tipo de PN, generalmente GSPN, se hacen necesarios pesos ω ,
asociados a transiciones en conflicto efectivo, para definir tasas de
encaminamiento y, en consecuencia, una distribución discreta de la
probabilidad de disparo.
En la forma de la ecuación (6.29) se tiene:
Donde ),( ik MtEC es un conjunto de transiciones en conflicto efectivo para
el marcado iM , como lo indica la definición (2.2). Tal ecuación puede
extenderse para redes confusas, ampliando la sumatoria al conjunto de
transiciones a la vez concurrentes.
( )∑
∈
==
),(
)(,
ikj MtECtj
k
ik
kik M
Mtω
ωω
ωπ (3.65)
109
� Marcas tangibles e intangibles. Las marcas intangibles aparecen
cuando existe un número suficiente de transiciones instantáneas, las
cuales provocan marcas que pueden cambiar inmediatamente.
Se denomina marcas tangibles a aquellas que no cambian de manera
instantánea. Las SPN solo poseen marcas tangibles, mientras que para
GSPN pueden o no tener además marcas intangibles.
Ejemplo 3.17
Determinar la probabilidad de disparo de las transiciones en conflicto 5t y 4t en
0M . Encontrar las probabilidades de que pase de 0M a: 742 pppM a ++= y
65 ppM b += .
M0 = p1+p2+p3 M1 = p2+p3+p4 M2 = p3+p5
M3 = p1+p6 M4 = p1+p2+p7 M5 = p4+p6
M6 = p2+p4+p7 M7 = p6+p7
( ) ( )6543
53005 ,,
ωωωωωππ
+++= MMMt
( ) ( )6543
42004 ,,
ωωωωωππ
+++= MMMt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
43
3
6543
6
65
6
6543
3
6440611060 ,,,,,
ωωω
ωωωωω
ωωω
ωωωωω
πππππ
+++++
++++=
+= MMMMMMMMMM
( ) 0,0 =bMMπ Pues no es una marca alcanzable.
110
3.6.3. ANÁLISIS DE SPN Y GSPN
Los métodos de análisis pueden ser: aproximados (si se relacionan con la
ejecución de la red), o exactos (si devienen del cálculo del sistema). Para
problemas realmente complejos se necesitan herramientas de software que
simulen SPN, GSPN o DSPN, y computen los valores requeridos para el
análisis. Por otro lado, si se logra simplificar un modelo hasta ajustarlo a un
proceso de Markov sencillo, se pueden obtener valores útiles para el análisis
a partir de la resolución integra de su sistema de ecuaciones implícito
(método exacto enumerativo).
Más acerca de estos temas se puede encontrar en las referencias [9], [15] y
[16]. Para sistemas poco complejos, el método exacto enumerativo es muy
útil, pues las matrices relacionadas no son muy extensas o complicadas, lo
que permite resolver las ecuaciones tal cual son.
El funcionamiento de un sistema modelado con SPN y GSPN, en general
corresponde a secuencias repetitivas, mismas que aseguran la vivacidad de
la red. Tales secuencias pueden ser directamente relacionadas con el
estado estable de una MC, y ser analizadas con sus ecuaciones, para lo que
se requiere seguir los siguientes pasos:
- Encontrar la cadena de Markov asociada, generando el Gráfico de
Alcanzabilidad del sistema.
- Asociar tasas de disparo a las transiciones y encontrar la matriz de
tasas de disparo, también denominada generadora infinitesimal Q .
- Con Q resolver el estado estacionario del sistema y encontrar los
índices de performance o comportamiento del sistema, para poder
evaluarlo.
111
En el Anexo B se indica el significado de estos términos y la forma de
construir la matriz Q .
� Cadena de Markov asociada
Es un grafo que corresponde al árbol de alcanzabilidad de una SPN o
GSPN. En ésta cada estado o marca es separado por una transición que
tiene asociada un tiempo de retardo entre cada disparo. Normalmente se
toma la inversa de estos retardos, que pueden ser interpretados como
una frecuencia o tasa de disparos.
Las SPN poseen un espacio de estados isomorfo al de las Cadenas de
Markov de Tiempo Continuo (Continuous Time Markov Chain CTMC) por
lo cual es posible apoyar su análisis bajo los conceptos relacionados a
éstas.
Las GSPN encuadran en procesos Semi Markov, los cuales poseen el
mismo estado estacionario que los procesos de Markov por lo que, para el
caso de este trabajo, pueden ser analizadas bajo los mismos
fundamentos.
Dado que una GSPN posee marcas intangibles, la MC debe poseer
estados cuya velocidad de cambio resulte infinita, denominados Estados
Espurios. Si los estados espurios no aportan al estado estable, su
presencia en el análisis de tal estado carece significado; por esta razón,
para la búsqueda de índices medios de comportamiento, dichos estados
espurios pueden ser descartados, o absorbidos por sus posteriores.
� Índices medios de Rendimiento
Pueden encontrarse a través de una Función de Ganancia, como se
explica en [9], desarrollada en base a la resolución del estado estable de
su proceso de Markov.
112
Una Función de Ganancia )(Mr , es un valor definido sobre un conjunto
Mf de marcas alcanzables, las cuales pueden aportar información sobre el
desempeño de un sistema.
Un Índice de Rendimiento PI , es el valor medio de la función de ganancia
para la distribución estacionaria del proceso de Markov. Así se tiene:
( )∑∈∀
=MfM
ii
i
MrPI π. (3.66)
Los índices de rendimiento más usados son:
- Probabilidad de una condición en particular: la condición se relaciona a
un evento vinculado con marcas alcanzables, denominado F(M), de la
siguiente forma:
( )
=ocurrenoMF
ocurreMFMr i )(0
)(1 (3.67)
Un ejemplo del significado de esta función de ganancia es el estado de
falla en una línea de producción, asociado a un grupo de marcas Mfalla.
Considerando (3.67), la probabilidad de que esta falla ocurra es:
( ) ∑∈∀
=fallai MM
ifallaPI π.
- Número esperado de tokens en un lugar dado, o ancho de cola (Queue
Lenght QL): la condición se relaciona a la marca de un lugar pi, o de
un grupo de lugares Pf , de la siguiente forma:
113
( ) ∑∈∀
=Pfp
jii
j
pMMr )( (3.68)
Un ejemplo del significado de esta función de ganancia es la cantidad
de productos viajando en una banda con un número de etapas pi,
siendo la cantidad promedio de productos en viaje, la siguiente:
( ) ∑ ∑∈∀ ∈∀
=fi jMM
iPfp
ji pMQLPI π.)(
- Número de disparos de una transición por unidad de tiempo: la
condición se relaciona a la tasa de disparos de cada transición, por lo
que la función de ganancia es la siguiente:
( )
=hábilnot
hábiltMr
j
jj
i 0
λ (3.69)
Un ejemplo del significado de esta función de ganancia es la cantidad
de productos que pueden cruzar una etapa de la banda por unidad de
tiempo, o el número de productos terminados por una máquina por
unidad de tiempo. El valor medio de esta cantidad estar dado
entonces por:
( ) ∑∈∀
=)(
.ji tEM
ijthroughputPI πλ
Nótese que la función de ganancia puede ser establecida de acuerdo a
las necesidades.
En los casos de estudio se presentan ejemplos del desarrollo de estos y
otras funciones de ganancia, con sus respetivos índices de descripción
del sistema.
114
4. RESULTADOS
En este capítulo se presenta el análisis de comportamiento de sistemas
correspondientes a casos de estudio, modelados a través de diversos tipos de PN
y extensiones, estudiadas anteriormente.
Tal análisis se lo realiza en forma matemática, a través de los conceptos
desarrollados en los capítulos anteriores; y de forma computacional, gracias a la
ayuda del Toolbox del Matlab para redes petri “Petri Nets Toolbox”, respaldado
por la referencia [28].
El primer tema abordado es una breve descripción de la herramienta
computacional. A continuación se topan casos de estudio, mismos que han sido
planteados y desarrollados de forma teórica, con el objetivo de demostrar la forma
en que las PN permiten modelar un DES, analizarlo y evaluarlo.
El primero de estos casos corresponde a un semáforo en un cruce peatonal, cuya
estructura básica ha sido desarrollada en los ejemplos 3.1, 3.5 y 3.9, puesto que
la característica aleatoria de la llegada de peatones y su petición de paso hace
necesaria la intervención de la extensión estocástica.
El segundo, estudia la forma esencial de un SED en el cual 2 actividades
independientes comparten un recurso, donde se puede apreciarse la facultad de
las PN estocásticas para la representación de estructuras que tienen inherentes
conflictos.
Tanto el primero como el segundo caso de estudio, se refieren al estudio de
modelos en PN Estocásticas, en los cual se comprueba la validez de los
fundamentos teóricos con la herramienta computacional.
115
El tercer caso representa una planta de producción de motores universales. Éste
a su vez se divide en varias etapas que permiten verificar cada uno de los temas
expuestos en este trabajo.
- En su primera parte indica la aplicación de TMG y sus fundamentos
matemáticos, en el análisis del comportamiento dinámico de un DES.
Posteriormente se introduce una interpretación estocástica, con la inclusión
de características aleatorias y conflictos.
- A continuación, toma en cuenta el caso de un sistema (modelado a través
de TPN con retardo en lugares), que necesita establecer política de control
para 4 máquinas que trabajan en paralelo, recogiendo sus recursos de una
banda y colocando sus productos en la misma. En esta parte del caso, se
utiliza la simulación como una herramienta para obtener políticas de control
y evaluar el sistema a través de índices aproximados.
- Luego se generaliza la parte del sistema que engloba todas las actividades
hasta ahí estudiadas, a través de sus características generales y gracias a
las propiedades de las PN Estocásticas.
- Para finalizar, se añaden todas las etapas restantes en un modelo de PN
no ordinaria, temporalizada y de características estocásticas; el mismo que
refleja su trabajo en conjunto de odas las etapas anteriores y la necesidad
de cada etapa de compartir recursos. Aquí se utiliza la simulación como
una herramienta que permite buscar y encontrar, el número de recursos
compartidos, que permiten realizar de forma óptima el trabajo.
116
4.1. SIMULACIÓN A TRAVÉS DEL MATLAB PETRI NETS
TOOLBOX.
El simulador Petri Nets Toolbox (PNTOOL) es una extensión del Matlab que
permite el desarrollo, simulación y análisis de modelos en PN para diversas
modalidades, como son: PN sin tiempo TPN (sea con tiempo aplicado a
lugares o transiciones) SPN y GSPN.
La dirección expuesta en [28] refiere a enlaces relacionados con la propiedad
intelectual, autorización de uso, descarga de versiones y soporte del PNTOOL.
De entre una gran variedad de simuladores, el PNTOOL destaca por presentar
un conjunto muy completo de herramientas, dispuestas en 2 modos de trabajo
que son: dibujo, o DRAW, y simulación, o EXPLORE.
En el modo DRAW es posible incluir elementos como transiciones, lugares y
arcos; y editar sus características gráficas y funcionales, dependiendo del tipo
de red escogida. Por ejemplo: en GSPN las transiciones pueden ser escogidas
como instantáneas, con un posible valor de prioridad o probabilidad; o
temporalizadas, con un tiempo medio de retardo.
Figura 4.1 Modo DRAW
117
Figura 4.2 Modo EXPLORE
El modo EXPLORE permite simular paso a paso la red plasmada en el modo
DRAW, y obtener valores resultantes de esta simulación de manera gráfica o
textual.
Bajo esta modalidad es posible identificar el tipo de red, obtener la matriz de
incidencia, los invariantes de lugares y transiciones, sus combinaciones, así
como visualizar el CT de la PN, obtener índices de comportamiento en nodos
que permitan evaluar el sistema. Así se tiene, por ejemplo: el largo de cola
tasas de arribo y rendimiento para lugares; el tiempo de utilización y número
de disparos en transiciones. La ejecución de este modo ofrece opciones para
el diseño basadas en gráficos de índices, obtenidos mediante la variación
automática de parámetros X y Y, que pueden ser incluidos en el diseño.
Adicionalmente, para TPN con retardo en lugares, que cumplen con las
características de un MG, existe una opción que permite la representación del
sistema mediante ecuaciones en álgebra Max-Plus, el cálculo de respuestas y
su presentación en graficas.
Los casos de estudio presentados a continuación indicarán, en lo posible, las
opciones mas destacadas de simulador.
118
4.2. APLICACIÓN EN EL DESARROLLO Y ANÁLISIS DEL
MODELO DE UN SEMÁFORO EN UN CRUCE PEATONAL
Para continuar con el diseño del sistema desarrollado en los ejemplos 3.1, 3.5 y
3.9, e incluir retardos en el mismo, se debe tomar en cuenta la interpretación
estocástica, puesto que debido a la estructura propia del sistema, existe la
necesidad de solucionar conflictos.
En la siguiente figura se presenta un sistema aproximado, que toma en cuenta
únicamente el tiempo que demora en transcurrir cada estado.
Figura 4.3
Se puede completar el modelo insertando la parte correspondiente a la petición
de un peatón, de cruzar la avenida. Para esto se deber considerar:
- Un lugar P, correspondiente a un grupo de peatones en espera, el cual debe
vaciarse con un disparo de RVP indicando que la gente cruza la calle.
- Una transición PP, correspondiente a una petición de paso, que no altere a
P, pero que solo se active si la misma está llena. Ésta debe acelerar el
cambio de estado de V a R, simulando la prioridad que el sistema debe dar a
119
los transeúntes. Se supone un retardo de 3 unidades de tiempo en
emprender su actividad.
- Una transición EP, que indique la frecuencia con que llega un grupo de
peatones al cruce peatonal. En este caso se supone que un grupo de
peatones quiere cruzar en un tiempo promedio de 20 ut.
- Un lugar GP, que regula la disponibilidad de P, sin dejar que más de un
grupo de personas espere cruzar por vez. No es indispensable, pero
permite al sistema ser autónomo y seguro.
De esta manera, se puede elaborar un sistema mas preciso, con la forma:
Figura 4.4
El cual se resume en la siguiente tabla:
Tabla 4.1. Elementos del sistema Semáforo - Transeúntes
t/p Descripción Marca inicial
Tiempo medio hab.
t (ut)
Frecuencia media hab.
l (1/ut) R Rojo 1 - -
RV Transición de Rojo a Verde - 7.5 0.1333 V Verde - - -
VA Transición de Verde a Amarillo - 10 0.1 A Amarillo - - -
AR Transición de Amarillo a Rojo - 3 0.3333 X Exclusión 1 - -
RP Rojo de peatones 1 - - RVP Transición de Rojo a Verde de peatones - 0 ∞
120
VP Verde de peatones - - - VRP Transición de verde a rojo de peatones - 7.5 0.1333
P Peatones en espera - - PP Petición de paso - 3 0.3333 EP llegada de peatones - 20 0.05 GP Capacidad de la vereda 1 - -
Con el objetivo de analizar los estados de este sistema, se procede a buscar la
MC asociada, la misma que tiene la forma del CT siguiente:
M(V A R X RP VP GP P)
M0 = (0 0 1 1 1 0 1 0)
M1 = (1 0 0 0 1 0 1 0)
M2 = (0 0 1 1 1 0 0 1)
M3 = (0 1 0 0 1 0 1 0)
M4 = (1 0 0 0 1 0 0 1)
M5 = (0 0 1 0 0 1 0 0)
M6 = (0 1 0 0 1 0 0 1)
Figura 4.5
La figura 4.6 indica la MC asociada al sistema, pero ésta no es indicada para el
análisis, pues posee un estado espurio M2. Como se explicó anteriormente, un
estado espurio es aquel que tiene una velocidad de cambio infinita, es decir el
sistema pasa un tiempo igual a 0 en este estado. Para poder analizar el estado
estable de este sistema, es necesaria la eliminación de M2; atendiendo a los
criterios especificados en la descripción de la MC del capítulo 3 y el Anexo B,
se desarrolla la MC en la figura 4.7, ésta elimina M2 de la misma.
Figura 4.6
Figura 4.7
M0
M1
M3 M4 M5
M6
RV
EP
VA
AR
EP
PP+VA
VRP
EP
AR
M0
RVP
M1 M2
M3 M4
M5
M6
RV
EP
VA
AR
EP
VA PP
AR
VRP RV
EP
121
Nótese que la matriz generadora infinitesimal es menos compleja para la figura
4.7, y es la siguiente:
−−
+−−−−
−−−−
=
ARAR
VRPVRP
VAPPVAPP
EPEPARAR
EPVAEPVA
EPRVRVEP
Q
λλλλ
λλλλλλλλ
λλλλλλλλ
0000
0000
0000
000
000
000
−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−−
=
1333.31333.30000
01333.100013333.1
1333.401333.4000
200.50018333.301333.3
00200.5100.115.10
0200.50013333.118333.1
EE
EE
EE
EEE
EEE
EEE
Q
Resolviendo el estado estable del sistema:
T
E
E
E
E
E
E
M
M
M
M
M
M
EQe
−−−−−
−
=
=+= −
22755.5
14956.2
22185.3
22765.7
17893.2
1138.3
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
6
5
4
3
1
0
1
ππππππ
π
Un índice cuyo análisis puede ser de importancia, es el número de disparos de
las transiciones por unidad de tiempo, también conocido como Tasa de Servicio
(Service Rate SR). Para el caso de cualquier transición del semáforo de autos,
el SR indicaría en promedio cuanto demora un ciclo de funcionamiento, que
también depende de EP.
Para AR, se tiene:
( ) { }3,6 MMARE = 333.0=ARλ
122
( )( ) ( )[ ][ ]
04184.0
22765.722755.5333.0
36
)(
=−+−=
+=
= ∑∈∀
EE
MM
SRPI
AR
tEMij
ji
ππλ
πλ
Supóngase que la unidad de tiempo equivale a 1 segundo, entonces:
segut
Tciclo 9.2304184.0
1 ==
Dado que a los estados V y A representan estados de circulación vehicular, se
les puede relacionar con flujos de vehículos. El índice largo de cola QL, por
indicar el número medio de tokens en un lugar, definirá los correspondientes
flujos promedio de autos en los estados V y A, y podrá indicar el flujo medio del
estado de circulación V+A. Como es manifestado por el modelo, el valor de EP
interfiere con el tránsito vehicular normal; por lo que tal flujo dependerá de este
valor.
Para encontrar esto:
( ) { }41,MMVM f =
( )
( ) ( )
31112.0
22185.317893.2
.)(
41
=−+−=
+=
= ∑∈∀
EE
MM
pMQLPIfi MM
ii
ππ
π
( ) { }63,MMAM f =
( ) ( )
12552.0
22755.522765.7
)( 63
=−+−=
+=EE
MMQLPI ππ
Supóngase que en verde circulan 2 auto/ut y en amarillo 1 auto/ut, el flujo
medio sería:
[ ][ ]
[ ] [ ][ ][ ]segauto
utauto
utautoutautoAVFlujo
utautoAFlujo
utautoVFlujo
/74776.0
/74776.0
12552.0/131112.0/2)(
/1)(
/2)(
==
×+×=+==
123
La simulación paso a paso a través del PNTOOL revela la veracidad de este
método.
Tabla 4.2. Estadísticas Globales para Lugares
Events :100000 Time: 444842.3429
Place Name Arrival Sum
Arrival Rate
Arrival Dist.
Throughput Sum
Throughput Rate
Throughput Dist.
Waiting Time
Queue Length
V 18461 0.0415 24.0963 18461 0.0415 24.0963 7.4959 0.31108
A 18461 0.0415 24.0963 18461 0.0415 24.0963 2.9686 0.1232
R 18461 0.0415 24.0963 18461 0.0415 24.0963 13.6318 0.56572
X 33333 0.074932 13.3454 33333 0.074932 13.3454 4.1606 0.31176
RP 14872 0.033432 29.9114 14872 0.033432 29.9114 22.3151 0.74604
VP 14872 0.033432 29.9114 14872 0.033432 29.9114 7.5963 0.25396
GP 14872 0.033432 29.9114 14873 0.033434 29.9094 19.8055 0.66218
P 19611 0.044085 22.6833 19610 0.044083 22.6845 1.9022 0.083856
Tabla 4.3. Estadísticas globales para transiciones
Events :100000 Time: 444842.3429
Transition Name Service Sum Service Rate Service Dist. Service Time Utilization
VA 13723 0.030849 32.4158 6.167 0.19025
AR 18461 0.0415 24.0963 2.7604 0.11456
RV 18461 0.0415 24.0963 5.4218 0.225
VRP 14872 0.033432 29.9114 7.5963 0.25396
RVP 14872 0.033432 29.9114 0 0
EP 14873 0.033434 29.9094 5.732 0.19165
PP 4738 0.010651 93.8882 2.3084 0.024586
124
4.3. APLICACIÓN EN REPRESENTACION Y DE UN SISTEMA
CON RECURSOS COMPARTIDOS
Supóngase un sistema compuesto por 2 procesos separados que deben
acceder a un mismo recurso. Este sistema puede corresponder al de 2
microprocesadores tratando de acceder a un mismo bus de datos, al de 2
sistemas comunicación compitiendo por el acceso a la línea de transmisión, un
par de vehículos que recolectan material de una zona físicamente dispuesta
para uno de éstos, etc.
Figura 4.8
Donde:
Tabla 4.4.
t/p Descripción Tiempo
medio hab. t (ut)
Frecuencia media hab.
l (1/ut) t1 Fin el proceso M 1 100 1.0E-2 p4 En espera de recurso - - t2 Acceso al recurso 5 2E-1 p5 Recoge el recurso - - t3 El recurso se lleva a procesar en M1 20 5.0E-2 p3 El recurso se esta procesando en M1 - - t4 Fin el proceso M 2 150 6.67E-3 p6 En espera de recurso - - t5 Acceso al recurso 1 1 p7 Recoge el recurso - - t6 El recurso se lleva a procesar en M2 10 1E-1 p8 El recurso se esta procesando en M2 - - p1 Recurso compartido - -
M1 M2
125
El árbol de alcanzabilidad de la PN dispuesta es:
M (p1 p3 p4 p5 p6 p7 p8)
M0 = (1 0 1 0 1 0 0)
M1 = (0 0 0 1 1 0 0)
M2 = (0 0 1 0 0 1 0)
M3 = (1 1 0 0 1 0 0)
M4 = (1 0 1 0 0 0 1)
M5 = (0 1 0 0 0 1 0)
M6 = (0 0 0 1 0 0 1)
M7 = (1 1 0 0 0 0 1) Figura 4.9
Del cual puede extraerse una MC con forma:
Figura 4.10
Siguiendo las reglas especificadas el Anexo B, se tiene que la matriz
generadora infinitesimal, es como sigue:
M0
M1da
M5
M4 M3
M7
M2
M6
t2
t3
t1
t5
t1
t6
t1 t4
t5
t6
t4
t4
t3
t2
126
−−−−
−−−−
−−−
−−−
=
4114
3344
6611
2424
5511
66
33
5252
00000
00000
00000
00000
00000
000000
000000
00000
λλλλλλλλλλλλ
λλλλλλλλ
λλλλ
λλλλ
Q
−−−−
−−−
−−
−−
=
01667.00001.0367.6000
05.005667.00000367.60
1.0011.00001.000
02.0020667.0000367.6
001001.10001.0
0001.001.000
000005.0005.00
0000012.02.1
E
E
EQ
Resolviendo el sistema de ecuaciones para el estado estable, presentado en el
Anexo B, relacionado al a MC se tiene:
T
E
E
E
E
E
E
E
E
M
M
M
M
M
M
M
M
EQe
−−−−−−−−
=
=+= −
13488.7
13911.1
22926.5
29414.3
38219.5
39674.7
29618.1
46748.2
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
7
6
5
4
3
2
1
0
1
ππππππππ
π
Supóngase que el sistema representa a 2 máquinas procesadoras, abastecidas
por 2 vehículos que traen recursos de una zona, la cual solo puede acceder uno
a la vez.
127
La ocupación de esta zona compartida p1 está dada por el QL, índice que se
calcula a continuación:
( ) { }7430 ,,, MMMMVM f =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
18038.7
13488.729414.338219.546748.2
.)(
7430
−=−+−+−+−=
+++=
= ∑∈∀
E
EEEE
MMMM
pMQLPIfi MM
ii
ππππ
π
Tal valor también se hace presente en la simulación, constatando la eficacia de
esta técnica.
Tabla 4.5. Estadísticas Globales de Lugares
Events: 10000 Time: 241263.0117
Place Name Arrival Sum
Arrival Rate
Arrival Dist.
Throughput Sum
Throughput Rate
Throughput Dist.
Waiting Time
Queue Length
p1 3334 0.013819 72.3644 3334 0.013819 72.3644 56.4947 0.7807
p3 1927 0.0079871 125.2014 1926 0.007983 125.2664 99.3699 0.79327
p4 1926 0.007983 125.2664 1927 0.0079871 125.2014 5.8971 0.047101
p5 1927 0.0079871 125.2014 1927 0.0079871 125.2014 19.9859 0.15963
p6 1406 0.0058277 171.5953 1407 0.0058318 171.4734 3.8471 0.022435
p7 1407 0.0058318 171.4734 1407 0.0058318 171.4734 10.2323 0.059673
p8 1407 0.0058318 171.4734 1406 0.0058277 171.5953 157.506 0.91789
Suponiendo que se desea conocer la “Capacidad de Proceso” CP del sistema total,
es decir el número medio de proceso en ejecución, se plantea una función de
ganancia que indique tal necesidad. Para esto:
( ) ( )38)( pMpMMr ii +=
{ }76543 ,,,, MMMMMM f =
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
7070.1
13488.7213911.122926.529414.338219.5
.2.1.1.1.1
.)(
76543
=−×+−+−+−+−=
++++=
= ∑∈∀
EEEEE
MMMMM
MrCPPIfi MM
ii
πππππ
π
Esto indica que se procesan 1.7070 unidades/ut.
128
Suponiendo que se desea conocer el “Costo de Procesamiento” VP del sistema
total, es decir el costo medio de los procesos en ejecución. Se necesita plantear
una función de ganancia que incluya los costes por unidad procesada, tanto en
p3 como en p8. A continuación se indica una forma de realizarlo, haciendo valer 2
y 3 unidades de costo, respectivamente, a cada unidad procesada en p3 y p8 :
( ) ( )38 32)( pMpMMr ii +=
{ }76543 ,,,, MMMMMM f =
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3275.4
13488.7513911.1322926.5229414.3338219.52
.5.3.2.3.2
.)(
76543
=−×+−×+−×+−×+−×=
++++=
= ∑∈∀
EEEEE
MMMMM
MrCPPIfi MM
ii
πππππ
π
Lo que indica que se gastan 4.3275 unidades de costo por cada unidad de
tiempo.
129
4.4. APLICACIONES EN EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE UN
SISTEMA DE PRODUCCIÓN.
A continuación se aplicará el PNTOOL conjuntamente con la teoría descrita en
capítulos anteriores, en el análisis de un sistema de producción, que describe
la producción de motores universales.
La estructura de este caso de estudio fue tomado de [27]. La fuente de tal
referencia ofrece únicamente diseños preliminares de plantas industriales,
razón por lo cual describe en forma muy superficial las características de los
subprocesos o máquinas inmiscuidas. Estas características han sido
supuestas y consultadas, en medida de lo necesario para demostrar la
funcionalidad de las PN y la versatilidad de sus herramientas computacionales
y teóricas.
La planta tiene las siguientes características con respecto a MAQUINARIA Y
EQUIPO:
Tabla 4.6. LÍNEA DE PRODUCCIÓN DEL ROTOR.
ITEMS MÁQUINAS
Prensa de insertado de núcleos.
Máquinas de colocación de las fibras.
Máquina de colocación de conmutadores.
Insertado del papel de aislamiento.
Bobinador automático del rotor.
Máquina de fusionado de conmutadores
Máquina de prueba de alto voltaje.
Máquina de insertado de cuñas
Probador del rotor (pre-acabado)
Impregnador del barniz
Máquina de recorte del conmutador
1
1
1
1
3 ó 4
2
2
1
1
1
1
130
Calibrador de balanceo
Cepillo de balanceo
Probador del rotor (producto semiacabado)
Transportador flexible
4
4
1
1
Las figuras 4.11 y 4.12, indican respectivamente el flujo de actividades de la
planta en un diagrama de bloques, y la distribución de cada etapa de
producción en la geometría de la planta.
Figura 4.11 Diagrama de flujo de una planta procesadora de motores universales
131
Figura 4.12 Distribución de la planta
Para este caso de estudio, se diseñará la zona A1 en su integridad.
La primera parte de esta zona A1, corresponde a la etapa de apilado de
rotores, para la cual los TMG son aplicados, tanto en el diseño y análisis, con la
finalidad de demostrar sus ventajas en la descripción del comportamiento
dinámico de un sistema. Por esto cabe recalcar que:
- La teoría de sistemas aplicada a las redes MG temporalizadas, permite
modelar matemáticamente de manera integra sus características.
- El modelo obtenido permite el cálculo de respuestas sin necesidad de
ejecutar paso a paso la PN, lo que es de gran aplicación en el manejo
automático de un conjunto de procesos, por reducir el tiempo de toma de
decisiones.
- Con tales modelos y mediante un análisis más profundo, no presentado en
este trabajo, es posible calcular funciones de transferencia adicionales, que
132
correspondan a etapas de control que automaticen de manera eficiente el
funcionamiento del sistema.
Las GSPN son utilizadas posteriormente para introducir situaciones imprevistas
de falla en la maquinaria, productos defectuosos y evaluar la planta a través de
índices de funcionalidad.
Para la modelación de las etapas de colocación de fibras, papel aislante y
conmutador, se utiliza la flexibilidad de las GSPN, que permite diseñar la
estructura del sistema basándose en su lógica de funcionamiento, e incluir las
características generales relevantes.
Luego se plantea el caso de 4 máquinas bobinadoras que trabajan utilizando
recursos y colocando productos, en una banda que se mueve a ritmo
constante. El modelo del sistema a través de TPN, es utilizado para la
búsqueda de políticas de control, mediante simulación, que permitan mantener
un funcionamiento adecuado y óptimo. Posteriormente su utilizan las GSPN
para condensar las características relevantes del sistema en un modelo mas
simple.
A continuación se modela las etapas previas al barnizado aplicando criterios
generales, basados en a flexibilidad de las GSPN, y se fusiona con los demás
modelos simplificados de las etapas en la Zona A1. Se obtienen las
características generales, que pueden ser recogidas a través de un modelo en
GSPN de la zona A1 en su integridad.
Para finalizar se plantean modelos semejantes de las zonas restantes,
uniéndolos en una cadena lógica de funcionamiento, que tiene dependencia del
trabajo de vehículos de transporte, que llevan subproductos de una zona a otra.
El objetivo de esta parte del trabajo es usar el PNTOOL en la simulación y
análisis de una red No Ordinaria, Temporalizada, Estocástica.
133
1.1.1. ANÁLISIS DE LA ETAPA APILADO DE ROTORES La referencia [27] describe a esta etapa del proceso como se presenta a
continuación:
“Las placas del rotor son apiladas a un nivel deseado por medio de una
prensa hidráulica de 5 toneladas y luego es insertada dentro de cada núcleo
por medio de un alimentador automático o por colocación manual. El grado
aceptable de inserción descentrada es menor a 0.03 mm. El proceso es
controlado constantemente.”
De aquí, se supone que esta máquina posee:
- Paletas, en este caso proporcionan transporte y sostén a 2 conjuntos de
placas, además de sus correspondientes guías para el prensado. El
retorno de las paletas demora 2 unidades de tiempo (ut).
- 1 alimentador automático de placas que coloca el número necesario de
placas en cada guía de la paleta. Colocar 2 conjuntos de placas toma 1 ut
- 2 prensas que apilan los conjuntos de placas dispuestos en cada
portador para dar como resultado 2 núcleos por vez. Cada apilado
demora 4 ut.
- 1 colocador de ejes que por vez recoge 2 rotores e inserta sus ejes
dejando libre una paleta. El proceso de descartar una paleta vacía y
encuadrar una ocupada demora 1 ut mientras que el de insertar un par
de ejes demora 1 ut. Esta máquina puede tener disponibles hasta 2 pares
de ejes.
- 2 buffer de 4 paletas que sostienen los sub productos entrantes a las
etapas de prensado y de colocación de ejes respectivamente.
134
4.4.1.2. Modelado en base a las características del sistema Llevando cada parte a un equivalente con forma de lugar o transición, en
concordancia a sus características y dispuestos en forma de la lógica de
funcionamiento, se plantea:
Tabla 4.7. Apilado de Rotores
t/p Descripción Capacidad (c) (c=2 rot.)
Tiempo Habilitación
(ut) Alimentador automático de placas 1 (c/ut)
t1 Colocación de placas en las paletas - - p1 Disponibilidad y uso 1 1
Buffer entrada prensa - p2 Paletas disponibles 4 - p3 Capacidad máxima - -
Prensas ¼ (c/ut) t2 Entrada a la prensa - - p4 Paletas en proceso - 4 p5 Disponibilidad 1 - t3 Fin de prensado - -
Buffer salida prensa - p6 Paletas encuadradas para colocar eje 4 1
p12 Capacidad máxima - - Colocador de ejes 1 (c/ut)
p7 Solicitud de ejes - - t5 Alimentación ejes - - p8 Capacidad de ejes 2 - p9 Ejes a disposición tiempo de localización - 1
p10 Disponibilidad y uso 1 1 t4 Inserción ejes y finalización procedimiento - -
Retorno de Paletas - p11 Paletas desocupadas x 2
El modelo resultante de esta parte, esta descrito gráficamente por:
135
Figura 4.13 Apilación de rotores
Se observa que la PN corresponde a un sistema autónomo, pues trabaja
de manera independiente si no se restringe su funcionamiento en las
entradas, es decir, si se considera que existen suficientes recursos.
Se puede apreciar además que la red es fuertemente conexa, gracias al
lazo de realimentación que indica el retorno de las paletas dado a través
de p11. Esto es una gran ventaja, pues para que un modelo sea
consistente con la teoría del análisis matemático de los MG, expuesta en
el la sección 3.5 y en el Anexo A, es necesario que éste implique una red
fuertemente conexa.
Para transformar una red en fuertemente conexa, basta con incluir lazos
de realimentación, que permitan la conexión de las transiciones más
distantes a las entradas con las más cercanas.
Es necesario tomar en cuenta la marca inicial en los lazos de
realimentación (véase ejemplo 3.9), ya que si ésta no corresponde al
menos a la capacidad mínima de subproductos elaborándose
normalmente, puede reducir el flujo normal de tokens en la red, como se
verá a continuación.
136
4.4.1.3. Optimización de recursos en función ritmo de producción
Para este caso, se supone que los retardos debidos a los procedimientos
de cada etapa son constantes, por lo que la única manera de controlar el
ritmo de producción está determinada por el flujo de recursos, es decir
acorde al número de paletas existentes en el sistema.
Desde un punto de vista práctico, es importante definir la cantidad mínima
de recursos necesarios para obtener la producción deseada, pues eso
implica no desperdiciar dinero. Para este ejemplo, tal premisa se traduce
en la suposición de que existe un número X mínimo de paletas, que
permite ritmo máximo de producción.
El modo EXPLORE permite la simulación del sistema, a través de la cual
se puede obtener índices promedio e instantáneos, necesarios para el
análisis.
Ocupando su herramienta SCOPE, los índices instantáneos pueden
representarse gráficamente en función de los eventos transcurridos.
Tales gráficas son útiles para el estudio de respuestas transitorias.
Ocupando la opción DESIGN del menú, es posible realizar un conjunto de
varias simulaciones, procedimiento por el cual se ajustan gráficas de
promedios de índices, acorde a diferentes valores de variables X y Y,
incluidas en el diseño. Estas gráficas son útiles para darse una idea clara
de como varían las características del sistema en función de X y Y.
Para este caso de estudio, el índice SERVICE DISTANCE (SD)
determina la cantidad media de tiempo transcurrido entre disparos
consecutivos de una determinada transición, por lo que aplicado a la
transición t4 indica el tiempo medio de producción.
En primera instancia la simulación se enfoca en encontrar un mínimo X
que determine producción máxima. Se introduce DESIGN para un
137
número grande de simulaciones, pues de esta manera es posible
aproximar los valores promedio a los de estado estable que en este caso
son de interés. Para una simulación que concluye con 50 disparos de t4
en cada uno de 10 valores de X se tiene:
Figura 4.14
Este gráfico indica que la taza máxima de producción es de un conjunto
por cada 3 unidades de tiempo, es decir 2 rotores cada 3 ut. Además
que esta tasa se alcanza con un número igual o superior a 2 paletas.
Para identificar el tipo de respuesta a la salida del sistema, con un número
de 2 paletas, se simula escogiendo el índice SD en SCOPE.
Figura 4.15
138
Esta gráfica se refiere a SD en t4, donde los valores instantáneos y
promedio son representados respectivamente por las líneas continua y
entrecortada. Se observa que iniciado el proceso con la maquinaria
vacía, el primer conjunto de subproductos es terminado en 4 ut., y los
restantes son finalizados en intervalos de 3 ut.
En t1 el SD representa la frecuencia promedio de trabajo, como se
muestra a continuación:
Figura 4.16
Se observa que sobre las 2 paletas, el alimentador automático de placas
aumenta su ritmo, hasta cuando el sistema posee 6 paletas. Esto se
debe a que su etapa transitoria resulta más corta conforme el aumento de
paletas.
La gráfica WATING TIME del lugar p11, concuerda con esta explicación,
pues indica que sobre las 6 paletas el tiempo en desuso de cada una de
estas crece.
139
Figura 4.17
Dado que la utilización de una máquina representa consumo de energía y
el número de paletas hace referencia a recursos en uso, los índices
relacionados con éstos son proporcionales al costo de la producción, por
lo que son fundamentales en la etapa de diseño.
Limitando diseño a la premisa de obtener la mejor producción, usando un
mínimo número de recursos, se puede concluir que un sistema es óptimo
si este produce a ritmo máximo y sus buffer están ocupados al mínimo; lo
que implica además que, en el mejor de los casos, el ritmo máximo de
producción es igual al del procedimiento mas lento, conocido como
“Cuello de Botella”. Tal conclusión concuerda con la definición de la tasa
de producción establecida por el valor propio en (3.64).
Desarrollando la definición (3.64), se tiene las cantidades nn kt / , que
respectivamente corresponden a los lazos c1=t1-t2-t1, c2=t2-t3-t2, c3=t3-t4-t3,
c4=t1-t4-t1, c5=t1-t3-t5-t1, c6=t3-t5-t4-t3, c7=t1-t1, c8=t4-t4, c9=t5-t4-t5 :
140
3
21
,11
,11
,41
,26
,26
,41
,13
,40
max
,,,,,,,,max
max
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
=
=
=
=∈∈
k
t
k
t
k
t
k
t
k
t
k
t
k
t
k
t
k
t
k
t
n
n
Ccnλ
De aquí que el ritmo de producción es de una paleta cada 3 unidades de
tiempo, es decir 1 rotor cada 1.5 ut.
Puesto que resulta evidente la forma en que la etapa de prensado lentifica
el sistema, se la analizará a través de las siguientes gráficas, que indican
el índice QUEUE LENGTH en los lugares p2, p4 y p6, para verificar que
un número óptimo de paletas implica buffers casi vacíos y menos
recursos sub ocupados.
Figura 4.18 Ocupación buffer salida prensa
141
Figura 4.19 Ocupación de la prensa
Figura 4.20 Ocupación Buffer Entrada de la Prensa
Se puede concluir de estas gráficas que:
- Para mantener mayor ritmo de producción se requiere 2 paletas cada 3
ut; lo que implica para el mismo intervalo de tiempo una entrada
mínima de 2 conjuntos de placas y 2 ejes.
- Para mejor este ritmo de producción se requeriría nada más agilitar el
prensado.
142
4.4.1.4. Modelación matemática y Reducción del sistema
La herramienta Petri Nets Toolbox (PNTOOL) del MATLAB, permite
realizar el análisis y simulación de una PN mediante álgebra Max – Plus,
gracias al despliegue de las opciones relacionadas dentro del modo
EXPLORE. Como es obvio, se requiere que el sistema cumpla con las
características necesarias para la aplicación de tal álgebra, es decir que la
red sea un TMG.
Para demostrar la versatilidad del PNTOOL y la utilidad del álgebra Max -
Plus en la aplicación de la teoría de sistemas a las PN, se transforma el
sistema autónomo de esta parte del caso de estudio, en uno dependiente
de entradas, como se muestra en la siguiente figura 4.21:
Figura 4.21
En este gráfico x4 corresponde a t4, que indica la finalización del proceso;
esta variable de estado es la salida requerida del subproceso “Apilado del
Rotor” denominada y1, por lo que resulta de importancia despejarla. Para
efectos de análisis se puede definir como una salida y2 a la variable x3
que corresponde a t3 y por tanto a la salida de la prensa.
El sistema de ecuaciones en Max - Plus puede ser observado a partir de
las opciones correspondientes del menú, en la opción MAX-PLUS del
PNTOOL.
143
Para la reducción del sistema se desarrolla el sistema bajo álgebra Max -
Min como sigue:
242
35
5434
44
23
3
312
1422
24
11
.
...
..
.
...
uxxx
xxxx
xxx
xxx
uxxxx
⊕⊕=
⊕⊕=⊕=
⊕=⊕⊕⊕=
γδδγδ
γδγ
γδγδγ
Reemplazando x2 en x1
( )( )
( ) ( )1422
35*
1422
35
1
1422
35
14
1422
314
11
...
...
..
....
uxx
uxxx
uxxx
uxxxxx
⊕⊕=
⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕⊕=
γδγδγ
γδγδγγδγγδγ
γδγγδγ
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 1
*4
22*3
5*
31422
35*
2
.
....
uxx
xuxxx
δγγδδγγγδγγγδγδγ⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕=
Reemplazando x2 y x1 en x3
( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( ) ( )( )1
34
2553*3
13
425*3*5353
13
425*3*53*
13
425**353*
13
425**353*
1*3
4425*
3353*
44
1*
422*
35*3
3
.
.
.
.
.
.
...
uxe
uxe
ux
ux
ux
uxx
xuxxx
δγδγδγδ
δγδγδδγγδγδ
δγδγδγδδγ
δγδδγγδγδδγ
δγδδγγδγδδγ
δγδγγδδγγδγδδγ
γδγγδδγγγδγδ
⊕⊕=
⊕⊕⊕=
⊕=
⊕⊕=
⊕⊕=
⊕⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕⊕=
Dado que:
( )( )( )( )( )( )( )*3
39263
91289766339263
3926353
*353
....
........
....
γδ
γδγδγδγδγδγδγδγδγδγδ
γδγδγδγδγδγδ
=
⊕⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕=⊕⊕⊕⊕⊕=
⊕
e
e
ee
e
144
Se tiene:
( ) ( )13
425*3
3 . uxx δγδγδ ⊕= Reemplazando x5 en x4
( )
( ) ( )23
*3
243
3
242
343
34
.
..
....
ux
uxx
uxxxxx
δδγδ
δγδδγδγδδ
⊕=
⊕⊕=
⊕⊕⊕⊕=
Reemplazando x3 en x4
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )21
4*3*
26*3
2
*31
4*34
26*3
2
*31
4*3*34
26*3*3
213
425*3*3
4
.
.
.
uu
uux
uux
uuxx
δδγδγδγδ
δγδδγδγδγδ
δγδδγδγδγδγδγδ
δδγδγδδγδ
⊕=
⊕⊕=
⊕⊕=
⊕⊕=
( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )21
4*326
214*26*3
214*3*2626*3
214*32626*3
214*3*32626*3
214*3*32626
uu
uu
uu
uu
uu
uue
δδγδγδ
δδγδγδ
δδγδγδγδγδ
δδγδγδγδγδ
δδγδγδγδγδγδ
δδγδγδγδγδ
⊕⊕=
⊕=
⊕⊕=
⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕=
Dado que:
( )
( ) ( ) ( )
( )*3
39263
32632263263
263
...
...
γδ
γδγδγδγδγδγδγδγδγδ
γδγδ
=
⊕⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕=
⊕
e
e
Tomando esta última expresión, además de que x4 y x3 son las salidas del
sistema, se tiene:
( ) ( )213.*3
14 uuyx ⊕== δγδδ (4.1)
145
Expresión que, teniendo en cuenta la equivalencia de las operaciones en
álgebra Max–Plus con la composición de sistemas, explicada la parte
correspondiente del capítulo 3, sencillamente puede verse:
Figura 4.22
De igual forma, se despeja x3 y se lo visualiza:
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )223
126*33
2
*3261
3*31
*329
13
213.*325*3
3
.
..
.
uue
uuu
uuux
γδγδγδδ
γδγδδγδγδγδ
δδγδδγδγδ
⊕⊕=
⊕⊕=
⊕⊕=
Figura 4.23
De esta manera, la función de transferencia del sistema adquiere la
forma:
Figura 4.24
La función de transferencia expuesta, condensa las características
dinámicas y estables del sistema, por lo que permite globalizar el análisis
de esta parte del proceso y reducir el tiempo necesario para obtener sus
respuestas, sea a través de cálculo o iteración.
( )
⊕ 25228
3*3
γδδγδδγδδ e
2
1
u
u
2
1
y
y
146
La simulación bajo el modo MAX-PLUS calcula señales respuesta del
sistema; como es obvio, el ingreso de una señal entrada es requerido
para un sistema no autónomo. Estas señales pueden observarse en
gráficas que relacionan, para la transición deseada, el orden de cada
evento con el tiempo de su aparición.
Figura 4.25 Entradas U1(t) y U2(t)
Figura 4.26 Salidas Y1(t) y Y2(t)
Los gráficos 4.25 y 4.26 presentan, respectivamente, a las 2 señales de
entrada y la respuesta del sistema a éstas. Se escoge 2 entradas, donde
cada una representa 17 eventos correspondientes a la llegada de
recursos en instantes dispuestos al azar. El objetivo de escoger entradas
con características irregulares es observar el comportamiento dinámico
del sistema, además de verificar las respuestas obtenidas por el modelo
reducido al contrastarlas con el original.
El PNTOOL permite además observar los resultados del cálculo de cada
iteración en forma textual. Las siguientes matrices recogen la información
expuesta por la simulación.
( ) ( )
( ) ( )
=1717
11
)(
21
21
uu
uu
tU MM
( ) ( )
( ) ( )
=1717
11
)(
21
21
yy
yy
tY MM
=)17()17(
)1()1(
)(
51
51
xx
xx
tX
L
MM
L
147
=
101
100
83
82
81
70
70
70
70
50
50
50
50
30
3
2
1
35
35
34
32
20
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
)(tU
=
94
91
88
85
82
79
76
65
62
59
56
36
16
13
10
7
4
104
101
89
86
83
80
77
74
71
60
57
54
51
31
11
8
5
)(tY
=
101104949191
100101918888
8889888585
8586858282
8283827979
7980797676
7677767373
7074656262
7071625959
5960595656
5657565353
5054363333
5051161313
3031131010
10111077
78742
45411
)(tX
Para efecto de demostrar que existe plena concordancia entre las
ecuaciones Max-Min y el funcionamiento de los TMG, se realiza el
siguiente ejemplo numérico.
Expandiendo la expresión 4.1, se tiene:
( )( )..........
....
2310
1313
227
1210
24
17
214
3926321
41
⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕=
⊕⊕⊕⊕⊕=
uuuuuuuu
euuy
γδγδγδγδγδγδδδγδγδγδδδ
Puesto que la PN de la figura 4.12, corresponde a un grafo sin pesos
positivos, fuertemente conexo y con un sistema autónomo cuya matriz de
precedencia es de dimensión n=4, se pueden descartar los elementos de
la sumatoria Kleene que hayan sido elevados a potencia superior a n-1=3.
Tomando en cuenta esto y llevando al álgebra convencional, se tiene:
148
−+−+−++−+−+−++
=)3(10),2(7),1(4),(1
),3(13),2(10),1(7),(4max)(
2222
11111 kukukuku
kukukukuky
(4.2) Función de transferencia bajo álgebra convencional
Se observa que los resultados de esta función concuerdan con los de la
simulación. Calculando la respuesta y1(k) para su evento k=9 se tiene:
71)9(
60,57,54,71
,19,17,15,13max)9(
5010,507,504,701
,613,710,87,94max)9(
)6(10),7(7),8(4),9(1
),6(13),7(10),8(7),9(4max)9(
1
1
1
2222
11111
=
=
++++++++
=
++++++++
=
y
y
y
uuuu
uuuuy
4.4.1.5. Equivalencia en GSPN e introducción de conflictos
A diferencia de las TPN, en las cuales el análisis depende de la dinámica
de sistema, los objetivos del uso de las SPN y GSPN se limitan al análisis
en estado estable. Por tal razón, la estructura de un modelo en SPN o
GSPN no necesariamente debe tener la misma forma que el de un TPN,
en tanto refleje las características requeridas. Nótese que por tal razón
las técnicas de análisis son distintas; siendo los semianillos adecuados
para características dinámicas, mientras que para características de
estado estable, es conveniente el uso de las propiedades de la MC
asociada al sistema.
Por estas razones el siguiente modelo en GSPN escoge características
relevantes de este caso, como son: producción en el estado estable, el
número máximo de rotores en funcionamiento y la estructura lógica -
funcional básica del sistema.
149
En la sección 4.4.1.3, se obtuvo que, en condiciones de estabilidad, el
sistema tiene una tasa de producción de 1/3 c/ut, o lo que es lo mismo 2
rotores (sin colector aislamientos y bobinas) cada 3 ut. Puesto que en
estado estable se suponen abastecidas las etapas concatenadas a través
de buffers, esta tasa de producción hace valedero el aproximar la
producción a 1 rotor cada 1.5 ut. Otra conclusión importante del análisis
de la sección 4.4.1.3, es que tal etapa tiene una capacidad máxima 2c = 4
rot.
Para plasmar un modelo que conlleve todas las características, es
necesario tomar en cuenta los parámetros anotados anteriormente,
conjuntamente con la condición de cargar tantos ejes como conjuntos de
placas. El modelo en GSPN puede verse de la siguiente manera:
Tabla 4.8. Apilado de Rotores GSPN
t/p Descripción Capacidad (rot.)
Tiempo Habilitación
(ut) E1M1 Entrada de placas - 1 E2M1 Entrada de ejes - - mE1-2 Se cargan tantos ejes como placas - - be1M1 Placas almacenadas - - be2M1 Ejes almacenados - -
M1 Proceso de apilado y prensado - 1.5 bsM1 Rotores almacenados - - mM1 Capacidad del proceso 4 -
Figura 4.27
150
Para adicionar circunstancias como reprocesamiento de productos
defectuosos y averías de máquinas, se expande M1 y se añaden algunos
elementos, como se muestra a continuación:
Tabla 4.9. Apilado de Rotores GSPN
t/p Descripción Capacidad (rot.)
Tiempo Habilitación
(ut) M1t Proceso en ejecución - - M1d Disponibilidad del as máquinas - - falla Avería que produce indisponibilidad - 10 K
reparandose Proceso de reparación - - reparado Fin de la reparación - -
beM2 Buffer de entrada al siguiente proceso revisión de descentrado.
- -
error Detección y desarme de Rotor descentrado.
- 1 K
E1M2 Recolección de rotores para la siguiente etapa
Figura 4.28
Como es explícito, las transiciones “fallaM1” y “error” poseen un retardo
medio, que indica la frecuencia con que ocurren circunstancias de avería
en la maquinaria y detección de rotores descentrados, respectivamente.
Tales transiciones representan alternativas al funcionamiento normal, por
lo que llevan en si la definición de conflictos, mismos que son
solucionados gracias a las propiedades de las GSPN.
151
De forma semejante, la transición “reparadoM1” indica el tiempo que
demora en salir la máquina de un proceso de mantenimiento,
representado por el lugar “mantM1”.
La transición “error” indica además, el desarme de un rotor descentrado,
localizado en la mesa de revisión beM2, y la colocación de sus piezas en
los buffer correspondientes, be1M1 y be2M1, para su reinserción en el
proceso. Por esta razón, un disparo de tal transición debe reducir en uno
el número de rotores revisándose y el de elementos disponibles en el
proceso, así como aumentar en uno la cantidad de recursos presentes en
los búferes de entrada.
4.4.2. COLOCACION DE FIBRAS, PAPEL AISLANTE Y CONMUTADOR.
Puesto que el caso de estudio es demostrativo, no hace falta nuevamente
tomar en cuenta procedimientos de descripción y análisis semejantes a los
anteriores. En esta parte se modelará directamente en forma de GSPN
utilizando criterios generales, es decir normas que funcionan para cualquier
proceso sin estar enfocados a uno en particular.
Un proceso cualquiera, puede verse de la siguiente manera:
Figura 4.29
En [16], formas de representación semejantes son aplicadas para analizar
modelos que representan procesos de administración push y pull production.
152
La siguiente figura indica como las máquinas colocadoras de fibras y papel
aislante, han sido consideradas en un solo proceso M2, con retardo de 1 ut.
La máquina de colocación del colector M3, recoge sus rotores directamente
de la salida del proceso M2, y por cada rotor un colector de la fuente E2M3.
Figura 4.30
Las frecuentas de falla y error, así como e tiempo de reparación tienen
valor como se indica en la figura 4.30
4.4.3. BOBINADO AUTOMÁTICO DE ROTORES
La planta posee 4 máquinas bobinadoras, entendiéndose que tal número de
máquinas se justifica en multiplicar el ritmo de producción, debido a que el
tiempo de proceso individual es muy largo.
Supóngase que este sistema dispone de:
- Un buffer de entrada a una banda transportadora.
- Una banda transportadora para el llevar de los rotores bobinados y sin
bobinar. Esta banda mueve los subproductos en sus respectivas paletas,
a una velocidad constante de 1 etapa cada 1 ut, siendo la capacidad
máxima de un rotor por cada etapa.
- 4 máquinas bobinadoras; 2 de éstas son nuevas y bobinan a un ritmo
máximo de 1 rotor cada 10 ut y las 2 restantes lo hacen a un ritmo de 1
153
rotor cada 15 ut. Cuando esta disponible, cada máquina distingue una
paleta con rotor sin bobinar y la recoge de la banda.
Para que el funcionamiento sea adecuado, es necesario incluir las siguientes
restricciones:
- El ingreso de rotores sin bobinar debe ser tal que, trabajando las
máquinas y la banda a un ritmo periódico, en la salida del sistema solo
existan subproductos terminados.
- El buffer de entrada debe tener el tamaño suficiente para evitar
aglomeraciones excesivas y daño a los subproductos.
4.4.3.1. Modelado en base a las características y restricciones del sistema
Como indica el ejemplo 3.9, para modelar una banda es suficiente
conocer su capacidad y su velocidad, en medida de las etapas en que se
ha dividido.
En este caso se adiciona una vía para paletas procesadas, pues el
sistema así lo requiere.
La estructura de una etapa, sobre la cual que no actúan máquinas,
inicialmente puede verse de la siguiente manera:
−−
=1100
0011TAp
Figura 4.31
Tomado en cuenta que cada etapa puede máximo tener 1 paleta, se
tiene que 1)()( 21 ≤+ pMpM , de donde ( )11=L y 1=b . Aplicando las
ecuaciones de la sección 3.4.3, se tiene:
Salida Entrada
154
( ) ( )
( ) 10
0111
11111100
001111
=
−=−=
−−=
−−
−=−=
pc
TT
LMobMo
LApAc
Obteniéndose la matriz de incidencia A, con la estructura lógica de una
etapa de la banda, a la cual se adiciona los retardos correspondientes.
−−−
−=
=
1111
1100
0011
T
TT
Ac
ApA
Retardo de la etapa: 1 ut.
Figura 4.32
Para representar la alternativa que tiene una pieza de ser recogida o no
por una máquina, se añade un par lugar - transición instantáneos. Se
introduce además otro par, representando a una máquina.
−−
−−−
=
0110000
0101010
1000100
0010101
TAp
Figura 4.33
Tomado en cuenta que cada etapa puede máximo tener 1 paleta y que la
máquina solo puede bobinar un rotor a la vez, se tiene que 1)( 4 ≤pM
1)()()( 321 ≤++ pMpMpM de donde:
=
1000
0111L
=
1
1b
Aplicando las ecuaciones de la sección 3.4.3, se tiene:
Salida Entrada
Bobinadora
155
−−−−
=
−−
−−−
−=
−=
0110000
1111011
0110000
0101010
1000100
0010101
1000
0111
TT LApAc
( )
=
−
=
−=
1
10000
1000
0111
1
1 T
pc LMobMo
Obteniéndose la matriz de incidencia A, con la estructura lógica de una
etapa la banda, sobre la cual actúa una máquina. A esta PN se le
adiciona los retardos correspondientes.
−−−−−
−−
−−
=
0110000
1111011
0110000
0101010
1000100
0010101
TAp
Retardo banda: 1 ut.
Retardo máquina: 10 ut. y 15 ut.
Figura 4.34
Considerando que el sistema debe poseer un buffer de entrada, al cual
ingresan recursos sin procesar a una frecuencia determinada, se plantea
el siguiente modelo:
156
Figura 4.35 Bobinado de rotores.
En este modelo:
- p1 es el buffer de entrada, el mismo que no está restringido hasta
encontrar las condiciones ideales de trabajo, las cuales definirán su
capacidad.
- Las paletas llevan rotores, que ingresan a una frecuencia U definida
por la transición t1 y su lugar p10. El lugar p10 tiene marca inicial X y
retardo Y por lo que indica que U = X/Y (rot./ut.).
- Todas las máquinas tienen prioridad sobre la banda, por lo que las
transiciones conflictivas deben ser seteadas con valores que
representen tal condición. En el PNTOOL la prioridad escogida tendrá
mayor preponderancia, en tanto menor sea el valor escogido para ésta.
De esta forma el conjunto de conflictos de relativo interés, puede ser
establecido como sigue :
157
Figura 4.36 Prioridad en transiciones conflictivas de interés
Se entiende que los demás conflictos pueden ser resueltos escogiendo
una transición al asar, es decir tienen igual prioridad, condición que
viene preestablecida en PNTOOL.
4.4.3.2. Control del Ingreso de Recursos.
Con el objetivo de encontrar el U = X/Y rot./ut más adecuado para cumplir
las condiciones de trabajo, es utilizada la herramienta DESIGN. Las
gráficas siguientes presentan índices que reflejan el comportamiento del
sistema transcurridos 1000 eventos, para cada U correspondiente a la
combinación de los valores X y Y que varían desde 1 al 20.
158
Mínimo (10,10) = 0 Máximo (1,4) = 0.5843
Figura 4.37 QUEUE LENGHT en p18
Mínimo (10,10) = 52 Máximo (1,4) = 0
Figura 4.38 SERVICE SUM en t13
X Y
S. S. (p18)
X Y
Q. L. (p18)
159
El QUEUE LENGHT en p18 y el SERVICE SUM en t13 evidencian que las
4/1≤U , con 4≤X , hacen que el sistema no deje pasar algún rotor sin
bobinar.
Por la simplicidad de este caso, también se puede llegar a tal conclusión
considerando el ritmo de transporte de la banda y el retardo que implica
cada proceso de bobinado.
Se puede concluir además que, para 4/1≤U no existe acumulación de
recursos en el buffer, pero si un pico de almacenamiento que esta dado
por el valor de X. Para U = 2/8 (rot./ut), el sistema tiene el siguiente
comportamiento:
Figura 4.39
Otra forma de lograr la condición de funcionamiento continuo y seguro, es
obligando a que el número máximo de rotores bobinándose sea igual al
número de máquinas. La gráfica 4.41 prueba distintos valores X como
marca inicial en un lazo de realimentación adicional, que va de la salida a
la entrada, mismo que controla el número de elementos en proceso al
igual que el caso de la figura 4.13.
160
Figura 4.40
Figura 4.41
Dado que el flujo de recursos puede ser irregular, modificar la frecuencia
de ingreso y mantener un número límite de elementos en proceso,
pueden convertirse en estrategias de control que aseguren
funcionamiento adecuado y continuo.
161
4.4.3.3. Equivalencia en GSPN
Como se ha explicado anteriormente, una GSPN puede llevar la misma
estructura de una TPN, cambiando el retardo de cada lugar por uno
idéntico en cada una de sus correspondientes transiciones de salida.
Para estos casos no se llegará a un equivalente de tal manera, puesto
que se busca condensar las características relevantes en un modelo más
sencillo.
Para este caso puede considerarse suficiente el contemplar:
- La frecuencia de entrada a la banda utrotU EB /4/1/1 == λ .
- El tamaño del buffer de entrada a la banda, rotnbeB 4= .
- La capacidad del proceso en general y la del bobinado de rotores,
respectivamente rotnBt 4= y rotnMB 4= . Nótese que no se ingresa
la capacidad física de la banda, que es de rot7 , sino mas bien la del
proceso general, puesto que en ésta se encuentra sintetizada la
técnica de control, especificada en la figura 4.40.
- El tiempo medio que los rotores sin bobinar pasan en la banda hasta
ser recogidos por una máquina, utetapaetapauteBo 5.32/7//1 =⊗=λ
- La duración media del bobinado general, que es un cuarto de la
duración media del bobinado de una máquina particular, es decir,
este valor es ( ) ( ) ututBBo 125.34/151510104/1/1/4/1/1 1 =+++×=×= λλ
- El tiempo que transcurre hasta que el rotor bobinado sale de a banda,
utBS 5.3/1 =λ
Entendiendo así el sistema y siguiendo las conclusiones del ejemplo 3.9,
el modelo puede plantearse con la forma:
162
Figura 4.42
La siguiente figura añade condiciones de mantenimiento por fallas en las
máquinas bobinadoras, con una frecuencia igual a la indicada en la figura
4.43.
Figura 4.43
4.4.4. ETAPAS PREVIAS AL BARNIZADO
De forma muy semejante a la de criterios generales de la sección 4.4.2,
puede obtenerse un modelo de las etapas siguientes de la producción de
rotores, previas al barnizado, indicadas en el diagrama de flujo de la figura
4.11. Se plantea:
163
Figura 4.44
En beM4 se almacenan los rotores bobinados mientras se chequean en la
Prueba de alto voltaje. Se supone una frecuencia máxima de salida de 1
rotor cada ut.
El proceso representado por M4 corresponde a los de las máquinas de
prensado de conmutador e insertado de cuñas. El tiempo que demoran
estas acciones es de 4 ut. Se supone una frecuencia máxima de ingreso
de 1 rotor cada unidad de tiempo.
En bsM4 se almacenan los rotores sin barniz mientras se chequean
nuevamente.
Se ha supuesto las frecuencias de avería en la maquinaria y de encontrar
un error en la producción, es decir, una falla cada 10 kut , un error cada
100 ut. De igual manera, el tiempo que demora el mantenimiento de la
máquina es 1K.
4.4.5. ANÁLISIS GLOBAL DE ETAPAS PREVIAS AL BARNIZADO.
Al unir los modelos de las sub etapas detalladas anteriormente, es posible
simular y observar el comportamiento del conjunto.
La simulación mediante el PNTOOL permite obtener índices de cada lugar y
transición; mismos que, acorde a las necesidades, pueden ser útiles para:
164
- Relacionar con índices generales que evalúen el comportamiento
global del sistema.
- Definir características que puedan describir al conjunto.
Figura 4.45 Etapas previas al barnizado
165
En las tablas 4.10 y 4.11, se encuentran descritos los valores de índices
medios, resultantes de la simulación, para la integridad de elementos
pertenecientes a la PN de la figura 4.45.
Tabla 4.10. Estadísticas globales para lugares
Events:100000 Time: 24323.7554
Place Name
Arrival Sum Arrival Rate Arrival Dist.
Throughput Sum
Throughput Rate
Throughput Dist. Waiting Time
Queue Length
be1M1 5029 0.25662 3.8968 5028 0.25657 3.8976 3.2191 0.82593
nE1-2 5025 0.25642 3.8999 5024 0.25637 3.9007 0 0
be2M1 5028 0.25657 3.8976 5028 0.25657 3.8976 3.2191 0.82593
nM1 5025 0.25642 3.8999 5029 0.25662 3.8968 1.0097 0.25912
bsM1 5028 0.25657 3.8976 5025 0.25642 3.8999 9.8629 2.529
eM1d 1 5.1028e-005 19597.018 1 5.1028e-005 19597.018 19595.0216 0.9999
eM2 5021 0.25621 3.903 5020 0.25616 3.9038 0.99064 0.25376
nM2 5020 0.25616 3.9038 5021 0.25621 3.903 1.069 0.27389
sM2 5020 0.25616 3.9038 5020 0.25616 3.9038 1.8439 0.47235
e1M3 5020 0.25616 3.9038 5020 0.25616 3.9038 2.0352 0.52133
sM3 5020 0.25616 3.9038 5020 0.25616 3.9038 0.99778 0.25559
M3d 5020 0.25616 3.9038 5020 0.25616 3.9038 0.87083 0.22307
bsM3 5020 0.25616 3.9038 5019 0.25611 3.9046 4.8116 1.2323
nM23 5019 0.25611 3.9046 5025 0.25642 3.8999 0.18509 0.04746
beM4 4968 0.25351 3.9446 4967 0.25346 3.9454 2.3893 0.60559
eM4 4946 0.25239 3.9622 4946 0.25239 3.9622 2.2483 0.56744
sM4 4946 0.25239 3.9622 4946 0.25239 3.9622 1.0087 0.25457
nM4 4946 0.25239 3.9622 4946 0.25239 3.9622 4.6675 1.178
neM4 4967 0.25346 3.9454 4968 0.25351 3.9446 17.3344 4.3944
bsM4 4946 0.25239 3.9622 4945 0.25233 3.963 1.0126 0.25551
mantM23 6 0.00030617 3266.1697 6 0.00030617 3266.1697 80.9693 0.02479
e2M3 5021 0.25621 3.903 5020 0.25616 3.9038 4.9197 1.2602
nE2-3 5020 0.25616 3.9038 5021 0.25621 3.903 1.0191 0.26111
M1 5028 0.25657 3.8976 5028 0.25657 3.8976 1.5042 0.38593
M1d 5028 0.25657 3.8976 5028 0.25657 3.8976 2.3934 0.61407
beM2 5025 0.25642 3.8999 5025 0.25642 3.8999 2.5037 0.64199
mantM1 1 5.1028e-005 19597.018 1 5.1028e-005 19597.018 1.9964 0.00010187
M23d 6 0.00030617 3266.1697 6 0.00030617 3266.1697 3185.2004 0.97521
eB 4970 0.25361 3.9431 4969 0.25356 3.9439 4.1853 1.0612
Bo 4969 0.25356 3.9439 4968 0.25351 3.9446 3.1602 0.80114
sB 4968 0.25351 3.9446 4968 0.25351 3.9446 3.9356 0.99771
nBo 4968 0.25351 3.9446 4969 0.25356 3.9439 12.6159 3.1989
nB 4968 0.25351 3.9446 4970 0.25361 3.9431 4.4949 1.1399
beB 4970 0.25361 3.9431 4970 0.25361 3.9431 2.1283 0.53976
neB 4970 0.25361 3.9431 4970 0.25361 3.9431 13.6439 3.4602
Bod 8 0.00040823 2449.6272 8 0.00040823 2449.6272 2335.6889 0.95349
mantBo 8 0.00040823 2449.6272 8 0.00040823 2449.6272 113.9383 0.046513
nsM4 4945 0.25233 3.963 4946 0.25239 3.9622 18.7986 4.7445
mantM4 8 0.00040823 2449.6272 8 0.00040823 2449.6272 93.9164 0.038339
M4d 8 0.00040823 2449.6272 8 0.00040823 2449.6272 2355.7108 0.96166
166
Como se vió en casos mas simples, como el la sección 4.2, el valor de
QUEUE LENGHT (QL) indica el número medio de marcas en un lugar. Si se
toma en cuenta la definición del índice Probabilidad de que un evento
suceda (sección 3.6.3), en lugares seguros ( 1)( ≤pM ) el QL también indica
la probabilidad de que se dé el evento representado por tal lugar.
Aplicando este criterio al sistema hasta aquí desarrollado, se puede
identificar en la tabla 4.10, la probabilidad de que una máquina en particular
esté en mantenimiento.
Para procesos en los cuales los criterios de seguridad son indispensables,
la probabilidad de que exista cualquier falla puede resultar de gran interés.
En este caso, despreciando la probabilidad de que 2 o mas fallas se den a
la vez, tal índice puede calcularse sumando las probabilidades de cada falla
en particular.
1097.0
038339.0046513.002479.000010187.0
)4()()23()1()(
=+++=
+++= mantMQLmantBoQLmantMQLmantMQLallaCualquierFPI
Es decir, en esta etapa la probabilidad máxima de que una máquina no este
hábil es del 10.97%. Tómese en cuenta que los valores de frecuencias de
falla y tiempos de mantenimiento han sido supuestos.
Una característica global que puede rescatarse del sistema, es el número de
subproductos en proceso, denominada en este trabajo Capacidad. Para
esto se puede tomar en cuenta los lugares nM1, nM23, neB, nB, neM4, nM4 y
nM4, cuyos complementos indican el número de subproductos
procesándose. Tal índice se calcularía de la forma siguiente:
167
75642.12
2555.0822.06056.08601.25398.095254.572088.1
)7445.45()178.12(
)3944.45()1399.14()4602.34()04746.06()27912.02(
)4()4()4()()()23()1()(
=++++++=
−+−+−+−+−+−+−=
++++++= nsMQLnMQLneMQLnBQLneBQLnMQLnMQLCapPI
Es decir, el sistema en conjunto tiene un promedio de 12.76 rotores
procesándose.
Tabla 4.11. Estadísticas globales para Transiciones
Events:100000 Time: 24323.7554
Transition Name
Service Sum
Service Rate
Service Dist.
Service Time Utilization
E1M1 5025 0.25642 3.8999 0.20626 0.052888
E2M1 5024 0.25637 3.9007 0 0
M1 5028 0.25657 3.8976 0.2641 0.067761
sM1 5025 0.25642 3.8999 0 0
fallaM1 1 5.1028e-005 19597.018 0.027756 1.4163e-006
eM2 5021 0.25621 3.903 0 0
M2 5020 0.25616 3.9038 0.20669 0.052947
eM3 5020 0.25616 3.9038 0 0
M3 5020 0.25616 3.9038 0.27968 0.071643
sM3 5020 0.25616 3.9038 0.26828 0.068723
EB 4970 0.25361 3.9431 0.28924 0.073353
eM4 4946 0.25239 3.9622 0.21896 0.055262
M4 4946 0.25239 3.9622 0.25796 0.065106
sM4 4946 0.25239 3.9622 0.22636 0.05713
BG1 4939 0.25203 3.9678 0.21257 0.053573
E2M3 5021 0.25621 3.903 0.20618 0.052826
eB 4970 0.25361 3.9431 0 0
eM1 5028 0.25657 3.8976 0.23052 0.059146
repM1 1 5.1028e-005 19597.018 0.81751 4.1716e-005
errorM1 4 0.00020411 4899.2545 0.099777 2.0366e-005
eBo 4969 0.25356 3.9439 0.25157 0.063789
sBo 4968 0.25351 3.9446 0.26164 0.066327
SB 4968 0.25351 3.9446 0.27506 0.069729
fallaBo 8 0.00040823 2449.6272 0.2838 0.00011585
repBo 8 0.00040823 2449.6272 39.9037 0.01629
errorM3 49 0.0025004 399.9391 6.669 0.016675
fallaM23 6 0.00030617 3266.1697 0.2894 8.8605e-005
repM23 6 0.00030617 3266.1697 51.68 0.015823
errorB 21 0.0010716 933.1913 10.5627 0.011319
errorM4 6 0.00030617 3266.1697 0.17757 5.4367e-005
fallaM4 8 0.00040823 2449.6272 0.091111 3.7194e-005
repM4 8 0.00040823 2449.6272 22.8601 0.0093321
168
Las estadísticas de las transiciones permiten conocer el desempeño de cada
subproceso, y por ende el de la producción general.
El índice SERVICE DIST (SD) de la transición de salida, indica el ritmo de
producción; para este caso 9678.3)1( =BGSD . Este índice puede servir para
interpretar el funcionamiento del conjunto y llevar el análisis a un nivel más
general.
El índice SERVICE SUM (SS) de las transiciones relacionadas con error,
muestra el número de veces que se ha detectado una falla en los productos,
por lo tanto da una idea de cuan efectiva es la producción.
De utilizar una función de costes, que relacione el trabajo de cada máquina
con su consumo de recursos (por ejemplo energía), a través del SS podría
obtenerse el costo total por funcionamiento del sistema con respecto de la
producción.
A partir de los datos mencionados, es posible generalizar toda esta etapa
previa al barnizado. Para esto se tomará en cuenta el ritmo de producción
9678.3)1( =BGSD , el retardo de la entrada al sistema 1/1 11 =MEλ , la
capacidad de proceso 1375642.12.)( ≈=CapPI , de la siguiente manera:
Figura 4.46
169
4.4.6. VISTA GENERAL DE LA FÁBRICA
4.4.6.1. Características Generales
A continuación se presenta una vista general de la fábrica, en donde se
coloca cada etapa en su zona correspondiente según indica la figura
4.12., describiéndose además las características de ésta:
Figura 4.47 Esquema de la planta de producción de motores universales
- La etapa A1, correspondiente a la etapa de fabricación de rotores
previa al barnizado, ha sido desarrollada extensamente en los temas
anteriores y está condensada en la PN de la figura 4.46.
- La etapa A2 corresponde al barnizado de rotores bobinados. Este
proceso corresponde a la acción de un horno, dentro del cual se
realizan las funciones de impregnado de barniz y secado. Como se
aprecia en la figura 4.47, la ejecución de estas actividades se realiza
con 75 rotores por vez, en un tiempo de 100 ut.
A1 A2 A3
B C
170
- La etapa A3 corresponde al ajuste y prueba del rotor. A estas
operaciones, en el mejor de los casos, ingresa un rotor cada unidad de
tiempo, teniendo un ritmo medio de producción igual a un rotor cada 3
ut. La capacidad de de procesamiento de esta etapa es de 10 rotores
semiacabados.
- La etapa B corresponde a la línea de producción de estatores. Esta
etapa tiene una capacidad de procesamiento de 10 estatores, con un
ritmo de producción de 5 estatores cada 27 ut.
- La etapa C corresponde a la línea de ensamblaje de estator y rotor. En
este proceso se arman y prueban 15 motores. El ensamblaje empieza
recolectando un par rotor y estator a un ritmo máximo de 1 par cada ut.
La salida de motores terminados se hace a un ritmo de 1 motor cada
3.5 ut.
- Toda etapa tiene Buffers Grandes (BG), para entrada de recursos y
salida de productos. La capacidad de estos buffers es de 150
unidades.
El objetivo de esta parte del caso de estudio, es probar el PNTOOL en la
simulación de PN No Ordinarias, Temporalizadas, Estocásticas.
Se plantea el caso de encontrar un número mínimo de vehículos para
transporte de material, que permitan a la planta funcionar con su mejor
ritmo y de la manera adecuada. La simulación puede ser con este
objetivo pero, en primera instancia, es necesario diseñar el modelo.
4.4.6.2. Diseño del modelo y obtención de condiciones óptimas para el funcionamiento
El transporte de productos y recursos debe hacerse de etapa a etapa, a
través de vehículos de transporte, los mismos que aseguran confiabilidad
en el desempeño de esta tarea, por no arriesgar su carga.
171
Supóngase que cada etapa solicita el Vehículo de Carga (VC) cuando su
buffer de entrada o salida está a la mitad, para que éste cumpla con las
labores de, respectivamente, transporte de recursos desde los
abastecimientos, y de productos hasta la etapa siguiente. Esto puede
verse de la siguiente manera:
Figura 4.48
- Para los lugares, las siglas CEBG indican Colocar en la Entrada de Buffer
Grande, mientras que RSBG indican Recoger de la Salida del Buffer
Grande.
- En rojo las tareas de transporte que deben ser realizadas. Las
transiciones correspondientes a las tareas de transporte, llevan un retardo
asociado a las mismas. Tanto A1A2, A2A3, A3C como BC, se relacionan
con el traspaso de productos entre etapas y demoran 20 ut cada una. Las
172
transiciones RA0 y RB están relacionadas con el abastecimiento de
recursos para las etapas A0 y B, demoran 30 ut cada una. La transición
relacionada con la salida de motores terminados SC demora 15 ut.
- Las tareas del sistema comparten vehículos, recurso que es representado
por el lugar VEHÍCULOS, mismo que es indispensable para realizar las
tareas de transporte de subproductos y recursos entre las etapas. Cada
tarea de transporte debe recoger un vehículo al ser iniciada y devolverlo
al terminarse. En azul la red correspondiente al uso de este recurso.
- Como es obvio, el transportar subproductos a un buffer lleno resultaría en
demoras innecesarias, se restringe el sistema a través de los arcos
inhibidores en verde. Estos arcos deben obligar a que el inicio de la tarea
de transporte se de si en el buffer de llegada hay al menos espacio
suficiente para una carga de subproductos (es decir de 75 unidades), por
lo que se les coloca un peso de 75.
Simulando a través de DESIGN, para observar como responde la
productividad del sistema en función del numero de vehículos de transporte,
se obtiene las siguientes figuras.
173
SD(SC, X=2): 230.7 SD(SC, X=5): 213.7
Figura 4.49 SERVICE DIST en SC
ARR(VEHICULOS,X2)=0.333 ARR(VEHICULOS,X2)=0.34
Figura 4.50 ARRIVAL RATE en VEHICULOS
174
Las figuras 4.49 y 4.50 indican que para un número de vehículos X=2 y X=5,
existen picos que indican máximos del ritmo de producción, a la vez que
máxima utilización de los vehículos. Esto puede resultar de importancia en
tanto que, una pequeña diferencia en el nivel de producción puede verse
recompensada en un gran ahorro de la inversión relacionada con la compra
de vehículos.
175
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
5.1. CONCLUSIONES
Un DEV es un sistema cuyo comportamiento esta reflejado por la relación entre
un conjunto concatenado de eventos entrada, con otro de salida o respuesta.
Los GE son herramientas que permiten describir en forma gráfica y analítica un
DEV. Se componen de nodos, que indican estados, y de arcos, que
representan la relación entre estos.
Las PN son GE del tipo dirigido bipartito, cuyas aplicaciones radican en la
modelación, el análisis y el control de DEVs. Estas pueden representar los
estados de un sistema en forma puntual o distribuida, condensando
funcionalidad y dinámica en una entidad lógica de simple entendimiento.
Los modelos basados en PN permiten recrear el comportamiento de las
variables vinculadas a un DEV dentro de un entorno simulado. Por esta razón
resultan de gran valor cuando se necesita comprobar supuestos, cuyas
pruebas equivalentes sobre una planta real tendrían costo o riesgo alto.
Las PN permiten diseñar plantas en base a objetivos y condiciones, pues sus
modelos están en la capacidad de anticipar características de funcionamiento
real. Esto a la vez permite validar los objetivos y verificar sus requerimientos.
Las extensiones son estructuras o reglas adicionales, que complementan a las
PN. Estas pueden ser de tiempo, decisión o complejidad.
Los TMG permiten modelar DES en los que sea suficiente una interpretación
temporal determinista, es decir, que incluyan sincronizaciones pero estén libres
de conflictos.
176
El álgebra de semianillos es aplicable en la descripción matemática de GE
dirigidos unipartitos, por lo que pueden relacionarse directamente con los TMG.
Los modelos matemáticos de TMG permiten, mediante cálculo y sin necesidad
de ejecutar paso a paso la red, obtener la respuesta de un sistema a una
entrada determinada.
Las PN estocásticas incluyen un tipo de interpretación temporal con política de
resolución de conflictos. Los retardos son del tipo aleatorio y están asociados
únicamente a las transiciones.
Un modelo de estocástico representa un sistema en el cual existen variables
con características de tipo aleatorias. Un modelo de Markov es un modelo
estocástico cuyas variables cambian con una media definida, y su dinámica
cumple con la propiedad de perdida de memoria.
Los modelos de Markov con espacio de estados discreto, pueden ser descritos
a través de una MC. La resolución del sistema de ecuaciones implícito en la
MC define el comportamiento de estado estable del sistema.
Se denomina SPN a las PN cuyas transiciones tienen retardo aleatorio del tipo
Markov. El CT de los modelos basados en SPN, equivale a la MC del sistema.
Las GSPN difieren de las SPN únicamente por la presencia de transiciones
inmediatas. A diferencia de las SPN, estas incluyen a la MC estados espurios,
o de duración cero, mismos que pueden ser absorbidos por los estados
siguientes.
La solución del estado estable de la MC, conjuntamente con la estructura de la
SPN, permite obtener Índices que aproximan el comportamiento de estado
estable de un sistema en general, o de una parte del mismo.
177
El espacio de estados de una SPN o GSPN puede resultar muy extenso, por lo
que la MC presentaría un sistema de ecuaciones con seria dificultad de
resolución.
Si un modelo basado en PN no puede llevarse a formas simplificadas, que
permitan su análisis matemático, necesariamente debe ser estudiado a través
de herramientas computacionales.
El Petri Net Toolbox del Matlab ofrece una completa variedad de herramientas
para la construcción, ejecución y análisis de PN. Entre estas se puede
destacar las enfocadas a describir características estructurales y
comportamiento de la PN, las relacionadas con la medición y presentación de
gráficas de índices, las relacionadas con el cálculo de respuestas bajo álgebra
de semianillos y la ejecución de redes estocásticas con variadas funciones de
distribución de probabilidad.
178
5.2. RECOMENDACIONES
Deberían implementarse modelos de PN en la programación de controladores,
puesto que gracias a su simplicidad en la representación de ramificaciones
condicionales y secuencias cíclicas, se conseguiría un mejor manejo de los
flujos de ejecución de subrutinas. Además, la poca dificultad de los modelos de
PN, permite incluso flexibilizar la estructura de los programas de control.
El estudio de las PN se extiende continuamente, abriéndose campo
especialmente en el área de la programación. Por tal razón, es pertinente
realizar investigación en esta área, para al menos acoplarse a las tendencias y
permitir evolucionar las necesidades y soluciones de la ingeniería relacionada.
Para aplicaciones de control de DES, a partir de la teoría de sistemas, es
importante profundizar en el análisis de PN mediante al álgebra de semianillos.
A pesar de que este sea un campo en desarrollo, ofrece grandes perspectivas
en áreas manufactura automática, su control robusto y temas afines como se
indica en [8] y [9].
En vista de que presentan dificultad de resolución las SPN y GSPN
relacionadas a MC de gran extensión, se han planteado técnicas tensoriales
que involucran la estructura de la PN, para descartar los estados no influyentes
y simplificar el sistema de ecuaciones implícito. Por esta razón y debido a que
muchos de los casos de aplicación más próximos al área de ingeniería están
relacionados con modelos PN complejos, resulta de especial importancia que
se realice investigación en esta área.
Los modelos de PN ofrecen los resultados mas satisfactorios para DES, por lo
que son la mejor opción como ambiente de aprendizaje para los sistemas
inteligentes relacionados a éstos.
179
Este trabajo esta enfocado en demostrar el uso de las PN en la modelación de
un DES y el análisis de su comportamiento. Debido a esto, apenas roza las
temáticas relacionadas a la Productividad y la Confiabilidad, por lo que
resultaría de gran interés, expandir es estudio realizado a estas áreas.
Dado que este trabajo expone la suficiente teoría sobre las PN, la aplicación en
la modelación, análisis y control de plantas reales estaría sustentada. Por esta
razón se sugiere experimentar los fundamentos aquí expuestos, en los diversas
manifestaciones de los DES, que están al alcance de la ingeniería de Control.
Entre estos cabe destacar los sistemas de manufactura flexible, con
organización flow, job y work shop, y con estrategias de control push y pull
production, debido a su importancia ya probada en el desarrollo industrial de
otros países.
180
6. ANEXOS
181
6.1. ANEXO A
6.1.1. SEMIANILLOS
Un semianillo es un conjunto S dentro del cual se de definen las operaciones
suma y multiplicación, representadas respectivamente por ⊕ y ⊗ , cuyos
elementos cumplen los axiomas:
Para la suma ⊕ :
- Asociativa;
( ) ( )cbacba ⊕⊕=⊕⊕
- Conmutativa;
abba ⊕=⊕
- Existe un elemento nulo ε :
aaa =⊕=⊕ εε
Para la multiplicación ⊗ :
- Asociativa;
( ) ( )cbacba ⊗⊗=⊗⊗
- Distributiva, sea por la derecha o por la izquierda, con respecto de la ⊕ ;
( ) cabacba ⊗⊕⊗=⊕⊗
( ) acabacb ⊗⊕⊗=⊗⊕
- Existe un elemento unidad e;
aeaae =⊗=⊗
- El elemento nulo ε es absorbente;
εε ⊗=⊗ aa
Algunas otras definiciones importantes son:
� Semianillo conmutativo. Un semianillo es conmutativo si la ⊗ es
conmutativa abba ⊗=⊗ .
182
� Semianillo Idempotente o Dioide. Se conoce con estos nombres al
semianillo en el cual la suma ⊕ cumple ( )aaa =⊕ .
Ejemplo 6.1 Semianillos:
S ⊕ ⊗ ε e Aplicación Nombre
Semianillos idempotentes
{ }∞+∪R min + ∞+ 0 Camino mas corto minR
{ }∞−∪R max + ∞− 0 Camino mas largo maxR
{ }1,0 max min 0 1 Lógica B
Semianillos no idempotentes
+R + x 0 1 Probabilidad +R
Tabla 6.1. Semianillos más utilizados
� Moduloide o dioide de Matrices. Se denomina Moduloide a la
equivalencia de dioide en espacios matriciales. Posee las mismas
operaciones escalares de un dioide. En forma matricial y en concordancia
con el álgebra convencional, ⊕ es una operación interna mientras que ⊗
es externa.
Esto indica que para 2 matrices A y B de igual dimensión la suma es:
Y que para 2 matrices nmA × y onB × se tiene:
De esta última se puede inferir que la operación Ae/ implica:
( ) ijijij BABA ⊕=⊕ (6.1)
( ) kijik
n
kij BABA ⊕=⊗ ⊕
(6.2)
183
Si A y B son matrices que representan grafos de transición o
precedencia:
- BA⊕ corresponde a su composición en paralelo.
- BA⊗ representa su composición en serie.
El significado de estas operaciones varia según la concepción; por
ejemplo en álgebra maxR el producto matricial equivale a la búsqueda del
camino de mayor peso de un nodo A a otro en B
6.1.2. ÁLGEBRA MAX - PLUS maxR
En base al dioide maxR pueden establecerse dioides de matrices polinomios
y series de potencias. Por esto y su relación con GE, ha sido usado para
representar matemáticamente la dinámica de DES en forma de sistemas de
ecuaciones.
En maxR la ⊕ de 2 cantidades es el máximo de estas y la ⊗ es la suma
convencional de las mismas, por lo tanto 0=e y −∞=ε . También se utiliza
el símbolo / que representa la operación inversa de ⊗ el cual en notación
convencional equivale a la resta.
Bajo el punto de vista maxR existen diversas operaciones un tanto más
complicadas y con diferentes significados, pero se estudiará las anotadas
puesto que, en base a estas, se desarrollarán expresiones dentro del
presente documento. Una definición extensa y detallada de estas u otras
operaciones se puede encontrar en los textos [5], [6], [7] y [8].
La siguiente tabla ejemplifica el uso de operaciones en Max -Plus.
( ) jiij AAe −=/ (6.3)
184
Tabla 6.2. Ejemplos Max -Plus
Notación maxR Notación convencional
cba ⊕⊕ ( )cba ,,max
ab ba = abba ×=×
( ) ccc baba ⊕=⊕ ( ) ( )bcacbac ××=× ,max,max
( ) εε =⊗⊗ ae ( ) ( ) −∞=∞−++ a0
b a b
a
( ) ( )baba ⊕⊗ / ( ) ( ) ),min(,max bababa =−+
6.1.2.2. Función Afín y Ecuación Afín
Figura 6.1 Función afín
Se define como función afín a ( )( )maxmaxmax ,;|: RbabaxxfRRf ∈⊕=→ . La
forma general de una ecuación afín es la siguiente:
No se la expresa de la forma ε=⊕ bax debido a que no existe operación
inversa de ⊕ y por tanto la ecuación no tendría una solución bien
definida.
'' bxabax ⊕=⊕ (6.4)
Rmax
Rmax Convencional
( ) ( )baxxf ,max += Max –Plus
( ) baxxf ⊕=
185
Figura 6.2 Ecuación afín
Su solución depende de los parámetros, de acuerdo a la siguiente tabla:
Tabla 6.3. Soluciones para una Ecuación Afín
Ecuación Afín '' bxabax ⊕=⊕ Soluciones
( )'aa < y ( )'bb > o
( )aa <' y ( )bb >' ( ) ( )'/' aabbx ⊕⊕=
'aa ≠ y 'bb ≠ maxRx∉
'aa = y 'bb ≠ ( ) abbx /'⊕≥
'aa ≠ y 'bb = ( )'/ aabx ⊕≤
'aa = y 'bb = maxRx =
Éstas soluciones engloban casos como axbax =⊕ , , bbax =⊕ etc.
6.1.2.3. GE y Ecuaciones en MAX – PLUS
Un sistema de ecuaciones afines simultáneas puede expresarse en su
forma general a través de matrices, que a su vez representen grafos de
precedencia, de la siguiente manera:
'' BxABAx ⊕=⊕ (6.5)
Rmax
Rmax
186
No siempre es posible encontrar solución satisfactoria. Siguiendo los
siguientes pasos se puede encontrar una solución:
- Simplificar de acuerdo a:
ε=→< ijijij AAA ' o ε=→< ijijij AAA '' y
ε=→< iii BBB ' o ε=→< iii BBB ''
- Hacer reemplazos de ecuaciones hasta llegar a una forma conforme a
la tabla 6.3.
Existen métodos de resolución satisfactoria solo para las siguientes
formas canónicas.
� Solución de bAx = . El despejar esta ecuación no siempre lleva a su
solución, sino más bien a su mayor sub solución. Una sub solución de
bAx = es toda cantidad que satisface la inecuación bAx≤ .
Despejando se constata que bAx = y bAx≤ coinciden en un valor x
que no necesariamente es la solución. Se tiene
( )( )( ) ( )
( )Abexe
AbeAAxe
beAxe
bAx
//
//
//
==
==
( )( )
( ) iAbx
iAbx
ibAx
bxAbAx
ijji
j
ijji
j
jijji
iiijj
∀+−≥−
∀−≤
∀≤−
≤→≤ ⊕
max
min
max
bAx = (6.6)
bAxx ⊕= (6.7)
( ) iAbx ijji
j ∀+−=− max (6.8)
187
Si existe solución para este tipo de ecuación, esta es igual a su mayor
sub solución, es decir tal sub solución debe cumplir con la igualdad.
Ejemplo 6.2
Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones.
a).
=
3
7
1
65
2
1
x
x
ε
( ) ( ) ( )121
6537/ −−=
−−=
εAbe
Esta es la mayor sub solución, y para ser solución debe cumplir la condición
impuesta por la ecuación. Esto se comprueba reemplazando en la ecuación
original:
=
3
7
1
2
1
65
ε
Si cumple, por lo tanto es solución.
b).
=
7
7
1
65
2
1
x
x
ε
( ) ( ) ( )121
6577/ −−=
−−=
εAbe
Reemplazando en la ecuación inicial
≤
=
7
7
3
7
1
2
1
65
ε
En este caso solo se puede encontrar la mayor sub solución.
Solución de la ecuación implícita bAxx ⊕= . Para resolver esta
ecuación resulta conveniente aplicar la definición de la sumatoria
denominada estrella de Kleene de A , que tiene la siguiente forma:
188
i
iAA
0
*
=⊕= (6.9)
El valor dado por la expresión (6.9) indica el peso máximo de entre
todos los caminos posibles entre 2 vértices j e i cualesquiera del
grafo asociado a A .
La estrella de Kleene as aplicable para cualquier a A , sea esta una
matriz cuadrada, un valor escalar, un monomio o una función
cualquiera en su Dioide correspondiente. A continuación, se
demuestra a breves rasgos el por que de esta expresión.
( )
( )( )BAx
BAAAeBABAABBx
xAABBBBAxAx
BAxx
i
i 0
3232
2
......
=⊕=
⊕⊕⊕⊕=⊕⊕⊕⊕=
⊕⊕=⊕⊕=
⊕=
M
Nótese que esta es una solución para la forma de ecuación implícita
6.7, sin importar el tipo de dioide en el que este aplicada. Para el caso
de este trabajo se utilizará en el dioide completo maxR .
Antes de definir las características de esta solución, es necesario
esclarecer que las componentes de un GE temporalizado, fuertemente
conexo, descrito por una matriz A , tiene:
- Circuitos con Peso Positivo, si su KA crece indefinidamente con el
valor de K . Para un TMG esta condición indica un problema de
vivacidad, pues se relacionan con el incremento continuo del tiempo
necesario para la habilitación de transiciones, lo que a la larga
produciría el estancamiento de la red.
BAx ∗= (6.10)
189
- Todos sus Circuitos con peso negativo, si su ε→KA cuando el valor
de ∞→K .
- Todos sus Circuitos con peso cero, si el valor de KA siempre es el
mismo.
En [5] y [6], se establece que si el grafo relacionado no posee circuitos
con Peso Positivo, la solución a la ecuación 6.7 expresada en 6.9
existe; misma que es única si este tiene solamente circuitos negativos.
Además, se indica que en tales casos la serie Kleene puede finalizar en
el término 1−n , donde n es el orden de A , debido a la no influencia
de los términos siguientes.
Para la resolución de ecuaciones es necesario tomar en cuenta que la
suma absorbe los términos menos influyentes, a través de su
característica de maximización.
La siguiente tabla presenta algunas identidades de utilidad para la
resolución de ecuaciones:
Figura 6.3 Identidades de utilidad
( ) *** baba =⊕ (6.11)
( ) ( )*** baaeab ⊕⊕= (6.12)
+= aaa* (6.13)
*** aaa = (6.14)
+++ = aaa (6.15)
Ejemplo 6.3
Resolver el siguiente sistema:
190
⊕
=
7
1
05
1
2
1
2
1
x
x
x
x ε
=
⊕⊕⊕⊕⊕⊕
=⊕
⊕
⊕
⊕
=
⊕
⊕
⊕
⊕
=
⊕
⊕
⊕
⊕
=
=
61
11
876
321
8
4
7
3
6
2
1
1
....1
1
07
3
1
1
06
2
1
1
05
1
1
1
1
1....
05
1
05
1
05
1
1
1
05
1
*
*
2
1
2
1
32*
2
1
L
LL
x
x
e
e
x
x
e
e
x
x
εεεε
ε
εεεε
εε
=
6
11*
2
1
x
x
191
6.2. ANEXO B
6.2.1. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Los procesos estocásticos son una descripción matemática de fenómenos
aleatorios, mediante funciones relacionadas muy a menudo con la variable
tiempo [9].
Se lo puede considerar como un conjunto S de estados ( )tM , relacionados
a un conjunto T de instantes t , es decir ( ){ }Ttt ∈∈ SM .
Para definir un proceso estocástico, además de los estados es necesario
que se indique una Función de Distribución de Probabilidad F , o una
Función de Densidad de Probabilidad f , como se indica en las siguientes
expresiones:
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }L,,,, 332211 mMmMmMPmFMF ≤≤≤== ttttt (6.16)
( ) ( )x
mFmf
∂∂= t
t,
, (6.17)
Se entiende que ( )[ ]nMF t es la probabilidad de que el estado ( )nM t sea
menor o igual que un valor nm .
6.2.2. PROCESOS DE MARKOV
Un proceso estocástico es un proceso de Markov si se cumple la siguiente
propiedad, denominada “Propiedad de Markov”:
La propiedad de Markov implica que las funciones ( )tM y m pueden tener
un origen arbitrario 0M , haciendo ( ){ }nn mMmMP =≤− 0|tt , lo cual quita
( )[ ] ( ) ( ){ } ttttttt <<<<=≤= nnn mMmMPMF ....| 10 (6.18)
192
relevancia a lo ocurrido antes de 0M . Tal implicación indica que si se
considera a 0M como estado actual, los estados venideros solo dependen
de este; esta propiedad es conocida con el nombre de “perdida de memoria”,
también expresada como:
Donde X es una variable aleatoria correspondiente al intervalo de tiempo a
partir del cual cambia de estado.
En otras palabras, toda la información pasada relevante se condensa el
estado actual, a partir del cual se puede probabilísticamente definir el futuro
del sistema.
Las únicas F que cumplen la propiedad de pérdida de memoria son,
respectivamente para procesos de tiempo continuo y discreto, la distribución
exponencial negativa y la distribución geométrica.
En adelante se tratara problemas relacionados con tiempo continuo, por lo
que únicamente se indicará la Función de Distribución de Probabilidad
exponencial negativa. Mayor información sobre estos temas se puede
encontrar en la referencia [9]
La F exponencial negativa indica la probabilidad de que un cambio de
estado se de en un intervalo de tiempo xX ≤≤0 . Tiene la forma:
( )[ ] ( )[ ] xx
tx
edtedMfMF λλλ −− −=== ∫∫ 100
ttt (6.20)
{ } { }htht >=>+> XPXXP | (6.19)
193
Figura 6.4 Función de Distribución de Probabilidad de Markov
Donde λ es la tasa de cambio de los estados ( ) ( )1tt +→ MM , igual al
reciproco del tiempo medio de servicio de la transición que hace posible este
cambio, o en otras palabras, el tiempo medio de estancia en ( )tM antes de
pasar a ( )1t +M .
6.2.3. CADENAS DE MARKOV
6.2.3.1. Generalidades
Se conoce como Cadenas de Markov (Markov Chain MC) a los Procesos
de Markov con espacio de estados discreto y son aplicadas en el
modelado y análisis de DES.
A manera de grafo, las MC están constituidas por una secuencia de
estados donde se representa fielmente la única dependencia de cada
estado ( )1t +M con su predecesor ( )tM .
194
Figura 6.5 Cadena de Markov
Las Cadenas de Markov pueden ser de tiempo continuo o discreto según
la característica de su variable. A continuación se presenta la descripción
de MC de tiempo continuo.
Una MC por ser un grafo puede describirse con la tripleta { }WTS ,,
donde:
- S es un conjunto de nodos, donde cada nodo representa uno de k
estados M .
- T es un conjunto de arcos dirigidos ijt , que representan cada uno la
transición o cambio de un estado iM a otro jM .
- W es un conjunto de pesos asociados a los arcos ijt , cuyo valor puede
ser ijp o ijλ , que son respectivamente la probabilidad o la tasa de
ocurrencia de ijt .
6.2.3.2. Descripción matemática de una MC
La dinámica de un MC responde a la siguiente ecuación:
Donde ijp y ( )tiπ son probabilidades de que exista, respectivamente, una
transición de estado ijt y un estado ( )tiM .
Que en forma matricial se expresa:
( ) ( ) iji
ij p.∑=+ t1t ππ (6.21)
( ) ( )Pt1t ππ =+ (6.22)
195
Siendo P una matriz cuadrada y ( )tπ un vector fila con dimensión k ,
correspondiente al número de estados.
En general, el análisis del estado dinámico tiene sentido en caso de que
existan estados finales absorbentes cuyo estudio no sea relevante; esto
quiere decir, cuando interese la evolución del sistema del estado inicial al
absorbente.
Puesto que los objetivos de este documento se relacionan con PN vivas y,
por ende, con el comportamiento de estado estable en la MC, no se
estudiara más acerca de la ecuación 6.22. De requerirse mayor
información se puede consultar en la referencia [9].
En estado estable ( ) ( ) πππ ==+ t1t , por lo tanto:
Pππ =
0)( =− PIπ
Donde Q es una matriz compuesta por las tasas de transición o cambio
de estado, también denominada la matriz generadora infinitesimal por su
relación en estado dinámico (ver referencia [9]).
Esta matriz se la construye en base a las siguientes reglas:
Cada valor iq en la diagonal en Q, puede entenderse como la velocidad
con la que el sistema sale del estado iM , o el reciproco del tiempo medio
0. =Qπ (6.23)
=−
≠=
∑
∑ji
jiq
nin
ijij
ij λ
λ (6.24)
196
de estancia en tal estado (Sojourn Time SJ), como se muestra a
continuación:
Para encontrar la solución π de la ecuación 6.23, es necesario tomar en
cuenta que la probabilidad para que cualquier estado se de es total, es
decir que 1.....21 =++ππ . Esto puede verse a través de la expresión
siguiente
Donde e es un vector columna con sus k elementos iguales a 1. Para
resolver en forma matricial nos valemos de la matriz kxkE , que tiene todos
sus elementos iguales a 1. Así, 6.26 puede verse de la forma:
Reemplazando 6.27 en 6.23 y despejando, se encuentra que la solución
del estado estable es:
eEQ =+ .. ππ
( ) eEQ =+.π
La interpretación de esta solución permite describir varios aspectos de la
MC, según sea el caso de estudio. De esta solución se pueden abstraer
criterios importantes, como la probabilidad de que una transición se
dispare en un estado (6.29), o Índices de Rendimiento de una PN
estocástica presentados en la sección 3.6.3.
SJq
nini
1==∑λ (6.25)
1. =eπ (6.26)
eE =.π (6.27)
( ) 1. −+= EQeπ (6.28)
( )i
kik q
MTλπ =,
(6.29)
197
6.3. ANEXO C
6.3.1. RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Las expresiones del tipo bAx = , bAx≥ , bAx≤ , considerando nmA × y A, x, b
como variables que pueden ser de carácter real, binario, etc., tienen por lo
general una resolución matemática iterativa. Esta tarea se relaciona a
menudo con la búsqueda de soluciones óptimas con respecto a una función
de costo. Todos estos aspectos se ven contemplados dentro del área de la
Programación Lineal.
La referencia [29] ofrece información acerca de estos temas, además de
software especializado en la resolución de sistemas semejantes.
Para el ejercicio 3.6, se necesita hallar la solución a la ecuación de estado
σ.TAM =∆ . Al proceso de resolución se debe adicionar una Función de
Costo C(T), sobre la cual las iteraciones buscan la mejor solución σ ,
entendiéndose que el objetivo es encontrar el menor σ . El ejemplo 3.6
puede verse:
σ.TAM =∆ 2.
1111
1110
1011
1
1
0
σ
−−−−−
=
− ( ) 2.1111)( σ=TC
En la resolución del ejemplo 3.6, se utilizará el paquete computacional
demostrativo GAMS, auspiciado por [29], en la realización de una rutina que,
entre otras cosas, permite encontrar la solución minimal ( )xxx i ∈≤min , de las
ecuaciones del tipo bAx = . Para esto se hace necesario insertar líneas de
comandos, mismas que pueden ser aplicadas para resolución de problemas
semejantes, redefiniendo los valores de )( pDMM =∆ y TATPAt =),( , y
tienen la forma siguiente:
198
$Title Solución Minimal de la Ecuación de Estado Sets P lugares / p1, p2, p3/ T transiciones / t1, t2, t3, t4/ PARAMETERS DM(P) variación de la marca /p1 0 p2 1 p3 -1/ C(T) coste de disparos /t1 1 t2 1 t3 1 t4 1/ Table At(P,T) matriz de transición transpuesta t1 t2 t3 t4 p1 1 -1 -1 0 p2 -1 1 1 1 p3 0 0 -1 -1 VARIABLES z valor de la funcion objetivo x(T) transiciones disparadas; POSITIVE VARIABLE x(T) EQUATIONS COST funcion a minimizar ECUEST(P) ecuacion de estado; COST .. z=E=SUM(T,C(T)*x(T)); ECUEST(P) .. SUM(T,At(P,T)*x(T))=E=DM(P); MODEL RedesPetri /ALL/; SOLVE RedesPetri USING lp MINIMIZING z;
Las salidas del programa se presentan en la forma:
---- COST =E= funcion a minimizar COST.. z - x(t1) - x(t2) - x(t3) - x(t4) =E= 0 ; (LHS = 0) ---- ECUEST =E= ecuacion de estado ECUEST(p1).. x(t1) - x(t2) - x(t3) =E= 0 ; (LHS = 0) ECUEST(p2).. - x(t1) + x(t2) + x(t3) + x(t4) =E= 1 ; (LHS = 0, INFES = 1 ***) ECUEST(p3).. - x(t3) - x(t4) =E= -1 ; (LHS = 0, INFES = 1 ***) ---- z valor de la funcion objetivo z (.LO, .L, .UP = -INF, 0, +INF) 1 COST ---- x transiciones disparadas x(t1) (.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF) -1 COST 1 ECUEST(p1) -1 ECUEST(p2) x(t2) (.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF) -1 COST
199
-1 ECUEST(p1) 1 ECUEST(p2) x(t3) (.LO, .L, .UP = 0, 0, +INF) -1 COST -1 ECUEST(p1) 1 ECUEST(p2) -1 ECUEST(p3) REMAINING ENTRY SKIPPED MODEL STATISTICS BLOCKS OF EQUATIONS 2 SINGLE EQUATIONS 4 BLOCKS OF VARIABLES 2 SINGLE VARIABLES 5 NON ZERO ELEMENTS 14 GENERATION TIME = 0.000 SECONDS 4 Mb WIN222-145 Apr 21, 2006 EXECUTION TIME = 0.000 SECONDS 4 Mb WIN222-145 Apr 21, 2006 S O L V E S U M M A R Y MODEL RedesPetri OBJECTIVE z TYPE LP DIRECTION MINIMIZE SOLVER CPLEX FROM LINE 41 **** SOLVER STATUS 1 NORMAL COMPLETION **** MODEL STATUS 1 OPTIMAL **** OBJECTIVE VALUE 1.0000 RESOURCE USAGE, LIMIT 0.031 1000.000 ITERATION COUNT, LIMIT 0 10000 Optimal solution found. Objective : 1.000000 LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- EQU COST . . . 1.000 COST funcion a minimizar ---- EQU ECUEST ecuacion de estado LOWER LEVEL UPPER MARGINAL p1 . . . EPS p2 1.000 1.000 1.000 -1.000 p3 -1.000 -1.000 -1.000 -2.000 LOWER LEVEL UPPER MARGINAL ---- VAR z -INF 1.000 +INF . z valor de la funcion objetivo ---- VAR x transiciones disparadas LOWER LEVEL UPPER MARGINAL t1 . . +INF . t2 . . +INF 2.000 t3 . . +INF . t4 . 1.000 +INF . **** REPORT SUMMARY : 0 NONOPT 0 INFEASIBLE 0 UNBOUNDED
De donde se extrae la respuesta requerida ( )T1000min2 =σ
200
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Libros : [1] KOFMAN, Ernesto. Simulación y Control de Sistemas Continuos por Eventos Discretos . Facultad de Ciencias Exactas Ingeniería y Agrimensura Universidad Nacional de Rosario – Argentina. Agosto 2003 [2] GARCÍA, Francisco. Modelado e Implementación de sistemas en Tiempo Real mediante Redes de Petri . Universidad de la Rioja Servicio de Publicaciones ISBN 84-688-1526-8. 2003 [3] JIMENES, Emilio. Técnicas de Automatización Avanzadas en Procesos Industriales. Tesis doctoral Universidad de la Rioja Servicio de Publicaciones ISBN 84-689-0360-4. 2004 [4] LLORENS, Luisa. Redes Reconfigurables Modelización y Verificación. Universidad Politécnica de Valencia Departamento de Sistemas Informáticos y Computación Tesis Doctoral. 2003 [5] J. P. QUADRAT; INRIA-Rocquencourt (Francia). Semi - Anillos en Matemática Aplicada. CUADERNO 28 Instituto Beppo Levi Universidad Nacional de Rosario Argentina. 1999 [6] COHEN, Guy. ENPC & INRIA (Francia). Análisis y Control de Sistemas de Eventos Discretos: de Redes de Petri Temporizadas a l Álgebra. CUADERNO 29 Instituto Beppo Levi Universidad Nacional de Rosario Argentina. 2001 [7] BACCELLI, Francois; COHEN Guy; JAN OLSDER Geert; QUADRAT Jean-Pierre. Synchronization and Linearity An Álgebra for Discr ete Event Systems. Wiley New Cork ISBN 0 471 93609 X. 1992 [8] LHOMMEAU, Mehdi. Étude de Systèmes à Evénements Discrets dans L’Algèbre (max;+). Thèse de doctorat Ecole Doctorale D’Angers Université D’Angers. décembre 2003 [9] MARSAN, M. Ajmone; BALBO Gianfranco; CONTE Gianni; DONATELLI Susanna; FRANCESCHINIS Giuliana. Modelling with Generalised Stochastic Petri Nets. Università degli studi di Torino Dipartimento di Informatica. February 1994 Artículos: [10] KOFMAN, Ernesto; FELICION Flavia. Simulación por Eventos Discretos de Circuitos de Electrónica de Potencia . Departamento de Electrónica Facultad de Ciencias Exactas Ingeniería y Agrimensura Universidad Nacional de Rosario. Riobamba 245 bis - (2000) Rosario - Argentina
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202
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