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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LÓPEZ MATEOS
ANÁLISIS ELECTROMECÁNICO DE UNA
MÁQUINA DE INDUCCIÓN CON ROTOR
JAULA DE ARDILLA EMPLEANDO UN
MODELO DIGITAL
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
I N G E N I E R O E L E C T R I C I S T A
PRESENTAN:
JESÚS SÁNCHEZ CORTÉS
OCTAVIO HERNÁNDEZ GUTIÉRREZ
DIRECTORES DE TESIS:
M. EN C. ISMAEL ALBINO PADILLA
M. EN C. MERCEDES LÁZARO GONZAGA
DR. DAVID SEBASTIÁN BALTAZAR
MÉXICO, D.F. 2011
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LÓPEZ MATEOS"
T E M A D E T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE INGENIERO ELECTRICISTA
POR LA OPCIÓN DE TITULACIÓN ^ COLECTIVA y £XAMEN QRAL INDIVIDUAL
DEBERA(N) DESARROLLAR Q ^ HERNÁNDEZ GUTIÉRREZ
C. JESÚS SÁNCHEZ CORTÉS
"ANÁLISIS ELECTROMECÁNICO DE TJNA MÁQUINA DE INDUCCIÓN CON ROTOR JAULA DEARDILLA EMPLEANDO UN MODELO DIGITAL"
ANALIZAR EL COMPORTAMIENTO DE UNA MÁQUINA DE INDUCCIÓN CON ROTOR JAULA DEARDILLA EN UN MODELO DIGITAL A PARTIR DE LA DETERMINACIÓN DE SUS PARÁMETROS DEMANERA EXPERIMENTAL.
> DETERMINAR LAS INDUCTANCIAS DEL ESTATOR Y ROTOR UTILIZANDO EL MÉTODO DEFUNCIÓN DE DEVANADOS, APLICANDO CONDICIONES DE FRONTERA MAGNÉTICAS.
> OBTENER EL MODELO DE LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN EN EL MARCO DE REFERENCIANATURAL Y EN EL MARCO DE REFERENCIA qdO.
> PARAMETRIZAR LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN CON ROTOR JAULA DE ARDILLA DE MANERAEXPERIMENTAL.
> SIMULAR EL COMPORTAMIENTO DE LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN EN EL RÉGIMEN MOTORY GENERADOR EN SIMULINK DE MATLAB VERSIÓN 6.5, UTILIZANDO LOS PARÁMETROSOBTENIDOS EXPERIMENTALMENTE.
MÉXICO D.F., 16 DE ABRIL 2012.
AS E S O R E S
M. EN C. téMA'EL -ATBINO PADILLA. M. EN C. MERCEDES LÁZARO GONZAGA.
DR. DAVID SEBASTIAN/BALTAZAR.
DAVID RAMÍREZ ORTIZJEFl>EI/DEPARTAMENTO ACADÉMICO
DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Análisis electromecánico de una máquina de inducción con rotor jaula de ardilla
empleando un modelo digital
vii
Dedicatorias
A mis padres Federico Sánchez Ramírez por brindarme siempre su apoyo
y amor infinito en todo momento de mi vida y por siempre alentarme a
seguir adelante; y Gloria Luz Cortés Ríos por su apoyo incondicional en
cada instante que lo he necesitado, por tenderme siempre esa mano
confiable y saber escucharme. Finalmente aquí está el resultado de toda
una carrera trabajando juntos.
A Luis Héctor Sánchez Cortés por el apoyo y cariño de hermano que me ha
dado desde siempre y que tanto agradezco a Dios.
A todos aquellos que de alguna manera han sido parte importante en
momentos duros y alegres de mi vida, en especial a mis amigos Octavio
Hernández Gutiérrez, Alejandra Ruiz Merlos y Ulises Torres Islas.
JESÚS.
A mis padres, este es el resultado de la suma de todos los esfuerzos que
hemos hecho como familia, los amo.
A ese ser especial que siempre ha velado por mí y me ha abierto los
caminos.
A todos mis amigos, por las experiencias que dejaron huella en mí ser.
OCTAVIO.
ix
Agradecimientos
Al M. en C. Ismael Albino Padilla por compartir su talento y muy amplio
conocimiento ya que sin su ayuda y sus consejos la realización de este
trabajo no se hubiera logrado.
A la M. en C. Mercedes Lázaro Gonzaga por el apoyo que siempre me ha
brindado, por el conocimiento transmitido, por su entrega y amor a la
carrera además de ser una excelente consejera en momentos difíciles que se
presentan dentro y fuera de la escuela.
A todos los profesores que a lo largo de mi carrera ayudaron en mi
formación profesional.
JESÚS.
Quiero agradecer a mis padres Adriana Gutiérrez y Octavio Hernández
por apoyarme a lo largo de mi vida y por siempre darme las herramientas
necesarias para enfrentar los retos de la vida.
A la Profesora Mercedes Lázaro que además de tutora es consejera de la
vida compartiéndonos sus ensayos y errores en esos momentos de
desaliento y nublosa incertidumbre.
Al Profesor Ismael Albino por compartirnos sus grandiosos conocimientos,
por su compromiso y entrega para con nosotros y con este proyecto,
gracias.
OCTAVIO.
xi
Glosario de términos
Área [m2]
Campo magnético [Wb/m2]
: Fuerza electromotriz inducida [V]
Campo eléctrico [N/C]
Fuerza contraelectromotriz de línea a neutro [V]
Fuerza electromotriz inducida en el rotor [V]
Función en el marco natural
Fuerza electromotriz [V]
Fuerza magnetomotriz [AV]
Función qd0
Fuerza [N]
Frecuencia de la red [Hz]
Frecuencia del rotor [Hz]
Entrehierro [m]
Intensidad de campo magnético [A/m]
Momento de Inercia [s]
Corriente del rotor [A]
Corriente del estator [A]
Corriente de la fase a, b y c del rotor [A]
Corriente de la fase a, b y c del estator [A]
Corriente qd0 [A]
Corriente de arranque de una máquina de inducción [A]
Corriente base [A]
Corriente de pérdidas en el núcleo [A]
Corriente de cortocircuito o de rotor bloqueado [A]
Corriente de magnetización [A]
xii
Corriente que atraviesa al campo magnético-ley de Ampère [A]
Corriente de corriente directa [A]
Corriente consumida de la red [A]
Corrientes parásitas [A]
Corriente en vacío [A]
Corriente aplicada por fase [A]
Corriente en el devanado del rotor [A]
Corriente en el estator [A]
Corriente de carga o de rotor estacionario [A]
Corriente en el devanado del rotor en estado dinámico [A]
Corriente de excitación [A]
Constante de inercia [kgm2]
Longitud [m]
Longitud de estator [m]
Longitud del conductor afectada por el campo magnético [m]
Inductancia de dispersión del rotor [H]
Inductancia de dispersión del estator [H]
Inductancia de magnetización [H]
Inductancia mutua entre fases del rotor [H]
Inductancia mutua entre fases del estator [H]
Inductancia propia del rotor [H]
Inductancia propia del rotor [H]
Inductancia propia del estator [H]
Inductancia propia del estator [H]
Inductancia propia de la fase a, b y c del rotor [H]
Inductancia mutua de la fase a, b y c entre rotor y estator [H]
Inductancia mutua de la fase a, b y c entre estator y rotor [H]
Inductancia propia de la fase a, b y c del estator [H]
Inductancia del rotor [H]
Masa [kg]
xiii
Masa del rotor [kg]
Momento dipolar magnético [Am2]
Número de fases
Velocidad del rotor [rpm]
Función de conductores
Número de espiras
Número de vueltas del devanado del rotor
Número de vueltas del devanado del estator
( ) Función de devanado del rotor
( ) Función de devanado del estator
Velocidad síncrona [rpm]
Número de polos
Potencia de entrehierro [W]
Potencia de cortocircuito o de rotor bloqueado [W]
Potencia eléctrica [W]
Potencia de entrada [W]
Potencia mecánica [W]
Potencia mecánica interna [W]
Potencia de pérdidas del estator [W]
Potencia qd0 [W]
Potencia de pérdidas rotatorias [W]
Potencia de salida [W]
Potencia útil [W]
Potencia de pérdida en el cobre del estator [W]
Potencia de pérdida en el cobre del rotor [W]
Potencia de pérdida en el hierro [W]
Potencia en vacío [W]
Potencia absorbida de la red [W]
Carga eléctrica [C]
Radio [m]
xiv
Resistencia del núcleo [Ω]
Resistencia del rotor [Ω]
Resistencia del estator [Ω]
Resistencia de carga en el eje del motor [Ω]
Resistencia del devanado del estator [Ω]
Resistencia del devanado del rotor [Ω]
Deslizamiento
Potencia base [VA]
Tiempo [s]
Par [Nm]
Par de amortiguamiento [Nm]
Par base [Nm]
Par electromagnético [Nm]
Par mecánico [Nm]
Par nominal desarrollado en la máquina [Nm]
Par desarrollado a tensión reducida [Nm]
( ) Matriz de transformación qd0
( ) Matriz de transformación qd0 para cantidades del rotor
Velocidad [m/s]
Velocidad con que se corta el campo magnético [m/s].
Tensión [V]
Tensión base [V]
Tensión de cortocircuito o de rotor bloqueado [V]
Tensión de línea a línea [V]
Tensión de paso del autotransformador [V]
Tensión del rotor [V]
Tensión del estator [V]
Tensión de corriente directa [V]
Tensión nominal del autotransformador [V]
Tensión en vacío [V]
xv
Tensión aplicada por fase en el estator [V]
Tensión de línea del estator [V]
Reactancia base [Ω]
Ancho de la espira [m]
Reactancia de magnetización [Ω]
Reactancia de dispersión del rotor referida al estator [Ω]
Reactancia de dispersión del estator [Ω]
Reactancia de dispersión del estator [Ω]
Reactancia de dispersión del rotor en estado estacionario [Ω]
Reactancia de dispersión del rotor en estado dinámico [Ω]
Impedancia de cortocircuito o de rotor bloqueado [Ω]
Impedancia del rotor [Ω]
Impedancia del rotor a frecuencia de deslizamiento [Ω]
Ángulo geométrico [°]
Eficiencia [%]
Ángulo de desfasamiento [°]
Flujo propio de fase [Wb]
Flujo magnético del rotor [Wb]
Flujo magnético del estator [Wb]
Flujo de la fase a, b y c del rotor [Wb]
Flujo de la fase a, b y c del estator [Wb]
Permeabilidad del medio [Wb/AVm]
Permeabilidad del aire = [Wb/AVm]
Ángulo de fase [°]
Flujo magnético [Mx].
Ángulo azimutal [rad]
Diámetro del rotor [m]
Diámetro del estator [m]
Flujo magnético base [Wb]
Velocidad angular del sistema= 377 [rad/s]
xvi
Velocidad angular base [rad/s]
Velocidad mecánica base [rad/s]
Velocidad del rotor [rad/s]
´: Cantidades del rotor referidas al estator
Cantidades qd0 en estado arbitrario
Cantidades qd0 en estado estacionario
Transpuesta
xvii
Resumen
La máquina de inducción en la industria se ha utilizado en su régimen
motor debido a su amplia aplicación. En los últimos años se ha tomado como
tema de relevancia la reducción de emisiones de gases invernadero por medio
de la implementación de energías renovables para la generación de energía
eléctrica; en este tema la máquina de inducción como generador se ha abierto
lugar debido a su bajo costo de producción, bajo mantenimiento así como su
alta confiabilidad. Por lo anterior se ha creado la necesidad de conocer más
del comportamiento de este tipo de máquinas en estado tanto estable como
transitorio.
En este trabajo se realizó un análisis de la parte eléctrica y mecánica de una
máquina de inducción con rotor jaula de ardilla en régimen motor y generador
en el marco de referencia qd0 estacionario, partiendo de la utilización de un
modelo digital e implementando los parámetros obtenidos experimentalmente.
El modelo digital desarrollado por [Chee-Mun, 1998] en Simulink de Matlab
versión 6.5; permitió obtener el comportamiento de la máquina de inducción
mediante cuatro gráficas en función del tiempo (tensiones y corrientes del
estator, par electromagnético y velocidad del rotor). Los resultados obtenidos
fueron validados por medio de la comparación con el comportamiento de una
máquina previamente conocida. Una aportación es la obtención de las
inductancias de la máquina por el método de función de devanados.
El análisis de la máquina de inducción en su marco natural permite
encontrar fallas en el rotor, mientras que para un análisis de comportamiento
en estado estable hace difícil su obtención por medio de métodos numéricos
ya que las inductancias de la máquina son fluctuantes en el tiempo debido a
la variación de su posición angular y utilizando el marco de referencia qd0 se
prescinde de esta dependencia.
xix
ÍNDICE Página
Dedicatorias…………………………………………..…………………………… viii Agradecimientos…………………………………………………...……………… x Glosario de términos…………………………………………………………..… xii Resumen……………………………………………………………………………. xviii
Capítulo 1 Introducción
1.1 Introducción...……………………………………………………………….. 1 1.2 Antecedentes…………………………………………………………………. 1 1.3 Planteamiento del problema……………………………………………… 7 1.4 Objetivo general……………………………………………………………… 8 1.5 Objetivos particulares……………………………………………………… 8 1.6 Justificación………………………………………………………………….. 9 1.7 Limitaciones y alcances…………………………………………………… 10 1.8 Aportaciones de la tesis……………………………………………………. 10 1.9 Estructura de la tesis………………………………………………………. 11 Capítulo 2 Máquina de inducción
2.1 Introducción………………………………………………………………….. 13 2.2 Definición y partes constitutivas………………………………………… 13 2.2.1 Estator…………………………………………………………………. 14 2.2.2 Rotor…………………………………………………………………… 15 2.2.2.1 Rotor jaula de ardilla……………………………………... 15 2.2.2.2 Rotor devanado…………………………………………….. 16 2.2.3 Carcasa………………………………………………………………… 17 2.2.4 Flecha o eje……………………………………………………………. 17
2.2.5 Tapas laterales……………………………………………………….. 18 2.2.6 Rodamientos o cojinetes…………………………………………… 18 2.2.7 Escobillas……………………………………………………………… 19
2.3 Principio de operación de la máquina de inducción………………… 19 2.4 Formas de operación……………………………………………………….. 21
2.4.1 Operación en régimen freno electromagnético……………..…. 22 2.4.2 Operación en régimen motor…………………………………….... 23
xx
2.4.3 Operación en régimen generador…………………………..…….. 23
2.5 Velocidad y deslizamiento…………………………………………………. 24 2.6 Circuito equivalente del motor de inducción trifásico………………. 26
2.7 Circuito equivalente del generador de inducción trifásico…………. 31 2.8 Par y rendimiento de la máquina de inducción………………………. 32 2.9 Balance de potencias………………………………………………….……. 39
Capítulo 3 Marcos de referencia
3.1 Introducción………………………………………………………………….. 43 3.2 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de ardilla en el
marco natural…………………………………….……………………………….. 43
3.3 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de ardilla en el
marco de referencia qd0 en estado arbitrario……………………………… 51
3.4 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de ardilla en el marco de referencia qd0 en estado estacionario….………………………..
67
Capítulo 4 Parametrización de la máquina de inducción
4.1 Introducción………………………………………………………………….. 69
4.2 Determinación de la resistencia óhmica……………………………….. 70 4.3 Prueba de vacío……………………………………………………………… 71 4.4 Prueba de rotor bloqueado………………………………………………… 73
Capítulo 5 Simulación y análisis de resultados
5.1 Introducción………………………………………………………………….. 79 5.2 Desarrollo del diagrama de simulación………………………………… 79
5.3 Simulación de las máquinas de inducción……………………………. 87 5.3.1 Simulación en régimen motor y análisis de resultados…….. 88
5.3.2 Simulación en régimen generador y análisis de resultados.. 92
Conclusiones y recomendaciones
Conclusiones………………………………………………………………………. 97 Aportaciones a los escritores…..………………………………………………. 98
Recomendaciones…………………………………………………………………. 99
Referencias……………………………………………………………………... 101
xxi
Apéndice A Tipos de arranque y controles para máquinas de inducción
A.1 Introducción………………………………………………………………….. 105 A.2 Métodos de arranque……………………………………………………….. 105
A.2.1 Arranque estrella-delta……………………………………………... 106 A.2.2 Arranque con autotransformador………………………………… 106
A.2.3 Arranque con resistor primario…………………………………… 108 A.3 Control y regulación de velocidad……………………………………….. 110
A.3.1 Control de velocidad por cambio de número de polos………. 110 A.3.2 Regulación de la velocidad variando la frecuencia…………… 112 A.3.3 Variando la tensión aplicada al estator…………………………. 113
A.3.4 Variando la resistencia del circuito del rotor………………….. 113
Apéndice B Determinación de los parámetros de la máquina
B.1 Introducción………………………………………………………………….. 115 B.2 Prueba de CD para determinar la resistencia del estator………….. 116
B.3 Prueba de vacío………………………………………………………………. 117 B.4 Prueba de rotor bloqueado………………………………………………… 122
Apéndice C Determinación de las inductancias de la máquina
C.1 Introducción………………………………………………………………….. 127 C.2 Condiciones de frontera……………………………………………………. 128
C.3 Determinación de las inductancias propias del estator……………. 131 C.4 Determinación de las inductancias mutuas del estator……………. 149
C.5 Determinación de las inductancias propias del rotor………………. 155 C.6 Determinación de las inductancias mutuas del rotor………………. 156 C.7 Determinación de las inductancias mutuas entre estator y rotor.. 157
ACADEMIA DE ELECTROTECNIA 2011
1
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN
1.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se presenta una breve visión al lector de los estudios
realizados con la máquina de inducción. Los trabajos desarrollados parten
del modelo matemático de la máquina pasando por la determinación de
sus parámetros, la utilización del modelo para la detección y diagnóstico
de fallas hasta la implementación de la máquina como generador eólico.
De igual forma se describe el problema que se está enfrentando así como
las metas que se pretenden alcanzar. También se enuncia el por qué se
desarrolla esta tesis.
1.2 ANTECEDENTES
Los motores eléctricos desempeñan un papel muy importante
proporcionando potencia para distintos tipos de aplicaciones. El tipo de
motor mayormente utilizado es el de inducción ya que una de las virtudes
que potencializan su alta utilidad es que necesitan poco mantenimiento y
que tienen alta resistencia al uso.
Nunca consideres el estudio como una obligación, sino
como una oportunidad para penetrar en el bello y
maravilloso mundo del saber. -Albert Einstein-
Capítulo 1. Introducción
2
Los trabajos desarrollados con la máquina de inducción van desde el
modelado de la máquina por medio de la obtención de parámetros hasta el
modelado de transitorios, pasando por la implementación de la máquina
como generador a sistemas eólicos. A continuación se presentan algunos
de los estudios que se han realizado.
En [Linsday, 1975] se presenta un trabajo en el cual se describe la
aplicación de una técnica para determinar los valores numéricos del
modelo del circuito de una máquina de inducción con rotor jaula de
ardilla. El modelo incluye los efectos de la saturación magnética de los
principales caminos del flujo y de fuga así como el efecto piel en las barras
del rotor. Todos los parámetros fueron medidos a diferentes niveles de
tensión por encima del nominal para demostrar el efecto de la saturación
magnética; en un segundo plano [Seok, 1997] presenta un nuevo enfoque
para identificar los parámetros de la máquina mediante un inversor PWM
(Pulse Wide Modulator). El método propuesto calcula la resistencia del
estator, rotor y constante de tiempo del rotor de la máquina; los cuales son
necesarios para el control de campo orientado. Utiliza sólo el inversor y su
ordenador de control; la prueba se puede realizar independientemente de
la carga mecánica de la máquina. Por lo tanto, este método hace posible la
aplicación de un inversor para cualquier rotor de inducción a pesar de que
los parámetros de la máquina se desconozcan. Para la verificación, el
algoritmo se implementó en dos sistemas inversores diferentes y su
viabilidad se vio confirmada por las pruebas. El resultado de las pruebas
mostró que el método propuesto puede estimar los valores de los
parámetros consistentemente, y las diferencias entre los valores de los
parámetros conocidos y los valores estimados con un intervalo de
diferencia de hasta el 20%.
De igual forma en [Kappatou, 2006] se presenta el cálculo de las
inductancias propias y mutuas de una máquina de inducción trifásica bajo
1.2 Antecedentes
3
condiciones de una barra fracturada en el rotor y una en buen estado,
usando el modelo del elemento finito de la máquina. Este método es más
preciso, ya que está basado en la geometría real de la máquina y el modelo
de ésta puede ser fácilmente modificado en función del estudio de los
efectos y detección de las fallas en el desempeño de la máquina. Una
evaluación precisa de las inductancias contribuye al estudio y la detección
viable de las fallas.
Otro trabajo relacionado con la determinación de los parámetros es el
desarrollado por [Touhami, 2008] donde resalta que las pruebas llevadas a
cabo a la máquina de inducción permiten determinar la influencia del
efecto piel en la resistencia del estator. La máquina de inducción es
alimentada por medio de un variador de frecuencia. La prueba de estado
estacionario permite elaborar el esquema equivalente en el cual se
dedujeron los parámetros de corriente-tensión.
Así mismo los estudios relacionados con la máquina de inducción se han
enfocado a la identificación de las fallas por medio del modelado de éstas
en estado transitorio. En el trabajo desarrollado por [Devanneaux, 2001]
se menciona que una porción importante de las fallas en los motores de
inducción con rotor jaula de ardilla están relacionadas con el rotor. Un
modelo transitorio preciso de esta máquina bajo fallas en el rotor es
mostrado utilizando un enfoque de circuitos magnéticos acoplados. Todos
los parámetros son calculados desde la geometría real y la disposición de
los devanados en lugar de partir de variables equivalentes. El objetivo fue
la descripción detallada del procedimiento necesitado para implementar
este modelo preciso con resultados de simulación.
La determinación de los parámetros principalmente consiste en el cálculo
de inductancias. El estudio de la simulación fue realizado con motores de
inducción con una barra fracturada del rotor; para la investigación de los
Capítulo 1. Introducción
4
efectos en las cantidades mecánicas y eléctricas. Vale la pena resaltar que
muchas otras fallas pueden ser estudiadas con este modelo debido a su
exactitud y versatilidad.
Otra investigación realizada en donde se representa a la máquina
considerando las fallas internas es el que expone [Alemi, 2007], donde se
muestran los efectos de las anormalidades del rotor tales como las barras
fracturadas del rotor y la ruptura de la caja de conexiones. Las
características de la máquina de inducción son alteradas por las fallas
internas. Recientemente el modelado de las máquinas de inducción para el
análisis de las fallas de rotor está basado en el modelado de corrientes de
malla pero estos enfoques son muy complejos. El modelo puede calcular de
forma independiente la corriente en los anillos y las barras en condiciones
normales y de falla. Los resultados de la simulación muestran notable
control en las corrientes del estator trifásico, control de las armónicas de
baja frecuencia en las corrientes del estator y control en el par
electromagnético en estado permanente.
Existen algunas propuestas para la detección y el diagnóstico de fallas en
la máquina de inducción, donde [Kral, 2002] menciona la posibilidad de
integración de las técnicas de monitoreo en las fallas de rotor en la
máquina de inducción aplicada a las pruebas en lote. Técnicas
convencionales de monitoreo son diseñadas para condiciones de operación
de velocidad y cargas cercanas a las nominales. En estado estable el par
en el eje y las corrientes en el rotor son suficientemente considerables para
permitir el monitoreo del rotor. Por tanto las pruebas de cortocircuito son
aplicables para propósitos de diagnóstico.
El Método de Monitoreo de Viena (MMV) realizado por Karl ha sido
aplicado para pruebas de cortocircuito, donde sólo una evaluación del
modelo de tensión ha sido implementado. Una técnica de agrupación de
1.2 Antecedentes
5
datos espaciales conduce a un fuerte indicador de fallo. Resultados
experimentales y analíticos prueban que el método de monitoreo de Viena
es una prueba capaz de detectar fallas. Además el MMV fue
principalmente desarrollado para la detección de la asimetría del rotor; las
fallas en el devanado del estator también causan un índice significativo de
falla. Las asimetrías del devanado causan el mismo patrón de par y
corriente como consecuencia de un rotor bloqueado. Un procedimiento de
prueba adicional permite distinguir entre estas dos condiciones de falla.
Sin embargo, la aplicación propuesta es capaz de detectar asimetrías de la
máquina en la prueba de cortocircuito.
El diagnóstico de fallas por medio de la identificación de parámetros de la
máquina de inducción con rotor jaula de ardilla, utilizando datos reales
lleva a un modelo de identificación del parámetro eléctrico de la máquina
de inducción donde se observan las entradas y salidas del estator. Para
verificar experimentalmente lo anterior [Touhami, 2007] menciona que las
pruebas fueron realizadas a cuatro máquinas de inducción con rotor jaula
de ardilla especialmente construidas para el propósito del diagnóstico.
Todos los parámetros del modelo de la máquina son identificados por el
método de mínimos cuadrados. Los resultados experimentales muestran
buenas concordancias y confirman la posibilidad de detectar y localizar
fallas.
Entrando en el tema de la simulación de transitorios [Kang, 2005]
presenta un modelado y estudio de simulación para investigar el
comportamiento de las máquinas de inducción con rotor bajo fallas
internas. Este modelo está representado como un sistema de diferentes
ecuaciones, en donde la estructura real del motor es tomada en cuenta y
un modelo dq es usado para describir el devanado trifásico simétrico del
estator en vez del modelo por cada fase. La falla del rotor es considerada
Capítulo 1. Introducción
6
por la llamada matriz de conectividad, donde diferentes matrices significan
fallas diferentes.
Guiado en el mismo camino [Tu, 2008] presenta el modelo de la máquina
basado en un modelo de flujos, donde los flujos de magnetización del
devanado son directamente calculados por medio de la resultante de la
fuerza magnetomotriz del entrehierro, evadiendo así el uso de armónicas
debidas a la inductancia. Los efectos de la componente fundamental y
tercera armónica del flujo del entrehierro son incorporados en el modelo
por medio de los factores de saturación. Por otra parte, los efectos de
saturación son incorporados en la ecuación del par de la máquina,
permitiendo que en el modelo se investigue el desempeño de la máquina
bajo cualquier condición de la carga. Los parámetros de la máquina
incluyendo la saturación son obtenidos mediante las pruebas
convencionales de vacío y rotor bloqueado. El modelo propuesto es
validado mediante resultados experimentales de una máquina jaula de
ardilla y puede ser usado para predecir el comportamiento de la máquina
bajo cualquier condición ya sea estable o transitoria.
En los párrafos anteriores se mencionó enteramente el modelo de la
máquina en sus distintos enfoques; sin embargo, una de las grandes
aplicaciones que tienen este tipo de máquinas en el campo actual, es la
que [Soter, 2007] explica con el desarrollo de la máquina de inducción
como generador para turbinas eólicas desde la mitad del siglo veinte hasta
la actualidad. El primer paso fue acoplar la máquina directamente a la red,
el segundo fue ajustar la velocidad cambiando las máquinas jaula de
ardilla por máquinas de rotor devanado; esto para controlar la resistencia
del rotor consiguiendo así manipular el punto de operación de la máquina
y obtener un mejor desempeño con corrientes fuertes y débiles de viento.
La última implementación en esta tecnología es la utilización de máquinas
de inducción doblemente alimentadas. Este concepto utiliza una fuente
1.3 Planteamiento del problema
7
convertidora de tensión bidireccional en el circuito del rotor con una
potencia nominal del 30% de la nominal del generador. Ahora es posible
cambiar la velocidad rotatoria y la potencia reactiva de manera
independiente en un amplio intervalo [Soter, 2007].
1.3 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La máquina de inducción se emplea principalmente como motor en
bombas centrífugas, ventiladores, bombas de movimiento alternativo,
trituradores, compresores, cortadoras, cizallas, punzonadoras, ascensores,
montacargas, grúas, transportadores, etc. [Buitrón, 1984], sin embargo,
desde el punto de vista de generación se encuentra en centrales
aerogeneradoras, donde se puede hallar conectada en un sistema ya sea
aislado o máquina-bus infinito. También se emplea en algunas
hidroeléctricas pequeñas que se usan en sistemas aislados de tipo local. Si
se hace una comparación entre este tipo de máquinas y las máquinas
síncronas; las de inducción son sencillas, tienen bajo costo, menor
mantenimiento, carecen de fuentes de CD para su excitación, son más
robustas y cuentan con un mejor control para su velocidad.
Las máquinas de inducción se encuentran enfocadas principalmente en
temas como modelado, operación, estimación de parámetros y transitorios
con el objeto de mejorar y modificar su diseño, operación y fabricación. La
mayoría de los diseñadores y fabricantes de este tipo de máquinas
desarrollan sus diseños y emplean su manufactura en la aplicación de
nuevos materiales dieléctricos, sabiendo que son la parte más expuesta a
fallas. Esto trae consigo la verificación y comprobación de parámetros
eléctricos en estado permanente y transitorio por ser los que se presentan
en este tipo de máquinas.
Capítulo 1. Introducción
8
Debido a lo anterior, en esta tesis se hace uso del modelo de una máquina
de inducción trifásica con rotor jaula de ardilla utilizando el marco de
referencia qd0 mediante el uso de un programa de simulación digital y
tomando como referencia los datos de parametrización a partir de
desarrollos experimentales con el fin de llevar a cabo un análisis del
comportamiento electromecánico como motor y generador.
1.4 OBJETIVO GENERAL
Analizar el comportamiento de una máquina de inducción con rotor
jaula de ardilla en un modelo digital a partir de la determinación de sus
parámetros de manera experimental.
1.5 OBJETIVOS PARTICULARES
Determinar las inductancias del estator y rotor utilizando el método
de función de devanados, aplicando condiciones de frontera
magnéticas.
Obtener el modelo de la máquina de inducción en el marco de
referencia natural y en el marco de referencia qd0.
Parametrizar la máquina de inducción con rotor jaula de ardilla de
manera experimental.
Simular el comportamiento de la máquina de inducción en el
régimen motor y generador en Simulink de Matlab versión 6.5,
utilizando los parámetros obtenidos experimentalmente.
1.6 Justificación
9
1.6 JUSTIFICACIÓN
Desde que la máquina eléctrica rotatoria apareció por primera vez en
una aplicación industrial, la humanidad se ha preocupado por darle
mantenimiento para que ésta permanezca funcionando correctamente.
La máquina de inducción en el régimen motor es la más ampliamente
utilizada en la industria (aproximadamente un 85% del total de las
máquinas son motores). Muchos de estos motores de gran capacidad se
utilizan en la industria minera, petrolera y del acero. La variante de jaula
de ardilla presenta la gran ventaja de ser un motor de construcción simple,
robusta, de bajo costo y que requiere un mantenimiento mucho menor que
cualquier otra máquina rotatoria al carecer de escobillas, colector de
anillos o colector de delgas [Soto, 2007].
Sin embargo en la actualidad, se hace más frecuente el empleo de la
máquina de inducción en el régimen generador, debido principalmente a
su menor costo y al ser muy noble en cuanto a su explotación y
mantenimiento, además de su alta confiabilidad. El uso de la máquina de
inducción en el régimen generador, provoca la necesidad de conocer cada
vez más el comportamiento de ésta, tanto en el régimen permanente de
operación como durante los procesos transitorios, ya sea como motor o
generador, para lo cual son de gran ayuda los modelos matemáticos y su
solución mediante el uso de computadoras. Para realizar el modelo de una
máquina que se posea físicamente ya sea en la industria o en el
laboratorio; y de la cual no se conozcan los datos de diseño, es necesario la
determinación de una serie de parámetros, además del modelo
seleccionado, lo cual se convierte en todo el desarrollo de un proceso que
se pretende resolver, para un modelo determinado [Brito, 2005].
Capítulo 1. Introducción
10
1.7 LIMITACIONES Y ALCANCES
Limitaciones
El modelo matemático de la máquina no contempla los siguientes
fenómenos: saturación magnética, efecto de ranuras en el rotor, efectos de
flujo de dispersión en finales de bobina, ni controles externos de velocidad.
Alcances
Realizar un análisis electromecánico en un modelo matemático de una
máquina de inducción trifásica de 1 hp con rotor jaula de ardilla;
trabajando en régimen motor y generador mediante un programa digital a
partir de la determinación experimental de sus parámetros.
1.8 APORTACIONES DE LA TESIS
La obtención de un modelo matemático que involucra la
determinación de las inductancias del estator y rotor mediante el
uso de marcos de referencia, que permita a investigadores de la
carrera de Ingeniería Eléctrica así como a alumnos interesados en el
tema de generación involucrarse a través del análisis de máquinas
rotatorias.
El uso de la función de devanados para determinar el número de
vueltas del devanado equivalente del circuito del estator y del rotor.
1.9 Estructura de la Tesis
11
La determinación de las inductancias propias y mutuas de estator y
rotor, así como las inductancias mutuas entre éstos a partir de
condiciones de frontera.
Uso de la transformación de Park para la obtención del modelo
matemático de la máquina de inducción en qd0 para estado
arbitrario y estacionario.
1.9 ESTRUCTURA DE LA TESIS
El capítulo uno trata de la estructura general de la tesis, se define el
planteamiento del problema junto con el objetivo general y objetivos
particulares, limitaciones y alcances. Los autores de esta tesis expresan en
la justificación las razones que crearon el interés por desarrollar este tema.
El capítulo dos aborda la teoría general del funcionamiento de la máquina
de inducción y se describen las partes elementales que la componen;
ocupando la máquina sobre la cual se desarrolla el análisis matemático y
experimental.
En el capítulo tres se desarrolla el modelo de la máquina de inducción con
rotor jaula de ardilla en el marco natural. Una vez obtenidas las
ecuaciones se realiza la transformación de Park para obtener el marco de
referencia qd0 arbitrario y posteriormente se iguala a cero la velocidad
angular de los ejes q y d para llegar al marco qd0 estacionario; esto con el
fin de obtener las ecuaciones que rigen el diagrama de simulación de la
máquina.
Capítulo 1. Introducción
12
El capítulo cuatro muestra los resultados obtenidos por las pruebas
establecidas para determinar los parámetros de la máquina de inducción.
Los fundamentos de las pruebas se localizan en el apéndice B al final de la
tesis.
En el capítulo cinco se desarrollan las simulaciones que describen el
comportamiento principal de las máquinas de inducción utilizando
Simulink de Matlab versión 6.5, en régimen motor y generador.
Comparando el comportamiento de una máquina conocida contra una
máquina que se desconocen sus parámetros y a la cual se le han
determinado.
ACADEMIA DE ELECTROTECNIA 2011
13
CAPÍTULO 2
MÁQUINA DE INDUCCIÓN
2.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se explica toda la teoría necesaria para comprender el
funcionamiento de la máquina de inducción así como sus partes
componentes y su función. Se obtienen los circuitos equivalentes de la
máquina trabajando como motor y como generador; además se hace un
análisis de las potencias que intervienen en el proceso de conversión
electromagnética desde el momento de energizar la máquina hasta que
llega en forma de potencia mecánica utilizable en el eje.
2.2 DEFINICIÓN Y PARTES CONSTITUTIVAS
La máquina de inducción o asíncrona se define como una máquina
eléctrica de tipo rotatorio que trabaja por efectos de inducción. El nombre
de asíncrona se refiere a que no tiene sincronismo en la velocidad de los
campos magnéticos del estator y del rotor; esto se debe a que el estator
produce un campo magnético giratorio cuya velocidad es diferente que la
que origina el rotor y no marcha a la misma velocidad. Cuando la
velocidad angular del rotor es menor que la velocidad angular del estator,
la máquina trabaja como motor, es decir, transforma la energía eléctrica
Si te atrae una lucecita síguela. Si te conduce al
pantano, ya saldrás de él. Pero si no la sigues,
toda la vida te mortificarás pensando que acaso
era tu estrella. . -Lucio Anneo Séneca-
Capítulo 2. Máquina de inducción
14
en energía mecánica. Cuando la velocidad angular del rotor supera a la
velocidad angular del estator, la máquina trabaja como generador, es
decir, transforma la energía mecánica en energía eléctrica.
En toda máquina eléctrica existen partes principales como el estator y el
rotor y partes auxiliares como la carcasa, flecha, escobillas, tapas
laterales, rodamientos, entre otros; estos elementos se describen a
continuación [Gallegos, 2006].
2.2.1 Estator
Es la parte fija de la máquina, está constituido por núcleo y bobinas
como se muestra en la Figura 2.1. El núcleo está hecho de laminaciones
de acero al silicio con el objeto de reducir las pérdidas por histéresis y por
corrientes parásitas. Las laminaciones son circulares en máquinas de baja
capacidad, sin embargo en las de mayor capacidad, las laminaciones
circulares son seccionadas y se van superponiendo una a una hasta
formar la longitud de las ranuras que alojan al devanado de las fases
[Escutia, 2010].
El devanado está formado por varias bobinas de conductor de cobre y su
aislamiento puede ser clase A de cinta de papel o tela a base de material
orgánico e impregnado de barniz aislante o clase B donde el conductor se
forra con una cinta de mica o fibra de vidrio impregnadas por medio de
barniz a base de siliconas. Estas bobinas son prefabricadas y se montan
simétricamente en las ranuras del núcleo alrededor de los 360°
geométricos de las laminaciones [Gallegos, 2006].
2.2 Definición y partes constitutivas
15
Figura 2.1 Estator.
2.2.2 Rotor
Es la parte de la máquina que recibe la acción del campo magnético
del estator y por lo mismo es donde se induce la fuerza electromotriz (fem).
Existen dos tipos de rotor, el rotor tipo jaula de ardilla y el tipo rotor
devanado.
2.2.2.1 Rotor jaula de ardilla
El rotor jaula de ardilla mostrado en la Figura 2.2 es el que más se
utiliza por su sencilla construcción y su gran producción ya que
eléctricamente casi nunca se llega a dañar. Se construye sobre la flecha de
la máquina a base de laminaciones de acero al silicio troqueladas, al igual
que el estator se van colocando una a una hasta lograr el cuerpo del rotor
con las ranuras donde se alojarán las barras de la jaula. El devanado se
forma con conductor de cobre o aluminio en forma de barra que se monta
en las ranuras y los extremos se cortocircuitan por medio de anillos. Las
ranuras son generalmente de boca semicerrada y ligeramente oblicua al
Capítulo 2. Máquina de inducción
16
eje con la finalidad de que las barras corten con mayor uniformidad al
campo magnético y su rendimiento se incremente [Gallegos, 2006].
Figura 2.2 Rotor jaula de ardilla.
2.2.2.2 Rotor devanado
El rotor devanado o de anillos rozantes mostrado en la Figura 2.3 se
construye de la misma manera que el rotor jaula de ardilla pero a
diferencia de usar barras como devanado, tiene tres bobinas de alambre
conectadas en estrella y sus extremos libres se conectan hacia el exterior
por medio de tres anillos montados en la flecha y aislados uno del otro. La
corriente que llega a los anillos es controlada a través de un reóstato
trifásico [Gallegos, 2006].
Figura 2.3 Rotor devanado o de anillos rozantes [Rodríguez, 2008].
2.2 Definición y partes constitutivas
17
2.2.3 Carcasa
Es la cubierta de la máquina y sirve como soporte mecánico de las
partes componentes de la misma como se observa en la Figura 2.4. Se
fabrican con aletas disipadoras de calor de una aleación de aluminio dúctil
de alta resistencia mecánica. También existen carcasas sin aletas
disipadoras de calor fabricadas con hierro dulce lo que las hace muy
pesadas.
2.2.4 Flecha o eje
Es la parte central del rotor, normalmente es de acero y es donde se
montan y fijan las laminaciones del rotor. En su extremo se monta un
abanico que al giro de la máquina proporciona una corriente de aire que
enfría las partes internas debido a que las corrientes que circulan por los
devanados tienden a elevar su temperatura y a disminuir su rendimiento;
esto se puede apreciar claramente en la Figura 2.2.
Figura 2.4 Carcasa.
Capítulo 2. Máquina de inducción
18
2.2.5 Tapas laterales
Sirven para cerrar la máquina eléctrica, se fijan firmemente a la
carcasa por medio de tornillos como se aprecia en la Figura 2.5. La función
que desempeñan es soportar a la flecha por medio de rodamientos que van
montados en la cavidad central de la tapa.
2.2.6 Rodamientos o cojinetes
Tienen la función de disminuir la fricción que origina la flecha al
girar, generalmente son baleros de bolas prelubricados y altamente pulidos
como el que se aprecia en la Figura 2.2. No requieren mantenimiento ya
que siempre hay una película de aceite alrededor de los rodamientos. Hoy
en día aún existen rodamientos de anillos que se lubrican cada
determinado tiempo cuando es de un anillo.
Figura 2.5 Tapas laterales.
2.3 Principio de operación de la máquina de inducción
19
Cuando se emplean rodamientos de dos anillos de diferente diámetro,
estos se introducen en un depósito de aceite llamado chumacera; un anillo
soporta a la flecha y el otro de diámetro mayor gira por el movimiento de la
flecha sumergiéndose en el aceite y bañando al otro anillo [Gallegos, 2006].
2.2.7 Escobillas
Generalmente se fabrican de carbón con un determinado porcentaje de
grafito, teniendo en cuenta que a mayor grafito aumenta la dureza y la
resistencia eléctrica. En el caso de las máquinas de inducción con rotor de
anillos rozantes, las escobillas hacen posible la introducción de
resistencias externas por los anillos para limitar las corrientes de
arranque, mejorar las características del par y controlar la velocidad
[Fraile, 2008].
2.3 PRINCIPIO DE OPERACIÓN DE LA MÁQUINA DE
INDUCCIÓN
La máquina de inducción basa su funcionamiento en la ley de Faraday
conocida también como ley de inducción. Esta ley establece que si dentro
de un campo magnético se encuentra un conductor y existe un
movimiento relativo entre ellos, ya sea que el campo magnético se mueva y
el conductor quede fijo o viceversa, en cualquier caso en dicho conductor
se inducirá una fuerza electromotriz (fem). La fem inducida es de sentido
tal que se opone a la dirección de las líneas de campo magnético que la
originaron; a este fenómeno se le conoce como ley de Lenz [Stephen, 2006].
Capítulo 2. Máquina de inducción
20
Cuando se tiene una espira fija y es afectada por un campo magnético
móvil, la fem que se induce en ella es débil ya que la espira está formada
por un sólo conductor y depende también de la cantidad de campo
magnético. Si en lugar de una espira es una bobina de vueltas la que se
somete a un campo magnético potente, la fem inducida en las terminales
se incrementa en relación al número de espiras y a la tasa de cambio del
flujo magnético con respecto al tiempo ; por tanto si el movimiento del
campo magnético aumenta, también lo hace la fem inducida debido a que
el campo magnético incide mayor número de veces por segundo sobre los
conductores de la bobina [Albino, 2011, Stephen, 2006].
De aquí que la fem que se induce en el conductor depende del flujo
magnético , del número de espiras de la bobina y del tiempo de
incidencia, por lo que la ley de Faraday queda regida por la ecuación .
El campo magnético depende del flujo magnético, así como del ancho y
de la longitud de la espira que lo corta. Por tanto si se tiene un campo
magnético fijo y una espira o conductor lo atraviesa, se induce una fem en
él y ésta se expresa mediante la ecuación [Albino, 2011, Gallegos,
2006].
2.4 Formas de operación
21
Sustituyendo el campo magnético en la ecuación :
Debido a que la razón del ancho de la espira y el tiempo es una velocidad
, la ecuación final es:
2.4 FORMAS DE OPERACIÓN
Las máquinas de inducción pueden operar de tres maneras distintas,
ya sea como freno, como motor o como generador. En la Figura 2.6 se
muestran las tres zonas de operación de la máquina a través de la curva
par-velocidad. La diferencia entre cada funcionamiento depende
directamente del deslizamiento y esto influye en la potencia mecánica
interna , potencia de entrehierro y par electromagnético [Fraile,
2008].
Capítulo 2. Máquina de inducción
22
Figura 2.6 Zonas de operación de una máquina asíncrona [Adaptado de
Rodríguez, 2008, Fraile, 2008].
2.4.1 Operación en régimen freno electromagnético
Este tipo de operación se produce para deslizamientos superiores a
uno como se aprecia en la Figura 2.6, lo que indica que la velocidad del
rotor es negativa o contraria a la de sincronismo. En esta condición el
rotor gira en sentido contrario al campo giratorio recibiendo energía de la
red y energía mecánica por el eje [Fraile, 2008]. Esto trae consigo que la
potencia mecánica interna sea negativa y la potencia de entrehierro sea
positiva. Por lo que en el entrehierro el flujo de potencia es como en un
motor, positiva del estator hacia el rotor; pero la potencia mecánica interna
es negativa o contraria a como es en un motor, la potencia viene del eje
hacia el rotor tal como sucede con un generador.
El resultado de que en parte funcione como motor absorbiendo potencia
eléctrica del estator y como generador absorbiendo potencia mecánica por
2.4 Formas de operación
23
el eje trae como consecuencia que al sumarse las potencias, la energía se
disipe en forma de pérdidas por efecto Joule [Rodríguez, 2008]. En la parte
superior de la zona de freno en la Figura 2.6 se puede apreciar que el
sentido de las velocidades en la máquina es contrario.
2.4.2 Operación en régimen motor
Este régimen de operación es el más característico de las máquinas
de inducción, ocurre cuando el deslizamiento se encuentra en un intervalo
entre uno y cero; lo que indica que la velocidad del rotor se encuentra
entre cero y la de sincronismo. Por lo tanto funcionando como motor, la
velocidad de la máquina es del mismo sentido que la de sincronismo y
menor que ésta a su vez; esto se puede observar claramente en la Figura
2.6 [Fraile, 2008, Rodríguez, 2008].
Por convención en el balance de potencias se adopta el criterio de signos
positivos para cuando la máquina opera en el régimen de motor. Por ello la
potencia mecánica interna y la potencia de entrehierro son positivas, lo
que quiere decir que la potencia eléctrica se absorbe del estator y pasa por
el entrehierro en dirección al rotor convirtiéndose en energía mecánica.
2.4.3 Operación en régimen generador
En esta zona de operación la máquina de inducción tiene
velocidades en el rotor superiores a la de sincronismo, por lo que se
comporta con deslizamientos negativos. El sentido de operación es
contrario al que se presenta en el régimen motor, dando lugar a que la
potencia mecánica interna y la potencia de entrehierro sean negativas, es
Capítulo 2. Máquina de inducción
24
decir, que lleven una dirección del rotor al estator. Esto significa un
cambio de sentido de la fem inducida provocando un cambio de sentido en
las corrientes y una inversión en el par. En este punto el par se convierte
en un par de frenado por lo que necesita una fuente externa que abastezca
de energía mecánica al eje logrando mantener una velocidad mayor a la
síncrona y entregando energía eléctrica en las terminales del estator. En la
Figura 2.6 en la zona de generador se observa que las velocidades van en
el mismo sentido pero la velocidad del rotor es mayor que la síncrona
[Fraile, 2008].
2.5 VELOCIDAD Y DESLIZAMIENTO
La fem inducida en una barra del rotor de una máquina asíncrona
depende de la velocidad del rotor y de la velocidad de los campos
magnéticos. Esto se debe a que de la tensión y la corriente del rotor
depende el comportamiento de una máquina de inducción. Para
comprender el movimiento relativo que existe entre el campo magnético
giratorio y el rotor se estudian dos parámetros importantes, uno es la
velocidad síncrona representada por la letra y el otro es el deslizamiento
representado por la letra [Stephen, 2006].
La velocidad síncrona es la velocidad con la que gira el campo magnético
del estator, se define por la frecuencia de la red y por el número de polos
de la máquina por lo que es constante [Stephen, 2006, Escutia, 2010].
2.5 Velocidad y deslizamiento
25
El deslizamiento es una expresión porcentual de la velocidad síncrona, o
bien, una fracción de la misma. Se define como la diferencia entre la
velocidad síncrona y la velocidad efectiva de rotación del rotor ; se
determina mediante la siguiente ecuación [Escutia, 2010].
El deslizamiento permitido no debe rebasar del 5% para motores
monofásicos y del 15% para motores trifásicos [Escutia, 2010].
El rotor tiene una frecuencia distinta a la de la red representada como ,
esta es una gran diferencia entre las máquinas rotatorias respecto del
transformador ya que este último mantiene la misma frecuencia en el
devanado primario y en el devanado secundario. Cuando el rotor está
bloqueado tiene la misma frecuencia que el estator; si el rotor gira a una
velocidad igual que la síncrona la frecuencia es cero debido a que no existe
deslizamiento. Por ello cuando el rotor gira con una frecuencia diferente a
la síncrona da lugar a un par y dependiendo del deslizamiento del rotor, la
máquina puede funcionar en cualquier régimen de operación. La
frecuencia del rotor se determina a partir de la siguiente expresión.
Capítulo 2. Máquina de inducción
26
2.6 CIRCUITO EQUIVALENTE DEL MOTOR DE INDUCCIÓN
TRIFÁSICO
Para estudiar el comportamiento de la máquina de inducción se
requiere obtener su circuito equivalente ya que en éste es más fácil ver los
parámetros que influyen en su operación y cómo es que interviene cada
uno en su conducta desde el arranque hasta que se estabiliza.
Para obtener el diagrama eléctrico del motor asíncrono primero se deben
tomar en cuenta las condiciones del estator para obtener su circuito
equivalente y posteriormente agregar el circuito del rotor. La tensión que
toma el motor de la red inyecta las corrientes que crean el campo
magnético giratorio en el entrehierro y éste a su vez genera en las fases del
estator fuerzas contraelectromotrices balanceadas que difieren de la
tensión en las terminales debido a la caída de tensión por la impedancia
de su devanado.
La corriente del estator se divide en dos componentes, una corriente de
excitación y una corriente de carga o de rotor en estado estacionario .
La corriente de excitación pasa por una rama en derivación la cual tiene
una resistencia que indica las pérdidas en el núcleo conectada en
paralelo con una reactancia que indica la magnetización del núcleo y
por las cuales circula respectivamente una corriente que se encuentra
en fase con e que se encuentra retrasada 90° respecto a
[Fitzgerald, 2004].
2.6 Circuito equivalente del motor de inducción trifásico
27
Esta representación de las pérdidas en el núcleo es de alta resistencia y
muy baja reactancia por lo que la impedancia equivalente al estar en
paralelo es de un valor mucho menor que la reactancia de magnetización;
por lo anterior generalmente esta rama se considera despreciable [Escutia,
2010].
La corriente del rotor aparece en él por la interacción de los flujos
magnéticos en el entrehierro que afectan a las barras de la jaula
generando una fem y con ello se origina la corriente mencionada [Albino,
2011]. Como se puede observar en la Figura 2.7 el circuito equivalente del
estator de un motor de inducción.
Hasta este punto se ha analizado el estator completo y se tiene
conocimiento de la corriente que llega al rotor; por lo que ahora resta
analizar e incorporar el circuito del rotor para obtener el circuito
equivalente del motor de inducción.
Figura 2.7 Circuito equivalente del estator.
+
-
R1
Rc
I1
Im
Xm
Iφ
I2
Ic
X1
+
-
E2V1
Capítulo 2. Máquina de inducción
28
Visto desde el estator, el rotor en estado estacionario se representa
mediante una impedancia compuesta por la reactancia de dispersión
del devanado en serie con la resistencia de la jaula o devanado que
también por ley Ohm es:
Para determinar las corrientes y las tensiones en el rotor, éste se puede
cambiar por otro equivalente que tenga el mismo número de fases y
vueltas que el estator y que genere la misma fuerza magnetomotriz (fmm) y
flujo en el entrehierro para que las condiciones vistas desde el estator no
cambien. Así mismo al referir el rotor hacia el estator se debe considerar el
deslizamiento entre ellos para que las tensiones y corrientes a frecuencia
de deslizamiento del rotor real se encuentren inmersas en el rotor
equivalente estacionario a frecuencia del estator [Fitzgerald, 2004].
Para ello se deben obtener los parámetros del rotor real a frecuencia de
deslizamiento. Partiendo de que antes que el motor arranque ambas partes
(estator y rotor) de la máquina poseen las mismas frecuencias, se tiene que
la reactancia de dispersión del rotor es:
Para obtener esta reactancia a frecuencia de deslizamiento se hace una
consideración donde la ecuación se sustituye en para obtener
2.6 Circuito equivalente del motor de inducción trifásico
29
finalmente la reactancia de dispersión del rotor referido a la frecuencia de
deslizamiento .
De esta manera la impedancia de dispersión del rotor a frecuencia de
deslizamiento es:
La corriente del rotor a frecuencia de deslizamiento es igual en
magnitud a la corriente del estator ya que la corriente es la corriente en
un rotor equivalente que tiene el mismo número de vueltas por fase que el
estator. La onda de fmm resultante en el entrehierro se debe a los flujos
mutuos creados por las corrientes en el estator y por las corrientes en el
rotor [Albino, 2011]. Tomando en cuenta que la onda de fmm resultante en
el entrehierro se compone de la suma fasorial de la corriente del estator y
la corriente del rotor equivalente, estas corrientes son iguales en fase en
sus respectivas frecuencias [Fitzgerald, 2004]. Por tanto se puede decir
que:
Capítulo 2. Máquina de inducción
30
Puesto que la interacción de flujos en el entrehierro genera tanto una fem
en el rotor como una fuerza contraelectromotriz en el estator, existe
una diferencia entre estas tensiones. La diferencia radica en el efecto de la
velocidad; así que para que estos potenciales sean iguales, la fuerza
contraelectromotriz se puede multiplicar por el deslizamiento.
Por lo que ahora se tiene una nueva expresión para la impedancia del rotor
a frecuencia de deslizamiento.
Si se divide entre el deslizamiento se obtiene la impedancia del rotor
equivalente.
Finalmente se considera el efecto de la carga en el eje del motor a través de
una factorización en la ecuación .
(
)
2.7 Circuito equivalente del generador de inducción trifásico
31
Figura 2.8 Circuito equivalente del motor de inducción.
En la ecuación se observa que aparece una resistencia denominada
que no afecta a la impedancia del rotor; sin embargo esta resistencia
representa la carga mecánica del motor a través del deslizamiento. En la
Figura 2.8 se muestra el circuito equivalente del motor de inducción.
2.7 CIRCUITO EQUIVALENTE DEL GENERADOR DE
INDUCCIÓN TRIFÁSICO
El circuito equivalente del generador de inducción es muy fácil de
explicar una vez que se ha determinado el circuito equivalente del motor
de inducción. Esto se debe a que el diagrama es prácticamente el mismo
como se puede apreciar en la Figura 2.9; con la diferencia de que para su
análisis, en la ecuación que determina la impedancia del rotor la
parte real es de valor negativo, lo que indica que ahora la corriente fluye
del rotor al estator.
+
-
Rc
I1
Im
Xm
Iφ I2
Ic
X1
V1
R1 X2 R2
RL
Capítulo 2. Máquina de inducción
32
Figura 2.9 Circuito equivalente del generador de inducción.
El signo indica que la potencia va del rotor al estator. La razón por la
que
de la ecuación es de valor negativo se debe al hecho de que la
máquina ahora opera en el régimen generador, y por ello el deslizamiento
es negativo [Wildi, 2007].
2.8 POTENCIA, PAR Y RENDIMIENTO EN EL RÉGIMEN
MOTOR Y GENERADOR
La ley de Lorentz dice que para que exista una fuerza sobre una
carga inmersa en un campo magnético, ésta debe llevar una velocidad.
El resultado es un desplazamiento perpendicular a las líneas de campo. De
aquí se deduce la ecuación que rige a la ley de fuerza de Lorentz.
( )
+
-
Rc
I1
Im
Xm
Iφ I2
Ic
X1
V1
R1 X2 R2
RL
2.8 Potencia, par y rendimiento en el régimen motor y generador
33
Como se puede observar en la ecuación la fuerza de Lorentz se
deduce de la segunda ley de Newton, donde la masa es la carga y la
aceleración es la derivada de la velocidad de la carga respecto al tiempo.
Debido a que la fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre la carga es muy
pequeña se desprecia reduciéndose la ecuación a:
Si se hace en forma diferencial la expresión anterior se obtiene:
Donde por ser una velocidad se puede descomponer en una longitud por
unidad de tiempo.
Al reescribir la ecuación de tal forma que quede
se obtiene la corriente
que circula a lo largo de un conductor.
Capítulo 2. Máquina de inducción
34
Esta forma diferencial de la fuerza de Lorentz maneja una trayectoria , lo
que implica que ahora se estudia a un conjunto de cargas en lugar de una
sola. Si se integra dicha expresión sobre una trayectoria cerrada que
representa a una espira se obtiene una nueva expresión de la fuerza de
Lorentz.
∮
De acuerdo con la ley de Lorentz se puede determinar la fuerza que ejerce
un campo magnético uniforme sobre una espira inmersa en él y por la que
circula una corriente como la que se muestra en la Figura 2.10. Siguiendo
la trayectoria cerrada (a, b, c, d) de la espira, se requiere analizarla tramo
por tramo, es decir, cada lado de la espira.
Figura 2.10 Espira inmersa en un campo magnético uniforme.
z
By=B ayl
ab
c d
F
F
w
2.8 Potencia, par y rendimiento en el régimen motor y generador
35
∫
∫
∫
∫
Como ya se ha mencionado, para que una carga expuesta a un campo
magnético experimente una fuerza debe estar perpendicular a las líneas de
campo, por tanto los lados (a, b) y (c, d) de la espira no experimentan
fuerza alguna, quedando por analizar los lados (b, c) y (d, a).
∫
∫
Integrando la ecuación se llega a la siguiente expresión:
Con este resultado se puede ver que la fuerza resultante es cero. Sin
embargo la dirección que lleva cada vector de fuerza es de sentido opuesto.
Esto se aprecia fácilmente en la Figura 2.11 donde se muestra la espira
experimentando la misma fuerza en direcciones contrarias, por tanto la
espira comienza a girar.
Capítulo 2. Máquina de inducción
36
Figura 2.11 Par en una espira.
El par se define como:
El par en un extremo de la espira es:
| || |
w
α α1
90-α1
F
F
r
B ay
α1
an
2.8 Potencia, par y rendimiento en el régimen motor y generador
37
Por tanto en el otro extremo de la espira el par es el mismo.
El par total en la espira es:
De acuerdo con la Figura 2.10 el producto del ancho de la espira por la
longitud de la misma es el área de la espira y se representa con la letra A.
Cuando se calcula el par para una bobina compuesta de N espiras, se
multiplica la ecuación por N quedando de esta forma una nueva
expresión del par.
Capítulo 2. Máquina de inducción
38
El momento dipolar magnético se representa por:
Por lo tanto el par se puede reescribir como:
Obteniendo de esta manera finalmente la expresión para el par total:
La eficiencia o rendimiento que brinda una máquina se define como la
razón de la potencia de salida a la potencia de entrada; es decir, la
potencia mecánica que existe en la flecha entre la potencia eléctrica en el
estator. De aquí que la ecuación del rendimiento es:
2.9 Balance de potencias
39
2.9 BALANCE DE POTENCIAS
Desde el momento en que el motor asíncrono es energizado hasta el
momento en que entrega potencia mecánica en su eje, se ve involucrado en
un proceso de conversión de energía que está ligado a cada parte de él. Las
partes como el estator, entrehierro, rotor y rodamientos están ligadas
directamente con pérdidas de potencia al pasar de una parte a otra.
La potencia fluye del estator al eje en un motor, transformándose la
potencia eléctrica que absorbe de la red en potencia mecánica útil. La
potencia P1 se define como:
Donde es el número de fases de la máquina. Cuando esta potencia
llega al devanado del estator parte de ella se disipa por efecto Joule; esta
potencia se le conoce como potencia de pérdida en el cobre .
En el estator ocurre otra pérdida denominada potencia de pérdida en el
hierro y ésta se debe a la histéresis y corrientes parásitas del circuito
magnético. También el rotor presenta este tipo de pérdidas, sin embargo,
debido a que las frecuencias en el rotor son muy pequeñas y las pérdidas
magnéticas dependen aproximadamente del cuadrado de la frecuencia,
Capítulo 2. Máquina de inducción
40
estas pérdidas se consideran despreciables. De tal modo que el primer
bloque de pérdidas de potencia en el motor asíncrono es la suma de las
pérdidas en el cobre y las pérdidas en el hierro.
La potencia que llega al entrehierro de la máquina se calcula como la
diferencia de la potencia que absorbe el motor del sistema menos la
potencia de pérdidas del primer bloque; por lo que se tiene:
El rotor por su construcción también presenta pérdidas por efecto Joule, lo
que da origen a la siguiente ecuación de las pérdidas en el cobre :
En este punto la potencia que resta es la que llega al eje del motor pero
aún sin salir de él. A esta potencia se le denomina potencia mecánica
interna ; en esta potencia se ve involucrada la resistencia de carga
que representa el efecto de la carga en el motor, es decir la potencia
2.9 Balance de potencias
41
mecánica en el eje debido a una carga ya que es así como funciona un
motor normalmente.
(
)
Finalmente la potencia útil que entrega el motor en el extremo de la
flecha es la potencia mecánica interna menos la potencia de pérdida en los
rodamientos ; por lo que la potencia útil se expresa como:
En la Figura 2.12 se muestra la forma en que se convierte y se pierde la
potencia desde la entrada del estator hasta la salida de la flecha.
Figura 2.12 Potencias que intervienen en el proceso de conversión de
la energía.
ACADEMIA DE ELECTROTECNIA 2011
43
CAPÍTULO 3
MARCOS DE REFERENCIA
3.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se desarrolla el modelo matemático de la máquina de
inducción trifásica en el marco natural de la máquina, en el marco qd0 en
estado arbitrario y en el marco qd0 en estado estacionario. Para poder
simular el comportamiento de las características de la máquina, se
necesitan las ecuaciones de la máquina en qd0 estacionario. Estas
ecuaciones se obtienen desarrollando los otros marcos de referencia. A
partir del modelo de la máquina en estado estacionario se forma el
diagrama de simulación que se pretende realizar para observar el
comportamiento de tensiones, corrientes, par y velocidad de la máquina de
inducción con rotor jaula de ardilla.
3.2 MODELO DE LA MÁQUINA DE INDUCIÓN DE ROTOR
JAULA DE ARDILLA EN EL MARCO NATURAL
El modelo de la máquina de inducción en su marco natural, hace
referencia a la representación de todas las variables eléctricas que influyen
en su operación. Este modelo sirve para estudiar el comportamiento de la
máquina bajo condiciones normales de operación y bajo todos los
fenómenos que pueden afectar su operación.
Los sueños son la esperanza perenne de nuestra vida y la
energía que nos hace vivir: ¡Aférrate a ellos! -Irene Fohri-
Capítulo 3. Marcos de referencia
44
Figura 3.1 Conexión interna del estator y el rotor de la máquina de
inducción.
En la Figura 3.1 se muestra el diagrama de conexiones del estator y rotor
de la máquina de inducción con sus respectivas resistencias e
inductancias de los devanados. Con base en dicha figura es más fácil
entender la deducción de todas las ecuaciones que modelan el
comportamiento de la máquina de inducción.
Como se describió en el capítulo 2, en la máquina asíncrona hay tensiones
en el estator y en el rotor; estas tensiones son iguales en magnitud y
sentido. A continuación se enuncian las ecuaciones de tensión para el
estator y para el rotor.
Estator:
( )
Ras
Rbs
Rcs
Las
Lbs
Lcs
N
ias
ibs
ics
Rar
Lar
Rbr
LbrRcr
Lcr
N
iar
ibr
icr
Estator Rotor
Vas
Vbs
Vcs
Var
Vbr
Vcr
g
Entrehierro
3.2 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de
ardilla en el marco de referencia natural
45
Rotor:
( )
Las inductancias de la máquina asíncrona se definen a partir de las
características de la misma, tales como radio , longitud , entrehierro ,
permeabilidad del entrehierro , función de devanados ( ), etc. El flujo
magnético encierra dichas características; por ello se define en primera
instancia el flujo y de ahí se obtienen las inductancias [Albino, 2011].
El flujo magnético en el devanado de la fase a del estator se define como:
∫ ( ) ( )
( )
Desarrollando la expresión ( ) se determina la inductancia propia de la
fase a; esta misma ecuación se utiliza para determinar las inductancias
propias de las fases b y c llegando en cada ocasión al mismo resultado.
( )
Capítulo 3. Marcos de referencia
46
Como todas las inductancias propias del devanado del estator son
constantes y del mismo valor, se pueden representar de manera más
compacta con una misma nomenclatura mediante la siguiente
expresión:
( )
Además de las inductancias propias de los devanados, en el estator se
presentan inductancias mutuas entre sus fases y se definen a partir de la
ecuación ( ) obteniendo como resultado que estas nuevas inductancias
son constantes negativas.
( )
Las inductancias mutuas del estator también son iguales, por tanto se
pueden expresar de manera más sencilla y de igual forma con una misma
nomenclatura .
( )
3.2 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de
ardilla en el marco de referencia natural
47
En el rotor también se presentan inductancias propias y mutuas que son
del mismo valor que las respectivas del estator.
( )
( )
En el entrehierro hay una interacción de flujos y por tanto de inductancias
que van del estator al rotor y viceversa. Estas inductancias se definen
como:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Donde los subíndices (a, b y c) indican la fase del estator o del rotor
dependiendo si se acompaña de una o respectivamente. En estas
ecuaciones se aprecia un desfasamiento entre inductancias, esto se debe a
que el rotor está en movimiento y al referir una fase del estator respecto a
otra del rotor aparece dicho desfasamiento. Además de que por la misma
condición dinámica del rotor, las inductancias no son constantes y
Capítulo 3. Marcos de referencia
48
dependen directamente de la posición angular del rotor. Una vez que se
conocen los valores de las inductancias y se entiende cómo está
compuesto un flujo de manera general, se puede hacer un análisis del
comportamiento de flujos dentro de la máquina de inducción. Todos los
flujos de la máquina están acoplados magnéticamente con respecto a cada
fase; de aquí que para los flujos también hay ecuaciones; éstas son
prácticamente la interacción del flujo de cada fase con los flujos de las
demás fases tanto del estator como del rotor.
Estator:
( )
Rotor:
( )
Para un mejor manejo de estas ecuaciones se pueden reescribir en forma
matricial, obteniendo:
[ ]
[ ]
[ ]
( )
3.2 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de
ardilla en el marco de referencia natural
49
En forma compacta se tiene:
[
] [
] [
] ( )
O bien
[
] [
[ ]
] [
] ( )
Donde las inductancias propias del estator y rotor son respectivamente:
[
] ( )
[
] ( )
En las ecuaciones ( ) y ( ) el subíndice y hacen referencia a que
las inductancias son de dispersión en el estator y rotor respectivamente.
Capítulo 3. Marcos de referencia
50
En cuanto a las inductancias mutuas por ser del estator al rotor y
viceversa, dependen del ángulo del rotor. Por tanto las inductancias
mutuas de ( ) se definen como:
[
]
[ ( ) (
) (
)
(
) ( ) (
)
(
) (
) ( ) ]
( )
Para obtener las corrientes tanto del estator como del rotor basta con
despejarla de la ecuación base del flujo.
( )
( )
La potencia eléctrica de la máquina es la suma de las potencias de cada
fase del estator y del rotor.
( )
El par electromagnético se compone de:
( )
3.3 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de ardilla
en el marco de referencia qd0 en estado aritrario
51
La expresión que liga la parte eléctrica con la parte mecánica en la
máquina de inducción es la ecuación de oscilación. Considera los pares
electromecánico , mecánico y de amortiguamiento en relación a la
segunda ley de Newton donde la constante de inercia es la masa y la
derivada de la velocidad del rotor respecto al tiempo es la aceleración.
( )
( )
3.3 MODELO DE LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN DE ROTOR
JAULA DE ARDILLA EN EL MARCO DE REFERENCIA qd0
EN ESTADO ARBITRARIO
El modelado de las máquinas eléctricas se puede realizar a través de
diferentes marcos de referencia con el fin de volver más sencillo el análisis
de sus parámetros.
El marco de referencia qd0 sirve para facilitar el modelado de la máquina
de inducción. Esta forma de modelar la máquina se hace a través de dos
ejes imaginarios, un eje q que se encuentra 90° adelante de un eje d;
ambos girando a cierta velocidad angular en dirección de la velocidad de
sincronismo.
Los ejes q y d giran a una velocidad angular sobre los ejes magnéticos de
cada fase de la máquina de inducción que giran a la velocidad angular del
sistema . La transformación qd0 se puede realizar en diferentes marcos
o estados que se diferencian entre sí por la velocidad angular de los ejes q
Capítulo 3. Marcos de referencia
52
y d. En este apartado se desarrolla la transformación en estado arbitrario;
es decir, la velocidad angular con la que giran los ejes q y d es arbitraria
(cualquier valor).
La transformación de las ecuaciones de la máquina de inducción del
marco natural al marco qd0 se realiza mediante una matriz de
transformación ( ) . Dicha matriz tiene una constante
que la
multiplica, esta operación da como resultado valores máximos en la
transformación. Con esto se logra que una función en términos de q o d
sea igual al valor máximo de la misma función (a, b, c) en el marco
natural.
El criterio que se sigue para llevar a cabo la transformación de un marco a
otro es que toda función en qd0 es igual a la misma función en el marco
natural (a, b, c) multiplicada por la matriz de transformación qd0.
Mientras que toda función en (a, b, c) es igual a la función qd0 por la
matriz de transformación inversa. Las siguientes ecuaciones expresan lo
antes mencionado.
( ) ( )
( ) ( )
Donde
( )
[ ( ) (
) (
)
( ) (
) (
)
]
( )
3.3 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de ardilla
en el marco de referencia qd0 en estado aritrario
53
( )
[
( ) ( )
(
) (
)
(
) (
) ]
( )
Lo primero que se debe hacer para la transformación qd0 es obtener la
función de tensión en términos de q y d. Esto se realiza a partir de
identidades trigonométricas que se pueden deducir fácilmente de la Figura
3.2 llegando a las siguientes expresiones.
Figura 3.2 Ejes q y d para la transformación qd0.
Vas
Vbs
Vcs
q
d
ωs
ω
θ
Vasd
Vasq
Capítulo 3. Marcos de referencia
54
( )
(
) ( )
(
)
( )
(
) ( )
(
)
En forma matricial se observa que se cumple la ecuación ( ).
[
]
[ ( ) (
) (
)
( ) (
) (
)
]
[
] ( )
La función de corriente en qd0 se obtiene de la misma manera.
[
]
[ ( ) (
) (
)
( ) (
) (
)
]
[
] ( )
3.3 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de ardilla
en el marco de referencia qd0 en estado aritrario
55
La potencia eléctrica se define como:
[ ] [
] ( )
[
]
[
] ( )
[ ( ) ]
[ ( ) ] ( )
[ ( ) ]
[ ( ) ] ( )
Donde:
[ ( ) ]
[ ( ) ]
[
]
( )
[ ]
[
]
[
] ( )
Capítulo 3. Marcos de referencia
56
[ ]
( )
A partir de las ecuaciones que definen a la función de tensión en qd0, se
pueden determinar las tensiones del estator y del rotor de la máquina de
inducción mediante un análisis sencillo de la Figura 3.2.
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Si se desarrolla la parte del flujo de la ecuación ( ) se obtiene:
( )
( ) ( )
( )
De acuerdo con:
∫ ( )
( )
3.3 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de ardilla
en el marco de referencia qd0 en estado aritrario
57
Al integrar se tiene.
( ) ( )
Se dice que depende de misma y de . Aplicando la regla de la cadena
se tiene:
( )
Donde:
( )
Así entonces.
( )
( )
( )
( )
Regresando a la ecuación ( ) la expresión queda como:
( ) [
( ) ( )
] ( )
Capítulo 3. Marcos de referencia
58
[
] [
] [
] [
] [
] [
] ( )
De la forma matricial se obtienen las ecuaciones de tensión del estator.
Estator:
( )
En el caso de las ecuaciones del rotor, se tienen las mismas expresiones
que en contraste con ( ) ahora aparece una diferencia de ángulos que
indican la posición angular del rotor en un momento determinado.
[
] [
] [
] ( ) [
] [
] [
] ( )
Al igual que en el caso de los transformadores se requiere referir el
secundario al primario, para tener todo el modelo en términos de un
mismo devanado. En las máquinas giratorias se refiere el rotor al estator;
para ello se multiplica la cantidad del rotor por la relación de
transformación
. Las literales con ( ´ ) indican las cantidades del rotor
referidas al estator.
3.3 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de ardilla
en el marco de referencia qd0 en estado aritrario
59
( )
[
] [
] [
] ( ) [
] [
] [
] ( )
Rotor:
( )
( ) ( )
De acuerdo con la ecuación ( ) los flujos magnéticos de la máquina de
inducción se determinan de la siguiente manera.
( )
( )
Capítulo 3. Marcos de referencia
60
Donde.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
Escribiendo en forma más compacta:
( )
Donde:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
3.3 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de ardilla
en el marco de referencia qd0 en estado aritrario
61
En forma matricial los flujos del estator quedan expresados como:
Estator:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
] ( )
Para el rotor:
( ) ( )
( ) ( )
( )
Escribiendo en forma más compacta:
( )
Donde:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
Capítulo 3. Marcos de referencia
62
En forma matricial los flujos del rotor quedan expresados como:
Rotor:
[
]
[
]
[
]
[
]
[
] ( )
En general los flujos se pueden expresar en una sola matriz ya con las
cantidades del rotor referidas al estator considerando que la inductancia
de magnetización y la inductancia de dispersión de dispersión del rotor
son:
( )
( )
( )
[ ]
[
]
[ ]
( )
3.3 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de ardilla
en el marco de referencia qd0 en estado aritrario
63
De acuerdo con la ecuación ( ) se tiene que la potencia eléctrica total de
la máquina de inducción es:
[ ]
[ ]
( )
[
( )] ( )
El par electromagnético se puede conocer a partir de esta potencia; para
ello es necesario conocer cómo se transforma y se divide la energía desde
que entra en las terminales del estator hasta que llega en forma de
potencia mecánica a la flecha. Para realizar esta transformación se
sustituyen las ecuaciones ( ) y ( ) en ( ) para obtener las
tensiones en términos de flujos y corrientes quedando la potencia eléctrica
de la siguiente manera.
[
(
)
( ) ( ) ( )( )] ( )
Esta expresión queda en función de ( ), donde cada término
es:
Pérdidas en el cobre.
Energía que se transforma y se queda en el campo magnético.
Potencia mecánica.
Capítulo 3. Marcos de referencia
64
Como el objeto es determinar el par electromagnético, sólo se consideran
los términos . Separando dichos términos de la ecuación ( ) y
dividiéndolos entre la velocidad del rotor se llega a la ecuación del par
electromagnético.
[ ( ) ( )( )] ( )
En la expresión anterior
indica el número de polos de la máquina entre
dos. Esta razón entra en la ecuación para obtener el par electromagnético
de una máquina de n polos; de no ser así la ecuación sólo determina el par
de una máquina de dos polos.
Se puede obtener el par electromagnético en función de corrientes
únicamente. Esto se logra transformando los flujos a corrientes mediante
la ecuación ( ).
( ) ( )
Como es más sencillo operar en el sistema por unidad (pu) debido al
manejo de cantidades pequeñas en representación de cualquier magnitud
y a que la mayoría de los parámetros de las máquinas se expresan
generalmente en por unidad de una impedancia base, es conveniente
escribir los parámetros en términos de reactancias y no de inductancias
[Krause, 2002], por esto se hace necesario pasar los parámetros que se
han obtenido en por unidad mediante las siguientes expresiones.
3.3 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de ardilla
en el marco de referencia qd0 en estado aritrario
65
( )
Donde las cantidades base son:
√
( )
Donde:
( )
Al pasar las ecuaciones de la máquina al sistema pu, el modelo de la
máquina queda como:
Tensiones en el estator:
( )
Capítulo 3. Marcos de referencia
66
Tensiones en el rotor:
(
)
(
)
( )
Flujos:
[
]
[
]
[
]
( )
Par electromagnético:
[
(
) (
) (
)] ( )
(
) ( )
3.4 Modelo de la máquina de inducción de rotor jaula de ardilla
en el marco de referencia qd0 en estado estacionario
67
3.4 MODELO DE LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN DE ROTOR
JAULA DE ARDILLA EN EL MARCO DE REFERENCIA qd0
EN ESTADO ESTACIONARIO
El modelo de la máquina de inducción en el marco estacionario parte
de las ecuaciones obtenidas en el marco de referencia arbitrario. Para
realizar este análisis se considera la velocidad angular de los ejes q y d
. El marco de referencia estacionario se emplea con mayor
frecuencia para simulaciones de estudios transitorios y para pequeñas
señales de sistemas dinámicos de estabilidad [Chee-Mun, 1998]. Sin
embargo, la transformación de Park en cualquier estado o marco de
referencia es útil para simular comportamientos de sistemas eléctricos y
máquinas eléctricas [Albino, 2011].
El modelo en el marco estacionario sirve en esta tesis para observar el
comportamiento de sus características de operación tales como tensiones y
corrientes en el estator, par electromagnético desarrollado y velocidad del
rotor.
Las ecuaciones para el marco estacionario se expresan a continuación:
Tensiones en el estator:
( )
Capítulo 3. Marcos de referencia
68
Tensiones en el rotor:
( )
Flujos:
[
]
[
]
[
]
( )
Par electromagnético:
(
) ( )
ACADEMIA DE ELECTROTECNIA 2011
69
CAPÍTULO 4
PARAMETRIZACIÓN DE LA MÁQUINA DE
INDUCCIÓN
4.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se determinan los parámetros eléctricos de la máquina
de inducción en estado permanente por medio de tres pruebas
experimentales a una frecuencia de 60 hertz. La máquina utilizada tiene
los siguientes datos de placa:
Marca: LEESON Potencia: 1 HP Fases: 3 Tensión nominal: 208-230V
rpm: 1725 f= 60 Hz FP: 0.75 Corriente nominal: 3.4-3.8A
FS: 1.15 Diseño: B Ef: 0.78 Aislamiento: B1
La clase de diseño tipo B indica que la máquina bajo estudio desarrolla un
par de arranque normal o bajo, corriente de arranque baja y bajo
deslizamiento a plena carga. Esto es que la máquina toma al arranque
aproximadamente de 4 a 7 veces la corriente nominal, sin embargo en
tamaños menores a 7.5 HP las corrientes de arranque se encuentran
dentro del límite de la corriente del sistema. Por tanto en las máquinas de
baja capacidad como en este caso, se puede energizar a tensión plena
[Fitzgerald, 2004].
La voluntad de ser está en nosotros, así como la
voluntad de ser mejores. A los líderes nos
corresponde facilitar a nuestra gente el logro de
estas aspiraciones. . -Axayacatl-
Capítulo 4. Parametrización de la máquina de inducción
70
4.2 DETERMINACIÓN DE LA RESISTENCIA ÓHMICA
Esta prueba se realiza para obtener la resistencia del devanado del
estator, el procedimiento realizado es el que se describe en el apéndice B
(Prueba de CD para determinar la resistencia del estator).
La prueba se realizó en el laboratorio tres de la academia de electrotecnia
como se aprecia en la Figura 4.1, donde se tomó una lectura de tensión y
corriente. Los resultados de las lecturas se muestran en la tabla 4.1.
Tabla 4.1 Lecturas de tensión y corriente de CD.
Tensión VCD
[V]
Corriente ICD
[A]
10.79 3.40
Figura 4.1 Prueba de CD.
4.3 Prueba de vacío
71
Cálculo de la resistencia R1.
4.3 PRUEBA DE VACÍO
Esta prueba se realiza para determinar los parámetros de la rama
magnetizante del circuito equivalente. El procedimiento utilizado es el
mencionado en el apéndice B (Prueba de vacío). La prueba fue realizada en
el laboratorio tres de la academia de electrotécnica utilizando un
analizador de redes PowerPad como wáttmetro, vóltmetro y ampérmetro.
En la Figura 4.2 se muestra la máquina trabajando en vacío; el resultado
de las lecturas se muestra en la tabla 4.2.
Figura 4.2 Prueba de vacío.
Capítulo 4. Parametrización de la máquina de inducción
72
Tabla 4.2 Lecturas de la prueba de vacío.
Parámetro Fase a Fase b Fase c
V [V] 219.7 220 220.6
I [A] 2.1 2.1 2.1
P [W] 40.3 37 39.8
Para obtener las lecturas de vacío se obtiene el promedio de las tensiones y
las corrientes; para el caso de la potencia en vacío se hace la suma de las
potencias monofásicas. En la tabla 4.3 se presentan los valores en vacío de
la prueba.
Tabla 4.3 Valores de vacío.
Vo [V] Io [A] Po [W]
220.1 2.1 117.1
Cálculo de los parámetros de la rama magnetizante.
La pérdida rotatoria es la potencia que se necesita para vencer las
pérdidas por fricción y rozamiento con el aire para que el rotor desarrolle
un par. Debido a que la máquina posee un entrehierro, la potencia de
pérdidas viaja por el núcleo del estator y pasa a través del entrehierro para
llagar al rotor. De esta manera la pérdida rotatoria es la diferencia de la
4.4 Prueba de rotor bloqueado
73
potencia en vacío menos las pérdidas en el devanado del estator
[Fitzgerald, 2004].
La impedancia en vacío es altamente inductiva y su magnitud es el
resultado de la suma de la reactancia de magnetización y la reactancia de
dispersión del estator. Esto se debe a que la velocidad del rotor es casi del
valor de la síncrona por la operación en vacío la máquina es aproximada a
la síncrona [Krause, 2002].
√
√
Para poder obtener la magnitud de es necesario realizar el cálculo de
por medio de la prueba de rotor bloqueado. Mientras que la resistencia
de la rama megnetizadora se calcula mediante la siguiente expresión:
4.4 PRUEBA DE ROTOR BLOQUEADO
Este ensayo se realizó en el laboratorio de conversión de la energía tres
como se observa en la Figura 4.3. Para la prueba se utilizó como fuente de
tensión variable el generador de inducción, de igual forma se siguió el
procedimiento marcado en el apéndice B (Prueba de rotor bloqueado).
Capítulo 4. Parametrización de la máquina de inducción
74
Figura 4.3 Prueba de rotor bloqueado.
El instrumento utilizado para tomar las lecturas de tensión, corriente y
potencia fue el analizador de redes PowerPad. Las lecturas obtenidas se
reportan en la tabla 4.4.
Tabla 4.4 Lecturas de la prueba de rotor bloqueado.
Parámetro Fase a Fase b Fase c
V [V] 34.0 34.2 34.5
I [A] 3.4 3.4 3.4
P [W] 44.3 44.3 44.7
Los parámetros utilizados como magnitudes de cortocircuito fueron
tomados con el promedio para las tensiones y corrientes; así como la suma
para la potencia. En la tabla 4.5 se presentan las magnitudes de
cortocircuito.
4.4 Prueba de rotor bloqueado
75
Tabla 4.5 Valores de cortocircuito.
Vcc [V] Icc [A] Pcc [W]
34.2333 3.4 133.3
La potencia de cortocircuito medida está expresada por:
De donde se despeja la resistencia del rotor .
La magnitud de la impedancia a rotor bloqueado es:
| |
√
√
De teoría de circuitos eléctricos se sabe que la magnitud de la impedancia
también se puede determinar de la siguiente manera:
√
Capítulo 4. Parametrización de la máquina de inducción
76
De donde se pueden conocer los valores de las reactancias de dispersión.
√
√
Partiendo de la premisa en que las reactancias de dispersión en el estator
y en el rotor son simétricas se obtiene:
Una vez obtenida la reactancia de dispersión del estator se puede conocer
el valor de la reactancia de magnetización mediante un despeje en la
ecuación .
A partir de estos parámetros se pueden calcular las inductancias de
dispersión y de magnetización ya que son necesarias para la
simulación de la máquina en el capítulo 5.
4.4 Prueba de rotor bloqueado
77
Las dimensiones físicas medidas de la máquina son:
A partir de la ecuación y se pude determinar el número de
vueltas del devanado de cualquier fase del estator y del rotor sin necesidad
de desarmar la máquina. Para efectos de demostración sólo se obtiene el
número de vueltas del devanado de la fase del estator.
√
√
Capítulo 4. Parametrización de la máquina de inducción
78
La constante de inercia de la máquina se determina a partir de las
características físicas del rotor como son la masa y el radio.
La tabla 4.6 muestra todos los parámetros que se determinaron a través de
los cálculos realizados con los datos obtenidos de las tres pruebas
experimentales.
Tabla 4.6 Resumen de parámetros.
Parámetro Magnitud [Ω] Parámetro Magnitud
[Ω]
Parámetro Magnitud
[mH]
1.5867 58.3313 154.7
2.2570 2.1804 5.7835
504.0582 4.3609 11.5673
ACADEMIA DE ELECTROTECNIA 2011
79
CAPÍTULO 5
SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS
5.1 INTRODUCCIÓN
En este capítulo se realiza el diagrama de bloques que rige el
comportamiento de la máquina de inducción para ejecutarlo en Simulink
de Matlab versión 6.5. Se simula la máquina de inducción operando como
motor y como generador analizando para cada régimen de operación el
comportamiento de las curvas de tensión y corriente del estator, par
desarrollado y velocidad del rotor. La simulación se realiza a dos máquinas
de inducción; denotadas como máquina 1 a la máquina que viene
propuesta en [Chee-Mun, 1998] y máquina 2 a la máquina real bajo
estudio en esta tesis.
5.2 DESARROLLO DEL DIAGRAMA DE SIMULACIÓN
Para efectuar la simulación de la máquina de inducción se utilizará
el diagrama llamado s1 y los códigos m1 y P1HP de [Chee-Mun, 1998] para
trabajar en Simulink de Matlab versión 6.5. Debido a esto se requiere
determinar y entender la estructura y funcionamiento del diagrama de
… Un pedazo de luna en el bolsillo es mejor amuleto que la
pata de conejo: sirve para encontrar a quien se ama,
y para alejar a los médicos y las clínicas... Pon una hoja
tierna de la luna debajo de tu almohada y mirarás lo que
quieras ver...
. -Jaime Sabines-
Capítulo 5. Simulación y análisis de resultados
80
bloques s1. A continuación se hace el análisis correspondiente a la
determinación del diagrama de bloques.
Partiendo del modelo de la máquina de inducción en el marco de referencia
qd0 en estado estacionario, se reescriben las ecuaciones de tensión en
términos de flujos. Para ello primero se desarrollan las ecuaciones de la
matriz con el fin de obtener las corrientes en función de flujos y
sustituirlas en las ecuaciones de tensión para el estator y el rotor.
(
)
Para el bloque 0 tanto para estator como para rotor la ecuación queda
igual que en la matriz, pues el eje de referencia se busca dejarlo en
términos de corriente para las ecuaciones de tensión.
5.2 Desarrollo del diagrama de simulación
81
Donde:
(
)
De las ecuaciones y se despejan los flujos.
Ecuaciones de tensión del estator:
Capítulo 5. Simulación y análisis de resultados
82
Ecuaciones de tensión del rotor:
Sustituyendo las ecuaciones de corriente obtenidas del desarrollo de la
matriz en la ecuación correspondiente de tensión para estator o
rotor se tiene:
Ecuaciones del estator:
(
)
Ecuaciones del rotor:
(
)
5.2 Desarrollo del diagrama de simulación
83
Debido a que el rotor de la máquina es tipo jaula de ardilla, las tensiones
en las terminales de su devanado son igual a cero ya que las barras de la
jaula están cortocircuitadas. De esta manera las ecuaciones del rotor en
función de flujos se reescriben de la siguiente forma:
(
)
Sustituyendo la ecuación y en la ecuación se tiene una
nueva expresión para el flujo mutuo en q.
(
)
De igual forma al sustituir y en la ecuación se tiene una
nueva expresión para el flujo mutuo en d.
(
)
Capítulo 5. Simulación y análisis de resultados
84
Donde en ambos casos:
Por lo tanto la ecuación del par electromagnético queda.
(
)
La ecuación de oscilación se determina mediante:
⁄
Finalmente la ecuación de oscilación en pu queda en términos de la
constante de inercia.
Donde:
5.2 Desarrollo del diagrama de simulación
85
Una vez obtenidas todas las expresiones, se forman los bloques de
ecuaciones qd0 integrando las ecuaciones y .
Bloque q.
∫
(
)
∫
(
)
Bloque d.
∫
∫
Bloque 0.
∫
∫
En la Figura 5.1 se muestra el diagrama para la simulación de la máquina
de inducción.
Capítulo 5. Simulación y análisis de resultados
86
Vsq
Ψm
q
Ψsq
Ψm
q
(wr/
wb) Ψ
´rd
Ψ´r
q
Ψsq
Ψ´r
q
Ψm
q
isq
i´rq
Vsd
Ψm
d
Ψsd
Ψm
d
(wr/
wb) Ψ
´rq
Ψ´r
d
Ψsd
Ψ´r
d
Ψm
d
isd
i´rd
Ψsd
Ψsd
Ψ´r
d
Ψ´r
d
Ψm
d
Ψm
d
Ψ´r
q
Ψ´r
q
Ψm
q
Ψm
q
Ψsq
Ψsq
is0
Vs0
is0
isq
Ψsq
isd
Ψsd
Tem
Tm Ta
(wr/
wb)
Vas
Vbs
Vcs
Ec. (5
.21)
Ec. (5
.22)
Ec. (5
.23)
Ec. (5
.24)
Ec. (5
.25)
Ec. (5
.15)
Ec. (5
.14)
Ec. (5
.1)
Ec. (5
.4)
Ec. (5
.2)
Ec. (5
.5)
Ec. (5
.17)
Ec. (5
.18)
Ec. (3
.30)
isd
is0is
qia
s
ibs
ics
Ec. (3
.31)
Ec. (5
.26)
i´r0
i´r0
Grá
fica 3
y 4
Grá
fica 2
Grá
fica 1
Fig
ura
5.1
Dia
gra
ma d
e s
imu
lació
n.
5.3 Simulación de la máquina de inducción
87
5.3 SIMULACIÓN DE LAS MÁQUINAS DE INDUCCIÓN
La simulación se realizó en dos partes; en la primera se simuló una
máquina de inducción de características similares a la máquina real bajo
estudio. Ésta es propuesta en [Chee-Mun, 1998] con el nombre de
proyecto 1 perteneciente al apartado 6.11; esto con el objeto de validar el
comportamiento del modelo experimental de la máquina real bajo
simulación. Para diferenciar las máquinas entre sí, a la máquina
propuesta se le denominó máquina 1 y a la real se le llamó máquina 2. En
la Tabla 5.1 se muestran los parámetros de las máquinas simuladas.
Tabla 5.1 Parámetros de las máquinas.
Parámetro Máquina 1 Máquina 2
750 VA 750 VA
750 W 750 W
200 V 220 V
0.8 0.75
4 4
60 Hz 60 Hz
3.35 Ω 1.5867 Ω
1.99 Ω 2.2570 Ω
163.73 mH 154.7 mH
6.94 mH 5.7835 mH
6.94 mH 5.7835 mH
0.1 kgm2 0.0335 kgm2
Capítulo 5. Simulación y análisis de resultados
88
Cada máquina se simuló en sus regímenes de operación motor y
generador, analizando para cada caso el comportamiento de las gráficas de
tensión, corriente, par electromagnético y velocidad del rotor en pu.
5.3.1 Simulación en régimen motor y análisis de resultados
La simulación en régimen motor se llevó a cabo con el programa m1,
el cual carga los valores del código P1HP; por tanto es necesario primero
abrir el archivo P1HP e introducir los parámetros indicados en la tabla 5.1
correspondientes a la máquina 1 y guardar los cambios.
Posteriormente se abre m1 y se verifica que el vector que lleva por nombre
Tmech_value contenga valores negativos; esto indica que el par mecánico
que se está presentando en el momento de la simulación es brindado por
la máquina para mover cualquier carga adecuada. Existe otro vector
llamado Tmech_time que contiene el tiempo de simulación dividido en
pasos, debido a que opera en conjunto con Tmech_value, para cada paso
de tiempo corresponde un porcentaje distinto de par en la máquina. A
continuación se muestran los valores de cada vector.
El tiempo de simulación tstop se considera de dos segundos. Una vez que
se verificaron dichos vectores, el código se ejecuta. Automáticamente la
pantalla principal de Matlab aparece para que se introduzca un comando
que llama a las gráficas.
5.3 Simulación de la máquina de inducción
89
Para poder ver las gráficas, se debe ejecutar el diagrama de simulación s1.
Esto se logra dando clic en el bloque superior derecho llamado initialize
and plot m1 para que se carguen los parámetros y datos de simulación de
la máquina, enseguida se acciona el botón start simulation y al finalizar se
escribe en la pantalla principal de Matlab la palabra return para que
regrese las gráficas a analizar. Una vez obtenida la simulación de la
máquina propuesta se realizó nuevamente para la máquina 2. A
continuación se muestra la conducta de las máquinas de inducción
tomando como punto de comparación las gráficas de la máquina 1.
En la Figura 5.2 se muestra el comportamiento de la tensión de la fase a
del estator en ambas máquinas; en estas gráficas se nota que las
máquinas se arrancan a tensión plena y se mantiene en operación a su
respectiva tensión nominal. En la Figura 5.3 la corriente de arranque es
aproximadamente 7 veces la corriente nominal al inicio y en b) a 0.12
segundos se estabiliza a su valor nominal. Conforme va incrementando o
disminuyendo el par mecánico a través del tiempo, respectivamente va en
aumento o en disminución la corriente.
a)
b)
Figura 5.2 Comportamiento de la tensión de fase a neutro del estator:
a) máquina 1 y b) máquina 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
van [
V]
TENSIÓN DE FASE A NEUTRO DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-20
-10
0
10
20
ias [
A]
CORRIENTE DE LÍNEA DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
van [
V]
TENSIÓN DE FASE A NEUTRO DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-20
-10
0
10
20
ias [
A]
CORRIENTE DE LÍNEA DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
Capítulo 5. Simulación y análisis de resultados
90
a)
b)
Figura 5.3 Comportamiento de la corriente de línea del estator:
a) máquina 1 y b) máquina 2
a)
b)
Figura 5.4 Desfasamiento angular entre tensión y corriente:
a) máquina 1 y b) máquina 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
van [
V]
TENSIÓN DE FASE A NEUTRO DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-20
-10
0
10
20
ias [
A]
CORRIENTE DE LÍNEA DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
van [
V]
TENSIÓN DE FASE A NEUTRO DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-20
-10
0
10
20
ias [
A]
CORRIENTE DE LÍNEA DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
1.396 1.398 1.4 1.402 1.404 1.406 1.408 1.41 1.412-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
van [
V]
TENSIÓN DE FASE A NEUTRO DEL ESTATOR
1.396 1.398 1.4 1.402 1.404 1.406 1.408 1.41 1.412-5
0
5
ias [
A]
CORRIENTE DE LÍNEA DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 50 100 150 200 250 300 350
GRADOS [°]
0 50 100 150 200 250 300 350
GRADOS [°]
1.396 1.398 1.4 1.402 1.404 1.406 1.408 1.41 1.412-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
van [
V]
TENSIÓN DE FASE A NEUTRO DEL ESTATOR
1.396 1.398 1.4 1.402 1.404 1.406 1.408 1.41 1.412-5
0
5
ias [
A]
CORRIENTE DE LÍNEA DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 50 100 150 200 250 300 350
GRADOS [°]
0 50 100 150 200 250 300 350
GRADOS [°]
5.3 Simulación de la máquina de inducción
91
El desfasamiento entre la onda de tensión y corriente en la Figura 5.4 a)
muestra que la corriente está retrasada 35° respecto a la tensión. Mientras
que en la Figura 5.4 b) el ángulo de desfasamiento es 40°.
Este desfasamiento indica que se presenta el mismo comportamiento en la
máquina 2 y por tanto la se encuentra operando también en el régimen
motor. El hecho de que la corriente este atrasada se debe a que el circuito
eléctrico de la máquina es mayormente inductivo.
En la Figura 5.5 a) se aprecia el par electromagnético desarrollado por la
máquina eléctrica; en el régimen motor este par es positivo por lo que se
puede validar el mismo comportamiento para la máquina 2 al tener la
Figura 5.5 b) un par electromagnético de valor positivo.
a)
b)
Figura 5.5 Curva del par electromagnético desarrollado como motor:
a) máquina 1 y b) máquina 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wr/
wb
TIEMPO [s]
VELOCIDAD DEL ROTOR EN PU
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5
0
5
10
15
20
Tem
[N
m]
PAR DESARROLLADO
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
0
10
20
30
40
Tem
[N
m]
PAR DESARROLLADO
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wr/
wb
TIEMPO [s]
VELOCIDAD DEL ROTOR EN PU
Capítulo 5. Simulación y análisis de resultados
92
a)
b)
Figura 5.6 Curva de velocidad del rotor en por unidad:
a) máquina 1 y b) máquina 2
Para apreciar mejor el régimen de operación en el que se encuentre la
máquina de inducción es más conveniente pasar el sistema a pu. En este
sistema se toma como referencia el valor de 1 pu como la velocidad
angular del sistema y partiendo de esa referencia se puede apreciar
fácilmente el régimen de operación. En la Figura 5.6 se observa que la
velocidad del rotor se encuentra por debajo de la velocidad del sistema.
Esto se debe a que cuando la máquina opera como motor el deslizamiento
se encuentra entre 0 y 1 y por tanto la velocidad del rotor es menor que la
del campo magnético giratorio.
5.3.2 Simulación en régimen generador y análisis de
resultados
La simulación para el régimen generador se realizó de la misma
forma que para el régimen motor, lo único que cambió es que el valor de
Tmech_value fue positivo; lo que significa que el par existente en la
simulación es brindado de un medio externo hacia adentro de la máquina
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wr/
wb
TIEMPO [s]
VELOCIDAD DEL ROTOR EN PU
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5
0
5
10
15
20
Tem
[N
m]
PAR DESARROLLADO
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
0
10
20
30
40
Tem
[N
m]
PAR DESARROLLADO
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wr/
wb
TIEMPO [s]
VELOCIDAD DEL ROTOR EN PU
5.3 Simulación de la máquina de inducción
93
para que opere como generador llevando la velocidad del rotor por encima
de la velocidad del sistema. A continuación se muestran los valores de
cada vector.
Al finalizar la simulación de la máquina 1 se simuló nuevamente para la
máquina 2. A continuación se analiza el comportamiento de las máquinas
de inducción tomando como punto de comparación las gráficas de la
máquina 1.
En la Figura 5.7 se presenta el comportamiento de la tensión de fase de la
máquina de inducción trabajando como generador. En la gráfica de la
Figura 5.7 a) se aprecia que el generador entrega en sus terminales una
tensión de fase de 163 V y en la Figura 5.7 b) se genera una tensión de
180 V que es el equivalente del valor de la tensión nominal de fase en
ambas máquinas respectivamente.
a)
b)
Figura 5.7 Comportamiento de la tensión de fase generada en las
terminales del estator: a) máquina 1 y b) máquina 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
van [
V]
TENSIÓN DE FASE A NEUTRO DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-20
-10
0
10
20
ias [
A]
CORRIENTE DE LÍNEA DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
van [
V]
TENSIÓN DE FASE A NEUTRO EN EL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-20
-10
0
10
20
ias [
A]
CORRIENTE DE LÍNEA EN EL ESTATOR
TIEMPO [s]
Capítulo 5. Simulación y análisis de resultados
94
a)
b)
Figura 5.8 Comportamiento de la corriente de línea en el estator:
a) máquina 1 y b) máquina 2
Las gráficas de la Figura 5.8 muestran la corriente de arranque del
generador, donde la corriente que utiliza cada máquina al arranque es de
aproximadamente 7 veces la corriente nominal y al igual que en el régimen
motor se regula la corriente al valor nominal en el mismo tiempo. La
corriente se comporta de la misma manera cuando la turbina crea un par
de carga mayor en la flecha.
Teóricamente el desfasamiento angular entre tensión y corriente en el
régimen generador es aproximadamente igual a realizar la diferencia de
menos el ángulo de desfasamiento obtenido en el régimen motor.
Para la máquina 1:
Para la máquina 2:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
van [
V]
TENSIÓN DE FASE A NEUTRO DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-20
-10
0
10
20
ias [
A]
CORRIENTE DE LÍNEA DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
van [
V]
TENSIÓN DE FASE A NEUTRO EN EL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-20
-10
0
10
20
ias [
A]
CORRIENTE DE LÍNEA EN EL ESTATOR
TIEMPO [s]
5.3 Simulación de la máquina de inducción
95
a)
b)
Figura 5.9 Desfasamiento angular entre tensión y corriente:
a) máquina 1 y b) máquina 2
En la Figura 5.9 a) se observa que el desfasamiento entre tensión y
corriente en el estator es de 130° mientras que para la Figura 5.9 b) el
desfasamiento es de 128°. Esto que quiere decir que el comportamiento del
circuito equivalente experimental es correcto en su régimen generador y
por tanto de motor.
A diferencia de la operación en régimen motor, el par electromagnético que
se desarrolla en el régimen generador es de valor negativo. Esto se puede
apreciar en la Figura 5.10.
1.396 1.398 1.4 1.402 1.404 1.406 1.408 1.41 1.412-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
van [
V]
TENSIÓN DE FASE A NEUTRO DEL ESTATOR
1.396 1.398 1.4 1.402 1.404 1.406 1.408 1.41 1.412-5
0
5
ias [
A]
CORRIENTE DE LÍNEA DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 50 100 150 200 250 300 350
GRADOS [°]
0 50 100 150 200 250 300 350
GRADOS [°]
1.396 1.398 1.4 1.402 1.404 1.406 1.408 1.41 1.412-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
van [
V]
TENSIÓN DE FASE A NEUTRO DEL ESTATOR
1.396 1.398 1.4 1.402 1.404 1.406 1.408 1.41 1.412-5
0
5
ias [
A]
CORRIENTE DE LÍNEA DEL ESTATOR
TIEMPO [s]
0 50 100 150 200 250 300 350
GRADOS [°]
0 50 100 150 200 250 300 350
GRADOS [°]
Capítulo 5. Simulación y análisis de resultados
96
a)
b)
Figura 5.10 Curva del par electromagnético desarrollado como
generador: a) máquina 1 y b) máquina 2
Finalmente en el régimen generador, el rotor de la máquina de inducción
gira a una velocidad mayor que la del campo magnético giratorio y por
tanto su deslizamiento es mayor a la unidad. Esto se aprecia rápidamente
si se grafica en el sistema por unidad ya que en este régimen de operación
la curva de velocidad del rotor pasa por encima de la unidad como se
muestra en la Figura 5.11.
a)
b)
Figura 5.11 Curva de velocidad del rotor en por unidad:
a) máquina 1 y b) máquina 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5
0
5
10
15
20T
em
[N
m]
PAR DESARROLLADO
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wr/
wb
TIEMPO [s]
VELOCIDAD DEL ROTOR EN PU
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
0
10
20
30
40
Tem
[N
m]
PAR DESARROLLADO
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wr/
wb
VELOCIDAD DEL ROTOR EN PU
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5
0
5
10
15
20
Tem
[N
m]
PAR DESARROLLADO
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wr/
wb
TIEMPO [s]
VELOCIDAD DEL ROTOR EN PU
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10
0
10
20
30
40
Tem
[N
m]
PAR DESARROLLADO
TIEMPO [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wr/
wb
VELOCIDAD DEL ROTOR EN PU
TIEMPO [s]
Conclusiones y recomendaciones
97
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Después de realizar esta tesis se puede concluir que:
La utilización de los marcos de referencia sirve para modelar
máquinas eléctricas y estudiar con mayor énfasis el comportamiento
de variables como son tensiones, corrientes, potencias, velocidad,
par electromagnético, entre otros.
El marco de referencia qd0 facilita el análisis del modelado de la
máquina de inducción y el estudio de sus variables bajo condiciones
normales de operación ya que quita la dependencia angular para las
ecuaciones del rotor.
En el marco natural de la máquina se pueden simular todo tipo de
fallas y efectos diversos en la máquina tales como barras rotas en el
rotor y que no se pueden simular en el marco qd0.
Una pequeña variación en el balance de tensión para la prueba de
vacío provoca una variación considerable en las lecturas de potencia
activa.
Una máquina real que ha sido reparada y/o rebobinada tiene un
ligero cambio en sus parámetros respecto a los que deberían ser de
manera original, sin embargo no afectan de manera significativa en
Conclusiones y recomendaciones
98
su comportamiento en ninguno de los regímenes de operación
analizados en esta tesis.
La simulación aporta de manera gráfica el comportamiento de la
máquina para un mejor entendimiento de la operación de ésta en
vacío y bajo cambios en la carga.
A través de la comparación del comportamiento de una máquina que
se conoce por completo respecto de otra que sólo se posee
físicamente se puede determinar el buen funcionamiento de la
misma; tal y como se demostró en la comparación de las máquinas
utilizadas en esta tesis.
El desfasamiento entre tensión y corriente en el régimen motor es
relativamente pequeño en comparación al desfasamiento presentado
en el régimen generador. Además de que se guarda una relación
entre el desfasamiento del generador con el del motor; pues al tener
el ángulo de desfasamiento en uno de estos regímenes de operación
se puede conocer el otro sin necesidad de medirlo.
Aportaciones a los escritores
Este proyecto permitió despertar el interés y conocer más sobre las
máquinas eléctricas.
Aplicación analítica de física básica (electromagnetismo) para llegar
a análisis complejos.
La determinación de las inductancias presentes en la máquina de
inducción a partir de condiciones de frontera.
Conclusiones y recomendaciones
99
Conocimiento acerca de la transformación de Park .
Aplicación de diversos conocimientos adquiridos a lo largo de la
carrera, desde materias básicas hasta materias de ingeniería
aplicada.
Recomendaciones
Comprobar de manera experimental lo obtenido de la simulación
haciendo operar la máquina de inducción como motor con una carga
adecuada y como generador acoplando una máquina de CD para
brindarle la potencia mecánica adecuada a la flecha como
generador.
Considerar el efecto de saturación magnética sobre la máquina.
Referencias
101
REFERENCIAS
[Albino, 2011] Albino P. I., Lázaro G. M., “Asesorías de Máquinas
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ACADEMIA DE ELECTROTECNIA 2011
105
APÉNDICE A
TIPOS DE ARRANQUE Y CONTROLES PARA
MÁQUINAS DE INDUCCIÓN
A.1 INTRODUCCIÓN
Los motores de inducción son los equipos más utilizados en la
industria, donde una de sus características es la alta magnitud de
corriente al arranque, ésta puede causar disturbios en la red los cuales
deben ser controlados. Este apéndice muestra brevemente los métodos de
arranque y control de la velocidad para los motores de inducción.
A.2 MÉTODOS DE ARRANQUE
El proceso de arranque de un motor implica un consumo
considerado de corriente con respecto a la nominal, debido a que en el
instante de puesta en servicio la carga en la flecha es casi nula, si esto
se analiza en el circuito equivalente se abstrae la siguiente premisa: a
menor magnitud de carga mayor será el consumo de corriente de éste.
Existen varios métodos de arranque los cuales siempre reducen la
corriente que una máquina consume de la red, entre los más conocidos se
tienen:
La vida es aquello que te va sucediendo mientras te
empeñas en hacer otros planes. . -John Lennon-
Apéndice A. Tipos de arranque y controles para máquinas de inducción
106
Estrella Delta
Autotransformador
Resistor primario
Es preciso resaltar que cuando se reduce la corriente que demanda una
máquina al arranque se presenta una disminución de tensión y par
electromagnético para lograr una aceleración más suave de la carga.
A.2.1 Arranque estrella-delta
Este método de arranque consiste en conectar los devanados del
motor en estrella al momento del arranque, ya estabilizada la máquina se
realiza el cambio a delta. Analizando el método se tiene que cuando una
máquina es puesta en servicio, la tensión de alimentación en estrella es
√ de la conexión delta, la corriente que consume de la red es la tercera
parte de la que consumiría en delta. Así mismo el par de arranque se
reduce entre los valores de 40% al 67% del par nominal.
Este procedimiento de arranque se utiliza cuando el par inicial de la carga
no excede el 50% del par nominal de la máquina debido a la reducción del
par electromecánico al momento de la puesta en servicio.
A.2.2 Arranque con autotransformador
Consiste en conectar un autotransformador al motor para reducir la
tensión de alimentación al arranque y como consecuencia se reduce la
corriente de arranque. El procedimiento para la puesta en servicio se
realiza arrancando una máquina en un paso de tensión reducida del
A.2 Métodos de arranque
107
autotransformador para evitar el alto consumo de corriente, la máquina
girará hasta alcanzar una velocidad constante, en seguida se aumenta otro
paso de tensión esperando que se estabilice la velocidad, así hasta la
tensión nominal.
Considerando que el par varía con el cuadrado de la tensión aplicada en
el instante de puesta en marcha se tiene la siguiente relación entre el par
generado por la tensión aplicada por el autotransformador y el par
resultante en la máquina .
Al analizar la Figura A.1 se puede notar que la corriente que consume el
motor se encuentra en función de la tensión de alimentación Vm y de
igual forma la reducción de corriente de arranque con este método.
Figura A.1 Conexión de un motor con autotransformador.
M
IL
Iar
VL
Vm
Apéndice A. Tipos de arranque y controles para máquinas de inducción
108
La corriente consumida de la red se obtiene por medio del cociente del
paso de tensión y la tensión nominal de autotransformador por la
corriente de arranque del motor como se muestra a continuación.
Para comprobar la reducción del consumo de corriente se supone el
arranque de un motor al 80% de la tensión y corriente nominal,
sustituyendo los valores en se encuentra lo siguiente.
Como se puede observar en el cálculo anterior la disminución de la
corriente es proporcional a la disminución de la tensión, así mismo el par
electromecánico disminuye con el cuadrado de la tensión. Así pues si se
tiene una caída de tensión del 20% en el autotransformador, la corriente
absorbida por el motor durante el arranque es del 80% por tanto el par se
reduce a un 64% [Buitrón, 1984].
A.2.3 Arranque con resistor primario
En este método de arranque la máquina de inducción se conecta a la
red añadiendo en serie con el devanado del estator un grupo de resistores
variables los cuales producen una caída de tensión.
A.2 Métodos de arranque
109
La caída de tensión que tienen estos resistores controla y reduce el paso de
corriente en la máquina de inducción [Buitrón, 1984].
Como se observa en la Figura A.2 cuando se aumenta la magnitud del
resistor se provoca una mayor caída de tensión en éste y por consiguiente
la corriente que se suministra en la máquina disminuye y viceversa.
Cuando la tensión suministrada por el resistor alcanza un 30% de la
tensión nominal, la máquina se conecta directo a la red sacando de
operación el grupo de resistores. El análisis de la corriente suministrada es
igual que para el autotransformador.
Figura A.2 Arranque de una máquina de inducción con resistores
primarios.
M
VLIL
Vm Iar
Va
Vb
Vc
Apéndice A. Tipos de arranque y controles para máquinas de inducción
110
A.3 CONTROL Y REGULACIÓN DE VELOCIDAD
El control de velocidad de una máquina de inducción se derivó de
que las máquinas de C.C. son ideales para el control de velocidad, pero
éstas económicamente tienen un precio elevado respecto a una máquina
de inducción. Así mismo el régimen de la velocidad asíncrona es casi
constante por lo que el control de velocidad es idóneo para cargas que
necesitan una velocidad constante.
Partiendo de la ecuación se puede observar que la velocidad de una
máquina depende directamente de la frecuencia , del número de polos
y del deslizamiento .
Así mismo se puede cambiar la velocidad reduciendo la tensión que es
suministrada a la máquina por la red. A continuación se describen
brevemente los métodos utilizados para el control de velocidad.
A.3.1 Control de velocidad por cambio de número de polos
Cambiando el número de polos se modifica la velocidad del campo
magnético giratorio y por consecuencia la velocidad de rotación. El método
consiste en utilizar los devanados del estator. Para que el control sea
viable el rotor que se utiliza tiene que ser tipo jaula de ardilla ya que el
número de polos se adapta automáticamente por inducción.
A.3 Control y regulación de velocidad
111
Existen dos métodos para el control de velocidad por el número de polos:
Polos consecuentes
Devanados de estator múltiples
El método de polos consecuente se desarrolló en 1897, se basa en que el
número de polos en los devanados del estator se pueden cambiar con un
factor de 2:1 modificando la conexión de las bobinas. En la Figura A.3 se
puede observar el flujo de corriente en un instante de tiempo en operación
normal, el campo magnético sale del estator en la fase superior y entra en
la parte inferior, es decir, en este devanado se producen dos polos
magnéticos [Stephen, 2006].
Suponga que se invierte la dirección del flujo de corriente en la parte
inferior del devanado como se ve en la Figura A.4, esto resulta en que el
campo magnético sale del estator tanto en la parte superior como en la
inferior en el mismo instante de tiempo implicando que es un sólo polo
magnético. El flujo magnético regresa al estator entre las dos partes del
devanado de fase, generando un par de polos consecuentes. Ahora la
máquina tiene cuatro polos magnéticos, es decir, el doble de los que tenía
antes.
Figura A.3 Fase a del devanado del estator de una máquina de inducción
[Stephen, 2006].
B
B
N
S
N S
a1 a2a1' a2'
i(t)
a1'
a2 a2'
a1
Apéndice A. Tipos de arranque y controles para máquinas de inducción
112
Figura A.4 Fase de un devanado de polos cambiantes al invertir la
conexión de la bobina [Stephen, 2006].
La principal desventaja de este método es que las velocidades deben de
tener una relación 2:1. La solución de este problema era utilizar el método
de devanados múltiples con diferente número de polos y energizar sólo un
grupo de polos a la vez.
A.3.2 Regulación de la velocidad variando la frecuencia
Como se describió en la ecuación la velocidad asíncrona
depende de la frecuencia de suministro. Si se utiliza el control por
frecuencia variable se puede ajustar la velocidad por arriba y debajo de la
velocidad nominal de una máquina. El variado de la frecuencia puede
B
B
NN S
a1 a2a1' a2'
a1'
a2 a2'
a1S N
N
S SB B
A.3 Control y regulación de velocidad
113
controlar desde el 5% de la velocidad nominal hasta el doble de ésta, sin
embargo se deben de vigilar los valores de tensión y corriente para tener
una operación segura.
Cuando se opera con frecuencias menores a la nominal la tensión aplicada
debe disminuir linealmente para evitar que el acero se sature y producir
corrientes de magnetización excesivas. Así mismo cuando se opera con
frecuencias mayores a la nominal, la tensión del estator se mantiene en su
valor nominal disminuyendo el flujo e incrementando el par resultante.
Actualmente este control de velocidad es el más utilizado debido a los
controladores en estado sólido que existen se pueden utilizar en cualquier
máquina de inducción [Stephen, 2006].
A.3.3 Variando la tensión aplicada al estator
Como se mencionó en la ecuación el par desarrollado es
proporcional al cuadrado de la tensión aplicada. El control variando la
tensión es utilizado para controlar pequeños motores. Si se desea controlar
por este método la velocidad se encuentra en un intervalo muy reducido
para una carga específica
A.3.4 Variando la resistencia del circuito del rotor
El control de velocidad variando la resistencia del rotor se logra
insertando resistores en el estator lo cual genera que se obtenga una curva
de par velocidad por cada valor de resistencia que se agregue. La
peculiaridad de este método es que se debe utilizar por periodos cortos de
tiempo ya que se reduce la eficiencia de la máquina [Stephen, 2006].
ACADEMIA DE ELECTROTECNIA 2011
115
APÉNDICE B
DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE
LA MÁQUINA
B.1 INTRODUCCIÓN
El circuito equivalente de una máquina sirve para conocer el
comportamiento de ésta al momento de ser energizada, ante la carga o en
condiciones no nominales, entre otros. Al utilizar una máquina real es
necesario conocer los parámetros de ésta por medio de tres pruebas de
laboratorio:
Prueba de CD para la determinar la resistencia del estator
Prueba de vacío
Prueba de rotor bloqueado
Las pruebas anteriores se deben de realizar con especial atención en la
temperatura de los devanados, debido a que la resistencia depende de la
temperatura. A continuación se da una breve explicación de lo que
consisten las pruebas mencionadas.
Vivir no es sólo existir, sino existir y crear, saber
gozar y sufrir y no dormir sin soñar. Descansar, es
empezar a morir. . -Gregorio Marañón-
Apéndice B. Determinación de los parámetros de la máquina
116
B.2 PRUEBA DE CD PARA DETERMINAR LA RESISTENCIA
DEL ESTATOR
Esta prueba parametriza la resistencia del estator . Para llevar a
cabo esta prueba se aplica una tensión de CD a los devanados del estator.
Debido a que se alimenta con CD no se genera una tensión inducida en el
rotor, de igual forma no se induce una reactancia en el estator. Por
consiguiente lo único que regula el flujo de corriente es la resistencia del
estator. En la Figura B.1 se muestra el circuito de prueba para la medición
de la resistencia del estator.
Como se puede apreciar en la Figura B.1 se conecta una fuente de tensión
a dos de los devanados de la máquina, para ajustar la fuente de tensión
hasta tener la corriente nominal en la pantalla del ampérmetro. Lo anterior
se realiza para calentar los devanados a la misma temperatura que
tendrían a su operación nominal.
Figura B.1 Circuito de Prueba de CD para la resistencia del estator
[Stephen, 2006].
Vcd
Resistor limitador de corriente
A
V
R1R1
R1
In
B.3 Prueba de vacío
117
La corriente fluye por los dos devanados, por lo que la resistencia está
dada por la siguiente expresión:
Con la magnitud de se calculan las pérdidas en el cobre en el estator en
vacío y las pérdidas rotacionales.
B.3 PRUEBA DE VACÍO
La prueba de vacío proporciona información al respecto de la corriente
de excitación y de pérdidas sin carga. En este ensayo no se obtiene
potencia útil en el eje (dado que no existe ninguna carga y el rotor forma
un circuito abierto para el paso de corriente), por lo que toda la potencia
corresponde a pérdidas (en el hierro, en el cobre del estator y en
rozamiento mecánico). Por lo tanto, el ensayo en vacío permite medir estas
pérdidas.
Esta prueba consiste en hacer funcionar la máquina a tensión y frecuencia
nominal sin tener alguna carga mecánica en el rotor. Se toman lecturas de
la potencia absorbida , la tensión aplicada a la máquina y la corriente
de vacío . Como el motor no tiene carga en el eje (sólo las pérdidas por
fricción y rozamiento con el aire), la velocidad del rotor en vacío gira muy
cercana a la del campo giratorio.
A continuación en la Figura B.2 se presenta el diagrama de conexiones
para la prueba en vacío.
Apéndice B. Determinación de los parámetros de la máquina
118
Figura B.2 Diagrama de conexiones para la prueba de vacío.
Para el motor bajo prueba, la potencia de entrada medida por los
wáttmetros W1, W2 y W3 debe ser igual a las pérdidas en el motor, la
corriente que circula por la líneas es la corriente y como normalmente
en las máquinas polifásicas es común medir la tensión de línea a línea, la
tensión de línea a neutro debe ser calculada. Las pérdidas en el cobre del
rotor son despreciables ya que la corriente que circula por el rotor es muy
pequeña pero suficiente para generar un par que venza las pérdidas por
fricción y rozamiento.
Para este ensayo se tiene que la potencia en vacío está compuesta por
tres pérdidas.
Para obtener cada una de las potencias de pérdida anteriores es
importante mencionar que para:
Fuen
te de Ten
sión
Variab
le
M
A W1
A W2
A W3
V
V
Neutro
B.3 Prueba de vacío
119
Pérdidas en el cobre se pueden calcular si se tiene con antelación la
resistencia de cada una de las fases del estator. Las pérdidas en
el cobre del estator son dadas por la siguiente expresión.
Para obtener y se tiene que alimentar a la máquina con una
tensión variable empezando con 110% de la tensión nominal
bajando por pasos hasta un 20% ó 30% de la tensión nominal,
tomando en cuenta que se tienen que registrar lecturas de potencia,
tensión y corriente en cada paso.
Partiendo de los puntos anteriores se deducen las perdidas por el hierro y
perdidas mecánicas en cada paso, de acuerdo con la siguiente expresión:
Al formar una curva de en función del cuadrado de la tensión,
como se muestra en la Figura B.3, se puede observar que para cuando el
valor de V es igual con cero se encuentran las pérdidas mecánicas ya que
no pueden existir pérdidas en el hierro debido a que no se presenta un
flujo.
Apéndice B. Determinación de los parámetros de la máquina
120
Figura B.3 Reparto de las pérdidas en vacío en función de la tensión.
Ya conocidas las pérdidas mecánicas y en el hierro de manera
independiente se puede calcular la rama en paralelo del circuito
equivalente mostrado en la Figura B.4.
Figura B.4 Circuito equivalente en vacío.
Pm+Pfe
VlVln
PFe
Pm
ImVf
Io
Rfe XmIfe
B.3 Prueba de vacío
121
Para el cálculo de las ramas tenemos que:
De las ecuaciones anteriores se entiende que:
y
En caso de que no se cuente con la curva de comportamiento en vacío de
la máquina se puede calcular la suma de las reactancias de dispersión y
magnetización por medio de la expresión .
De la expresión anterior se puede obtener la reactancia de magnetización
si se conoce con anterioridad la reactancia de dispersión.
Apéndice B. Determinación de los parámetros de la máquina
122
B.4 PRUEBA DE ROTOR BLOQUEADO
Este ensayo proporciona información de las impedancias de
dispersión. El rotor se bloquea mecánicamente de modo que no pueda
girar, de tal modo que el deslizamiento es unitario. El diagrama de
conexiones es el mostrado para la prueba de vacío, ver Figura B.2.
El ensayo se realiza aplicando al estator una tensión de aproximadamente
del 10% al 20% de la nominal para alcanzar una magnitud de corriente a
plena carga, cuando lo anterior se logra, se toman lecturas de corriente,
tensión y potencia de cortocircuito. Observando la Figura B.5 se puede
resaltar que la resistencia
es igual a ya que el deslizamiento es
unitario y debido a que y son lo suficientemente pequeños para que
la corriente circule a través de ellos en comparación de y , éstos dos
últimos son despreciables.
Figura B.5 Circuito equivalente de la máquina para el ensayo de rotor
bloqueado.
R1X1 X2
R2/s=R2
B.4 Prueba de rotor bloqueado
123
De la toma de lecturas de la potencia, tensión y corriente de cortocircuito
antes mencionadas se puede obtener los siguientes parámetros:
De la expresión anterior resultan los siguientes valores:
En suma el ensayo de rotor bloqueado permite obtener los parámetros de
la rama serie de la máquina, si se desea utilizar en la maquina el circuito
equivalente exacto se tendrá que utilizar de forma práctica que:
Otro procedimiento para determinar las reactancias y además la
reactancia de dispersión es como a continuación se enuncia.
Apéndice B. Determinación de los parámetros de la máquina
124
Partiendo de la potencia de cortocircuito expresada en función de la
resistencia del estator y del rotor referida al estator, se tiene:
De se despeja ya que se obtuvo de la prueba de CD.
La obtención de la reactancia de dispersión y de magnetización se realiza
por medio de la impedancia de cortocircuito.
| |
√
De se despejan las reactancias.
√
B.4 Prueba de rotor bloqueado
125
Suponiendo que la reactancia de dispersión en el estator y en el rotor son
iguales, se puede obtener la reactancia de magnetización sin necesidad de
tener la curva de comportamiento en vacío.
Con las tres pruebas realizadas se tienen todos los parámetros requeridos
para determinar el circuito equivalente de la máquina.
ACADEMIA DE ELECTROTECNIA 2011
127
APÉNDICE C
DETERMINACIÓN DE LAS INDUCTANCIAS
DE LA MÁQUINA
C.1 INTRODUCCIÓN
En la máquina de inducción debido a la disposición y geometría de las
bobinas, existen inductancias. Estas inductancias pueden ser propias de
cada fase y por lo mismo interactúan entre sí; o inductancias mutuas
entre fases. Debido al efecto de inducción se desarrollan flujos en el rotor;
que al interactuar con los del estator originan flujos mutuos entre rotor y
estator.
En este apéndice se muestra el desarrollo matemático para la obtención de
dichas inductancias partiendo de un análisis de las condiciones de
frontera, donde se observa el comportamiento del campo magnético al
pasar de un medio a otro con diferente permeabilidad a través de dos
ecuaciones de Maxwell que son la ley de Gauss para campos magnéticos y
la Ley de Ampère.
Cuando menos lo esperamos, la
vida nos coloca delante un desafío
que pone a prueba nuestro coraje y
nuestra voluntad de cambio. . -Paulo Coelho-
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
128
C.2 CONDICIONES DE FRONTERA
Todo campo que cumple con la ley de Gauss para campos magnéticos y
con la ley de Ampère se considera que es un campo magnético. Cuando un
campo magnético pasa de un medio a otro con diferente permeabilidad ,
por ejemplo hierro y aire, el campo sufre una deflexión [Albino, 2011].
En la Figura C.1 se muestra la deflexión del campo magnético al pasar de
un medio dos con permeabilidad , a un medio uno con permeabilidad ,
así como sus componentes vectoriales normal y tangencial.
De la ley de Gauss para campos magnéticos se tiene que:
Figura C.1 Deflexión del campo magnético al pasar de un medio a otro
con sus componentes vectoriales.
μ1
μ2
B2n B2
B2t
B1
B1t
B1n
C.2 Condiciones de frontera
129
De la Figura C.1 se observa que:
Sustituyendo en se tiene.
Por lo que
En la Figura C.2 se analiza el comportamiento de la intensidad de campo
magnético en las mismas condiciones de frontera. De acuerdo con la ley de
Ampère, la cantidad de corriente que pasa por un conductor es
proporcional a la intensidad de campo magnético que se genera en su
periferia.
Figura C.2 Deflexión de la intensidad de campo magnético al pasar de un
medio a otro con sus componentes vectoriales.
μ1
μ2
H1
H1t
H1n
H2
H2t
H2n
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
130
De modo que cuando la intensidad de campo pasa de un medio a otro
como se aprecia en la Figura C.2, sufre una deflexión donde sus
componentes tangenciales son [Albino, 2011]:
Donde k es la carga superficial; y si .
En forma general el comportamiento de la intensidad de campo magnético
cuando pasa de un medio a otro con diferente permeabilidad se rige por la
siguiente expresión:
De las Figuras C.1 y C.2 entendiéndose como medio uno aire y como
medio dos hierro, se observa que la intensidad de campo viaja del medio
dos al medio uno, es decir del hierro al aire. Analizando la ecuación
se encuentra que la componente tangencial de la intensidad de campo
magnético en el hierro es despreciable debido a que el cociente de las
permeabilidades resulta ser un valor muy grande ya que el hierro es
altamente permeable. Así entonces se tiene una nueva expresión [Albino,
2011]:
C.3 Determinación de las inductancias propias del estator
131
De aquí se puede decir que la intensidad de campo magnético en el hierro
es despreciable teniendo la mayor parte de la intensidad de campo en el
entrehierro de la máquina.
C.3 DETERMINACIÓN DE LAS INDUCTANCIAS PROPIAS DEL
ESTATOR
El estudio de la máquina de inducción parte de la máquina más
sencilla que es de dos polos como la mostrada en la Figura C.3, donde se
aprecia el sentido del campo magnético debido al paso de la corriente. Los
conductores que se observan con una cruz indican que la corriente va
hacia adentro del plano del papel, mientras que los conductores que tienen
un punto muestran la dirección de la corriente en sentido del plano del
papel hacia el lector.
Figura C.3 Campo magnético creado en el estator de una máquina de
inducción de dos polos.
θd=0
rdθddz
z
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
132
Figura C.4 Vista de la cara frontal de la máquina en un plano extendido.
Las máquinas rotatorias se modelan en un sistema de coordenadas
cilíndricas por la sencillez de la forma natural de las mismas, por tanto
para ubicar un punto en la máquina es necesario trasladarse una
distancia a lo largo del radio de la máquina, seguida de un
desplazamiento radial y finalmente una distancia a lo largo del eje ,
por lo cual se puede ocupar indistintamente la nomenclatura o para
referirse a la longitud [Stevenson, 1996].
Si se observa la Figura C.3 desde su vista frontal y se extiende
deshaciendo la forma circular de la parte frontal de la máquina, se obtiene
lo que se muestra en la Figura C.4.
Aplicando la ley de Ampère a la trayectoria de la Figura C.4 se
obtiene:
∮
∫
∫
∫
∫
Rotor
Entrehierro
Estator
0 2π π
m
n p
q
C.3 Determinación de las inductancias propias del estator
133
Como se mencionó en el apartado anterior, la intensidad de campo
magnético en el hierro es despreciable, por tanto la expresión se reduce a:
∫
∫
∫
∫
∫
∫
En la Figura C.4 se observa que el segmento se encuentra en la
posición de la longitud de , por tanto para dicho segmento toma
el valor inicial de la recta.
∫
∫
∫
∫
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
134
∫
El segmento es el entrehierro , y si se considera la convención positiva
cuando el campo viaja del estator al rotor, en el caso de la ecuación
la dirección del recorrido es del rotor al estator y por tanto se
denomina – [Albino, 2011].
∫
∫
[ ]
C.3 Determinación de las inductancias propias del estator
135
Hasta ahora se ha cumplido la ley de Ampère y para determinar las
inductancias de la máquina es necesario que se cumpla la ley de Gauss
para campos magnéticos ya que se está trabajando con campos
magnéticos y ambas leyes deben cumplirse [Albino, 2011].
∮
En este caso se integra a lo largo de la periferia de la máquina, es decir
toda el área de la cara frontal por ser una integral de superficie.
∫
∫
Sustituyendo en se tiene:
∫ [
]
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
136
∫ [
]
∫
∫
∫
[
∫
]
Donde la parte de la ecuación que está entre corchetes se le denomina
promedio de la función y por tanto se reescribe como:
Sustituyendo en se obtiene:
[ ]
C.3 Determinación de las inductancias propias del estator
137
La parte entre corchetes en la ecuación anterior se denomina función de
devanados , de esta manera la ecuación se reescribe como:
En la Figura C.4 la trayectoria encierra dos conductores con punto.
La trayectoria puede crecer de abarcando todos los conductores de
la figura. La suma algebraica de dichos conductores se conoce como
función de conductores , tomando como positivos a los que tienen
punto y negativos a los que tienen cruz. Esto por la razón de que un
conductor se encuentra en forma de espira en la máquina teniendo de esta
forma una entrada de corriente en una cara del conductor y una salida al
otro extremo. En la Figura C.5 se aprecia cómo aumenta la intensidad de
campo magnético conforme se suman conductores y va disminuyendo
cuando la trayectoria encuentra el otro extremo del conductor.
Los flujos concatenados y las inductancias de la máquina se encuentran a
partir de la siguiente expresión:
∬
∫ ∫
∫ ∫
∫
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
138
Figura C.5 a) Función de conductores; b) Función de devanados;
c) Intensidad de campo magnético.
Rotor
Entrehierro
Estator
0 2π π
m
n p
q
θd
0 2π θ1 θ2θ3 θ4θ5 θ6θ7 θ8π
0 2π θ1 θ2θ3 θ4θ5 θ6θ7 θ8π
0 2π θ1 θ2θ3 θ4θ5 θ6θ7 θ8π
naθ
dN
aθd
Hθd
Na
Na/2
3Na/4
Na/4
0
Naia/2g
-Naia/2g
θd
θd
Na/2
-Na/2
0
C.3 Determinación de las inductancias propias del estator
139
Separando la ecuación en pasos de integración de espira a espira
conforme la Figura C.5 a) se tiene:
[∫
∫
∫
∫
]
Entre los límites de está comprendido:
∫
∫ ∫ ∫ ∫
Entre los límites de está comprendido:
∫
∫ ∫ ∫ ∫
Entre los límites de está comprendido:
∫
∫ ∫ ∫ ∫
Entre los límites de está comprendido:
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
140
∫
∫ ∫ ∫ ∫
Agrupando términos se tiene:
[∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
]
La forma de la expresión se puede ver fácilmente en la gráfica de la
Figura C.5 a) ya que el número de veces que se repite cada integral es la
relación de con el avance en cada paso de . De aquí se confirma que
esta expresión muestra en comportamiento de la función de conductores.
En forma más compacta se puede reescribir la ecuación en términos
de la función de conductores y por tanto los límites se expresan de
ya que se ha demostrado que la función de conductores se integra a lo
largo de la periferia de la máquina.
∫
Si de la función de devanados se despeja la función de conductores y se
sustituye en se tiene:
C.3 Determinación de las inductancias propias del estator
141
∫ [ ]
[∫
∫
]
En la expresión , el desarrollo de la integral de la derecha resulta
cero, por tanto la expresión se reduce al siguiente término:
∫
A partir de la ecuación se pueden definir todas las inductancias de
la máquina; para ello sólo se agregan subíndices a dicha expresión; al
variar las literales correspondientes a las fases de la máquina en los
subíndices se estarán calculando las diferentes inductancias de la
misma.
∫
Como en este apartado se pretende calcular únicamente las inductancias
propias de cada fase del estator, los subíndices y deben ser iguales. Los
subíndices se fijan en una misma letra, por ejemplo se fija para hacer
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
142
referencia a la fase y posteriormente se cambian por y para
determinar las inductancias propias de las otras fases.
La inductancia propia de la fase se determina de la siguiente manera:
∫
∫
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Figura C.6 Curva de la función de devanados en negro. En rojo se
muestra la misma curva descompuesta en segmentos.
θd
0 2π θ1 θ2θ3 θ4θ5 θ6θ7 θ8π
Na
θd
Na/2
0
-Na/2
C.3 Determinación de las inductancias propias del estator
143
En la Figura C.6 se muestra la forma de onda de la función de devanados;
debido a que es difícil integrarla, se descompone dicha función en
pequeños segmentos que son más sencillos de analizar por series de
Fourier, obteniendo los siguientes resultados:
Al sustituir en se obtiene:
∫ [ ]
∫
Aplicando
[
∫
∫
]
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
144
[
|
]
De teoría de circuitos eléctricos se sabe que:
Despejando la inductancia de la ecuación , finalmente se obtiene la
inductancia propia de la fase del estator.
La inductancia propia de la fase se determina de la siguiente manera:
∫
∫
C.3 Determinación de las inductancias propias del estator
145
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Al sustituir en se obtiene:
∫ [ ]
∫
Aplicando
[
∫
∫
]
[
∫
]
Aplicando
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
146
[
∫ [ ]
]
[
[
∫
√
∫
]]
[
[
|
√
|
]]
La inductancia propia de la fase se determina de la siguiente manera:
∫
∫
C.3 Determinación de las inductancias propias del estator
147
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Al sustituir en se obtiene:
∫ [ ]
∫
Aplicando
[
∫
∫
]
[
∫
]
Aplicando
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
148
[
∫ [ ]
]
[
[
∫
√
∫
]]
[
[
|
√
|
]]
Como se puede observar del desarrollo matemático de este apartado, las
inductancias propias del estator son constantes positivas y todas son
iguales. A continuación se resume lo obtenido.
C.4 Determinación de las inductancias mutuas del estator
149
C.4 DETERMINCIÓN DE LAS INDUCTANCIAS MUTUAS DEL
ESTATOR
Además de las inductancias propias de cada fase en el estator, también
se crean inductancias mutuas entre las fases del mismo. Esto se debe a la
interacción de las inductancias de cada fase con las demás; es decir, la
inductancia de la fase interactúa con la inductancia de la fase ,
mientras que la inductancia de la fase interactúa con la de la fase y al
mismo tiempo la de con la de la fase . Dando lugar a las siguientes
inductancias.
A partir de la ecuación se varían las literales de los subíndices y
correspondientes a dos fases de la máquina; las cuales darán como
resultado la inductancia mutua entre dichas fases.
La inductancia mutua entre las fases y se determina de la siguiente
manera:
∫
∫
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
150
Al sustituir y en se obtiene:
∫ [ ][ ]
∫
Aplicando
[ ]
∫ [ ]
[
∫
∫
]
Aplicando
[ ∫
∫
]
C.4 Determinación de las inductancias mutuas del estator
151
[ [
∫
√
∫
]]
[ [
|
√
|
]]
Despejando la inductancia de la ecuación , se obtiene la inductancia
mutua entre las fases y del estator.
La inductancia mutua entre las fases y se determina de la siguiente
manera:
∫
∫
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
152
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Al sustituir y en se obtiene:
∫ [ ][ ]
∫
Aplicando
[ ]
∫ [ ]
[
∫
∫
]
Aplicando
C.4 Determinación de las inductancias mutuas del estator
153
[ ∫
∫
]
[ [
∫
√
∫
]]
[ [
|
√
|
]]
La inductancia mutua entre las fases y se determina de la siguiente
manera:
∫
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
154
∫
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Al sustituir y en se obtiene:
∫ [ ][ ]
∫
Aplicando
[ ]
∫ [ ]
[
∫
∫
]
C.5 Determinación de las inductancias propias del rotor
155
[ [
|
]]
Como se puede observar las inductancias mutuas del estator son
constantes negativas e iguales; en resumen estas inductancias son:
C.5 DETERMINACIÓN DE LAS INDUCTANCIAS PROPIAS DEL
ROTOR
Debido al efecto de inducción, en el rotor también se crean tanto
inductancias propias como mutuas. Esta inducción de tensión en las
terminales del rotor da origen a una corriente por cada fase en el mismo;
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
156
que hace que las inductancias se comporten de la misma manera que en el
estator. Las inductancias propias del rotor son:
C.6 DETERMINACIÓN DE LAS INDUCTANCIAS MUTUAS DEL
ROTOR
Como se explicó en el apartado anterior, las inductancias mutuas
del rotor son iguales a las que aparecen en el estator. De esta manera las
inductancias mutuas del rotor son:
C.7 Determinación de las inductancias mutuas entre estator y rotor
157
C.7 DETERMINACIÓN DE LAS INDUCTANCIAS MUTUAS ENTRE
ESTATOR Y ROTOR
Existen otras inductancias que se crean por la interacción de las ya
determinadas. Las inductancias tanto propias como mutuas del estator
interactúan con todas las inductancias del rotor en el entrehierro. A estas
inductancias se les conoce como inductancias mutuas entre estator y
rotor.
Para determinar este tipo de inductancias se parte de la ecuación ,
donde el subíndice indica cada una de las fases del estator; mientras que
el subíndice indica cada una de las fases del rotor. Para diferenciar entre
los ángulos de campo magnético del estator y del rotor, se distinguen con
una apóstrofe ( ´ ) los pertenecientes al estator y sin ésta los del rotor.
La inductancia mutua entre la fase del estator y la fase del rotor se
determina de la siguiente manera:
∫
∫
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
158
∫
Considerando que el análisis realizado para la Figura C.6 se aplica de la
misma forma para el rotor. De manera general se tiene la misma función
de devanados con la diferencia de que se considera la diferencia de
ángulos entre el campo del estator y del rotor. Debido a que el rotor gira
sobre la flecha, el ángulo de éste puede variar de a .
Al sustituir y en se obtiene:
∫ [ ][ ]
∫
Aplicando
[ ]
C.7 Determinación de las inductancias mutuas entre estator y rotor
159
∫ [ ]
[ ∫
∫
]
Aplicando
[ ∫
∫
]
[ ∫
∫
]
[
[ |
]
[ |
]]
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
160
La inductancia mutua entre la fase del estator y la fase del rotor se
determina de la siguiente manera:
∫
∫
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Al sustituir y en se obtiene:
∫ [ ][ ]
C.7 Determinación de las inductancias mutuas entre estator y rotor
161
∫
Aplicando
[ ]
∫ [ ]
[ ∫
∫
]
Aplicando
[ ∫
∫
]
[ ∫
∫
]
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
162
[
[ |
]
[ |
]]
La inductancia mutua entre la fase del estator y la fase del rotor se
determina de la siguiente manera:
∫
∫
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
C.7 Determinación de las inductancias mutuas entre estator y rotor
163
Al sustituir y en se obtiene:
∫ [ ][ ]
∫
Aplicando
[ ]
∫ [ ]
[ ∫
∫
]
Aplicando
[ ∫
∫
]
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
164
[ ∫
∫
]
[
[ |
]
[ |
]]
La inductancia mutua entre la fase del estator y la fase del rotor se
determina de la siguiente manera:
∫
∫
C.7 Determinación de las inductancias mutuas entre estator y rotor
165
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Al sustituir y en se obtiene:
∫ [ ][ ]
∫
Aplicando
[ ]
∫ [ ]
[ ∫
∫
]
Aplicando
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
166
[ ∫
∫
]
[ ∫
∫
]
[
[ |
]
[ |
]]
La inductancia mutua entre la fase del estator y la fase del rotor se
determina de la siguiente manera:
∫
C.7 Determinación de las inductancias mutuas entre estator y rotor
167
∫
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Al sustituir y en se obtiene:
∫ [ ][ ]
∫
Aplicando
[ ]
∫ [ ]
[ ∫
∫
]
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
168
Aplicando
[ ∫
∫
]
[ ∫
∫
]
[
[ |
]
[ |
]]
C.7 Determinación de las inductancias mutuas entre estator y rotor
169
La inductancia mutua entre la fase del estator y la fase del rotor se
determina de la siguiente manera:
∫
∫
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Al sustituir y en se obtiene:
∫ [ ][ ]
∫
Aplicando
[ ]
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
170
∫ [ ]
[ ∫
∫
]
Aplicando
[ ∫
∫
]
[ ∫
∫
]
[
[ |
]
[ |
]]
C.7 Determinación de las inductancias mutuas entre estator y rotor
171
La inductancia mutua entre la fase del estator y la fase del rotor se
determina de la siguiente manera:
∫
∫
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Al sustituir y en se obtiene:
∫ [ ][ ]
∫
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
172
Aplicando
[ ]
∫ [ ]
[ ∫
∫
]
Aplicando
[ ∫
∫
]
[ ∫
∫
]
[
[ |
]
[ |
]]
C.7 Determinación de las inductancias mutuas entre estator y rotor
173
La inductancia mutua entre la fase del estator y la fase del rotor se
determina de la siguiente manera:
∫
∫
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Al sustituir y en se obtiene:
∫ [ ][ ]
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
174
∫
Aplicando
[ ]
∫ [ ]
[ ∫
∫
]
Aplicando
[ ∫
∫
]
[ ∫
∫
]
C.7 Determinación de las inductancias mutuas entre estator y rotor
175
[
[ |
]
[ |
]]
La inductancia mutua entre la fase del estator y la fase del rotor se
determina de la siguiente manera:
∫
∫
Sustituyendo en la expresión queda de la siguiente manera:
∫
Apéndice C. Determinación de las inductancias de la máquina
176
Al sustituir y en se obtiene:
∫ [ ][ ]
∫
Aplicando
[ ]
∫ [ ]
[ ∫
∫
]
Aplicando
[ ∫
∫
]
C.7 Determinación de las inductancias mutuas entre estator y rotor
177
[ ∫
∫
]
[
[ |
]
[ |
]]
Como se puede apreciar las inductancias mutuas entre estator y rotor son
constantes del mismo valor en cada fase con su respectivo desfasamiento.
La constante puede ser positiva o negativa dependiendo del valor del
ángulo del rotor. En resumen se tiene:
