ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEI TEOREMI DELL’ANALISI LIMITE:

carico limite di una fondazione superficiale

in condizioni non drenateHp.

•Terreno isotropo ed omogeneo (cu costante per tutta la zona di rottura)

• Fondazione diretta, continua e liscia, sottoposta ad un carico centrato verticale Q e con un sovraccarico p0 agente ai lati della fondazione (si considera profondità unitaria).

•APPLICAZIONE DEL TEOREMA DELL’ESTREMO SUPERIORE

TEOREMA DELL’ESTREMO SUPERIORE: se è possibile individuare un cinematismo di collasso compatibile, tale che il lavoro delle forze esterne sia uguale all’energia dissipata dagli sforzi interni, si verifica la rottura (cioè, le forze esterne costituiscono un limite superiore del carico di collasso).

Nota:La congruenza degli spostamenti di un insieme di corpi rigidi può esaminarsi costruendo un diagramma degli spostamenti (ODOGRAFO). Ogni freccia rappresenta la direzione e l’intensità dello spostamento di uno dei blocchi rigidi. Se gli spostamenti sono tra loro congruenti, il diagramma degli spostamenti è chiuso.

Cinematismo di collasso compatibile:La rottura coinvolge due blocchi I e II che si muovono rispetto al terreno a contatto S.

Se il carico Q dà luogo ad un movimento verticale δ il blocco I si muove parallelamente all’interfaccia SI con uno spostamento δ/senα; analogamente il blocco II si muove di δ/senα parallelamente all’interfaccia SII e quindi II si muove verticalmente di 2δ rispetto a I.

Quindi il lavoro interno totale è dato da:

( )

+=

++

= α

ααδ

αδ

αδα

αδ

αsen

senc

senBcBtgc

senBcW u

uuui

1cos

B2cos

2cos

δδ BpQWe 0−=Il lavoro esterno totale è dato da:

Eguagliando i due lavori e risolvendo rispetto a Q si ha:

0

1cos2 psen

sencq

BQ u +

+== α

ααIl valore minimo di q si ha per α=35.3° e quindi

066.5 pcq uu +=

NOTA : la somma dei lavori fatti dal peso proprio di ciascun blocco è pari a zero perché i blocchi hanno componenti verticali di spostamento eguali ed opposte.

o

a

b

c

Qp0

α

•APPLICAZIONE DEL TEOREMA DELL’ESTREMO SUPERIORE

LAVORO FORZE ESTERNE

δδ BpQWe 0−=

Cinematismo di collasso compatibile: TRE CUNEI TRIANGOLARI

LAVORO SFORZI INTERNI SULLE SUPERFICI DI SCORRIMENTO

cuBδ√2δB/√2cubc

cuBδ√2δB/√2cuab

cuBδ√2δB/√2cuoc

2cuBδ2δBcuob

cuBδ√2δB/√2cuoa

WiSPOST.LUNGH.TENS. TG.SUP. SCORR.

δBcW ui 6=

α=45°

NOTA : la somma dei lavori fatti dal peso proprio di ciascun blocco è pari a zero perché il blocco centrale si muove orizzontalmente mentre i blocchi I e III hanno componenti verticali di spostamento eguali ed opposti.

0

0

6

6

pcB

Qq

BcBpQWW

uu

u

uuie

+==⇒

=−⇒= δδδ

limite superiore del carico di collasso

NOTA : dal momento che una struttura soggetta ai carichi che derivano da un calcolo eseguito utilizzando il teorema del limite superiore va necessariamente a collasso, una soluzione di estremo superiore è una soluzione non cautelativa.

NOTA : possono essere impiegati meccanismi di rottura cinematicamente più raffinati; al crescere del numero di blocchi il valore del limite superiore decresce.

•APPLICAZIONE DEL TEOREMA DELL’ESTREMO INFERIORE

TEOREMA DELL’ESTREMO INFERIORE: se è possibile determinare una distribuzione di sforzi all’interno del terreno che non ecceda in nessun punto le condizioni di collasso e sia in equilibrio con i carichi esterni, il collasso non può verificarsi (cioè i carichi esternicostituiscono un limite inferiore del carico di collasso reale).

Complesso di forze esterne in equilibrio con uno stato di tensioni interne che non violi in nessun punto il criterio di rottura: terreno suddiviso in una zona I sulla quale agisce un sovraccarico p0 ed in una zona II sulla quale agisce in superficie una pressione uniforme q.

Lo stato di tensioni in ogni zona deve essere in equilibrio sia con le tensioni applicate sia con l’altra zona e le tensioni di taglio in ogni zona non devono superare cu.

Nella zona I agisce la tensione verticale p0 che può essere riportata come tensione principale nel diagramma di Mohr; nell’ipotesi di rottura nella zona I si avrà una tensione orizzontaleσhI maggiore di p0, e quindi si può tracciare il cerchio di Mohr con raggio pari a cu.

La zona II deve essere in equilibrio con la zona I attraverso la discontinuità di tensioni e quindi la tensione orizzontale σhII sarà eguale a σhI e non vi sono tensioni tangenziali sul piano verticale. Facendo ancora l’ipotesi di rottura nella zona II la tensione verticale σvII sarà maggiore di σhII e si può tracciare il cerchio di Mohr con raggio cu.

Per l’equilibrio ql sarà eguale a σvII e quindi il limite inferiore del carico di rottura risulta:

04 pcq ul +=

NOTA : è stato trascurato il peso proprio del terreno in quanto risulta non influente sul valore del limite:

( )zpczq ul γγ ++=+ 04

NOTA : dal momento che una struttura soggetta ai carichi che derivano da un calcolo eseguito utilizzando il teorema del limite inferiore è certamente stabile, una soluzione di estremo inferiore è una soluzione cautelativa.

NOTA : possono essere impiegati schemi più raffinati con discontinuità statiche differenti; al crescere del numero di zone il valore del limite inferiore aumenta.

APPLICAZIONE DEL TEOREMA DELL’ESTREMO INFERIORE

Carico di collasso reale

lq

APPLICAZIONE DEL TEOREMA DELL’ESTREMO SUPERIORE

uq

(Nota: ricordando la difficoltà nella determinazione di un valore di coesione non drenata per i terreni naturali, i valori di estremo superiore ed inferiore potrebbero essere considerati adeguati per semplici calcoli di progetto.)

Prandtl (1921): ( ) 00 2 pcpcNq uucc ++=+= π

•APPLICAZIONE DEL TEOREMA DELL’ESTREMO SUPERIORE: ventaglio di discontinuità cinematiche

p0

45°

Cinematismo di collasso compatibile: due cunei triangolari collegati tra loro da un ventaglio.

Per un ventaglio di discontinuità il lavoro compiuto dagli sforzi interni su tutte le superfici di scorrimento radiali e sull’arco di cerchio vale:

Lavoro forze esterne: ffue wBpwFW δδ 0−=

( ) ( )δwR δcδw δRcW uuoi,ventagli ∑∑ += ϑϑ

fuf

uoi,ventagli wRcdwRcW ϑδϑδϑ 220

== ∫

Il raggio del ventaglio è R=B/√2, l’angolo di apertura del ventaglio vale θf=π/2 e δw= δwa= √2 δwf. Il lavoro fatto dagli sforzi interni nella zona di transizione vale:

NOTA : il lavoro fatto dalle forze dovuto al peso proprio è nullo.

R=B/√2

θf=π/2; δw= √2 δwffuoi,ventagli wBcW δπ=*

0δwfB-fa

πcuBδwf**cuventaglio

cuBδwf√2δwfB/√2cuob

cuBδwf√2δwfB/√2cuoa

WiSPOST.LUNGH.TENS. TG.SUP. SCORR.

( ) fui wBcW δπ+= 2

p0

45°

limite superiore del carico di collasso

( )

( ) 0

0

2

2

pcBFq

wBcwBpwFWW

uu

u

fuffuie

++==⇒

+=−⇒=

π

δπδδ

•APPLICAZIONE DEL TEOREMA DELL’ESTREMO INFERIORE: ventaglio di discontinuità statiche

Stato tensionale con due zone di transizione a ventaglio nelle regioni II e IV (stato tensionale simmetrico rispetto all’asse della fondazione).

p0p0

p0p0

L’angolo di apertura del ventaglio vale θf=π/2 la variazione di stato tensionale nella zona di transizione vale:

( ) 00 22 pcccpq uuul ++=++= ππ

Si dimostra che la variazione di stato tensionale nella zona di transizione vale:

La figura mostra i cerchi diMohr delle tensioni totali per gli elementi A e C ed i punti a e c rappresentano lo stato tensionale in corrispondenza delle due discontinuità che delimitano la zona di transizione II.

fucs ϑ2=∆

p0 ql

uufu cccs ππϑ ===∆2

22

limite inferiore del carico di collasso

NOTA : è stato trascurato il peso proprio del terreno in quanto risulta non influente sul valore del limite: ( ) zpczq ul γπγ +++=+ 02

limite inferiore = limite superiore⇒ valore esatto del carico di collasso

METODO DELL’EQUILIBRIO LIMITE

Il metodo dell’equilibrio limite è ampiamente adoperato nell’analisi della stabilità di strutture geotecniche. Esso si articola nei seguenti passi:

•Si considera un cinematismo di collasso qualsiasi costituito da un insieme di superfici di scorrimento rettilinee o curvilinee;

•Si impongono le condizioni di equilibrio alla traslazione ed alla rotazione per la porzione di terreno delimitata dalle superfici di scorrimento calcolando la resistenza mobilitata nel terreno o le azioni esterne a seconda dei casi;

•Si esaminano altri cinematismi di collasso ricercando quello critico, cioè quello cui corrispondono i carichi di equilibrio limite.

Il metodo dell’equilibrio limite combina alcune caratteristiche dei due teoremi dell’analisi limite.Come nel teorema dell’estremo superiore, si prende in esame un cinematismo di collasso, ma esso non deve essere necessariamente compatibile e non vi sono restrizioni alla forma delle superfici di scorrimento (nell’analisi limite i cinematismi di collasso compatibile sono superfici di scorrimento rettilinee, archi di spirale logaritmica ed archi di cerchio).

Come nel teorema dell’estremo inferiore si prendono in esame le condizioni di equilibrio, ma esse si riferiscono alle forze che agiscono sul cuneo di terreno instabile e lo stato tensionale all’interno del terreno non viene esaminato.

Sebbene non vi sia alcuna dimostrazione concettuale del fatto che una soluzione ottenuta con il metodo dell’equilibrio limite sia una soluzione corretta, l’esperienza mostra che il metodo fornisce soluzioni che sono in buon accordo con le condizioni di collasso osservate sperimentalmente in strutture reali ed il metodo è una delle tecniche di calcolo più diffusa nell’ingegneria geotecnica.

ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEL METODO DELL’EQUILIBRIO LIMITE

carico limite di una fondazione superficiale

in condizioni non drenate

p0

Hp.

•Terreno isotropo ed omogeneo (cu costante per tutta la zona di rottura)

• Fondazione diretta, continua e liscia, sottoposta ad un carico centrato verticale (si considera profondità unitaria).

Equilibrio alla rotazione attorno ad O per il volume di terreno racchiuso dalla superficie di scorrimento:

02

0 222

pcBFqBcBBpBF u

ccuc +==⇒=⋅−⋅ ππ

NOTA : la retta di azione del peso proprio del blocco di terreno W e quella delle tensioni normali sulla superficie di scorrimento passano tutte per O e quindi non producono momento attorno ad O.

Bisognerebbe considerare altri cinematismi di rottura con superfici di scorrimento mistilinee allo scopo di ricercare il minimo valore del carico di collasso, che rappresenta la soluzione di equilibrio limite.