Esercitazioni di Algebra e Geometria - Lezione 2stefano-pasotti.unibs.it/lezioni/pelizzari_lezione2.pdf · 11 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico

1 Lezione 2 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Terminiamo gli esercizi dellrsquoultima lezione (LUCIDI)

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC (LUCIDI)

Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A isin Mn(K) egrave possibile definire

ricorsivamente Ar = A Ar-1 con r isinN r2 b) Date A B isin Mn(K) egrave sempre possibile

calcolare AB e BA (in genere matrici diverse) c) Indicata con In =(i kj)kj=1hellipn la matrice cosigrave

definita ikj =0 se knej ikj =1 se k=j

allora A In = I n A =A qualsiasi A isin Mn(K)

In egrave la matrice che funge da unitagrave (rispetto al prodotto di matrici) per le matrici quadrate di

ordine n su K ed egrave detta matrice

identica


Esempio

Esercizio da svolgere Date le matrici

determinare quando possibile AB BA CD DC A2

BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)


Osservazione due matrici sono identiche se e solo se hanno lo stesso numero di righe lo stesso numero di colonne e hanno le stesse

entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q

3) aij=bij isin K per ogni i=1hellipm e j=1hellipn

Studiamo ora alcune delle proprieta che regolano

queste ldquooperazionirdquo


Somma di matrici

Per ogni isin Kmn valgono le seguenti

proprietagrave 1) Proprietagrave associativa

+ + = + +

Dimostrazionehellip

2) Esistenza dellrsquorsquorsquorsquoelemento neutro

Esiste 13 isin Kmn tale che + 13 = 13 + = dove

13 e la matrice con tutte le entrate nulle definita durante la lezione precedente

Da dimostrare

3) Esistenza dellrsquoopposto

Esiste la matrice isin Kmn tale che + = 13 = +

Se la matrice ha per entrate gli elementi aij

allora la matrice ha in posizione (ij) lrsquoelemento

- aij

Da dimostrare


Una struttura algebrica (G+) che soddisfa le tre proprietagrave precedentemente elencate si definisce gruppo

quindi (Kmn +) egrave un gruppo

4) Proprietagrave commutativa

+ = +

Da dimostrare

Ne segue che (Kmn +) egrave un gruppo

commutativo (abeliano) Dimostrazionehellip (LUCIDI)


Prodotto di uno scalare per una matrice

Per ogni isin Kmn e per ogni isin K valgono

le seguenti proprietagrave

1) + ∙ = ∙ + ∙ (da dimostrare) 2) ∙ + = ∙ + ∙ (da dimostrare) 3) ∙ ∙ = ∙ ∙ (dimostrata di seguito) 4) 1 ∙ = (da dimostrare) Dimostrazione (LUCIDI)


Prodotto tra matrici

1) Proprietagrave associativa

Siano isin Kmn isin Knp e isin Kpq

= (da dimostrare)

2) Proprietagrave distributive

Siano isin Kmn isin Knp + = + (da dimostrare)

Siano isin Kpm isin Knp + = + (da dimostrare)

3) Elemento neutro sinistro destro

Siano isin Kpm e isin Kpp

= (da dimostrare)

Siano isin Kpm e isin Kmm

= (da dimostrare)


Ovviamente nel caso di matrici quadrate di ordine n il prodotto di matrici e sempre ben definito e risulta una legge di composizione interna le tre proprietagrave qui elencate valgono banalmente ed esiste la matrice elemento neutro del prodotto Attenzione rispetto al prodotto non possibile

garantire per ogni matrice lrsquoesistenza della

matrice inversa Quindi in generale data una matrice isin Mn(K) non e detto che esista tale

che = =

Ne segue che (Mn(K)+) egrave un gruppo commutativo

ma (Mn(K) ) non egrave un gruppo Inoltre rispetto al prodotto tra matrici non vale

la legge dellrsquorsquorsquorsquoannullamento del prodotto

eppure nessuna delle due matrici fattori del prodotto egrave la matrice nulla


La matrice trasposta

Sia isin Kmn una matrice di entrate aij si

definisce trasposta di la si indica con

oppure una matrice di Knm di entrate aji

Per esteso

Con notazione sintetica

t


Per costruire la matrice trasposta trascrivo la

i-esima riga di nella i-esima colonna di

(scambio le righe con le colonne) o viceversa

Esempi (LUCIDI)


Proprietagrave delle trasposte

Siano isin Kmn e sia isin K allora valgono le

seguenti relazioni

1) = (da dimostrare) 2) ( + ) = + (dimostrata di seguito) 3) () = (da dimostrare) DIM 2)

Devo dimostrare che la matrice ( + ) egrave

uguale alla matrice +

a) hanno lo stesso numero di righe

b) lo stesso numero di colonne e

c) le stesse entrate

Infatti

isin Kmn ⟹ + isin Kmn ⟹ + isin Knm Drsquoaltra parte

isin Kmn ⟹ isin Knm⟹ + isin Knm

(abbiamo dimostrato a) e b))


Resta da dimostrare che abbiano le stesse

entrate cioegrave che per ogni i=1hellipn e j=1hellipm in

posizione (ij) nella matrice ( + ) ci sia lo

stesso elemento che si trova in posizione (ij)

nella matrice +

Lrsquoentrata (ij) della matrice ( + ) egrave uguale

allrsquoentrata (ji) della matrice A+B aji +bji

Lrsquoentrata (ij) della matrice + egrave la somma

delle entrate (ij) di e di Drsquoaltra parte lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave aji e lrsquoelemento in posizione (ij) di egrave bji

lrsquoentrata (ij) di + egrave aji +bji cvd


Esercizi da svolgere

1) Completare le dimostrazioni non svolte in aula

2) Si eseguano quando possibile le seguenti

operazioni con le matrici

A tB tC D tC tD tD tC 3) Date le matrici

Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L


Esempio

Esercizio da svolgere Date le matrici

determinare quando possibile AB BA CD DC A2

BC BD A2

ndash I3 A(A2-3B)



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



+ + = + +

Dimostrazionehellip




Da dimostrare





- aij

Da dimostrare





+ = +

Da dimostrare












= (da dimostrare)






= (da dimostrare)


= (da dimostrare)





che = =










Per esteso


t





Esempi (LUCIDI)




seguenti relazioni







Infatti









nella matrice +












Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L



entrate in K date

A=B se e solo se

1) m=p 2) n=q





Somma di matrici



+ + = + +

Dimostrazionehellip




Da dimostrare





- aij

Da dimostrare





+ = +

Da dimostrare












= (da dimostrare)






= (da dimostrare)


= (da dimostrare)





che = =










Per esteso


t





Esempi (LUCIDI)




seguenti relazioni







Infatti









nella matrice +












Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L


Somma di matrici



+ + = + +

Dimostrazionehellip




Da dimostrare





- aij

Da dimostrare





+ = +

Da dimostrare












= (da dimostrare)






= (da dimostrare)


= (da dimostrare)





che = =










Per esteso


t





Esempi (LUCIDI)




seguenti relazioni







Infatti









nella matrice +












Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L





+ = +

Da dimostrare












= (da dimostrare)






= (da dimostrare)


= (da dimostrare)





che = =










Per esteso


t





Esempi (LUCIDI)




seguenti relazioni







Infatti









nella matrice +












Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L










= (da dimostrare)






= (da dimostrare)


= (da dimostrare)





che = =










Per esteso


t





Esempi (LUCIDI)




seguenti relazioni







Infatti









nella matrice +












Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L





= (da dimostrare)






= (da dimostrare)


= (da dimostrare)





che = =










Per esteso


t





Esempi (LUCIDI)




seguenti relazioni







Infatti









nella matrice +












Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L





che = =










Per esteso


t





Esempi (LUCIDI)




seguenti relazioni







Infatti









nella matrice +












Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L






Per esteso


t





Esempi (LUCIDI)




seguenti relazioni







Infatti









nella matrice +












Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L





Esempi (LUCIDI)




seguenti relazioni







Infatti









nella matrice +












Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L




seguenti relazioni







Infatti









nella matrice +












Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L






nella matrice +












Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L







Si verifichi che

a) t(EL)= tL tE

b) t(EL)ne tE tL

c) tL= L

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