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1 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2010 / 2011 Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 – 2011 Dott.ssa Elisa Pelizzari e-mail [email protected] presso il Dipartimento di Matematica (via Valotti). Esercitazioni: lunedì 14.30 – 16.30 venerdì 14.30 – 16.30 Ricevimento studenti: venerdì 13.30 14.30

Esercitazioni di Algebra e Geometria - unibs.it · 2014. 12. 18. · 1 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2010 / 2011 Esercitazioni di Algebra e

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1 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercitazioni di Algebra e Geometria

Anno Accademico 2010 ndash 2011

Dottssa Elisa Pelizzari

e-mail elisapeliliberoit

presso il Dipartimento di Matematica (via Valotti)

Esercitazioni lunedigrave 1430 ndash 1630

venerdigrave 1430 ndash 1630

Ricevimento studenti venerdigrave 1330 ndash 1430

2 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Matrice

Una matrice m x n a coefficienti in un campo K egrave

una lsquotabellarsquo con m righe n colonne

i cui elementi detti entrate appartengono al

campo K Esempi di campi sono

Q il campo dei numeri razionali R il campo dei reali

C il campo dei numeri complessi

Esempio minus3 0 2 4 radic2

egrave una matrice 2x3 a coefficienti reali

3 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip Nella forma generale una matrice di m righe e n colonne viene rappresentata nel modo seguente

= 13 13 ⋯ 1313 13 ⋯ 13⋮ ⋮ ⋱ ⋮13 13 ⋯ 13

Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola In forma piugrave sintetica egrave

= 13helliphellip

dove 13 egrave lrsquoelemento che si trova in posizione

(ij) cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna

4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2

= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯

con isin R e gli indici = 12 e $ = 123

Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo

stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate

razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate

reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate

complesse

Casi particolari

a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n

5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K

= ⋮ isin Km1

c) = si ottengono matrici quadrate di

dimensioni times a coefficienti in K Il

numero n egrave detto ordine della matrice quadrata

=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012

3 isin Knn

ma di solito tale insieme si indica Mn(K)

Ovviamente = = 1 egrave una matrice con

unrsquounica entrata 4 = 5

6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempi

= 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15

egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali

=-

minus2minus1lt30 1

23 isin R51

egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali

=

-

0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1

gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2

minus 0 4 minusradic5 1 0 1

2223 isin M6(R)

egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali

7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Operazioni con le matrici La somma di matrici

Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita

Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K

Osservazioni

1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso

8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

numero di righe e lo stesso numero di colonne

2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle

oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn

O+A=A+O=A

Esercizio

Date le seguenti matrici

Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice

somma egrave

9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip

d) A+A lrsquooperazione egrave definita

e) B+(B+B) le operazioni sono definite

10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

f) (B+C)+C le operazioni sono definite

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice

egrave possibile calcolare

e cosigrave via

11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Possiamo generalizzare e definire

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

Esempio

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K

12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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2 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Matrice

Una matrice m x n a coefficienti in un campo K egrave

una lsquotabellarsquo con m righe n colonne

i cui elementi detti entrate appartengono al

campo K Esempi di campi sono

Q il campo dei numeri razionali R il campo dei reali

C il campo dei numeri complessi

Esempio minus3 0 2 4 radic2

egrave una matrice 2x3 a coefficienti reali

3 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip Nella forma generale una matrice di m righe e n colonne viene rappresentata nel modo seguente

= 13 13 ⋯ 1313 13 ⋯ 13⋮ ⋮ ⋱ ⋮13 13 ⋯ 13

Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola In forma piugrave sintetica egrave

= 13helliphellip

dove 13 egrave lrsquoelemento che si trova in posizione

(ij) cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna

4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2

= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯

con isin R e gli indici = 12 e $ = 123

Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo

stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate

razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate

reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate

complesse

Casi particolari

a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n

5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K

= ⋮ isin Km1

c) = si ottengono matrici quadrate di

dimensioni times a coefficienti in K Il

numero n egrave detto ordine della matrice quadrata

=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012

3 isin Knn

ma di solito tale insieme si indica Mn(K)

Ovviamente = = 1 egrave una matrice con

unrsquounica entrata 4 = 5

6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempi

= 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15

egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali

=-

minus2minus1lt30 1

23 isin R51

egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali

=

-

0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1

gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2

minus 0 4 minusradic5 1 0 1

2223 isin M6(R)

egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali

7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Operazioni con le matrici La somma di matrici

Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita

Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K

Osservazioni

1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso

8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

numero di righe e lo stesso numero di colonne

2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle

oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn

O+A=A+O=A

Esercizio

Date le seguenti matrici

Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice

somma egrave

9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip

d) A+A lrsquooperazione egrave definita

e) B+(B+B) le operazioni sono definite

10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

f) (B+C)+C le operazioni sono definite

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice

egrave possibile calcolare

e cosigrave via

11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Possiamo generalizzare e definire

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

Esempio

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K

12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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3 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

La notazione (hellip) egrave equivalente a [hellip] oppure hellip Nella forma generale una matrice di m righe e n colonne viene rappresentata nel modo seguente

= 13 13 ⋯ 1313 13 ⋯ 13⋮ ⋮ ⋱ ⋮13 13 ⋯ 13

Indicando il nome della matrice con una lettera maiuscola dellrsquoalfabeto latino e le entrate con la stessa lettera minuscola In forma piugrave sintetica egrave

= 13helliphellip

dove 13 egrave lrsquoelemento che si trova in posizione

(ij) cioegrave sulla i-esima riga e j-esima colonna

4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2

= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯

con isin R e gli indici = 12 e $ = 123

Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo

stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate

razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate

reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate

complesse

Casi particolari

a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n

5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K

= ⋮ isin Km1

c) = si ottengono matrici quadrate di

dimensioni times a coefficienti in K Il

numero n egrave detto ordine della matrice quadrata

=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012

3 isin Knn

ma di solito tale insieme si indica Mn(K)

Ovviamente = = 1 egrave una matrice con

unrsquounica entrata 4 = 5

6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempi

= 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15

egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali

=-

minus2minus1lt30 1

23 isin R51

egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali

=

-

0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1

gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2

minus 0 4 minusradic5 1 0 1

2223 isin M6(R)

egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali

7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Operazioni con le matrici La somma di matrici

Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita

Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K

Osservazioni

1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso

8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

numero di righe e lo stesso numero di colonne

2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle

oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn

O+A=A+O=A

Esercizio

Date le seguenti matrici

Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice

somma egrave

9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip

d) A+A lrsquooperazione egrave definita

e) B+(B+B) le operazioni sono definite

10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

f) (B+C)+C le operazioni sono definite

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice

egrave possibile calcolare

e cosigrave via

11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Possiamo generalizzare e definire

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

Esempio

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K

12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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4 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Nellrsquoesempio precedente = minus3 0 2 4 radic2

= minus3 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯

con isin R e gli indici = 12 e $ = 123

Lrsquoinsieme delle matrici di dimensioni times sullo

stesso campo K egrave indicato con Kmn Qmn ha per oggetti le matrici times a entrate

razionali Rmn ha per oggetti le matrici times a entrate

reali Cmn ha per oggetti le matrici times a entrate

complesse

Casi particolari

a) = 1 si ottengono matrici riga di dimensioni 1 times a coefficienti in K = 13 13 ⋯ 13+ isin K1n

5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K

= ⋮ isin Km1

c) = si ottengono matrici quadrate di

dimensioni times a coefficienti in K Il

numero n egrave detto ordine della matrice quadrata

=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012

3 isin Knn

ma di solito tale insieme si indica Mn(K)

Ovviamente = = 1 egrave una matrice con

unrsquounica entrata 4 = 5

6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempi

= 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15

egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali

=-

minus2minus1lt30 1

23 isin R51

egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali

=

-

0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1

gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2

minus 0 4 minusradic5 1 0 1

2223 isin M6(R)

egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali

7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Operazioni con le matrici La somma di matrici

Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita

Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K

Osservazioni

1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso

8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

numero di righe e lo stesso numero di colonne

2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle

oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn

O+A=A+O=A

Esercizio

Date le seguenti matrici

Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice

somma egrave

9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip

d) A+A lrsquooperazione egrave definita

e) B+(B+B) le operazioni sono definite

10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

f) (B+C)+C le operazioni sono definite

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice

egrave possibile calcolare

e cosigrave via

11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Possiamo generalizzare e definire

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

Esempio

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K

12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

Page 5: Esercitazioni di Algebra e Geometria - unibs.it · 2014. 12. 18. · 1 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2010 / 2011 Esercitazioni di Algebra e

5 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

b) = 1 si ottengono matrici colonna di dimensioni times 1 a coefficienti in K

= ⋮ isin Km1

c) = si ottengono matrici quadrate di

dimensioni times a coefficienti in K Il

numero n egrave detto ordine della matrice quadrata

=-0 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 00 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 012

3 isin Knn

ma di solito tale insieme si indica Mn(K)

Ovviamente = = 1 egrave una matrice con

unrsquounica entrata 4 = 5

6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempi

= 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15

egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali

=-

minus2minus1lt30 1

23 isin R51

egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali

=

-

0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1

gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2

minus 0 4 minusradic5 1 0 1

2223 isin M6(R)

egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali

7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Operazioni con le matrici La somma di matrici

Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita

Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K

Osservazioni

1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso

8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

numero di righe e lo stesso numero di colonne

2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle

oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn

O+A=A+O=A

Esercizio

Date le seguenti matrici

Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice

somma egrave

9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip

d) A+A lrsquooperazione egrave definita

e) B+(B+B) le operazioni sono definite

10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

f) (B+C)+C le operazioni sono definite

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice

egrave possibile calcolare

e cosigrave via

11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Possiamo generalizzare e definire

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

Esempio

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K

12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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6 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempi

= 6minus 0 radic7 radic6 49 isin R15

egrave una matrice riga con 5 entrate coefficienti reali

=-

minus2minus1lt30 1

23 isin R51

egrave una matrice colonna con 5 entrate coefficienti reali

=

-

0 1 0 0 2 03 5 1 0 2radic27 minus5 4 6 radic3= minus1

gt radic6 minus3 0 5 41 3 radic5 minus5 0 2

minus 0 4 minusradic5 1 0 1

2223 isin M6(R)

egrave una matrice quadrata di ordine 6 con 6 times 6 = 36 entrate coefficienti reali

7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Operazioni con le matrici La somma di matrici

Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita

Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K

Osservazioni

1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso

8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

numero di righe e lo stesso numero di colonne

2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle

oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn

O+A=A+O=A

Esercizio

Date le seguenti matrici

Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice

somma egrave

9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip

d) A+A lrsquooperazione egrave definita

e) B+(B+B) le operazioni sono definite

10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

f) (B+C)+C le operazioni sono definite

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice

egrave possibile calcolare

e cosigrave via

11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Possiamo generalizzare e definire

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

Esempio

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K

12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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7 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Operazioni con le matrici La somma di matrici

Siano A B due matrici di Kmn Indichiamo A+B una matrice di Kmn cosigrave definita

Quindi la matrice A+B ha in posizione (ij) lrsquoelemento ottenuto sommando aij e bij in K

Osservazioni

1) prima di eseguire la somma tra due matrici controllare sempre che abbiano lo stesso

8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

numero di righe e lo stesso numero di colonne

2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle

oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn

O+A=A+O=A

Esercizio

Date le seguenti matrici

Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice

somma egrave

9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip

d) A+A lrsquooperazione egrave definita

e) B+(B+B) le operazioni sono definite

10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

f) (B+C)+C le operazioni sono definite

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice

egrave possibile calcolare

e cosigrave via

11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Possiamo generalizzare e definire

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

Esempio

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K

12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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8 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

numero di righe e lo stesso numero di colonne

2) La matrice O di Kmn con entrate tutte nulle

oij=0 per ogni i=1hellipm e j=1hellipn funge da elemento neutro rispetto alla somma di Kmn ed egrave detta matrice nulla di Kmn

O+A=A+O=A

Esercizio

Date le seguenti matrici

Calcolare ove sia possibile A+B B+C A+D A+A B+(B+B) e (B+C)+C a) A+B lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip b) B+C lrsquooperazione egrave definita e la matrice

somma egrave

9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip

d) A+A lrsquooperazione egrave definita

e) B+(B+B) le operazioni sono definite

10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

f) (B+C)+C le operazioni sono definite

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice

egrave possibile calcolare

e cosigrave via

11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Possiamo generalizzare e definire

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

Esempio

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K

12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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9 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

c) A+D lrsquooperazione non egrave definita in quantohellip

d) A+A lrsquooperazione egrave definita

e) B+(B+B) le operazioni sono definite

10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

f) (B+C)+C le operazioni sono definite

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice

egrave possibile calcolare

e cosigrave via

11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Possiamo generalizzare e definire

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

Esempio

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K

12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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10 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

f) (B+C)+C le operazioni sono definite

Dagli esempi d) ed e) posso osservare che data una matrice

egrave possibile calcolare

e cosigrave via

11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Possiamo generalizzare e definire

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

Esempio

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K

12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

Page 11: Esercitazioni di Algebra e Geometria - unibs.it · 2014. 12. 18. · 1 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2010 / 2011 Esercitazioni di Algebra e

11 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Possiamo generalizzare e definire

Il prodotto tra uno scalare e una matrice

Siano A una matrice di Kmn e λisin K uno scalare

Indichiamo λA una matrice di Kmn cosigrave definita

Esempio

Dunque la matrice finale λA ha in qualsiasi posizione (ij) lrsquoelemento aij moltiplicato per lo scalare λ in K

12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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12 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esercizi da svolgere

Si eseguano quando possibile le seguenti operazioni con le matrici A+B C+D A+C A - B C ndash D B ndash C -A 2B -3C -2D A ndash 2B 2C + D 2A+3D

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

Page 13: Esercitazioni di Algebra e Geometria - unibs.it · 2014. 12. 18. · 1 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria – Anno Accademico 2010 / 2011 Esercitazioni di Algebra e

13 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Il prodotto tra matrici Prima di tutto definiamo cosa si intende per prodotto tra

matrice riga e matrice colonna Siano A matrice riga di K1n e B matrice

colonna di Kn1 indichiamo con AB un elemento

di K cosigrave definito

Osservazione

il prodotto egrave definito solo se il numero di colonne di A egrave uguale al numero di righe di B Esempio

14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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14 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

mentre

non egrave definito Allora date A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima

colonna di B

Osservazione il prodotto egrave definito percheacute il numero delle colonne di A egrave n per ipotesi uguale al numero di righe di B Il prodotto tra la i-esima riga di A e la j-esima colonna di B puograve essere cosigrave scritto

15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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15 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Esempio

Date

il prodotto tra una riga di A e una colonna di C egrave sempre definito Per esempio il prodotto tra la 2-riga di A e la 3-colonna di C egrave

Attenzione il prodotto tra una riga di C e una colonna di A non egrave definito

16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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16 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

Definiamo ora il prodotto tra due matrici date due matrici A isin Kmn e B isin Knp definiamo il

prodotto AB una matrice di KKKKmpmpmpmp il cui

elemento in posizione (ij) si ottiene

moltiplicando la i-esima riga di A per la

j-esima colonna di B

Osservazioni

1) Il prodotto AB egrave definito solo se il numero delle colonne di A egrave uguale al numero delle righe di B Se il prodotto AB egrave definito la matrice risultante ha il numero delle righe di A e il numero delle colonne di B

2) Se egrave definito AB non egrave detto che lo sia BA per esempio A matrice di R32

e B matrice di

R21

17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC

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17 Lezione 1 - Esercitazioni di Algebra e Geometria ndash Anno Accademico 2010 2011

3) Se sono definiti AB e BA non egrave detto che AB=BA esempio A matrice di R21

e B matrice

di R12

Esempi

Calcolare se possibile AC CA CH e HC